Formulacion

Aplicaciones de PL en la Gestin de Operaciones
___________________________________________________________________________________________________________________
MODELOS LINEALES PARA LA

GESTION DE OPERACIONES
CAPITULO III
Aplicaciones de Programacion Lineal en la Gestion de

Operaciones
Dr. JULIO PADILLA SOLIS

Agosto, 2008
MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES

___________________________________________________________________________________________________________________
3.
APLICACIONES DE PL EN LA GESTION DE OPERACIONES

-----------------------------------------------------------------------------------
La versatilidad y la potencia de la tcnica de PL

quedar demostrada en la serie de aplicaciones que se
presentan en este captulo. Cada aplicacin corresponder
a un mbito distinto en la gestin de operaciones.
Algunas
de
ellas
servir
tambin
para
mostrar
metodologas diversas para la formulacin de modelos de
PL, las cuales sern de gran utilidad al enfrentarse con
problemas de la vida real.
Todas las aplicaciones presentadas son formuladas,
resueltas
e
interpretadas
administrativamente.
La
solucin de ellas, en casi todos los casos, ha sido
det erm i nada con ayuda de program as com put aci onal es de
PL como Lingo. Los problemas al final del captulo
tienen como objetivo ejercitar al alumno en sus
habilidades de modelacion en PL. La solucin ptima de
los mismos deber encontrarse posteriormente con la
ayuda de un program a com put aci onal .
3.1
GESTION DE OPERACIONES BANCARIAS
Caso 3
:
Problema Bancario
--------Un cierto banco ha decidido que efectuar
prstamos slo en dlares. Existen cinco clases de
prs t am os , cuyos i nt eres es anual es cargados al cl i ent e s e
indican en la siguiente tabla :
Tipo de prstamo
Comercial
Primera hipoteca
Mejoras de casas
Segunda hipoteca
Corto plazo
Inters cargado (%)

15
10
13.6
14
18
Caso en
operaciones
bancarias
Tabla 3.1
Intereses segn
tipo de prstamo
El banco tiene 53 millones de dlares en fondos

disponibles para prstamos. Su objetivo es maximizar el
retorno de sus colocaciones teniendo en cuenta las
caractersticas del mercado y las regulaciones de

___________________________________________________________________________________________________________________
seguridad puestas por el

Superintendencia de Banca.
directorio
del
banco
la
La demanda para prstamos a corto plazo nunca ha

excedido los $5 millones. En los otros tipos de prstamos
nunca se ha llegado al lmite de la demanda. Los
p r s t a m o s p a r a m e j o r a s d e c a s a s n o p u e d e n s e r m a yo r e s
que el 20% de las primeras hipotecas. Los prstamos
comerciales deben ser menores o iguales a las segundas
hipotecas. El banco debe invertir al menos el 60% del
total de sus colocaciones en hipotecas. Por razones de
seguridad debe haber por lo menos $2 invertidos en
primeras hipotecas por cada dlar invertido en segunda
hipoteca.
Variables de decisin
x1
x2
x3
x4
x5
Modelamiento
= dlares invertidos en prstamos comerciales.

= dlares invertidos en primeras hipotecas.
= dlares invertidos en mejoras de casa.
= dlares invertidos en segundas hipotecas.
=dlares invertidos en prstamos de corto plazo.
Funcin objetivo
z = 0.15x1 + 0.10x2 + 0.136x3 + 0.14x4 + 0.18x5
.
la cual sera maximizada

Restricciones
1.
2.
3.
4.
Lmite de demanda para prstamos a corto plazo.

x5 5'000,000
Prstamos para mejoras de casa no pueden
m ayores que el 20% de l as pri m eras hi pot ecas .
x3 0.20x2
-0.20x2 + x3 0
ser
Prstamos comerciales menores o iguales

segundas hipotecas.
x1 x4
x1 - x4 0
las
Invertir al menos 60% del total en hipotecas.

x2 + x4 0.60 ( x1 + x2 + x3 + x4 + x5 )

___________________________________________________________________________________________________________________
-0.60x1 + 0.40x2 - 0.60x3 + 0.40x4 - 0.60x5 0

5.
por
6.
Por lo menos $2 invertidos en primeras hipotecas

$1 invertido en segunda hipoteca.
x2 2x4
x2 - 2x4 0
Total disponible para prstamos.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 53'000,000
Modelo
Max.
z = 0.15x1 + 0.10x2 + 0.136x3 + 0.14x4 + 0.18x5
suj. a
5'000,000
0
- x4
0
0.60 x3 + 0.40 x4 - 0.60 x5
0
- 2 x4
0
+ x3
+ x4
+ x5
x5
-0.20x2 +
x1
-0.60 x1 + 0.40x2 x2
x1
+ x2
53'000,000
x1 ,
x2 ,
x3
x3 ,
x4 ,
x5
Solucin
x1
x2
x3
x4
x5
Solucin
ptima
= 10'909,091
= 21'818,182
=
4'363,636
= 10'909,091
=
5'000,000
z mx. = 6'838,909
Interpretacin Administrativa
Interpretacin
Satisfaciendo las regulaciones puestas por el

directorio del Banco y por la Superintendencia de Banca y
tomando en cuenta las caractersticas del mercado, el
Banco puede obtener un mximo retorno en intereses de $
6'838,909 al colocar la totalidad de su capital disponible
de 53 millones de dlares. La distribucin de la
colocacin debe ser la siguiente para obtener el mximo
retorno indicado:

___________________________________________________________________________________________________________________
Tipo de prstamo
Comercial
Primera hipoteca
Mejoras de casas
Segunda hipoteca
Corto plazo
Total
3.2
Colocacin
$ 10'
21'
4'
10'
5'
$ 53'
909,091
818,182
363,636
909,091
000,000
000,000
GESTION DE OPERACIONES DE PRODUCCION
Caso 4
:
Ensamblaje de Televisores
-------Una
empresa
ensambladora
de
productos
electrnicos produce dos modelos de televisores,
digamos modelo A y B. Existen dos lneas de
ensamblaje, una para cada modelo. La capacidad de
produccin de la lnea A es de 60 televisores por da,
mientras que la capacidad de la lnea B es de 50
televisores por da. El televisor A requiere una hora
hombre de labor, mientras que el B requiere dos horas
hombre. Actualmente se cuenta con un mximo de 120
horas hombre por da, las cuales pueden ser asignadas a
cualquiera de las dos lneas. La utilidad unitaria del
televisor A es de $20. La utilidad unitaria del B es
funcin de las unidades que se produzcan en el da, y
est dada en la siguiente tabla :
Para unidades
entre...
0 - 10
11 - 27
28 - infinito
(UN SOLO PERIODO)
Caso en
operaciones
de produccin
Utilidad
Unitaria
$ 35
$ 30
$ 25
Determine el programa de produccin diario que

maximice las utilidades.
:Coeficientes no lineales en la
Metodologa
funcin objetivo
Utilidades no
lineales

