Instruction manuals y fiabilidad">
Fiabilidad Modelo Observacion Censurada
Fiabilidad Modelo Observacion Censurada
Fiabilidad Modelo Observacion Censurada
ESQUEMA DE CONTENIDOS___________________________________________
Regresin mltiple
con obs. censuradas
Proyecto e-Math
Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD)
INTRODUCCIN_____________________________________________________
En cualquier investigacin sobre anlisis de fiabilidad puede resultar de sumo inters identificar
aquellas variables que estn correlacionadas con los tiempos de fallo. Bsicamente, hay dos razones
por las cuales este proceso de identificacin no se puede realizar utilizando las tcnicas comunes de
regresin mltiple:
1) La variable dependiente (tiempos de fallo) no suele distribuirse de forma normal
(condicin necesaria para aplicar regresin por mnimos cuadrados).
2) La existencia de observaciones censuradas
El objetivo de la regresin con observaciones censuradas ser encontrar una expresin matemtica
que nos describa el tiempo de fallo de una determinada proporcin de unidades (percentil de T Tp)
en funcin de una o varias v.a. independientes (temperatura, horas de trabajo al da, grupo a que
pertenecen los datos, etc.).
Para llevar a cabo de forma efectiva estos tests de vida acelerada, ser conveniente recurrir a
software especializado. En este captulo se har uso del programa MINITAB a fin de ejemplificar con
casos prcticos los conceptos involucrados en este tipo de estudios.
( )
Yp = Ln Tp
( )
Yp = Log10 Tp
donde:
Proyecto e-Math
Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD)
Distrib. de
valores extremos (0,1)
normal (0,1)
logstica (0,1)
normal (0,1)
valores extremos (0,1)
logstica (0,1)
Entrada de datos (input): se debe indicar la variable donde se han registrado los tiempos de fallo T,
la distribucin que siguen dichas observaciones, y las variables independientes del modelo (en este
caso ArrTemp X1 y Planta X2). Indicaremos tambin la columna de censura y aquellas columnas
donde se guardan los valores de las variables independientes para los cuales se desean hacer
predicciones (ArrNuevaT y NuevaPlant).
Finalmente, se pedir un grfico de probabilidad para los residuos, a fin de estimar si la distribucin
escogida es o no adecuada:
Proyecto e-Math
Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD)
Informacin sobre la
distribucin elegida
Count
66
14
Regression Table
Predictor
Intercept
ArrTemp
Planta
Shape
Coef
-15,1603
0,83925
-0,18077
2,9431
Standard
Error
0,9468
0,03397
0,08457
0,2707
Z
P
-16,01 0,000
24,71 0,000
-2,14 0,033
95,0% Normal CI
Lower
Upper
-17,0160
-13,3047
0,77267
0,90584
-0,34652
-0,01501
2,4577
3,5244
Log-Likelihood = -562,525
Table of Percentiles
Percent
50
50
50
50
Predictor
Row Number Percentile
1
182093,6
2
151980,8
3
41530,38
4
34662,51
Standard
Error
Lower
32466,16
128389,8
25286,65
109689,6
5163,756
32548,44
3913,866
27781,00
Proyecto e-Math
Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD)
95,0% Normal CI
Upper
258260,9
210577,6
52990,94
43248,61
La tabla de regresin proporciona los coeficientes del modelo. En este caso, dado que se ha usado
una Weibull, la ecuacin del modelo sera:
Ln Tp = 15,1603 + 0,83925 ArrTemp 0,18077 Planta +
1
p
2,9431
donde la variable Planta puede tomar los valores 1 2, y sigue una distrib. de valores extremos
(0,1).
A partir de los p-valores asociados a cada coeficiente (0,000 para ArrTemp, y 0,033 para Planta), los
cuales son significativos para = 0,05, se puede afirmar que: (1) la temperatura influye de forma
decisiva sobre los tiempos de fallo (ms altas temperaturas significan menor tiempo hasta el fallo), y
(2) la calidad de la capa aislante depender de la planta de produccin en la que fue construida (las
capas aislantes fabricadas en la planta 1 duran ms).
La tabla de percentiles muestra el percentil de orden 50 asociado a cada combinacin de
temperatura y planta de produccin. Dado que este percentil es una buena aproximacin a la
esperanza de vida de una unidad, es posible pronosticar lo siguiente: a 80 C, las protecciones
fabricadas en la planta 1 durarn unas 182.093,6 horas (o 20,77 aos), mientras que la duracin
esperada de las de la planta 2 ser de tan slo 151.980,8 horas (17,34 aos). Anlogas conclusiones
se pueden extraer para una temperatura de 100 C.
Aunque MINITAB hace todos los clculos de forma automtica, resulta interesante entender cmo el
programa obtiene sus predicciones a partir del modelo. Por ejemplo, para una proteccin fabricada en
la planta 1 (Planta = 1), y sometida una temperatura de 80 C (ArrTemp = 32,85998), el modelo
anterior sera:
Ln Tp = 15,1603 + 0,83925 32,85998 0,18077 1 + 0,33978 p
Se sabe que los residuos siguen en este caso una distribucin de valores extremos (0,1), cuya f.d.
viene dada por:
{ }
Proyecto e-Math
Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD)
Failure
Censor
AD*
66
14
0,5078
Percent
20
10
5
3
2
1
0,1
-8
-4
Standardized Residuals
BIBLIOGRAFA______________________________________________________
[1].
[2].
[3].
[4].
[5].
[6].
[7].
[8].
[9].
[10].
[11].
[12].
Hager, H. W., and L. J. Bain. 1970. Inferential procedures for thegeneralized gamma distribution J.
Am. Stat. Assoc. 65: 1601-1609.
Harter, H. L. 1967. Maximum-likelihood estimation of the parametersof a four-parameter generalized
gamma population for complete and censored samples. Technometrics 9: 159-165.
Kaplan, E. L., and P. Meier. 1958. Nonparametric estimation from incomplete observations. J. Am.
Stat. Assoc. 53: 457-481.
Nelson, W. 1990. Accelerated Testing: Statistical Models, Test Plansand Data Analyses. John Wiley.
pp: 75-85.
Nelson, W. B., and G. J. Hahn. 1972. Linear estimation of regression relationships from censored
data, Part I-Simple methods and their application (with discussion). Technometrics 14: 247-276.
Stacy, E.W., and G. A. Mihram. 1965. Parameter estimation for a Generalized Gamma distribution.
Technometrics 7: 349-358.
Stacy, E. W. 1962. A generalization of the Gamma distribution. Ann.Math. Stat. 33: 1187-1192.
Parr, V. H., and J. T. Webster. 1965. A method for discriminating between failure density functions
used in reliability predictions.Technometrics 7: 1-10.
Prentice, R. L. 1974. A Log Gamma Model and its maximum likelihood estimation. Biometrika 61:
539-544.
Farewell, V. T., and R. L. Prentice 1977. A study of distributional shape in life testing. Technometrics
19: 69-75.
Galambos, J. 1978. The Asymtotic Theory of Extreme Order Statistics.Wiley-Interscience. New York.
pp: 189-191.
Lawless, J. F. 1982. Statistical Models and Methods for Lifetime Data.John Wiley. pp: 298-321.
Proyecto e-Math
Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD)
ENLACES___________________________________________________________
Los siguientes artculos son un excelente material para quien desee profundizar ms sobre este tema:
[W1]
http://www.colpos.mx/agrocien/Bimestral/2000/jul-ago/art-9.pdf
[W2]
http://bear.fhcrc.org/~clk/papers/weipan.pdf
Proyecto e-Math
Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD)