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Operaciones con nmeros binarios
Suma de nmeros Binarios
Las posibles combinaciones al sumar dos bits son 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 100110101 + 11010101
1000001010 Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama arrastre). A continuacin se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).
Resta de nmeros binarios El algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operacin de restar en decimal para comprender la operacin binaria, que es ms sencilla. Los trminos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia. Las restas bsicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes: 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = no cabe o se pide prestado al proximo. La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posicin siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumndola, a la posicin siguiente. Veamos algunos ejemplos: Restamos 17 - 10 = 7 (2=345) Restamos 217 - 171 = 46 (3=690) 10001 11011001 -01010 -10101011
01111 00101110 A pesar de lo sencillo que es el procedimiento, es fcil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecnicamente, sin detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones: Dividir los nmeros largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cmo se divide una resta larga en tres restas cortas: 100110011101 1001 1001 1101 -010101110010 -0101 -0111 -0010 = 010000101011 0100 0010 1011 Utilizando el complemento a dos. La resta de dos nmeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Veamos algunos ejemplos. Hagamos la siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario: 1011011 1011011 -0101110 C2 de 46 = 1010010 +1010010
0101101 10101101 En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el nmero resultante no puede ser ms largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia. Un ltimo ejemplo: vamos a restar 219 - 23 = 196, directamente y utilizando el complemento a dos: 11011011 11011011 -00010111 C2 de 23 = 11101001 +11101001
11000100 111000100 Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto: 11000100 en binario, 196 en decimal.
Utilizando el complemento a 1. La resta de dos nmeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a uno del sustraendo y a su vez sumarle el bit de overflow (bit que se desborda).
Producto de nmeros binarios El algoritmo del producto en binario es igual que en nmeros decimales; aunque se lleva cabo con ms sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier nmero da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto. Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001: 10110 1001
10110 00000 00000 10110
11000110 En sistemas electrnicos, donde se suelen utilizar nmeros mayores, no se utiliza este mtodo sino otro llamado algoritmo de Booth.
Divisin de nmeros binarios La divisin en binario es similar a la decimal, la nica diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la divisin, estas deben ser realizadas en binario. Por ejemplo, vamos a dividir 100010010 (274) entre 1101 (13): 100010010 |1101
- 0000 010101
10001 - 1101
01000 - 0000
10000 - 1101
00111 - 0000
01110 - 1101
00001
Conversin entre binarios y decimales, binario a octal y de binario a hexadecimal Binario a decimal Para realizar la conversin de binario a decimal, realice lo siguiente: 1. Inicie por el lado derecho del nmero en binario, cada nmero multiplquelo por 2 y elvelo a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0). 2. Despus de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el nmero resultante ser el equivalente al sistema decimal. Ejemplos: 110101 (binario) = 53 (decimal). Proceso: 1*(2) elevado a (0)=1 0*(2) elevado a (1)=0 1*(2) elevado a (2)=4 0*(2) elevado a (3)=0 1*(2) elevado a (4)=16 1*(2) elevado a (5)=32 La suma es: 53 10010111 (binario) = 151 (decimal). Proceso: 1*(2) elevado a (0)=1 1*(2) elevado a (1)=2 1*(2) elevado a (2)=4 0*(2) elevado a (3)=0 1*(2) elevado a (4)=16 0*(2) elevado a (5)=0 0*(2) elevado a (6)=0 1*(2) elevado a (7)=128 La suma es: 151 110111 (binario) = 55 (decimal). Proceso: 1*(2) elevado a (0)=1 1*(2) elevado a (1)=2 1*(2) elevado a (2)=4 0*(2) elevado a (3)=0 1*(2) elevado a (4)=16 1*(2) elevado a (5)=32 La suma es: 55
Decimal a binario Se divide el nmero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y as sucesivamente. Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el ltimo cociente, es decir el uno final (todo nmero binario excepto el 0 empieza por uno), seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes. Del ms reciente hasta el primero que result. Este nmero ser el binario que buscamos. A continuacin se puede ver un ejemplo con el nmero decimal 100 pasado a binario. 100 |_2 0 50 |_2 0 25 |_2 --> 100 1100100 1 12 |_2 0 6 |_2 0 3 |_2 1 1
Otra forma de conversin consiste en un mtodo parecido a la factorizacin en nmeros primos. Es relativamente fcil dividir cualquier nmero entre 2. Este mtodo consiste tambin en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el nmero es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos, hasta llegar a 1. Despus slo nos queda tomar el ltimo resultado de la columna izquierda (que siempre ser 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dgitos de abajo a arriba. Y luego se hara un cuadro con las potencias con el resultado. Ejemplo: 100|0 50|0 25|1 --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2 12|0 6|0 3|1 1|1 --> 100 1100100 Y tambin tenemos otro mtodo el mtodo de distribucin en el que distribuimos el nmero decimal y podemos tener el resultado en binario, trabaja de la siguiente manera tenemos el nmero 151 lo que tenemos que hacer es distribuir este nmero buscando el nmero ms prximo; en este caso es 128 as que en la casilla donde hay capacidad de contener el nmero que tenemos lo vamos marcando. y en las casillas que no empleamos las marcaremos con un 0. Ejemplo: 2^0= 1|1 2^1= 2|1 2^2= 4|1 2^3= 8|0 2^4= 16|1 2^5= 32|0 2^6= 64|0 2^7= 128|1 128+16+4+2+1=151 2^8= 256|0 Y sucesivos.
