Matrmaticas Financueras
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Matemticas Financieras
PUJ
Edicin:
Por definir
Diseo de portada: Andrs H. Meja V.
Matemticas Financieras
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Tabla de contenido
1.
1.2.
Componente inflacionario..............................................................................14
Componente de riesgo ..................................................................................16
1.3.
Ejercicios ................................................................................................50
3.2.
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4.2.
4.3.
6.
Glosario .........................................................................................................92
7.
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1. El concepto de inversin
El diccionario define inversin como "Un sacrificio de recursos hoy, con la
esperanza de recibir un beneficio en el futuro".
Al examinar detenidamente este concepto se puede encontrar que una inversin
es un "sacrificio" porque que la mayora de los seres humanos prefirieren
consumir en el presente a hacerlo en el futuro, cuando una persona invierte, deja
de consumir para entregar su dinero a otro, esperando que se le recompense
por su sacrificio. Para ilustrar este concepto recurriremos a un ejercicio que
solemos usar en nuestras clases:
Ejemplo 1.1
Imagine que Usted no tiene vehculo, pero que hoy dispone de suficiente dinero
para comprar de contado un vehculo Sprint ltimo modelo (2005), y alguien le
propone que le preste ese dinero y que a cambio le entregar en el ao
siguiente (2006), el mismo Sprint modelo 2006. Aceptara usted ese negocio?.
Su respuesta seguramente ser un rotundo NO, Usted no esta dispuesto a
postergar la compra de su automvil por un ao a cambio de recibir el mismo
carro. Pero si la persona que le propuso el negocio, le ofrece un Corsa,
seguramente Usted pensara en que se puede sacrificar un ao, a cambio de
recibir un carro de una gama superior, pero para aquellos que siguen pensando
que el negocio no les es favorable, qu opinaran si a cambio les ofrecen un
Epica?. Seguramente habr personas que acepten la opcin del Corsa, porque
creen que es un buen retorno de su sacrificio y otras que no quieran aceptar la
opcin del Epica1.
Para quienes no estn familiarizados con el tema, el Sprint es la gama ms baja de la marca
Chevrolet, el Corsa es un vehculo de gama media y el Epica es el vehculo de gama alta de la
marca en Colombia.
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A menudo decimos en nuestras clases que sumar dos millones de hoy con tres millones
entregados en un ao, sera semejante a sumar 2 peras con 3 gatos!!!
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Tabla 1.
Trminos usados en la matemtica
financiera
Nombre Comn
Inversin
Ingresos / Beneficio
Rentabilidad
Utilidad
Matemtica financiera
Valor Actual (VA)
Valor Presente (VP)
Valor Futuro (VF)
Tasa de inters (i)
Intereses (I)
Ahora debemos encontrar un valor de intereses que haga que la persona decida
sacrificarse e invierta en lugar de consumir. En general, ms que un valor
absoluto del monto de los intereses, buscamos una tasa de rentabilidad a la cual
el inversionista decida invertir. A esta tasa se le llama Tasa de Descuento, Tasa
de Oportunidad o Tasa de Retorno Mnima Aceptable. Observe que esta tasa es
de absoluta importancia, pues es una tasa de inflexin de la decisin: por debajo
de esta preferir consumir antes que ahorrar, y por encima decidir invertir.
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Ejemplo 1.2
Suponga que Ud. ha venido guardando dinero debajo de su colchn, para
comprar una agenda electrnica, que, aunque no es indispensable, le gustara
tener. Ya tiene un milln de pesos ahorrados. Yo le he pedido prestado ese
dinero por un ao y Ud. ha pensado que no sera una mala idea, pues le he
ofrecido un respaldo que hace virtualmente imposible que se pierda el dinero o
se demore siquiera un da mas del plazo fijado.
Ahora estamos negociando el valor que yo le debo entregar el prximo ao.
Observe que Usted tiene dos opciones, compra su agenda electrnica o me
presta el dinero a mi. Cunto sera lo mnimo que me cobrara dentro de un
ao?. Piense en un valor que haga que Ud. se sacrifique por un ao al no
comprar el aparato. cunto sera?
$_____________. Realmente me parece que la suma que Ud. acaba de
poner es demasiado alta!!!, por favor, piense en la mnima suma que Usted me
cobrara por ese prstamo $_____________. Bueno, le ofrezco un peso menos
de lo que Usted acaba de escribir. Acepta este negocio? Si , No .
Si la respuesta fue si, por favor piense por ltima vez cul sera la mnima cifra
que estara dispuesto a recibir $_____________.
ACABA USTED DE HALLAR SU TASA DE DESCUENTO. Por favor permtanos
explicarle
Observe que trabajar con valores es engorroso, si nosotros cambiramos la cifra
de un milln, por cincuenta millones, Usted debera cambiar ese valor y volver a
realizar el ejercicio por eso, siempre se trabaja con tasas de inters.
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Calculemos entonces la tasa de inters que Usted decidi que era su tasa de
descuento:
VF
1
VA
(1)
I = VF-VA
(3)
i =
i=
I
VA
(2)
Suponiendo que Ud. dijo que lo mnimo que esperaba en un ao era $1.150.000,
tendramos:
i =
1.150.000
1 = 0,15
1.000.000
15%
150.000
= 0,15
1.000.000
15%
Ahora por favor Ud. haga lo propio con los valores que eligi:
i =
1.000.000
1 = ______
______%
1.000.000
= ______
________%
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NO
INVIERTE
si
er
v
n
i
la
de
d
a
ilid
tab
n
Re
SI INVIERTE
Tasa de
descuento
Piense un momento detenidamente por favor el significado de la frase:
Observe que esta tasa es la que hace equivalente el consumo de
hoy a un consumo superior dentro de un periodo de tiempo. Si se le
ofrece a este inversionista una tasa menor, decidir consumir ahora,
si por el contrario, la tasa es mayor, la persona optar por invertir .
(4)
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formal, cmo se forman las tasas de inters: Segn Fisher (1930), la tasa de
inters es el resultado de la unin de varios componentes, en principio, Fisher
propuso que estos componentes eran la inflacin y el inters real. Mas tarde se
incluy el riesgo como un tercer componente adicional. Es decir:
Ic = (1+if) x (1+ir) x (1+i) 1
(5)
12
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Componente inflacionario
La inflacin es la Medicin del crecimiento del nivel general de precios de la
economa. La inflacin es calculada mensualmente por el DANE sobre los
precios de una canasta bsica de bienes y servicios de consumo para familias
de ingresos medios y bajos (Canasta Familiar). En Colombia se utiliza el IPC
(Indice de Precios al Consumidor) para su clculo. Esta medida se basa en la
medicin de la canasta familiar en diferentes ciudades. Esta canasta familiar
esta compuesta por diferentes grupos de gasto como alimentacin, vestuario,
e.t.c. y para cada uno de los estratos socio-econmicos.