___________________________________________________________________________________________________________________
En el caso presentado, la utilidad unitaria del

modelo de televisor B no es constante. Su valor vara
segn la unidad diaria de produccin que se trate. Para
las primeras 10 unidades, la utilidad unitaria es $ 35 ;
para las siguientes 17 unidades, la utilildad unitaria baja
a $ 30 ; y para el resto de unidades, la utilidad unitaria
baja a $ 25. Como conclusin, la contribucin a las
utilidades del modelo B no es lineal. Este tipo de
problemas debe formularse representando a la produccin
diaria de B meidante una suma de variables, una por cada
valor distinto de la utilidad unitaria. Estas variables
representan el incremento de la produccin diaria de B
dentro del rango en el cual es vigente la correspondiente
utilidad unitaria. Para representar la produccin de B se
necesitan 3 variables. La primera menor o igual que 10, la
segunda menor o igual que 17 y la tercera ilimitada. Al
tratarse de una funcin objetivo de maximizacin el
algoritmo que resuelva el modelo lineal dar valores a la
primera variable antes que a la segunda o tercera variable
p o r e l h e c h o d e t e n e r u n c o e f i c i e n t e m a yo r ( $ 3 5 ) . N o
pasar a la segunda hasta que el lmite de la primera
variable sea alcanzado (valor 10). Bajo esa lgica
podemos estar seguros que ninguna variable de las
indicadas podr tomar valores superiores a cero, mientras
t o d a s l a s q u e l a p r e c e d e n h a ya n a l c a n z a d o s u s v a l o r e s
lmites superiores. Todo este proceso es automtico y no
es necesario ninguna precaucin en la formulacin del
modelo. La produccin de B quedar dada por la suma de
los valores de las 3 variables utilizadas.
Asignacin
automtica
de valores
Si el caso fuera de minimizacin, las variables que

toman valores en primera instancia son aquellas que
tengan coeficientes menores.
Si el orden de crecimiento fuera contrario a los
descritos,
esto
es,
coeficentes
crecientes
con
maximizacin
o
coeficentes
decrecientes
con
minimizacin, el proceso de dar valores a las variables
ir en contra del sentido lgico en el significado de las
mismas. En estos casos para poder representar un modelo
vlido, es necesario el uso de variables binarias, las
cuales se tratarn posteriormente.

___________________________________________________________________________________________________________________
A
B1 =
B2 =
B3 =
Modelamiento
cantidad de unidades diarias a producirse del

modelo A.
cantidad de unidades diarias a producirse del
modelo B hasta el lmite de 10.
incremento de unidades diarias a producirse
del modelo B sobre 10 con un lmite de 17.
incremento de unidades diarias a producirse
del modelo B sobre 27.
Funcin objetivo
z = 20 A + 35 B1 + 30 B2 + 25 B3,
la cual sera maximizada.
Restricciones
1.
Capacidad de produccin de la lnea A.

A 60
2.
Capacidad de produccin de la lnea B.

B1 + B2 + B3 50
3.
Mxima cantidad de horas-hombre disponibles.

A + 2 B1 + 2 B2 + 2 B3 120
4.
Lmite de 10 para la utilidad unitaria de $ 35.

B1 10
5.
Lmite de 17 de incremento para la utilidad unitaria

de $ 30.
B2 17
Modelo
Max. z = 20 A + 35 B1 + 30 B2 + 25 B3

___________________________________________________________________________________________________________________
sujeto a
A
B1 +
A + 2 B1 +
B1
Solucin
A,
B1,
B2 +
B3
2 B2 + 2 B3
B2
B2,
B3
60
50
120
10
17
0
Solucin
ptima
A = 60
B1 = 10
B2 = 17
B3 = 3
z mx. = 2,135
Interpretacin
La mxima utilidad diaria que puede generar la

empresa emsambladora es de $ 2,135. Este monto lo
consigue ensamblando 60 unidades diarias del televisor
modelo A, y 30 unidades del televisor modelo B.
Modificacin 1
Surge como opcin para mejorar la eficiencia de la planta
ensambladora el especializar a los operarios.
Se
dividira la fuerza laboral en dos grupos de igual tamao.
El grupo 1 recibira una especializacin en el ensamblaje
del televisor A alcanzando una eficiencia de 0.75 horashombre por televisor.
El grupo 2 recibira una
especializacin en el ensamblaje del televisor B
alcanzando una eficiencia de 1.5 horas-hombre por
televisor.
Modelacin
La restriccin de la capacidad operativa tiene que ser
reem pl az ada por dos ya que con l a m odi fi caci n s e
contara con dos grupos de trabajo con especializaciones
y rendimientos diferentes.
Capacidad operativa del grupo 1:
0.75 A
<= 60

___________________________________________________________________________________________________________________
Capacidad operativa del grupo 2:

1.5 B1 + 1.5 B2 + 1.5 B3
<= 60
Solucin
La optimizacin del nuevo modelo lineal arroja una
utilidad mxima de $2,385 con una produccin diaria de
60 televisores A y 40 televisores B.
Modificacin 2
Sobre la modificacin 1 propuesta, surge la idea de hacer
flexibles a los grupos de trabajo.
La especializacin
contina pero se permitira que el grupo 1 pueda
ensamblar la lnea del televisor B con la eficiencia
original y el grupo 2 pueda hacerlo con el televisor B
pero tambin con la eficiencia original.
Modelacin
Todas las variables tienen que ser reemplazadas por la
suma de dos.
Una de ellas representa a la produccin
correspondiente del grupo 1 y la otra a la produccin del
grupo 2.
A = A1 + A2
B1 = B11 + B12
B2 = B21 + B22
B3 = B31 + B32
El modelo queda de la siguiente forma.
Maximizar
z = 20* A1 + 35* B11 + 30* B21 + 25* B31 + 20* A2 +
35* B12 + 30* B22 + 25* B32;

___________________________________________________________________________________________________________________
A1 + A2
<= 60;
B11 + B12 + B21 + B22 + B31 + B32

0.75*A1 + 2*B11 + 2*B21 + 2*B31
A2 + 1.5* B12 +1.5 *B22 + 1.5* B32
B11 + B12
<= 50;
<= 60;
<= 60;
<= 10;
B21 + B22
<= 17;
Solucin
La optimizacin del nuevo modelo arroja una utilidad
mxima de $2,572.50 con un programa diario de
produccin de 60 televisores A y 47.5 televisores B. El
grupo 1 ensambla 60 televisores A y 7.5 televisores B. El
grupo 2 ensambla 40 televisores B.
3.3
GESTION DE OPERACIONES DE PRODUCCION
Caso 5 : Estabilizando la produccin

-------El pronstico de ventas para un cierto producto durante
los doce meses del ao, es el siguiente:
Enero
Febrero
Marzo
Abril
M a yo
Junio
2,000
3,000
4,000
6,000
8,000
10,000
Julio
Agosto
Setiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
(MULTIPERIODO)
Caso en
operaciones de
produccin
multiperodo
10,000
6,000
4,000
3,000
2,000
2,000
Aumentar la produccin de un mes al siguiente

cuesta $ 1.00 por unidad, y disminuir la produccin
cuesta $ 0.50 por unidad. La produccin programada para
el mes de Diciembre del ao anterior fue de 2,000
unidades y el nivel de inventario para el 1ro. de Enero
ser de 1,000 unidades. La capacidad de almacenamiento
est limitada a 5,000 unidades en cualquier momento.