Binario a octal Para realizar la conversin de binario a octal, realice lo siguiente: 1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 3 dgitos, entonces agregue ceros a la izquierda. 2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla: Nmero en binario 000 001 010 011 100 101 110 111 Nmero en octal 0 1 2 3 4 5 6 7 3) La cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha. Ejemplos: 110111 (binario) = 67 (octal). Proceso: 111 = 7 110 = 6 Agrupe de izquierda a derecha: 67 11001111 (binario) = 317 (octal). Proceso: 111 = 7 001 = 1 11 entonces agregue un cero, con lo que se obtiene 011 = 3 Agrupe de izquierda a derecha: 317 1000011 (binario) = 103 (octal). Proceso: 011 = 3 000 = 0 1 entonces agregue 001 = 1 Agrupe de izquierda a derecha: 103.
Octal a binario Cada dgito octal se lo convierte en su binario equivalente de 3 bits y se juntan en el mismo orden. Ejemplo: 247 (octal) = 010100111 (binario). El 2 en binario es 10, pero en binario de 3 bits es Oc(2) = B(010); el Oc(4) = B(100) y el Oc(7) = (111), luego el nmero en binario ser 010100111. Binario a hexadecimal Para realizar la conversin de binario a hexadecimal, realice lo siguiente: 1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 4 dgitos, entonces agregue ceros a la izquierda. 2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla: Nme ro en binari o 00 00 00 01 00 10 00 11 01 00 01 01 01 10 01 11 10 00 10 01 10 10 10 11 11 00 11 01 11 10 11 11 Nmer o en hexad ecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 3) La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de izquierda a derecha. Ejemplos: 110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). Proceso: 1010 = A 1011 = B 1 entonces agregue 0001 = 1 Agrupe de izquierda a derecha: 1BA 11011110101 (binario) = 6F5 (hexadecimal). Proceso: 0101 = 5 1111 = F 110 entonces agregue 0110 = 6 Agrupe de izquierda a derercha: 6F5 Hexadecimal a binario dem que para pasar de hexadecimal a binario, solo que se remplaza por el equivalente de 4 bits, como de octal a binario. Tabla de conversin entre decimal, binario, hexadecimal, octal, BCD, Exceso 3 y Gray o Reflejado Decimal Binario Hexadecimal Octal BCD Exceso 3 Gray o Reflejado 0 0000 0 0 0000 0011 0000 1 0001 1 1 0001 0100 0001 2 0010 2 2 0010 0101 0011 3 0011 3 3 0011 0110 0010 4 0100 4 4 0100 0111 0110 5 0101 5 5 0101 1000 0111 6 0110 6 6 0110 1001 0101 7 0111 7 7 0111 1010 0100 8 1000 8 10 1000 1011 1100 9 1001 9 11 1001 1100 1101 10 1010 A 12 11 1011 B 13 12 1100 C 14 13 1101 D 15 14 1110 E 16 15 1111 F 17
OPERACIONES LGICAS Combinando proposiciones simples obtenemos proposiciones compuestas mediante operaciones lgicas. Las principales operaciones lgicas son: conjuncin, disyuncin, negacin, condicional y Bicondicional. A cada una de estas operaciones lgicas le corresponde una tabla de verdad. 1. p q p q V V V F F V F F V F F F 2. Conjuncin. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lgico "y" conforman la proposicin compuesta llamada conjuncin, la cual se simboliza as: p q. p q p q V V V F F V F F V V V F 3. Disyuncin. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lgico "O" conforman la proposicin compuesta llamada disyuncin, la cual se simboliza as: p q. ~ p se lee: no p o tambin: no es cierto que p p ~ p V F F V 4. Negacin. Dada una proposicin simple p, esta puede ser negada y convertirse en otra proposicin llamada negacin de p, la cual se simboliza as: p q p q V V V F F V F F V F V V 5. Condicional o Implicativa. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lgico "entonces" conforman la proposicin compuesta llamada condicional o implicativa, la cual se simboliza as: p q: 6. Bicondicional. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lgico "si y slo si" conforman la proposicin compuesta llamada conjuncin, la cual se simboliza as: p q. p q p q V V V F F V F F V F F V FRMULA LGICA Una frmula lgica es la representacin simblica de una proposicin compuesta, las cuales estn conformadas por proposiciones simples, conectivos lgicos y signos de agrupacin. Al evaluar una frmula se confecciona su tabla de verdad. Ejemplo: Se tiene las siguientes proposiciones: p: Abigail Alcalde Flores gana la partida de damas. q: Abigail Alcalde Flores recibe el premio. Una proposicin compuesta empleando p y q ser: "Si Abigail Alcalde Flores gana la partida entonces recibe el premio", la cual se representa simblicamente as: p q. Expresiones como: ~ p ~ q (p q) ~ q ~ (p q) (~ p q) reciben el nombre de frmulas lgicas. Al evaluar una Frmula se confecciona su Tabla de Verdad. Si en esta tabla todos los valores de verdad son V, tal frmula es una TAUTOLOGA. Si en esta tabla todos los valores de verdad son F, tal frmula es una CONTRADICCIN. Si en esta tabla, algunos de los valores de verdad son V y otros son F, tal frmula es una CONTINGENCIA. Al evaluar una frmula debemos tener en cuenta un orden en las operaciones lgicas a realizarse. Empezamos con las operaciones encerradas por los parntesis interiores, siguen todas las negaciones y luego se avanza de izquierda a derecha. Es recomendable identificar el conectivo principal de la frmula que representa la operacin final a realizarse. Si en el interior de un parntesis alguna proposicin simple esta precedida por una negacin, primero se opera sta. He aqu algunos ejemplos resueltos: 1. v v v v v v Desarrollamos (1) condicional v v f v f f Desarrollamos (2) conjuncin v f v f v f Desarrollamos (3) Bicondicional del resultados de v f f f v f (1) y (2) f v v v v v f v f v f f f f v v f f f f f v f f (1) (3) (1) 2. p q r ( p q ) ( q r ) v v f v v v Desarrollamos (1) conjuncin v f v v v v (2) despus de haber negado (1) f v v f v v Desarrollamos (3) disyuncin f v v f f f Desarrollamos (4) condicional del resultado de (2) (1) (4) (3) (2) y (3) EJERCICIO POR RESOLVER Evaluar las siguientes frmulas lgicas y establecer si se trata de Tautologa, Contradiccin o Contingencia. 3. p q ~ ( p q ) ( p q ) 4. ~ ( p q ) ( ~ p ~ q ) 5. ~ [ ~ p q ] q 6. ( p q ) ( ~ p q ) 7. ~ ( p q ) [ ( p r ) q ] 8. [ (~ p) (~ r) ] q 9. [ ( p q ) ~ p ] p 10. ( p q ) ( p q ) 11. [ (p q) q] q 12. ( ~ p q ) ( q r ) 13. ( p r ) ( p q) CUANTIFICADORES Es convertir en un enunciado abierto en proposicin. Enunciado abierto.- Es aquel enunciado (frase u oracin) que incluye una o varias variables, y de acuerdo a la que emplee podr ser falso o verdadero. Es aquella expresin que tiene al menos una variable la que al ser reemplazada por constantes transforma el enunciado abierto en una proposicin. Si empleamos x como variable, un enunciado abierto se representa as: p(x), lo que leemos como " p de x ". Ejemplo: Sea el enunciado abierto: P(x) = "x +1 es un nmero mltiplo de 2 " Ahora damos valores a x: Si x = 3, P (3) = 3 + 1 = 4 "4 es mltiplo de 2", proposicin verdadera. Si x = 4, P (4) = 4 + 1 = 5 "5 es mltiplo de 2", proposicin falsa. Si x = 5, P (5) = 5 + 1 = 6 "6 es mltiplo de 2", proposicin verdadera. Al enunciado abierto tambin se le llama Funcin Proposicional. Existen dos tipos de cuantificadores: Cuantificador Universal