El sistema financiero colombiano vivi una de las ms agudas crisis de su
historia a causa del UPAC, un sistema creado en 1972 para incentivar la oferta
de crditos de vivienda de largo plazo, que en ltimas lo que buscaba era blindar
las inversiones contra las variaciones de la inflacin, que en Colombia
histricamente ha sido siempre bastante voltil.
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35
30
25
20
15
10
Variacin IPC
5
0
1955
1965
1975
Promedio
1985
1995
AO
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
Variacin del
Variacin del
UPAC*
IPC**
23,3%
22,60%
24,3%
22,59%
20,1%
19,46%
18,8%
21,63%
20,2%
17,68%
27,1%
16,70%
24,7%
9,23%
Diferencia
0,74%
1,66%
0,68%
-2,79%
2,52%
10,39%
15,47%
15
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1994
1995
1996
1997
1998
1999
Componente de riesgo
Existen diferentes metodologas para la medicin del riesgo de una inversin,
una de ellas consiste en medir los diferentes niveles de riesgo y combinarlos
aplicables a una inversin, estos diferentes son:
a) riesgo pas: que mide los riesgos de una economa para los inversionistas
extranjeros el cual puede ser obtenido por medio de los Spreads o metodologas
como la ICRG (International Country Risk Guide), b) riesgo sector: que mide el
riesgo asociado propio de la actividad econmica desarrolla y c) . Este puede ser
obtenido por varias vas: Usando los Spreads o Clculos usados por compaas
calificadoras de riesgo como Standard and Poors, Moodys o Fitch Ratings.
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Ejemplo 1.3
Cuando estaba en el colegio, tena un amigo al que su Pap le daba un dinero
para que comiese algo. Resulta que por lo general le sobraba alguna pequea
cantidad, y nosotros sus compaeros, que sabamos de esta situacin, le
pedamos siempre que les prestara pero nunca me pagaban. Aburrido, mi
amigo decidi que en lugar de perder el dinero, iba a hacer un negocio con ste.
Entonces, un da, cuando alguien le pidi prestado $100 le dijo que s, pero que
al da siguiente le debera pagar $110. el 10% diario!!! era lo que cobraba mi
amigo. Estar Usted escandalizado por esta tasa tan alta. Pero en honor a la
verdad, mi amigo deba cobrar esa tasa tan alta, porque la moneda de ms
pequea denominacin en ese entonces era de $10. Si nos hubiese cobrado
menos, no hubisemos podido pagarle!!!.
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1.000.000
Fin del periodo
0
Ingresos
n
Tiempo
(1.000.000)
Egresos
i%=10% Diario
0
1.000
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Observe que los mil pesos fueron una entrada para m, por eso aparece
representado por una flecha hacia arriba en el periodo cero, y los mil doscientos
son un egreso en el segundo periodo.
La representacin del problema para mi compaero sera:
1.210
i%=10% Diario
0
1.000
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intereses del primer da, yo ocasion que l no pudiera prestar ese dinero a otra
persona y por lo tanto haba perdido el valor de los intereses que le hubiesen
generado los cien pesos, es decir haba perdido diez pesos ($100*10%) .
Entonces quin deba asumir esta prdida?. Seguramente los 10 pesos deban
ser asumidos por m, que era quien tena y estaba usando el dinero durante ese
perodo de tiempo. Observe que quien tiene el dinero es quien debe pagar por
este, y por lo tanto, el sistema conceptualmente correcto desde el punto de vista
financiero es el Inters Compuesto.
Matemticamente el inters compuesto completa nuestra frmula (4) al elevar la
fraccin (1 + i) al nmero de perodos de la inversin.
VF = VA * (1 + i)n
(6)
Tabla 2.
Trminos usados en la matemtica
financiera - Completa
Nombre Comn
Matemtica financiera
Valor Actual (VA)
Inversin
Valor Presente (VP)
Ingresos / Beneficio Valor Futuro (VF)
Rentabilidad
Tasa de inters (i)
Utilidad
Intereses (I)
Nmero de perodos (n) o (Nper)
Cuotas o pagos
Cuotas o pagos
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Aqu aparece un nuevo trmino llamado cuota o pago. Que aparece cuando en
lugar de recibir una sola suma al final de la inversin (VF), se le entregan una
serie de pagos en los periodos intermedios. Estas cuotas pueden ser cuotas
uniformes en donde se le entrega exactamente en mismo monto durante todos
y cada uno de los periodos, o cuotas no uniformes en el caso en el que los
montos entregados difieran en algn periodo. Adicionalmente vale la pena
mencionar que cuando existe ms de un perodo las frmulas (1) y (2) no se
pueden usar.
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2. Factores de conversin
La frmula (6) nos permite calcular cuanto va a recibir un inversionista en el
futuro, o en otras palabras calcular el beneficio del que hablamos en la
definicin de Inversin. Observe que esta frmula tiene 4 factores, Valor Actual,
Valor Futuro, tasa de inters y nmero de perodos. En este captulo
observaremos cmo se pueden calcular cada uno de estos, siempre y cuando
tengamos la informacin de otros tres de ellos y que por lo menos uno de ellos
sea o la tasa de inters o el nmero de perodos.
Suma Futura: Se puede calcular a partir de una suma presente, a partir de una
serie de cuotas uniformes o a partir de una serie de cuotas no uniformes.
Tambin se puede trabajar con tasas de inters iguales para todos los periodos
o con tasas de inters diferentes en cada uno de estos.
Suma presente: Se puede calcular a parir de una suma futura, una serie de
cuotas uniformes o a partir de una serie de cuotas no uniformes. Tambin se
puede trabajar con tasas de inters iguales para todos los periodos o con tasas
de inters diferentes en cada uno de estos.
Serie de cuotas uniformes -> Suma presente
Suma presente -> Serie de cuotas uniformes
Suma Futura -> Serie de cuotas uniformes
Serie de cuotas uniforme -> Suma Futura
Clculo de la tasa de inters
Clculo del nmero de Perodos
El clculo de estos factores se mostrar de dos maneras: En primera instancia
realizaremos el planteamiento matemtico y en segundo lugar se resolver el
ejercicio usando como Herramienta Microsoft Excel, que es una de las
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Matemticas Financieras
PUJ
Pagos
uniformes
Perodos
iguales
Tasa
constante
Tabla 3.
Opciones para el calculo del Valor Futuro
N.A.
SI
SI
VA * (1 + i ) n
N.A.
SI
NO
VA * [(1 + i1 ) * (1 + i2 ) * ..... * (1 + in )]
Una cuota
uniforme
SI
SI
SI
PAGO *
Una cuota
NO uniforme
NO
SI
SI
Clculo de
VF a partir
de:
Una suma
presente
Una suma
presente
Una cuota
NO uniforme
NO
SI
NO
Frmula
Funcin en
Excel
VF
(1 + i ) n 1
23
VF.PLAN
VF
No existe
No existe
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(6)
Ejemplo 2.1
Cunto recibir Luisa Fernanda en 12 meses, si ha invertido $1.000.000 a una
tasa del 2% mensual?.
El diagrama de flujo de caja del problema es:
VF=?
i = 2%
12
$1.000.000
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25
Matemticas Financieras
PUJ
Sintaxis de la frmula
26
Matemticas Financieras
PUJ
VF = VA * [(1 + i 1 ) * (1 + i 2 ) * ..... * (1 + i n )]
(7)
Ejemplo 2.2
Pedro Pablo es un inversionista que quiere colocar hoy una tasa de $1.000.000
a cinco aos. Ha estado haciendo averiguaciones y ha concluido que la tasa de
inters que
27
Matemticas Financieras
PUJ
VF=?
10%
9%
8%
7%
6%
1.000.000
El planteamiento matemtico del problema es:
28
Matemticas Financieras
PUJ
Ahora podemos solucionar el problema usando VF.PLAN, esta funcin solo tiene
dos argumentos: Capital y Serie de tasas, en el primero incluiremos el monto
invertido y en el segundo seleccionaremos el rango de tasas futuras. Observe
que no es necesario incluir los periodos pues Excel lo calcula a partir del nmero
de tasas incluidas. Ntese adems que esta funcin no cambia de signo como lo
haca VA.
29
Matemticas Financieras
PUJ
VF = PAGO *
(8)
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Ejemplo 2.3
Carlos Humberto es un padre de familia quiere empezar a ahorrar a partir del
prximo mes y durante 6 meses $50.000 para las vacaciones de final de ao,
en el fondo de ahorro de su compaa le han dicho que le pagarn un inters
del 2%.
De cunto dispondr para sus vacaciones ?
El diagrama de flujo de caja del problema es:
VF=?
50.000
El planteamiento matemtico del problema es:
(1 + 0,02) 6 1
VF = 50.000 *
0,02
VF = 315.406,05
31
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PUJ
Observe que el flujo que diseamos supone que se empieza a ahorrar no hoy,
sino dentro de un mes, adicionalmente la persona tendr que pagar la ltima
cuota justo antes de que se empiece el viaje. Qu pasara si en lugar de
comenzar al final del primer mes, el seor pagase la primera cuota hoy mismo?.
La ltima cuota se pagara un mes antes de viajar, de lo contrario terminara
pagando 7 cuotas en lugar de 6. La entidad podra entregar el dinero entonces
en el periodo 5 como se muestra en el grfico:
VF=?
50.000
Para la solucin de este nuevo problema se puede usar el argumento tipo,
dndole valor 1, que significa anticipado.
32
Matemticas Financieras
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Otra opcin del mismo problema 2.3, es que la persona ahorre durante los
periodos 0 al 5 (como en el caso anterior), pero que el fondo de ahorro solo
entregue el dinero en el periodo 6, como se observa en el diagrama:
VF=?
50.000
Este planteamiento no se puede solucionar usando una sola funcin o frmula,
por lo que la solucin se deber dividir en dos pasos. En primer lugar
calcularemos el VF de una serie de pagos anticipados, tal como se hizo en el
caso anterior, esto nos dar el valor ahorrado en el perodo 5, el segundo paso
ser pasar ese VF1 al periodo 6, como se muestra en el siguiente diagrama:
33
Matemticas Financieras
PUJ
VF1
VF2=?
50.000
La solucin de este ejercicio en Excel se dividir tambin en dos pasos, primero
calcularemos el VF de una serie de pagos uniformes anticipados y despus
calcularemos el VF a partir de un VA, como se muestra a continuacin:
PASO 1
PASO 2
34
Matemticas Financieras
PUJ
Ejemplo 2.4
El 31 de diciembre del 2003 Javier Antonio decidi comenzar a ahorrar para su
pensin voluntaria, para lo cual entreg a WF Investments la suma de U$1.000.
Despus de hacer cuentas, encontr que era prcticamente imposible
conservar su nivel debido a los mayores gastos en la educacin de sus hijos,
as que encontr que su consignacin de cada ao disminuira en U$100. Si la
compaa de inversin obtiene una rentabilidad del 10% anual, Cunto dinero
ahorrado tendr despus de hacer su consignacin el 31 de diciembre de 2010?
El diagrama de Flujo de Caja del problema sera:
VF=?
0
1000
900
800
700
600
500
400
300
VF = 1.000(1 + 0,1)6 + 900(1 + 0,1)5 + 800(1 + 0,1)4 + 700(1 + 0,1)3 + 600(1 + 0,1)2 + 500(1 + 0,1) + 400
VF = 8.800
35
Matemticas Financieras
PUJ
VF
Frmula usada
para llevar el
flujo de
perodos
intermedios
hasta el final de
la inversin.
Frmula usada
para llevar el
flujo del
perodo 0, al
periodo 1
36
Matemticas Financieras
PUJ
Clculo de
VP a partir
de:
Pagos
uniformes
Perodos
iguales
Tasa
constante
Tabla 4.
Opciones para el calculo del Valor Futuro
Una suma
futura
N.A.
SI
SI
Una suma
futura
N.A.
SI
NO
Cuotas
uniforme
SI
SI
SI
Cuotas NO
uniforme
NO
SI
SI
Cuota NO
uniforme
NO
SI
NO
Cuota NO
uniforme
NO
NO
SI
Frmula
VF
VA
(1 + i ) n
VF
[(1 + i 1 ) * (1 + i 2 ) * ..... * (1 + i n )]
No existe
(1 + i ) 1
n
i (1 + i )
PAGO1 PAGOt
PAGO n 1 PAGO n
+
+ ... +
+
(1 + i )1 (1 + i ) 2
(1 + i )n 1 (1 + i )n
PAGO1
PAGO 2
+
+ ....
(1 + i 1 ) [(1 + i 1 ) * (1 + i 2 )]
PAGOn 1
+ ...
[(1 + i 1 ) * (1 + i 2 ) * ....(1 + i n 1 )]
PAGOn
[(1 + i 1 ) * (1 + i 2 ) * ....(1 + i n 1 ) + (1 + i n )]
PAGO *
Funcin en
Excel
VA
VNA
No existe
VNA.NO.PER
N.A.: No aplica
37
Matemticas Financieras
PUJ
VP =
VF
(1 + i ) n
Ejemplo 2.5
Cunto tendr que ahorrar hoy Cesar Augusto, si necesita recibir $2.000.000
dentro de un ao, si en su entidad le pagan una tasa del 2% mensual?.
El diagrama de flujo de caja del problema es:
$2.000.000
i=2%
12
VA=?
VP =
2.000.000
= 1.402.759,72
(1 + 2%)12
38
Matemticas Financieras
PUJ
39
Matemticas Financieras
PUJ
VP =
VF
[(1 + i 1 ) * (1 + i 2 ) * ..... * (1 + i n )]
Ejemplo 2.6
Gladys Marina de las Mercedes es una madre de familia muy preocupada por la
educacin de su hija Laura Catalina. Ha estado pensando en empezar a
asegurar su educacin ahorrando una suma que alcance a pagar el valor de la
matricula del primer semestre de Universidad, el cual ella estima estar alrededor
de los 15 millones de pesos en 5 aos.
Tasa
12%
12,5%
13%
14%
10%
15.000.000
12% 12,5% 13% 14% 10%
VP=?
El planteamiento matemtico del problema es:
15.000.000
[(1 + 0,12) * (1 + 0,125) * (1 + 0,13) * (1 + 0,14) * (1 + 0,1)]
VP = 8.401.266
VP =
40
Matemticas Financieras
PUJ
41
Matemticas Financieras
PUJ
B4:F4
=B1/B5
Clculo de VP a partir de una serie de cuotas uniformes.
Recordemos que las cuotas uniformes son una serie de flujos de caja
exactamente iguales durante todos y cada uno de los periodos de la inversin.
Su frmula matemtica es:
42
Matemticas Financieras
PUJ
(1 + i )n 1
VP = PAGO *
n
i (1 + i )
Ejemplo 2.7
Erasmo, un ingeniero contratista, sabe que los gastos mensuales de su familia
ascienden a $2.800.000. Como acaba de ganar una licitacin, quiere conocer
cul es el valor que debe consignar hoy en el banco Megalmano para cubrir
los egresos familiares durante 6 meses. Megalmano paga una tasa de inters
del 0,8% mensual.
VP=?
(1 + 0,008) 6 1
6
i (1 + 0,008)
VP = 2.800.000 *
VP = 16.339.457
43
Matemticas Financieras
PUJ
PAGO1 PAGOt
PAGO n 1 PAGO n
+
+ ... +
+
(1 + i )1 (1 + i ) 2
(1 + i )n 1 (1 + i )n
44
Matemticas Financieras
PUJ
Ejemplo 2.8
A Juan Felipe le han ofrecido que le entregan cuando se pensione ciertos
montos para su subsistencia, Juanita, analista de WF le ha explicado que las
personas requieren de mayores ingresos cuando recien se pensionan y van
bajando a medida que envejecen, por eso, WF ha diseado un plan pensional
que cubre estas necesidades.
A Juan Felipe le ha enviado el siguiente cuadro que muestra los pagos que le
realizarn en cada uno de los perodos. Si tiene una tasa de descuento del 15%
anual. Cunto sera lo mximo que debera invertir en el plan pensional?.
Ao
Flujo
10
100 95
90
85
80
75
100
95
90
85
80
75
10
VP=?
El diagrama de Flujo de Caja del problema sera:
VP =
100
95
90
85
80
75
+
+
+
+
+
(1 + 0,15) 5 (1 + 0,15) 6 (1 + 0,15) 7 (1 + 0,15) 8 (1 + 0,15) 9 (1 + 0,15)10
Para la solucin en Excel se debe utilizar la funcin VNA, que trae a valor
presente cuotas no uniformes y se usa de la siguiente manera:
45
Matemticas Financieras
PUJ
Debemos anotar tambin que se debe tener sumo cuidado con los rangos
intermedios en donde no existe flujo de caja (en este caso los periodos 1 al 4 en
donde no existen ni ingresos ni egresos), en estos se debe poner cero, de lo
contrario Excel asumir que no existe el periodo. Observe el resultado que
mostramos en el siguiente grfico en donde hemos eliminado los ceros de los
perodos 1 al 4.
46
Matemticas Financieras
PUJ
PAGO 1
PAGO 2
PAGO n 1
PAGO n
+
+ .... +
+
[(1 + i 1 ) * (1 + i 2 ) * ....(1 + i n 1 )] [(1 + i 1 ) * (1 + i 2 ) * ....(1 + i n 1 ) + (1 + i n )]
(1 + i 1 ) [(1 + i 1 ) * (1 + i 2 )]
Ejemplo 2.9
La compaa FANATER est pensando en comprar un nuevo microbs, el cual
ofrece los ingresos que se muestran a continuacin. FANATER, considera que
su tasa de descuento aumentar en los prximos aos como resultado del
incremento del rendimiento de los ttulos del tesoro de los Estados Unidos, y se
comportar de la siguiente manera:
Ao
Ingresos
300
400
500
600
Tasa
15%
16%
18%
20%
47
Matemticas Financieras
PUJ
600
VP=?
400
500
300
15% 16% 18% 20%
La solucin matemtica es:
300
400
500
600
+
+
+
(1 + 0,15) [(1 + 0,15) * (1 + 0,16)] [(1 + 0,15) * (1 + 0,16) * (1 + 0,18)] [(1 + 0,15) * (1 + 0,16) * (1 + 0,18) * (1 + 0,2)]
VP = 1.196
VP =
Aunque Excel no tiene una funcin especfica para este problema, si se puede
simplificar el clculo reexpresando la frmula de la siguiente manera:
600
(1 + 0,2)
400 +
(1 + 0,18)
300 +
(1 + 0,16)
VP =
(1 + 0,15)
500 +
48
Matemticas Financieras
PUJ
denominador lo descuenta a la tasa del ao. Cuando se copia esta frmula para
los periodos anteriores (1 al 3) se va logrando el efecto acumulativo que
buscbamos, de forma que la frmula calculada en el periodo uno, obtiene
Solucin
realmente el valor presente del periodo cero.
49
Matemticas Financieras
PUJ
2.3. Ejercicios
12%
16%
13%
18%
11%
50
Matemticas Financieras
PUJ
51
Matemticas Financieras
PUJ
3. Tasas Equivalentes
Hasta ahora solo hemos estudiado casos donde el flujo de dinero encaja
correctamente con el perodo en el que esta expresada la tasa. Sin embargo en
muchas ocasiones las tasas y los flujos de dinero no coinciden, por ejemplo,
cuando vamos a abrir un CDT a 3 meses, nos informan la tasa que nos pagaran
si invirtiramos a un ao. En estos casos es necesario poder manipular las tasas
para saber cuanto nos van a dar realmente. No sobra mencionar que la tasa que
nos pagarn no es simplemente la anual dividida entre cuatro. Ms adelante
explicaremos esto con mayor detenimiento.
VA
VA
Por su parte, el inters vencido se ocasiona con el pago de intereses al final del
periodo.
52
Matemticas Financieras
PUJ
I
VA
VA
Ejemplo 3.1
A alguna empresa le acaban de pagar una factura por $400.000 con un cheque
posfechado a un mes. Como la empresa necesita urgentemente el dinero,
decide recurrir a los servicios de un prestamista que entre sus actividades tiene
el cambio de cheques posfechados.
El prestamista, gustosamente cambia el cheque y le entrega a Agricol $380.000,
pues cobr los intereses (5%)
crdito?
A primera vista, podramos decir que fue del 5%, sin embargo, detengmonos un
poco ms en el problema. El diagrama de flujo de caja del prestamista es:
$400.000
0
$380.000
Este seor invierte 380.000 para ganar dentro de un mes 400.000, si calculamos
la tasa de inters, retomando la frmula (1)
53
Matemticas Financieras
PUJ
i =
400.000
VF
1=
1 = 0 ,0526
380.000
VA
5,26%
iv =
ia
1 ia
0,05
= 0,0526
1 0,05
ia =
iv
1 + iv
0,0526
= 0,05
1 + 0,0526
Por ltimo queremos sealar que la rentabilidad o tasa de inters del ejercicio
3.1 es 5,26%, nunca 5%. De hecho, el inters anticipado tiene un problema
conceptual, recordemos que una inversin es un sacrificio de recursos hoy, con
la esperanza de recibir un beneficio en el futuro. Si nos detenemos a pensar el
momento en el que se pagan los intereses, no tiene mucho sentido que me
entreguen beneficios hoy, pues acordmonos que habamos dicho que el dinero
solo tiene sentido como recurso cuando se puede tener por periodo de tiempo, y
en el caso de los intereses anticipados, estos se pagan antes de tenerlos un
54
Matemticas Financieras
PUJ
tiempo, con lo cual se genera una contradiccin, por eso hecho su uso es cada
vez ms escaso.
Ejemplo 3.2
Una compaa de Leasing a empezado a comercializar su nuevo producto
Supercarro. Con este producto, la persona recibe un vehculo sin cuota inicial,
y paga un arrendamiento mensual anticipado, cuyo costo ser del 1% mensual.
Calcule el costo del crdito en trminos vencidos.
La diferencia entre las tasas efectivas y nominales, surge cuando se pacta una
tasa de inters para un periodo de tiempo determinado (Ej. Aos) pero los
intereses se liquidan en lapsos de tiempo mas cortos (ej. Meses). La tasa de
inters nominal se ocasiona cuando los periodos de pago de intereses son
fracciones del periodo para el cual se ha pactado la tasa. Las tasas de inters
efectivas son el reconocimiento a la capitalizacin de intereses que ocasiona
una tasa de inters nominal.
Explicaremos esto con un ejemplo sencillo:
55
Matemticas Financieras
PUJ
Ejemplo 3.3
La seora Pepita tiene $1.000.000 para invertir por un ao.por lo cual ha
llamado a su asesor de la entidad financiera Megalmano, y este le ha
ofrecido dos opciones:
Opcin uno: Invertir en un CDT a un ao, con una tasa del 24.63% anual, en
el cual que le paga intereses cada trimestre vencido.
Opcin dos: Invertir el milln en un CDT a un ao con una tasa del 24.14%
anual, que le paga el intereses cada mes vencido.
Cul de las dos opciones debe escoger doa Pepita?
1.000.000
24,63%
= 6,16% * 1.000.000 = 61.576
4
61.576
61.576
61.576
61.576
Opcin 1:
i = 24,63% anual
1.000.000
1.000.000
24.14%
= 2,01% * 1.000.000 = 20.118
12
20.118
Opcin 2:
2
i = 24,14% anual
1.000.000
56
Matemticas Financieras
PUJ
Observe que los dos flujos no son comparables porque cada uno tiene pagos en
diferentes perodos de tiempo. Entonces qu podemos hacer?. Una alternativa
sera, dado que los dos flujos son a un ao, suponer que la seora no recibe los
intereses en ninguno de los trimestres o meses y por lo tanto los intereses
quedaran capitalizados a la misma tasa a la que inicialmente fue puesto el
dinero. Es decir, todos los flujos seran llevados a VF a la tasa pactada
inicialmente:
73.665
VF = 61.576 * (1 + 6,16%)3
VF = 61.576 * (1 + 6,16%)2
VF = 61.576 * (1 + 6,16%)
69.392
65.367
61.576
270.000
1.000.000
61.576
61.576
61.576
1.000.000
Como puede observar cambiamos un flujo que estaba partido a la mitad, por uno
en el que solamente hay una inversin y un ingreso al final del ao.
1.270.000
1
1.000.000
57
Matemticas Financieras
PUJ
i =
VF
1.270.000
1=
1 = 0 , 27
VA
1.000.000
27%
Si doa Pepita reinvirtiera todos los intereses a la tasa pactada inicialmente, las
dos opciones seran iguales.
En este ejemplo manejamos tres tipos de tasas que son para la opcin 1:
58
Matemticas Financieras
PUJ
i efectivo = 1 +
i no min al _ vencido
n
1.
59
Eliminado: <sp>
Matemticas Financieras
PUJ
i no min al = n *
[ (1 + i
n
efectivo
) 1]
i no min al = i periodico * n
24.63% NOMINAL
Advierte que
los periodos
de pago de
intereses son
menores que
el perodo en
el que se
pact la tasa
de inters
ANUAL
Indica el
periodo al
cual fue
pactada la
tasa de
inters
60
TRIMESTRE
Se refiere
a los
perodos
de pago
de
intereses
VENCIDO
Muestra si
la forma de
pago es
anticipada
o vencida
Matemticas Financieras
PUJ
Ahora por favor calcule la tasa N.A.T.V. a partir del 6,11% peridico:
61
Eliminado: <sp>
Matemticas Financieras
PUJ
todas porque con ella se calculan los flujos de caja. Observe en el ejemplo de
Doa Pepita que el valor de los intereses fue calculado con la tasa peridica.