___________________________________________________________________________________________________________________
Formule un modelo para obtener un programa de

produccin para el siguente ao que minimize el costo de
cambiar las tasas de produccin , mientras al mismo
tiempo se asegure el stock suficiente para satisfacer las
ventas pronosticadas todos los meses. (Asumir que la
produccin programada para un determinado mes est
disponible para satisfacer la demanda del mismo mes).
Metodologa :
Variables no restringidas (Aquellas que
tomar valores tanto positivos como negativos)
pueden
Variables no
restringidas
E n l a m a yo r a d e p r o b l e m a s p r c t i c o s , v a l o r e s
negativos para las variables de decisin no tienen
sentido. Sin embargo, hay casos en que s. Como ejemplo,
en las operaciones de produccin podra suceder que un
c i e r t o p r o d u c t o s e e n c u e n t r e ya e n p r o d u c c i n y q u e u n
valor negativo para su tasa de produccin signifique una
disminucin de su nivel actual de produccin, dando
m ayor capaci dad para el evar el ni vel de producci n de
los otros productos.
Programacin
lineal
requiere
que
todas
sus
variables de decisin sean no negativas, por lo tanto
necesitamos de un artificio para poder solucionar
problemas con variables que pueden tomar valores no
negativos. La modificacin requerida depende si la
variable tiene un lmite inferior o no.
Tomemos primero el caso de una cierta variable
que debe satisfacer una restriccin de la forma:
xj
Variable con
lmite inferior
Lj ,
donde Lj es algn valor negativo.

Esta restriccin puede
negatividad normal haciendo
variable:
xj
convertirse en una
el siguiente cambio
no
de
x'j + Lj

___________________________________________________________________________________________________________________
Al reemplazar esta igualdad, xj Lj se convierte en x'j

0.
Programacin lineal trabaja luego con xj' en forma
regular.
El caso donde la variable no tiene lmite inferior
requiere tambin de un cambio de variable, pero ahora
de la siguiente forma:
xj = x'j - x"j , donde x'j 0,
Variable sin
lmite inferior
x"j 0.
Ya que x'j y x"j pueden tomar cualquier valor no

negativo, su diferencia (x'j - x"j) puede tener cualquier
valor positivo o negativo. Como veremos en la parte
t e r i c a d e P L , l a s o l u c i n d e l m o d e l o , ya c o n e l c a m b i o
de variable, tiene la propiedad de que x'j = 0 x"j = 0
ambos valores son igual a cero. Por lo tanto en la
solucin ptima se tiene,
x j si x j 0
x 'j
0 si x j 0
x si x j 0
x 'j' j
0 si x j 0
Dicho en otra forma :
Si
x'j =
x"j =
xj 0
xj
0
xj 0
0
| xj|
Para evitar que este proceso duplique el numero de

variables involucradas se puede hacer el siguiente
reemplazo,
xj = x'j - x", donde
x'j 0 ,
x" > 0
x" es la misma variable para todos los j, y se

tomar el menor valor entre los xj negativos.

___________________________________________________________________________________________________________________
Variables de Decisin
pi
= Produccin para el mes i ; i = 1,2,.....,.12
Ii
= Inventario al final del mes i ; i = 1,2,......,12
po
= 2,000
;
Io = 1,000
xi = Variacin de la produccion del mes i - 1 al mes i
= pi - pi - 1
Modelamiento
Representando la produccin en funcin de la variacin xi

p1 = po + x1 = 2,000 + x1
p2 = p1 + x2 = 2,000 + x1 + x2
generalizando,
i
pi = 2,000 + x j
j1
Restricciones :
1.
Balance de materiales
Llamaremos di = demanda del mes i.
Graficamente :
d1
Io
...
1
I
p1
di
Ii-1
d12
... I 11
12
Ii
pi
12
p12
Algebraicamente :
Ii = Ii-1 + pi - di
i
- Ii + Ii-1 + x j = di - 2,000
j1
i = 1,2,......,12
2.
Capacidad de almacenamiento
Ii 5,000
i = 1,2,......,12
Modelo
Las variables xi pueden ser tanto negativas como
positivas, por tanto requieren ser representadas por dos

___________________________________________________________________________________________________________________
variables (Una representa la parte positiva y la otra la

negativa).
xi
= xi' - xi"
El modelo resulta,
( 1.00xi' + 0.50xi" )
( x j' - x j" ) - Ii + Ii-1 = d i - 2,000
12
Min.
Suj. a:
z =
i 1
i
j1
5,000
Ii
xi' , xi" ,
Ii
i
0
= 1,2,......,12
La dimensin del modelo es de 36 variables (xi',

x "i, Ii) y 24 restricciones (12 balances de materiales y 12
niveles de inventario).
Solucin :
x'1
x'2
x'3
x'4
x'5
x'6
x'7
x'8
x'9
x'10
x'11
x'12
= 0
= 2,666.67
= 0
= 3,000.00
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
x'1
x'2
x'3
x'4
x'5
x'6
x'7
x'8
x'9
x'10
x'11
x'12
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 1,666.67
= 2,000.00
= 0
= 0
= 0
I1
I2
I3
I4
I5
I6
I7
I8
I9
I10
I11
I12
= 1,000.00
= 2,666.67
= 3,333.33
= 5,000.00
= 4,666.67
= 2,333.33
= 0
= 0
= 0
= 1,000.00
= 3,000.00
= 5,000.00
Solucin
ptima
z min = 7,500.00
Los valores x'i, x"i, obtenidos nos indican si hay

aumento o disminucin del nivel de produccin

___________________________________________________________________________________________________________________
respectivamente. Si conocemos el nivel de produccin de

Diciembre (mes 0), podemos fcilmente determinar los
niveles para los doce meses siguientes.
Interpretacin administrativa
Interpretacin
El mnimo costo de cambiar las tasas de produccin

satisfaciendo las ventas pronosticadas para los doce
meses indicados y sin excederse de la capacidad de
almacenamiento, es de $ 7,500.00. El programa de
produccin mensual para lograr ste costo mnimo es el
siguiente:
Mes
Enero
Febrero
Marzo
Abril
M ayo
Junio
Julio
Agosto
Setiembre
Octubre
Niviembre
Diciembre
3.4.
Produccin
2,000.00
4,666.67
4,666.67
7,666.67
7,666.67
7,666.67
7,666.67
6,000.00
4,000.00
4,000.00
4,000.00
4,000.00
GESTION DE OPERACIONES EN JUEGOS
Caso 6
:
Jugador prudente.
-------Un jugador interviene en un juego que requiere
dividir su dinero entre cuatro elecciones diferentes. El
juego tiene tres posibles resultados y no se conoce la
posibilidad de ocurrencia de ninguno de ellos. La tabla
siguiente nos da las ganancias o prdidas que se
obtienen por unidad monetaria puesta en cada eleccin,
correspondiente a los tres resultados posibles.
Caso en
operaciones
de juegos

___________________________________________________________________________________________________________________
Ganancia o (prdida) por dlar puesto

Eleccin
1
2
3
4
Resultado
1
-3
4
-7
15
2
5
-3
9
4
3
3
-9
10
-8
El jugador tiene un total de $ 500, con los cuales
puede jugar una sola vez. Debido a la incertidumbre total
sobre el resultado, el jugador quiere hacer la asignacin
que mximize su rendimiento mnimo, sto es, la cantida
que obtendra con el peor de los resultados. Si ste
rendimiento mnimo fuera negatvo, el jugador preferira
no apostar.
Le recomendara usted al jugador efectuar la
jugada? Si su respuesta es positiva, Cunto dinero
asignara a cada eleccin para satisfacer el deseo del
jugador?
Metodologa:
Seleccin entre
(max, min)
opciones
alternativas
En algunos casos de formulaciones se puede

encontrar la necesidad de querer elegir el menor (o
m ayor) ent re un det erm i nado conj unt o de ex pres i ones
algebricas lineales, las cuales son funcin de las
variables de decisin del problema. Tomemos como
ejemplo tres combinaciones lineales que identificaremos
por c1, c2 y c3. Deseamos elegir aquella que tome el
m e n o r v a l o r y q u e s t e v a l o r s e a e l m a yo r p o s i b l e . S i
representamos por Y al valor buscado, la funcin
objetivo ser :
Opciones
alternativas
Maximizar y = Min (c1 , c2, c3);

lo cual no es una expresin lineal. Para representar esta
problemtica mediante un modelo lineal debemos plantear
tres desigualdades quedando,
Max y
Suj. a
c1 y
c2 y

___________________________________________________________________________________________________________________
c3 y
Una de las tres desigualdades debe mantenerse como
i gual dad al l l egar a l a s ol uci n del m odel o ya que al
t r a t a r d e m a x i m i z a r e l v a l o r d e y, s t e v a l o r q u e d a r
limitado por el menor valor entre c1 , c2 y c3 .
Variables de Decisin
x1
x2
x3
x4
y
=
=
=
=
=
Monto apostado a la eleccin

El menor valor entre los tres
1.
2.
3.
4.
resultados
Modelamiento
posibles.
Funcin objetivo
z = y,
la cual sra maximizada.
Restricciones
1.
Total del dinero del jugador.

x1 + x2 + x3 + x4
2.
500
El valor de y es menor o igual al resultado 1.

-3x1 + 4x2 - 7x3 + 15x4
-3x1 + 4x2 - 7x3 + 15x4
3.

5x1 - 3x2 + 9x3 + 4x4
4.
y
- y 0
- y 0

3x1 - 9x2 + 10x3 - 8x4
- y
Modelo
Max.
Suj. a
x1 +
z = y
x2 + x3 +
x4
500

___________________________________________________________________________________________________________________
-3x1 +
5x1 3x1 x1 ,
4x2
3x2
9x2
x2
- 7x3 + 15x4 - y
+ 9x3 + 4x4 - y
+ 10x3 - 8x4 - y
,
x3 ,
x4 , y
0
0
0
0
Solucin
x1
x2
x3
x4
y
Solucin
ptima
=
=
=
=
=
0
0
287.50
212.50
1,175.00
z mx = 1,175.00
Le recomendamos al
que an con el peor de los
Para que esto se cumpla
eleccin 3 y $ 212.50 en la
Interpretacin
j u g a d o r e f e c t u a r l a j u g a d a , ya
resultados, ganar $ 1, 175.00.
debe apostar $ 287.50 en la
eleccin 4.
Variacin
Cambiemos las ganancias dadas para forzar un
resultado negativo. Esto lo logramos cambiando la
ganancia de la eleccin 4 en el resultado 1 de $ 15 a $
5. Al lanzar el modelo con este cambio, la solucin
ptima nos arroja,
Resultado
negativo
z mx = y = x1 = x2 = x3 = x4 = 0
L a d e c i s i n h a s i d o n o a p o s t a r , ya q u e a n e n e l m e j o r d e
los casos, el resultado ms bajo dar prdida, esto es, un
valor negativo. Si quisieramos conocer cunto es este
valor negativo y cules las apuestas que lo generan, se
necesita hacer uso de variables no restringidas. La
variable y podr tomar valores positivos o negativos por
lo que debemos efectuar el siguiente cambio de variable,
y = y' - y' '

___________________________________________________________________________________________________________________
Adems
la
primera
restriccin
debe
forzarse
c o n v i r t i n d o s e e n i g u a l d a d , ya q u e s i s e d e j a e n m e n o r o
igual, el proceso de maximizacin elegir el valor cero
antes que un valor negativo. El modelo correspondiente
es,
Max. z =
suj. a
500
x2
-3x1 + 4x2
5x1 - 3x2
3x1 - 9x2
x1 ,
x2
x3
x4
- 7 x 3 + 5 x 4 - y' +
+ 9x3
+ 4 x 4 - y' +
+ 6x3
- 8 x 4 - y' +
,
x3 ,
x 4 , y' ,
=
y' '
y' '
y' '
y' '
La solucin ptima de este modelo resulta,

x1 =
x2 =
x3 =
x4 =
y' =
y'' =
z mx
3.5
Modelo
y' - y ' '

x1
0
0
0
0
Solucin
ptima
342.11
0
0
157.89
0
236.84
= -236.84
GESTION DE OPERACIONES DE COMPRAS
Caso 7
--------
Compra y corte de bobinas de acero

___________________________________________________________________________________________________________________
Una cierta empresa fabrica una diversidad de

aparatos electrodomsticos. Todos ellos consumen la
ms importante materia prima del proceso productivo :
la lmina de acero. Una parte muy significativa del
costo total de los productos se debe a la compra de la
lmina de acero. Esta se compra en bobinas, las que se
consiguen actualmente en dos anchos : 4' y 6' . En el
proceso de produccin se requieren cuatro diferentes
anchos : 42'', 34'', 15'' y 10''. En todos los casos se trata
de la misma calidad y espesor de lmina. El precio de la
bobina de 4' es de $ 0.38 por pie lineal y el de la bobina
de 6', de $ 0.60. Para el prximo mes se han
determinado los requerimientos netos de lmina, segn
el ancho correspondiente.
Ancho (pulg.)
Rqmto. neto (pies)
42
400
34
350
15
1000
Caso en
operaciones
de compra
10
1500
La disponibilidad de compra en los proveedores

tradicionales de la empresa en este momento es de 750
pies de la bobina de 6' y de 5,000 pies de la de 4'.
C o n s t r u ya e l m o d e l o d e P L m e d i a n t e e l c u a l s e
determine la cantidad de pies de bobina que debe
comprarse de cada ancho y cmo debe procederse en el
corte para satisfacer los requerimientos netos indicados.
Modelamiento
Las bobinas puden ser cortadas en muchas

alternativas posibles. Enumeremos estas alternativas
considerando slo las formas eficientes, esto es, aquellas
cuyo des perdi ci o es m enor que 10'' (el m enor ancho
requerido). Estas se muestran en las Tablas 3.2 y 3.3
Forma
1
2
3
4
5
Cantidad de cortes de ancho...

42''
34''
15''
10''
1
0
2
0
1
0
1
1
1
0
0
3
0
2
0
0
0
1
2
0
Desperdicio
(pulg.)
0
5
0
4
8
Tabla 3.2
Alternativas de
corte para la
bobina de 6

___________________________________________________________________________________________________________________
6
7
8
9
10
11
12
Forma
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
4
3
2
1
0
2
3
1
2
4
5
7
3
8
2
7
2
7
2
Cantidad de cortes de ancho...

42"
34"
15"
10"
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
3
0
0
0
2
1
0
0
1
3
0
0
0
4
Ai = Cantidad de pies de la bobina

forma # i.
Bj = Cantidad de pies de la bobina
forma # j.
AT = Total de pies de la bobina de 6'
BT = Total de pies de la bobina de 4'
Desperdicio
( Pulg.)
6
4
3
8
3
8
Tabla 3.3
Alternativas
de corte para
la bobina
de 4
de 6' a cortar en la
de 4' a cortar en la
que se comprarn.
que se comprarn.
Funcin objetivo
Se puede enfocar el objetivo desde el punto de vista
de generar la menor cantidad de desperdicio de materiales
o desde un punto de vista econmico, minimizando el
gasto total en la compra de las bobinas.
Objetivos
alternativos
En el primer caso se minimiza el rea total de los

desperdicios, sto es,
Minimizar z = 5 A2 + 4 A4 + 8 A5 +3 A6 + 8 A7 + 2 A8
+
7 A9 + 2A10 + 7 A11 + 2 A12 + 6 B1 + 4
B8
+ 3 B3 + 8 B4 + 3 B5 + 8 B6

___________________________________________________________________________________________________________________
En el segundo caso,
Minimizar z = 0.60 AT + 0.38 BT
Restricciones
1.
Cantidad total de pies de la bobina de 6'

AT - A1 - A2 - A3 - A4 - A5 - A6 - A7 - A8 - A9 -
2.
Cantidad total de pies de la bobina de 4'

BT - B1 - B2 - B3 - B4 - B5 - B6 = 0
3.
Disponibilidad de compra de la bobina de 6'

AT 750
4.
Disponibilidad de compra de la bobina de 4'

BT 5000
5.
Requerimento neto de lmina de 42"

A1 + A2 + A3 + B1 400
6.

