8 Productora WINDOR GLASS CO

La WINDOR GLASS CO produce artculos de vidrio de alta

calidad, entre ellos ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres
plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la
planta 1; los de madera en la planta 2; la 3produce el vidrio y
ensambla los productos.
Debido a una reduccin de las ganancias, la alta administracin ha
decidido reorganizar la lnea de produccin de la compaa. Se
discontinuaran varios productos no rentables y se dejara libre una
parte de la capacidad de produccin para emprender la fabricacin de
dos productos nuevos cuyas ventas potenciales son muy
prometedoras.
Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio

Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4

pies por 6 pies
El producto 1 requiere parte de la capacidad de produccin en las
plantas 1 y 3 y nada en la planta2. El producto 2 solo necesita trabajo
en las plantas 2 y 3. La divisin de comercializacin ha concluido que
la compaa puede vender todos los productos que se puedan fabricar
en las plantas. Sin embargo, como ambos productos competiran por
la misma capacidad de produccin en la planta 3, no esta claro cual
mezcla de productos sera la ms rentable. Por lo tanto, se ha
formado un equipo de IO para estudiar este problema.
El grupo comenz por realizar juntas con la alta administracin para
identificar los objetivos del estudio. Como consecuencia de ellas se
desarrollo la siguiente definicin del problema:
Determinar cuales tasas de produccin deben tener los dos productos
con el fin de maximizar las utilidades totales, sujetas a las
restricciones impuestas por las capacidades de produccin disponibles
en las tres plantas. (Cada producto se fabrica en lotes de 20
unidades, de manera que la tasa de produccin esta definida como el
nmero de lotes que se producen a la semana). Se permite cualquier
combinacin de tasas de produccin que satisfaga estas restricciones,
incluso no fabricar uno de los productos y elaborar todo lo que sea
posible del otro.
El equipo de IO tambin identifico los datos que necesita reunir:
1.- numero de horas de produccin disponibles por semana en
cada planta para fabricar estos nuevos productos. (Casi todo el

tiempo de estas plantas esta comprometido con los productos

actuales, lo que limita la capacidad para manufacturar nuevos
productos)
2.- numero de horas de fabricacin que se emplea para producir
cada lote de cada artculo nuevo en cada una de las plantas.
3.- la ganancia por lote de cada producto nuevo. (se escogi la
ganancia por lote producido como una medida adecuada una
vez que el equipo llego a la conclusin de que la ganancia
incremental de cada lote adicional producido seria, en esencia,
constante, sin que importase el numero total de lotes
producidos. Debido a que no se incurre en costos sustanciales
para iniciar la produccin y la comercializacin de estos nuevos
productos, la ganancia total de cada uno es aproximadamente
la ganancia por lote que se produce multiplicando el nmero de
lotes.)
La obtencin de estimaciones razonables de estas cantidades requiri
del apoyo de personal clave en varias unidades de la compaa. El
personal de la divisin de manufactura proporciono los datos de la
primera categora mencionada. En la segunda categora, el desarrollo
de estimaciones requiri un anlisis de los ingenieros de manufactura
involucrados en el diseo de los procesos de produccin para elaborar
los nuevos artculos. Al analizar los datos de costos que se
obtuvieron, calculo las estimaciones para la tercera categora.
De inmediato, el equipo de IO reconoci que se trataba
de un problema de programacin lineal del tipo clsico
de mezcla de productos y procedi a la formulacin del
modelo matemtico correspondiente. La definicin del
problema planteado indica que las decisiones que deben
tomarse son el nmero de lotes de los productos que se
fabricaran semanalmente, de manera que se maximice
su ganancia total.

OBJETIVO:
maximizar las utilidades
totales, sujetas a las
restricciones impuestas
por las capacidades de
produccin disponibles en
las tres plantas

Tiempo de
produccin
por lote hrs
Productos

Tiempo de
produccin

RESTRICCIONES:
horas de produccion
disponible a la semana

Planta

disponible a la
semana hora

12

VARIABLES DE
DECISION:

18

X1=lotes de produccin 1
X2=lotes de produccin 2

FUNCION OBJETIVO:
Max Z=3000X1 + 5000X2

SUJETO A:
Ganancia por
lote

$3000

$5000

X1

3X1

<4
2X2

< 12

+2X2

< 18

CONDICIONES NO
NEGATIVAS:
X1, X2 > 0

http://www.investigacion-operaciones.com/SIMPLEX_analitico.htm

Regresar Pagina Principal

EL METODO SIMPLEX PARA SOLUCIN DE PROBLEMAS DE
PROGRAMACIN LINEAL
Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando
la solucin a cada paso. El proceso concluye cuando no
es posible seguir mejorando ms dicha solucin.

El mtodo del simplex fue

creado en 1947 por el
matemtico George
Dantzig .

Partiendo del valor de la funcin objetivo en un vrtice

El mtodo del simplex se
cualquiera, el mtodo consiste en buscar sucesivamente utiliza, sobre todo, para
otro vrtice que mejore al anterior. La bsqueda se hace resolver problemas de
programacin lineal en los
siempre a travs de los lados del polgono (o de las
que intervienen tres o ms
aristas del poliedro, si el nmero de variables es mayor).
variables.
Cmo el nmero de vrtices (y de aristas) es finito,
siempre se podr encontrar la solucin.
El lgebra matricial y el
El mtodo del simplex se basa en la siguiente
propiedad: si la funcin objetivo, f, no toma su valor
mximo en el vrtice A, entonces hay una arista que
parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

proceso de eliminacin de
Gauss-Jordan para
resolver un sistema de
ecuaciones lineales
constituyen la base del
mtodo simplex.

Con miras a conocer la metodologa que se aplica en el Mtodo SIMPLEX,

vamos a resolver el siguiente problema:
Maximizar
sujeto a:

Z= f(x,y)= 3x +
2y
2x + y 18
2x + 3y 42
3x + y 24
x 0,y 0

Se consideran las siguientes fases:

1. Convertir las desigualdades en igualdades
Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para
convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:
2x + y + h = 18
2x + 3y + s =
42
3x +y + d = 24

2. Igualar la funcin objetivo a cero

- 3x - 2y + Z = 0
3. Escribir la tabla inicial simplex
En las columnas aparecern todas las variables del problema y, en las filas, los
coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restriccin y la
ltima fila con los coeficientes de la funcin objetivo:
Tabla I . Iteracin n 1
Base Variable de decisin Variable de holgura Valores solucin
x
y
h
s
d
h
2
1
1
0
0
18
s
2
3
0
1
0
42
d
3
1
0
0
1
24
Z
-3
-2
0
0
0
0
4. Encontrar la variable de decisin que entra en la base y la variable de
holgura que sale de la base
A. Para escoger la variable de decisin que entra en la base, nos fijamos
en la ltima fila, la de los coeficientes de la funcin objetivo y escogemos
la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto).
En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3.
Si existiesen dos o ms coeficientes iguales que cumplan la condicin
anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos.
Si en la ltima fila no existiese ningn coeficiente negativo, significa que
se ha alcanzado la solucin ptima. Por tanto, lo que va a determinar el
final del proceso de aplicacin del mtodo del simplex, es que en la
ltima fila no haya elementos negativos.
La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote
(En color azulado).
B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se
divide cada trmino de la ltima columna (valores solucin) por el
trmino correspondiente de la columna pivote, siempre que estos ltimos
sean mayores que cero. En nuestro caso:
18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]
Si hubiese algn elemento menor o igual que cero no se hace dicho
cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o

iguales a cero, entonces tendramos una solucin no acotada y no se

puede seguir.
El trmino de la columna pivote que en la divisin anterior d lugar al
menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la
variable de holgura que sale de la base, d. Esta fila se llama fila pivote
(En color azulado).
Si al calcular los cocientes, dos o ms son iguales, indica que cualquiera
de las variables correspondientes pueden salir de la base.
C. En la interseccin de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento
pivote operacional, 3.
5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.
Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la
fila d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1.
A continuacin mediante la reduccin gaussiana hacemos ceros los restantes
trminos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las
otras filas incluyendo los de la funcin objetivo Z.
Tambin se puede hacer utilizando el siguiente esquema:
Fila del pivote:
Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote) : (Pivote)
Resto de las filas:
Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la
variable entrante) X (Nueva fila del pivote)
Vemoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x en la
Tabla II):
Vieja fila de s

2
Coeficiente
2
x
Nueva fila pivote 1
=
Nueva fila de s
0

3
2
x
1/3
=
7/3

0
2
x
0
=
0

1
2
x
0
=
1

0
2
x
1/3
=
-2/3

42
2
x
8
=
26

Tabla II . Iteracin n 2
Base Variable de decisin Variable de holgura Valores solucin

h
s
x
Z

x
0
0
1
0

y
1/3
7/3
1/3
-1

h
1
0
0
0

s
0
1
0
0

d
-2/3
-2/3
1/3
1

2
26
8
24

Como en los elementos de la ltima fila hay uno negativo, -1, significa que no
hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que repetir el proceso:
A. La variable que entra en la base es y, por ser la variable que
corresponde al coeficiente -1
B. Para calcular la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima
columna entre los trminos correspondientes de la nueva columna
pivote:
2:1/3 [=6] , 26:7/3 [=78/7] y 8:1/3 [=8]
y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable de
holgura que sale es h.
C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.
Operando de forma anloga a la anterior obtenemos la tabla:
Tabla III . Iteracin n 3
Base Variable de decisin Variable de holgura Valores solucin
x
y
H
s
d
y
0
1
3
0
-2
6
s
0
0
-7
0
4
12
x
1
0
-1
0
1
6
Z
0
0
3
0
-1
30
Como en los elementos de la ltima fila hay uno negativo, -1, significa que no
hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que repetir el proceso:
A. La variable que entra en la base es d, por ser la variable que
corresponde al coeficiente -1
B. Para calcular la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima
columna entre los trminos correspondientes de la nueva columna
pivote:
6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6]
y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de
holgura que sale es s.
C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.
Obtenemos la tabla:
Tabla IV . Final del proceso
Base Variable de decisin Variable de holgura Valores solucin
x
y
h
s
d

y
d
x
Z

0
0
1
0

1
0
0
0

-1/2
-7/4
-3/4
5/4

0
0
0
0

0
1
0
0

12
3
3
33

Como todos los coeficientes de la fila de la funcin objetivo son positivos,

hemos llegado a la solucin ptima.
Los solucin ptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores
solucin, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el
vrtice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables
de decisin que han entrado en la base: D(3,12)

* Si en lugar de maximizar se trata de un problema de minimizar se sigue el

mismo proceso, pero cambiando el sentido del criterio, es decir, para entrar en
la base se elige la variable cuyo valor, en la fila de la funcin objetivo, sea el
mayor de los positivos y se finalizan las iteraciones cuando todos los
coeficientes de la fila de la funcin objetivo son negativos

