Operaciones Con Vectores
Operaciones Con Vectores
Operaciones Con Vectores
a
a+b
Figura 4
Al mismo resultado se llega tomando a y b con el mismo origen y definiendo la suma como la
diagonal del paralelogramo construido sobre a y b, que pasa por el origen, tal como se muestra
en la figura 5.
a+b
b
Figura 5
Dado que la suma de dos vectores a y b es otro vector c, las componentes del vector resultante se
obtienen mediante la suma de las componentes correspondientes:
c 2 = a 2 + b2
c3 = a3 + b3
u
-v
u-v
Figura 6
5
Geomtricamente, para sumar algebraicamente varios vectores basta llevarlos sucesivamente de
manera que el origen de cada uno coincida con el extremo del precedente (figura 7).
c
v
vi = ai + bi + ci + d i
i = 1, 2, 3
v=a+b+c+d
Figura 7
Los vectores pueden ser multiplicados por una magnitud escalar. Se denomina producto a del
vector a por el escalar , al vector que tiene i) el mdulo igual al producto del mdulo de a por el
valor absoluto de ; ii) la misma direccin que a; iii) el mismo sentido que a si es positivo y
sentido opuesto si es negativo.
Las componentes del vector a son, por lo tanto
a1 , a 2 , a3
Ejemplo:
En la figura 8 se muestran los vectores a,
3a, -2a y a/2.
3a
-2a
0.5a = a/2
Figura 8
A los versores se los indica comnmente con una letra en negrita sobre la que se coloca una v
derecha o invertida, segn el autor. En el texto sern indicados en cada caso particular de forma
tal que no haya lugar a dudas.
Sea (O; x, y, z) un sistema de coordenadas ortogonales (figura 9). Sobre cada uno de los ejes, y
con su sentido coincidente con el sentido positivo de aquellos, se han superpuestos los versores i,
j, k. Sus componentes son
i(1,0,0 )
j (0,1,0 )
k(0,0,1)
r
a = a1i + a 2 j + a3 k
segn las reglas anteriormente establecidas para la adicin de vectores y de multiplicacin por un
escalar.
Esta descomposicin de un vector como
z
suma de tres vectores en la direccin de
los ejes coordenados es muy importante
y til. Se denomina descomposicin
cannica de un vector.
a
k
i
a2
a3
y
a1
Figura 9
r r
a b = ab cos = ab cos( ) =
= ab[cos . cos + sen sen ] =
a2
b2
asen = a 2
bsen = b2
Reemplazando queda
b1
a1
Figura 10
r r
a b = a1b1 + a 2 b2
Queda como ejercicio para el estudiante la
demostracin con vectores del espacio.
De esta propiedad se deduce que:
r s r
r r r r
a b + c = a1 .(b1 + c1 ) + a 2 .(b2 + c 2 ) + a3 .(b3 + c3 ) = a b + a c
es decir
iv) el producto escalar tiene la propiedad distributiva.
Adems, al multiplicar un vector por s mismo, se obtiene: a . a = a2 = a2
v) para los versores fundamentales i, j, k, de mdulo unidad y perpendiculares entre s, resulta:
i.i=j.j=k.k=1
i.j=i.k=j.k=0
Figura 11
En efecto, si se hacen coincidir los orgenes y los ejes x, y de modo que se superpongan las
partes positivas, con las partes positivas, los sentidos de los ejes z resultan opuestos. Se dice que
estos triedros tienen distinta orientacin.
Definicin 7: Un triedro (O; x, y, z) es positivo o directo cuando colocando un tornillo (o un
sacacorchos) normalmente al plano (x,y) y girando la parte positiva del eje x hacia la parte
8
positiva del eje y, el tornillo avanza hacia la parte positiva del eje z. En caso contrario el
triedro es negativo o inverso.
El triedro de la izquierda en la figura 11 es positivo. El criterio indicado no es el nico para
reconocer si el triedro es directo o inverso, pero es uno de los ms utilizados.
Producto vectorial
Supongamos al espacio orientado o sea, que se ha fijado un triedro fundamental de referencia
formado por tres ejes coordenados (O; x, y, z).
Definicin 8: Se llama producto vectorial o externo de dos vectores a y b al vector c que
tiene:
i) el mdulo igual al producto de los mdulos de a y b por el seno del ngulo que forman;
ii) la direccin perpendicular al plano determinado por las direcciones de los vectores a, b;
c) el sentido tal que el triedro formado por los vectores a, b, c tenga la misma orientacin
que el espacio.
Indicaremos al producto vectorial mediante una
cruz () o con un ngulo (), o sea:
ab=c ab=c
Segn la definicin ser:
a b =c = ab sen
La condicin iii) indica que el sentido del vector c
no pueda fijarse si no se conoce la orientacin del
espacio. De ahora en ms tomaremos como
direccin del espacio la que hemos definido como
positiva tal como se muestra en figura 12.
Figura 12
c0
a1
O
a c0
Figura 13
d1
b1
a1
b c0
a c0
(a + b) c0
Figura 14
10
b3
)(
c = a + b + 2a.b. cos
2
b
c
Figura 15
donde hemos introducido el ngulo formado por los vectores a y b. La ltima expresin
constituye el teorema del coseno de la trigonometra plana.
ii) Frmula del seno.
Tambin en figura 15 se observa que:
r r r r r r r
a b = a (c a ) = a c
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