Su frmula matemtica es:
i periodico = n (1 + i efectivo ) 1
O partiendo de la tasa nominal:
i periodico =
i no min al
n
Ahora por favor calcule la tasa peridica a partir del 24,14% NAMV.
62
Matemticas Financieras
PUJ
La tasa determina el flujo: En este caso, la tasa explica la forma de pago de los
intereses. Por ejemplo, un bono que paga una tasa del 24%NAMV, supone que
los intereses sern pagados cada mes y de forma vencida. En este caso no se
requiere hacer ninguna conversin de la tasa.
Tasa.nominal
inom
n
[i
per
* n]
Peridica
inom
1+ n 1
Nominal
vencida
Efectiva
1
n * (1 + ief )n 1
Int.efectivo
ia =
iv
(1+iv )
iV =
ia
(1 ia )
Anticipada
Vencida
63
Matemticas Financieras
PUJ
n * (1 + ief
27%
1
n
inom
n
ia =
24,63%
6,16%
23,20%
[i
per * n
iv
(1+iv )
5,80%
NUNCA divida una tasa Efectiva. Si Usted divide la tasa del 27% entre
cuatro, no lograr nunca obtener el 24,63%
SIEMPRE que divida una tasa nominal el resultado ser una tasa
peridica: Tenga cuidado, las tasas nominales solo se pueden dividir
entre el nmero de periodos de los intereses para los cuales fue
calculada. Es decir una tasa NATV solo se puede dividir entre 4 y una
tasa NASV solamente se podr dividir entre 2.
64
Matemticas Financieras
PUJ
Efectiva
Perodica
TV
La tasa efectiva es un puente
que permite cambiar tasas de un
perodo a otro
MV
SV
AA
TA
Una tasa efectiva nos permite entonces hacer mltiples conversiones a
diferentes tipos de periodos.
65
Matemticas Financieras
PUJ
24,14% NAMV
24,63% NATV
n=4
12
n=2
27,00% E. A.
25,39% NASV
n=6
n
24,38% NABV
1
27,00% NAAV
Ejercicios
1. Muestre por favor cunto dinero puede prestar realmente una persona que
tiene $1.000.000 y cobra al 3% anticipado.
Valor que
Intereses que
supuestamente
cobra por
presta
anticipado
Valor que
Totales
66
Matemticas Financieras
PUJ
VENCIDAS
1,00%
DIFERENCIA
1,01
0,01%
2,00%
3,00%
4,00%
5,00%
6,00%
100.000
0
10.000.000
100.000
2
100.000
3
100.000
4
100.000
100.000
La rentabilidad bimensual es
Nombre tcnico
10.000.000
10.000.000
TOTAL
Cada bimestre
Cada ao
Cada ao
67
Lo que efectivamente recibi capitalizando los intereses fue
Nombre tcnico
10.000.000
Matemticas Financieras
PUJ
4. Una compaa de Leasing acaba de entregar un vehculo con tasa del 36%
Efectiva anual A qu tasa Nominal Anual Trimestre anticipado corresponde
este crdito?
Tasa.nominal
n * (1 + ief
1
n
ia =
i nom
n
iv
(1+ iv )
36,00%
[i
per
*n
Int.efectivon
inom
1 + n 1
i per *n
24,00%
i nom
n
68
iV =
ia
(1 ia )
Matemticas Financieras
PUJ
NAMV
25,00% NAMV
n=
E. A.
12
NASV
n=2
n=6
n
NABV
NAAV
Anual
vencida
Mensual
anticipada
Trimestral
anticipada
Semestral
vencida
NAAA
NAMV
NATV
NASA
EA
20%
18%
15%
10%
23%
5%
2%
1%
25%
69
Matemticas Financieras
PUJ
4. Tablas de amortizacin
Las tablas de amortizacin describen el plan de pagos (comportamiento
mensual) de un crdito, en trminos del valor adeudado, la cuota cancelada, y
su distribucin entre abonos a capital e intereses.
Estas tablas son muy importantes porque muestran cmo se distribuye la cuota,
que parte de esta se dedica al pago de intereses y cual se constituye como
amortizacin de capital. Adicionalmente se puede observar en ellas cmo se va
disminuyendo el monto adeudado hasta que llega a cero.
Ser el saldo inicial cuando se trate de pagos vencidos y el saldo final cuando se trabajen
pagos anticipados.
70
Matemticas Financieras
PUJ
Se decide el monto de
la CUOTA o PAGO
Se decide el monto
del Abono a Capital
Saldo inicial
Abono a
capital
Intereses
No existe
Cuota
No existe
No existe
Saldo final
del periodo
anterior
Saldo inicial
Depende si
Cuota menos
por la tasa de
es fija o
intereses
inters
variable.
71
No existe
Saldo final
Valor del
crdito
Saldo inicial
menos abono
a capital
Matemticas Financieras
PUJ
PAGO = VA
i (1 + i ) n
(1 + i ) n 1
Saldo inicial
Abono a
capital
Intereses
No existe
No existe
No existe
Saldo final
del periodo
anterior
Saldo inicial
Cuota menos
por la tasa de
intereses
inters
Cuota
No existe
PAGO = VA
i (1 + i ) n
(1 + i ) n 1
Saldo final
Valor del
crdito
Saldo inicial
menos abono
a capital
Ejemplo 4.1
Una persona ha pagado una compra de un milln de pesos con tarjeta de
crdito, y ha diferido el pago a 6 cuotas. Sabiendo que la entidad financiera
cobra intereses del 1% mensual, Calcule el valor de la cota mensual y la tabla
de amortizacin de este crdito.
1.000.000
0
CUOTA = ?
72
Matemticas Financieras
PUJ
PAGO = 1.000.000
0,01(1 + 0,01) 6
= 172.548,37
(1 + 0,01) 6 1
Periodo
Saldo inicial
Intereses
Abono a
capital
Cuota
Saldo final
1.000.000
1.000.000
10.000
162.548
172.548
837.452
837.452
8.375
164.174
172.548
673.278
673.278
6.733
165.816
172.548
507.462
507.462
5.075
167.474
172.548
339.988
339.988
3.400
169.148
172.548
170.840
170.840
1.708
170.840
172.548
73
Matemticas Financieras
PUJ
74
Matemticas Financieras
PUJ
75
Matemticas Financieras
PUJ
Despus se selecciona toda la fila desde el saldo inicial hasta el saldo final y se
copian las frmulas oprimiendo doble clic en el cuadro inferior derecho de la
seleccin:
Ejemplo 4.2
Una persona acaba de solicitar un prstamo por $200.000 a 6 meses a una tasa
de inters mensual del 2%. Calcule el valor de la cota mensual y la tabla de
amortizacin de este crdito.
