M.A.S.

FORZADO
Un vibrmetro es un aparato destinado a medir las amplitudes de las vibraciones y consiste, esencialmente, en una caja que contiene una varilla delgada a la cual est unida una masa m; la frecuencia natural del sistema masa-varilla es de 5 Hz. Al unir rgidamente el aparato a la carcasa de un motor que gira a razn de 600 rpm se observa que vibra con una amplitud de 1.6 mm respecto a la caja. Deducir la amplitud del movimiento vertical del motor. Solucin: I.T.T. 96, 03 Llamemos x1 al movimiento del vibrmetro respecto del S.R. del laboratorio (es el movimiento vertical del motor), x2 al movimiento de la masa de la varilla respecto de la caja del vibrmetro y x = x1 + x 2 al movimiento de la masa de la varilla respecto del laboratorio. Con los datos del enunciado:

x1 (t ) = " m cos # f t

( )

, x 2 ( t) = A cos # f t + $

) ( )

Cuando la carcasa del motor se mueve con un M.A.S. x1 (t ) = " m cos # f t comunica a la masa de la varilla una fuerza oscilatoria: F (t ) = F0 cos " f t con una amplitud F0 relacionada con el desplazamiento del motor: F0 = k "m donde k es la constante elstica del sistema varilla-masa. Si suponemos que no hay rozamiento o que es despreciable (! = 0) el movimiento de la masa de la varilla vendr dado por:

( )

( * * k% m ) / m * ( F0 / m % m" 2 0 B= 2 = 2 2 = 2 2 ) 2 "f $ "0 " f $ "0 * "0 $ " f * ' * # = arctg($&) = $ 2 + x (t ) = B sen " f + #

'/ x( t) = B sen . " f $ 0 = B cos " f $ ' 2

La composicin de movimientos nos indica que x 2 = x " x1 , con lo que:

A cos " f t + # = B cos " f $ % $ &m cos " f t =

( = B cos("
= (B + &m

) ( ) $ % ) + & cos(" t $ % ) = ) cos(" $ % )

"

. # = $% 0 0 2 / &m' 0 + &m 0 A = B + &m = 2 2 ' f $ '0 0 1

"

( A+ 2 1.2 mm &m = * 2 - ' 2 f $ '0 = )'f ,

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Un motor de velocidad variable est unido rgidamente a una viga. El rotor est ligeramente desequilibrado y hace que la viga vibre con una frecuencia igual a la del motor. Cuando este funciona por debajo de las 600 rpm o por encima de las 1200 rpm se observa que un pequeo objeto A colocado encima de la viga permanece en contacto con esta, mientras que entre 600 rpm y 1200 rpm el objeto brinca y pierde realmente el contacto con la viga. Determnese la amplitud de movimiento de A cuando la frecuencia del motor es de a) 600 rpm, b) 1200 rpm. Solucin: I.T.T. 97, 01, 04 Si dibujamos el diagrama de las fuerzas que actan sobre el objeto A cuando la viga en su vibracin se acelera hacia abajo, y aplicamos la segunda ley de Newton tenemos:
! ! ! mg + N = ma " mg # N = ma " N = m( g # a)
! N

! a

! mg

Esto quiere decir que para aceleraciones a superiores o iguales a la aceleracin de la gravedad la normal N se anulara perdiendo el objeto el contacto con la viga. Si llamamos B a la amplitud de oscilacin de la viga en la posicin donde est situado el objeto A, la aceleracin mxima que va a alcanzar la viga en su movimiento oscilatorio 2 ser: amx. = " 2 B = (2#$ ) B . Para valores de amx. mayores que g en algn momento de la oscilacin de la viga el cuerpo A perder el contacto con ella. Esto empieza a ocurrir cuando el motor vibra con una frecuencia "1 = 600rpm y deja de ocurrir cuando el motor sobrepasa la frecuencia "2 = 1200rpm . Es decir para frecuencias del motor entre 600 rpm y 1200 rpm la aceleracin amx. sobrepasa el valor de g. Para las dos frecuencias mencionadas amx. iguala el valor de g. El valor de las amplitudes para estas dos frecuencias ser:

(2" # i ) Bi = g

g Bi = (2"# i )2

% B1 = 2.48mm ' & ' ( B2 = 0.62mm

!Una barra vertical con un resorte a su alrededor est rgidamente unida ! al armazn de un motor que gira a una velocidad constante. Despus de que un anillo de masa m se coloque sobre el resorte se observa que vibra con una amplitud de 15 mm. Si se ! colocan dos anillos, ambos de masa m, se observa que la amplitud es de 18 mm. Qu amplitud de vibracin debe esperarse cuando se pongan tres anillos? (Obtener dos respuestas)

Solucin: I.T.T. 97, 01, 04 Si el motor est descentrado al girar acta como una fuerza peridica externa que fuerza a los anillos a vibrar. Si llamamos "f a la frecuencia de dicha fuerza externa (que
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coincide con la velocidad angular del motor), F0 a su amplitud, y consideramos el rozamiento despreciable, la amplitud del movimiento oscilatorio forzado que se produce en los tres casos ser:
A1 = F0 / m F0 = 2 2 "0 # " f k # m" 2 f F0 k # 2m" 2 f F0 k # 3m" 2 f = 15mm = 18mm =?

