Xuletari Ones

Chuletarios y ejercicios de fsica
2 de Bachillerato
Julin Moreno Mestre

Estudiante de Ciencias Fsicas
Universidad Complutense de Madrid
"Lo que hacemos por nosotros mismos, muere con nosotros. Lo que hacemos por los
dems y por el mundo, permanece y es inmortal." Albert Payne

2 de Bachillerato
"Hay otro tipo de cosa que no entendis, queriendo decir: no me lo creo, es demasiado
descabellado, es el tipo de cosa que simplemente no voy a aceptar. Con esto espero que
estis conmigo y tenis que aceptarlo porque es as como funciona la naturaleza. Si
queremos saber el modo en que funciona la naturaleza, la miramos cuidadosamente,
observndola y... se es el aspecto que tiene. No te gusta? Pues vete a otra parte, a
otro universo donde las reglas sean ms simples, filosficamente ms agradables,
psicolgicamente ms fciles. No puedo evitarlo vale? Si voy a deciros honestamente
como parece ser el mundo para los seres humanos que han luchado tan duro como han
podido para entenderlo, slo puedo deciros el aspecto que tiene".
Richar P. Feynman (Describiendo la mecnica cuntica).
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
ndice:
Introduccin..
Bibliografa
Oscilaciones
Chuletario de oscilaciones..
Ejercicios de oscilaciones...
Problemas y cuestiones de oscilaciones.
5
6
8
Ondas
Chuletario de ondas....
Ejercicios de ondas.
Problemas y cuestiones de ondas...
13
14
18
Gravitacin
Chuletario de gravitacin...
Ejercicios de gravitacin....
Problemas y cuestiones de gravitacin...
25
26
29
Electrosttica
Chuletario de electrosttica....
Ejercicios de electrosttica.
Problemas y cuestiones de electrosttica...
39
40
43
Magnetismo
Chuletario de magnetismo..
Ejercicios de magnetismo..
Problemas y cuestiones de magnetismo.
49
50
56
ptica
Chuletario de ptica...
Ejercicios de ptica....
Problemas y cuestiones de ptica...
67
68
73
Fsica cuntica
Chuletario de ptica...
Ejercicios de ptica....
Problemas y cuestiones de ptica...
83
84
87
Fsica nuclear
Resumen de fsica nuclear..
Ejercicios de fsica nuclear.
Problemas y cuestiones de fsica nuclear...
93
95
98

2 de Bachillerato
Introduccin:
El presente texto tiene por objetivo facilitar a mis alumnos una coleccin de ejercicios
para que desarrollen los conocimientos tericos dados tanto en mis clases como en las
suyas del colegio. Como bien dice la frase de Albert Payne estampada en la portada,
este texto tiene por objetivo servir de ayuda.
Ofrezco esta coleccin de ejercicios a todos aquellos estudiantes de la asignatura de
fsica 2 de Bachillerato. Tambin a todos los profesores de colegio, instituto,
particulares o de academia.
En prximas revisiones se incorpora un captulo de relatividad especial. Se incorporaran
ms soluciones finales de los ejercicios de selectividad, posiblemente la solucin
completa y paso por paso de los ejercicios de selectividad.
Este texto contiene fragmentos de ejercicios de libros, por ello puede dar problemas su
venta con fines comerciales. Tan solo se puede y se debe distribuir con fines docentes y
sin ningn nimo de lucro.
Julin Moreno Mestre
1 de octubre de 2008
Bibliografa.
Dado que este es un texto de ejercicios, se recomienda la adquisicin de un libro de
fsica de 2 de Bachillerato como complemento terico para este. Los que recomiendo
son:
Fsica 2 Bachillerato, Alberto Galindo Txiare y otros, Ed Mac Graw Hill.
Fsica 2 Bachillerato, ngel Pea y Jos ngel Garca, Ed Mac Graw Hill.
El libro de Alberto Galindo es un libro bastante avanzado para el curso de 2 de
Bachillerato. El de ngel Pea es un libro ms indicado y bsico para la asignatura.
Tambin recomiendo el libro de carrera:
Paul A. Tipler, Fsica, Volumen 1 y 2, Ed Reverte.
Siendo este un libro muy completo, que no es solo valido para 2 de Bachillerato, sino
para primeros cursos de carrera.
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Chuletario de Oscilaciones Armnicas

El oscilador armnico simple:
Solucin general del oscilador armnico:
Ecuacin diferencial:
2
d x
x(t ) = c1 cos( t ) + c2 sin( t )
= 2 x
dt 2
Solucin con amplitud de oscilacin A y desfase :
x(t ) = A sin( t + )
frecuencia normal de oscilacin
Definicin: Se denomina frecuencia normal de oscilacin a la frecuencia angular de oscilacin.
Definicin: Se llama modo normal de oscilacin a la oscilacin armnica con frecuencia .
El muelle:
Imaginemos un muelle de constante elstica k sobre el que se ha colocado una masa
m, este se estira hasta alcanzar la posicin de equilibrio. Si ahora es perturbado,
entonces describir un movimiento armnico simple, describible mediante la ley de
Hook y la definicin de fuerza de la 2 ley de Newton:
F = k x = ma
d 2x
dt
k
x
m
Por tanto la frecuencia normal, el periodo, la solucin de la ecuacin diferencial y la velocidad:
k
m
1 2
m
=
= 2
f
T=
Relacin entre velocidad y posicin: v (t ) =
x(t ) = A sin ( t + )
A2 ( x(t ) )
Energa potencial: (Calculado con integral de lnea)

Trabajo realizado contra la fuerza elstica:
x
E p = F dx = kx( dx) =
0
v(t ) = A cos ( t + )
Energa mecnica del muelle:
Em = Ec + E p =
1 2
kx
2
1 2 1 2 1 2
mv + kx = kA
2
2
2
El pndulo simple:
Un pndulo simple bajo el rgimen de oscilaciones pequeas se comporta
como un oscilador armnico, considerando que la plomada del pndulo esta
sometido a las fuerzas tensin y peso las cuales al sumarse vectorialmente
dan lugar a la fuerza tangencial, la cual para pequeas oscilaciones es:
P + T = Ft Ft = mg sin mg
Y dado que es la fuerza resultante: Ft mg = ma
La aceleracin a guarda relacin con la aceleracin angular en un
movimiento circular mediante:
a = l = l
d 2
dt
ml
d 2
dt
= mg
d 2
dt
La ecuacin diferencial del oscilador armnico.

Por tanto la frecuencia normal, el periodo, la solucin de la ecuacin diferencial y la velocidad:
1 2
l
=
= 2
(t ) = A sin ( t + )
f
g
Energa potencial: (Origen de potencial en = 0 ) Energa mecnica del pndulo:
1
1
1
1
Em = Ec + E p = mv 2 + mgl 2 = mglA 2
E p = mgh = mg (l l cos ) mgl 2
2
2
2
2
g
l
T=

2 de Bachillerato
Ejercicios de oscilaciones:
1
Una masa de 80 kg oscila con movimiento armnico simple de frecuencia de 2 Hz y

amplitud de 10 cm sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Cul es la
constante del muelle? Sol: 1.3104 N/m.
Un muelle sin deformacin cuelga verticalmente y en su extremo se cuelga un cuerpo

de masa desconocida que se suelta desde el reposo. Cae 3.42 cm antes de que quede en
reposo por primera vez. Calcular el periodo del movimiento. Sol: 0.26 s
Calcule el periodo, para oscilaciones pequeas, de un pndulo simple de 9 m de largo

sobre la superficie de la tierra. Sol: 6.01 s
Un muchacho avanza a velocidad suicida con sus patines de ruedas cuando sus tirantes
superelsticos se enganchan en el poste de una valla y comienza a oscilar adelante y
atrs con una amplitud A. Qu distancia recorre en un periodo? Sol: 4A
Al pasar por un bache un coche experimenta oscilaciones de 1 Hz de frecuencia. Si los

cuatro amortiguadores del coche se tratan como si fueran muelles, y la masa total del
coche y ocupantes es de 1400 kg cul es la constante de cada amortiguador?
Sol: 1.4104 N/m.
Un muelle de constante elstica 6 N/m se corta por la mitad. Cul ser la constante
elstica de cada trozo? Ofrece ms resistencia a ser deformado o menos?
Sol: 12 N/m. Ofrece ms resistencia.
Un pndulo de 1 m de longitud se separa 30 de la vertical y se suelta. Llevar un

movimiento armnico simple? Sol: No.
Dos cuerpos de masas 400 g y 600 g, se unen con un muelle de constante 0.1 N/m y se
colocan en una superficie horizontal sin rozamiento. Los cuerpos, son acercados entre
si y despus se sueltan. Determine el periodo de oscilacin de los cuerpos. Sol: 9.7 s
Un objeto oscila unido a un muelle con una amplitud de 4.5cm. Su energa total es 1.4 J.
Cul es la constante de fuerza del muelle? Sol: 1.4103N/m
10 De un muelle vertical, sin masa, se cuelga una pesa de 60 g que lo deforma 3 cm,
cuando se lleva al equilibrio:
a) Cul es el valor de k?
b) Y el periodo de oscilacin del sistema?
Si ahora aadimos una masa de 40 g:
c) Cul ser la nueva deformacin del resorte en el equilibrio?
d) Y el periodo de oscilacin?
Sol: a) 20 N/m; b) 0.35 s; c) 5 cm; d) 0.45 s.
11 Una masa de 1 kg se deposita sobre un muelle vertical comprimido 5 cm. Cuando se
libera el muelle el bloque sale disparado, hacia arriba, una altura mxima de 0.75 m,
respecto a su nivel inicial.
a) Cul es la constante del muelle?
b) Cunta energa haba almacenada?
Sol: a) 5.910 3 N/m; b) 7.4 J
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
12 La ecuacin horaria de la posicin de una partcula es:
x(t ) = 0.5cos ( 2 t + / 3)
donde x se mide en metros y t en segundos. Calcula:

a) La amplitud de la pulsacin o frecuencia angular, la frecuencia lineal, el
periodo y la fase inicial.
b) La velocidad aceleracin mximas.
c) La posicin y velocidad en t = 0 s.
Sol: a) 0.5 m, 2 rad/s, 1 Hz, 1 s, /3 rad; b) m/s; c) 0.25 m, 0.9 m/s.
13 De un muelle vertical de constante 150 N/m, sin deformar, se cuelga una masa de 1 kg
y se deja caer. Calcule:
a) Qu distancia habr recorrido la masa cuando llegue a su punto ms bajo?
b) Cunto vale la fuerza total que, en ese momento, acta sobre la masa?
c) Cunto vale su velocidad al pasar por su posicin de equilibrio?
Sol: a) 13 cm; b) 9.8 N; c) 0.80 m/s.
14 Una partcula se mueve con movimiento armnico simple a lo largo del eje OX. La
partcula se halla en el origen de coordenadas para t = 0 s y se desplaza hacia la
derecha. Se sabe que la amplitud es de 2 m y la frecuencia es de 1.6 Hz. Determine:
a) Ecuacin de posicin.
b) Velocidad mxima y tiempo mnimo en alcanzarla.
c) Aceleracin mxima y tiempo mnimo empleado en alcanzarla.
d) Espacio recorrido durante el primer segundo.
Sol: a) x(t ) = 2sin ( 3.2 t ) m ; b) 6 m/s y 0.31 s; c) 20.5 2 m/s y 0.47 s; d) 1.18 m
15 La aceleracin del movimiento de una partcula de masa 2 g es:
a = 4 2 x cm/s
Sabiendo que la longitud del segmento horizontal que recorre es 4 cm y que se ha
comenzado a contar el tiempo cuando se encuentra en el punto x = 1 cm, movindose
hacia la derecha, calcula:
a) las ecuaciones de posicin y velocidad en funcin del tiempo.
b) Sus energas mecnica, cintica y potencial cuando x = 2 cm.
Sol: a) x(t ) = 2102 cos ( 2 t / 3) m , v(t ) = 4 102 sin ( 2 t / 3) m/s ;
b) 1.6105 J, 0 J, 1.6105 J.
16 La posicin de una partcula viene dada por:
x(t ) = 2.5cos( t )
en donde x se expresa en metros y t en segundos.
a) Determinar la velocidad mxima y la aceleracin mxima de la partcula.
b) Determinar la velocidad y la aceleracin de la partcula cuando x = 1.5 m
Sol: a) vmax = 7.85 m/s, amax = 24.7 m/s2; b) 6.28 m/s, a = 14.8 m/s2.
17 Una partcula est sometida simultneamente a dos movimientos armnicos simples
perpendiculares y desfasados 90. Demustrese:
a) Que la trayectoria de la partcula es circular.
b) Que el movimiento resultante es circular uniforme.

2 de Bachillerato
18 La posicin de una partcula viene dada por:
x(t ) = 7 cos(6 t )
en donde t viene dado en segundos, y la funcin est dada en metros. Determinar:
a) La frecuencia y el periodo.
b) La amplitud del movimiento de la partcula
c) Cul es el primer instante despus de t = 0 en que la partcula est en su
posicin de equilibrio?En que sentido se esta moviendo en ese instante (arriba
o hacia abajo o en ninguno)?
d) Cual es la velocidad mxima de la partcula?
e) Cual es su aceleracin mxima
Sol: a) 6 rad/s, 0.33 s; b) 7 m; c) 1/12 s; d) 42 m/s; e) 2522 m/s2.
19 Un objeto de 2.4 kg est sujeto a un muelle horizontal de constante de fuerza 4.5 N/m.
El muelle se estira 10 cm y se deja en libertad. Determinar:
a) La frecuencia del movimiento
b) El periodo
c) La amplitud
d) La velocidad mxima
e) La aceleracin mxima
f) Cuando alcanza el objeto su posicin de equilibrio?cual es la aceleracin en
ese instante?
Sol: a) 6.9 Hz b) 0.15 s c) 0.1 m d) 4.3 m/s e) 1.9102 m/s f) en T/4, a = 0.
Problemas y cuestiones de oscilaciones de selectividad:

Septiembre del 2000:
Problema (2 puntos):
Un oscilador armnico constituido por un muelle de masa despreciable, y una masa en
el extremo de valor 40 g, tiene un periodo de oscilacin de 2 s.
a) Cul debe ser la masa de un segundo oscilador, construido con un muelle
idntico al primero, para que la frecuencia de oscilacin se duplique?
b) Si la amplitud de las oscilaciones en ambos osciladores es 10 cm, Cunto vale,
en cada caso, la mxima energa potencial del oscilador y la mxima velocidad
alcanzada por su masa?
Junio del 2001:
Cuestin (2 puntos):
Un muelle cuya constante de elasticidad es k est unido a una masa puntual de valor m.
Separando la masa de la posicin de equilibrio el sistema comienza a oscilar.
Determine:
a) El valor del periodo de oscilaciones T y su frecuencia angular .
b) Las expresiones de las energas cintica, potencial y total en funcin de la
amplitud y de la elongacin del movimiento del sistema oscilante.
Cuestin (2 puntos):
Una partcula efecta un movimiento armnico simple cuyo periodo es igual a 1 s.
Sabiendo que en el instante t = 0 su elongacin es 0.70 cm y su velocidad 4.39 cm/s,
calcule:
a) La amplitud y la fase inicial.
b) La mxima aceleracin de la partcula.
8
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Modelo del 2002:
Un cuerpo de 200 g unido a un resorte horizontal oscila, sin rozamiento, sobre una mesa,
a lo largo del eje de las x, con una frecuencia angular = 8 rad/s. En el instante t = 0, el
alargamiento del resorte es de 4 cm respecto de la posicin de equilibrio y el cuerpo lleva
en ese instante una velocidad de 20 cm/s. Determine:
a) La amplitud y la fase inicial del movimiento armnico simple realizado por el
cuerpo.
b) La constante elstica del resorte y la energa mecnica del sistema.
Junio del 2002:
Una masa de 2 kg est unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora es
k = 10 N/m. El muelle se comprime 5 cm desde la posicin de equilibrio (x = 0) y se
deja en libertad. Determine:
a) La expresin de la posicin de la masa en funcin del tiempo.
b) Los mdulos de la velocidad y de la aceleracin de la masa en un punto situado
a 2 cm de la posicin de equilibrio.
c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la
trayectoria.
d) La energa mecnica del sistema oscilante.
Nota: Considere los desplazamientos respecto a la posicin de equilibrio son positivos
cuando el muelle est estirado.
Modelo del 2003:
Una partcula de masa 3 g oscila con movimiento armnico simple de elongacin en
funcin del tiempo:
x(t ) = 0.5 cos(0.4t + 0.1)
a) La amplitud, la frecuencia, la fase inicial y la posicin de la partcula en t = 20 s.
b) Las energas cinticas mxima y mnima de la partcula que oscila, indicando en
que posiciones se alcanzan.
Sol: a) A = 0.5 m, f = 0.064 Hz, = = 0.1 rad, x(20) = 0.122 m;
b) 2.4102 J (0 m) y 0 J (0.5 m).
Junio del 2003:
Un bloque de 50 g, conectado a un muelle de constante elstica 35 N/m, oscila en una
superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 4 cm. Cuando el bloque se
encuentra a 1 cm de su posicin de equilibrio, calcule:
a) La fuerza ejercida sobre el bloque.
b) La aceleracin del bloque.
c) La energa potencial elstica del sistema.
d) La velocidad del bloque.

2 de Bachillerato
Modelo del 2004:
Cuestin (2 puntos):
Una partcula de 5 g de masa se mueve con un movimiento armnico simple de 6 cm de
amplitud a lo largo del eje X. En el instante inicial (t = 0) su elongacin es de 3 cm y el
sentido del desplazamiento hacia el extremo positivo. Un segundo mas tarde su
elongacin es de 6 cm por primera vez. Determine:
a) La fase inicial y la frecuencia del movimiento.
b) La funcin matemtica que representa la elongacin en funcin del tiempo.
c) Los valores mximos de la velocidad y de la aceleracin de la partcula, as
como las posiciones donde los alcanza.
d) La fuerza que acta sobre la partcula en t = 1 s y su energa mecnica.
Junio del 2004:
Cuestin (2 puntos):
a) Al colgar una masa en el extremo de un muelle en posicin vertical, este se
desplaza 5 cm; de que magnitudes del sistema depende la relacin entre dicho
desplazamiento y la aceleracin de la gravedad?
b) Calcule el periodo de oscilacin del sistema muelle-masa anterior si se deja
oscilar en posicin horizontal (sin rozamiento).
Dato: aceleracin de la gravedad g = 9.81 m/s2.
Modelo del 2005:
Una partcula de masa 100 g realiza un movimiento armnico simple de amplitud 3 m y
cuya aceleracin viene dada por la expresin
a = 9 2 x
en unidades SI. sabiendo que se ha empezado a contar el tiempo cuando la aceleracin
adquiere su valor absoluto mximo en los desplazamientos positivos, determine:
a) El periodo y la constante recuperadora el sistema.
b) La expresin matemtica del desplazamiento en funcin del tiempo x = x(t ) .
c) Los valores absolutos de la velocidad y de la aceleracin cuando el
desplazamiento es la mitad del mximo.
d) Las energas cintica y potencial en el punto donde tiene velocidad mxima.
Sol: a) T = 0.66 s, k = 1.12610 3 N/m; b) x(t ) = 3sin ( 3 t + / 2 ) m;
c) a = 133.2 m/s2
Cuestin (2 puntos):
Se tienen dos muelles de constantes elsticas k1 y k2 en cuyos
extremos se disponen dos masas m1 y m2 respectivamente, y
tal que m1<m2. Al oscilar, las fuerzas que actan sobre cada
una de estas masas en funcin de la elongacin aparecen
representadas en la figura.
a) Cul es el muelle de mayor constante elstica?
b) Cul de estas masas tendr mayor periodo de
oscilacin?
10
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Modelo del 2006:
Determine la constante elstica k de un muelle, sabiendo que si se le aplica una fuerza
de 0.75 N ste se alarga 2.5 cm respecto a su posicin de equilibrio. Uniendo el muelle
anterior un cuerpo de masa 1.5 kg se constituye un sistema elstico que se deja oscilar
libremente sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Sabiendo que en t = 0 el
cuerpo se encuentra en la posicin de mximo desplazamiento, x = 30 cm, respecto a su
posicin de equilibrio, determine:
a) La expresin matemtica del desplazamiento del cuerpo en funcin del tiempo.
b) La velocidad y aceleracin mximas del cuerpo.
c) Las energas cintica y potencial cuando el cuerpo se encuentra a 15 cm de la
posicin de equilibrio.
Junio del 2006:
Una masa puntual de valor 150 g unida a un muelle horizontal de constante elstica
k = 65 Nm-1 constituye un oscilador armnico simple. Si la amplitud del movimiento es
de 5 cm, determine:
a) La expresin de la velocidad de oscilacin de la masa en funcin de la
elongacin.
b) La energa potencial elstica del sistema cuando la velocidad de oscilacin es
nula.
c) La energa cintica del sistema cuando la velocidad de oscilacin es mxima.
d) La energa cintica y la energa potencial elstica del sistema cuando el mdulo
de la aceleracin de la masa es igual a 13 m/s2.
Cuestin (2 puntos):
Una partcula que describe un movimiento armnico simple recorre una distancia de 16
cm en cada ciclo de su movimiento y su aceleracin mxima es de 48 m/s2. Calcule:
a) La frecuencia y el periodo del movimiento.
b) La velocidad mxima de la partcula.
Sol: a) f = 191 Hz, T = 5.24103 s; b) 48 m/s.
Junio del 2007:
Cuestin (2 puntos):
Un objeto de 2.5 kg est unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento
armnico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5
cm y una frecuencia de 3.3 Hz. Determine:
a) El perodo del movimiento y la constante elstica del muelle.
b) La velocidad mxima y la aceleracin mxima del objeto.
Junio del 2008:
Cuestin (2 puntos):
Un cuerpo de masa m est suspendido de un muelle de constante elstica k. Se tira
verticalmente del cuerpo desplazando ste una distancia X respecto de su posicin de
equilibrio, y se le deja oscilar libremente. Si en las mismas condiciones del caso anterior
el desplazamiento hubiese sido 2X, deduzca la relacin que existe, en ambos casos,
entre:
a) Las velocidades mximas del cuerpo.
b) Las energas mecnicas del sistema oscilante.
11

2 de Bachillerato
Junio del 2008:
Cuestin (2 puntos):
Una partcula que realiza un movimiento armnico simple de 10 cm de amplitud tarda 2
s en efectuar una oscilacin completa. Si en el instante t = 0 su velocidad era nula y la
elongacin positiva, determine:
a) La expresin matemtica que representa la elongacin en funcin del tiempo.
b) La velocidad y la aceleracin de oscilacin en el instante t = 0.25 s.
12
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Chuletario de ondas y acstica:

Definicin: Una onda transversal es aquella cuya direccin de propagacin es perpendicular a la
direccin de vibracin.
Definicin: Una onda longitudinal es aquella cuya direccin de propagacin es paralela a la de vibracin.
Ecuacin de ondas:
Solucin general de la ecuacin de ondas:
2
x2
( x, t ) = f (ct x)
1 2
Solucin especial para ondas armnicas:
c 2 t 2
( x, t ) = A sin( t kx)
c Velocidad de propagacin.
Tambin se puede presentar con funcin coseno

La onda va con + si se propaga en sentido negativo del eje OX, y con si lo hace en sentido positivo OX.
Caractersticas de las ondas armnicas:

1 Son peridicas.
2 Al propagarse una onda armnica cada punto x del medio describe un Movimiento Armnico Simple.
3 Relacin = kc . Donde:
Frecuencia angular. (rad/s)
k Nmero de onda. (m1)
Relaciones importantes:
1
2
c = f = cT
f = =
k=
T 2
1
longitud de onda (m)
f frecuencia de la onda (s = Hz)
Principio de superposicin (suma de dos ondas armnicas): R = 1 + 2
Interferencia de ondas armnicas:
Sean dos ondas armnicas de idntica frecuencia, amplitud y nmero de onda que interfieren entre si y
cuyas funciones de onda son:
1 ( x, t ) = A sin( t kx1 )
2 ( x, t ) = A sin( t kx2 )
Sumndose por el principio de superposicin y algunas reglas de la trigonometra:
k ( x2 + x1 ) k ( x2 x1 )
cos
R = 1 + 2 = 2A sin t
2
2
k ( x2 x1 )
= 0 x2 x1 = (2n 1)
cos
Se producen valores mnimos cuando:
2
2
k ( x2 x1 )
= 1 x2 x1 = n
Se producen valores mximos cuando: cos
2
El desfase entre dos ondas armnicas superpuestas es: = k ( x2 x1 )
n]
Definicin: Una interferencia de dos ondas es constructiva cuando estn en fase, es decir = 0 .
Definicin: Una interferencia de dos ondas es destructiva cuando estn desfasadas = 180 .
Ondas estacionarias:
Cuando las ondas estn confinadas en el espacio, por ejemplo en una cuerda de piano, se producen
reflexiones que generan ondas movindose en distintas direcciones y sentidos. Analizando este problema
en una dimensin, cuerdas vibrantes por ejemplo, y usando el principio de superposicin:
R = 1 + 2 = A sin( t kx) A sin( t + kx) = 2A sin ( t ) sin (kx )
2 Onda reflejada de signo y direccin contrario al de la incidente 1 .

Definicin: Los nodos en una onda estacionaria son aquellos puntos de x con amplitud mnima.
Definicin: Los vientres en una onda estacionaria a aquellos puntos de x con amplitud mxima.
Definicin: Los armnicos fundamentales son los modos de vibracin de un medio material en el que se
produce una onda estacionaria.
Frecuencias, longitudes de onda, nudos y ondas de los armnicos fundamentales.
fn =
n
c
2L
n =
2L
n
n orden de armnico fundamental
nodo i =
2
i = 0,1,2,.., n
vientrei =
n
4
(1 + 2i )
13

2 de Bachillerato
Efecto Doppler:
Cuando un foco productor de ondas y un receptor se estn moviendo uno respecto al otro, la frecuencia
observada por el receptor no es la misma que la emitida por el foco.
Por el dibujo podemos observar que si un foco emisor se aleja de un receptor este recibir ondas de menor
frecuencia y mayor longitud de onda, en cambio si ambos se acercan este recibe ondas de mayor
frecuencia y menor longitud de onda.
El Efecto Doppler sigue la siguiente expresin para frecuencia:
+ vF El foco emisor se acerca al receptor.
vF Velocidad del foco
vF El foco emisor se aleja del receptor.
c vR
fR = fF
c vF
vR Velocidad del receptor
+ vR El receptor se aleja del foco emisor.

vR El receptor se acerca al foco emisor.
c velocidad de propagacin de la onda.

En el Efecto Doppler la velocidad de propagacin de la onda en el medio es siempre la misma y no
cambia.
Sonido:
Definicin: Es una onda mecnica tridimensional y longitudinal cuyo medio de propagacin es el aire, en
el cual viaja, en condiciones estndar, a 340 m/s.
Relacin entre intensidad sonora y nivel de intensidad sonora.
I
0
I 0 = 10 12 W/m 2
= 10 log10
I Intensidad sonora.
I0 Intensidad umbral de audicin (mnima intensidad perceptible por el odo humano).
Nivel de intensidad sonora, se mide en decibelios (dB).
= 0 dB umbral de audicin.
= 120 dB umbral de dolor.
La intensidad de una onda es la potencia media por unidad de rea que incide perpendicularmente a la
direccin de propagacin.
I=
Pm
A
Ejercicios de ondas:
1
Una emisora de radio (Ondas electromagnticas) emite en una frecuencia de 500

kilohercios. En que longitud de onda emite esta emisora? Sol: 600 m.
Un pescador observa que el corcho de la caa se mueve ligeramente hacia arriba y

hacia abajo veinte veces en 30s debido a una onda que se propaga por la superficie. Si
las crestas de la onda se encuentran a 60cm entre s, Con que velocidad se propaga la
onda? Sol: 0.4 m/s.
Una onda tiene un periodo de 0.2s y una longitud de onda de 40cm. Cul es su
velocidad de propagacin? Sol: 2 m/s.
Una onda armnica se propaga por una cuerda en sentido positivo de x con las
siguientes caractersticas: amplitud 10 cm, frecuencia 20 Hz y velocidad de 8 m/s.
Escribe la ecuacin de la onda. Sol: ( x, t ) = 0.1cos(2 (20t 2.5 x)) .
14
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
5
Escribe la ecuacin de una onda que se propaga en sentido negativo del eje x y que
tiene las siguientes caractersticas: A = 0.5 m; f = 250Hz; v = 200 m/s.
Sol: ( x, t ) = 0.5cos(500t + 2.5 x) .
Una masa de 2 gramos oscila con una frecuencia de 8Hz y una amplitud de 4cm. qu
energa transmite la onda producida por este oscilador? Sol: 4103 J.
Sean las siguientes funciones de dos variables:

c) ( x, t ) = sin( x) cos(ct )
a) ( x, t ) = 4sin( x + ct )
b) ( x, t ) = ei ( x ct )
Verificar cuales de ellas son soluciones de la ecuacin de ondas e Indicar cuales
pueden describir un movimiento ondulatorio plano.
Nota: Una funcin e i es peridica si es un nmero real, pues e i = cos + i sin
Sol: Todas verifican la ecuacin de ondas y son por tanto ondas.
Pueden las siguientes funciones y y ( x, t ) representar ondas viajando por el eje OX?
c) y = A cos( t )
b) y = A sin(kx) cos( t )
a) y = A sin 2 [k ( x vt )]
d) y = A cos(2 x / )
e) y = ( x + vt ) 3
Sol: a) Si b) Si c) No d) Si e) No f) Si
9
f) y = e ik ( x vt )
La ecuacin de una onda es:
( x, t ) = 25sin(0.4t x)
expresada en unidades del sistema internacional. Calcula:
a) Los puntos que estn en fase y en oposicin de fase.
b) Qu tiempo debe transcurrir para que un punto situado a 5 m del foco tenga
velocidad mxima?
Sol: a) En fase los que estn a 2n metros y en oposicin los que estn a 2n 1 metros;
b) 39 s.
10 La ecuacin de una onda sonora plana es:

( x, t ) = 6106 cos(1900t + 5.72 x)
Calcula la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagacin.
Sol: 302.5Hz; 109m; 332m/s.
11 En una cuerda colocada a lo largo del eje OX se propaga una onda transversal
determinada por la funcin:
( x, t ) = 0.02sin(4 x 8t )
con unidades del SI en todas sus variables. Cunto tiempo tarda la perturbacin en
recorrer 8 metros? Sol: 4 s.
12 La ecuacin de una onda transversal que se propaga por una cuerda viene dada por:
( x, t ) = 0.08cos(100 t 0.8 x)
en unidades del sistema internacional. Calcula:
a) La frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagacin.
b) La mxima velocidad transversal de un punto de la cuerda.
c) La ecuacin de la onda estacionaria que resultara de la interferencia de la onda
anterior con otra igual que se propagase en sentido contrario.
Sol: a) 50 Hz, 2.5 m, 125 m/s; b) 25 m/s; c) ( x, t ) = 0.16 cos(0.8 x) cos(100 t ) ;
15

2 de Bachillerato
13 La ecuacin de una onda transversal que se propaga por una cuerda es:
( x, t ) = 0.4 cos (100 t 25 x )
en unidades del SI. Calcula su longitud de onda, su frecuencia y velocidad de

propagacin. Sol: 0.08 m; 50 Hz; 4 m/s.
14 Una cuerda vibra segn la ecuacin:
x
( x, t ) = 10sin
sin(50 t )
2
en unidades del SI. Calcula:

a) La amplitud y la velocidad de las ondas cuya superposicin da lugar a la onda
anterior.
b) Distancia entre dos vientres consecutivos.
Sol: a) 5 m, 100 m/s; b) 2 m.
15 Una onda viene dada por la ecuacin:
( x, t ) = 2 cos t +
0.8
2
En unidades del SI. Calcula:

a) El carcter de la onda y su velocidad de propagacin.
b) La diferencia de fase para dos posiciones de la misma partcula cuando el
intervalo de tiempo transcurrido es de 2 s.
c) La diferencia de fase en un instante dado de dos partculas separadas 120 cm en
el sentido de avance de la onda.
Sol: a) Onda transversal, propagacin en sentido negativo del eje x, 0.4 m/s;
b) rad; c) 3/2 rad.
16 Una cuerda de guitarra mide 80 cm de longitud y en ella se propagan las ondas a una
velocidad de 80 m/s. Calcula a qu frecuencia vibra la cuerda en su modo fundamental.
Sol: 50 Hz.
17 Un altavoz emite con una potencia de 40 W. Calcula la intensidad sonora:
a) A 5 m del altavoz.
b) A 10 m del altavoz.
c) A 15 m del altavoz.
Sol: a) 2/5 W/m2; b) 1/10 W/m2; c) 2/45 W/m2.
18 Dos altavoces que emiten sonidos con la misma frecuencia, amplitud y en concordancia
de fase estn situados en los puntos A y B de un auditorio. Los dos sonidos interfieren
en un punto P que dista 50 m de A y 75 m de B Habr sonido en P?
Dato: velocidad del sonido 340 m/s.
Sol: Hay sonido.
19 Una ventana, cuya superficie es de 1.5 m2 est abierta a una calle cuyo ruido produce
un nivel de intensidad sonora de 65 dB Qu potencia acstica penetra por la ventana?
Sol: 4.7106 W.
20 Calcula el nivel de intensidad de un sonido cuya intensidad es de 2103 W/m2.
Sol: 93 dB.
16
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
21 Un sonido tiene un nivel de intensidad de 32 dB. Cul es su intensidad W/m2?
Sol: 1.6109 W/m2.
22 Una ventana, cuya superficie es de 1.5 m2 est abierta a una calle cuyo ruido produce
un nivel de intensidad de 65 dB. Qu potencia acstica penetra por la ventana?
Sol: 4.7106 W.
23 Un altavoz emite con una potencia 500 W. Cul es el nivel de intensidad acstica si
nos situamos a 5 metros del altavoz? Y a 10 metros? Sol: 116 db y 122 db.
24 Un observador recibe simultneamente dos sonidos cuyos niveles de intensidad sonora
son de 60 dB y 80 dB. Calcule:
a) La intensidad del sonido resultante.
b) El nivel de intensidad sonora del mismo.
Sol: a) 1.0110 4 W/m2; b) 80.04 dB.
25 Tres fuentes sonoras actuando independientemente producen niveles de intensidad de
70, 73 y 80 dB. Cul es el nivel de intensidad cuando las tres fuentes actan
conjuntamente? Sol: 81.14 dB.
26 En un campo de baloncesto, 1000 espectadores gritan al unsino con un nivel de
intensidad sonora de 60 dB cada uno. Cul es el nivel de intensidad sonora que
producen todos juntos? Sol: 90 dB.
27 Una fuente emisora de ondas se acerca a un receptor, con velocidad 78 km/h, cuando
existe un viento que se dirige desde el emisor hasta el receptor, con velocidad de
mdulo 32 km/h. Si el emisor emite con frecuencia 5 kHz, qu frecuencia detecta el
receptor? Sol: 5.3 Hz.
28 Un altavoz de un equipo de msica domstico tiene una potencia de salida de 35 W. Si
esta potencia se distribuye uniformemente en todas las direcciones:
a) Cul es el nivel de sonido a 5 m?
b) Cul sera el nivel de intensidad de dos altavoces sonando a la vez?
Sol: a) 110 db; b) 113 dB.
29 Un estudiante deja caer un diapasn vibrante de 440Hz desde el ltimo piso de un
edificio. Cuando el diapasn alcanza el suelo, el estudiante oye una frecuencia de
400Hz. Qu longitud ha recorrido en su cada el diapasn? Sol: 48.9m
30 Los gritos de un aficionado al ftbol se oyen desde el campo con un nivel de intensidad
de 35dB.
a) Cuntos aficionados son necesarios para que el nivel de intensidad aumente
hasta 75dB?
b) Cuntos aficionados, emitiendo en fase, son necesarios para que el nivel de
intensidad aumente hasta 75dB?
Sol: a) n 10 4 b) n = 10 2
31 Un coche se mueve con una velocidad de 17m/s hacia una pared. Su bocina emite ondas
sonoras de 200Hz que se mueven a 340m/s. Hallen la longitud de onda del sonido que
llega a la pared y la frecuencia con que la onda incide sobre ella. Sol: 210.52 Hz.
17

2 de Bachillerato
32 El silbato de un tren que viaja a 144 km/h emite con una frecuencia de 520Hz. En
reposo hay dos observadores, uno que ve acercarse el tren (A) y otro del que se aleja el
tren (B). Calculen la longitud de onda y la frecuencia que detectan ambos
observatorios. Sol: A = 0.58 m, B = 0.74 m, fA = 589 Hz, fB = 465 Hz.
33 Las longitudes de onda de la luz roja y la luz verde son, respectivamente, 6.210-7m y
5.410-7m, y la velocidad en el aire de ambas es de 3108m/s. Calcula a que velocidad
debe circular un vehculo para que al conductor le parezca verde la luz roja de un
semforo. Sol: 4.46107m/s.
34 A qu velocidad vuela un murcilago hacia su presa si est enviando una seal de
55 kHz y recibe una frecuencia de 58 kHz para el sonido reflejado en la presa?
Sol: 9 m/s.
35 Un coche de polica lleva instalado un emisor de microondas de frecuencia 8 GHz con
el que enva una seal a un vehculo infractor que se aleja a velocidad elevada. La
seal se refleja en dicho vehculo y es recibida de vuelta por el receptor de la polica.
Calcula la velocidad del vehculo infractor:
a) Si el coche de polica est estacionado y detecta un corrimiento de frecuencia
de 1550 Hz.
b) Si el coche de polica viaja a 80 km/h en el mismo sentido que el infractor y
detecta un corrimiento de frecuencia de 1000 Hz.
Sol: a) 147.5 km/h; b) 104.6 km/h.
Problemas y cuestiones de ondas de selectividad:

Modelo del 2000:
Cuestin (2 puntos):
Dos sonidos tienen niveles de intensidad sonora de 50 dB y 70 dB, respectivamente.
Calcule cul ser la relacin entre sus intensidades. Sol: 100.
Cuestin (2 puntos):
Una onda armnica que se propaga por un medio unidimensional tiene una frecuencia
de 500 Hz y una velocidad de propagacin de 350 m/s.
a) Qu distancia mnima hay, en un cierto instante, entre dos puntos del medio
que oscilan con una diferencia de fase de 60?
b) Cul es la diferencia de fase de la oscilacin, en un cierto punto, para un
intervalo de tiempo de 103 s?
Sol: a) 0.12 m; b) rad.
Junio del 2000:
Cuestin (2 puntos):
Una onda transversal que se propaga en una cuerda, coincidente con el eje X, tiene por
expresin matemtica:
( x, t ) = 2sin(7t 4 x)
en unidades SI. Determine:
a) La velocidad de propagacin de la onda y la velocidad mxima de vibracin de
cualquier punto de la cuerda.
b) El tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a la longitud de onda.
Sol: a) c = 1.75 m/s, vmax = 14 m/s; b) 0.9 s.
18
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Cuestin (2 puntos):
Uno de los extremos de una cuerda tensa, de 6 m de longitud, oscila transversalmente
con un movimiento armnico simple de frecuencia 60 Hz. Las ondas generadas
alcanzan el otro extremo de la cuerda en 0.5 s. Determine:
a) La longitud de onda y l nmero de onda de las ondas de la cuerda.
b) La diferencia de fase de oscilacin existente entre dos puntos de la cuerda
separados 10 cm.
Sol: a) 0.2 m, 10 rad/m; b) rad.
Modelo del 2001:
Cuestin (2 puntos):
La expresin matemtica de una onda armnica transversal que se propaga por una
cuerda tensa coincidente con el eje X, es:
( x, t ) = 0.2sin(100 t 200 x)
en unidades de SI. Determine:
a) Los valores del periodo, la amplitud, la longitud de onda y la velocidad de
propagacin de la onda.
b) La expresin matemtica de la onda en trminos de la funcin coseno.
Sol: a) T = 0.02 s, A = 0.2 m, = 0.01, v = 0.5 m/s;
b) ( x, t ) = 0.2sin(100 t 200 x + / 2)
El sonido emitido por un altavoz tiene un nivel de intensidad de 60 dB a una distancia
de 2 m de l. Si el altavoz se considera como una fuente puntual, determine:
a) la potencia del sonido emitido por el altavoz.
b) A que distancia el nivel de intensidad sonora es de 30 dB y a que distancia es
imperceptible el sonido.
Dato: Intensidad umbral de audicin I0 = 1012 Wm2.
Sol: a) 8106 W; b) Para 30 db la distancia es 63.2 m y es imperceptible a 2000 m.
La expresin matemtica de una onda armnica transversal que se propaga por una
cuerda tensa orientada segn el eje X es:
( x, t ) = 0.5sin(6 t 2 x)
unidades SI. Determine:
a) Los valores de la longitud de onda y de la velocidad de propagacin de la onda.
b) Las expresiones que representan la elongacin y la velocidad de vibracin en
funcin del tiempo, para un punto de la cuerda situado a una distancia x = 1.5 m
del origen.
c) Los valores mximos de la velocidad y de la aceleracin de vibracin de los
puntos de la cuerda.
d) La distancia mnima que separa dos puntos de la cuerda que, en un mismo
instante, vibran desfasados 2 radianes.
19

2 de Bachillerato
Modelo del 2002:
Cuestin (2 puntos):
Una fuente sonora puntual emite con una potencia de 10-6W.
a) Determine el nivel de intensidad expresado en decibelios a 1 m de la fuente
sonora.
b) A que distancia de la fuente sonora el nivel de intensidad se ha reducido a la
mitad del valor anterior?
Dato: La intensidad umbral de audicin es I0 = 1012 Wm2.
Junio del 2002:
Cuestin (2 puntos):
Escriba la expresin matemtica de una onda armnica unidimensional como una
funcin de x (distancia) y t (tiempo) y que contenga las magnitudes indicadas en cada
uno de los siguientes apartados:
a) Frecuencia angular y velocidad de propagacin v.
b) Periodo T y longitud de onda .
c) Frecuencia angular y nmero de onda k.
d) Explique por qu es una funcin doblemente peridica.
Cuestin (2 puntos):
Se tiene una onda armnica transversal que se propaga en una cuerda tensa. Si se reduce
a la mitad su frecuencia, razone qu ocurre con:
a) El periodo.
b) La velocidad de propagacin.
c) La longitud de onda.
d) La amplitud.
Cuestin (2 puntos):
Una bolita de 0.1 g de masa cae desde una altura de 1 m, con velocidad inicial nula. Al
llegar al suelo el 0.05% de su energa cintica se convierte en un sonido de duracin 0.1 s.
a) Halle la potencia sonora generada.
b) Admitiendo que la onda sonora generada puede aproximarse a una onda esfrica,
estime la distancia mxima a la que puede orse la cada de la bolita si el ruido
de fondo slo permite or intensidades mayores que 10-8 W/m2.
Dato: Aceleracin de la gravedad g = 9.8 ms2.
Modelo del 2003:
Una onda armnica transversal de frecuencia 80 Hz y amplitud 25 cm se propaga a lo
largo de una cuerda tensa de gran longitud, orientada segn el eje X, con una velocidad
de 12 m/s en su sentido positivo. Sabiendo que en el instante t = 0 el punto de la cuerda
de abscisa x = 0 tiene una elongacin y = 0 y su velocidad de oscilacin es positiva,
determine:
a) La expresin matemtica que representa dicha onda.
b) La expresin matemtica que representa la velocidad de oscilacin en funcin
del tiempo del punto de la cuerda de abscisa x = 75 cm.
c) Los valores mximos de la velocidad y de la aceleracin de oscilacin de los
puntos de la cuerda.
d) La diferencia de fase de oscilacin en un mismo instante entre dos puntos de la
cuerda separados 37.5 cm.
20
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Junio del 2003:
Cuestin (2 puntos):
El periodo de una onda transversal que se propaga en una cuerda tensa es de 210-3 s.
Sabiendo, adems, que dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase vale /2 rad
estn separados una distancia de 10 cm, calcule:
a) La longitud de onda
b) La velocidad de propagacin.
Cuestin (2 puntos):
La expresin matemtica de una onda armnica es:
( x, t ) = 3sin(200 t 5 x + )
estando todas las magnitudes en unidades SI. Determine:
a) La frecuencia y la longitud de onda.
b) La amplitud y la velocidad de propagacin de la onda.
Modelo del 2004:
Cuestin (2 puntos):
Una onda armnica unidimensional est dada, en el sistema SI de unidades, por la
expresin:
( x, t ) = 4sin(50 t 4 x)
Determine:
a) La amplitud.
b) El periodo.
c) La longitud de onda.
d) La velocidad de propagacin.
Junio del 2004:
Una onda transversal se propaga a lo largo de una cuerda horizontal, en el sentido
negativo del eje de abscisas, siendo 10 cm la distancia mnima entre dos puntos que
oscilan en fase. Sabiendo que la onda esta generada por un foco emisor que vibra con un
movimiento armnico simple de frecuencia 50 Hz y una amplitud de 4 cm, determine:
a) La velocidad de propagacin de la onda.
b) La expresin matemtica de la onda, si el foco emisor se encuentra en el origen
de coordenadas, y en t = 0 la elongacin es nula.
c) La velocidad mxima de oscilacin de una partcula cualquiera de la cuerda.
d) La aceleracin mxima de oscilacin en un punto cualquiera de la cuerda.
Cuestin (2 puntos):
Una partcula oscila con movimiento armnico simple segn el eje Y en torno al origen
de coordenadas originando una onda transversal que se propaga en el sentido positivo
del eje X con una velocidad de 20 ms1, una amplitud de 0.02 m y frecuencia de 10 Hz.
Determine:
a) El periodo y la longitud de onda.
b) La expresin matemtica de la onda, si en t = 0 la partcula situada en el origen
de coordenadas est en la posicin de mxima elongacin positiva.
21

2 de Bachillerato
Junio del 2005:
Cuestin (2 puntos):
El nivel de intensidad sonora de la sirena de un barco es de 60 db a 10 m de distancia.
Suponiendo que la sirena es un foco emisor puntual, calcule:
a) El nivel de intensidad sonora a 1 km de distancia.
b) La distancia a la que la sirena deja de ser audible.
Dato: Intensidad umbral de audicin I0 = 1012 Wm2.
Una onda armnica transversal se propaga por una cuerda tensa de gran longitud y por
ello una partcula de la misma realiza un movimiento armnico simple en la direccin
perpendicular a la cuerda. El periodo de dicho movimiento es de 3 s y la distancia que
recorre la partcula entre posiciones es de 20 cm.
a) Cules son los valores de la velocidad mxima y de la aceleracin mxima de
oscilacin de la partcula?
b) Si la distancia mnima que separa dos partculas de la cuerda que oscilan en fase
es de 60 cm, cual es la velocidad de propagacin de la onda?cul es el nmero
de onda?
Dada la expresin matemtica de una onda armnica transversal que se propaga en una
cuerda tensa de gran longitud:
( x, t ) = 0.03sin(2 t x)
donde x e y estn expresados en metros y t en segundos.
a) Cul es la velocidad de propagacin de la onda?
b) Cul es la expresin de la velocidad de oscilacin de las partculas de la
cuerda?Cul es la velocidad mxima de oscilacin?
c) Para t = 0, Cul es el valor del desplazamiento de los puntos de la cuerda
cuando x = 0.5 m y x = 1 m?
d) Para x = 1 m, cul es el desplazamiento cuando t = 0.5 s?
Modelo del 2006:
Cuestin (2 puntos):
Razone si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes:
a) La intensidad de la onda sonora emitida por una fuente puntual es directamente
proporcional a la distancia a la fuente.
b) Un incremento de 30 decibelios corresponde a un aumento de la intensidad del
sonido en un factor 1000.
Junio del 2006:
Cuestin (2 puntos):
Una onda sonora que se propaga en el aire tiene una frecuencia de 260 Hz.
a) Describe la naturaleza de la onda sonora e indique cual es la direccin en la que
tiene lugar la perturbacin, respecto a la direccin de propagacin.
b) Calcule el periodo de esta onda y su longitud de onda.
Datos: Velocidad del sonido en el aire v = 340 ms1.
22
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Una onda armnica transversal se desplaza en la direccin del eje X en sentido y tiene
una amplitud de 2 cm, una longitud de onda de 4 cm y una frecuencia de 8 Hz.
Determine:
a) La velocidad de propagacin de la onda.
b) La fase inicial, sabiendo que para x = 0 y t = 0 la elongacin es y = -2 cm.
c) La expresin matemtica que representa la onda.
d) La distancia mnima de separacin entre dos partculas del eje X que oscilan
desfasadas /3 rad.
Modelo del 2007:
Cuestin (2 puntos):
Una fuente sonora puntual emite con una potencia de 80 W. Calcule:
a) La intensidad sonora en los puntos distantes 10 m de la fuente.
b) A que distancia de la fuente el nivel de intensidad sonora de 130 dB?
Dato: Intensidad umbral de audicin I0 = 1012 Wm2
La expresin matemtica que representa una onda armnica que se propaga a lo largo de
una cuerda tensa es:
( x, t ) = 0.01sin(10 t + 2 x + )
donde x e y estn dados en metros y t en segundos. Determine:
a) El sentido y la velocidad de propagacin de la onda.
b) La frecuencia y la longitud de onda.
c) La diferencia de fase de oscilacin entre dos puntos de la cuerda separados 20 cm.
d) La velocidad y la aceleracin de oscilacin mximas de un punto de la cuerda.
Junio del 2007:
Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la direccin del eje Y,
segn la expresin:
( x, t ) = 2sin t cm
2
4
originando una onda armnica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X.
Sabiendo que dos puntos materiales de dicho eje que oscilan con un desfase de radianes
estn separados una distancia mnima de 20 cm, determine:
a) La amplitud y la frecuencia de la onda armnica.
b) La longitud de onda y la velocidad de propagacin de la onda.
c) La expresin matemtica que representa la onda armnica.
d) La expresin de la velocidad de oscilacin en funcin del tiempo para el punto
material del eje X de coordenada x = 80 cm, y el valor de dicha velocidad en el
instante t = 20 s.
23

2 de Bachillerato
Cuestin (2 puntos):
Una onda sinusoidal transversal en una cuerda tiene un perodo de 0.2 s y se propaga en
el sentido negativo del eje X a una velocidad de 30 m/s. En el instante t = 0, la partcula
de la cuerda en x = 0 tiene un desplazamiento positivo de 0.02 m y una velocidad de
oscilacin negativa de 2 m/s.
a) Cul es la amplitud de la onda?
b) Cul es la fase inicial?
c) Cul es la mxima velocidad de oscilacin de los puntos de la cuerda?
d) Escriba la funcin de onda correspondiente.
Modelo del 2008:
Cuestin (2 puntos):
La expresin matemtica que representa una onda armnica en unidades SI es:

( x, t ) = 0.04sin 2 t x
4
Determine:
a) La frecuencia de la onda y su velocidad de propagacin.
b) La distancia mnima entre dos puntos vibrando con una diferencia de fase de 120.
Junio del 2008:
Cuestin (2 puntos):
Se realizan dos mediciones del nivel de intensidad sonora en las proximidades de un
foco sonoro puntual, siendo la primera de 100 dB a una distancia x del foco, y la
segunda de 80 dB al alejarse en la misma direccin 100 m ms.
a) Obtenga las distancias al foco desde donde se efectan las mediciones.
b) Determine la potencia sonora del foco.
Una onda armnica transversal se propaga en una cuerda tensa de gran longitud y est
representada por la siguiente expresin:
( x, t ) = 0.5sin ( 2 t x + )
en unidades del SI. Determine:

a) La longitud de onda y la velocidad de propagacin de la onda.
b) La diferencia de fase en un mismo instante entre las vibraciones de dos puntos
separados entre s x = 1 m.
c) La diferencia de fase de oscilacin para dos posiciones de un mismo punto de la
cuerda cuando el intervalo de tiempo transcurrido es de 2 s.
d) La velocidad mxima de vibracin de cualquier punto de la cuerda.
24
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Chuletario de gravitacin:
Leyes de Kepler:
1 (Ley de las orbitas): Todos los planetas se mueven en orbitas elpticas con el sol situado en un foco.
2 (Ley de las reas): Las reas barridas por el radio vector que une el sol con un planeta son
directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.
3 (Ley de los periodos): Los cuadrados de los periodos son directamente proporcionales a los cubos de
los semiejes mayores de las respectivas rbitas.
T 2 = Cr 3
Ley de la gravitacin universal:
Ecuacin escalar:
F = G
Campo gravitatorio:
Ecuacin vectorial:
mM
F = G
mM
r
r
Trabajo realizado por una fuerza:
Ecuacin escalar:
g = G
M
r
Mediante integrales de lnea:

Sea una fuerza vectorial F( x, y, z ) y una trayectoria o camino
Ecuacin vectorial:
g = G
M
r3
r (t ) que une dos puntos t = a y
t = b , el trabajo realizado por F a travs del camino r (t ) es:

a
W = F dr = F ( x(t ), y (t ), z (t ) )r ' (t )dr

Si la fuerza es conservativa, cualquier trayectoria cerrada da cero el trabajo, y cualquier trayectoria que se
siga para ir de un punto a otro del espacio da como resultado el mismo trabajo.
Trabajo realizado por fuerzas conservativas (diferencia de energas potenciales):
Wa b = U a b = U(a ) U(b)
Potencial gravitatorio:
M
V(r ) = G
r
1
1
V(r ) = GM
R r
Origen de potencial en el
infinito: U () = 0
Origen de potencial a una
distancia R : U( R ) = 0
Energa potencial gravitatoria

mM
U ( r ) = G
r
1
1
U(r ) = GmM
R r
Satlites en rbita:
Cuando un satlite est en orbita con un planeta, o un planeta con una estrella, se produce el equilibrio
entre dos fuerzas, la fuerza gravitatoria y la fuerza centrfuga, por tanto la velocidad orbital es:
Fg + Fc = 0 G
mM
El periodo de rotacin:
T=
r2
+m
M
M
v2
=0G
= v2 v = G
r
r
r
2 r
T=
v
4 2 r 3
GM
Definicin: Un satlite es geoestacionario con un planeta cuando su posicin es siempre la misma con
respecto a un observador situado en dicho planeta. Los satlites geoestacionarios siempre tienen un
periodo de rotacin igual al periodo de rotacin del planeta consigo mismo.
Velocidad de escape:
Para que un cuerpo escape del campo gravitatorio de un planeta es necesario que se encuentre muy
alejado, en el infinito para ser exactos. Para ello hay que transmitirle la energa mnima y necesaria para
llevarlo hasta all, es decir darle una energa cintica:
U + E c = 0 G
M
Mm 1 2
M 1 2
+ mv = 0 G
+ v = 0 v = 2G
r
r
2
r 2
Expresiones extra:
Momento angular:
Relacin campo y potencial:
L = r mv
g = V
Energa potencial en la superficie:
E p = mgh
En algunos problemas se utiliza altura con respecto a la superficie del planeta, entonces r = R + h
25

2 de Bachillerato
Datos astrofsicos importantes:
Constante de Gravitacin Universal: G = 6.671011 Nm2kg2
Radio medio terrestre: RT = 6.37106 m
Masa de la Tierra: MT = 5.981024 Kg
Masa del sol: MS = 1.991030 Kg
Radio medio solar: RS = 6.96108 m
Radio medio de la rbita de la tierra alrededor del sol: RTS = 1.51011 m
Masa de la luna: ML = 7.21022 Kg
Radio medio lunar: RL = 1.73106 m
Radio medio de la rbita de la tierra alrededor de la luna: RLT = 3.8105 m
Gravedad en la superficie terrestre: g0 = 9.8 ms2
En todos los ejercicios se pueden utilizar los datos anteriores, salvo que el
enunciado diga exactamente que solo se usen los facilitados.
Ejercicios de gravitacin:
1
Dos bolas de acero de masas 8 y 6 kg respectivamente estn colocadas a 2 m de

distancia medidas desde sus centros. Cuanto vale su interaccin gravitatoria?
Sol: 81010 N.
Si la fuerza gravitatoria entre la Tierra y la Luna es de 1.91020 N, determinar la

distancia entre el centro de la tierra y el centro de la luna. Sol: 3.9108 m.
Si elevamos un objeto de 20 kg de masa a una altura de 160 km sobre la superficie de

la tierra, cunto pesa a esa altura? Sol: 190 N.
A que distancia del centro de la tierra (por encima de la superficie terrestre) pesa 1 N
una masa de 1 kg? Sol: 19965 km
Calcula la fuerza gravitatoria entre el sol y la tierra. Sol: 3.541022 N.
Determinar la masa del sol a partir de los siguientes datos:

Radio medio de la rbita de la tierra alrededor del sol: RST = 1.51011 m
Periodo orbital de la tierra: T = 365.256 das.
Constante de Gravitacin Universal: G = 6.671011 Nm2kg2
Sol: 1.991030 kg.
El radio del planeta Marte es aproximadamente 3440 km. Si un objeto pesa 200 N en la
tierra, cul ser su peso en Marte? Marte tiene una masa 0.11 veces la de la tierra. El
radio medio terrestre es RT = 6.37106 m. Resolver utilizando solo los datos dados por
el problema. Sol: 75 N.
Calcula el valor de la aceleracin de la gravedad en la superficie de mercurio, si el

radio de la Tierra es tres veces mayor que el de mercurio, y la densidad de Mercurio es
3/5 de la densidad media de la tierra. Gravedad en la superficie terrestre 9.8 ms2.
Resolver utilizando solo los datos dados por el problema. Sol: 1.96 m/s2.
A que altura el valor de la gravedad se reduce a la mitad del valor que tiene en la
superficie terrestre? Expresar el resultado en funcin del radio de la tierra y no utilizar
datos que no estn en el problema. Sol: 0.4RT
26
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
10 La intensidad del campo gravitatorio en la luna es 1.6 m/s2. Cunto pesa en la Luna
un individuo que en la Tierra pesa 689 N? Sol: 112 N.
11 La intensidad del campo gravitatorio de Marte es 3.7 m/s2 y su radio es 3.4106 m.
Cunto vale la masa de Marte? Sol: 6.41023 kg.
12 Una nave espacial sigue una orbita circular alrededor de la Tierra a una altura de
1000 km. Cul es el peso de un astronauta de 74.7 kg a esa altura? Sol: 550 N.
13 Calcula la masa de Jpiter sabiendo que uno de sus satlites tiene un periodo de 16.55
das y un radio orbital de 1.883109 m. Sol: 1.931027 kg.
14 Si la Tierra describe una rbita de 1.51011 m de radio, calcula la velocidad areolar
(rea barrida en un segundo) en m2/s del radio vector trazado desde el sol a la tierra.
Sol: 2.21015 m2/s.
15 Marte tiene dos satlites, llamados Fobos y Deimos, cuyas rbitas tienen radios de
9400 y 23000 km respectivamente. Fobos tarda 7.7 horas en dar una vuelta alrededor
del planeta. Aplicando las leyes de Kepler, halla el periodo de Deimos. Sol: 29.4 h.
16 El satlite mayor de Saturno, Titn, describe una orbita de 1.222106 km de radio en
15.94 das. Determine la masa del planeta Saturno y su densidad.
Dato: Dimetro de saturno 1.21108 m. Sol: 5.671026 kg, 677 kg/m3.
17 Calcular el valor de la velocidad horizontal que hay que comunicarle a un satlite para
que se mueva en rbita circular por la superficie terrestre. Sol: 7900 m/s.
18 Un satlite artificial gira en torno a la Tierra describiendo una rbita de 7000 km de
radio. Calcula la velocidad y el periodo de revolucin del satlite. Sol: 7600 m/s; 1.6 h.
19 Un satlite artificial gira en torno a la Tierra en una rbita circular de radio igual al
dimetro de la Tierra. Calcula la velocidad del satlite. Sol: 5592 m/s.
20 Se coloca un satlite meteorolgico de 1000 kg en rbita circular a 300 km sobre la
superficie terrestre. Determina:
a) La velocidad lineal, la aceleracin radial y el periodo de la rbita.
b) El trabajo que se requiere para poner en rbita el satlite.
Datos: Radio medio terrestre: RT = 6.37106 m
Gravedad en la superficie terrestre: g0 = 9.8 ms2
Usar solo los datos del problema. Sol: a) 7721 m/s, 8.94 m/s2, 1.5 h; b) 3.261010 m.
21 La nave espacial Discovery, lanzada en octubre de 1998, describa en torno a la Tierra
una rbita circular con una velocidad de 7.62 km/s.
a) A que altura se encontraba?
b) Cul era su periodo? Cuntos amaneceres contemplaban cada 24 h los
astronautas que viajaban en el interior de la nave?
Datos: Radio medio terrestre: RT = 6.37106 m.
Masa de la Tierra: MT = 5.981024 Kg.
Sol: a) 5105 m; b) 1.57 h, 15 veces.
27

2 de Bachillerato
22 Calcula el potencial gravitatorio creado por una esfera de 1000 kg de masa en un punto
situado a 10 m de su centro. Sol: 6.67109 J/kg.
23 Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba desde la superficie de la tierra con una
velocidad de 4000 m/s. Calcula la altura mxima que alcanzar. Sol: 9.4105 m.
24 Se desea elevar una masa de 15000 kg, desde la superficie terrestre hasta una altura
sobre ella de 4.2104 m. Calcula la energa que se necesita. Sol: 6.2109 J.
25 Un proyectil de masa 10 kg se dispara verticalmente desde la superficie terrestre con
una velocidad de 3200 m/s.
a) Cul es la mxima energa potencial que adquiere?
b) En qu posicin se alcanza?
Datos: Gravedad en la superficie terrestre: g0 = 9.8 ms2
Usar slo los datos dados en el problema. Sol: a) 5.7108 J; b) RT + h = 7106 m
26 Calcula el trabajo necesario para trasladar un satlite terrestre de 500 kg desde una
rbita circular de radio 2RT hasta otra de radio 3RT.
Datos: Gravedad en la superficie terrestre: g0 = 9.8 ms2
Usar slo los datos dados en el problema. Sol: 2.6109 J.
27 El planeta Saturno tiene una masa 95.2 veces mayor que la de la Tierra y un radio de
9.47 veces el de esta. Hallar la velocidad de escape para objetos situados cerca de la
superficie de Saturno. Sol: 35.5 km/s.
28 Tres esferas uniformes de masas 2, 4 y 6 kg se colocan respectivamente en los vrtices
de un tringulo de coordenadas (0, 3), (0, 0) y (4, 0). Calcular el mdulo de la fuerza
gravitatoria resultante sobre la masa de 4 kg (situada como se sabe en el origen de
coordenadas). Sol: 11.61011 N.
29 Un hombre de 70 kg est sobre la superficie terrestre. Calculen cuanto pesara el
hombre, suponiendo que el radio de la Tierra se duplicara:
a) Si la masa de la Tierra permaneciese constante.
b) Si la densidad media de la Tierra permaneciese constante.
Sol: a) 171.5 N; b) 1372 N.
30 La masa de la luna es aproximadamente de 7.381022 kg, y su radio de 1.7106 m.
Calcular:
a) Qu distancia recorre un cuerpo durante 1 s en cada libre, abandonado en un
punto prximo a la superficie de la luna?
b) Cul es el periodo de oscilacin en la superficie lunar de un pndulo que en la
superficie terrestre tiene un periodo de oscilacin de 2 s?
Sol: a) 0.85 m; b) 4.8 s.
31 A que altura sobre el suelo hay que colocar una masa de 12 kg para que la energa
potencial sea la misma que la de otra masa de 106 kg, colocada a 10 m sobre el suelo?
Sol: 9.6105 m.
28
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
32 Dos esferas iguales de masa 6.4 kg estn fijas en dos puntos A y B distantes 16 cm.
Una tercera masa de 100 g se suelta desde un punto C, equidistante de A y B y a 6 cm
de la lnea de separacin que une a las masas de 6.4 kg. (Ver dibujo)
Calcule:
a) La aceleracin de la masa de 100 g cuando est en el punto C.
b) La aceleracin de la masa de 100 g cuando pasa por el punto medio del
segmento AB.
Sol: 4.3108 m/s2; b) 0 m/s2.
33 Una nave espacial, de masa 75 toneladas, se coloca en rbita geoestacionaria.
a) Qu velocidad mnima se le debe imprimir para que escape del campo
gravitatorio terrestre?
b) Qu energa ser necesario suministrarle?
Sol: a) 4.35 km/s; b) 71011 J.
34 Estimen la densidad de Jpiter sabiendo que Calixto, el ms externo de sus satlites,
describe en 16.69 das una rbita completa en torno al planeta, del que le separa una
distancia media de 26.4 veces el radio de dicho planeta. Sol: 1250 kg/m3.
Problemas y cuestiones de gravitacin de selectividad:

Modelo del 2000:
Cuestin (2 puntos):
El cometa Halley se mueve en una rbita elptica alrededor del Sol. En el perihelio
(posicin ms prxima) el cometa est a 8.75107 km del Sol y en el afelio (posicin
ms alejada) est a 5.26109 km del Sol.
a) En cual de los dos puntos tiene el cometa mayor velocidad?Y mayor
aceleracin?
b) En que punto tiene mayor energa potencial?Y mayor energa mecnica?
Se coloca un satlite meteorolgico de 1000 kg en rbita circular, a 300 km sobre la
superficie terrestre. Determine:
a) La velocidad lineal, la aceleracin radial y el periodo en la rbita.
b) El trabajo que se requiere para poner en rbita el satlite.
Datos: Radio medio terrestre RT = 6.37106 m
Gravedad en la superficie terrestre g0 = 9.8 ms2
Junio del 2000:
Cuestin (2 puntos):
a) Enuncie la primera y la segunda ley de Kepler sobre el movimiento planetario.
b) Compruebe que la segunda ley de Kepler es un caso particular del teorema de
conservacin del momento angular.
29

2 de Bachillerato
Se pone en orbita un satlite artificial de 600 kg a una altura de 1200 km sobre la
superficie de la tierra. Si el lanzamiento se ha realizado desde el nivel del mar, calcule:
a) Cuanto ha aumentado la energa potencial gravitatoria del satlite.
b) Que energa adicional hay que suministrar al satlite para que escape a la accin
del campo gravitatorio terrestre desde esa orbita.
Datos: Constante de gravitacin G = 6.6710-11 Nm2kg2
Masa de la Tierra MT = 5.981024 Kg
Radio de la Tierra RT = 6.37106 m
Cuestin (2 puntos):
a) Con que frecuencia angular debe girar un satlite de comunicaciones, situado
en una orbita ecuatorial, para que se encuentre siempre sobre el mismo punto de
la tierra?
b) A que altura sobre la superficie terrestre se encontrar el satlite citado en el
apartado anterior?
Datos: Gravedad en la superficie de la Tierra = 9.8 ms2
Radio medio de la Tierra = 6.37106 m
Un satlite artificial de 200 kg gira en una orbita circular a una altura h sobre la
superficie de la Tierra. Sabiendo que a esa altura el valor de la aceleracin de la
gravedad es la mitad del valor que tiene en la superficie terrestre, averiguar:
a) La velocidad del satlite.
b) Su energa mecnica.
Datos: Gravedad en la superficie terrestre g0 = 9.8 ms2
Radio medio de la Tierra RT = 6.37106 m
Modelo del 2001:
Cuestin (2 puntos):
Determine la relacin que existe entre la energa mecnica de un satlite que describe
una orbita circular en torno a un planeta y su energa potencial.
El periodo de revolucin del planeta Jpiter en su rbita circular alrededor del Sol es
aproximadamente 12 veces mayor que el de la Tierra en su correspondiente rbita:
Considerando circulares las rbitas de los dos planetas, determine:
a) La razn entre los radios de las respectivas rbitas.
b) La razn entre las aceleraciones de los dos planetas en sus respectivas rbitas.
Junio del 2001:
Cuestin (2 puntos):
En el movimiento circular de un satlite en torno a la Tierra, determine:
a) La expresin de la energa cintica en funcin de las masas del satlite y de la
Tierra y del radio de la orbita.
b) La relacin que existe entre su energa mecnica y su energa potencial.
30
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Dos satlites artificiales de la tierra S1 y S2 describen en un sistema de referencia
geocntrico dos orbitas circulares, contenidas en un mismo plano, de radios r1 = 8000
km y r2 = 9034 km respectivamente.
En un instante inicial dado, los satlites estn alineados con el centro de la tierra y
situados del mismo lado:
a) Qu relacin existe entre las velocidades orbitales de ambos satlites?
b) Qu relacin existe entre los periodos orbitales de los satlites? Qu posicin
ocupar el satlite S1 cuando el satlite S2 haya completado seis vueltas, desde el
instante inicial?
Cuestin (2 puntos):
Un proyectil de masa 10 kg se dispara verticalmente desde la superficie de la Tierra con
una velocidad de 3200 m/s:
a) Cul es la mxima energa potencial que adquiere?
b) En que posicin se alcanza?
Datos: Gravedad en la superficie terrestre g0 = 9.8 ms2
Radio medio de la Tierra RT = 6.37106 m
Modelo del 2002:
Cuestin (2 puntos):
a) A que altitud tendr una persona la mitad del peso que tiene sobre la superficie
terrestre? Exprese el resultado en funcin del radio terrestre.
b) Si la fuerza de la gravedad acta sobre todos los cuerpos en proporcin a sus
masas, por qu no cae un cuerpo pesado con mayor aceleracin que un cuerpo
ligero?
Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor.
El planeta 1 se mueve en una orbita circular de 1011 m y periodo de 2 aos. El planeta 2
se mueve en una rbita elptica, siendo su distancia en la posicin ms prxima a la
estrella 1011 m y en la ms alejada 1.81011 m.
a) Cul es la masa de la estrella? (0.5 puntos)
b) Halle el periodo de la rbita del planeta 2. (0.5 puntos)
c) Utilizando los principios de conservacin del momento angular y de la energa
mecnica, hallar la velocidad del planeta 2 cuando se encuentra en la posicin
ms cercana a la estrella. (1 punto)
Datos: Constante de Gravitacin Universal G = 6.671011 Nm2kg2
Junio del 2002:
Cuestin (2 puntos):
Un planeta esfrico tiene un radio de 3000 km, y la aceleracin de la gravedad en su
superficie es 6 m/s2.
a) Cual es su densidad media?
b) Cul es la velocidad de escape para un objeto situado en la superficie de este
planeta?
31

2 de Bachillerato
La velocidad angular con la que un satlite describe una orbita circular entorno al
planeta Venus es 1 = 1.45104 rad/s y su momento angular respecto al centro de la
rbita es L1 = 2.21012 kgm2s1.
a) Determine el radio r1 de la rbita del satlite y su masa.
b) Qu energa sera preciso invertir para cambiar a otra rbita circular con
velocidad angular 2 = 104 rad/s?
Se pretende colocar un satlite artificial de forma que gire en una rbita circular en el
plano del ecuador terrestre y en el sentido de rotacin de la Tierra. Si se quiere que el
satlite pase peridicamente sobre un punto del ecuador cada dos das, calcule:
a) La altura sobre la superficie terrestre a la que hay que colocar el satlite.
b) La relacin entre la energa que hay que comunicar a dicho satlite desde el
momento de su lanzamiento en la superficie terrestre para colocarlo en esa orbita
y la energa mnima de escape.
Modelo del 2003:
Cuestin (2 puntos):
Un planeta esfrico tiene una masa igual a 27 veces la masa de la Tierra, y la velocidad
de escape para objetos situados cerca de su superficie es tres veces la velocidad de
escape terrestre. Determine:
a) La relacin entre los radios del planeta y de la tierra.
b) La relacin entre las intensidades de la gravedad en puntos de la superficie del
planeta y de la Tierra.
Jpiter tiene aproximadamente una masa de 320 veces mayor que la de la Tierra y un
volumen de 1320 veces superior al de la Tierra. Determine:
a) A que altura h sobre la superficie de Jpiter debera encontrarse un satlite, en
rbita circular en torno a este planeta, para que tuviera un periodo de 9 horas 50
minutos.
b) La velocidad del satlite en dicha rbita.
Junio del 2003:

Cuestin (2 puntos):
Suponiendo un planeta esfrico que tiene un radio la mitad del radio terrestre e igual
densidad que la Tierra, calcule:
a) La aceleracin de la gravedad en la superficie de dicho planeta.
b) La velocidad de escape de un objeto desde la superficie del planeta, si la
velocidad de escape desde la superficie terrestre es 11.2 km/s.
Datos: Aceleracin de la gravedad en la superficie terrestre g0 = 9.8 ms2
32
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Mercurio describe una orbita elptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al Sol
es de 6.991010 m, y su velocidad orbital es de 3.88104 m/s, siendo su distancia al Sol
en el perihelio de 4.61010 m, y su velocidad orbital es de 3,88104 m/s, siendo su
distancia al Sol en el perihelio de 4.61010 m.
a) Calcule la velocidad orbital de Mercurio en el perihelio.
b) Calcule las energas cintica, potencial y mecnica de Mercurio en el perihelio.
c) Calcule el mdulo de su momento lineal y de su momento angular en el
perihelio.
d) De las magnitudes calculadas en los apartados anteriores, decir cuales son
iguales en el afelio.
Constante de Gravitacin Universal G = 6.671011 Nm2kg2
Un satlite artificial de 100 kg de masa se encuentra girando alrededor de la Tierra en
una rbita circular de 7100 km de radio. Determine:
a) El periodo de revolucin del satlite.
b) El momento lineal y el momento angular del satlite respecto al centro de la
tierra.
c) La variacin de energa potencial que ha experimentado el satlite al elevarlo
desde la superficie de la tierra hasta esa posicin.
d) La energa cintica y total del satlite.
Masa de la Tierra MT = 5.981024 Kg
Modelo del 2004:
Cuestin (2 puntos):
La velocidad de un asteroide es de 20 km/s en el perihelio y de 14 km/s en el afelio.
Determine en esas posiciones cual es la relacin entre:
a) Las distancias al sol en torno al cual orbita.
b) Las energas potenciales del asteroide.
La sonda espacial Mars Odissey describe una orbita circular en torno a Marte a una
altura sobre su superficie de 400 km. Sabiendo que un satlite de Marte describe rbitas
circulares de 9390 km de radio y tarda en cada una de ellas 7.7 h, calcule:
a) El tiempo que tardar la sonda espacial en dar una vuelta completa.
b) La masa de Marte y la aceleracin de la gravedad en su superficie.
Radio de Marte RM = 3390 km
33

2 de Bachillerato
Junio del 2004:
Cuestin (2 puntos):
Plutn describe una orbita elptica alrededor del sol. Indique para cada una de las
siguientes magnitudes si su valor es mayor, menor o igual en el afelio (punto ms
alejado del Sol) comparado con el perihelio (punto ms prximo al Sol):
a) Momento angular respecto a la posicin del sol.
b) Momento lineal.
c) Energa potencial.
d) Energa mecnica.
Cuestin (2 puntos):
La luz solar tarda 8.31 minutos en llegar a la tierra y 6.01 minutos en llegar a Venus.
Suponiendo que las orbitas descritas por ambos planetas son circulares, determine:
a) El periodo orbital de Venus en torno al Sol sabiendo que el de la tierra es de
365.25 das.
b) la velocidad con que se desplaza Venus en su orbita.
Datos: Velocidad de la luz en el vaco 3108 m/s
Un planeta esfrico tiene 3200 km de radio y la aceleracin de la gravedad en su
superficie es 6.2 ms2. Calcule:
a) La densidad media del planeta y la velocidad de escape desde su superficie.
b) La energa que hay que comunicar a un objeto de 50 kg de masa para lanzarlo
desde la superficie del planeta y ponerlo en rbita circular alrededor del mismo,
de forma que su periodo sea de 2 horas.
Modelo del 2005:
Cuestin (2 puntos):
Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) Un objeto de masa m1 necesita una velocidad de escape de la tierra el doble que
la que necesita otro objeto de masa m2 = m1/2.
b) Se precisa realizar ms trabajo para colocar en una misma rbita un satlite de
masa m1 que otro satlite de masa m2 = m1/2, lanzados desde la superficie de la
Tierra.
Junio del 2005:
Cuestin (2 puntos):
a) Deduzca la expresin de la energa cintica de un satlite en rbita circular
alrededor de un planeta en funcin del radio de la rbita y de las masas del
satlite y del planeta.
b) Demuestre que la energa mecnica del satlite es la mitad de su energa
potencial.
34
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Un satlite artificial de la tierra de 100 kg de masa describe una rbita circular a una
altura de 655 km. Calcule:
c) El periodo de la rbita.
d) La energa mecnica del satlite.
e) El mdulo del momento angular del satlite respecto al centro de la Tierra.
f) El cociente entre los valores de la intensidad de campo gravitatorio terrestre en
el satlite y en la superficie de la tierra.
Datos: Radio medio terrestre RT = 6.37106 m Masa de la Tierra MT = 5.981024 Kg
Cuestin (2 puntos):
Dos masas iguales M = 20 kg, ocupan posiciones fijas
separadas una distancia de 2 m, segn indica la
figura. Una tercera masa, m = 0.2 kg, se suelta desde el
reposo en un punto A equidistante de las dos
masas anteriores y a una distancia de 1 m de la lnea que las
une (AB = 1 m). Si no actan ms que la
accin gravitatoria entre estas masas, determine:
a) La fuerza ejercida (mdulo, direccin y sentido) sobre la masa m en la posicin A.
b) Las aceleraciones de la masa m en las posiciones A y B.
Dato: Constante de Gravitacin Universal G = 6.671011 Nm2kg2
Desde la superficie terrestre se lanza un satlite de 400 kg de masa hasta situarlo en una
orbita circular a una distancia del centro de la Tierra igual a las 7/6 partes del radio
terrestre. Calcule:
a) La intensidad de campo gravitatorio terrestre en los puntos de la rbita del
satlite.
b) La velocidad y el periodo que tendr el satlite en la rbita.
c) La energa mecnica del satlite en la rbita.
d) La variacin de la energa potencial que ha experimentado el satlite al elevarlo
desde la superficie de la tierra hasta situarlo en su orbita.
Modelo del 2006:
Cuestin (2 puntos):
a) Enuncie las tres leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.
b) Si el radio de la orbita de la Tierra es 1.51011 m y el de Urano 2.871012 m,
calcule el periodo orbital de Urano.
Se lanza una nave de masa m = 5103 kg desde la superficie de un planeta de radio
R1 = 6103 km y masa M1 = 41024 kg, con velocidad inicial v0 = 2104 m/s, en direccin
hacia otro planeta del mismo radio R2 = R1 y masa M2 = 2M1, siguiendo la lnea recta que
une los centros de ambos planetas. Si la distancia entre dichos centros es 4.831010 m,
determine:
a) La posicin del punto P en el que la fuerza neta sobre la nave es cero.
b) La energa cintica con la que llegar la nave a la superficie del segundo planeta.
35

2 de Bachillerato
Junio del 2006:
Cuestin (2 puntos):
Llamando g0 y V0 a la intensidad de campo gravitatorio y al potencial gravitatorio en la
superficie terrestre respectivamente, determine en funcin del radio de la Tierra:
a) La altura sobre la superficie terrestre a la cual la intensidad de campo
gravitatorio es g0/2.
b) La altura sobre la superficie terrestre a la cual el potencial gravitatorio es V0/2
Un satlite artificial describe una rbita circular alrededor de la Tierra. En esa rbita la
energa mecnica del satlite es 4.5109 J y su velocidad es 7610 ms1. Calcule:
a) El mdulo del momento lineal del satlite y el mdulo del momento angular del
satlite respecto al centro de la Tierra.
b) El periodo de la rbita y la altura a la que se encuentra el satlite.
Cuestin (2 puntos):
a) Desde la superficie de la Tierra se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con
una velocidad v. Si se desprecia el rozamiento, calcule el valor de v necesario
para que el objeto alcance una altura igual al radio de la Tierra.
b) Si se lanza el objeto anterior desde la superficie de la Tierra con una velocidad
doble a la calculada en el apartado anterior, escapar o no del campo
gravitatorio terrestre?
Modelo del 2007:
Cuestin (2 puntos):
Un objeto de 5 kg de masa posee una energa potencial gravitatoria Ep = 2 108 J
cuando se encuentra a cierta distancia de la tierra.
a) Si el objeto a esa distancia estuviera describiendo una rbita circular, cul sera
su velocidad?
b) Si la velocidad del objeto a esa distancia fuese de 9 km/s, cul sera su energa
mecnica? Podra el objeto estar describiendo una orbita elptica en este caso?
Junio del 2007:
Cuestin (2 puntos):
Sabiendo que la aceleracin de la gravedad en un movimiento de cada libre en la
superficie de la Luna es un sexto de la aceleracin de la gravedad en la superficie de la
Tierra y que el radio de la Luna es aproximadamente 0.27 RT (siendo RT el radio
terrestre), calcule:
a) La relacin entre las densidades medias Luna/Tierra.
b) La relacin entre las velocidades de escape de un objeto desde sus respectivas
superficies (ve)Luna / (ve)Tierra.
36
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Fobos es un satlite de Marte que gira en una rbita circular de 9380 km de radio,
respecto al centro del planeta, con un periodo de revolucin de 7,65 horas. Otro satlite
de Marte, Deimos, gira en una rbita de 23460 km de radio. Determine:
a) La masa de Marte.
b) El perodo de revolucin del satlite Deimos.
c) La energa mecnica del satlite Deimos.
d) El mdulo del momento angular de Deimos respecto al centro de Marte.
Masa de Fobos = 1.11016 kg
Masa de Deimos = 2.41015 kg
Cuestin (2 puntos):
a) Cul es la aceleracin de la gravedad en la superficie de un planeta esfrico
cuyo radio es la mitad del de la Tierra y posee la misma densidad media?
b) Cul sera el perodo de la rbita circular de un satlite situado a una altura de
400 km respecto a la superficie del planeta?
Un satlite de masa 20 kg se coloca en rbita circular sobre el ecuador terrestre de modo
que su radio se ajusta para que d una vuelta a la Tierra cada 24 horas. As se consigue
que siempre se encuentre sobre el mismo punto respecto a la Tierra (satlite
geoestacionario).
a) Cul debe ser el radio de su rbita?
b) Cunta energa es necesaria para situarlo en dicha rbita?
Modelo del 2008:
Cuestin (2 puntos):
Cuatro masas puntuales idnticas de 6 kg cada una estn situadas en los vrtices de un
cuadrado de lado igual a 2 m. Calcule:
a) El campo gravitatorio que crean las cuatro masas en el centro de cada lado del
cuadrado.
b) El potencial gravitatorio creado por las cuatro masas en el centro del cuadrado,
tomando el infinito como origen de potenciales.
Un satlite artificial de 200 kg describe una rbita circular alrededor de la Tierra. La
velocidad de escape a la atraccin terrestre desde esa rbita es la mitad que la velocidad
de escape desde la superficie terrestre.
a) Calcule la fuerza de atraccin entre la Tierra y el satlite.
b) Calcule el potencial gravitatorio en la rbita del satlite.
c) Calcule la energa mecnica del satlite en la rbita.
d) Se trata de un satlite geoestacionario? Justifique la respuesta.
37

2 de Bachillerato
Junio del 2008:
Cuestin (2 puntos):
Una sonda de masa 5000 kg se encuentra en una rbita circular a una altura sobre la
superficie terrestre de 1.5RT. Determine:
a) El momento angular de la sonda en esa rbita respecto al centro de la Tierra.
b) La energa que hay que comunicar a la sonda para que escape del campo
gravitatorio terrestre desde esa rbita.
Constante de Gravitacin Universal G = 6.671011 Nm2kg2.
Cuestin (2 puntos):
Calcule el mdulo del momento angular de un objeto de 1000 kg respecto al centro de
la Tierra en los siguientes casos:
a) Se lanza desde el polo norte perpendicularmente a la superficie de la Tierra con
una velocidad de 10 km/s.
b) Realiza una rbita circular alrededor de la Tierra en el plano ecuatorial a una
distancia de 600 km de su superficie.
Datos: Constante de Gravitacin Universal G = 6.671011 Nm2kg2.
Radio medio terrestre RT = 6.37106 m Masa de la Tierra MT = 5.981024 Kg.
Un satlite artificial de 100 kg se mueve en una rbita circular alrededor de la Tierra
con una velocidad de 7.5 km/s. Calcule:
a) El radio de la rbita.
b) La energa potencial del satlite.
c) La energa mecnica del satlite.
d) La energa que habra que suministrar al satlite para que describa una rbita
circular con radio doble que el de la rbita anterior.
Datos: Constante de Gravitacin Universal G = 6.671011 Nm2kg2.
Radio medio terrestre RT = 6.37106 m Masa de la Tierra MT = 5.981024 kg.
38
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Chuletario de electrosttica
Ley de Coulomb, campo elctrico, potencial elctrico y energa potencial elctrica.
qq '
q'
q'
qq '
F=K 3 r
E=K 3r
V=K
U=K
r
r
r
r
Expresin vectorial alternativa:
F=K
qq '
r r'
V=K
(r r ' )
E=K
q'
r r'
q'
3
r r'
(r r ' )
qq '
r r'
U=K
En la mayora de problemas, el origen de potencial se situar en el infinito.
Principio de superposicin:
El campo electrosttico en un punto, es la suma vectorial de las componentes individuales en el punto,
debidas a carga puntual. El potencial elctrico en dicho punto es la suma directa de los potenciales
generados por cada carga en dicho punto.
Campo elctrico:
Potencial elctrico:
n
E = Ei
V = Vi
i =1
i =1
Relaciones y ecuaciones importantes:

Relacin campo y fuerza: F( r ) = qE (r )
E = V
K = 1 /(4 0 )
Relacin campo y potencial:
Relacin entre la constante de Coulomb y la permitividad elctrica en el vaco:
Trabajo electrosttico:
Trabajo electrosttico desde A hasta B, es equivalente como se puede ver a la carga por la diferencia de
potencia entre A y B.
B
WAB = Fdl =q Edl =q(VA VB ) = U A U B = U p U p = qV

Ley de Gauss y algunas de sus aplicaciones:
Flujo elctrico a travs de una superficie: = EdA = En dA
S
La ley de Gauss es el flujo del campo elctrico que atraviesa una superficie cerrada:
= EdA = En dA =
S
Algunas aplicaciones importantes de la ley de Gauss:

Ley de Gauss para cargas puntuales:
EdA = 4 r 3 r dA =
0 S
S Cualquier superficie cerrada que abarque a todas las cargas.

Campo creado por un hilo rectilneo uniformemente cargado:
EdA = E dA = 2 r lE =
E=
0
2 0 r
S Superficie cilndrica de radio r y longitud l que encierra a todo el hilo cilndrico con una
distribucin lineal de carga . Se supone que la distancia del hilo a la superficie es cte = r
Campo creado por un plano indefinido de carga uniformemente cargado:
2
EdA = E dA = E r =
r 2
E=
0
0
S Superficie circular de radio r y paralela a la lmina cargada. Distribucin superficial de carga.
39

2 de Bachillerato
Ejercicios de electrosttica:
1
Hallar la relacin entre la fuerza elctrica Fe y la gravitatoria Fg (o peso) entre dos

electrones. Sol: Fe = 4.161042Fg
El ncleo del tomo de helio tiene una de +2e y el de nen +10e, siendo e = 1.61019 C.
Hallar la fuerza de repulsin entre ambos ncleos situados en el vaco y a una distancia
de 3 nanometros. Sol: 5.121019 C.
Dos esferillas iguales e igualmente cargadas, de 0.1 g de masa cada una, se suspenden
del mismo punto mediante hilos de 13 cm de longitud. Debido a la repulsin entre
ambas, las esferillas se separan 10 cm. Hallar la carga de cada una de ellas.
Sol: 2.1108 C.
Tres cargas puntuales de +2, +3 y +4 C, estn situadas en los vrtices del tringulo
equiltero ABP, que tiene 10 cm de lado. Hallar la fuerza resultante aplicada en la
carga de +4 C. Sol: 15.7 N.
Una carga puntual, positiva, de 109 C est situada en el origen de coordenadas. Otra
carga puntual y negativa de 2108 C est situada sobre el eje de ordenadas de 1 m del
origen. Determinar:
a) Las intensidades de los campos elctricos, creados por cada una de las cargas
mencionadas en el punto A, de coordenadas (0, 2) m.
b) Las componentes coordenadas del campo total existente en A.
c) El trabajo que es necesario realizar para trasladar una carga de 3 C entre A y
B, cuyas coordenadas son (4, 2) m.
Sol: a) 2.25 N/C, 36 N/C; b) (29.95, 15.98) N/C; c) 104.76 J.
Hallar:
a) La intensidad del campo elctrico a 30 cm de distancia de la carga 5109 C.
b) La fuerza que acta sobre una carga de 41010 C situada a 30 cm de la carga
del apartado anterior.
Sol: a) 500 N/C; b) 2107 N.
Un ncleo atmico tiene una carga de +50e. Hallar el potencial de un punto situado a
1012 m de dicho ncleo y la energa potencial de un protn en ese mismo punto. La
carga del protn es 1.61019 C. Sol: 72000 V; 1.21014 J.
Dos cargas puntuales q1 y q2 estn separadas a 50 cm de distancia y se repelen con una

fuerza de 0.30 N. La suma algebraica de las dos cargas es 6.2106. Calcula q1 y q2.
Sol: q1 = 4.2106 C y q2 =2.0106 C.
Cuando se conectan los bornes de una batera de 400 V a dos lminas paralelas,
separadas una distancia de 2 cm, aparece un campo elctrico uniforme entre ellas.
a) Cunto vale la intensidad de este campo?
b) Qu fuerza ejerce el campo anterior sobre un electrn?
c) Qu velocidad adquirir el electrn cuando haya recorrido 1 cm, si parti del
reposo? Cunto tiempo necesita para recorrer esa distancia?
Sol: a) 2104 N/C; b) 3.21015 N; c) 8.4106 m/s, 2.4109 s.
40
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
10 Calcule la intensidad de campo elctrico en el punto B:
Sol: 1.7107 N/C.

11 Las cargas puntuales del dibujo son todas iguales y de valor 3106 C cada una.
Calcula la intensidad de la fuerza sobre una de ellas debida a las otras cargas si los
lados del rectngulo valen a = 60 cm y b = 30 cm.
Sol: 1.05 N.
12 El potencial elctrico a una cierta distancia de una carga puntual es de 600 V y la
intensidad de campo elctrico es de 200 N/C.
a) Cul es la distancia a la carga puntual?
b) Cul es el valor de la carga?
Sol: a) 3 m; b) 2107 C.
13 Tres partculas A, B y C igualmente cargadas poseen las siguientes coordenadas:
A(2 / 3, 0)
B(0, 0)
C(0, 1)
expresadas en centmetros. C ejerce sobre B una fuerza de 4105 N. Calcula:
a) La fuerza que A ejerce sobre B.
b) La fuerza neta sobre B ejercida por A y C, as como el ngulo que forma esta
fuerza con el eje vertical.
Sol: a) 9105 N; b) 9.8105 N, 66.
14 Dos cargas iguales de 1012 C estn situadas en dos puntos, A y B, separadas entre s
5 cm. Determina:
a) l mdulo del campo elctrico creado en un punto M, tal que las distancias
MA y MB son 3 y 4 cm respectivamente.
b) El potencial electrosttico.
Sol: a) 11.46 N/C; b) 0.525 V.
15 Tres cargas positivas e iguales de valor 2106 C cada una se encuentran situadas en
tres de los vrtices de un cuadrado de lado 10 cm. Determina:
a) El campo elctrico en el centro del cuadrado.
b) Los potenciales en los puntos medios de los lados del cuadrado que unen las
cargas y el trabajo realizado al desplazarse un electrn entre dichos puntos.
Sol: a) 3.6106 N/C dirigido al otro vrtice; b) 8.8105 V en los dos puntos medios, 0 J.
16 Dos cargas de 2106 C y 2106 C distan entre si 2 m. Calcula:
a) El campo resultante y el potencial en un punto de la mediatriz del segmento
que las une, distante 5 m de cada carga.
b) Repetir el apartado anterior pero con ambas cargas positivas.
Sol: a) 288 N/C, 0 V; b) 1410 N/C, 7200 V.
41

2 de Bachillerato
17 Tres cargas puntuales positivas de 2 C se encuentran en los vrtices de un cuadrado
de 3 m de lado.
a) Cul es el potencial en el vrtice desocupado del cuadrado?
b) Qu trabajo debera realizarse para llevar una cuarta carga de 2 C y situarla
en el cuarto vrtice del cuadrado?
Sol: 1.6104 V; b) 3.2102 J.
18 En el punto A(0, 0, 3, 2) mm hay una carga puntual de 49 nC, en el B(3, 2, 0, 0) mm
hay otra de 32 nC y en el origen O del referencial Oxy hay otra carga de 52 nC.
Calcula:
a) El vector campo elctrico que la partcula A crea en el punto O.
b) El vector campo elctrico que la partcula B crea en el punto O.
c) El vector campo elctrico total en O por las partculas A y B.
d) La fuerza resultante sobre la partcula de 52 nC que hay en el origen.
Sol: a) (0, 0, 4, 3)107 N/C; b) (2 , 8, 0, 0) 107 N/C; c) (2 , 8, 4, 3)107 N/C;
d) (1 , 5, 2, 2) N/C;
19 Dos cargas de 5 C y 10 C estn dentro de un cubo de 45 cm de lado. Cunto vale
el flujo del vector campo elctrico a travs de la superficie del cubo?
Sol: 5.65105 Nm2/C.
20 Obtenga el campo elctrico creado por dos lminas paralelas infinitas con densidades
de carga + y , respectivamente:
a) En las zonas exteriores de las lminas.
b) En la zona comprendida entre las lminas.
Sol: a) 0; b) /0.
21 Una esferita de 10 g de masa cuelga de un hilo sujeto a la placa superior como se
indica en el dibujo.
Si la distancia entre las placas es de 5 cm y la diferencia de potencial es de 1000 V,

Cul es el signo y el valor de la carga elctrica que debe tener la esfera para que la
tensin del hilo sea nula? Sol: 5 C
22 Dos esferas penden del mismo punto como indica el dibujo. Cada una tiene una masa
de 0.5 g. La longitud de los hilos es de 35 cm y se establece el equilibrio cuando estos
forman un ngulo de 40. Calcula la carga de cada esfera si estn igualmente cargadas.
Sol: 1.1107 C.
42
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
23 Un electrn se lanza con una velocidad horizontal v0 dentro de un campo elctrico
uniforme como indica el dibujo.
Demuestre que la ecuacin de su trayectoria es la siguiente:

eE 2
y=
x
2me v02
Problemas y cuestiones de electrosttica de selectividad:

Junio del 2000:
Cuestin (2 puntos):
Dos cargas puntuales e iguales de valor 2 mC cada una, se encuentran situadas en el
plano XY en los puntos (0,5) y (0,-5), respectivamente, estando las distancias
expresadas en metros.
a) En que punto del plano el campo elctrico es nulo?
b) Cul es el trabajo necesario para llevar una carga unidad desde el punto (1,0) al
punto (1,0)?
Los puntos A, B y C son los vrtices de un triangulo equiltero de 2 m de lado. Dos
cargas iguales positivas de 2 C estn en A y B.
a) Cul es el campo elctrico en el punto C?
b) Cul es el potencial en el punto C?
c) Cunto trabajo se necesita para llevar una carga positiva de 5 C desde el
infinito hasta el punto C si se mantienen fijas las otras cargas?
d) Responder al apartado anterior c) si la carga situada en B se sustituye por una
carga de 2 C.
Datos: Permitividad del vaco 0 = 8.8510-12 N1m-2C2
Junio del 2001:
Tres cargas positivas e iguales de valor q = 2 C cada una se encuentran situadas en tres
de los vrtices de un cuadrado de lado 10 cm. Determine:
a) El campo elctrico en el centro del cuadrado, efectuando
un esquema grfico en su explicacin.
b) Los potenciales en los puntos medios de los lados del
cuadrado que unen las cargas y el trabajo realizado al
desplazarse la unidad de carga entre dichos puntos.
Datos: Constante de la ley de Coulomb en el vaco K = 9109 Nm2C2
43

2 de Bachillerato
Se tienen dos cargas puntuales sobre el eje X, q1 = -0.2 C est situada a la derecha del
origen y dista de l 1 m; q2 = 0.4 C est a la izquierda del origen y dista de l 2 m.
a) en que puntos del eje X el potencial creado por las cargas es nulo?
b) Si se coloca en el origen una carga q = +0.4 C determine la fuerza ejercida
sobre ella por las cargas q1 y q2.
Modelo del 2002:
Un electrn es lanzado con una velocidad de 2106 m/s paralelamente a las lneas de un
campo elctrico uniforme de 5000V/m. Determine:
a) La distancia que ha recorrido el electrn cuando su velocidad se ha reducido a
0.5106 m/s.
b) La variacin de la energa potencial que ha experimentado el electrn en ese
recorrido.
Datos: Valor absoluto de la carga del electrn e = 1.61019 C
Masa del electrn m = 9.11031 kg
Junio del 2002:
Se tienen tres cargas situadas en los vrtices de un tringulo equiltero cuyas
coordenadas (expresadas en cm) son:
A(0,2)
B( 3 ,1)
C( 3 ,1)
Sabiendo que las cargas situadas en los puntos B y C son idnticas e iguales a 2 C y
que el campo elctrico en el origen de coordenadas (centro del tringulo) es nulo,
determine:
a) El valor y el signo de la carga situada en el punto A.
b) El potencial en el origen de coordenadas.
Datos: Constante de la ley de Coulomb K = 9109 Nm2C2
Junio del 2003:
Un protn se encuentra situado en el origen de coordenadas del plano XY. Un electrn,
inicialmente en reposo, est situado en el punto (2,0). Por efecto del campo elctrico
creado por el protn (supuesto inmvil), el electrn se acelera. Estando todas las
coordenadas expresadas en m, calcule:
a) El campo elctrico y el potencial creado por el protn en el punto (2,0).
b) La energa cintica del electrn cuando se encuentra en el punto (1,0).
c) La velocidad y el momento lineal del electrn en la posicin (1,0).
d) La longitud de onda de De Broglie asociada al electrn en el punto (1,0).
Valor absoluto de la carga del electrn: e = 1.61019 C
Masa del electrn: me = 9.11031 kg
Constante de Planck h = 6.631034 Js
44
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Cuestin (2 puntos):
a) Defina las superficies equipotenciales en un campo de fuerzas conservativo.
b) Cmo son las superficies equipotenciales del campo elctrico creado por una
carga puntual?
c) que relacin geomtrica existe entre las lneas de fuerza de un campo
conservativo y las superficies equipotenciales?
d) Indique un ejemplo de campo de fuerzas no conservativo.
Modelo del 2004:
Cuestin (2 puntos):
Se crea un campo elctrico uniforme de intensidad 6104 N/C entre dos lminas
metlicas planas y paralelas que distan entre si 2.5 cm. Calcule:
a) La aceleracin a la que est sometido un electrn situado en dicho campo.
b) Si el electrn parte del reposo de la lmina negativa, con que velocidad llegar
a la lmina positiva?
Nota: Se desprecia la fuerza gravitatoria.
Datos: Valor absoluto de la carga del electrn: e = 1.61019 C
Junio del 2004:
Un electrn, con velocidad inicial 3105 m/s dirigida en el sentido positivo del eje X,
penetra en una regin donde existe un campo elctrico uniforme y constante de valor
610-6 N/C, dirigido en el sentido positivo del eje Y. Determina:
a) Las componentes cartesianas de la fuerza experimentada por el electrn.
b) La expresin de la velocidad del electrn en funcin del tiempo.
c) La energa cintica del electrn un segundo despus de penetrar en el campo.
d) La variacin de la energa potencial experimentada por el electrn al cabo de un
segundo de penetrar en el campo.
Datos: Valor absoluto de la carga del electrn: e = 1.61019 C
Dos cargas elctricas en reposo de valores q1 = 2 C y q2 = -2 C, estn situadas en los
puntos (0,2) y (0,-2) respectivamente, estando las distancias en metros. Determine:
a) El campo elctrico creado por esta distribucin de cargas en el punto a de
coordenadas (3,0).
b) El potencial en el citado punto A y el trabajo necesario para llevar una carga de
3 C desde dicho punto hasta el origen de coordenadas.
Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9109 Nm2C2
45

2 de Bachillerato
Modelo del 2005:
Cuestin (2 puntos):
Dos cargas puntuales de 6 C y 6 C estn situadas en el eje X, en dos puntos A y B
distantes entre si 12 cm. Determine:
a) El vector campo elctrico en el punto P de la lnea AB, si AP = 4 cm y PB = 8
cm.
b) El potencial elctrico en el punto C perteneciente a la mediatriz del segmento
AB y distante 8 cm de dicho segmento.
Junio del 2005:
Tres partculas cargadas Q1 = 2 C, Q2 = 2 C y Q3 de valor desconocido estn situadas
en el plano XY. Las coordenadas de los puntos en los que se encuentran las cargas son
Q1(1, 0), Q2(1, 0) y Q3(0, 2). Si todas las coordenadas estn expresadas en metros:
a) Qu valor debe tener la carga Q3 para que una carga situada en el punto (0, 1)
no experimente ninguna fuerza neta?
b) En el caso anterior, cuanto vale el potencial elctrico resultante en el punto
(0, 1) debido a las cargas Q1, Q2 y Q3?
Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9109 Nm2C2
Junio del 2006:
Cuestin (2 puntos):
Una carga puntual de valor Q ocupa la posicin (0, 0) del plano XY en el vaco. En un
punto A del eje X el potencial es V = 120 V y el campo elctrico es E = 80 i N/C,
siendo i el vector unitario en el sentido positivo del eje X. Si las coordenadas estn
dadas en metros, calcule:
a) La posicin del punto A y el valor de Q.
b) El trabajo necesario para llevar un electrn desde el punto B(2, 2) hasta el
punto A.
Constante de la ley de Coulomb K = 9109 Nm2C2
Dos cargas elctricas positivas e iguales de valor 3106 C estn situadas en los puntos
A(0, 2) y B(0, 2) del plano XY. Otras dos cargas iguales Q estn localizadas en los
puntos C(4, 2) y D(4, 2). Sabiendo que el campo elctrico en el origen de coordenadas
es E = 4103 i N/C, siendo i el vector unitario en el sentido positivo del eje X, y que
todas las coordenadas estn expresadas en metros, determine:
a) El valor numrico y el signo de las cargas Q.
b) El potencial elctrico en el origen de coordenadas debido a esta configuracin de
cargas.
46
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Modelo del 2007:
Una carga positiva de 2 C se encuentra situada inmvil en el origen de coordenadas.
Un protn movindose por el semieje positivo de las X se dirige hacia el origen de
coordenadas. Cuando el protn se encuentra en el punto A, a una distancia del origen de
x = 10 m, lleva una velocidad de 1000 m/s. Calcule:
a) El campo elctrico que crea la carga situada en el origen de coordenadas en el
punto A.
b) El potencial y la energa potencial del protn en el punto A.
c) La energa cintica del protn en el punto A.
d) El cambio de momento lineal experimentado por el protn desde que parte de A
y por efecto de la repulsin vuelve al mismo punto A.
Masa del protn mp = 1.671027 kg
Datos: Carga del protn qp = 1.61019 C
Constante de la ley de Coulomb K = 9109 Nm2C2
Junio del 2007:
Dos partculas con cargas de +1 mC y de 1 mC estn situadas en los puntos del plano
XY de coordenadas (1, 0) y (1, 0) respectivamente. Sabiendo que las coordenadas
estn expresadas en metros, calcule:
a) El campo elctrico en el punto (0, 3).
b) El potencial elctrico en los puntos del eje Y.
c) El campo elctrico en el punto (3, 0).
d) El potencial elctrico en el punto (3, 0).
Se disponen dos cargas elctricas sobre el eje X: una de valor Q1 en la posicin (1, 0), y
otra de valor Q2 en (1, 0). Sabiendo que todas las distancias estn expresadas en
metros, determine en los dos casos siguientes:
a) Los valores de las cargas Q1 y Q2 para que el campo elctrico en el punto (0, 1)
sea el vector E = 2105 j N/C, siendo j el vector unitario en el sentido positivo
del eje Y.
b) La relacin entre las cargas Q1 y Q2 para que el potencial elctrico en el punto
(2, 0) sea cero.
Junio del 2007:
Dos partculas con cargas de +1 mC y de 1 mC estn situadas en los puntos del plano
XY de coordenadas (1, 0) y (1, 0) respectivamente. Sabiendo que las coordenadas
e) El campo elctrico en el punto (0, 3).
f) El potencial elctrico en los puntos del eje Y.
g) El campo elctrico en el punto (3, 0).
h) El potencial elctrico en el punto (3, 0).
47

2 de Bachillerato
Modelo del 2008:
Cuestin (2 puntos):
a) Enuncie el teorema de Gauss y escriba su expresin matemtica.
b) Utilice dicho teorema para deducir la expresin matemtica del campo elctrico
en un punto del espacio debido a una carga puntual.
Junio del 2008:
Cuestin (2 puntos):
Dos cargas fijas Q1 = +12.5 nC y Q2 = 2.7 nC se encuentran situadas en los puntos
del plano XY de coordenadas (2, 0) y (2, 0) respectivamente. Si todas las coordenadas
a) El potencial elctrico que crean estas cargas en el punto A (2, 3).
b) El campo elctrico creado por Q1 y Q2 en el punto A.
c) El trabajo necesario para trasladar un in de carga negativa igual a 2e del punto
A al punto B, siendo B (2, 3), indicando si es a favor o en contra del campo.
d) La aceleracin que experimenta el in cuando se encuentra en el punto A.
Valor absoluto de la carga del electrn e = 1.61019 C
Masa del in M = 3.151026 kg
Cuestin (2 puntos):
Se disponen de tres cargas de 10 nC en tres de los vrtices de un cuadrado de 1 m de
lado. Determine en el centro del cuadrado:
a) El mdulo, direccin y sentido del vector campo elctrico.
b) El potencial elctrico.
Datos: Constante de la ley de Coulomb K = 9109 Nm2C2.
Una carga de 10 nC se distribuye homogneamente en la regin que delimitan dos
esferas concntricas de radios r1 = 2 cm y r2 = 4 cm. Utilizando el teorema de Gauss,
calcule:
a) El mdulo del campo elctrico en un punto situado a 6 cm del centro de las
esferas.
b) El mdulo del campo elctrico en un punto situado 1 cm del centro de las
esferas.
Dato: Permitividad elctrica del vaco 0 = 8.851012 C2/Nm2.
48
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Chuletario de magnetismo
Fuerza de Lorentz:
F = q ( E + v B)
Debido a la fuerza de Lorentz, las cargas pueden

describir un movimiento circular de radio y
periodo:
Algunas veces se denomina fuerza de Lorentz a la

creada exclusivamente por el campo magntico.
R=
F = qv B
mv
qB
T=
2 m
qB
Fuerza experimentada por un conductor rectilneo en un campo magntico: F = Il B

I Intensidad de corriente.
l Vector de longitud del conductor que apunta en la direccin del conductor y describe la direccin de
la corriente.
Ley de Biot y Savart:
Forma general de la Ley de Biot y Savart:

I dr r
d B(r ) = 0
4 r 3
B Campo magntico.
0 Permeabilidad del vaco = 410-7 H/m
Resultados de la ley de Biot y Savart:
Conductor rectilneo largo:

I
B= 0
2 R
Espira circular de radio R.

(Campo en su centro)
B=
0 I
2R
Solenoide largo:
n I
B= 0
L
Campo en el eje de una espira circular:
0 I
R2
B=
2 ( z 2 + R 2 )3/ 2
Ley de Ampere:
Solo til para trayectorias con alto grado de simetra. No valida para corrientes
variables.
Flujo Magntico:
Se define mediante la integral de superficie del campo magntico: m =
Bdl = 0 I
BdS
S
Si B
/ B( S ) entonces como: m = BS
El flujo magntico se mide en weber (Wb).
Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday-lenz:
Ley de Lenz:
d
La fem y la corriente inducidas poseen una direccin y sentido

tal que tienden a oponerse a la variacin que las produce.
Flujo magntico a travs de una bobina y fuerza electromotriz:
d m
m = n BS
=
dt
dt
49

2 de Bachillerato
Algunos datos para los ejercicios:
Protn
Masa
m p = 1.671027 kg
Carga
q p = 1.601019 C
Electrn
me = 9.11031 kg
q p = 1.601019 C
Deutn
m d = 2m p
qd = q p
Partcula alfa
m = 4m p
q = 2q p
Ejercicios de Electromagnetismo:
1
Una carga de 2 C se introduce en un campo magntico con una velocidad de 30 km/s

en la direccin del eje X y sentido positivo. Hallar el valor de la fuerza magntica
sobre esta carga para los siguientes valores de la induccin magntica en Teslas:
a) B = (0.5, 0, 0)
b) B = (0.5, 0.8, 0) c) B = (0.5, 0.6, 0) d) B = (0.5, 0.8, 0.6)
Sol: a) F = (0, 0, 0) N; b) F = (0, 0, 0.048) N; c) F = (0, 0.036, 0) N;
d) F = (0, 0.036, 0.048) N.
Un protn se desplaza con velocidad 2106 m/s y entra dentro de un campo magntico
uniforme, 3105 T perpendicularmente. Calcular la fuerza electromagntica que
experimenta. Sol: 9.61018 N
En un campo magntico uniforme 12 T, perpendicular al plano del papel, entra un

electrn con velocidad 4106 m/s perpendicularmente al campo magntico. Se pide:
a) La aceleracin que adquiere el electrn.
b) El radio de la trayectoria.
c) La frecuencia del movimiento.
Sol: a) 8.441018 m/s; b) 1.9106 m; c) 3.351011 Hz
En un campo magntico uniforme entra, perpendicularmente al campo magntico, un

electrn con la velocidad 107 m/s describiendo una trayectoria circular de 7.1 cm de
radio. Calcular el campo magntico existente y la fuerza electromagntica.
Sol: 8104 T y 1.281015 N
Un electrn penetra perpendicularmente dentro de un campo magntico uniforme

0.02 T con velocidad 105 m/s. Deducir la trayectoria que describe, el tiempo o
periodo, que tarda en recorrerla. Sol: Circular, T = 1.79109 s
Un campo magntico uniforme, 0.8 T dirigido en sentido positivo del eje z (vertical)
acta sobre un protn que se desplaza siguiendo el eje y en sentido positivo, con
velocidad 5106 m/s. Calcular la fuerza magntica que recibe la partcula.
Sol: (0.64109, 0, 0) N
Un protn se desplaza dentro de un campo magntico uniforme, B = 0.8T orientado

segn el eje de las Y positivo. Deducir la fuerza (valor, direccin y sentido) que acta
sobre el protn cuando se desplaza con velocidad:
b) v = 4106 i m/s
c) v = 3.5106 j m/s
a) v = 2106 k m/s
Resolver otra vez el problema pero para un electrn y un neutrn.
Sol: a) 0.256109(1, 0, 0) N; b) 0.512109(0, 0, 1) N; c) 0 N.
50
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
8
Un electrn se mueve por una orbita circular de 0.5 m de radio, perpendicular a un

campo magntico uniforme de 2.5 T. Determinar:
a) La velocidad angular del electrn.
b) El periodo del movimiento.
c) La energa que posee en mega electrn voltios.
Sol: a) 0.441012 rad/s; b) 14.3109 s; c)1.38105 MeV;
Un protn se desplaza siguiendo una trayectoria circular en un campo magntico

uniforme, con la energa de 1,5 MeV. Hallar la energa que poseeran un deutn y una
partcula alfa, si ambas partculas describen la misma trayectoria que el protn.
Sol: Para el deutn 0.75 MeV y para el protn 1.5 MeV.
10 El cloro tiene dos istopos estables, 35Cl y 37Cl cuyas abundancias naturales son,
respectivamente, 76% y 24%. El gas cloro ionizado con una sola carga positiva ha de
separarse en sus componentes isotpicos mediante un espectrmetro de masas. El
campo magntico del espectrmetro es 1.2 T. Cul es el valor mnimo del potencial a
travs del cual deben acelerarse estos iones para que la separacin entre ellos sea de
1.4cm? Numero atmico del cloro Z = 17. Sol: 13866 V.
11 En una cmara de ionizacin se inyecta hidrgeno y se obtienen iones H2+ que,
posteriormente, se les acelera mediante una diferencia de potencial V y penetran en
un campo magntico uniforme B perpendicular a la velocidad de los iones v. Si el
detector est a 20 cm del punto de salida de los iones, calcular la diferencia de
potencial que se debe aplicar a los iones, V, para que lleguen al detector.
Datos: 0.08 T, masa del in 3.341027. Sol: 1533 V
12 En una regin donde hay un campo elctrico 1000 kV/m, (vertical ascendente) y un
campo magntico de 0.5 T (horizontal hacia la derecha) penetra un protn
perpendicularmente a ambos campos, y se observa que no se desva. Determinar el
vector velocidad del protn. Sol: 2103(1, 0, 0) m/s
13 Un conductor de 0.2 m situado en un campo magntico 0.5 T forma con el campo un
ngulo de 45. Si pasa por el conductor una corriente de 3 A. Calcular:
a) La fuerza que se crea en el conductor.
b) La variacin de la fuerza si el ngulo vara de 0 a 90.
Sol: F = 0.21(0, 0, 1) N; Fmax = 0.3(0, 0, 1) N
14 La figura representa un alambre conductor que se ha retorcido hasta formar una
circunferencia de 4 cm de dimetro sin que exista contacto elctrico en el punto O.
Si la intensidad de la corriente que circula por el alambre es de 3 A, hallar el valor del

campo magntico en el centro de la circunferencia. Sol: 6.42105 T
51

2 de Bachillerato
15 La figura representa un alambre conductor que se ha doblado hasta formar una
circunferencia de 4 cm de dimetro sin que exista contacto elctrico en el punto O.
Si la intensidad de la corriente que circula por el alambre es de 3 A, hallar el valor del

campo magntico en el centro de la circunferencia. Sol: 1.2104 (0, 0, 1) T.
16 El dibujo representa dos conductores perpendiculares que estn recorridos por
corrientes elctricas iguales de 4 A en el sentido que se indica.
El punto C dista 4 cm del conductor vertical y 5 cm del conductor horizontal. Hallar el

mdulo del campo magntico en el punto C. Sol: 0.4105(0, 0, 1) T.
17 Por un conductor de 0.50 m de longitud situado en el eje de las Y pasa una corriente
de 1 A en el sentido positivo del eje. Si el conductor est dentro del campo magntico
medido en teslas:
B = 0.01i + 0.03k
Calcular la fuerza que acta sobre el conductor. Sol: F = (1.5 , 0, 0.5)102 N
18 La misma corriente elctrica circula por dos conductores A y D paralelos y rectilneos,
distanciados 0.12 m. Si dichos conductores se repelen con la fuerza de 6108 N/m
determinar:
a) El sentido de la corriente en los conductores.
b) El valor de la corriente.
c) La fuerza que ejercen por unidad de longitud sobre otro conductor C
equidistante de los anteriores y en el mismo plano si circula por l una
corriente de 0.2 A en el mismo sentido que la del A.
Sol: a) ; b) 0.19 A; c) 2.5107 N.
19 Calcular el campo magntico en el interior de un solenoide de 2000 espiras y radio
0.04 m, si el hilo es de cobre de resistividad = 0.018 m y radio 0.20 mm, y se
conecta a una tensin de 130 V. Sol: 5.65103 T
20 En el interior de un solenoide hay un campo magntico uniforme 0.6 T. Calcular:
a) La fuerza que ejerce el solenoide sobre un conductor de 30 cm paralelo al eje
del solenoide por el que pasan 4A de corriente
b) La fuerza cuando el conductor forma un ngulo de 30 con el eje del solenoide.
Sol: a) 0; b) 36 N;
52
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
21 Dos espiras conductoras de radios iguales, dispuestas en ngulo recto una respecto de
otra con centro comn O, las recorren las intensidades de 6 A y 8 A. Calcular el
mdulo y la direccin del campo magntico en el punto O.
Datos: Radio de las espiras 4 cm.
Sol: 5105 T
22 En un campo magntico de 0.04 T se coloca una bobina plana, de superficie 50 cm2
formada por 20 espiras. El campo magntico atraviesa la bobina formando un ngulo
de 30 con la superficie de esta. Calcular el flujo que en total atraviesa la bobina.
Sol: 2103 Wb
23 Un alambre de 1 m de largo lleva una corriente de 10 A y forma un ngulo de 30 con
un campo magntico de 1.5 T. Calcular la magnitud y direccin de la fuerza que obra
sobre el conductor. Sol: 7.5 N perpendicular al alambre y al campo.
24 Un solenoide de longitud 0.2 m y radio 2 cm est formado por 200 vueltas de hilo
estrechamente arrolladas. La corriente que pasa por el solenoide es de 5 A. Calcular el
campo magntico en el centro del solenoide. Sol: 6.3103 T.
25 Una espira de alambre de 0.25 m2 de rea se encuentra en un campo magntico
uniforme de 0.05 T.Cunto vale el flujo a travs de la espira cuando se coloca de
modo que su plano sea perpendicular el campo? Sol: 0.0125 Wb.
26 Un electrn se mueve en rbita circular con una velocidad de 5106 m/s, bajo la accin
de un campo magntico de 2102 T Qu fuerza ejerce este campo sobre el electrn?
Sol: 161015 N.
27 Una espira circular de 12 cm de radio se encuentra en el seno de un campo magntico
uniforme de 4 T perpendicular al plano de la espira. Calcular el flujo magntico que
atraviesa la espira. Sol: 0.18 Wb.
28 Una espira circular de 5 cm de radio se encuentra en el seno de un campo magntico
uniforme de 0.8 T. El campo magntico forma un ngulo de 30 con la normal al plano
de la espira. Calcular el flujo magntico que atraviesa la espira. Sol: 5.4103 Wb.
29 Calcular el flujo magntico de una espira rectangular de:
a) Dimensiones 4x8 cm se encuentra en el seno de un campo magntico de 0.2 T
perpendicular al plano de la espira.
b) Dimensiones 4x5 cm se encuentra en el seno de un campo magntico de 0.8 T
perpendicular al plano de la espira.
Sol: a) 6.4104 Wb; b) 1.6103 Wb.
30 El flujo magntico que atraviesa una espira est dada por:
(t ) = 10 ( t 2 8t ) Wb
a) Calcular la expresin de la fuerza electromotriz en funcin del tiempo.

b) En qu instante el valor de la fuerza electromotriz se hace cero?
Sol: a) (t ) = 20t + 80 V ; b) 4 s.
53

2 de Bachillerato
31 Una espira de 10 cm2 de rea est situada perpendicularmente en el seno de un campo
magntico uniforme de 1 T. Si el campo magntico disminuye proporcionalmente
hasta anularse al cabo de 2 s, calcular la fuerza electromotriz inducida. Sol: 0.5103 V.
32 Una espira circular se encuentra inmersa en un campo magntico uniforme de 2 T
perpendicular al plano de la espira. El rea de la espira crece a razn de 24 cm2/s.
Calcular:
a) La fuerza electromotriz inducida.
b) La corriente electrica inducida si la espira tiene una resistencia de 125 m.
Sol: a) 4.8103 V; b) 0.04 A.
33 Una bobina tiene una superficie de 0.002 m2 y est colocada en un campo magntico
de 4 T. La bobina est formada por 250 espiras y en una centsima de segundo, la
induccin se reduce a la mitad. Calcular la fuerza electromotriz inducida en la bobina.
Sol: 100 V.
34 Una bobina circular de 200 espiras y de 10 cm de radio se encuentra situada
perpendicularmente a un campo magntico de 0.2 T. Determinar la fuerza
electromotriz inducida en la bobina si, en 0.1 s:
a) Se duplica el campo magntico.
b) Se anula el campo.
c) Se invierte el sentido del campo.
d) Se gira la bobina 90 en torno al eje paralelo al campo.
e) Se gira la bobina 90 en torno al eje perpendicular al campo.
Sol: a) 12.56 V; b) 12.56 V; c) 25.12 V; d) 0 V; e) 12.56 V.
35 Con qu velocidad angular debe girar la bobina de un alternador formado por 200
espiras cuadrangulares de 5 cm de lado, situada en un campo magntico uniforme de
0.5 T, perpendicular al eje de rotacin, para obtener una fuerza electromotriz inducida
de 220 V de valor mximo? Cul es la frecuencia de dicha corriente?
Sol: 880 rad/s, 140 Hz.
36 Una bobina circular de 200 espiras y 0.1 m de radio se encuentra situada
perpendicularmente en un campo magntico. Si el campo magntico viene dado por:
B(t ) = 20 cos ( 2 t )
Calcular:
a) La fuerza electromotriz inducida en la bobina y su valor mximo.
b) La fuerza electromotriz inducida para t = 0.5 s.
Sol: a) (t ) = 789.6sin(2 t ) Wb ; b) 0 V.
37 Cien espiras cuadradas de lado 10 cm giran alrededor de un eje plano con valor de
100 rad/s dentro de un campo magntico de 0.5 T.
a) Hallar la expresin del flujo magntico en funcin del tiempo si para t = 0 s el
flujo es mximo.
b) Hallar la fuerza electromotriz inducida mxima en la espira.
Sol: a) (t ) = 0.5cos (100 t ) Wb ; b) 157 V.
54
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
38 Disponemos de un pequeo generador casero de 400 espiras de 400 cm2 de rea cada
una y gira en un campo magntico de 0.8 T. Calcula:
a) Con qu velocidad angular debemos hacerlo girar para generar una diferencia
de potencial mxima de 220 V?
b) Cul ser la frecuencia de la corriente alterna obtenida?
Sol: a) 17.2 rad/s; b) 2.7 Hz.
39 Una espira de 2 cm de radio est colocada perpendicularmente en el seno de un campo
magntico uniforme de 0.3 T. Si la espira gira ccon una frecuencia de 10 Hz en torno
a un dimetro perpendicular al campo magntico, determinar el flujo magntico que
atraviesa la espira en cualquier instante. Sol: (t ) = 1.2104 cos(20 t ) Wb .
40 Una espira circular de 4 cm de radio gira en torno a uno de sus dimetros ccon una
frecuencia de 20 Hz, dentro de un campo magntico uniforme de 0.1 T. Si en el
instante inicial el plano de la espira es perpendicular al vector campo magntico,
determinar:
a) El flujo magntico que atraviesa la espira en cualquier instante de tiempo.
b) Los instantes en los que el flujo se anula.
c) El valor de la fuerza electromotriz inducida en funcin del tiempo.
2n + 1
Sol: a) (t ) = 5104 cos(40 t ) Wb ; b) t =
s n Z ; c) (t ) = 0.063sin(40 t ) V .
80
41 El conductor ab, de 20 cm de longitud, se desplaza a 10 m/s de velocidad en el seno
de un campo magntico de 1.2 Wb/m2.
a) Hallar el valor de la fuerza electromotriz.
b) Si la resistencia de 0.1 , determina el valor y sentido de la corriente inducida.
c) Qu fuerza acta sobre el conductor ab y, por tanto, que fuerza hay que
aplicar para moverlo a velocidad constante?
Sol: a) 2.4 V; b) 24 A, sentido antihorario; c) 5.76 N.

42 Una varilla conductora de 20 cm de longitud y 10 de resistencia, se desplaza a 5
cm/s de velocidad en el seno de un campo magntico de 0.1 T. Determinar:
a) La fuerza electromotriz que aparece entre los extremos de la varilla.
b) La intensidad que recorre el circuito y su sentido.
c) La fuerza externa que debe actuar sobre la varilla para mantener el
movimiento.
Sol: a) 0.001 V; b) 104 A, sentido antihorario; c) 2106 N.
55

2 de Bachillerato
43 Una varilla conductora de 20 cm de longitud se desliza paralelamente a si misma con
una velocidad de 0.4 m/s sobre un conductor tal y como indica el dibujo, siendo el
valor de la resistencia de 8 . El conjunto est situado en el seno de un campo
magntico uniforme de 0.5 T perpendicular al circuito por los dos conductores.
Determinar:
a) El valor de la fuerza electromotriz inducida.
b) El valor y el sentido de la corriente que recorre el circuito.
c) La energa disipada por la resistencia en 3 s.
d) El mdulo, direccin y sentido de la fuerza que hay que aplicar para mantener
la varilla en movimiento.
Sol: a) 0.04 V; b) 0.005 A, sentido horario; c) 6104 J;

d) 5104 N, en la direccin y el sentido de la velocidad.
Problemas y cuestiones de electromagnetismo en selectividad:

Modelo del 2000:
Cuestin (2 puntos):
a) Que es un transformador?Por qu son tiles para el transporte de la energa
elctrica?
b) Si el primario de un transformador tiene 1200 espiras y el secundario 100, qu
tensin habr que aplicar al primario para tener en la salida del secundario 6 V?
Dos istopos, de masas 19.9210-27 kg y 21.610-27 kg, respectivamente, con la misma
carga de ionizacin son acelerados hasta que adquieren una velocidad constante de
6.7105 m/s. Se les hace atravesar una regin de campo magntico uniforme de 0.85T
cuyas lneas de campo son perpendiculares a la velocidad de las partculas:
a) Determine la relacin entre los radios de las trayectorias que describe cada
istopo.
b) Si han sido ionizados una sola vez, determine la separacin entre los dos
istopos cuando han descrito una semicircunferencia.
Junio del 2000:
Una bobina circular de 30 vueltas y radio 4 cm se coloca en un campo magntico
dirigido perpendicularmente al plano de la bobina. El mdulo del campo magntico
vara con el tiempo de acuerdo con la expresin:
B(t) = 0.01t + 0.04t2,
donde t esta expresado en segundos y B en teslas. Calcule:
a) El flujo magntico que atraviesa la bobina en funcin del tiempo.
b) La fuerza electromotriz inducida en la bobina para t = 5 s.
56
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Cuestin (2 puntos):
Un campo magntico uniforme y constante de 0.01 T esta dirigido a lo largo del eje Z.
Una espira circular se encuentra situada en el plano XY, centrada en el origen, y tiene
un radio que vara en el tiempo segn la funcin r = 0.1 10t (en unidades SI).
Determine:
a) La expresin del flujo magntico a travs de la espira.
b) En que instante de tiempo la fuerza electromotriz inducida en la espira es 0.01V.
Modelo del 2001:
Cuestin (2 puntos):
Una espira se coloca perpendicularmente a un campo magntico uniforme B En qu
caso ser mayor la fuerza electromotriz inducida en la espira?
a) Si B disminuye linealmente de 300 mT a 0 en 1 ms.
b) Si B aumenta linealmente de 1 T a 1.2T en 1 ms.
Sobre un hilo conductor de resistencia
despreciable, que tiene la forma que se indica en la
figura, se puede deslizar una varilla MN de
resistencia R = 10 en presencia de un campo
magntico uniforme B, de valor 50 mT,
perpendicular al plano del circuito. La varilla
oscila en la direccin del eje X de acuerdo con la
expresin:
x(t ) = x0 + sin( t )
siendo x0 = 10 cm, A = 5 cm, y el periodo de oscilacin 10 s.
a) Calcule y represente grficamente, en funcin del tiempo, el flujo magntico que
atraviesa el circuito.
b) Calcule y represente grficamente, en funcin del tiempo, la corriente del
circuito.
Junio del 2001:
Cuestin (2 puntos):
Un electrn que se mueve con velocidad de 106 m/s describe una orbita circular en el
seno de un campo magntico uniforme de valor 0.1T cuya direccin es perpendicular a
la velocidad. Determine:
a) el valor del radio de la orbita que realiza el electrn.
b) el nmero de vueltas que da el electrn en 0.001 s.
Datos: Masa del electrn: me = 9.11031 kg
Un solenoide de 200 vueltas y de seccin circular de dimetro 8 cm est situado en un
campo magntico uniforme de valor 0.5 T cuya direccin forma un ngulo de 60 con el
eje del solenoide. Si en un tiempo de 100 ms disminuye el valor del campo magntico
uniforme a cero, determine:
a) El flujo magntico que atraviesa inicialmente el solenoide.
b) La fuerza electromotriz inducida en dicho solenoide.
57

2 de Bachillerato
Cuestin (2 puntos):
Una partcula de carga q = 1.610-19 C se mueve en un campo magntico uniforme de
valor B = 0.2 T, describiendo una circunferencia en un plano perpendicular a la
direccin del campo magntico con periodo de 3.210-7 s, y velocidad de 3.8106 m/s.
Calcule:
a) El radio de la circunferencia descrita.
b) La masa de la partcula.
Por un hilo conductor rectilneo e infinitamente largo, situado sobre el eje X, circula una
corriente elctrica en el sentido positivo del eje X. El valor del campo magntico
producido por dicha corriente es de 310-5 T en el punto P(0, dP, 0) y es de 410-5 T en
el punto Q(0, dQ, 0). Sabiendo que dP + dQ = 7 cm, determine:
a) La intensidad que circula por el hilo conductor.
b) Valor y direccin del campo magntico producido por dicha corriente en el
punto de coordenadas (0, 6 cm, 0).
Datos: Permeabilidad magntica del vaco: 0 = 410-7 N/A2
Las cantidades dP y dQ son positivas.
Modelo del 2002:
Cuestin (2 puntos):
Una partcula cargada se mueve en lnea recta en una determinada regin.
a) Si la carga de la partcula es positiva Puede asegurarse que en esa regin el
campo magntico es nulo?
b) Cambiara su respuesta si la carga fuese negativa en vez de ser positiva?
Sea un conductor rectilneo y de longitud infinita, por el que
circula una intensidad de corriente I = 5 A. Una espira cuadrada
de lado a = 10 cm est colocada con dos de sus lados paralelos al
conductor rectilneo, y con su lado ms prximo a una intensidad
d = 3 cm de dicho conductor. Si la espira est recorrida por una
intensidad de corriente I = 0.2 A en el sentido que se indica en la
figura, determine:
a) El mdulo, la direccin y el sentido del campo magntico creado por el
conductor rectilneo en cada uno de los lados de la espira paralelos a dicho
conductor.
b) El mdulo, la direccin y el sentido de la fuerza ejercida sobre cada uno de los
lados de la espira paralelos al conductor rectilneo.
Datos: Permeabilidad magntica del vaco 0 = 410-7 N/A2
Junio del 2002:
Cuestin (2 puntos):
Una bobina de seccin circular gira alrededor de uno de sus dimetros en un campo
magntico uniforme de direccin perpendicular al eje de giro. Sabiendo que el valor
mximo de la fuerza electromotriz inducida es de 50 V cuando la frecuencia es de 60
Hz, determine el valor mximo de la fuerza electromotriz inducida:
a) Si la frecuencia es de 180 Hz en presencia del mismo campo magntico.
b) Si la frecuencia es de 120 Hz y el valor del campo magntico se duplica.
58
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Cuestin (2 puntos):
Un electrn se mueve con velocidad v en una regin del espacio donde coexisten un
campo elctrico y un campo magntico, ambos estacionarios. Razone si cada uno de
estos campos realiza o no trabajo sobre la carga.
En la figura se representan dos hilos conductores rectilneos de gran longitud que son
perpendiculares al plano del papel y llevan corrientes de intensidades I1 e I2 de sentidos
hacia el lector.
a) Determine la relacin entre I1 e I2 para que el campo
magntico B en el punto P sea paralelo a la recta que
une los hilos indicada en la figura.
b) Para la relacin entre I1 e I2 obtenida anteriormente,
determine la direccin del campo magntico B en el
punto Q (simtrico del punto P respecto del plano
perpendicular a la citada recta que une los hilos y
equidistante de ambos).
Nota: b y c son las distancias del punto P a los hilos conductores.
Modelo del 2003:
Cuestin (2 puntos):
Para transformar el voltaje de 220 V de la red elctrica a un voltaje de 12 v que necesita
una lmpara halgena se utiliza un transformador:
a) Qu tipo de transformador debemos utilizar? Si la bobina del primario tiene
2200 espiras Cuntas espiras debe tener la bobina del secundario?
b) Si la lmpara funciona con una intensidad de corriente de 5 A Cul es el valor
de la intensidad de la corriente que debe circular por la bobina del primario?
Tres hilos conductores rectilneos y paralelos, infinitamente
largos, pasan por los vrtices de un triangulo equiltero de 10
cm de lado, segn indica en la figura. por cada uno de los
conductores circula una corriente de 25 A en el mismo sentido,
hacia fuera del plano del papel. Calcule:
a) El campo magntico resultante en un punto del conductor C3 debido a los otros
conductores. especifique la direccin del vector campo magntico.
b) La fuerza resultante por unidad de longitud ejercida sobre el conductor 3?
especifique la direccin del vector fuerza.
Datos: Permeabilidad magntica del vaco: 0 = 410-7 N/A2.
Junio del 2003:
Cuestin (2 puntos):
Un protn penetra en una regin donde existe un campo magntico uniforme. Explique
que tipo de trayectoria describir el protn si su velocidad es:
a) Paralela al campo.
b) Perpendicular al campo.
c) Qu sucede si el protn se abandona en reposo en el campo magntico?
d) En qu cambiaran las anteriores respuestas si en lugar de un protn fuera un
electrn?
59

2 de Bachillerato
Cuestin (2 puntos):
Una partcula de carga positiva q se mueve en la direccin del eje de las X con una
velocidad constante v = ai y entra en una regin donde existe un campo magntico de
direccin eje Y y mdulo constante B = bj .
a) Determine la fuerza ejercida sobre la partcula en mdulo, direccin y sentido.
b) Razone que trayectoria seguir la partcula y efecte un esquema grfico.
Un solenoide de 20 de resistencia est formado por 500 espiras circulares de 2.5 cm
de dimetro. El solenoide est situado en un campo magntico uniforme de valor 0.3T,
siendo el eje del solenoide paralelo a la direccin del campo. Si el campo magntico
disminuye uniformemente hasta anularse en 0.1s, determine:
a) El flujo inicial que atraviesa el solenoide y la fuerza electromotriz inducida.
b) la intensidad recorrida por el solenoide y la carga transportada en ese intervalo
de tiempo.
Modelo del 2004:
Cuestin (2 puntos):
Por dos hilos conductores, rectilneos y paralelos, de gran longitud, separados una
distancia de 10 cm, circulan dos corrientes de intensidades 2 A y 4 A respectivamente
en sentidos opuestos. En un punto P del plano que definen los conductores, equidistante
de ambos, se introduce un electrn con una velocidad de 4104 m/s paralela y del mismo
sentido que la corriente de 2 A. Determine:
a) El campo magntico en la posicin P del electrn.
b) La fuerza magntica que se ejerce sobre el electrn situado en P.
Datos: Permeabilidad magntica del vaco: 0 = 410-7 N/A2
Valor absoluto de la carga del electrn: e = 1.610-19 C
Junio del 2004:
Cuestin (2 puntos):
a) Enuncia las leyes de Faraday y de Lenz de la induccin
electromagntica.
b) La espira circular de la figura adjunta est situada en el seno
de un campo magntico uniforme. Explica si existe fuerza
electromotriz inducida en los siguientes casos:
i) La espira se desplaza hacia la derecha.
ii) El valor del campo magntico aumenta linealmente con el tiempo.
Un conductor rectilneo indefinido transporta una corriente de 10 A en el sentido
positivo del eje Z. Un protn, que se mueve a 2105m/s, se encuentra a 50 cm del
conductor. Calcula el mdulo de la fuerza ejercida sobre el protn si su velocidad:
a) Es perpendicular al conductor y est dirigida hacia l.
b) Es paralela al conductor.
c) Es perpendicular a las direcciones definidas en los apartados a) y b).
d) En que casos de los tres anteriores el protn ver modificada su energa
cintica?
Datos: Permeabilidad magntica del vaco: 0 = 4107 N/A2
60
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Cuestin (2 puntos):
En una regin del espacio existe un campo magntico uniforme dirigido en el sentido
negativo del eje Z. Indique mediante un esquema la direccin y el sentido de la fuerza
que acta sobre una carga, en los siguientes casos:
a) La carga es positiva y se mueve en el sentido positivo del eje Z.
b) La carga es negativa y se mueve en el sentido positivo del eje X.
Una espira conductora circular de 4 cm de radio y de 0.5 de resistencia est situada
inicialmente en el plano XY. La espira se encuentra sometida a la accin de un campo
magntico uniforme B, perpendicular al plano de la espira y en el sentido positivo del
eje Z.
a) Si el campo magntico aumenta a razn de 0.6 T/s, determine la fuerza
electromotriz y la intensidad de la corriente inducida en la espira, indicando el
sentido de la misma.
b) Si el campo magntico se estabiliza en un valor constante de 0.8 T, y la espira
gira alrededor de uno de sus dimetros con velocidad angular constante de 10
rad/s, determine en estas condiciones el valor mximo de la fuerza electromotriz
inducida.
Modelo del 2005:
Cuestin (2 puntos):
Un solenoide de gran resistencia 3.410-3 est formado por 100 espiras de hilo de
cobre y se ecuentra situado en un campo magntico de expresin:
B = 0.01cos(100 t )
en unidades SI. El eje del solenoide es paralelo a la direccin del campo magntico y la
seccin transversal del solenoide es de 25 cm2. Determine:
a) La expresin de la fuerza electromotriz inducida y su valor mximo.
b) La expresin de la intensidad de la corriente que recorre el solenoide y su valor
mximo.
Dos hilos conductores de gran longitud rectilneos y paralelos,
estn separados una distancia de 50 cm, tal como se indica en
la figura. Si por los hilos circulan corrientes iguales de 12 A
de intensidad y con sentidos opuestos, calcule el campo
magntico resultante en los puntos indicados en la figura:
a) Punto P equidistante de ambos conductores.
b) Punto Q situado a 50 cm de un conductor y a 100 cm del otro.
Una partcula cargada pasa sin ser desviada de su trayectoria rectilnea a travs de dos
campos, elctrico y magntico, perpendiculares entre s. El campo elctrico est
producido por dos placas metlicas paralelas (situadas a ambos lados de la trayectoria)
separadas 1 cm y conectadas a una diferencia de potencial de 80 V. El campo magntico
vale 0.002 T. A la salida de las placas, el campo magntico sigue actuando
perpendicularmente a la trayectoria de la partcula, de forma que sta describe una
trayectoria circular de 1.14 cm de radio. Determine:
a) La velocidad de la partcula en la regin entre las placas.
b) La relacin masa/carga de la partcula.
61

2 de Bachillerato
Junio del 2005:
Cuestin (2 puntos):
Una espira metlica circular, de 1 cm de radio y resistencia 102 , gira en torno a un
eje diametral con una velocidad angular de 2 rad/s en una regin donde hay un campo
magntico uniforme de 0.5 T dirigido segn el sentido positivo del eje Z. Si el eje de
giro de la espira tiene la direccin del eje X y en el instante t = 0 la espira se encuentra
situada en el plano XY, determine:
a) La expresin de la fuerza electromotriz inducida en la espira en funcin del
tiempo.
b) El valor mximo de la intensidad de la corriente que recorre la espira.
Por un hilo de conductor rectilneo y de gran longitud circula una corriente de 12 A. El
hilo define el eje Z de coordenadas y la corriente fluye en el sentido positivo. Un
electrn se encuentra situado en el eje Y a una distancia del hilo de 1 cm. Calcule el
vector aceleracin instantnea que experimenta dicho electrn si:
a) se encuentra en reposo.
b) su velocidad es de 1 m/s segn la direccin positiva del eje Y.
c) su velocidad es de 1 m/s segn la direccin positiva del eje Z.
d) su velocidad es de 1 m/s segn la direccin negativa del eje X.
Datos: Permeabilidad magntica del vacio 0 = 4107 N/A2
Cuestin (2 puntos):
Una partcula cargada penetra con velocidad v en una regin en la que existe un campo
magntico uniforme B. Determine la expresin de la fuerza ejercida sobre la partcula
en los siguientes casos:
a) La carga es negativa, la velocidad es v0 j y el campo magntico es: B0 k .
b) La carga es positiva, la velocidad es v0 ( j + k ) y el campo magntico es: B0 j .

Nota: Los vectores i , j y k son los vectores unitarios segn los ejes X, Y y Z
respectivamente.
Una espira circular de 0.2 m de radio se sita en un campo magntico uniforme de 0.2 T
con su eje paralelo a la direccin del campo. Determine la fuerza electromotriz inducida
en la espira si en 0.1 s y de manera uniforme:
a) Se duplica el valor del campo.
b) Se reduce el valor del campo a cero.
c) Se invierte el sentido del campo.
d) Se gira la espira un ngulo de 90 en torno a un eje diametral perpendicular a la
direccin del campo magntico.
62
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Modelo del 2006:
Cuestin (2 puntos):
La figura representa una regin en la que existe un campo magntico uniforme B, cuyas
lneas de campo son perpendiculares al plano del papel y saliendo hacia fuera del
mismo. Si entran sucesivamente tres partculas con la misma velocidad v, y describe
cada una de ellas la trayectoria que se muestra en la figura (cada partcula est
numerada):
a) Cual es el signo de la carga de cada una de las partculas?
b) En cual de ellas es mayor el valor absoluto de la relacin carga-masa (q/m)?
Dos conductores rectilneos, indefinidos y paralelos,
perpendiculares al plano XY, pasan por los puntos a(80,0) y
b(0,60) segn indica la figura, estando las coordenadas
expresadas en centmetros. Las corrientes circulan por ambos
conductores en el mismo sentido, hacia fuera del plano del
papel, siendo el valor de la corriente I1 de 6A. Sabiendo que I2
> I1 y que el valor del campo magntico en el punto P, punto
medio de la recta que une ambos conductores, es de B = 1210-7
T, determine:
a) El valor de la corriente I2.
b) El mdulo, la direccin y el sentido del campo magntico en el origen de
coordenadas O, utilizando el valor de I2 obtenido anteriormente.
Datos: Permeabilidad magntica del vaco: 0 = 4107 N/A2
Junio del 2006:
Una espira cuadrada de 1.5 de resistencia est inmersa en un campo magntico
uniforme B = 0.03T dirigido segn el sentido positivo del eje X. La espira tiene 2 cm de
lado y forma un ngulo variable con el plano YZ como se muestra en la figura.
a) Si se hace girar la espira alrededor del eje Y con una
frecuencia de rotacin de 60 Hz, siendo = /2 en el
instante t = 0, obtenga la expresin de la fuerza
electromotriz inducida en la espira en funcin del tiempo.
b) Cul debe ser la velocidad angular de la espira para que
la corriente mxima que circule por ella sea de 2 mA?
63

2 de Bachillerato
Cuestin (2 puntos):
Un protn que se mueve con una velocidad v entra en un regin en la que existe un
campo magntico B uniforme. Explique cmo es la trayectoria que seguir el protn:
a) Si la velocidad del protn v es paralela a B .
b) Si la velocidad del protn v es perpendicular a B .
Un campo magntico uniforme forma un ngulo de 30 con el eje de una boina de 200
vueltas y radio 5 cm. Si el campo magntico aumenta a razn de 60 T/s, permaneciendo
constante la direccin, determine:
a) La variacin del flujo magntico a travs de la bobina por unidad de tiempo.
b) La fuerza electromotriz inducida en la bobina.
c) La intensidad de la corriente inducida, si la resistencia de la bobina es 150 .
d) Cul sera la fuerza electromotriz inducida en la bobina, si en las condiciones
del enunciado del campo magntico disminuyera a razn de 60 T/s en lugar de
aumentar?
Modelo del 2007:
Cuestin (2 puntos):
Indique el tipo de trayectoria descrita por una partcula cargada positivamente que posee
inicialmente una velocidad v = v0 (1, 0, 0) al penetrar en cada una de las siguientes
regiones:
a) Regin con un campo magntico uniforme: B = B0 (1, 0, 0) .
b) Regin con un campo elctrico uniforme: E = E 0 (1, 0, 0) .

c) Regin con un campo magntico uniforme: B = B0 (0, 1, 0)
d) Regin con un campo elctrico uniforme: E = E 0 (0, 1, 0) .
En el circuito de la figura la varilla MN se mueve con una velocidad constante de valor
2 m/s en direccin perpendicular a un campo magntico uniforme de valor 0.4 T.
Sabiendo que el valor de la resistencia es 60 y que la longitud de la varilla es 1.2 m:
a) Determine la fuerza electromotriz inducida y la
intensidad de la corriente que circula por el circuito.
b) Si a partir de un cierto instante (t = 0) la varilla se
frena con aceleracin constante hasta pararse en 2 s,
determine la expresin matemtica de la fuerza
electromotriz inducida en funcin del tiempo, en el
intervalo de 0 a 2 s.
64
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Junio del 2007:
Cuestin (2 puntos):
Un protn que se mueve con velocidad constante en el sentido positivo del eje X
penetra en una regin del espacio donde hay un campo elctrico E = 4105 (0, 0, 1) N/C
y un campo magntico B = 2(0, 1, 0) T .
a) Determine la velocidad que debe llevar el protn para que atraviese dicha regin
sin ser desviado.
b) En las condiciones del apartado anterior, calcule la longitud de onda de De
Broglie del protn.
Datos: Masa del protn mp = 1.671027 kg Constante de Planck h = 6.631034 Js
Cuestin (2 puntos):
a) Cul es la velocidad de un electrn cuando se mueve en presencia de un campo
elctrico de mdulo 3.5105 N/C y de un campo magntico de 2 T, ambos
mutuamente perpendiculares y, a su vez, perpendiculares a la velocidad del
electrn, para que ste no se desve?
b) Cul es el radio de la rbita descrita por el electrn cuando se suprime el campo
elctrico?
Datos: Masa del electrn me = 9.11031 kg. Carga del electrn e = 1.61019 C
Tres hilos conductores rectilneos, muy largos y paralelos, se disponen como se muestra
en el dibujo (perpendiculares al plano del papel pasando por los vrtices de un tringulo
rectngulo). La intensidad de corriente que circula por todos ellos es la misma, I = 25 A,
aunque el sentido de la corriente en el hilo C es opuesto al de los otros dos hilos.
Determine:
a) El campo magntico en el punto P, punto medio del
segmento AC.
b) La fuerza que acta sobre una carga Q = 1.61019 C si
se encuentra en el punto P movindose con una
velocidad de 106 m/s perpendicular al plano del papel
y con sentido hacia fuera.
Datos: Permeabilidad magntica del vaco: 0 = 4107 N/A2.
Modelo del 2008:
Una espira cuadrada de lado l = 5 cm situada en el plano XY se desplaza con velocidad
constante en la direccin del eje X como se muestra en la figura. En el instante t = 0 s
la espira encuentra una regin del espacio en donde hay un campo magntico uniforme
B = 0.1 T, perpendicular al plano XY con sentido hacia dentro del papel (ver dibujo).
a) Sabiendo que al penetrar la espira en el campo se
induce una corriente elctrica de 5105 A durante
2 s, calcule la velocidad y la resistencia de la
espira.
b) Representa grficamente la fuerza electromotriz
inducida en funcin del tiempo desde el instante
t = 0 e indique el sentido de la corriente inducida
en la espira.
65

2 de Bachillerato
Junio del 2008:
Una espira circular de radio R = 5 cm y resistencia de 0.5 se encuentra en reposo en
una regin del espacio con campo magntico B = B0 (0, 0, 1) , siendo B0 = 2 T . El eje
normal a la espira en su centro forma 0 con su eje Z. A partir de un instante t = 0 la
espira comienza a girar con velocidad angular constante de = rad/s en torno a un eje
diametral. Se pide:
a) La expresin del flujo magntico a travs de la espira en funcin del tiempo t,
para t 0 .
b) La expresin de la corriente inducida en la espira en funcin del tiempo t.
66
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Chuletario de ptica geomtrica:

Ley de la reflexin:
Ley de la refraccin o ley de Snell
n sin = n' sin '
= '
Dioptrio plano o lmina planoparalela

Traslacin de un rayo:
t=
Profundidad aparente:
d
sin( ' )
cos '
s' =
n'
s
n
Prismas:
Desviacin angular: ngulo que mide la desviacin sufrida por un
rayo de luz al atravesar un prisma.
= + ' ' '
Relacin importante: = '+ ' '
Condicin de desviacin angular mnima:
= ' ' ' = 2
Lentes delgadas:
Formula del fabricante de lentes:
Lentes convergentes
Lentes divergentes
1
1 1
1
= (n 1)
s' s
R1 R2
Potencia de una lente delgada:
P=
1 1
1
= (n 1)
f
R2 R1
Relacin entre los focos:
f =f'
a) Notacin de lente convergente.

a) Notacin de lente divergente.
Ecuacin de Descartes:
b) Lente biconvexa.
b) Lente bicncava.
1 1 1
c) Lente plano convexa.
c) Lente plano cncava.
=
s' s f '
d) Menisco convergente.
d) Menisco divergente.
Aumento lateral de una lente:
Aumento total lateral de un sistema de dos lentes con
aumentos respectivos m1 y m2 :
h' s '
f
f'
m=
f s
f ' s '
m = m1m2
Trazados de rayos en lentes:
67

2 de Bachillerato
Espejo esfrico:
Relacin focos y radio.
f = f '=
R
2
Ecuacin de Descartes
1 1 1
+ =
s s' f
Aumento lateral
m=
h'
s'
=
h
s
Trazado de rayos en 4 espejos cncavos y 2 convexos:
Ejercicios de ptica Geomtrica

1
Entre las frecuencias del rojo 4.31014 Hz y la del violeta 7.51014 Hz se encuentran
todos los colores del espectro visible. Cules son su periodo y su longitud de onda?
Sol: Violeta: 1.331015 s, 4107 m; Rojo: 2.321015 s, 7107 m.
Los ndices de refraccin del alcohol y del diamante son 1.36 y 2.41 respectivamente.
En cul de los dos medios se propaga la luz ms rpidamente? Sol: En alcohol.
Sabiendo que la velocidad de la luz en el agua es de 2.25108 m/s y de 1.24108 m/s

en el diamante:
a) Hallar los ndices de refraccin absolutos en el agua y en el diamante.
b) Hallar el ndice de refraccin relativo del agua respecto al diamante.
Sol: a) nagua = 1.33, ndiamante = 2.42; b) nagua / ndiamante = 0.55.
Los ndices de refraccin del alcohol y del diamante son 1.36 y 2.41 respectivamente.
Calcular:
a) El ndice de refraccin del alcohol respecto al diamante.
b) El ndice de refraccin del diamante respecto al alcohol.
Sol: a) 0.56; b) 1.77.
Calcular la velocidad de la luz en el aceite (naceite = 1.45) y en vidrio (nvidrio = 1.52).

Sol: Aceite: 2.07108 m/s; vidrio: 1.97108 m/s.
La velocidad de la luz en el agua es 225000km/s. Cul es el ndice de refraccin

absoluto del agua? Sol: 1.33.
68
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
7
La velocidad de la luz en el etanol es de 220000km/s. Cual es el ndice de

refraccin absoluto del etanol? Cuando la luz pasa del aire al etanol, se produce
algn cambio en su frecuencia o en su longitud de onda? Sol: 1.35; No.
Un rayo de luz de 5450 A de longitud de onda en el aire penetra en el agua (n = 1.33).

Cul es su frecuencia en el agua? Y su longitud de onda? Sol: 5.5104 m/s; 4100 A.
Los ndices absolutos de refraccin del diamante y un vidrio son 2.41 y 1.54
respectivamente. Calcular el ndice de refraccin relativo del diamante respecto al
vidrio y del vidrio respecto al diamante. Sol: 1.56 y 0.64.
10 Un haz de luz incide sobre la superficie del agua con un ngulo de 45. Cunto
miden los ngulos de reflexin y refraccin? Dato: nagua = 1.33.
Sol: El de reflexin 45 y el de refraccin 32.1.
11 Un rayo de luz pasa del agua (nagua = 1.33) a un cristal de cuarzo (ncuarzo = 1.54). Si
el ngulo de incidencia es de 30, calcular el ngulo de refraccin. Sol: 25.6.
12 Cul es el ngulo lmite cuando la luz pasa del vidrio crown (n = 1.51) al aire?
Sol: 41.5.
13 Cul es el ngulo lmite para la luz que pasa del diamante (ndiamante = 2.41) al agua
(nagua = 1.33)? Si la luz pasa del agua al diamante? Sol: 33.5; no hay ngulo lmite.
14 Sobre un prisma de vidrio de ngulo 45 e ndice de refraccin 1.55 incide un rayo
de luz monocromtica. Si el ngulo de incidencia es de 30, calcula el ngulo de
emergencia y la desviacin producida en el rayo. Sol: 43.1; 28.1.
15 Sobre un prisma de vidrio de 30 e ndice de refraccin 1.52 incide un rayo de luz
monocromtica perpendicularmente a una de sus caras. Calcula el ngulo de
desviacin. Sol: 4.5.
16 Determina el ndice de refraccin de un prisma sabiendo que la trayectoria del rayo
luminoso es paralela a la base del prisma para un ngulo de incidencia de 23. El
ngulo del prisma es de 30. Sol: 1.51.
17 Sobre un prisma de vidrio de ndice de refraccin n = 2 , cuyo ngulo es de 60,
incide un rayo formando un ngulo de 45 con la normal. Determina:
a) El ngulo de emergencia
b) El ngulo de mnima desviacin.
Sol: a) 45; b) 30.
18 Un prisma cuyo ngulo en el vrtice es 60 tiene un ndice de refraccin 1.41 y est
en el aire. Por la cara situada a la izquierda incide un rayo con un ngulo de 30.
a) Haz la marcha general del rayo hasta su salida del prisma razonando el
proceso y calcula los ngulos caractersticos.
b) A que velocidad va la luz en el prisma.
c) Como haras para que en la segunda cara el rayo saliera rasante.
Sol: a) ' = 20.8 , '' = 39.2 y ''' = 63.1 ; b) 2.17108 m/s;
c) Con un ngulo de incidencia de 21.2 el rayo en la segunda cara sale rasante.
69

2 de Bachillerato
19 En el fondo de un estanque lleno de agua (n = 1.33) con una profundidad de 1.4 m,
se encuentra una pequea piedra. A que distancia de la superficie se ve la piedra?
Sol: 1.05 m.
20 En la vertical de un lago (nagua = 1.33) se encuentra un pescador, a una altura sobre
la superficie de 2.5m, y un pez, 80 cm por debajo de la superficie. A que distancia
ve el pescador al pez y el pez al pescador? Son iguales ambas distancias aparentes?
Sol: No son iguales pues el pescador ve al pez a 3.1 m y el pez al pescador a 4.1 m.
21 Un vaso de vidrio de fondo grueso (2 cm) e ndice de refraccin igual a 1.52
contiene agua (nagua = 1.33), siendo la altura del agua igual a 4 cm. Determina la
posicin de la imagen de un pequeo trozo de papel adherido a la cara exterior del
fondo del vaso. Sol: 4.32 cm.
22 Determina la distancia focal de una lente delgada biconvexa de ndice de refraccin
n = 1.5 y cuyos radios de curvatura son 5 y 4 cm respectivamente. Si se sita un
objeto de 8 mm delante de la lente, a 10 cm de la misma, qu caractersticas tiene
la imagen formada? Sol: Es real e invertida y con tamao 6.4103 m.
23 Una lente est formada por una superficie convexa de 20 cm de radio y otra cncava
de 40 cm de radio. El ndice refraccin de la lente es igual a 1.54. Hallar la distancia
focal de la lente y deducir si es convergente o divergente.
Sol: f = 74.1 cm; es convergente.
24 Los radios de curvatura de una lente delgada biconvexa son de 18 y 20 cm.
Sabiendo que cuando un objeto se sita a una distancia de 24 cm de la misma se
forma una imagen real a 32 cm de sta, calcular:
a) La distancia focal.
b) El ndice de refraccin de la lente.
Sol: a) f = 13.7 cm; b) n = 1.69.
25 Una lente tiene una distancia focal de 10 cm en el aire. Calcular su distancia focal en
el agua. Datos: nagua = 4/3, nvidrio = 3/2. Consejo: calcular el ndice de refraccin
relativo del vidrio con respecto al agua y usarlo como ndice en la formula del
fabricante de lentes. Sol: f = 40 cm.
26 Un objeto de 4 cm de altura, est situado a 20 cm delante de una lente convergente
delgada de distancia focal 12 cm. Determinar la posicin y tamao de su imagen.
Sol: Tamao de la imagen 6 cm y posicin 30 cm.
27 Un objeto est situado delante de una lente convergente delgada y a 10 cm de la
misma. Dicha lente tiene una distancia focal de 15 cm. Determinar la posicin de la
imagen y el aumento lateral. Sol: s = 30 cm; m = 3.
28 Un objeto de 1.2 cm de altura est situado a 20 cm de una lente convergente de 14
cm de distancia focal. Calcula la posicin y el tamao de la imagen. Halla tambin
la imagen grficamente. Sol: s = 4.67 cm y h = 2.8 cm.
29 Calcular la posicin y la distancia focal de una lente convergente para que la imagen
de un objeto se proyecte sobre una pantalla situada a 5 m del mismo, con un tamao
4 veces superior al del objeto. Sol: s = 1 cm, s = 4 cm; f = 0.8 m.
70
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
30 En qu posiciones se podr colocar una lente convergente de 15 cm de distancia
focal para obtener la imagen de un objeto sobre una pantalla situada a 80 cm de l.
Sol: 20 y 60 cm del objeto.
31 Determinar la posicin y el tamao de la imagen creada por una lente divergente de
distancia focal 18 cm de un objeto de 9 cm de altura, situado a una distancia de la
lente de 27 cm. Sol: s = 10.8 cm; h = 3.6 cm.
32 Qu distancia focal imagen tiene una lente de 5.5 dioptras? Cunto vale su
distancia focal objeto? Sol: 18.2 cm; 18.2 cm.
33 Una determinada persona, miope, no puede ver con nitidez objetos situados a una
distancia superior a 80 cm. Calcular las dioptras que deben tener sus gafas para que
pueda ver con claridad los objetos lejanos. Sol: P = 1.25 dioptras.
34 Cierta persona, hipermtrope, no puede ver con nitidez los objetos situados a una
distancia menor de 75 cm. Calcular las dioptras que deben tener sus gafas para que
pueda ver con claridad a una distancia de 25 cm. Sol: P = 2.67 dioptras.
35 Calcular las dimensiones de la imagen obtenida por un proyector de 0.25 m de
distancia focal, de una fotografa de 6 x 9 cm sobre una pantalla situada a 10 m de la
lente. Sol: 234 x 351 cm.
36 Dos lentes convergentes delgadas se colocan con una separacin de 60 cm. La
primera lente tiene una distancia focal de 10 cm y la segunda de 15 cm. Si un objeto
de 4 cm de altura se coloca a 20cm de la primera lente, cules son la posicin, el
tamao y las caractersticas de la imagen final?
Sol: 24 cm (a la derecha de la segunda lente); 2.4 cm.
37 Un sistema de dos lentes acopladas est formado por una lente biconvexa, de ndice
de refraccin 1.5, y otra plano cncava, de ndice de refraccin 1,6. los radios de las
superficies curvas son todos de 10cm. Determina:
a) La potencia de cada lente y la del sistema.
b) La posicin, el tamao y las caractersticas de la imagen formada por el
sistema si el objeto tiene una altura de 1 cm y est situado 12 cm delante del
sistema.
Sol: a) 10 dioptras, 6 dioptras, 4 dioptras; b) 0.23 cm, 1.9 cm.
38 Un sistema ptico centrado est formado por dos lentes convergentes de igual
distancia focal (f = 10 cm) separadas 40 cm. Un objeto de 1 cm de altura se coloca
delante de la primera lente a una distancia de 15 cm, perpendicularmente al eje
ptico. Determina:
a) La posicin, el tamao y la naturaleza de la imagen formada por la primera
lente.
b) La posicin de la imagen final del sistema, efectuando su construccin
grfica.
Sol: a) 30 cm, 2 cm, imagen real; b) Posicin en el infinito.
39 Cul es la potencia de un sistema ptico formado por una lente divergente de 3.5
dioptras en contacto con otra convergente de 1.3 dioptras? Cul es la distancia
focal del sistema? Sol: 2.2 dioptras; 0.45 m.
71

2 de Bachillerato
40 Qu tamao tiene la imagen de la luna observada por una lente convergente de
distancia focal 40 cm? Dimetro de la luna 3640 km. Distancia de la luna a la tierra
380000 km. Sol: 0.38 cm.
41 Delante de un espejo cncavo cuyo radio de curvatura es de 40 cm, se sita un
objeto de 3 cm de altura, perpendicularmente al eje ptico del espejo, a una
distancia de 60 cm. Calcula:
a) La distancia focal del espejo.
b) La posicin de la imagen.
c) El tamao de la imagen.
d) Construye grficamente la imagen.
Sol: 20 cm; 30 cm; 1.5 cm.
42 Un objeto de 12 mm de altura se encuentra delante de un espejo convexo de 20 cm
de radio, a 10 cm del vrtice del mismo.
a) Cmo es la imagen formada por el espejo y dnde est situada?
b) Efecta la construccin geomtrica de la imagen.
Sol: 5 cm; 0.6 cm. Virtual, derecha y menor.
43 Un espejo esfrico, cncavo, ha de formar una imagen invertida de un objeto en
forma de flecha sobre una pantalla situada a una distancia de 42 cm delante del
espejo. El objeto mide 5 cm y la imagen debe tener una altura de 30 cm. Determinar:
a) A que distancia del espejo debe colocarse el objeto.
b) El radio de curvatura del espejo.
c) Efectuar la construccin geomtrica.
Sol: a) 7 cm; b) 0.12;
44 Delante de un espejo convexo, de 30 cm de radio, se sita un objeto de 8 mm de
altura a 10 cm del espejo. Calcula:
a) la distancia focal del espejo
b) La posicin y el tamao de la imagen.
Sol: a) 0.15 m; b) 7.5 cm y 6 mm.
44 Un objeto de 1 cm de altura se encuentra delante de un espejo cncavo de 20 cm de
radio, a 5 cm del vrtice mismo. Cmo es la imagen formada por el espejo y donde
est situada? Construye la imagen grficamente la imagen.
Sol: La imagen es derecha, de 2 cm y est situada a 0.1m detrs del espejo
45 Un espejo esfrico convexo, que acta de retrovisor de un automvil parado,
proporciona una imagen virtual de un vehculo que se aproxima con velocidad
constante. El tamao de la imagen es 1/20 del tamao real del vehculo cuando se
encuentra a 10 m del espejo. Calcula:
a) El radio de curvatura del espejo
b) La posicin de la imagen virtual formada
c) Si dos segundos despus la imagen observada en el espejo se ha duplicado,
a que distancia del espejo se encuentra ahora el vehculo?
d) Cul es la velocidad del vehculo?
Sol: a) 1.05 m; b) 0.5 m; c) 4.7 m; d) 2.6 m/s.
72
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
46 Cierto espejo colocado a 2 m de un objeto produce una imagen derecha y de
tamao tres veces mayor que el objeto. El espejo es convexo o cncavo? Cunto
mide el radio de curvatura del espejo? Sol: Es cncavo y radio de curvatura 6 m.
Problemas y cuestiones de ptica geomtrica de selectividad:

Modelo del 2000:
Un rayo de luz blanca incide desde el aire sobre una lmina de vidrio con un ngulo de
incidencia de 30.
a) Qu ngulo formarn entre s en el interior del vidrio los rayos rojo y azul,
componentes de la luz blanca, si los valores de los ndices de refraccin del
vidrio para estos colores son, respectivamente, nrojo =1.612 y nazul =1.671.
b) Cules sern los valores de la frecuencia y de la longitud de onda
correspondientes a cada una de estas radiaciones en el vidrio, si las longitudes de
onda en el vaco son, respectivamente, rojo = 656.3 nm y azul = 486.1 nm?
Dato: Velocidad de la luz en el vaco c = 3108 m/s
Junio del 2000:
Cuestin (2 puntos):
a) Un rayo luminoso que se propaga en el aire incide sobre el agua de un estanque
con un ngulo de 30. Qu ngulo forman entre si los rayos reflejado y
refractado?
b) Si el rayo luminoso se propagase desde el agua hacia el aire a partir de qu
valor del ngulo de incidencia se presentara el fenmeno de reflexin total?
Dato: ndice de refraccin del agua 4/3.
Un objeto luminoso est situado a 6 m de una pantalla. Una lente, cuya distancia focal
es desconocida, forma sobre la pantalla una imagen real, invertida y cuatro veces mayor
que el objeto.
a) Cul es la naturaleza y la posicin de la lente?Cul es el valor de la distancia
focal de la lente?
b) Se desplaza la lente de manera que se obtenga sobre la misma pantalla una
imagen ntida, pero de tamao diferente al obtenido anteriormente. Cul es la
nueva posicin de la lente y el nuevo valor del aumento?
Cuestin (2 puntos):
Sobre una lmina de vidrio de caras planas y paralelas, de espesor 2cm y de ndice de
refraccin n = 3/2, situada en el aire, incide un rayo de luz monocromtica con un
ngulo de 1=30.
a) Compruebe que el ngulo de emergencia es el mismo que el ngulo de
incidencia.
b) Determine la distancia recorrida por el rayo dentro de la lamina y el
desplazamiento lateral, del rayo emergente.
73

2 de Bachillerato
Una lente convergente con radios de curvatura de sus caras iguales, y que suponemos
delgada, tiene una distancia focal de 50 cm. Proyecta sobre una pantalla la imagen de un
objeto de tamao 5 cm.
a) Calcule la distancia de la pantalla a la lente para que la imagen sea de tamao
40 cm.
b) Si el ndice de refraccin de la lente es igual a 1.5 Qu valor tienen los radios
de la lente y cual es la potencia de la misma?
Modelo del 2001:
Cuestin (2 puntos):
Qu tipo de imagen se obtiene con un espejo esfrico convexo?y con una lente
esfrica divergente? Efecte las construcciones geomtricas adecuadas para justificar
las respuestas. El objeto se supone real en ambos casos.
Junio del 2001:
Cuestin (2 puntos):
Un rayo de luz monocromtica que se propaga en un medio de ndice de refraccin 1.58
penetra en otro medio de ndice de refraccin 1.23 formando un ngulo de incidencia de
15 (respecto a la normal) en la superficie de discontinuidad entre ambos medios.
a) Determine el valor del ngulo de refraccin correspondiente al ngulo de
incidencia anterior. Haga un dibujo esquemtico.
b) Defina el ngulo lmite y calcule su valor para este par de medios.
Un objeto luminoso de 3 cm de altura est situado a 20 cm de una lente divergente de
potencia 10 dioptras. Determine:
a) La distancia focal de la lente.
b) La posicin de la imagen.
c) La naturaleza y el tamao de la imagen.
d) La construccin geomtrica de la imagen.
Cuestin (2 puntos):
a) Defina para una lente delgada los siguientes conceptos: foco objeto, foco
imagen, distancia focal objeto y distancia focal imagen.
b) Dibuje para los casos de lente convergente y de lente divergente la marcha de un
rayo que pasa (l o su prolongacin) por: b1) El foco objeto. b2) El foco imagen.
Sea un sistema ptico formado por dos lentes delgadas convergentes de la misma
distancia focal ( f = 20 cm), situadas con el eje ptico comn a una distancia entre si de
80 cm. Un objeto luminoso lineal perpendicular al eje ptico, de tamao y = 2 cm, est
situado a la izquierda de la primera lente y dista de ella 40 cm.
a) Determine la posicin de la imagen final que forma el sistema ptico y efecte
su construccin geomtrica?
b) Cul es la naturaleza y el tamao de esta imagen?
74
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Modelo del 2002:
Cuestin (2 puntos):
Explique mediante construcciones geomtricas qu posiciones debe ocupar un objeto,
delante de una lente delgada convergente, para obtener:
a) Una imagen real de tamao menor, igual o mayor que el objeto.
b) Una imagen virtual. Cmo est orientada esta imagen y cul es su tamao en
relacin con el objeto?
Junio del 2002:
Cuestin (2 puntos):
Un objeto luminoso se encuentra delante de un espejo esfrico cncavo. Efecte la
construccin geomtrica de la imagen e indique su naturaleza si el objeto est situado a
una distancia igual, en valor absoluto, a:
a) La mitad de la distancia focal del espejo.
b) El triple de la distancia focal del espejo.
Un sistema ptico centrado est formado por dos lentes delgadas convergentes de igual
distancia focal (f=10cm) separadas 40 cm. Un objeto lineal de altura 1 cm se coloca
delante de la primera lente a una distancia de 15 cm. Determine:
a) La posicin, el tamao y la naturaleza de la imagen formada por la primera
lente.
b) La posicin de la imagen final del sistema, efectuando su construccin
geomtrica.
Cuestin (2 puntos):
Una superficie de discontinuidad plana separa dos medios de indices de refraccin n1 y
n2. Si un rayo incide desde el medio de indice n1, razone si las siguientes afirmaciones
son verdaderas o falsas:
a) Si n1 > n2 el ngulo de refraccin es menor que el ngulo de incidencia.
b) Si n1 < n2 a partir de un cierto ngulo de incidencia se produce el fenmeno de
reflexin total.
Una lente delgada convergente proporciona de un objeto situado delante de ella una
imagen real, invertida y de doble tamao que el objeto. Sabiendo que dicha imagen se
forma a 30 cm de la lente, calcule:
a) La distancia focal de la lente.
b) La posicin y naturaleza de la imagen que dicha lente formar de un objeto
situado a 5 cm delante de ella, efectuando su construccin geomtrica.
Modelo del 2003:
Cuestin (2 puntos):
Un rayo de luz monocromtica que se propaga en el aire penetra en el agua de un
estanque:
a) Que fenmeno luminoso se origina al pasar la luz del aire al agua? Enuncie las
leyes que se verifican en este fenmeno.
b) Explique si la velocidad, la frecuencia y la longitud de onda cambian al pasar la
luz de un medio a otro.
75

2 de Bachillerato
Una lente convergente de 10 cm de distancia focal se utiliza para formar la imagen de
un objeto luminoso lineal colocado perpendicularmente a su eje ptico y de tamao
y = 1 cm.
a) Dnde hay que colocar el objeto para que su imagen se forme 14 cm por detrs
de la lente?Cul es la naturaleza y el tamao de esta imagen formada?
b) Dnde hay que colocar el objeto para que su imagen se forme 8 cm por delante
de la lente?Cual es la naturaleza y el tamao de esta imagen? efecte la
construccin geomtrica en ambos casos.
Junio del 2003:
Cuestin (2 puntos):
Un haz luminoso est constituido por dos rayos de luz superpuestos: uno azul de
longitud de onda 450 nm y otro rojo de longitud de onda 650 nm. Si este haz incide
desde el aire sobre la superficie plana de un vidrio con un ngulo de incidencia de 30,
calcule:
a) El ngulo que forman entre si los rayos azul y rojo reflejados.
b) El ngulo que forman entre si los rayos azul y rojo refractados.
Datos: ndice de refraccin del vidrio para el rayo azul nazul = 1.55.
ndice de refraccin del vidrio para el rayo rojo nrojo = 1.40.
Un objeto de 1 cm de altura se sita a 15 cm delante de una lente convergente de 10 cm
de distancia focal.
a) Determine la posicin, tamao y naturaleza de la imagen formada, efectuando su
construccin geomtrica.
b) A qu distancia de la lente anterior habra que colocar una segunda lente
convergente de 20 cm de distancia focal para que la imagen final se formara en
el infinito?
Cuestin (2 puntos):
a) Explique que son una lente convergente y una lente divergente. Cmo estn
situados los focos objeto e imagen en cada una de ellas?
b) Qu es la potencia de una lente y en que unidades se acostumbra a expresar?
Por medio de un espejo cncavo se quiere proyectar la imagen de un objeto de tamao 1
cm sobre una pantalla plana, de modo que la imagen sea invertida y de tamao 3 cm.
Sabiendo que la pantalla ha de estar colocada a 2 m del objeto, calcule:
a) Las distancias del objeto y de la imagen al espejo, efectuando su construccin
geomtrica.
b) El radio del espejo y la distancia focal.
Modelo del 2004:
Cuestin (2 puntos):
a) Qu combinaciones de lentes constituye un microscopio? Explique mediante un
esquema grfico su disposicin en el sistema.
b) Dibuje la marcha de los rayos procedentes de un objeto a travs del microscopio,
de manera que la imagen final se forme en el infinito.
76
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Un espejo esfrico conveo proporciona una imagen virtual de un objeto que se aprxima
a l con velocidad constante. El tamao de dicha imagen es igual 1/10 del tamao del
objeto cuando este se encuentra a 8 m del espejo.
a) A que distancia del espejo se forma la correspondiente imagen virtual?
b) Cul es el radio de curvatura del espejo?
c) Un segundo despus, el tamao de la imagen formada por el espejo es 1/5 del
tamao del objeto. A que distancia del espejo se encuentra ahora el objeto?
d) Cul es la velocidad del objeto?
Junio del 2004:
Cuestin (2 puntos):
a) Qu tipo de imagen se obtiene con un espejo esfrico convexo?
b) Y con una lente esfrica divergente?
Efecte las construcciones geomtricas adecuadas para justificar las respuestas. El
objeto se supone real en ambos casos.
Un rayo de luz monocromtica incide sobre una cara lateral de un prisma de vidrio, de
ndice de refraccin n = 2 . El ngulo del prisma es = 60. Determine:
a) El ngulo de emergencia a travs de la segunda cara lateral si el ngulo de
incidencia es de 30. Efectu un esquema grfico de la marcha del rayo.
b) El ngulo de incidencia para que el ngulo de emergencia del rayo sea de 90.
Cuestin (2 puntos):
a) Defina el concepto de ngulo lmite y determine su expresin para el caso de dos
medios de ndices de refraccin n1 y n2, si n1>n2.
b) Sabiendo que el ngulo lmite definido entre un medio material y el aire es 60,
determine la velocidad de la luz en dicho medio.
Dato: Velocidad de la luz en el vaco 3108 m/s.
Un objeto luminoso de 2 cm de altura est situado a 4 m de distancia de una pantalla.
Entre el objeto y la pantalla se coloca una lente esfrica delgada, de distancia focal
desconocida, que produce sobre la pantalla una imagen tres veces mayor que el objeto.
Determine:
a) la posicin del objeto respecto a la lente y la clase de lente necesaria.
b) la distancia focal de la lente y efecte la construccin geomtrica de la imagen.
Modelo del 2005:
Cuestin (2 puntos):
Delante de una lente convergente se coloca un objeto perpendicularmente a su eje
ptico.
a) A que distancia de la lente debe colocarse para obtener una imagen de igual
tamao e invertida?Cul es la naturaleza de esta imagen?
b) A que distancia de la lente debe colocarse para obtener una imagen de doble
tamao y derecha? Cul es la naturaleza de esta imagen?
Efecte la construccin geomtrica en ambos apartados.
77

2 de Bachillerato
Se tienen tres medios transparentes de ndices de refraccin n1, n2 y n3. separados entre
s por superficies planas y paralelas. Un rayo de luz de frecuencia f = 61014 Hz incide
desde el primer medio (n1 = 30) sobre el segundo formando un ngulo 1 = 30 con la
normal a la superficie de separacin.
a) Sabiendo que el ngulo de refraccin en el segundo medio es 2 = 23.5, cul
ser la longitud de onda de la luz en este segundo medio?
b) Tras atravesar el segundo medio el rayo llega a la superficie de separacin con el
tercer medio. Si el ndice de refraccin del tercer medio es n3 = 1.3, cul ser el
ngulo de emergencia del rayo?
Dato: Velocidad de la luz en el vaco c = 3108 m/s.
Junio del 2005:
Cuestin (2 puntos):
Sobre una lmina transparente de ndice de refraccin 1.5 y de 1 cm de espesos, situada
en el vaco, incide un rayo luminoso formando un ngulo de 30 con la normal a la cara.
Calcule:
a) El ngulo que forma con la normal el rayo que emerge de la misma. Efecte la
construccin geomtrica correspondiente.
b) La distancia recorrida por el rayo dentro de la lmina.
Cuestin (2 puntos):
Se tiene un prisma ptico de ndice de refraccin 1,5 inmerso en el aire. La seccin del
prisma es un tringulo rectngulo issceles como muestra la figura. Un rayo luminoso
incide perpendicularmente sobre la cara AB del prisma.
a) Explique si se produce o no reflexin total en la cara
BC del prisma.
b) Haga un esquema grfico de la trayectoria seguida
por el rayo a travs del prisma. Cul es la direccin
del rayo emergente?
Un sistema ptico est formado por dos lentes delgadas convergentes, de distancias
focales 10 cm la primera y 20 cm la segunda, separadas por una distancia de 60 cm. Un
objeto luminoso de 2 mm de altura est situado 15 cm delante de la primera lente.
a) Calcule la posicin y el tamao de la imagen final del sistema.
b) Efecte la construccin geomtrica de la imagen mediante el trazado de rayos
correspondiente.
Modelo del 2006:
Cuestin (2 puntos):
Un objeto de 1 mm de altura se coloca a una distancia de 1 cm delante de una lente
convergente de 20 dioptras.
a) Calcule la posicin y tamao de la imagen formada, efectuando su construccin
geomtrica.
b) Se podra recoger esta imagen en una pantalla?Qu instrumento ptico
constituye la lente convergente utilizada de esta forma?
78
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Delante de un espejo cncavo de 1 m de radio y a una distancia de 0.75 m se coloca un
objeto luminoso de tamao 10 cm.
a) determine la posicin, la naturaleza y el tamao de la imagen formada por el
espejo.
b) Si desde la posicin anterior el objeto se acerca 0.5 m hacia el espejo, calcule la
posicin, la naturaleza y el tamao de la imagen formada por el espejo en este
caso.
Efecte la construccin geomtrica en ambos casos.
Junio del 2006:
Cuestin (2 puntos):
Explique donde debe estar situado un objeto respecto a una lente delgada para obtener
una imagen virtual y derecha:
a) Si la lente es convergente.
b) Si la lente es divergente.
Realice en ambos casos las construcciones geomtricas e indique si la imagen es mayor
o menor que el objeto.
Sobre un prisma de ngulo 60 como el de la figura, situado en el vaco, incide un rayo
luminoso monocromtico que forma un ngulo de 41.3 con la normal a la cara AB.
Sabiendo que en el interior del prisma el rayo es paralelo a la base AC:
a) Calcule el ndice de refraccin del prisma.
b) Realice el esquema grfico de la trayectoria seguida por el
rayo a travs del prisma.
c) Determine el ngulo de desviacin del rayo al atravesar el
prisma.
Explique si la frecuencia y la longitud de onda correspondientes al rayo luminoso son
distintas, o no, dentro y fuera del prisma.
Cuestin (2 puntos):
Un buceador enciende una linterna debajo del agua (indice de refraccin 1.33) y dirige
el haz luminoso hacia arriba formando un ngulo de 40 con la vertical.
a) Con qu ngulo emerger la luz del agua?
b) Cul es el ngulo de incidencia a partir del cual la luz no saldr del agua?
Efecte esquemas grficos en la explicacin de ambos apartados.
Se tiene un espejo cncavo de 20 cm de distancia focal.
a) Dnde se debe situar un objeto para que su imagen sea real y doble que el
objeto?
b) Dnde se de debe situar el objeto para que la imagen sea doble que el objeto
pero tenga carcter virtual?
79

2 de Bachillerato
Modelo del 2007:
Cuestin (2 puntos):
Determine el tipo de imagen y el aumento lateral que se obtiene al situar un objeto
delante de una lente divergente en los siguientes casos:
a) El objeto se sita a una distancia igual al doble de l distancia focal.
b) El objeto se sita a una distancia la mitad de la distancia focal de la lente.
Junio del 2007:
Cuestin (2 puntos):
Una superficie plana separa dos medios de ndices de refraccin distintos n1 y n2. Un
rayo de luz incide desde el medio de ndice n1. Razone si son verdaderas o falsas las
afirmaciones siguientes:
a) El ngulo de incidencia es mayor que el ngulo de reflexin.
b) Los ngulos de incidencia y de refraccin son siempre iguales.
c) El rayo incidente, el reflejado y el refractado estn en el mismo plano.
d) Si n1 > n2 se produce reflexin total para cualquier ngulo de incidencia.
Una lente convergente forma, de un objeto real, una imagen tambin real, invertida y
aumentada 4 veces. Al desplazar el objeto 3 cm hacia la lente, la imagen que se obtiene
es virtual, derecha y con el mismo aumento en valor absoluto. Determine:
a) La distancia focal imagen y la potencia de la lente.
b) Las distancias del objeto a la lente en los dos casos citados.
c) Las respectivas distancias imagen.
d) Las construcciones geomtricas correspondientes.
Cuestin (2 puntos):
Una lente convergente tiene una distancia focal de 20 cm. Calcule la posicin y
aumento de la imagen que produce dicha lente para un objeto que se encuentra delante
de ella a las siguientes distancias:
a) 50 cm.
b) 15 cm.
Realice el trazado de rayos en ambos casos.
Un espejo esfrico cncavo tiene un radio de 10 cm.
a) Determine la posicin y el tamao de la imagen de un objeto de 5 cm de altura
que se encuentra frente al mismo, a la distancia de 15 cm. Cmo es la imagen
obtenida? Efecte la construccin geomtrica de dicha imagen.
b) Un segundo objeto de 1 cm de altura se sita delante del espejo, de manera que
su imagen es del mismo tipo y tiene el mismo tamao que la imagen del objeto
anterior. Determine la posicin que tiene el segundo objeto respecto al espejo.
80
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Modelo del 2008:
Cuestin (2 puntos):
a) Puede un espejo cncavo producir una imagen virtual, derecha y menor que el
objeto?
b) Puede una lente convergente producir una imagen real, invertida y mayor que
el objeto?
Justifique la respuesta en cada caso mediante un diagrama de rayos.
Se construye un prisma ptico de ngulo A con un vidrio de ndice de refraccin
n = 2 . Sabiendo que el rayo que incide perpendicularmente en la primera cara lateral
del prisma tiene un ngulo de emergencia de 90 a travs de la segunda cara lateral y
que el prisma est inmerso en el aire, determine:
a) El ngulo A del prisma.
b) El valor del ngulo de desviacin mnima.
Dibuje la marcha del rayo en ambos casos.
Junio del 2008:
Cuestin (2 puntos):
Una lmina de vidrio (ndice de refraccin n = 1,52) de caras planas y paralelas y
espesor d se encuentra entre el aire y el agua. Un rayo de luz monocromtica de
frecuencia 51014 Hz incide desde el agua en la lmina. Determine:
a) Las longitudes de onda del rayo en el agua y en el vidrio.
b) El ngulo de incidencia en la primera cara de la lmina a partir del cual se
produce reflexin total interna en la segunda cara.
Datos: ndice de refraccin de agua nagua = 1.33.
Velocidad de la luz en el vaco c = 3108 m/s.
Un sistema ptico est formado por dos lentes: la primera es convergente y con
distancia focal de 10 cm; la segunda, situada a 50 cm de distancia de la primera, es
divergente y con 15 cm de distancia focal. Un objeto de tamao 5 cm se coloca a una
distancia de 20 cm delante de la lente convergente.
a) Obtenga grficamente mediante el trazado de rayos la imagen que produce el
sistema ptico.
b) Calcule la posicin de la imagen producida por la primera lente.
c) Calcule la posicin de la imagen producida por el sistema ptico.
d) Cul es el tamao y la naturaleza de la imagen final formada por el sistema
ptico?
Cuestin (2 puntos):
Un microscopio consta de dos lentes convergentes (objetivo y ocular).
a) Explique el papel que desempea cada lente.
b) Realice un diagrama de rayos que describe el funcionamiento del microscopio.
81

2 de Bachillerato
82
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Chuletario de fsica cuntica:

Radiacin del cuerpo negro:
Se trata del fenmeno de radiacin de los cuerpos calientes. Un cuerpo negro es aquel que absorbe toda la
radiacin incidente y emite una radiacin caracteristica.
Densidad de energa espectral o ley de Planck (funcin de distribucin de la radiacin):
8 2
h
( , T ) = 3 h / kT
c e
1
(Js/m3)
Ley de Stefan-Boltzman (o emitancia monocromtica total): E (T ) = T

0
(W/m2)
max T = 2.898103 (mK)

3
4
Ley de Rayleigh-Jeans: ( , T ) = 8 kT / (Js/m )
Energa de un fotn: E = h (J)
Ley del desplazamiento de Wien:
Efecto fotoelctrico:
Consiste en la emisin de electrones desde la superficie de un slido metlico cuando este es iluminado
por radiacin electromagntica.
Ec ,max = E W = h h 0
Donde:
W
Ec
Energa necesaria para liberar un electrn o funcin de trabajo de extraccin.
Frecuencia umbral.
Energa cintica del electrn emitido.
Dualidad onda corpsculo:

Cada partcula en movimiento lleva asociada una naturaleza ondulatoria.
h
h
=
p mv
Principio de incertidumbre de Heisenberg:

No es posible determinar, simultneamente de un modo preciso, la posicin y la cantidad de movimiento
de una partcula.
xp
h
4
Et
h
4
Tambin con la energa y el tiempo:
Constantes fsicas importantes de fsica cuntica y fsica estadstica.

23
Constante de Boltzman: k = 1.38110
J/K.
8
2
Constante de Stefan-Boltzman: = 5.6710 W/m .
34
Constante de Planck: h = 6.6310
JS.
83

2 de Bachillerato
Ejercicios de fsica cuntica:

1
Determinar la longitud de onda de un fotn de energa igual a 600 eV. Sol: 20.7 A.
Calcular la energa de un fotn de luz roja de 6000 A de longitud de onda.

Sol: 3.311019 J.
Calcular la frecuencia y la longitud de onda de una onda electromagntica de energa

200 MeV. Sol: 4.831022 Hz; 6.211015 m.
Las longitudes de onda de la luz visible se encuentran en el intervalo de 7500 A para el

rojo y 4000 A para el violeta. Hallar el intervalo de energas de un fotn de luz de cada
color. Sol: En el rojo la energa es 2.651019 J y el violeta es 4.971019 J.
Calcular:
a) La energa de un fotn de luz amarilla que tiene una longitud de onda de 5800 A.
b) El periodo y frecuencia de una onda que tiene una longitud de onda de 4800 A.
Sol: a) 3.4310 19 J; b) 1.61015 s y 6.251014 Hz.
Cierta luz roja tiene una longitud de onda de 6500 A. Determinar el periodo, la energa
y la frecuencia de los fotones de la luz roja. Sol: 2.171015 s; 3.061019 J; 4.61014 Hz.
Calcular:
a) La energa correspondiente a un fotn de 1.23 A.
b) Hallar su cantidad de movimiento.
Sol: a) 1.6551015 J; b) 5.51024 kgm/s.
Un haz monocromtico de luz roja posee una longitud de onda de 650 nm. Calcula:
a) La frecuencia.
b) La energa del fotn.
c) La cantidad de movimiento de ese fotn.
Sol: a) 4.6101014 Hz; b) 3.051019 J; c) 1.021027 kgm/s.
Un lser de longitud de onda 650 nm tiene una potencia de 12 mW y un dimetro de

haz de 0.82 nm. Calcula:
a) La intensidad del haz.
b) El nmero de fotones por segundo que viajan con el haz.
Sol: a) 2.3104 W/m2; b) 3.91016 fotones/s.
10 Un tomo de hidrgeno est excitado con una energa de 3.4 eV. Ocurre una
transicin hacia un estado con energa 13.6 eV y se emite un fotn. Calcular la
frecuencia de la radiacin emitida. Sol: 2.51015 Hz.
11 Una fuente de luz monocromtica emite radiacin electromagntica con una longitud
de onda de 4.8107 m y una potencia de 20 W. Cul es la energa de cada fotn?
Cuntos fotones por segundo emite esta fuente? Sol: 4.11019 J; 4.81019 fotones.
12 En la oscuridad apenas podra verse una bombilla de 100 W a una distancia de 500 km.
Si slo un 5% de esa potencia se emplea en luz visible, estime el nmero de fotones
que penetra por cada pupila (radio 0.3 cm) en esas condiciones. Sol: 100 fotones.
84
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
13 Una emisora de radio emite a 90.4 MHz, con una potencia de 45 kW. Calculen qu
cantidad de movimiento tiene cada fotn emitido y cuantos fotones se emiten por
segundo. Sol: 3.74 eV y 7.511029 fotones/s.
14 Se tiene una onda electromagntica de frecuencia 21016 Hz, que se desplaza en el
vaco. Determine:
a) La energa de cada fotn.
b) Su longitud de onda.
c) La cantidad de movimiento que cede cada uno de sus fotones sobre un cuerpo
negro.
Sol: a) 83 eV; b) 1.5108 m; c) 4.41026 kgm/s.
15 Hallar el umbral de energa del sodio metlico sabiendo que la longitud de onda
correspondiente a dicha energa vale 6800 A. Sol: 1.83 eV
16 Hallar la longitud de onda asociada a los fotoelectrones emitidos por una superficie de
cobre bajo la accin de la luz visible. El umbral de energa correspondiente vale 4.4 eV.
Sol: 2820 A.
17 Una radiacin monocromtica de longitud de onda 500 nm incide sobre una fotoclula
de cesio, cuyo trabajo de extraccin es de 2 eV. Calcula:
a) La frecuencia umbral y la longitud de onda umbral de la fotoclula.
b) La energa cintica de los electrones emitidos.
Dato: e = 1.61019 C. Sol: a) 4.81014 Hz, 6.2107 m; b) 0.49 eV.
18 Un haz de luz monocromtica de 6.51014 Hz ilumina una superficie metlica que
emite electrones con una energa cintica de 1.31019 J. cul es el trabajo de
extraccin del metal? Cul es su frecuencia umbral? Sol: 31019 J; 4.51014 Hz.
19 Los fotoelectrones emitidos por una superficie metlica tienen una energa cintica
mxima de 2.03 eV para una radiacin incidente de 300 nm de longitud de onda. Halla
la funcin de trabajo de la superficie y la longitud de onda umbral.
Sol: 3.381019 J; 588 nm.
20 Si el trabajo de extraccin de una superficie de potasio es igual a 2.2 eV, se podra
utilizar el potasio en clulas fotoelctricas para funcionar con luz visible? En caso
afirmativo, Cunto vale la velocidad mxima de salida de los fotoelectrones?
Dato: frecuencia mxima de la luz visible 7.51014 Hz. Sol: 5.7105 m/s.
21 Al ser iluminado un metal con luz de frecuencia de 91014 Hz emite electrones que
pueden ser detenidos con un potencial de 0.6 V. Si, posteriormente, se utiliza luz de
longitud de onda 2.38107 m, dicho potencial pasa a ser 2.1 V. Calculen la funcin
trabajo del metal (trabajo de extraccin) y la constante de Planck.
Datos: me = 9.11031 kg; e = 1.61019 C.
Sol: 3.15 eV y 6.6610 34 Js (solucin aproximada del valor real de la constante).
22 Calcular:
a) La longitud de onda asociada a un protn que se mueve a 30000 km/s.
b) Hallar la velocidad de un electrn de longitud de onda asociada 10 A.
Datos: mp = 1.671027 kg; b) me = 9.11031 kg. Sol: a) 1.321014 m; b) 7.27105 m/s.
85

2 de Bachillerato
23 Una bala de 40 g tiene una velocidad de 1000 m/s. Qu longitud de onda se le asocia?
Sol: 1.651035 m.
24 Calcular las longitudes de onda de de Broglie asociadas a un electrn y a un protn que
se mueven con una velocidad de 7106 m/s.
Datos: mp = 1.671027 kg; e = 1.61019 C; me = 9.11031 kg.
Sol: p = 56.7 fm y e = 0.104 nm.
25 Calcular las longitudes de onda de las ondas materiales correspondientes a:
a) Un electrn de 100 eV de energa cintica.
b) Un baln de ftbol que se mueve a 25 m/s, si su masa es de 450 g.
Sol: a) 1.21010 m; b) 5.91035 m.
26 Calcular la longitud de onda asociada a un patinador de 80 kg que baja una pendiente
con energa cintica de 16000 J. Sol: 4.141037 m.
27 Si la longitud de onda asociada a un protn es 1013 m, hallar su velocidad.
Datos: mp = 1.671027 kg. Sol: 3.96106 m/s.
28 Calcular la longitud de onda de un electrn que se ha puesto en movimiento mediante
la aplicacin de una diferencia de potencial de 1000 V.
Datos: mp = 1.671027 kg; e = 1.61019 C. Sol: 3.891011 m.
29 Un microscopio electrnico utiliza electrones acelerados a travs de una diferencia de
potencial de 40000 V. Determina su poder de resolucin suponiendo que es igual a la
longitud de onda de De Broglie de los electrones. Sol: 6.11012 m.
30 Un microscopio electrnico utiliza electrones de 50 keV. Cul es el poder de
resolucin del microscopio suponiendo que sea igual a la longitud de onda de los
electrones? Sol: 5.51012 m.
31 Calcular:
a) La energa correspondiente a un fotn de longitud de onda 3107 m.
b) Si el fotn golpea a un electrn, qu incertidumbre se introduce en el
conocimiento del impulso del electrn?
Sol: a) 6.621019 J; b) 2.21027 kgm/s.
32 Hallar la incertidumbre en la medida de la velocidad de una masa de 10 kg en
movimiento si la incertidumbre en la medida de su posicin es de 0.1 mm.
Sol: 6.621031 m/s.
33 Hallar la incertidumbre en la medida de la velocidad de un protn si la incertidumbre
de la medida de su posicin es del orden de su dimetro (1015 m). Sol: 3.96108 m/s.
34 Una partcula de masa 1 mg se mueve con velocidad de 20 m/s. Si la incertidumbre en
su posicin es de 107 m, cul es la mnima incertidumbre en su velocidad?
Sol: 1.11021 m/s.
86
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Problemas y cuestiones de fsica cuntica de selectividad:

Modelo del 2000:
Cuestin (2 puntos):
Considere las longitudes de onda de De Broglie de un electrn y de un protn. Razone
cual es menor si tienen:
a) El mismo mdulo de la velocidad.
b) La misma energa cintica.
Suponga velocidades no relativistas.
Un lser de longitud de nm tiene una potencia de 10 mW y un dimetro de
haz de 1 mm. Calcule:
a) La intensidad del haz.
b) El nmero de fotones por segundo que viajan con el haz.
Datos: Velocidad de la luz en el vaco c = 3108 ms1
Junio del 2000:

Cuestin (2 puntos):
Enuncie el principio de Indeterminacin de Heisenberg y comente su significado fsico.
Una radiacin monocromtica que tiene una longitud de onda en el vaco de 600 nm y
una potencia de 0.54 W, penetra en una clula fotoelctrica de ctodo de cesio cuyo
trabajo de extraccin es de 2.0 eV. Determine:
a) El nmero de fotones por segundo que viajan con la radiacin.
b) La longitud de onda umbral del efecto fotoelctrico para el cesio.
c) La energa cintica de los electrones emitidos.
d) La velocidad con que llegan los electrones al nodo si se aplica una diferencia de
potencial de 100V.
Datos: Velocidad de la luz en el vaco c = 3108 m/s.
Valor absoluto de la carga del electrn e = 1.61019 C.
Masa del electrn me = 9.11031 kg.
Constante de Planck h = 6.631034 Js.
Cuestin (2 puntos):
a) Qu intervalo aproximado de energas (en eV) corresponde a los fotones del
espectro visible?
b) Qu intervalo aproximado de longitudes de onda de De Broglie tendran los
electrones en ese intervalo de energas?
Las longitudes de onda del espectro visible estn comprendidas, aproximadamente,
entre 390 nm en el violeta y 740 nm en el rojo.
Datos: Velocidad de la luz en el vacio c = 3108 ms1.
87

2 de Bachillerato
Modelo del 2001:
Al iluminar un metal con luz de frecuencia 2.51015 Hz se observa que emite electrones
que pueden detenerse al aplicar un potencial de frenado de 7.2 V. Si la luz que se
emplea con el mismo fin es de longitud de onda en el vaco 1.78107 m, dicho potencial
pasa a ser de 3.8 V. Determine:
a) El valor de la constante de Planck.
b) La funcin de trabajo (o trabajo de extraccin) del metal.
Datos: Velocidad de la luz en el vacio c = 3108 m/s.
Junio del 2001:
Cuestin (2 puntos):
Un haz de luz monocromtica de longitud de onda en el vacio 450 nm incide sobre un
metal cuya longitud de onda umbral, para el efecto fotoelctrico es de 612 nm.
Determine:
a) La energa de extraccin de los electrones del metal.
b) La energa cintica mxima de los electrones que se arrancan del metal.
Datos: Velocidad de la luz en el vacio c = 3108 ms1.
Cuestin (2 puntos):
Dos partculas no relativistas tienen asociada la misma longitud de onda de De Broglie.
Sabiendo que la masa de una de ellas es el triple que la masa de la otra, determine:
a) La relacin entre sus movimientos lineales.
b) La relacin entre sus velocidades.
Junio del 2002:
Cuestin (2 puntos):
a) Qu velocidad ha de tener un electrn para que su longitud de onda de De
Broglie sea 200 veces la correspondiente a un neutrn de energa cintica 6 eV?
b) Se puede considerar que el electrn a esta velocidad es no relativista?
Masa del neutrn mn = 6.631034 Js.
Los fotoelectrones expulsados de la superficie de un metal por una luz de 400 nm de
longitud de onda en el vaco son frenados por una diferencia de potencial de 0.8 V.
a) Determine la funcin de trabajo del metal.
b) Qu diferencia de potencial se requiere para frenar los electrones expulsados de
dicho metal por una luz de 300 nm de longitud de onda en el vacio?
88
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Modelo del 2003:
Cuestin (2 puntos):
Una radiacin de frecuencia f produce un efecto fotoelctrico al incidir sobre una placa
de metal.
a) Que condicin tiene que cumplir la frecuencia para que produzca efecto
fotoelctrico? (1 punto)
Explicar qu ocurre:
b) Si se aumenta la frecuencia de la radiacin. (0.5 puntos)
c) Si se aumenta la intensidad de la radiacin. (0.5 puntos)
Cuestin (2 puntos):
A una partcula material se le asocia la llamada longitud de onda de De Broglie.
a) Qu magnitudes fsicas determinan el valor de la longitud de onda de De
Broglie? Pueden dos partculas distintas con diferente velocidad tener asociadas
la misma longitud de onda de De Broglie?
b) Qu relacin existe entre las longitudes de onda de De Broglie de dos
electrones cuyas energas cinticas vienen dadas por 2 eV y 8 eV?
Un metal tiene una frecuencia umbral de 4.51014 Hz para el efecto fotoelctrico.
a) Si el metal se ilumina con una radiacin de 410-7 m de longitud de onda Cul
ser la energa cintica y la velocidad de los electrones emitidos?
b) Si el metal se ilumina con otra radiacin distinta de forma que los electrones
emitidos tengan una energa cintica el doble que en el caso anterior Cul ser
la frecuencia de esta radiacin?
Modelo del 2004:
Cuestin (2 puntos):
En un tomo, un electrn pasa de un nivel de energa a otro de nivel inferior. Si la
diferencia de energas es de 210-15 J, determine la frecuencia y la longitud de onda de la
radiacin emitida.
Junio del 2004:
Cuestin (2 puntos):
Un cierto haz luminoso provoca efecto fotoelctrico en un determinado metal. Explique
como se modifica el nmero de fotoelectrones y su energa cintica si:
a) Aumenta la intensidad del haz luminoso
b) Aumenta la frecuencia de la luz incidente
c) Disminuye la frecuencia de la luz por debajo de la frecuencia umbral del metal
d) Cmo se define la magnitud trabajo de extraccin?
89

2 de Bachillerato
Cuestin (2 puntos):
El trabajo de extraccin para el sodio es de 2.5 eV. Calcule:
a) La longitud de onda de la radiacin que debemos usar para que los electrones
salgan del metal con una velocidad mxima de 107 m/s.
b) La longitud de onda de De Broglie asociada a los electrones que salen del metal
con la velocidad de 107 m/s.
Masa del electrn me = 9.110-31 kg.
Constante de Planck h = 6.6310-34 Js.
Modelos del 2005:
Cuestin (2 puntos):
Una partcula y un protn tiene la misma energa cintica. Considerando que la masa
de la partcula es cuatro veces la masa del protn:
a) Que relacin existe entre los momentos lineales de estas partculas?
b) Que relacin existe entre las longitudes de onda de De Broglie correspondiente
a estas partculas?
Junio del 2005:
Cuestin (2 puntos):
Un electrn que parte del reposo es acelerado por una diferencia de potencial de 50 eV.
Calcule:
a) El cociente entre los valores de la velocidad de la luz en el vacio y la velocidad
alcanzada por el electrn.
b) La longitud de onda de De Broglie asociada al electrn despus de atravesar
dicho potencial.
Masa del electrn me = 9.11031 kg. Constante de Planck h = 6.631034 Js
Cuestin (2 puntos):
Un protn que parte del reposo es acelerado por una diferencia de potencial de 10 V.
Determine:
a) La energa que adquiere el protn expresada en eV y su velocidad en m/s.
b) La longitud de onda de De Broglie asociada al protn movindose con la
velocidad anterior.
Masa del protn mp = 1.671027 kg.
Datos: Carga del protn e = 1.61019 C.
34
Modelo del 2006:
Cuestin (2 puntos):
Se ilumina una superficie metlica con luz cuya longitud de onda es de 300 nm, siendo
el trabajo de extraccin del metal de 2.46 eV. Calcule:
a) La energa cintica mxima de los electrones emitidos por el metal.
b) La longitud de onda umbral para el metal.
Datos: Valor absoluto de la carga del electrn e = 1.61019 C.
90
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Junio del 2006:
Cuestin (2 puntos):
Calcule en los dos casos siguientes la diferencia de potencial con que debe ser acelerado
un protn que parte del reposo para que despus de atravesar dicho potencial:
a) El momento lineal del protn sea 10-21 kgm/s.
b) La longitud de onda de de Broglie asociada al protn sea 510-13 m.
Datos: Carga del protn e = 1.61019 C. Masa del protn mp = 1.671027 kg.
Modelo del 2007:
Cuestin (2 puntos):
Un electrn de un tomo salta desde un nivel de energa de 5 eV a otro inferior de 3 eV,
emitindose un fotn en el proceso. Calcula la frecuencia y la longitud de onda de la
radiacin emitida, si est se propaga en el agua.
Datos: ndice de refraccin del agua nagua = 1.33.
Determine la longitud de onda de De Broglie y la energa cintica, expresada en eV, de:
a) Un electrn cuya longitud de onda de De Broglie es igual a la longitud de onda
en el vaco de un fotn de energa 104 eV.
b) Una piedra de masa 80 g que se mueve con una velocidad de 2 m/s.
Datos: Constante de Planck h = 6.631034 Js.
8
Modelo del 2008:
Cuestin (2 puntos):
En un experimento de efecto fotoelctrico un haz de luz de 500 nm de longitud de onda
incide sobre un metal cuya funcin de trabajo (o trabajo de extraccin) es de 2,1 eV.
Analice la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) Los electrones arrancados pueden tener longitudes de onda de De Broglie
menores que 109 m.
b) La frecuencia umbral del metal es mayor que 1014 Hz.
Datos: Constante de Planck h = 6.631034 Js. Masa del electrn me = 9.11031 kg.
Junio del 2008:
Cuestin (2 puntos):
El potencial de frenado de los electrones emitidos por la plata cuando se incide sobre
ella con luz de longitud de onda de 200 nm es 1.48 V. Deduzca:
a) La funcin de trabajo (o trabajo de extraccin) de la plata, expresada en eV.
b) La longitud de onda umbral en nm para que se produzca el efecto fotoelctrico.
Datos: Constante de Planck h = 6.631034 Js.
91

2 de Bachillerato
Cuestin (2 puntos):
La longitud de onda umbral de la luz utilizada para la emisin de electrones en un metal
por efecto fotoelctrico es la correspondiente al color amarillo. Explique si son
verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) Iluminando con la luz amarilla umbral, si duplicamos la intensidad de luz
duplicaremos tambin la energa cintica de los electrones emitidos.
b) Iluminando con luz ultravioleta no observaremos emisin de electrones.
92
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Resumen de fsica nuclear

Defecto de masa:
Es la masa que se le supone a un ncleo, sumando la masa de todos sus ncleones y la masa real de dicho
ncleo (M), que siempre es menor:
m = Z m p + ( A Z )mn M
Z Numero atmico.
A Nmero msico.
Energa de ligadura:
E = mc 2
Radiactividad:
Radiacin alfa (): Son ncleos de helio. Poco poder de penetracin.

Radiacin beta (): Son electrones. Con poder de penetracin.
Radiacin gamma (): Fotones muy energticos. Alto poder de penetracin.
Desintegraciones nucleares:
Funcin de distribucin de las desintegraciones nucleares:
dN = N 0 e t dt
Actividad o velocidad de desintegracin:
A=
dN
dt
Periodo de semidesintegracin T1/2:
N0
1
ln 2
= N 0 e t = e t t = T1/ 2 =
2
2
Vida media (se calcula promediando con la funcin de distribucin) = t :
= t =
tdN
0
dN
t N e
0
N0
dt
= te
0
te t
e t
1
1
dt =
2 = =
0
0
Tipos de reacciones nucleares y de particulares:

Reacciones en cadena: se caracterizan por ser reacciones que se realimentan a si mismas. Son
fundamentalmente de dos tipos:
- Fisin nuclear: Ocurre cuando una partcula rompe un ncleo pesado.
- Fusin nuclear: Ocurre cuando dos ncleos se fusionan para formar un solo ncleo de mayor
peso atmico.
Desintegracin: Ocurre cuando un ncleo o partcula inestable se descompone espontneamente en otro
ncleo o partcula emitiendo algn tipo de radiacin en el proceso.
Fotodesintegracin: Sucede de forma parecida a la desintegracin espontnea solo que sta vez el
proceso viene inducido por un fotn gamma extremo. Esta reaccin es endotrmica.
Captura de neutrones: Un ncleo captura un neutrn y como consecuencia libera un fotn y aumenta su
nmero msico.
Captura de protones: Un ncleo captura un protn, aumentando su nmero msico y atmico.
Captura de electrones (neutronizacin): Un ncleo captura un electrn, como consecuencia baja su
nmero atmico, mantiene igual el mximo y desprende un neutrino.
Transmutacin: Un ncleo se convierte espontneamente en otro con desprendimiento de un electrn.
Creacin de pares (partcula/antipartcula): Ocurre cuando un fotn suficientemente energtico puede
generar pares de partculas al interaccionar con otro fotn u otra partcula.
Aniquilacin de pares (partcula/antipartcula): Ocurre cuando una partcula se aniquila con su
antipartcula generndose un fotn muy energtico.
93

2 de Bachillerato
Energa por nuclen:
Es la energa potencial nuclear contenida en cada nuclen de un tomo.
La funcin de la figura tiene un mximo, el pico del hierro. El hierro es el elemento nuclearmente ms
estable de todos porque tanto para fusionarlo como para fisionarlo hay que invertir energa adicional.
Fuerzas de la naturaleza:
Nuclear fuerte: Es la fuerza ms fuerte de la naturaleza y tiene, en principio, muy corto alcance, 1 fm. Es
la responsable de las ligaduras nucleares. La partcula fundamental de interaccin de la fuerza nuclear
fuerte ocurre es el glun.
Nuclear dbil: Es la fuerza de menor alcance, 1 am distancia sta menor que el ncleo, es, adems, cien
mil veces ms dbil que la nuclear fuerte. Sus partculas mediadoras de fuerza son los bosones W y Z. Es
la responsable de la mayora de los procesos radioactivos.
Electromagntica: Esta es una fuerza de largo alcance, en realidad alcance infinito. Adems es una
fuerza muy fuerte tan solo cien veces ms dbil que la nuclear fuerte. Acta entre cargas elctricas
pudiendo ser repulsiva o atractiva segn el signo de estas. La partcula mediadora de fuerza es el fotn. Es
responsable de las ligaduras interatmicas as como de los propios electrones al tomo.
Gravitatoria: Dbil y de largo alcance. Acta sobre la masa y la energa. Siempre es atractiva.
Totalmente despreciable en las reacciones nucleares ya que es 1038 veces ms dbil que la nuclear fuerte.
Se cree, aunque no se ha probado an, que podra tener un mediador de fuerza, el gravitn. Es la nica
fuerza que aun se explica mediante un modelo continuo en vez de uno quantizado. Es la responsable de la
atraccin entre los objetos astronmicos.
Smbolos de algunas partculas y antipartculas:
e
p
n
94
Partculas
Foton
Electrn
Protn
Neutrn
Neutrino
e+
p
n
Antipartculas
Fotn (el mismo es su antipartcula)
Positrn
Antiprotn
Antineutrn
Antineutrino
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Ejercicios de fsica nuclear.

1
Deducir la relacin entre 1 u = 934 MeV.
Hallar la energa de ligadura del 12C.

Datos: mn = 1.00899 u, mp = 1.00814 u,
Sol: 92 MeV.
Hallar la energa de ligadura del
55
25
12
6
C =12.00384 u.
Mn .
Datos: 55
25 Mn = 54.956 u; mn = 1.00899 u, mp = 1.00814 u.
Sol: 481 MeV.
4
Establecer el balance energtico en la reaccin del 73 Li + p n + 74 Be .

Datos: mn = 1.00899 u, mp = 1.00814 u, 73 Li = 7.01822 u, 74 Be = 7.01916 u.
Sol: 1.67 MeV.
Hallar la energa liberada en las siguientes reacciones:

a) p + 73 Li 2 42 He
b) 31 H + 21 H 42 He + n
Datos: mn = 1.00899 u; 21 H = 2.01474 u; 31 H = 3.01700 u; 42 He = 4.00388 u;
7
3
Li = 7.01822 u.
Sol: a) 17.3 MeV; b) 17.6 MeV.
6
Un electrn y un positrn se aniquilan mutuamente y se produce un rayo gamma.

Cul es la frecuencia y la longitud de onda de la radiacin obtenida?
Datos: masa del electrn = 9.11031 kg; h = 6.621034 Js.
Sol: 2.51020 Hz; 1.211012 m.
Durante el proceso de fisin de un ncleo de 235

92 U por un neutrn se liberan 198 MeV.
Calcula la energa liberada al fisionarse 1 kg de uranio. Sol: 8.11010 kJ.
La energa desprendida en la fisin de un ncleo de uranio-235 es aproximadamente

de 200 MeV. Cuntos kilogramos de carbn habra que quemar para obtener la
misma cantidad de energa que la desprendida por fisin de 1 kg de uranio-235?
Dato: El calor de combustin del carbn es de unas 7000 kcal/kg.
Sol: 2.83105 kg.
En la fisin de un ncleo de uranio-235 se liberan aproximadamente 200 MeV de

energa. Qu cantidad de uranio-235 se consumen en un ao en un reactor nuclear de
1000 MW de potencia? Sol: 385 kg.
10 Determina la energa de enlace por nuclen del 56

26 Fe y del
ncleos son 55.934939 u y 38.964001 u, respectivamente.
Datos: mn = 1.007276 u, mp = 1.008665 u.
Sol: 8.5 MeV/nuclen y 8.3 MeV/nucleon.
39
19
K si las masas de sus
95

2 de Bachillerato
11 Cuando un ncleo de 226
88 Ra emite una partcula alfa se convierte en un ncleo de
radn (Rn).
a) Escribe la ecuacin del proceso nuclear correspondiente.
b) Suponiendo que toda la energa generada en el proceso se transfiere a la
partcula alfa, calcula su energa cintica y su velocidad.
Datos: mRa = 226.025406 u; mRn = 222.017574 u; m = 4.002603 u.
13
222
4
Sol: a) 226
J; 1.5107 m/s.
88 Ra 86 Rn + 2 He ; b) 7.810
12 Completar las siguientes reacciones nucleares:
a) 147 N + ___ 178 O + p
i) 94 Be + 42 He 126 C + ___
b)
27
13
Al + 42 He 30
15 P + ___
c)
27
13
Al + n Mg + p
j)
23
11
Na + 42 He
26
12
Mg + ___
Cu e + ___
k)
64
29
d) O + n C + He
l)
106
47
e) 94 Be + ___ 63 Li + 42 He
m)
f) 73 Li + p 48 Be + ___
n)
59
27
Co + n
P 30
14 Si + ___
39
19
K + ___ + p
o)
10
5
B + ___ 42 He + 48 Be
13
6
g)
30
15
4
2
h) H He + ___
3
1
3
2
Ag 106
48 Cd + ___
58
28
Ni + p ___ + n
60
27
Co + ___
Sol:
N + 24 He 178 O + p
i) 94 Be + 42 He 126 C + n
27
13
Al + 24 He 30
15 P + n
j)
27
13
Al + n
a)
14
7
b)
c)
Mg + p
Na + 42 He
+
Cu e +
26
12
k)
d) 168 O + n 136 C + 42 He
l)
106
47
e) 94 Be + p 63 Li + 42 He
m)
f) 73 Li + p 48 Be +
n)
59
27
60
Co + n 27
Co +
+
P 30
14 Si + e
39
19
K + 42
20 Ca + p
h) 31 H 23 He + e
o)
10
5
B + 21 H 42 He + 48 Be
30
15
64
28
Mg + p
64
29
g)
27
12
23
11
Ni
Ag 106
48 Cd + e
58
28
58
Ni + p 29
Cu + n
13 El 212
83 Bi tiene un periodo de semidesintegracin de 60.5 minutos. Cuntos tomos se
desintegran por segundo en 50 g de bismuto-212? Sol: 2.71019 tomos/s.
14 El radn-222 se desintegra con un periodo de 3.9 das. Si inicialmente se dispone de
20 g, cunto quedar al cabo de 7.6 das? Sol: 5.2 g.
15 Tenemos 6.021023 tomos del istopo radiactivo cromo-51, con un periodo de
semidesintegracin de 27 das. Cuntos tomos quedarn al cabo de seis meses?
Sol: 5.91021 tomos.
16 Algunos relojes llevan 226Ra para que los nmeros o las agujas se puedan ver en la
oscuridad. Supongamos que uno de dichos relojes lleva 1106 g de este elemento que
tiene un periodo de semidesintegracin de 1600 aos. Qu cantidad de radio
desaparecer al cabo de un ao? Tendrs que cambiar el reloj debido a que se agote
el radio? Sol: 9.99107 g; no.
96
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
17 Un gramo de radio tiene una actividad de 3.71010 Bq. Si la masa atmica del radio es
de 226 u. Calcular:
a) La constante de desintegracin del radio.
b) La vida media de los tomos de radio.
Sol: a) 1.391011 s1; b) 7.191010 s.
18 Se ha medido la actividad de una muestra de madera prehistrica observndose que se
desintegran 90 tomos/hora, cuando en una muestra actual de la misma naturaleza, la
tasa de desintegracin es de 700 tomos/hora. Calcula el tiempo transcurrido desde
que se cort la madera sabiendo que el periodo de semidesintegracin del 14C es de
5590 aos. Sol: 16542 aos.
19 Disponemos de 100 g de 60Co, cuya constante de desintegracin es 2106 s1. Calcular:
a) El tiempo que debe transcurrir para que la cantidad de 60Co se reduzca en 25 g.
b) Determinar la actividad de la muestra.
Dato: mCo = 59.93 u. Sol: a) 6.9105 s; b) 21018 Bq.
20 Se preparan 250 g de una sustancia radiactiva y al cabo de 24 horas se ha desintegrado
el 15 % de la masa original. Se pide:
a) La constante de desintegracin de la sustancia.
b) El periodo de semidesintegracin de la sustancia as como su vida media.
c) La masa que quedar sin desintegracin al cabo de 10 das.
Sol: a) 6.77103 h1; b) 147.7 h, c) 49 g.
21 Una muestra de agua de rio contiene 81018 tomos de tritio por tomo de hidrgeno
ordinario. El tritio se desintegra radiactivamente con un periodo de 12.5 aos.
Calcular la relacin de los tomos de tritio a los de hidrgeno normal 50 aos despus
de haber examinado la muestra original, sabiendo que sta se conserv en un lugar
donde no se podan formar nuevos tomos de tritio. Sol: 51019.
22 Se tiene un mol de un istopo radiactivo cuyo periodo de semidesintegracin es de
100 das. Conteste a las siguientes preguntas:
a) Al cabo de cuanto tiempo quedar solo el 10 % del material inicial?
b) Qu velocidad de desintegracin o actividad tiene la muestra en ese
momento?
Sol: a) 333.7 dias; b) 4.81015 Bq.
23 Para determinar el volumen total de sangre de un enfermo, se le inyecta una pequea
cantidad de una disolucin que contiene 24Na, cuya actividad es de 1500 Bq. Cinco
horas despus se toma una muestra de sangre y su actividad es de 0.2 Bq para 1 cm3 de
muestra. Hallar el volumen de sangre del enfermo. El periodo de semidesintegracin
del 24Na es de 15 horas. Sol: 5.953 L.
24 Calcular la vida media de un tomo de uranio si su periodo de semidesintegracin es
de 4500 millones de aos. Sol: 6.5109 aos.
25 Una cierta cantidad de sustancia radiactiva se reduce a la cuarta parte al cabo de 10
das. Deducir el periodo de semidesintegracin. Sol: 5 das.
97

2 de Bachillerato
Problemas y cuestiones de fsica nuclear de selectividad:

Modelo del 2001:
Cuestin (2 puntos):
Cules son los tipos de radiaciones ms comunes que se producen en una
desintegracin radiactiva? explique la naturaleza de cada una de dichas radiaciones.
Modelo del 2002:
Cuestin (2 puntos):
a) Cmo se define la actividad de una muestra radiactiva?Cual es su unidad en el
Sistema Internacional?
b) El curio es la unidad de actividad definida como la actividad de una muestra de
un gramo de radio. Cul es la relacin entre esta unidad y la del Sistema
Internacional?
Datos: La masa atmica del radio es 226 u. Nmero de Avogadro 6.0221023 mol1
Constante de desintegracin del radio 1.41011 s1
Cuestin (2 puntos):
El istopo 234U tiene un periodo de semidesintegracin (semivida) de 250000 aos. Si
partimos de una muestra de 10 gramos de dicho istopo, determine:
a) La constante de desintegracin radiactiva.
b) La masa que quedar sin desintegrar despus de 50000 aos.
Junio del 2003:
Cuestin (2 puntos):
Se dispone inicialmente de una muestra radiactiva que contiene 51018 tomos de un
istopo de Ra, cuyo periodo de semidesintegracin (semivida) es de 3.64 das.
Calcule:
a) La constante de desintegracin radiactiva del Ra y la radiactividad inicial de la
muestra.
b) El nmero de tomos en la muestra al cabo de 30 das.
Cuestin (2 puntos):
La ley de desintegracin de desintegracin de una sustancia radiactiva es la siguiente:
N = N 0 e 0.003t
donde N representa el nmero de ncleos presentes en la muestra en el instante t.
Sabiendo que t est expresado en das, determine:
a) El periodo de semidesintegracin (o semivida) de la sustancia T1/2.
b) La fraccin de ncleos radiactivos sin desintegrar en el instante t = 5T1/2.
Modelo del 2007:
Una muestra contiene inicialmente 1020 tomos, de los cuales un 20% corresponden a
un material radiactivo con un periodo de semidesintegracin (o semivida) de 13 aos.
Calcule:
a) La constante de desintegracin del material radiactivo.
b) El nmero de tomos radiactivos iniciales y la actividad inicial de la muestra.
c) El nmero de tomos radiactivos al cabo de 50 aos.
d) La actividad de la muestra al cabo de 50 aos.
98
Julin Moreno Mestre

www.juliweb.es
Junio del 2007:
Cuestin (2 puntos):
Una muestra de un material radiactivo posee una actividad de 115 Bq inmediatamente
despus de ser extrada del reactor donde se form. Su actividad 2 horas despus resulta
ser 85.2 Bq.
a) Calcule el perodo de semidesintegracin de la muestra.
b) Cuntos ncleos radiactivos existan inicialmente en la muestra?
Dato: 1 Bq = 1 desintegracin/segundo
Modelo del 2008:
El deuterio es un istopo del hidrgeno de masa atmica igual a 2,0136 u. Su ncleo
est formado por un protn y un neutrn.
a) Indique el nmero atmico (Z) y el nmero msico (A) del deuterio.
b) Calcule el defecto de masa del ncleo de deuterio.
c) Calcule la energa media de enlace (expresada en MeV) por nuclen del
deuterio.
d) Si un in de deuterio es acelerado mediante un campo elctrico, partiendo del
reposo, entre dos puntos con una diferencia de potencial de 2000 V, calcule su
longitud de onda de De Broglie asociada.
Masa del neutrn mn =1.0087 u.
Datos: Masa del protn mp =1.0073 u;
Unidad de masa atmica u = 1.671027 kg
Velocidad de la luz en el vaco c = 3108 m/s
En una muestra de azcar hay 2.11024 tomos de carbono. De stos, uno de cada 1012
tomos corresponden al istopo radiactivo C14 . Como consecuencia de la presencia de
dicho istopo la actividad de la muestra de azcar es de 8.a1 Bq.
a) Calcule el nmero de tomos radiactivos iniciales de la muestra y la constante de
desintegracin radiactiva () del C14 .
b) Cuntos aos han de pasar para que la actividad sea inferior a 0,01Bq?
Nota: 1 Bq = 1 desintegracin/segundo
99

Xuletari Ones

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Xuletari Ones

Cargado por

Información del documento

Descripción original:

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Xuletari Ones

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Chuletarios y ejercicios de fsica

Julin Moreno Mestre

Chuletarios y ejercicios de fsica

Julin Moreno Mestre

Chuletarios y ejercicios de fsica

Julin Moreno Mestre

Chuletario de Oscilaciones Armnicas

x(t ) = c1 cos( t ) + c2 sin( t )

Solucin con amplitud de oscilacin A y desfase :

Por tanto la frecuencia normal, el periodo, la solucin de la ecuacin diferencial y la velocidad:

Relacin entre velocidad y posicin: v (t ) =

Energa potencial: (Calculado con integral de lnea)

Energa mecnica del muelle:

La ecuacin diferencial del oscilador armnico.

Chuletarios y ejercicios de fsica

Una masa de 80 kg oscila con movimiento armnico simple de frecuencia de 2 Hz y

Un muelle sin deformacin cuelga verticalmente y en su extremo se cuelga un cuerpo

Calcule el periodo, para oscilaciones pequeas, de un pndulo simple de 9 m de largo

Al pasar por un bache un coche experimenta oscilaciones de 1 Hz de frecuencia. Si los

Un pndulo de 1 m de longitud se separa 30 de la vertical y se suelta. Llevar un

Julin Moreno Mestre

donde x se mide en metros y t en segundos. Calcula:

Chuletarios y ejercicios de fsica

Problemas y cuestiones de oscilaciones de selectividad:

Julin Moreno Mestre

Chuletarios y ejercicios de fsica

Julin Moreno Mestre

Chuletarios y ejercicios de fsica

Julin Moreno Mestre

Chuletario de ondas y acstica:

Solucin especial para ondas armnicas:

Tambin se puede presentar con funcin coseno

Caractersticas de las ondas armnicas:

Sumndose por el principio de superposicin y algunas reglas de la trigonometra:

El desfase entre dos ondas armnicas superpuestas es: = k ( x2 x1 )

R = 1 + 2 = A sin( t kx) A sin( t + kx) = 2A sin ( t ) sin (kx )

2 Onda reflejada de signo y direccin contrario al de la incidente 1 .

n orden de armnico fundamental

Chuletarios y ejercicios de fsica

vR Velocidad del receptor

+ vR El receptor se aleja del foco emisor.

c velocidad de propagacin de la onda.

Una emisora de radio (Ondas electromagnticas) emite en una frecuencia de 500

Un pescador observa que el corcho de la caa se mueve ligeramente hacia arriba y

Julin Moreno Mestre

Sean las siguientes funciones de dos variables:

La ecuacin de una onda es:

10 La ecuacin de una onda sonora plana es:

Chuletarios y ejercicios de fsica

en unidades del SI. Calcula su longitud de onda, su frecuencia y velocidad de

en unidades del SI. Calcula:

En unidades del SI. Calcula:

Julin Moreno Mestre

Chuletarios y ejercicios de fsica

Problemas y cuestiones de ondas de selectividad:

Julin Moreno Mestre

Chuletarios y ejercicios de fsica

Julin Moreno Mestre

Chuletarios y ejercicios de fsica