76
Matemticas Financieras
PUJ
Eliminado: <sp>
77
Matemticas Financieras
PUJ
Periodo
Saldo inicial
Intereses
Abono a
capital
Cuota
Saldo final
200.000
1
2
3
4
5
6
Ejemplo 4.3
Se compr un carro con un prstamo de $1.000.000 a
6 meses. La tasa de inters al inicio del crdito fue del
1%, pero, debido al mayor endeudamiento del gobierno,
a tenido una tendencia alcista y se ha comportado
como se muestra en la tabla. Construya la tabla de
amortizacin del crdito
78
Periodo
1
2
3
4
5
6
Tasa
1,00%
1,10%
1,20%
1,30%
1,40%
1,50%
Matemticas Financieras
PUJ
Para construir esta tabla, en primer lugar debemos calcular la cuota uniforme
que se usar desde la primera hasta la penltima cuota, esta se calcula con la
tasa de inters del primer periodo. En este caso es de $172.548. Despus se
construye la tabla normalmente desde el periodo 1 hasta el penltimo periodo
construir la tabla de la misma manera que lo hicimos anteriormente, la nica
diferencia es que los intereses no sern multiplicados por una tasa fija, sino por
la tasa de inters de cada periodo, como se muestra en los siguientes cuadros:
674.115*0,012
El ltimo perodo, el abono a capital ser igual al saldo final del penltimo
perodo y el clculo de la se redefine como los intereses ms el abono a capital.
Abono
a capital ms intereses
79
Matemticas Financieras
PUJ
Ejemplo 4.4
Alguien
est necesitando
un
prstamo
de
DTF T.A.
1
2
3
4
5
6
10,00%
10,50%
11,00%
11,50%
10,40%
10,50%
Puntos
adicionales
3%
3%
3%
3%
3%
3%
Tasa T.A.
80
Tasa E.A.
Tasa M.V.
Matemticas Financieras
PUJ
Periodo
Saldo inicial
Intereses
Abono a
capital
Cuota
Saldo final
200.000
1
2
3
4
5
6
Ejemplo 4.5
Se debe construir una tabla de amortizacin de un prstamo por $100.000, a 12
meses de plazo y con una tasa de inters del 2% mensual, en donde la cuota
mensual se debe reajustar en un 5% cada mes.
81
Matemticas Financieras
PUJ
PAGO, sino que simplemente se escribe cualquier valor. En este caso hemos
escrito 100, pero hubiese podido escribir 55, 2.000 o simplemente dejarla en
=F53
=E54-D54
=B54*2%
Cualquier
valor
=B54-C54
blanco.
Observe que tambin creamos una columna donde aparecen los aumentos
(fjese que esto implica que podramos tener un aumento diferente para cada
perodo.
Despus copiamos las frmulas construidas en todas las columnas exceptuando
la de la cuota. Para fijar el valor de la segunda cuota, se debe tener en cuenta
que esta debe ser un 5% superior que la primera, esto, en trminos matemticos
se puede expresar como Cuota2=Cuota1*(1+5%), la tercera cuota debe tener el
mismo comportamiento y as sucesivamente, en general podamos decir que
82
Matemticas Financieras
PUJ
Esta frmula,
construida en el
periodo 2 y copiada
hasta el periodo 12,
nos garantiza un
aumento del 5% en
el valor de la cuota.
Observe que el saldo final del periodo 12 es positivo, eso significa que todava
no se ha terminado de pagar el capital. Si por el contrario, este valor fuese
negativo, significara que hemos pagado ms de lo que adeudbamos. Tambin
se puede encontrar que los abonos a capital son negativos, esto sucede porque
lo que se est pagando como cuota no alcanza siquiera a cubrir los intereses, y
con el sistema de inters compuesto, la parte que queda sin cubrir se va
capitalizando y aumentando el saldo final.
EL siguiente paso entonces es encontrar un valor de la primera cuota que haga
que el saldo final del perodo 12 sea cero. Este es un procedimiento que Excel
puede hacer muy rpidamente con la funcin Buscar objetivo. Nuestro objetivo
83
Matemticas Financieras
PUJ
es que la celda F65 (argumento: Definir la celda) sea cero (argumento: Con el
valor) , y para lograrlo debemos modificar la celda E54 (argumento: Para
cambiar la celda).
84
Matemticas Financieras
PUJ
Saldo inicial
Abono a
capital
Intereses
No existe
No existe
No existe
Saldo final
del periodo
anterior
85
Cuota
No existe
Saldo final
Valor del
crdito
Matemticas Financieras
PUJ
ABONO =
VA
n
Saldo inicial
Abono a
capital
Intereses
No existe
Cuota
No existe
Saldo final
Valor del
crdito
No existe
No existe
Saldo final
del periodo
anterior
Ejemplo 4.6
Una persona ha solicitado un seiscientos mil pesos a su fondo de empleados, el
cual ser cancelado en 6 cuotas con abonos a capital uniforme, a una tasa de
inters del 1% mensual, Calcule el valor de cada uno de los pagos mensuales.
600.000
= 50.000
12
Abonos
Intereses
Cuota
Saldo Final
600.000
600.000
50.000
6.000
56.000
550.000
550.000
50.000
5.500
55.500
500.000
500.000
50.000
5.000
55.000
450.000
450.000
50.000
4.500
54.500
400.000
400.000
50.000
4.000
54.000
350.000
86
Matemticas Financieras
PUJ
350.000
50.000
3.500
53.500
300.000
300.000
50.000
3.000
53.000
250.000
250.000
50.000
2.500
52.500
200.000
200.000
50.000
2.000
52.000
150.000
10
150.000
50.000
1.500
51.500
100.000
11
100.000
50.000
1.000
51.000
50.000
12
50.000
50.000
500
50.500
87
Matemticas Financieras
PUJ
Ejemplo 4.7
Una persona ha solicitado un $1.200.000 mil pesos a su fondo de empleados, el
cual ser cancelado en 6 cuotas con abonos a capital uniforme, a una tasa de
inters del 1% mensual, Calcule el valor de cada uno de los pagos mensuales.
Periodo
Saldo inicial
Intereses
Abono a
capital
Cuota
Saldo final
1.200.000
1
2
3
4
5
6
88
Matemticas Financieras
PUJ
5. Ejercicios Integradores
1. Cunto se debe pagar por un bono que fu emitido hace 3 aos y
medio, con un valor facial de $1.000.000, con vencimiento a cinco aos,
que paga una tasa del 10% TV, si quiero que mi rentabilidad sea del 30%
EA?