2A4 + A5 + A6 + A7 + B2 350
7.
8.
+
A10 - A11 - A12 = 0

2A1 + A2 + 2A5 + A6 + 4A8 + 3A9 + 2A10 + A11 +
3B3 + 2B4 + B5 1000
A2 + 3A3 + 2A6 + 3A7 + A8 +2A9 + 4A10 + 5A11
7A12 + B2 + B4 + 3B5 + 4B6 1500
Modelo
En el primer caso de la funcin objetivo, sto es,
minimizando la cantidad de desperdicio, el modelo
resulta:
Min. z = 5 A2 + 4 A4 +8 A5 +3 A6 +8 A7 + 2 A8 +7 A9
+2
A10 +7A11 + 2 A12 + 6 B1 + 4 B2 + 3 B3 + 8 B4
+3 B5 + 8 B6

___________________________________________________________________________________________________________________
Sujeto a :
AT - A1 - A2 - A3 - A4 - A5 - A6 - A7 - A8 - A9 - A10 - A11 - A12 =
0
BT - B1 - B2 - B3 - B4 - B5 - B6
=
AT
BT
A1 + A2 + A3 + B1
2A4 + A5 + A6 + A7 +B2
350
2A1 + A2 + 2A5 + A6 + 4A8 + 3A9 + 2A10 + A11 + 3B3
2B4 + B5
A2 + 3A3 + 2A6 + 3A7 + A8 + 2A9 + 4A10 + 5A11 +

7A12 + B2 + B4 + 3B5 + 4B6
0
750
5000
400
+
1000
1500
AT ,A1 ,A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A11, A12, BT,
B1, B2, B3, B4, B5, B6
0
En el segundo caso, se minimizar el gasto total de

las compras. Slo es necesario cambiar la funcin
objetivo,
manteniendo
el
mismo
conjunto
de
restricciones. La nueva funcin objetiva es,
Min. z = 0.60 AT + 0.38BT
Solucin
Con
la
funcin
objetivo
minimizando
desperdicio en material, la solucin ptima es,
AT
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
= 750.00
= 400.00
= 0
= 0
= 144.44
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 205.56
BT
B1
B2
B3
B4
B5
B6
=
=
=
=
=
=
=
el
Solucin
ptima
127.78
0
61.11
66.67
0
0
0
Z mn. =
1433.33

___________________________________________________________________________________________________________________
Con la funcin objetivo minimizando el costo total

de la compra de bobinas, la solucin ptima es,
AT
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
= 400.00
= 16.67
= 0
= 383.33
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
BT
B1
B2
B3
B4
B5
B6
=
=
=
=
=
=
=
672.22
0
350.00
322.22
0
0
0
Z mn. = 495.44
Interpretacin Administrativa:
Interpretacin
Describiremos las dos soluciones encontradas en

forma paralela para facilitar la comparacin. La lectura
debe hacerse independientemente por columna.
Minimizando el desperdicio
en material
Minimizando el
costo total
De la bobina de 6' de ancho comprar

750.00 pies
400.00 pies
los cuales deben cortarse en las siguientes longitudes :

Forma
Forma
Forma
Forma
#
#
#
#
1 :
3 :
4 :
12 :
400.00
0.00
144.44
205.56
pies
pies
pies
pies
16.67
383.33
0.00
0.00
pies
pies
pies
pies
De la bobina de 4 de ancho comprar :

127.68 pies
672.22 pies
los cuales deben cortarse en las longitudes siguientes :


___________________________________________________________________________________________________________________
Forma # 2 :
Forma # 3 :
61.11 pies
66.67 pies
350.00 pies
322.22 pies
El desperdicio de material generado por el corte indicado

es
1433.33 pulg-pie
4283.33 pulg-pie
El gasto total de la compra es :

$ 498.56
3.6.
$ 495.44
GESTION DE OPERACIONES MILITARES
Caso 8 : Comando de bombarderos

--------El estratgico comando de bombarderos recibe
instrucciones para interrumpir la produccin de tanques
del enemigo. El enemigo tiene cuatro plantas claves
localizadas en ciudades separadas, y la destruccin de
cualquiera de las plantas detendr efectivamente la
produccin de tanques.
Existe una aguda escasez de combustible, la cual
limita el suministro para esta misin a 48,000 galones.
Cualquier bombardero enviado a cualquier ciudad
particular debe tener por lo menos suficiente combustible
para el viaje de ida y vuelta ms una reserva de 100
galones.
El nmero de bombarderos disponibles para
comando y sus descripciones se listan a continuacin:
Tipo de
bombardero
1
2
Descripci
n
Pesado
Medio
Km. por
galn
2
3
Caso en
operaciones
militares
el
Nmero
disponible
48
32
La informacin acerca de la localizacin de las

plantas, y de su vulnerabilidad al ataque de un
bombardero medio y de un bombardero pesado se dan en
la siguiente tabla:

___________________________________________________________________________________________________________________
Planta
Distancia a
la base, Km.
1
2
3
4
450
480
540
600
Probabilidad de destruccin por un..

bombardero pesado
bombardero
medio
0.010
0.008
0.020
0.016
0.015
0.012
0.025
0.020
El comando debe decidir cuntos bombarderos de

cada tipo deben ser enviados y cmo deben ser asignados
entre los cuatro puntos de ataque, de manera de
maximizar la probabilidad de xito. Se asumir que
ningn dao significativo es infligido por un bombardero
que falla en la destruccin de la planta.
Modelamiento
Se tienen dos tipos de bombarderos y cuatro

ciudades posibles donde enviarlos. Tenemos por lo tanto
ocho variables de decisin que identificaremos por
xij
= Nmero de bombarderos del tipo i enviados

a la ciudad j.
para
i = 1, 2 ; j = 1, 2, 3, 4
Funcin objetivo
Deseamos maximizar la probabilidad de destruir al
menos una planta, y esto es equivalente a minimizar la
probabilidad de no destruir ninguna planta. Usando Q
para denotar esta probabilidad,
Q = ( 1 - 0 . 0 1 0 ) X 11 ( 1 - 0 . 0 2 0 ) X 12 ( 1 - 0 . 0 1 5 ) X 13
( 1 - 0 . 0 2 5 ) X 14 ( 1 - 0 . 0 0 8 ) X 21 ( 1 - 0 . 0 1 6 ) X 22
( 1 - 0 . 0 1 2 ) X 23 ( 1 - 0 . 0 2 0 ) X 24
La funcin Q generada no es lineal. Sin embargo
recordemos que minimizar Q es lo mismo que minimizar
logQ y log Q es lineal en xij. Llamando z a log Q
multiplicado
por
10
para
evitar
problemas
de
escalamiento (nmeros muy pequeos con otros muy
grandes en el mismo modelo) tenemos;
Transformacin
de la funcin
objetivo