Interpretacin geomtrica del mtodo del

simplex
Las sucesivas tablas que hemos construido van proporcionando el valor de la
funcin objetivo en los distintos vrtices, ajustndose, a la vez, los coeficientes
de las variables iniciales y de holgura.
En la primera iteracin (Tabla I) han permanecido todos los coeficientes
iguales, se ha calculado el valor de la funcin objetivo en el vrtice A(0,0),
siendo este 0.
A continuacin se desplaza por la arista AB, calculando el valor de f , hasta
llegar a B.
Este paso aporta la Tabla II.
En esta segunda iteracin se ha calculado el valor que
corresponde al vrtice B(8,0): Z=f(8,0) = 24
Sigue por la arista BC, hasta llegar a C, donde se para y
despliega los datos de la Tabla III.
En esta tercera iteracin se ha calculado el valor que
corresponde al vrtice C(6,6) : Z=f(6,6)=30.
Continua haciendo clculos a travs de la arista CD, hasta
llegar al vrtice D. Los datos que se reflejan son los de la Tabla IV.
Concluye con esta tabla, advirtiendo que ha terminado (antes ha comprobado
que la solucin no mejora al desplazarse por la arista DE)

El valor mximo de la funcin objetivo es 33, y corresponde a x = 3 e y = 12

(vrtice D).
Si calculas el valor de la funcin objetivo en el vrtice E(0,14), su valor no
supera el valor 33.

Ejemplo Simplex de 2 Fases

Considere el siguiente modelo de Programacin Lineal:

FASE 1: Al agregar S1 como variable de exceso en la restriccin 1 resulta evidente que

no se dispone de una solucin bsica factible inicial, por tanto utilizaremos una variable
auxiliar "y" que incluiremos en el lado izquierdo de la restriccin y que servir como
variable bsica inicial. Esto define el problema inicial de la Fase 1 junto a su tabla.

Luego la variable X2 entra a la base (costo reducido negativo) y claramente "y" deja la
base. Se actualiza la tabla utilizando el mtodo simplex:

Con esta tabla finaliza la Fase 1. Notar que el valor de la funcin objetivo al finalizar la
Fase 1 es cero, por tanto podemos continuar la Fase 2.
FASE 2: Se elimina la columna asociada a la variable artificial "y" y se actualiza el
vector de costos reducidos considerando la funcin objetivo original. De esta forma se
obtiene la tabla inicial de la Fase 2.

Dado que X2 es variable bsica al finalizar la Fase 1 buscamos dejar esta misma
variable como bsica al iniciar la Fase 2. Para ello multiplicamos por -3 la fila 1 y luego
la sumamos a la fila 2.

En este sencillo ejemplo se llega inmediatamente a la tabla final de la Fase 2, con

solucin ptima X1=0 y X2=10. El valor ptimo V(P)=-30.

2.5.2. Mtodo Simplex de dos fases.

Este es otra variante del simplex que se aplica para resolver modelos de PL que
requieren una matriz unitaria de base artificial para poder iniciar el algoritmo. El
nombre indica que consiste de dos fases: En la 1, se reducen las artificiales Wi a cero y
en tal caso se optimiza en la 2, o bien, se concluye que no hay solucin factible para el
problema porque Wi es diferente de cero en fase 1, y por lo tanto no es necesaria la
fase2.
Primera fase.- En este mtodo siempre se minimiza una funcin objetivo constituda
por la suma de las variables artificiales utilizadas para completar la matriz I:

Las variables artificiales son tiles para formar la primera base del simplex, pero si se
logra que toda Wi=0, entonces Z=0 representa lo deseable u ptimo, pues lo contrario
significa un problema que no tiene solucin factible, en tal caso no aplica la segunda
fase. Si todo va bien, las variables artificiales Wi deben salir de la base, excepto en
algn caso degenerado en que Wi=cero, es bsica, vea en el programa CaVa (prximo
a liberarse) los ejemplos Artbs0deg3v4r(16), Artabs02f(2), Ciclodeg(27). La solucin
ptima de fase 1 se identifica, con variables artificiales cero que implica Z=0 para la
funcin.
Segunda fase.- Se contina con sta slo si ocurre la optimizacin del problema en la
fase anterior. Para ello sirve la tabla simplex ptima de la primera, que se ajusta
eliminando las columnas de las variables artificiales Wi; adems, el rengln Z se cambia
a los coeficientes de la funcin Z original. El procedimiento contina con el arreglo de
la tabla simplex inicial para cumplir los requisitos necesarios de una solucin bsica
factible; es decir, coeficientes cero para las variables bsicas en el rengln Z de la tabla.
A veces esto es suficiente para lograr el ptimo del problema; si no es as, se aplican los
criterios del simplex para el objetivo original del problema. En resumen, la fase1
intenta lograr un punto extremo factible; la fase 2, el punto extremo ptimo:

Ejemplo 2-5. Aplica mtodo Simplex Dos Fases, PL mximo y mnimo, 3 tipos de
restriccin (MAXMIN2F1).
En este ejemplo se aprovecha la circunstancia de que en el mtodo simplex de dos fases,
la primera fase es igual con ambos objetivos; por lo tanto, slo para mayor
conocimiento, la tabla ptima de la 2a fase que contiene el valor mximo de la funcin,
se utiliza para obtener el mnimo . Con el objetivo de mximo en este ejemplo, se
esperan los mismos resultados del primer ejemplo FACTIRECTA) de simplex penal
pues se trata el problema otra vez, con el propsito de que el estudiante tenga la misma
referencia de comparacin del penal y el de 2 fases.

Figura 2-11. Tablas simplex 1a y 2a fase del ejemplo MAXMIN2F1.

Este ejemplo MAXMIN2F de aplicacin del mtodo simplex de dos fases, empieza el
proceso de resolucin convirtiendo el modelo original propuesto a su forma estndar y
luego para conseguir una base artificial, al igual que se explic para el ejemplo
FACTIRECTA del simplex penal, se obtiene la misma base artificial; pero la diferencia
empieza al tratar las variables artificiales como sigue:

Primera fase.- Se construye una funcin objetivo Z con la suma de las variables
artificiales y se arregla al formato de restriccin, tal como se muestra antes de las tablas
de la primera fase. Se construye la tabla a partir de las variables bsicas: la holgura H1 y
las artificiales W2 y W3, ordenadas de arriba hacia abajo en la base; el rengln Z, se
llena conforme a los coeficientes de la ecuacin Z - W2 - W3 = 0, escribiendo ceros en
los espacios vacos de las variables Xj, las holguras Hi y las supervit Si; en el mismo
rengln Z se ubican los coeficientes -1, caracterstico de las variables artificiales con el
mtodo de dos fases. El resto de los coeficientes de esta primera tabla, corresponde a la
forma estndar ya obtenida. Anote la diferencia respecto al simplex penal: los
coeficientes M de las variables artificiales en rengln Z no se usan, pero s
coeficientes -1 en la primera fase; adems, las artificiales deben aportar el vector
columna unitario para la base I; aunque no cumplen para variable bsica, pues el -1 en
el rengln Z debe anularse para el inicio. Con este propsito se hacen operaciones fila
de Gauss-Jordan para conseguir ceros que sustituyan los coeficientes mencionados. En
el lado izquierdo de la primera tabla se escriben las frmulas que se usan para el clculo
de los renglones Z' y Z''; en el ltimo se pueden ver los ceros sustituyendo los -1. Con el
clculo del rengln Z'' se completa la primera solucin bsica de esta primera fase y
se procede a la aplicacin de los criterios del simplex con el objetivo de mnimo; para
optimalidad, se observa que X1 es la nica variable no bsica con coeficiente + en el
rengln Z, (recuerde que con objetivo de mnimo, debe elegirse para VE la que tenga el
coeficiente ms positivo), entonces se declara a X1 como VE a la base. En factibilidad,
segn los cocientes a la derecha de la tabla, se identifica a la variable artificial W2 como
saliente (VS) de la base, le toca actuar como pivote al coeficiente 2 colocado en el
cruce de la columna X1 y el rengln W2, recin elegidos con los dos criterios. Entonces
se procede al cambio de base calculando la segunda tabla de la primera fase, empezando
por establecer a las variables bsicas: H1 que se mantiene dentro, la nueva X1 que se
hace bsica, sustituye a W2 que se convierte en no bsica, W3 que tambin permanece en
la base. Se comienza el clculo de la segunda tabla con el rengln RE que se fija como
pivote para calcular el resto de los coeficientes mediante operaciones fila elementales de
Gauss-Jordan; en el lado izquierdo de la tabla se anotan, como gua de clculo, las
frmulas para cada fila.
Los coeficientes indicadores en la fila Z, muestran todava nmeros positivos para las
variables no bsicas X2 y S2, lo cual significa que son candidatas para entrar a la base y
la necesidad de continuar la aplicacin del algoritmo; adems, an existe una variable
artificial dentro de la base. Los coeficientes de X2 y S2 estn empatados con valor de
1/2, de acuerdo a la recomendacin dada antes, de preferir como entrante variables de
decisin, as X2 = VE. Aplicando la factibilidad, tambin se tiene un empate en los
cocientes que se presentan a la derecha de la tabla; aqu se elige a la variable W3 como
saliente VS, pues ya se mencion en prrafo anterior, la procuracin del mtodo para
que las artificiales salgan lo ms pronto posible de la base. Con la definicin del pivote
1/2 y las frmulas a la izquierda, se tiene lo suficiente para calcular la siguiente solucin
en la ltima tabla de la primera fase la cual muestra el valor cero en la columna
solucin, esto significa, que al sacar todas las variables artificiales de la base se anulan y
con ello Z = 0. El resultado confirma que el problema s tiene solucin factible y
procede la segunda fase.
Segunda fase.- La ltima tabla de la primera fase sirve para iniciar la primera tabla
simplex de la segunda fase, pero se eliminan las columnas de las variables artificiales

