Rotación Alrededor de Un Eje Móvil

ROTACIN ALREDEDOR DE UN EJE MVIL
1. EL GIROSCOPIO
El girscopo o giroscopio es un dispositivo mecnico formado esencialmente
por un cuerpo con simetra de rotacin que gira alrededor de su eje de
simetra. Cuando se somete el girscopo a un momento de fuerza que tiende a
cambiar la orientacin del eje de rotacin su comportamiento es
aparentemente paradjico ya que el eje de rotacin, en lugar de cambiar de
direccin como lo hara un cuerpo que no girase, cambia de orientacin en una
direccin perpendicular a la direccin intuitiva.
El efecto giroscpico
Cuando se empuja el lado derecho hacia abajo, este, en lugar de bajar, se

mueve hacia el observador.
Cuando se da un golpecito en la extremidad de la barra horizontal se

comunica a las masas una velocidad horizontal perpendicular a sus
velocidades tangenciales.
Vista desde arriba del dibujo de izquierda. Las velocidades de la masa de
arriba estn dibujadas en trazos continuos y las de la masa de abajo en
punteado
En un girscopo no se trata de dos masas puntuales sino de masas distribuidas

sobre todo el disco o el cilindro, pero eso no cambia el fondo de la explicacin.
Y cuando, en lugar de darle un impulso a un girscopo, se le aplica un
momento, se puede considerar este momento como una sucesin de cortos

impulsos. Cada una de ellos aade a las masas una nfima velocidad
perpendicular a sus velocidades. Eso hace que la velocidad cambie de direccin
sin cambiar de mdulo
Movimientos del girscopo
De acuerdo con la mecnica del slido rgido, adems de la rotacin alrededor

de su eje de simetra, un girscopo presenta en general dos movimientos
principales: la precesin y la nutacin. Este hecho se deduce directamente de
las ecuaciones de Euler.
Para entender cuantitativamente el movimiento de un girscopo, podemos
utilizar la segunda ley de Newton para la rotacin.
dL=T neto dt
Junto con las relaciones
T neto=r Mg
Y
L=I S s
Donde
es el momento de inercia y
respecto a su eje de spin.
es la velocidad angular de la rueda
En un giroscopio debemos tener en cuenta que el cambio en el momento

angular de la rueda debe darse en la direccin del momento de la fuerza que
acta sobre la rueda.
La velocidad angular de precesin puede calcularse de la siguiente manera:
En un pequeo intervalo de tiempo
momento angular tiene modulo
dt , el cambio experimentado por el
dL :
dL=rdt=MgDdt
En donde
ngulo
d=
MgD
es el modulo del momento respecto al punto donde pivota. El
barrido por el eje en su movimiento es:

dL
dt
=MgD
L
L
Y por lo tanto la velocidad angular de precesin es:

P=
d MgD MgD
=
=
dt
L
I S s
2. EL MOVIMIENTO DEL TROMPO:
Si el eje de rotacin del trompo, z , forma un cierto ngulo con la vertical,

como ocurre generalmente, dicho eje se mueve en el espacio generando una
Z . Este
superficie cnica de revolucin en torno al eje vertical fijo
movimiento del eje de rotacin recibe el nombre de precesin de la peonza y el
eje Z es el eje de precesin.
Generalmente, el ngulo
vara peridicamente durante el movimiento de
precesin de la peonza, de modo que el eje de rotacin oscila acercndose y

alejndose del eje de precesin (decimos que el trompo cabecea); a este
movimiento se le llama nutacin y al ngulo se le llama ngulo de
nutacin.
Se utilizara dos referenciales para describir el movimiento del trompo. Uno de
ellos es el referencial fijo XYZ , con origen en el punto O (estacionario) del eje
de rotacin del trompo. El otro referencial es el referencial mvil xyz , cuyo
origen es tambin el punto O (estacionario). Coincidir el eje z con el eje de
rotacin del trompo; el eje x lo elegimos de modo que permanezca siempre
horizontal, contenido en el plano XY . El ngulo

que forma en cada
instante el eje x con el eje X recibe el nombre de ngulo de precesin. En
consecuencia, el eje y estar siempre contenido en el plano definido por los
ejes
referencial
Z,
formando un ngulo
con el plano XY. Obsrvese que el
xyz no es solidario con el trompo y no es arrastrado por la rotacin
de ste, sino que presenta una rotacin con respecto al referencial fijo
XYZ
con una cierta velocidad angular llamada velocidad angular de precesin.

Como al aplicar la ecuacin del movimiento de rotacin del slido rgido,
M=d L/d t , tanto el momento externo ( M ) como el momento angular (L)
deben estar referidos a un mismo punto fijo en un referencial inercial (o al CM
del cuerpo), tomaremos el punto O como origen o centro de reduccin.
Movimiento de precesin
Puesto que el trompo est girando, con una velocidad angular intrnseca ,
alrededor del eje principal de inercia z , su momento angular ser paralelo a
la velocidad angular (o sea, ser paralelo al eje z ), y viene dado por:
L=I zz
Por otra parte, el momento externo que acta sobre el trompo se debe al peso
m g que acta en el centro de gravedad G y es igual al producto vectorial:
M =OG mg
De modo que el momento externo
resulta ser perpendicular al eje de
rotacin. El mdulo del momento aplicado es:

M =mgh sin
Siendo
h=OG
la distancia entre el punto estacionario del trompo (el extremo

de su pa) y el centro de gravedad del mismo. La direccin de M es la del
eje x .
Como el momento externo aplicado al trompo no es nulo, el momento angular
no permanecer constante. Durante un intervalo de tiempo infinitesimal d t
el cambio infinitesimal experimentado por el momento angular vale
dL=Mdt
De modo que el cambio
dL
en el momento angular tiene siempre la misma

direccin que el momento aplicado M (del mismo modo que el cambio en la
cantidad de movimiento tiene siempre la misma direccin que la fuerza). Como
el momento M es perpendicular al momento angular L , el cambio d L
en el momento angular tambin es perpendicular a L .
Por consiguiente, el vector momento angular cambia de direccin, pero su
mdulo permanece constante. Naturalmente, puesto que el momento angular
tiene siempre la direccin del eje de rotacin ste cambiar tambin su
orientacin en el espacio en el transcurso del tiempo.
El extremo del momento angular L describe una circunferencia, de radio,
Lsin alrededor del eje fijo Z y en un tiempo d t dicho radio experimenta
un desplazamiento angular d . La velocidad angular de precesin se
define como la velocidad angular con la que gira el eje
Z . Esto es
=
en torno al eje fijo
d
dt
Y est representado por un vector situado sobre eje
Z.
Puesto que L es un vector de mdulo constante que precesa alrededor del

eje Z con una velocidad angular , podemos escribirlo de la siguiente
manera:
M=
dL
=
dt
Obtenindose para el mdulo del momento

M =L sin
Expresin de la que se despejara
para tener:
M
mgh mgh
=
=
Lsin
L
I zz
Donde se ha sustituido las primeras dos expresiones para el momento angular

y el momento, respectivamente. La velocidad angular de precesin, ,
resulta ser inversamente proporcional al momento angular
( L)
o a la
velocidad angular intrnseca ( ), de modo que si ste o sta es grande,

aqulla ser pequea.
3. EL MOVIMIENTO DE PRECESIN LA TIERRA:
ngulo de Precesin.
El movimiento de precesin de los equinoccios, es debido al movimiento de
precesin de la Tierra causado por el momento de fuerza ejercido por el
sistema Tierra-Sol en funcin de la inclinacin del eje de rotacin terrestre con
respecto al Sol (alrededor de 23,43).
La inclinacin del eje terrestre vara con una frecuencia incierta, ya que
depende (entre otras causas) de los movimientos telricos. En febrero del
2010, se registr una variacin del eje terrestre de 8 centmetros
aproximadamente, por causa del terremoto de 8,8 Richter que afect a Chile.
En tanto que el maremoto y consecuente tsunami que azot al sudeste asitico
en el ao 2004, desplaz 17,8 centmetros al eje terrestre.
Debido a lo anterior, la duracin de una vuelta completa de precesin nunca es

exacta; no obstante, los cientficos la han estimado en un rango aproximado de
entre 25 700 y 25 900 aos. A este ciclo se le denomina ao platnico.
La nutacin de la Tierra es la oscilacin peridica del polo alrededor de su
posicin media en la esfera celeste, debido a las fuerzas externas de atraccin
gravitatoria entre la Luna y el Sol con la Tierra. Esta oscilacin es similar al
movimiento de una peonza (trompo) cuando pierde fuerza y est a punto de
caerse.
La Tierra se desplaza unos nueve segundos de arco cada 18,6 aos, lo que
supone que en una vuelta completa de precesin, la Tierra habr realizado
1385 bucles.
BIBLIOGRAFIA
http://almez.pntic.mec.es/~jmac0005/ESO_Geo/TIERRA
es.wikipedia.org/wiki/Girscopo

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ROTACIN ALREDEDOR DE UN EJE MVIL

Cuando se empuja el lado derecho hacia abajo, este, en lugar de bajar, se

Cuando se da un golpecito en la extremidad de la barra horizontal se

En un girscopo no se trata de dos masas puntuales sino de masas distribuidas

momento, se puede considerar este momento como una sucesin de cortos

De acuerdo con la mecnica del slido rgido, adems de la rotacin alrededor

respecto a su eje de spin.

es la velocidad angular de la rueda

En un giroscopio debemos tener en cuenta que el cambio en el momento

dt , el cambio experimentado por el

es el modulo del momento respecto al punto donde pivota. El

barrido por el eje en su movimiento es:

Y por lo tanto la velocidad angular de precesin es:

2. EL MOVIMIENTO DEL TROMPO:

Si el eje de rotacin del trompo, z , forma un cierto ngulo con la vertical,

vara peridicamente durante el movimiento de

precesin de la peonza, de modo que el eje de rotacin oscila acercndose y

horizontal, contenido en el plano XY . El ngulo

con el plano XY. Obsrvese que el

xyz no es solidario con el trompo y no es arrastrado por la rotacin

con una cierta velocidad angular llamada velocidad angular de precesin.

resulta ser perpendicular al eje de

rotacin. El mdulo del momento aplicado es:

la distancia entre el punto estacionario del trompo (el extremo

en el momento angular tiene siempre la misma

en torno al eje fijo

Y est representado por un vector situado sobre eje

Puesto que L es un vector de mdulo constante que precesa alrededor del

Obtenindose para el mdulo del momento

Expresin de la que se despejara

Donde se ha sustituido las primeras dos expresiones para el momento angular

velocidad angular intrnseca ( ), de modo que si ste o sta es grande,

3. EL MOVIMIENTO DE PRECESIN LA TIERRA:

Debido a lo anterior, la duracin de una vuelta completa de precesin nunca es

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