___________________________________________________________________________________________________________________
z = 10 * logQ = - 4.365 x11 - 8.774 x12 - 6.564 x13 10.995x14 - 3.488x21 - 7.005 x22 - 5.243 x23 - 8.774 x24
Restricciones
1.
Veamos ahora la restriccin impuesta sobre los
valores de xij debido a la escasez de combustible,
2*450
2*480
2*540
2*600
2*450
2*480
2*540
x11
x12
x13
x14
x 21
x 22
x 23
2
2
2
2
3
3
3
2*600
x 24 100 (x11 x12 x13 x14 x 21 x 22 x 23 x 24 )
3
48,000
lo cual simplificando nos queda,

550 x11 +580 x12 + 640 x13 + 700 x14 + 400 x21 + 420
x22 + 460 x23 + 500 x24
48,000
2.
es :
3.
La limitacin por cantidad de bombarderos pesados

x11 + x12 + x13 + x14 48
La limitacin por cantidad de bombarderos medios

es:
x21 + x22 + x23 + x24 32
Modelo
Minimizar Z= - 4.365x11 - 8.774x12 - 6.564x13 10.995x14
- 3.488x21 - 7.005x22 - 5.243x23 - 8.774x24
Sujeto a,
550x11 +580x12 +640x13 +700x14 + 400x21

+ 420x22 + 460x23 + 500x24
48,000
x11 + x12 + x13 + x14
48
x21 + x22 + x23 + x24
32
x11, x12 , x13 , x14 , x21 , x22 , x23 , x24 0
Solucin :
Solucin
ptima

___________________________________________________________________________________________________________________
x11 =
x12 =
x13 =
x14 =
x21 =
x22 =
x23 =
x24 =
0
0
0
45.71
0
0
0
32
z mn. =
-783.3965714
Q m n = a n t i l o g ( Z * 10 3 ) = 0 . 1 6 4 7
Interpretacin
L a m a yo r p r o b a b i l i d a d d e x i t o d e l a m i s i n e s d e
83.53% (100.00-16.47) la cual se logra enviando 45.71
bombarderos pesados a la planta 4 y 32 bombarderos
medios tambien a la planta 4. Obviamente la continuidad
de las variables de PL originan un problema de
interpretacin
fsica.
Es
imposible
enviar
45.71
bombarderos. O se envian 46, violando las reglas el
combustible, o se envian 45, bajando la probabilidad de
xito de la misin a 83.23% y desconociendo si esta es
realmente la solucin ptima.
En estos casos se hace necesario adicionar la
restriccin de valores enteros para las variables de
decisin del modelo. Estaramos en el tema de
programacin entera que se ver en el capitulo... La
solucin ptima para el modelo con estas caracteristicas
nos arroja una mxima probabilidad de xito de 83.50%
lo cual se logra enviando :
Solucin mediante
programacin
entera
1 bombardero pesado a la planta 2

45 bombarderos pesados a la planta 4
1 bombardero medio a la planta 2 y
31 bombarderos medios a la planta 4.
3.7
1.
PROBLEMAS
U n a c i e r t a c o m p a i a t i e n e l a d i s yu n t i v a d e d e c i d i r s i p r o d u c e e n s u s
propios talleres o se abastece de terceros dos productos que
identificaremos por A y B. Producir una unidad del producto A cuesta
$1.00 y comprarla externamente, $1.20. Para el B producir una unidad
cuesta $1.70 y comprarla , $1.50. Las tasas de produccin interna son
de tres por hora y 5 por hora para A y B respectivamente. Los

___________________________________________________________________________________________________________________
requerimientos mnimos son 100 de A por semana y 200 de B por

semana. Existen 40 horas semanales de taller disponibles, y se
calcula que una hora de tiempo ocioso del taller cuesta
aproximadamente $2.50. No se pueden producir mas de 60 unidades
de A ni mas de 120 de B. El abastecimiento de B est limitado a 130
unidades semanales.
Formular el problema mediante un modelo de programacin lineal.
2.
Un inversionista tiene dos alternativas de inversin, A y B,

disponibles al comienzo de cada uno de los siguientes cinco aos.
Cada $1,000 invertidos en A al inicio de un ao, retornan $1,500 (una
utilidad de $500) despus de dos aos. cada $1,000 invertidos en B al
comienzo de un ao, retornan $1,900 tres aos despus.
Adems de estas dos alternativas, existen otras dos, C y D, las cules
estarn a dispocisin del inversionista por una nica vez. La C est
accesible al inicio del primer ao y retornar $2,000 cuatro aos
despu por cada $1,000 invertidos. La D estar accesible al inicio del
tercer ao y retornar $1,300 un ao despus por cada $1,000
invertidos.
El inversionista cuenta con 10 millones de dlares al inicio del
primer ao. El desea maximizar la cantidad de dinero que pueda
acumular al final del quinto ao. Durante estos 5 aos el es libre de
invertir y de reinvertir todo su dinero entre las alternativas
disponibles. Formular el modelo de programacin lineal para este
problema.
3.
Una fbrica de cemento tiene cuatro tipos de cemento que produce y

comercializa. El proceso de produccin tiene tres etapas: mezclado,
moldeado e inspeccin. La capacidad en horas mensuales de estas tres
etapas, el requerimiento en horas
por tonelada de cada tipo de
cemento en las tres etapas y la utilidad unitaria por tonelada de cada
tipo se dan en la siguiente tabla :
Etapas
Mezclado
Moldeado
Inspeccin
Utilidad
Unitaria
Horas / ton. para el tipo de cemento

1
1
1.5
0.5
2
2
2
0.6
3
10
4
1
4
16
5
2
$ 8
$14
$ 30
$ 50
Horas por
mes
800
1000
340

___________________________________________________________________________________________________________________
Formular el modelo lineal que determine el programa de produccin

que maximice las utilidades mensuales.
4.
Una cierta siderrgica produce tres tipos de bobinas, cada una hecha
de diferente aleacin. El flujo de produccin es el siguiente:
Aleacin 1
Recocido
Aleacin 2
primario
Aleacin 3
Recocido
Rolado
secundario
en fro
El problema consiste en determinar las cantidades a producir de cada

aleacin de manera de maximizar las utilidades, pero satisfaciendo
las limitaciones de ventas y las capacidades de las mquinas. Estos
datos estn dados en las siguientes tablas :
Operacin
Recocido
primario
Recocido
secundario
Rolado en fro
Aleaci
n
1
Cantidad de
mquinas
4
Turnos de 8 horas
por semana
21
20
10
12
Operacin
Rec. primario
Rolado
Rec.secundari
o
Tasa de
produccin
28 hr. por 10
tons.
50 pies por
min.
20 "
"
"
Potencial de
ventas
1,250 tons.
por mes
Tiempo
muerto (%)
5
Utilidad
por ton.
$ 25

