Dinámica Unidad 7.1 Cinética de Cuerpos Rígidos

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
EDUCACIÓN A DISTANCIA
DINÁMICA
DIN115
UNIDAD 7
CINÉTICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN
EL PLANO. IMPULSO Y CANTIDAD
DE MOVIMIENTO.
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
EDUCACIÓN A DISTANCIA
DINÁMICA
DIN115
CINÉTICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN EL PLANO.

IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
- Principio del Impulso y la Cantidad de
Movimiento
- Sistemas de Cuerpos Rígidos
- Conservación de la Cantidad de Movimiento
Cinética de Cuerpos Rígidos
El método del Impulso y la Cantidad de Movimiento, se utilizará en aquellos
problemas en los que se involucre el tiempo y las velocidades. Recordamos
que el impulso se ha definido como la acción de una fuerza actuando durante
un intervalo de tiempo, lo que ocasiona variaciones en la cantidad de
movimiento o Momentum del cuerpo durante se aplique el impulso.
(𝑣𝑖 ∆𝑚𝑖 )1 𝑣𝑖∆𝑚𝑖 2
𝐹𝑑𝑡
𝑃𝑖
𝑃𝑖 𝑃𝑖
𝑆𝑖𝑠𝑡. 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 1 + 𝑆𝑖𝑠𝑡. 𝑑𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 1 → 2 = 𝑆𝑖𝑠𝑡. 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 2

La cantidad de movimiento total que actúa sobre el cuerpo rígido, puede
reducirse a un vector (𝑚𝒗) que actúa en el centro de masa del cuerpo, y que
representará la cantidad de movimiento lineal total, y un par (𝐼𝝎) que
representará el momento total de las cantidades de movimiento de las
diferentes partículas que conforman el cuerpo, alrededor de su centro de
masa 𝐺.
𝒗𝑖∆𝑚𝑖 𝑳 = 𝑚𝒗
𝑃𝑖
𝐺
𝒓𝒊 ° 𝐺 °
𝐼𝝎
𝑳 = 𝛴(𝑣𝑖 ∆𝑚𝑖 ) = 𝑚𝒗
𝑯𝐺 = Σ 𝒓𝑖 × 𝒗𝑖∆𝑚𝑖 = 𝐼𝝎
Al resolver un problema por el método del Impulso y Cantidad de Movimiento,
se dibujarán los diagramas del Sistema de Momenta inicial , el sistema de
Impulso de las fuerzas externas al cuerpo y el Sistema de Momenta final.
Nota:
“Sistema de Momenta” es igual a “Sistema de la Cantidad de Movimiento
total”, es decir, la cantidad de movimiento lineal o Momentum lineal, más la
cantidad de movimiento angular o Momentum angular.
𝑚𝑣 2
𝑚𝑣 1 𝐹𝑑𝑡
𝐼𝜔2
𝐼𝜔1 ° ° 𝐺°
𝐺 𝐺
Se tendrán tres ecuaciones: sumando en x y en y, y una de momentos en un