W2 y W3; tambin se eliminan los coeficientes del rengln Z y se sustituyen con los
coeficientes de la funcin objetivo original:

La primera tabla muestra el arreglo de coeficientes mencionado, pero se observa que las
variables bsicas H1, X1, X2, as ordenadas en la columna base, cumplen el requisito de
tener su vector columna unitario para formar la base I, pero no cumplen con el
coeficiente cero en el rengln Z para una bsica, porque se acaban de escribir los
coeficientes de la ecuacin original. Con el propsito de corregir el planteamiento
tabular de esta primera tabla se hacen las operaciones fila necesarias, las que se definen
segn las frmulas construidas a la izquierda de la segunda tabla de esta fase, resultando
un rengln Z' para conseguir el coeficiente cero en la variable X1 y un rengln Z'' para
conseguir el cero en la variable X2. Como este rengln Z'' muestra coeficientes
indicadores no negativos, el criterio de optimalidad para mximo que es el objetivo
original, ya no se puede aplicar para elegir variable entrante, los indicadores cero para
las variables de decisin X1 y X2, significan que tales variables ya no pueden aportar
ms al valor de Z. En consecuencia, sin necesidad de aplicar los criterios del simplex
en esta segunda fase, ya se tiene la solucin ptima en el punto extremo:

Este Ejemplo 2-5 ya conocido, con el Ejemplo 2-2 del simplex penal y tambin con el
Ejemplo 1-16 de mtodo grfico, se puede aprovechar para comprobar el potencial del
mtodo de dos fases, pues la tabla ptima de la segunda fase mostrando la solucin de
mximo, tambin sirve para el clculo de la solucin mnima. Los indicadores del
rengln Z slo tienen coeficientes cero y uno positivo (2), ste ltimo coeficiente
muestra que es candidata a entrar a la base, la variable no bsica S2 que se declara VE;
con el criterio de factibilidad resulta que debe salir de la base la variable X2, que se
define VS; con el coeficiente pivote 1 se procede al clculo de la solucin de la ltima
tabla que muestra la solucin ptima mnima para el mismo problema con el punto
extremo:

que coincide en el vrtice B (2, 0) de la analoga geomtrica de la Figura 1-45.

Ejemplo 2-6. Aplica mtodo Simplex Dos Fases, PL mnimo y mximo, 3 tipos de
restriccin (MINMAX2F).
Se presenta este nuevo ejemplo con el mtodo simplex de dos fases y la solucin
contenida en las tablas. Se deja como ejercicio al estudiante: construir las frmulas para
el clculo de los coeficientes de cada rengln de la tabla con el procedimiento de GaussJordan; la solucin que incluya la interpretacin geomtrica en un plano de las
restricciones e identificarlas, el conjunto de puntos factibles del sistema, las
coordenadas de los vrtices, sus caractersticas y la evaluacin de la funcin objetivo.

Figura 2-12. Tablas simplex de la 1 y 2 fase para mnimo del ejemplo

MINMAX2F.
En el rengln Z de la ltima tabla simplex de la segunda fase, ya no hay coeficientes
indicadores positivos para el objetivo de mnimo, por lo tanto la solucin ptima es:
Z mnimo = 9, X1 = 1, X2 = 3, H1 = 2, H4 = 8

Como ya se mencion, el mtodo simplex de dos fases se presta para la obtencin de los
objetivos mnimo y mximo ( esto debe tomarse slo en sentido terico con fines de
enseanza, pues para la mayora de los problemas reales, sera absurdo y conflictivo).
Con tal propsito, en la misma tabla ptima de solucin mnima, se aplican los criterios
para el cambio de base hacia una solucin mxima como se aprecia en la tabla de la
Figura 2-13:

Figura 2-13. Tabla simplex de la 2 fase para mximo del ejemplo MINMAX2F.
Ejemplo 2-7. Aplica mtodo Simplex Dos Fases, PL mnimo y mximo
(MAXMIN2F2).

Figura 2-14. Tabla simplex inicial para 1a fase del ejemplo MAXMIN2F2.

Para el lector que as lo prefiera, se presenta ahora la aplicacin del simplex dos fases
mostrando en tablas separadas el progreso del clculo. Como las variables W2 y W3 son
bsicas, es necesario calcularles el coeficiente de valor cero en el rengln Z con las
operaciones fila: RW2(1)+RZ; RW3(1)+RZ.

Figura 2-15. Tablas simplex de 1a fase del ejemplo MAXMIN2F2.

2 fase.- En la tabla ptima de primera fase se eliminan las columnas W2 y W3; el
rengln Z se sustituye con los coeficientes de la funcin objetivo original. La base
contiene a X1 y X2, pero sus coeficientes indicadores Z1-C1=-3 y Z2-C2=-2 en el nuevo
rengln Z deben calcularse para el valor cero.

Figura 2-16. Simplex inicial 2a fase, eliminar columna Wi sustituir coeficientes en

fila Z en ejemplo MAXMIN2F2.

Se procede con operaciones fila para conseguir que los coeficientes de X1 y X2 en el

rengln Z se anulen: Z'=RX1(3)+RZ; Z''= RX2(2)+ RZ'; resulta la tabla siguiente con el
coeficiente indicador negativo (-7) en S3 de Z. En 2 fase es aplicable el objetivo
original de mximo, por lo que S3 debe ir a la base (VE) para sustituir a H1 (VS), la
nica variable bsica que puede dejar su lugar.

Figura 2-17. Tablas Simplex 2a fase del ejemplo MAXMIN2F2.

Se aprovecha la oportunidad con la flexibilidad del simplex de dos fases, para
determinar tambin la solucin mnima del mismo problema.
Entonces con el objetivo de mnimo, se declara VE a la base, la variable no bsica H1 y
la bsica S3 sale, para dejarle ese lugar.

Figura 2-18. Tabla simplex ptima de 2 fase, para mnimo, ejemplo MAXMIN2F2.