___________________________________________________________________________________________________________________
Rolado
Rec. primario
Rec.secundari
o
Rolado
Rec.secundari
o
Rolado
25 "
"
"
35 hr. por 10
tons.
20 pies por
min.
25 "
"
"
16 "
"
"
20 "
"
250 tons.
por mes
$ 35
1,500 tons.
por mes
$ 40
"
Las bobinas de cualquiera de las aleaciones miden 400 pies de

longitud y pesan 4 tons. Formular la funcin objetivo y las
restricciones de manera de poder resolver el problema dentro de
programacin lineal.
5.
Un fabricante de embarcaciones deportivas desea formular un plan de

produccin para los siguientes seis meses. El fabrica dos tipos de
botes: pequeos y grandes. Quiere determinar las siguientes
cantidades : la cantidad de cada tipo de botes a vender cada mes, la
cantidad de cada tipo de botes a producir cada mes, el programa de
compra para los tres principales componentes de fibra de vidrio
usados en los botes y el programa de reclutamiento y despido de sus
operarios.
La demanda para los botes se presenta slo en los meses 5 y 6 del
plan. El precio de venta esperado por cada bote es como sigue :
Mes
5
6
Botes grandes
Menos de
Entre 1,000 y
1,000
2,000
$ 10,000
$ 8,000
9,000
7,000
Botes pequeos
Menos de
Entre 5,000 y
5,000
10,000
$ 1,000
$ 800
900
700
Los botes pueden ser producidos en cualquier mes, pero hay un costo
de inventario de $ 200 por mes por cada bote grande y $ 100 por mes
por cada bote pequeo.
Cada bote grande tiene las siguientes caractersticas de produccin :

___________________________________________________________________________________________________________________
a.
Requiere 2,000 kg. de fibra de vidrio. La fibra de vidrio debe

consistir de :
al menos 40% de material A (por peso)
al menos 10% de material B
al menos 20% de material C
b.
Requiere 200 horas de mano de obra.
Cada bote pequeo tiene las siguientes caractersticas de produccin :

a.
Requiere 150 kg.
consistir de :
al menos 20%
al menos 30%
al menos 30%
b.
de fibra de vidrio. La fibra de vidrio debe de

de material A
de material B
de material C
Requiere 40 horas de mano de obra.
Los materiales A, B y C tienen un costo constante de $ 0.20, $ 0.10 y

$ 0.30 respectivamente por kilo. La disponibilidad es ilimitada.
La fuerza laboral actual consiste de 1,500 personas. Cada persona
trabaja 160 horas regulares por mes, y un mximo de 40 horas
mensuales de sobretiempo. La hora regular se paga a razn de $ 4 y el
sobretiempo cuesta $ 6 por hora. La fuerza laboral puede
incrementarse a un costo de $ 500 por trabajador o reducirse a un
costo de $ 320 por trabajador. La fuerza laboral al final de los seis
meses debe ser la misma que la actual.
6.
Formular un modelo de programa lineal que produzca todas las

cantidades que el fabricante quiere determinar.
Una cierta compaa vende dos grados de gasolina para aviacin,
extra y regular. Cada una debe satisfacer condiciones como mxima
presin de vapor tolerable y mnimo octanaje requerido. Estas
especificaciones mas algunos datos relevantes se muestran en la
siguiente tabla:
Gasolin
a
Extra
Regular
Presin de
vapor
maxima
6
7
Octanaje
mnimo
Demanda semanal
mxima (barriles)
100
95
10,000
50,000
Precio
por
barril
$ 9.00
8.00

___________________________________________________________________________________________________________________
Dos clases de insumos son usados para producir las

mencionadas. Ellos tienen las siguientes caractersticas:
Insumo
Clase A
Clase B
Presin
de vapor
Octanaje
8
5
105
90
Maximo
suministro
(barriles)
20,000
30,000
gasolinas
Costo por
barril
$ 7.00
6.00
La compaia quiere maximizar las utilidades semanales generadas por

la venta de los dos grados de gasolina.
Formular el problema propuesto como uno de programacin lineal.
Analice claramente el significado de cada variable y cada restriccin
usadas. Resolverlo usando un paquete computacional.
7.
Una planta qumica esta planeando la produccin para los siguientes

dos meses. La planta produce dos productos comerciales, 1 y 2. Cada
mes se pueden vender hasta 4000 lbs.del producto 1 a razn de $.1.00
por lb. El producto 2 se puede vender a $.1.25 por lb. las primeras
2000 lbs. de produccin. Se pueden vender 2000 lbs. adicionales pero
a solo $.0.90 por lb. Ninguno de los dos productos puede ser
almacenado para ser vendido el siguiente mes.
El proceso qumico mezcla las materias primas A, B y C
en
proporciones de 0.4, 0.3, 0.3 respectivamente. Del proceso se obtiene
30% del producto 1, 40% del producto 2, 20% de materia A impura y
10% de materia B impura. Las materias primas puras A, B y C, pueden
comprarse por $ 0.50, $ 0.32 y $ 0.05 por lb. respectivamente. No hay
lmite en las cantidades de B y C que se pueden comprar en ambos
meses. De A se pueden comprar solo 6000 lbs. durante el primer mes
y nada en el segundo mes. Almacenar una lb. de A del primero al
segundo mes cuesta $0.10.
La materia A impura producida durante el primer mes puede ser
procesada para obtener A pura pero perdiendose un 25% de peso que
debe ser descartada. Procesar A impuro cuesta $ 0.10 por lb. Toda la
materia A impura producida en el segundo mes debe ser descartada
tambien.
D e b i d o a l e ye s s o b r e c o n t a m i n a c i n , s e e s t a n a p l i c a n d o i m p u e s t o s
sobre todo el material descartado como desperdicio qumico. Por las
primeras 1000 lbs. descartadas por mes se cobra $0.10 por lb. y si

___________________________________________________________________________________________________________________
hubiera mas se cobra

mes.
$0.25 por lb. adicional de desperdicio en el
Formular el modelo de programacin lineal que determine, cuando sea

resuelto, los valores optimos para todas las variables de decisin
involucradas en este problema.
8.
Un cierto taller produce dos artculos, A y B, mediante cuatro

mquinas. Existen varias posibilidades para la fabricacin de cada
artculo, y la utilidad unitaria depende de la combinacin particular
de mquinas que se use. La tabla siguiente nos da las diferentes rutas
posibles, los tiempos correspondientes y los valores de las utilidades.
Producto
Ruta
1
2
1
2
3
4
Horas
disponibles por
semana
9.
Tiempo de Produccin unitario (hrs)

mquinas
1
2
3
4
0.5
----0.2
--------0.4
0.2
-----
0.4
0.4
---------
--------0.6
0.6
0.3
----0.3
-----
----0.4
----0.4
38
40
37
23
Utilida
d
unitaria
$
2.0
0
2.50
5.00
4.00
4.00
3.00
La empresa tiene contratos que exigen que se produzcan cuanto

menos 100 unidades de A y 85 unidades de B cada semana. El
problema consiste en determinar el programa de produccin ms
rentable para el taller.
Formule el modelo de programacin lineal que represente el
problema. Explique claramente el significado de cada una de las
variables y restricciones utilizadas.
Una cierta compaia ha decidido implementar un fondo de pensiones
para sus empleados. El principal objetivo del fondo es obtener un
determinado retorno a riesgo mnimo, aunque siempre se requerir un
cierto ingreso en efectivo para pago de beneficios.
Las reglas bsicas bajo las que el administrador del fondo opera son
relativamente simples. Al menos 1% de los activos del fondo deben
ser mantenidos en efectivo. Al menos 25% de los activos deben estar

