Este documento contiene la solución a varios problemas de ingeniería de control. El primer problema involucra determinar el modelo matemático de estado para un sistema mecánico. Los otros problemas involucran determinar la estabilidad de sistemas de control mediante el criterio de Routh y calcular funciones de transferencia y ecuaciones de estado.
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Este documento contiene la solución a varios problemas de ingeniería de control. El primer problema involucra determinar el modelo matemático de estado para un sistema mecánico. Los otros problemas involucran determinar la estabilidad de sistemas de control mediante el criterio de Routh y calcular funciones de transferencia y ecuaciones de estado.
Descripción original:
ING DE CONTROL I
SOLUCIONARIO DE PARCIALES UNAC
MODELOS ESQUEMATICO
Este documento contiene la solución a varios problemas de ingeniería de control. El primer problema involucra determinar el modelo matemático de estado para un sistema mecánico. Los otros problemas involucran determinar la estabilidad de sistemas de control mediante el criterio de Routh y calcular funciones de transferencia y ecuaciones de estado.
Este documento contiene la solución a varios problemas de ingeniería de control. El primer problema involucra determinar el modelo matemático de estado para un sistema mecánico. Los otros problemas involucran determinar la estabilidad de sistemas de control mediante el criterio de Routh y calcular funciones de transferencia y ecuaciones de estado.
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Ingeniera de Control
13/03/2011
Examen Parcial Prob. 01.- Determinar el modelo matemtico empleando variables de estado para modelar el sistema de la figura, para v (t) y x(t). Suponer que el rozamiento por deslizamiento es viscoso
Solucin: La ecuacin integro diferencial es
Al ser un sistema de segundo orden se necesitarn dos variables de estado, por lo que elegimos:
Teniendo en cuenta que
, las ecuaciones del modelo de estado son:
Reemplazando en la ecuacin diferencial, tendremos
(1)
(2) La ecuacin de salida para la distancia es
Por lo que el modelo de espacio de estado es
Prob. 02.- La funcin de transferencia en lazo abierto de un sistema con realimentacin
unitaria viene dada por
Determinar los valores de K que hacen al sistema estable.
Solucin: La funcin de transferencia del sistema en lazo cerrado, teniendo en cuenta que la realimentacin es unitaria, ser:
Para ver qu valores de K hacen estable al sistema aplicamos el criterio de Routh.
Sabemos que la condicin necesaria y suficiente para que un sistema sea estable (para cualquier entrada acotada) es que su ecuacin caracterstica posea todas sus races en el semiplano complejo Re[s] < 0 y el criterio de Routh nos dice que esto es as si todos los coeficientes de la primera columna de la tabla poseen el mismo signo. Veamos si ocurre esto:
Para que el sistema sea estable, los primeros coeficientes de la derecha han de ser todos positivos. Del coeficiente en s2 obtenemos:
Condicin ms restrictiva para K que la dada por el coeficiente en s 3. Del
coeficiente en s resulta, despus de operar: 99K2-5010K-100=0
por simple inspeccin vemos que la raz negativa nos da un valor de K no
interesante puesto que nos hace negativos otros coeficientes. Tambin vemos que la raz positiva nos da un valor un valor aproximado para K de K > 5010/99. As pues, los valores de K que hacen al sistema estable sern los que cumplan:
Prob. 03.- Obtener la funcin de transferencia del sistema representado por el diagrama de flujo adjunto
Solucin: Desarrollando el problema por la frmula de la ganancia, tenemos que las trayectorias directas con sus transmitancias son: M1 = t12.t23.t34.t45.t56 ; M2 = t12.t24.t45.t56 Los lazos: L11 = t23.t32; L21 = t24.t45.t52; L31 = t23.t34.t45.t52; L41 = t55 Los lazos disjuntos (que no se tocan) dos a dos: L12 = t23.t32.t55 No existen lazos disjuntos (que no se tocan) tres a tres o ms. Esto nos da para valor:
Finalmente, tenemos que no hay partes disjuntas para las trayectorias directas; por lo tanto: 1 = 1; 2 = 1 y la funcin de transferencia ser:
Prob. 04.- Sea el sistema descrito por la ecuacin diferencial
Con las condiciones iniciales y(0) = 0 ; y' (0) = 0 . Determinar:
a) La funcin de transferencia del sistema b) Las ecuaciones de estado c) La funcin de transferencia a partir de las ecuaciones de estado Solucin: Para obtener la funcin de transferencia calculamos la transformada de Laplace del sistema ignorando los trminos debidos a condiciones iniciales:
Para obtener las ecuaciones de estado hacemos:
en nuestro caso, aplicando la expresin general:
y el sistema a formar ser:
La funcin de transferencia a partir de las ecuaciones de estado, se obtiene como sigue:
y la expresin coincide con la obtenida al principio
Problema.- Sea el sistema de realimentacin unitaria cuya funcin de transferencia en lazo abierto es:
Calcular: a) los tres primeros coeficientes estticos de error. Solucin Puesto que el sistema tiene realimentacin unitaria tendremos H(s) = 1, y segn las definiciones podremos escribir : Coeficiente esttico de error de posicin
Coeficiente esttico de error de velocidad
Coeficiente esttico de error de aceleracin
Problema.- Sea el sistema (inicialmente en reposo) descrito por la ecuacin diferencial:
Determinar: a) La funcin de transferencia del sistema. b) Las ecuaciones de estado Solucin Para obtener la funcin de transferencia obtenemos la transformada de Laplace de la ecuacin que lo describe, ignorando los trminos debidos a las condiciones iniciales
Para obtener las ecuaciones de estado planteamos el sistema:
con lo que tendremos :
y de ese modo resulta el sistema
Problema.- Determinar los valores de a y de b que hagan estable al sistema:
Las condiciones necesarias y suficientes para que el sistema sea estable son:
Problema.- La ecuacin mostrada es la ecuacin caracterstica de un sistema de
control, determinar si el sistema es estable.
Solucion:
Polinomio auxiliar:
Las races imaginarias puras sern j. Al no existir cambios de signo en la primera
columna, no existirn races con parte real positiva.
