FD13 1
FD13 1
FD13 1
E: Describa el tipo de curva que tiene la propiedad de que todas sus rectas normales pasan por
un punto fijo de coordenadas .x0 ; y0 /.
D: H Sea Q.x0 ; y0 / un punto fijo y sea P .x; y/ un punto arbitrario de la curva y D f .x/.
Si T es la recta tangente a la curva y D f .x/ en el punto P .x; y/, entonces su pendiente es
dy
mT D .
dx
1 dx
Si N es la recta normal a la curva en P , su pendiente es: mN D D .
mT dy
Pero N es una recta que pasa por los puntos Q.x0 ; y0 / y P .x; y/, por lo que su pendiente es
y y0
mN D :
x x0
dx y y0
Se debe cumplir entonces que D . Que es una ecuación diferencial de variables
dy x x0
separables:
Z Z
dx y y0
D ) .x x0 /dx D .y y0 /dy ) .y y0 / dy D .x x0 / dx )
dy x x0
y0 / 2
.y .x x0 /2
) D C C ) .y y0 /2 D .x x0 /2 C 2C )
2 2
) .x x0 /2 C .y y0 /2 D C:
y
y D f .x/
Q.x0; y0 /
N1
P .x; y/
N2
N3
x
Las curvas que cumplen la propiedad son las circunferencias con centro en Q.x0 ; y0 /.