___________________________________________________________________________________________________________________
en bonos o efectivo, de los cuales el 10% mnimo debe estar en Bonos

del Tesoro. El resto puede ser invertido en acciones de compaias
que estn aprobadas por el Directorio de la empresa. De la inversin
en acciones, al menos el 10% de los activos deben ser puestos en
acciones de la propia compaia.
Los activos del fondo son inicialmente $ 5 millones. Si se logra un
6% de retorno por ao fuera de los gastos en efectivo, el fondo estar
autofinanciado no requiriendo aportes adicionales de la compaia.
Por tanto el objetivo del administrador del fonde es el de obtener un
ingreso en efectivo, suficiente para satisfacer los gastos que son
aproximadamente $125,000 el primer ao, y un retorno de un 6% en
activos del fondo con un mnimo de riesgo. Las utilidades del fondo
no estn sujetas a impuestos. Todo ingreso no requerido para gastos
puede ser reinvertido.
El directorio ha aprobado las acciones de 10 compaas y 2 bonos
cuyos dat os rel evant es s on l os s i gui ent es :
Valores
Precio
$
Tasa de
crecimiento
(%)
5
30
20
8
10
Dividendos
(%)
Desviacin
estandar (%)
Compaa A
50
4.6
0.5
Compaa B
30
1.4
20.0
Compaa C
100
1.5
5.0
Compaa D
80
3.0
3.0
Propia
70
3.5
2.0
Compaa
Compaa E
300
15
0.9
2.0
Compaa F
80
25
0.0
10.0
Compaa G
60
60
0.0
50.0
Compaa H
45
9
4.4
3.0
Compaa I
35
8
3.9
1.0
Bonos A
80
--5.9
0.1
Bonos B
85
--6.5
0.2
Bonos del
----4.5
--tesoro
Efectivo
--------Determinar el portafolio menos riesgoso con un 6% de retorno.
Utilizar como medida de riesgo a la desviacin estndar del
comportamiento de la accin. Formular el modelo de programacin
lineal que resuelva el caso.

___________________________________________________________________________________________________________________
10. Una cierta empresa produce rollos de papel de 12" de ancho por 1000'
de longitud. Estos rollos estndares son comprados por muchos de sus
clientes. Sin embargo, existen algunos clientes que exigen recibir
rollos de anchos especiales, especficamente, de 2", 3 1/2", y 5".
Todos ellos en 1000' de longitud. En estos momentos las cantidades
demandadas son de 500 rollos de 2", 2000 rollos de 3 1/2", y 1500
rollos de 5". Estos rollos especiales tienen que ser cortados de los
rollos estndares de 12". La empresa est considerando alternativas
de corte que no produzcan ms de 1" de desperdicio. Se han
seleccionado las siguientes seis alternativas :
Cantidades de rollos de papel
2"
3 1/2"
5"
Alternativas
1
2
3
4
5
6
6
4
3
2
1
0
0
1
0
2
0
2
0
0
1
0
2
1
Desperdicio
0"
1/2"
1"
1"
0"
0"
Se quiere encontrar el programa de corte que minimice el total de

desperdicios. Formule el modelo de PL que resuelva el problema.
11. Un embotellador de Whisky importa tres grados de este licor: A, B y
C. Estos grados se mezclan de acuerdo a recetas que especifican los
porcentajes mximos o mnimos de los grados A y C en cada mezcla.
Estos se muestran en la siguiente tabla :
Mezcla
"Punto Azul"
"Baile
de
alturas"
las
"Delirio Viejo"
Especificacin
No menos de 60% de
A
No ms de 20% de C
No ms de 60% de C
No menos de 15% de
A
No ms de 50% de C
Precio por litro

$ 6. 80
$ 5. 70
$ 4. 50

___________________________________________________________________________________________________________________
El suministro de los tres Whiskies bsicos y sus costos respectivos se

indican en la siguiente tabla.
W h i s k e ys
A
B
C
Cantidad mxima
disponible
(Litros por da)
2 000
2 500
1 200
Costo por litro
$ 7. 00
$ 5. 00
$ 4. 00
Se requiere encontrar un plan de produccin que maximice las

u t i l i d a d e s . C o n s t r u ya e l m o d e l o d e P L q u e d e t e r m i n e d i c h o p l a n .
12. Aeroper debe decidir cuntas nuevas aeromozas debe reclutar y
entrenar durante los siguientes seis meses. Los requerimientos de
horas de vuelo de aeromozas son de 8000 horas en enero; 9000 en
febrero; 8000 en m arz o; 10000 en abri l ; 9000 en m ayo; y 12000 en
junio.
El entrenamiento de una aeromoza antes de que pueda ser ubicada en
un vuelo regular es de un mes de modo que sta debe ser reclutada
por lo menos un mes antes de que se le necesite. Un entrenamiento
exige 100 horas de experiencia real en vuelo durante el
correspondiente mes. Asi, por cada seorita en entrenamiento, se
dispone de 100 horas menos para servicio de vuelos de las aeromozas
regulares.
Toda aeromoza regular puede trabajar hasta 150 horas en un mes.
Aeroper cuenta con 60 aeromozas disponibles a comienzos de Enero.
Si el total del tiempo disponible de las aeromozas regulares excede el
tiempo requerido de vuelo y de entrenamiento, ellas trabajan menos
de 150 horas y no se despide a ninguna. Cada mes, renuncian
aproximadamente un 10% de las aeromozas regulares por motivos de
ascensos, matrimonios y otros.
Una aeromoza regular le cuesta a la compaia $800 por mes y una
seorita en entrenamiento, $400.
a. Formular el problema de reclutamiento y entrenamiento como un
modelo de programacin lineal. Llamar xt al nmero de seoritas que
comienza el entrenamiento en el mes t. Definir todo smbolo
adicional que necesite para expresar las variables de decisin.
b. El problema est asumiendo un horizonte de tiempo de 6 meses.
Suponga que los requerimientos del mes de Julio se agregan al

___________________________________________________________________________________________________________________
modelo. La solucin anterior necesariamente cambiar? . Explique su

respuesta.
13. La estructura de un cierto producto industrial es la siguiente :
Producto
final
4
Componente
A
Materia prima
1
Componente
B
Materia prima
2
Materia prima
1
Materia prima
2
Cada unidad del producto requiere 4 unidades de A y 3 unidades de B.

E s t o s d o s c o m p o n e n t e s u t i l i z a n d o s m a t e r i a s p r i m a s , 1 y 2 , c u ya s
disponibilidades para el siguiente perodo son de 100 y 200 unidades
respectivamente. La conversin de materias primas a componentes se
puede hacer hasta en 3 centros de trabajo, cada uno de los cuales
utiliza un mtodo distinto de fabricacin. El trabajo es por lotes. Los
requerimientos y la produccin por cada lote segn donde sea
fabricado, se muestran en la siguiente tabla :
Centro de
Trabajo
1
2
3
Requerimiento (un.)
M. prima 1
M. prima 2
8
5
3
6
9
8
Produccin (un.)
Component Component
e A
e B
7
5
6
9
8
4
Formular el modelo de PL que determine la cantidad de lotes a

fabricar en cada centro de trabajo de manera de maximizar la cantidad
de unidades del producto final para el siguiente perodo.

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seguridad puestas por el

La demanda para prstamos a corto plazo nunca ha

= dlares invertidos en prstamos comerciales.

la cual sera maximizada

Lmite de demanda para prstamos a corto plazo.

Prstamos comerciales menores o iguales

Invertir al menos 60% del total en hipotecas.

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-0.60x1 + 0.40x2 - 0.60x3 + 0.40x4 - 0.60x5 0

Por lo menos $2 invertidos en primeras hipotecas

z = 0.15x1 + 0.10x2 + 0.136x3 + 0.14x4 + 0.18x5

Satisfaciendo las regulaciones puestas por el

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donde Lj es algn valor negativo.

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Al reemplazar esta igualdad, xj Lj se convierte en x'j

Ya que x'j y x"j pueden tomar cualquier valor no

Para evitar que este proceso duplique el numero de

x" es la misma variable para todos los j, y se

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