punto.
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
SISTEMAS DE CUERPOS RÍGIDOS
En algunas situaciones y dependiendo de cómo estén articulados los cuerpos
que forman el sistema, así como del tipo de movimiento que posea cada uno
de los mismos, será conveniente trabajar el sistema como un todo, entonces se
considerarán las fuerzas externas al sistema al momento de calcular el sistema
de impulso. Además el sistema de Cantidad de Movimiento debe representar el
Momentum de cada cuerpo por separado.
Movimiento de traslación: 𝐿 = 𝑚𝑣 𝑀𝑂𝑀𝐸𝑁𝑇𝑈𝑀 𝐿𝐼𝑁𝐸𝐴𝐿
Movimiento de rotación centroidal: 𝐻𝐺 = 𝐼𝜔 𝑀𝑂𝑀𝐸𝑁𝑇𝑈𝑀 𝐴𝑁𝐺𝑈𝐿𝐴𝑅
Movimiento General en el Plano: 𝑚𝑣 + 𝐼𝜔 𝑆𝐼𝑆𝑇𝐸𝑀𝐴 𝐷𝐸 𝑀𝑂𝑀𝐸𝑁𝑇𝐴
Los impulsos generados por las reacciones en las conexiones, por ser éstas
fuerzas de acción y reacción se cancelan.
CONSERVACIÓN DEL MOMENTUM ANGULAR
Si sobre el cuerpo rígido, o sistema de cuerpos rígidos no hay fuerzas externas que
produzcan un impulso durante un intervalo de tiempo, se dice que se conserva la
cantidad de movimiento total del sistema:
𝑚𝑣 1 = 𝑚𝑣 2 Conservación del Momentum lineal
𝐼𝜔1 = 𝐼𝜔2 Conservación del Momentum Angular
En algunas situaciones, las líneas de acción de las fuerzas externas pasan por
un único punto P, en tales casos se conserva la cantidad de movimiento
angular con respecto al punto P, aunque no se conservará la cantidad de
movimiento lineal del sistema.
Estos problemas siempre será posible resolverlos aplicando el Principio del

Impulso y Cantidad de Movimiento, dibujando los diagramas tal como se ha
descrito en las láminas anteriores.
El sistema mostrado está en reposo
cuando se aplica un par 𝑀 = 6𝑁 ∙ 𝑚 al
engranaje B.
Sin tomar en cuenta la fricción,
determinar a) el tiempo requerido para
que el engrane B alcance una velocidad
de 600 rpm, y b) la fuerza tangencial
ejercida por el engrane B sobre el engrane
mA  10 kg k A  200 mm A.
mB  3 kg k B  80 mm
Puesto que debemos conocer la fuerza tangencial entre ambos engranes,

separaremos el sistema y aplicaremos impulso y cantidad de movimiento para cada
engrane para luego relacionar el movimiento entre ambos
Para cada engranaje, 𝐼 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 = 𝑚𝑘2

Análisis cinemático:
B 
600 rpm2 rad rev  62.8 rad s
60 s min
r 0.100
 A   B B  62.8  25.1 rad s
rA 0.250
Cálculo de los momentos de inercia:
I A  m Ak A2  10kg 0.200m 2  0.400 kg  m 2

I B  mB k B2  3kg 0.080m 2  0.0192 kg  m 2
Considerando por separado cada engranaje y aplicando Impulso y Cantidad de
Movimiento por separado: ENGRANAJE A.
Momentos alrededor de A
0  FtrA   I A  A 2
Ft 0.250 m   0.400 kg  m 25.1rad s 
Ft  40.2 N  s
ENGRANAJE B
Momentos alrededor de B:
0  Mt  FtrB  I B  B 2
6 N  m t  Ft 0.100 m 
 0.0192 kg  m 2 62.8 rad s 
Resolviendo ambas ecuaciones para el 𝑡 = 0.871 𝑠 𝐹 = 46.2 𝑁

tiempo y la fuerza tangencial:
CONSERVACIÓN DEL MOMENTUM ANGULAR
La plataforma circular A está acoplada con un

aro de 200 mm de radio interior y puede girar
libremente alrededor del eje vertical. Se sabe
que la unidad de aro y plataforma tiene una
masa de 5 Kg y un radio de giro de 175 mm
con respecto al eje. En el momento que gira la
plataforma con una velocidad de 50 rpm, un
disco B de 3 Kg con radio de 80 mm se coloca
sobre la plataforma sin velocidad. Si se sabe
que entonces el disco B se desliza hasta que
queda en reposo, en relación con la
plataforma, recargado en el aro, determine la
velocidad angular final de la plataforma.
Si se considera el sistema completo, no hay fuerzas externas actuando sobre el
mismo, ya que son fuerzas de acción y reacción y sus impulsos se cancelan.
Se conserva la cantidad de movimiento angular con respecto al eje de rotación.
Inicialmente sólo la plataforma gira, luego se coloca el disco sobre la

plataforma y comenzará a deslizar hasta que alcanzará el reposo con respecto
a la plataforma: 𝐼𝜔𝐴2
𝐼𝜔𝐴1
𝑚𝐵 𝑣 𝐵
𝐴 𝐴
𝐼 𝐵𝜔
𝐵
𝐻𝑜1 = 𝐻𝑜2 Conservación del Momentum angular, con respecto al eje o

