Ejercicios EDPs Con Resultados

Universidad Tcnica Federico Santa Mara
Departamento de Matemtica
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Parciales
1
er
Semestre de 2010
1. Resolver el problema de Sturm-Liouville:
y
= y
y(0) + y(1) = 0
y
(0) = 0
Respuesta:
n
= (2n 1)
2
2
; y
n
= cos[(2n 1)x] , n = 1 , 2 , 3 , . . .
2. Resolver la ecuacin
u
t
=

2
u
x
2
u
sujeta a la condicin inicial u(x, 0) = 1 , con 0 x y las condiciones de borde:
u
x
(0, t) = u(, t) = 0 t 0.
Respuesta: U(x, t) =
4
n=0
(1)
n
2n + 1
cos
__
1
2
+ n
_
x
_
e
1+(
1
2
+n)
2
t
3. Use el cambio de variable u(x, t) = w(x, t) + P(x) para resolver la e.d.p
u
t
= 3u
xx
+ 3, 0 < x < , t > 0
u(0, t) = u(, t) = 1
u(x, 0) = 1
Respuesta:
u(x, t) =
x
2
2
+

2
x + 1 +
n=1
2
n
3
[(1)
n
1]e
3n
2
t
sen(nx)
4. Resuelva la ecuacin de Laplace:
u
xx
+ u
yy
= 0 ; 0 < x < 1 , 0 < y < 1
Sujeta a las condiciones de borde:
u(0, y) = 0 u(1, y) = 1 y
u
y
(x, 0) = 0 u
y
(x, 1) = 0
1
Respuesta: u(x, y) =
x
2
+
4
n=1
2
(2n 1)
2
senh[(2n 1)]
cos[(2n 1)y] senh[(2n 1)x]
2
u
x
2
+

2
u
t
2
= 0
donde 0 < x < L y t > 0. Sujeto a las condiciones de borde:
_
_
u(0, t) = 0 t
u(L, t) = 0 t
lm
t
u(x, t) = 0
u(x, 0) = x(L x)
n=1
A
n
e
nt/L
sen
_
nx
L
_
; A
n
=
2
L
_
L
0
x(L x) sen
_
nx
L
_
dx
6. Resolver el problema:
_
_
u
tt
+ u
t
+ u = 9u
xx
0 < x < 6, t > 0
u(0, t) = u(6, t) = 0
u(x, 0) =
24
sen
_
x
6
_
+
12
sen
_
x
3
_
u
t
(x, 0) = x
Respuesta:
u(x, t) = e
t
2
_
24
cos
_
3 +
2
2
t
_
sen
_
x
6
_
+
12
cos
_
3 + 4
2
2
t
_
sen
_
x
3
_
_
+
n=3
e
t
2
24(1)
n+1
n
3 + n
2
2
sen
_
3 + n
2
2
2
t
_
sen
_
nx
6
_
7. Resuelva la ecuacin:
u
tt
= u
xx
+ 2u
x
donde 0 < x < y t > 0 . Sujeta a las condiciones:
2
u(0 , t) = u( , t) = 0 t > 0
u(x, 0) = e
x
sen(2x)
u
t
(x, 0) = 2 e
x
sen(3x)
Respuesta: u(x, t) = e
x
cos(
5 t) sen(2x) +
2
10
e
x
sen(
10 t) sen(3x)
8. Considere la e.d.p
u
t
(x, t) = u
xx
(x, t)
u
x
(0, t) = 0, u
x
(1, t) = 2
u(x, 0) = x
2
+ 1
Pruebe que el cambio de variable u(x, t) = ax
2
+ bt + w(x, t) transforma est ecuacin en
w
t
(x, t) = w
xx
(x, t)
w
x
(0, t) = w
x
(1, t) = 0
w(x, 0) = 1
Usando separacin de variables, encuentre las soluciones w(x, t) y u(x, t).
Respuesta: w(x, t) = 1 ; u(x, t) = x
2
+ 2t + 1
u
xx
+ u
yy
= 0 , 0 < x < 1 , y > 0
que satisfaga:
u
x
(0, y) = 0 , u
x
(1, y) = 0
u(x, 0) = sen
2
(2x) + cos
3
(3x)
Adems u(x, y) permanezca acotado cuando y
1
2
+
3
4
e
3y
cos(3x)
1
2
e
4y
cos(4x) +
1
4
e
9y
cos(9x)
10. Considerar el problema
u
t
=u
xx
2
cos(x) ; 0 < x < 1 t > 0
u
x
(0, t) =0 u(1, t) = 1 , t > 0
u(x, 0) = cos
_
3
2
x
_
cos(x) , 0 < x < 1
3
a) Use el cambio u(x, t) = v(x, t) + q(x) para resolver la ecuacin.
b) Calcule u
_
1
2
, 4
_
.
Respuesta: (a) u(x, t) = cos(x) + e
9
2
t
4
cos
_
3 x
2
_
(b)
2
2
e
9
2
1. Ms Ejercicios
11. Resolver los siguientes problemas de Sturm-Liouville regulares:
a)
X
+ X = 0 , 0 < x < 1
X(0) = X
(1) = 0
b)
X
+ X = 0 , 0 < x < 1
X(0) + X
(0) = X(1) = 0
c)
(1 + x)
2
X
+ 2(1 + x)X
+ 3X = 0 , 0 < x < 1
X(0) = X(1) = 0
d)
X
+ X
+ (1 + )X = 0 , 0 < x < 1
X(0) = X(1) = 0
12. Resolver la ecuacin de calor unidimensional
2
u
x
2
=
1
6
u
t
0 < x < 6 , t > 0
que satisface las condiciones de frontera:
u
x
(0, t) = u
x
(6, t) = 0
u(x, 0) = 6 x
4
13. Resuelva la ecuacin de Laplace
2
u
x
2
+