El enunciado abierto es p(x): "x + 1 es un nmero mltiplo de 2 "; si cuantificamos universalmente escribimos: " todo x + 1 es un nmero mltiplo de 2 " " para todo x + 1 es un nmero mltiplo de 2 " " para cualquier x + 1 es un nmero mltiplo de 2 " Esta ya es una proposicin pero FALSA porque hay nmeros x + 1 que no necesariamente son mltiplos de 2. " significa "para todo", "todo" o "para cualquier" Cuantificador Existencial El enunciado abierto es p(x): "x + 1 es un nmero mltiplo de 2 "; si cuantificamos existencialmente escribimos: " Existe por lo menos un nmero x + 1 es un mltiplo de 2 " Esta ya es una proposicin aunque ahora si VERDADERA porque por lo menos existe un nmero que reemplazado por x en x + 1 nos da un mltiplo de 2. $ significa "existe por lo menos" o "existe" PROPOSICIONES LGICAS EQUIVALENTES Si dos proposiciones p y q tienen tablas de verdad idnticas entonces podemos afirmar que tales proposiciones son equivalentes: Esto se simboliza p q Ejemplo: La proposicin compuesta p q es equivalente a la proposicin compuesta. ( ~ p) q p q (~ p) q Entonces en una frmula lgica podemos ahorrar tiempo y espacio si reemplazamos: p q ( ~ p) q o viceversa. Las equivalencias lgicas ms importantes son: 1. p p p 2. p V V 3. p F p 4. p q q p 5. p (~ p) V 6. ~ (~ p) p 7. ( p q ) r p ( q r ) 8. p ( q r ) ( p q ) ( p r ) 9. p p p 10. ( p q ) r p ( q r ) 11. p ( q r ) ( p q ) ( p r ) 12. p F F 13. p V p 14. p (~ p) F 15. p q q p 16. ~ ( p q ) (~ p) (~ q) 17. ~ ( p q ) (~ p) (~ q) 18. p q (~ p) q 19. p q ( ~ q) ( ~ p) 20. p ( p q ) p 21. p ( p q ) p 22. p q ( p q ) ( q p ) 23. p q ( p q ) [ ( ~ p ) ( ~ q ) ] 24. ~ V F ; ~ F V PROBLEMAS PROPUESTOS I. a. Los nmeros pares son divisible por 2. b. Los nmeros impares son divisibles por 2. c. La semana tiene 8 das. d. Cuan profundo es mi amor. e. Mario Vargas Llosa es espaol. f. T puedes, no desistas! g. Lima, la tres veces coronada ciudad de los reyes. h. El cuadrado es un cuadriltero. i. No todo nmero primo es impar. j. Alberto Fujimori, por qu has llegado tarde. k. Has ganado una computadora! l. El ao tiene 12 meses. m. Todas las semanas tiene 7 das. n. Alan Garca Prez viajo a Roma o Brasil. o. Si me caso, entonces no ser soltero. p. No es cierto que la ciudad de Lima est en la costa. q. El Sol es un astro o el da tiene 24 horas. r. 2 + 3 = 7 22 + 32 = 52 s. 6 es mayor que 7, 5 es menor que 8. t. El tringulo tiene 3 lados o el cuadrado solo 3 lados. II. Indique cul de las siguientes expresiones es una proposicin, si fuera as cual de ellas son proposiciones simples y cuales son proposiciones compuestas. Seale adems su valor de verdad correspondiente. [ ( ~ p ~ q ) ( ~ r q ) ] ( p ~ r ) III. Sean p, q y r proposiciones tales que p es verdadera (v), q es falsa (F) y r es falsa (F). Indique el valor de verdad de la proposicin: IV. De las siguientes proposiciones Cules son tautologas? a. b. ( p q ) [ ( ~ p ) q ] c. [ ~ ( p q ) ( ~ q q ) ] p d. [ ( p q ) ( ~ q ) ] ~ p I. i. ( p q ) ( r s ) ii. ( p q ) ( r s ) iii. ~ p ( r q ) iv. ~ q ( p s ) v. ~ s ( p q ) II. Sabiendo que las proposiciones p y r son proposiciones verdaderas y las proposiciones q y s son proposiciones falsas; indicar cuantas de las siguientes proposiciones son falsas: o ( p q ) o ( p q ) q o [ ( p q ) ( p q ) ] ( p ~ q ) o ( ~ p ) ( p q ) o ( ~ q ) ( p ~ p )
Autor: Eddy Rubem Alcalde Rumiche III. Si se sabe que la proposicin p q es verdadera, entonces cuantas de las proposiciones dadas son falsas:
Partes: 1, 2
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