A2 = = A3 = =

En las expresiones anteriores hay dos incgnitas que no conocemos pero podemos m" 2 k f calcular a partir de los datos: y . Para ello necesitamos saber si las expresiones F0 F0 dentro de los valores absolutos son positivas o negativas. Podemos distinguir tres casos:
% ' ' & ' ' (
2 1 k m$ f ) = # ' A1 F0 F0 ' * 2 1 k 2m $ f ' = # ' A2 F0 F0 +

2 a) k > 2m" f

"

"

2 1 7 % k #1 ' F = A # A = 90 mm 1 2 ' 0 & 2 ' m$ f 1 1 1 #1 ' F = A # A = 90 mm ( 0 1 2

"

A3 =

22.5mm

2 b) m" 2 f < k < 2 m" f

"

% ' ' & ' ' (

2 1 k m$ f ) = # ' A1 F0 F0 ' * 2 1 2 m$ f k ' = # ' A2 F0 F0 +

"

2 1 17 % k #1 ' F = A + A = 90 mm 1 2 ' 0 & 2 ' m$ f 1 1 11 #1 ' F = A + A = 90 mm ( 0 1 2

"

A3 =

5.6mm

c) k < m" 2 f

"

% ' ' & ' ' (

2 1 m# f k ) = $ ' A1 F0 F0 ' * 2 1 2 m# f k ' = $ ' A2 F0 F0 +

"

1 2 $7 % k $1 ' F = A $ A = 90 mm 2 1 ' 0 & 2 ' m# f 1 1 $1 $1 ' F = A $ A = 90 mm ( 0 2 1

NO TIENE SENTIDO FISICO!

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Un remolque pequeo que pesa 300 kg con su carga, se sostiene mediante dos resortes, ambos de constante 17500 N/m. Se tira del remolque sobre un camino cuya superficie se asemeja a una curva sinusoidal de amplitud 4 cm y 5 m de separacin entre amplitudes mximas positivas sucesivas. Determnese a) la velocidad a la cual se producir la resonancia, y b) la amplitud de la vibracin del remolque a una velocidad de 65 km/h. c) Si la amplitud de vibracin del remolque no debe de exceder de 2 cm, determinar la velocidad mnima a la cual se puede tirar de este remolque en este camino.

5m Solucin: I.T.T. 95, 97, 99, 00, 02, 05 a) Al variar sinusoidalmente el suelo donde se apoya el remolque se le comunica una fuerza externa peridica. Para calcular la amplitud de dicha fuerza imaginmonos por un instante que actuamos sobre el remolque manteniendo constante su altura igual a la que tendra si el camino fuese liso. La fuerza que tenemos que ejercer debe ser igual y opuesta a la fuerza que ejerce el camino ondulado. Como la amplitud de las oscilaciones del camino es #mx. = 4 cm, sta ser tambin la contraccin o alargamiento mximo de los muelles, con lo que tendremos que luchar contra una fuerza elstica mxima de valor k#mx.. La fuerza peridica que se ejerce sobre el remolque ser por lo tanto:

F = F0 cos " f t = k# mx. cos " f t

( )

( )

El valor "f de la frecuencia de dicha fuerza lo podemos calcular teniendo en cuenta que su periodo es el tiempo que tarda el remolque en pasar de un mximo a otro a lo largo del camino:

T=

2" d = #f v

#f =

2" v d

Vemos que variar la velocidad del remolque implica variar la frecuencia de dicha fuerza peridica La resonancia se alcanzar a una velocidad vres. para la cual " f = " 0 :
" 2# v res. = $0 = d k = m 2 kmuelle m " v res. = d 2# 2 kmuelle = m

30.9 km / h

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Hemos tenido en cuenta que la constante elstica equivalente del conjunto es la suma de las constantes elsticas de los dos muelles. b) El remolque va a realizar un M.A.S. forzado dado por la expresin:

y (t ) = B sen " f t + #

)
$ mx." 2 0
2 "2 f # "0

La amplitud B de dicho M.A.S. vendr dada, si ignoramos rozamientos, por:

$ mx.
%"f ( ' * #1 & "0 )
2

$ mx.
% v ( ' * #1 & v res. )
2

Para una velocidad de v1 = 65 km/h que es superior a la velocidad de resonancia tenemos que la amplitud del movimiento valdr:

B(v1 ) =

"mx. = 1.17 cm 2 # v1 & % ( )1 $ v res. '

c) Si la amplitud de oscilacin no debe superar los 2 cm:

B(v ) =

" mx.
# v & )1 % $ v res. ( '
2

* Bmx. = 2 cm

# v & " mx. % ( )1 , $ v res. ' Bmx.

#" & v , % mx. + 1( v res. = 53.6 km / h $ Bmx. '

1/ 2

Una plataforma de 100 kg, sostenida mediante dos resortes, ambos de constante elstica k = 43700 N/m, est sujeta a una fuerza peridica de magnitud mxima de 590 N. Si se sabe que el coeficiente de amortiguamiento es de 1600 Ns/m, determinar a) la frecuencia en rpm de la fuerza peridica para una amplitud de movimiento mxima y dicha amplitud, b) el desfase entre el movimiento de la plataforma y la fuerza peridica en esta situacin. c) Comparar la amplitud mxima con la amplitud a la frecuencia natural de la plataforma. Solucin: I.T.T. 97, 00, 03 a) La constante elstica equivalente a los dos muelles que soportan la plataforma es:

keq. = k + k = 2k

"

#0 =

k eq. 2k = = 29.56 rad / s m m

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El coeficiente ! de rozamiento valdr en nuestro caso: " =

# = 8 s1 2m

La plataforma va a realizar un M.A.S. forzado dado por la expresin: y (t ) = B sen " f t + #

La amplitud B y la fase $ del movimiento oscilatorio forzado vienen dados por:

( )

F0 / m % " 2 # "2 f ' 0 &

+ 4$ " ( * )
2 2 f

1/2

, + "f

( )

2 , "2 / 0 #"f = arctg. 1 - 2$" f 0

Si llamamos " f ,mx. a la frecuencia de la fuerza externa para la cual la amplitud B es mxima:

dB d" f

=0
" f ="
f ,mx .

[2("

2 0

2 $"2 f ,mx. $2" f ,mx. + 8% " f ,mx. = 0

)(

& " f ,mx. = 0 (no es vlida ya que corresponde a un mnimo) ( ' 2 2 1/ 2 ( ) " f ,mx. = (" 0 $ 2% ) = 27.31 rad / s = 260.8 rpm

Y el valor de la amplitud mxima ser:

Bmx. = B " f ,mx. = =

F0 / m
2 2# (" 0 $ # 2) 1/2

= 12.96 mm

b) El valor de la fase $ en dicha situacin ser:

" # f ,mx.

& ) $ = = arctg( + = 0.2849 rad = 16.33 2 2 1/ 2 + ( # % 2 $ '( 0 ) *

c) La amplitud a la frecuencia natural de la plataforma sera:

La amplitud resultante sera cerca de medio milmetro inferior al valor mximo calculado en el apartado a).

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Tres cilindros idnticos se cuelgan de una barra por varios resortes tambin idnticos. Se sabe que la barra se mueve verticalmente de la forma y = "m sen (# t) . Si las amplitudes de vibracin de los cilindros A y B son respectivamente 8 cm y 4 cm respectivamente determinar la amplitud de vibracin del tercer cilindro.

A B C

Solucin: I.T.T. 95, 99, 01, 04 Cuando la barra donde estn enganchados los muelles se mueve con un M.A.S. de amplitud "m comunica al objeto colgado una fuerza oscilatoria: F (t ) = F0 sen (" t ) con una amplitud F0 relacionada con el desplazamiento de la barra: F0 = k ef ." m donde kef . es la constante del muelle que sera elsticamente equivalente a toda la cadena de muelles entre la barra y el objeto colgado. Para una sucesin de muelles en cadena se puede demostrar que la constante elstica 1 1 efectiva del muelle equivalente a toda la sucesin es: =" kef . i ki En nuestro caso para cada cilindro la constante elstica efectiva ser respectivamente k/2, k/3 y k/4 respectivamente. La amplitud del movimiento oscilatorio forzado ser (suponemos que el rozamiento no es importante):

A=

F0 / m
2 "0 # "2

kef .$ m / m k ef . #"2 m

$m
m" 1# k ef .
2

Aplicndolo a los tres cilindros tendremos:

A1 =

"m
2 m$ 2 1# k

= 8cm

A2 =

"m
3m$ 2 1# k

= 4cm

A3 =

"m
4 m$ 2 1# k

=?

En las expresiones anteriores hay dos incgnitas que no conocemos pero podemos m" 2 calcular a partir de los datos: "m y . Para ello necesitamos saber si las expresiones k ! dentro de los valores absolutos son positivas o negativas. De todos los posibles casos:

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2m" 2 2m " 2 3m" 2 3m" 2 1< , < 1< , < 1 , slo el primero tiene sentido fsico (los k k k k otros dos conducen a absurdos). Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas se obtiene que:

"m = 8 cm ,

m# 2 =1 k

A3 =

8 cm 3

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