Universidad de La Serena

Facultad de Ciencias
Departamento de Matemticas

Profesor: Ken Matsuda Oteza

Ken Matsuda Oteza

EJERCICIOS RESUELTOS DISTRIBUCIN NORMAL

Objetivo:
El propsito de esta gua es distinguir las caractersticas principales de la distribucin probabilstica
continua ms utilizada, la distribucin normal, ya que sta es el soporte para el proceso de inferencia
que constituye la base de toda la Estadstica (el proceso para llegar a conclusiones sobre las
poblaciones basndose en evidencia muestral). El clculo de valores Z y sus aplicaciones, y por ltimo,
la forma de empleo de la distribucin normal para estimar probabilidades binomiales.
Instrucciones:

Desarrolle paso a paso cada uno de los ejercicios propuestos y comprelos con las respuestas que se
entregan al final de cada ejercicio.
NOTA: Debe tener cuidado al observar la tabla, ya que algunas entregan el valor desde menos infinito
al punto, y otras desde el punto hasta infinito
1) Determine el rea situada debajo de la curva normal estndar que est
Respuesta 0.8264
a) a la izquierda de 0,94
Respuesta 1-0.2578= 0.7422
b) a la derecha de -0,65
Respuesta 1-0.9608= 0.0392
c) a la derecha de z= 1,76
d) a la izquierda de z = - 0,85
Respuesta 0.1977
Respuesta 0.8997- 0.8078 = 0.0919
e) entre z1 = 0,87 y z2= 1,28
Respuesta 0.7324 - 0.3669 = 0.3655
f) entre z1= - 0,34 y z2= 0,62
2) Si z es una variable normal estndar hallar:
a) P(z < 2,23)
b) P(z < 3,48) c) P(z < -1,76)
d) P(z > 2,45)
e) P(z > 3,23)
f) P(z > -3,07)
g) P(1,13 < z < 2,69)
h) P (-0,86 < z < 1,28)
i) P (-2,98 < z < -1,32)

Soluciones

a) P (z < 2,23) = 0.9871 b) P(z < 3,48)= 0.9997

c) P(z < -1,76) = 0.0392 d) P(z > 2,45) = 1- 0.9929=0.0071
e) P(z > 3,23) = 1-0.9994 = 0.0006 f) P(z > -3,07) = 0.9988
g) P(1,13 < z < 2,69) = 0.9964 - 0.8708= 0.1256
h) P (-0,86 < z < 1,28) = 0.8997 - 0.1949 = 0.7048
i) P (-2,98 < z < -1,32) = 0.0934 - 0.0014 = 0.0920

3) Si x es una variable normal con media 8,47 y desviacin tpica igual a 1,15 hallar:
a) P (x < 9,12)
Soluciones
a) 0.7157
b) P (x < 12,34)
b) 0.9996,
c) P (x < 6,42)
c) 0.0375
d) P(x>10,53)
d) 1-0.9633 = 0.0367,
e) P (x > 12,62)

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e) 0, f) 0 g) 0.9987 - 0.0207 = 0.9780,
h) 0.0793 - 0.0015 = 0.0778

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f) P(x > 4,01)

g) P(6,12 < x < 11,92)
h) P ( 5,06 < x < 6,84)