2
u
y
2
= 0
sujeta a las condiciones de frontera:
u(0, y) = u(, y)
u
x
(0, y) = u
x
(, y)
u(x, 0) = 0
u
y
(x, 4) = cos(6x)
14. Resolver
u
tt
= u
xx
0 < x < , t > 0
Sujeta a las condiciones:
u
x
(0, t) = 0 t 0
u
x
( , t) = 0 t 0
u(x, 0) = cos(2x) x [ 0 , ]
u
t
(x, 0) = cos(x) x [ 0 , ]
15. Resolver
u
xx
= u
t
+ 6x + 4 0 < x < 1 , t > 0
Sujeta a las condiciones:
u
x
(0, t) = 0
u
x
(1, t) = 0
u(x, 0) = 2x
2
+ x
3
+ 1
u
t
=

2
u
2
x
u
sujeta a la condicin inicial u(x, 0) = 1, con 0 x y las condiciones de borde:
u
x
(0, t) = 0 = u(, t) t 0
5
17. Resolver la ecuacin de Laplace
u
xx
+ u
yy
= 0
en el rectngulo 0 < x < ; 0 < y < 1 , si se cumple
u
x
(0, y) = u
x
( , y) = 0 0 y 1
u(x, 0) = cos(x) cos(3x) 0 x
u(x, 1) = cos(2x) 0 x
18. Encontrar la temperatura de estado estacionario de una placa, que tiene la forma de un cuadrante
de un disco de radio 1 , si la temperatura de los lados se mantiene a cero grado y la temperatura en
el arco de la circunferencia es
u(1 , ) = sen(2) , 0

2
19. Resolver la ecuacin de Laplace en el complemento del disco unitario x
2
+ y
2
< 1 , si se cumple:
u(r, 0) = u(r, 2)
u
(r, 0) = u
(r, 2)
u
r
(1, ) = cos
4
()
3
8
20. Considerar la regin R
1
x
2
+ y
2
R
2
, R
1
> 0 . Si la temperatura en el circulo x
2
+ y
2
= R
1
es 0 grados, y la temperatura en el circulo x
2
+ y
2
= R
2
es 100 grados.
En que puntos del anillo la temperatura es de 50 grados?
21. Resolver:
u
t
(x, t) = 2u
xx
(x, t) ; 0 < x < ; t > 0
u(0, t) = 5 , u(, t) = 10 ; t > 0
u(x, 0) = sen(3x) sen(5x)
Hint: Haga u(x, t) = w(x, t) + v(x)
6

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