El disco B al alcanzar el reposo con respecto a la plataforma, viajará con su
misma velocidad angular: 𝜔𝐴2 = 𝜔𝐵2 = 𝜔2
La velocidad del centro de masa del disco B se calcula con la ecuación de
una rotación no centroidal, donde el radio 𝑟 será la distancia desde el
centro de la plataforma hasta el centro del radio del disco:
𝑟 = 120𝑚𝑚
𝑟 = 200 − 80 = 120𝑚𝑚
Entonces: 𝑣 𝐵 = 𝑟𝜔2
°
Conservación del Momentum angular:
𝐼 𝐴𝜔𝐴1 = 𝐼 𝐴𝜔2 + 𝐼 𝐵𝜔2 + 𝑚𝐵 𝑣 𝐵(𝑟)
1
𝑚𝐴𝑘𝐴2 50𝑟𝑝𝑚 = 𝑚𝐴 𝑘𝐴2𝜔2 + 𝑚𝐵𝑟𝐵2 𝜔2 + 𝑚𝐵 (𝑟𝜔2)(𝑟)
2
𝜔2 = 37.2 𝑟𝑝𝑚
“ Si buscas resultados
distintos no hagas
siempre lo mismo”
Albert Einstein
1879 - 1955
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CINÉTICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN EL PLANO.

𝑆𝑖𝑠𝑡. 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 1 + 𝑆𝑖𝑠𝑡. 𝑑𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 1 → 2 = 𝑆𝑖𝑠𝑡. 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 2

Se tendrán tres ecuaciones: sumando en x y en y, y una de momentos en un

Movimiento de traslación: 𝐿 = 𝑚𝑣 𝑀𝑂𝑀𝐸𝑁𝑇𝑈𝑀 𝐿𝐼𝑁𝐸𝐴𝐿

Movimiento de rotación centroidal: 𝐻𝐺 = 𝐼𝜔 𝑀𝑂𝑀𝐸𝑁𝑇𝑈𝑀 𝐴𝑁𝐺𝑈𝐿𝐴𝑅

Movimiento General en el Plano: 𝑚𝑣 + 𝐼𝜔 𝑆𝐼𝑆𝑇𝐸𝑀𝐴 𝐷𝐸 𝑀𝑂𝑀𝐸𝑁𝑇𝐴

𝑚𝑣 1 = 𝑚𝑣 2 Conservación del Momentum lineal

𝐼𝜔1 = 𝐼𝜔2 Conservación del Momentum Angular

Estos problemas siempre será posible resolverlos aplicando el Principio del

Puesto que debemos conocer la fuerza tangencial entre ambos engranes,

Para cada engranaje, 𝐼 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 = 𝑚𝑘2

Cálculo de los momentos de inercia:

I A  m Ak A2  10kg 0.200m 2  0.400 kg  m 2

Resolviendo ambas ecuaciones para el 𝑡 = 0.871 𝑠 𝐹 = 46.2 𝑁

La plataforma circular A está acoplada con un

Inicialmente sólo la plataforma gira, luego se coloca el disco sobre la

𝐻𝑜1 = 𝐻𝑜2 Conservación del Momentum angular, con respecto al eje o

𝐼 𝐴𝜔𝐴1 = 𝐼 𝐴𝜔2 + 𝐼 𝐵𝜔2 + 𝑚𝐵 𝑣 𝐵(𝑟)

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