4) Determine las probabilidades de que una variable aleatoria tome un valor entre 12 y 15 si sigue una
distribucin normal
a) con media 10 y desviacin tpica 5
a) 0.8413 - 0.6554 = 0.1859
b) con media 20 y desviacin tpica 10
b) 0.3085 - 0.2119 = 0.0966
5) Se han utilizado dos tipos de pruebas, A y B, para medir los conocimientos sobre cierta materia en
una misma poblacin. Los resultados en ambas tienen distribucin Normal. La prueba A tiene
como media 78,3 y como desviacin tpica 4,2. La prueba B tiene 85,1 de media y 3,2 de
desviacin tpica. Una persona ha obtenido 83,1 en la prueba A y otra ha obtenido 87,5 en la
prueba B. Cul de las dos se encuentra en mejor posicin? Por qu?
Solucin
La persona de la prueba A est en mejor posicin que la de la prueba B. Porque
P (A<83.1) = P(Za < 4.8/4.2) ) P(Za < 1.14) = 0.8729
P (B<87.5) = P(Zb < 2.4/3.2) ) P(Zb < 0.75) = 0.7734
6 ) Hallar el valor ade la variable normal tipificada z tal que
a) P (z < a ) = 0,2033
Solucin
b) P (z < a ) = 0,7734
a) P (z < a ) = 0,2033 a = -0.83
c) P (z > a ) = 0,9222
b) P (z < a ) = 0,7734 a = 0.75
d) P (z > a ) = 0,0314
c) P (z > a ) = 0,9222 P (z < a ) = 1- P (z > a ) = 1-0.9222=
0.0778, a=-1.42
d) P (z > a ) = 0,0314 P (z > a ) = 1-0.0314 = 0.9686, a= 1.86
7 ) Si x es una variable con distribucin N(4,3 ; 1,2), hallar el valor de a tal que:
a) P (x > a ) = 0, 2981 b ) P (x > a ) = 0,5871
c) P (x < a ) = 0,7389 d ) P (x < a ) = 0,6179
Solucin
a) P(x > a ) = 0, 2981 a) P(x<a)=1-0,2981=0.7019 (a-4.3)=1.2x0.53=0.636 a=4.3+0.636=4.936
b ) P (x > a ) = 0,5871 a= 4.036
c) P (x < a ) = 0,7389 a= 5.068
d) P (x < a ) = 0,6179 a= 4.66
8) El peso de los atletas de pruebas de medio fondo sigue una distribucin normal con media 64,3 y
desviacin tpica 2,3 Kgs. Hallar un intervalo centrado alrededor de la media que contenga:
a) el 68,3% de la poblacin. B) el 95,5 % c) el 99,7 %
Solucin: a) (64.3 -2.3, 64.3 + 2.3) = (62 , 66.6) b) (64.3 - 4.6 , 64.3 + 4.6)
c) (64.3 - 6.9 , 64.3 + 6.9)
9) En un curso de estadstica formado por 200 estudiantes, las notas se distribuyen normalmente con
una media de 30 (sobre 50) y una s=10.
a) Qu tanto por ciento de los estudiantes ha obtenido una nota igual o superior a 10?

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Ken Matsuda Oteza

b) Cul es la probabilidad de que la nota de un alumno elegido al azar est comprendida entre
30 y 40?
c) Qu porcentaje de alumnos ha suspendido?
d) Cuntos alumnos han suspendido?
e) Qu puntuacin mnima hay que obtener para estar incluido/a en el 25%
Solucin a) 98%; b) 0.3643 c) 31% ; d) 62 ; e) 36.75
10) En un estudio sobre el comportamiento agresivo de ratones machos que son devueltos al grupo tras
cuatro semanas de aislamiento se encontr una media de 18,6 peleas en los 5 primeros minutos y
una desviacin tpica de 3,3 peleas. Si se supone que esta variable se distribuye normalmente
segn esa media y D.T. Cul sera la probabilidad de que el ratn intervenga en al menos 15
peleas en los cinco primeros minutos?
Solucin 1- 0.1379 = 0.8621
11) En un examen las calificaciones se distribuyen segn una normal de media 66,5 y desviacin tpica
12,6. Qu porcentaje de las puntuaciones superar el 74? Solucin 28%
12) Una persona viaja frecuentemente de Madrid a Alicante y sabe que el tiempo que tarda se
distribuye segn una N(4.3 , 0.2 ). Calcular las probabilidades de que el viaje le dura
a) ms de 4.5 horas
b) menos de 4 horas
Soluciones: a) 16% , b) 93%
Otros problemas (Las soluciones al final)

1. La empresa Ball-Bearing, Inc. produce cojinetes de bolas en forma automtica en una mquina
Kronar BBX. Para uno de tales rodamientos, la media aritmtica del dimetro se determina como
20,00 mm. La desviacin estndar de la produccin durante un largo perodo se calcula como 0,150
mm.
a)
b)
c)
d)

Qu porcentaje de los cojinetes tendr dimetros entre 20,00 mm y 20,27 mm?

Qu porcentaje de tales elementos tendr dimetros de 20,27 mm o ms?
Qu porcentaje de los cojinetes tendr dimetros entre 19,85 mm y 20,30 mm?
y qu porcentaje de ellos tendr un dimetro de 19,91 mm o menos?

2. Un estudio reciente de los sueldos por hora de tripulaciones de mantenimiento para aerolneas
importantes mostr que el salario medio por hora era de $16,50 (dlares), con una desviacin
estndar de $3,50. Si se selecciona al azar un elemento de la tripulacin, cul es la probabilidad de
que gane:
a) entre $16,50 y $20,00 por hora?
b) ms de $20,00 por hora?
c) menos de $15,00 por hora?

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3.

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A los empleados de la empresa Machaza S. A. se les otorgan puntuaciones por eficiencia. La

distribucin de stas sigue, aproximadamente, una distribucin normal. La media es 400, y la
desviacin estndar, 50
a) Cunto vale el rea bajo la curva normal entre 400 y 482?
b) Cunto vale el rea bajo la citada curva para puntuaciones mayores que 482?
c) Muestre los aspectos de este problema en un diagrama.

4.

Con relacin a nuestro ejercicio hecho en clases donde la media del ingreso semanal es de $1000 y
la desviacin estndar es de $100:
a)
b)

Qu porcentaje de los ejecutivos tienen un ingreso semanal entre $750 y $1225? Elabore
una curva normal y sombree el rea deseada en el diagrama.
Qu porcentaje de dichos directivos tienen un ingreso por semana entre $1100 y $1225?
Elabore una curva normal y sombree el rea en cuestin en el diagrama.

5. Un anlisis de las calificaciones finales obtenidas en una prueba de un seminario de programas de

computacin, revel que seguan, aproximadamente, una curva normal, con media de 75 y
desviacin estndar de 8. El profesor desea otorgar una calificacin de A al 10% superior de las
evaluaciones en la prueba. Cul es el punto divisorio entre las calificaciones A y B?
6.

Una poblacin normal tiene una media de 50,0 y una desviacin estndar de 4,0.
a)
b)
c)
d)

Calcule la probabilidad de un valor entre 44,0 y 55,0.

Evale la probabilidad de uno mayor que 55,0
Obtenga la probabilidad de uno entre 52,0 y 55,0.
Determine el valor de x abajo del cual ocurrir el 95% de los valores.

7.
Una mquina expendedora de refresco se ajusta para servir 7,00 oz (onzas) del lquido por
vaso. La desviacin estndar es de 0,10 oz. Cul es la probabilidad de que la mquina sirva:
a)
b)
c)
d)

entre 7,10 y 7,25 onzas de refresco?

7,25 oz o ms?
Entre 6,8 y 7,25 onzas?
Cunto refresco se sirve en el mximo 1% de las bebidas?

8.
Las cantidades de dinero en solicitudes de prstamo para casas que recibe el Banco del Estado,
estn aproximadamente distribuidas en forma normal con una media de $70.000 (dlares) y una
desviacin estndar de $20.000. una solicitud de prstamo se recibi esta maana. Cul es la
probabilidad de que:
a)
b)
c)
d)

la cantidad solicitada sea de $80.000 o ms?

El monto solicitado est entre $65.000 y $80.000?
El valor solicitado sea de $65.000 o ms?
20% de los prstamos sean mayores que cul cantidad?

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9. Un estudio realizado por la Compaa Aseguradora Magallanes revel que los

propietarios
no recuperaron los bienes robados, en 80% de los hurtos reportados a la aseguradora.
a) Durante cierto tiempo en el que ocurrieron los 200 robos, cul es la probabilidad que no se
recuperen los bienes objeto de hurto en 170 o ms de los actos de latrocinio?
b) En un perodo en el que sucedieron 200 robos, cul es la probabilidad de que no se recuperen
los bienes hurtados en 150 o ms de los delitos?
10.

Supngase que X tiene una distribucin probabilstica binomial, con n 50 y

Calcule lo siguiente:
a)
b)
c)

11.

p 0,25 .

La media y la desviacin estndar de la variable aleatoria.

La probabilidad de que X valga 15 o ms.
La de que X valga 10 o menos.

Un estudio realizado por un club de acondicionamiento fsico, revel que el 30% de sus nuevos
socios tienen un sobrepeso considerable. Una promocin por carta en el rea metropolitana dio
como resultado la inscripcin de 500 nuevos integrantes.
a) Se ha planteado utilizar la aproximacin normal a la binomial para determinar la
probabilidad de que 175 o ms de los nuevos miembros tengan un sobrepeso de
consideracin. Se calificara a este problema como uno del tipo binomial? Explique su
respuesta.
b) Cul es la probabilidad de que 175 o ms de los nuevos socios tengan sobrepeso?
c) Cul es la de que 140 o ms de los miembros recientes tengan sobrepeso considerable?
RESPUESTAS

1.

2.

3.
4.
5.

a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)

46,41%
3,59%
81,85%
27,43%
0,3413
0,1587
0,3336

a)
b)
a)
b)

0,4495
0,0505
98,16%
14,65%

85,24

7.

8.

9.

10.

11.

a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
a)
b)
a)
b)
c)
a)
b)

0,1525
0,0062
0,9710
7,233
0,3085
0,2902
0,5987
86.800
0,0465
0,9686
12,5 y 3,0619
0,2578
0,2578
Si
0,0084

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c)
a)
b)
c)
d)

0,8276
0,1056
0,2029
56,60

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6.

0,8416

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