2. Si una empresa recibe un crdito por $ 50.000.000 y realiza los siguientes
pagos trimestrales:
Trimestre 1 $ 5.000.000
Trimestre 2 $ 10.000.000
Trimestre 3 $ 15.000.000
Trimestre 4 y 5 $ 20.000.000
Cul es la tasa efectiva anual que est pagando?
3. ACME S.A. ha emitido bonos de deuda a descuento, cuya rentabilidad es
del 25% anual. Cunto se tendr que pagar si el ttulo tiene un valor
facial de $1.000 y se redime en 180 das?
4. Don Pedro desea comprar una casa que vale $200 millones, de los cuales
pagar el 20% en un cuota inicial y el 80% lo obtendr de un crdito
bancario a siete aos, a una tasa del 2% mensual. Don Pedro considera
que la casa es muy grande, y piensa alquilar el primer piso de su nuevo
hogar, para pagar con el arrendamiento el 50% de la cuota. Don Pedro
recibir el alquiler el primer da del mes, y lo colocar en una cuenta de
ahorros que paga intereses del 15% anual. Cunto debe cobrar Don
Pedro de arrendamiento?
5. Usted adquiere un vehculo que tiene un valor de $12.000.000 y se le
propone el siguiente esquema de pagos a dos aos:
89
Matemticas Financieras
PUJ
Matemticas Financieras
PUJ
91
Matemticas Financieras
PUJ
6. Glosario
Abono a capital: Es el monto en el que se disminuye la deuda.
Bono Yankee: Es un bono soberano de cualquier pas, emitido en la Bolsa de
Nueva York, de tal forma hay Yankees colombianos, ecuatorianos etc.
Cuota: Es el valor total que se paga, incluidos tanto los intereses como el abono
a capital.
92
Matemticas Financieras
PUJ
Nmero de periodos (n): Es el tiempo que dura inversin, desde que se inicia
hasta que se termina. Tambin se puede interpretar como el nmero de periodos
que separan los valores en el tiempo y a su vez permiten hacer las
transformaciones.
93
Matemticas Financieras
PUJ
T-Bond (Treasury Bond): Son los Bonos del Tesoro de Estados Unidos
emitidos en la Bolsa de Nueva York. Son los equivalentes en el mercado
norteamericano de los TES del mercado colombiano. Son los ttulos de menor
riesgo en el mundo.
94
Matemticas Financieras
PUJ
Valor actual:
Valor futuro: Representa un solo flujo de dinero que se entrega al final del
ltimo perodo de inversin. Se puede calcular a partir de una suma presente,
una serie de cuotas uniformes o a partir de una serie de cuotas no uniformes.
Tambin se puede trabajar con tasas de inters iguales para todos los periodos
o con tasas de inters diferentes en cada uno de estos.
95
Matemticas Financieras
PUJ
7. Resumen de frmulas
FACTORES DE CONVERSION
Pagos
uniformes
Perodos
iguales
Tasa
constante
N.A.
SI
SI
VA * (1 + i ) n
N.A.
SI
NO
VA * [(1 + i1 ) * (1 + i2 ) * ..... * (1 + in )]
Una cuota
uniforme
SI
SI
SI
PAGO *
Una cuota
NO uniforme
NO
SI
SI
Clculo de
VF a partir
de:
Una suma
presente
Una suma
presente
Una cuota
NO uniforme
NO
SI
NO
Frmula
Funcin en
Excel
VF
(1 + i ) n 1
VF.PLAN
VF
No existe
No existe
Clculo de
VP a partir
de:
Pagos
uniformes
Perodos
iguales
Tasa
constante
Una suma
futura
N.A.
SI
SI
VF
(1 + i ) n
Una suma
futura
N.A.
SI
NO
[(1 + i 1 ) * (1 + i 2 ) * ..... * (1 + i n )]
Cuotas
uniforme
SI
SI
SI
PAGO *
Frmula
Funcin en
Excel
VA
VF
(1 + i ) n 1
n
i (1 + i )
96
No existe
VA
Matemticas Financieras
PUJ
Clculo de
VP a partir
de:
Pagos
uniformes
Perodos
iguales
Tasa
constante
Cuotas NO
uniforme
NO
SI
SI
Cuota NO
uniforme
NO
SI
NO
Cuota NO
uniforme
NO
NO
SI
Funcin en
Excel
Frmula
PAGO1 PAGOt
PAGO n 1 PAGO n
+
+ ... +
+
(1 + i )1 (1 + i ) 2
(1 + i )n 1 (1 + i )n
PAGO1
PAGO 2
+
+ ....
(1 + i 1 ) [(1 + i 1 ) * (1 + i 2 )]
PAGOn 1
+ ...
[(1 + i 1 ) * (1 + i 2 ) * ....(1 + i n 1 )]
PAGOn
[(1 + i 1 ) * (1 + i 2 ) * ....(1 + i n 1 ) + (1 + i n )]
VNA
No existe
VNA.NO.PER
N.A.: No aplica
TASAS EQUIVALENTES
Clculo
de
A partir de Nominales
En excel: N.A.
Peridicas
i periodico
i
= no min al
n
Nominales N.A.
A partir de
Peridicas
A partir de Efectivas
En excel: N.A.
i periodico = n (1 + i ef . ) 1
N.A.
i nom . = n *
i nom . = i per . * n
[ (1 + i
n
ef .
) 1]
i ef . = 1 +
Efectivas
i nom .venc .
1.
n
En Excel: N.A.
i ef . = 1
i nom .ant .
En Excel: N.A.
n
i ef . = (1 + i per .ven . ) 1
N.A.
En Excel: N.A.
n
i ef . = (1 i per .ven . ) 1
1.
i vencido =
i anticipado
1 i anticipado
i anticipado =
97
i vencido
1 i vencido
Matemticas Financieras
PUJ
TABLAS DE AMORTIZACION
Cuota Fija:
Periodo
Saldo inicial
Intereses
Abono a
capital
No existe
No existe
No existe
Saldo final
del periodo
anterior
Saldo inicial
Cuota menos
por la tasa de
intereses
inters
Cuota
No existe
PAGO = VA
i (1 + i ) n
(1 + i ) n 1
Saldo final
Valor del
crdito
Saldo inicial
menos abono
a capital
Saldo inicial
Intereses
Abono a
capital
No existe
Cuota
Valor del
crdito
No existe
No existe
Saldo final
del periodo
anterior
98
No existe
Saldo final