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Ejercicios Resueltos Álgebra Lineal
Ejercicios Resueltos Álgebra Lineal
Ejercicios Resueltos Álgebra Lineal
Ejercicio I
Decida si los siguientes conjuntos son o no una espacio vectorial
Desarrollo
1. El conjunto H+ = (x, y) R2 : y > 0
Es claro que no es espacio vectorial, pues dado (x, y) H+ (1) (x, y) = (x, y)
/ H+ ,
pues y < 0.
Ejercicio II
Sea V el espacio vectorial que se indica en cada caso, sea W V . Decida si W es o no
subespacio de V , argumentando su respuesta.
Leonel Badilla A.
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Desarrollo
1. V = {(x, y, z) : 3x 2y z = 0} , W = {(x, y, z) = ~x(t) : ~x(t) = t(3, 2, 1)}.
2. V = R3 , W = {(x, y, z) : (x, y, z) (1, 2, 3) = 0}.
3. V = C([0, 1], R), W = {f V : f es convexa}.
Ejercicio III
Sea V un espacio vectorial, sean v1 , v2 , . . . , vm vectores en V , demuestre que h{v1 , v2 , . . . , vm }i
es el subespacio ms pequeo que los contiene.
Desarrollo
Sea S un subespacio vectorial que contiene a {v1 , v2 , . . . , vm }, arbitrario.
Sea v h{v1 , v2 , . . . , vm }i, arbitrario. Luego, se tiene que existen a1 , a2 , . . . , am , escalares
tales que
v = a1 v1 + a2 v2 + . . . + am vm .
..
.
..
.
..
.
Leonel Badilla A.
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Ejercicio IV
Dados v = (x0 , y0 , z0 ) y u = (x1 , y1 , z1 ) vectores en R3 . Qu posibles conjuntos pueden ser
h{u, v}i? Cmo tienen que ser los vectores u y v en cada caso?
Desarrollo
Analizaremos los casos segn cmo sean los vectores u y v .
u y v son linealmente independientes: El subespacio generado por los vectores tendr di-
u = v = : El subespacio generado por los vectores tendr dimensin cero, de donde ser
el subespacio trivial {}
Ejercicio V
Dado un subespacio W de un espacio vectorial V y dos puntos u, v W , demuestre que el
punto medio u+v
2 W.
Desarrollo
Por ser W subespacio, se tiene que u + v W . Adems, por la misma razn, si consideramos
1
u+v
2 un escalar, (u + v) W , es decir que 2 W .
Ejercicio VI
En P2 , expresar cada uno de los siguientes polinomios como una combinacin lineal de u1 =
2 + x + 4x2 ; u2 = 1 x + 3x2 y u3 = 3 + 2x + 5x2 .
Desarrollo
(a) 9 7x 15x2 :
Escribimos el vector dado como una combinacin lineal de los vectores dados:
9 7x 15x2 = a(2 + x + 4x2 ) + b(1 x + 3x2 ) + c(3 + 2x + 5x2 )
= (2a + b + 3c) + (a b + 2c)x + (4a + 3b + 5c)x2 ,
Leonel Badilla A.
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Ejercicio VII
Son los polinomios u1 = 2 + x + 4x2 ; u2 = 1 x + 3x2 y u3 = 3 + 2x + 5x2 linealmente
independientes en P2 ? Demuestre su respuesta.
Desarrollo
Del ejercicio anterior, tenemos la combinacin lineal de los vectores, dada por
(2a + b + 3c) + (a b + 2c)x + (4a + 3b + 5c)x2 .
Resolvemos ahora
(2a + b + 3c) + (a b + 2c)x + (4a + 3b + 5c)x2 = 0,
Leonel Badilla A.
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Ejercicio VIII
En cada inciso, determinar si los vectores dados generan o no a R3 .
Desarrollo
(a) v1 = (2, 2, 2), v2 = (0, 0, 3), v3 = (0, 1, 1):
Como tenemos tres vectores, ellos deben ser linealmente independientes para generan todo
R3 . Consideremos la combinacin lineal de los vectores que resulte cero, es decir
a(2, 2, 2) + b(0, 0, 3) + c(0, 1, 1) = (0, 0, 0) (2a, 2a + c, 2a + 3b + c) = (0, 0, 0)
2a = 0 2a + c = 0 2a + 3b + c = 0
a=0b=0c=0
de donde se concluye que los vectores son linealmente independientes, es decir que generan
todo R3 .
(b) v1 = (2, 1, 3), v2 = (4, 1, 2), v3 = (8, 1, 8):
Como tenemos tres vectores, ellos deben ser linealmente independientes para generan todo
R3 . Consideremos la combinacin lineal de los vectores que resulte cero, es decir
a(2, 1, 3) + b(4, 1, 2) + c(8, 1, 8) = (0, 0, 0) (2a + 4b + 8c, a + b c, 3a + 2b + 8c) = (0, 0, 0)
2a + 4b + 8c = 0 a + b c = 0 3a + 2b + 8c = 0
a = 2c b = c c = c, c R
de donde se concluye que los vectores son linealmente dependientes, es decir que no generan
todo R3 .
(c) v1 = (1, 2, 6), v2 = (3, 4, 1), v3 = (1, 4, 1):
Como tenemos tres vectores, ellos deben ser linealmente independientes para generan todo
R3 . Consideremos la combinacin lineal de los vectores que resulte cero, es decir
a(1, 2, 6) + b(3, 4, 1) + c(1, 4, 1) = (0, 0, 0) (a + 3b + c, 2a + 4b + 4c, 6a + b c) = (0, 0, 0)
a + 3b + c = 0 2a + 4b + 4c = 0 6a + b c = 0
a=0b=0c=0
de donde se concluye que los vectores son linealmente independientes, es decir que generan
todo R3 .
Leonel Badilla A.
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Ejercicio IX
Muestre que los vectores (1, 6, 4), (2, 4, 1), (1, 2, 5) generan el mismo espacio que (1, 2, 5), (0, 8, 9).
Desarrollo
Demostraremos la doble inclusin.
Sea v h{(1, 6, 4), (2, 4, 1), (1, 2, 5)}i, es decir que existen escalares a, b, c tales que
v = a(1, 6, 4) + b(2, 4, 1) + c(1, 2, 5). Veamos que existen escalares , tales que v =
(1, 2, 5) + (0, 8, 9), es decir que resolvemos para y la ecuacin
(a + 2b c, 6a + 4b + 2c, 4a b + 5c) = (, 2 + 8, 5 + 9),
De lo anterior, se concluye que los vectores (1, 6, 4), (2, 4, 1), (1, 2, 5) generan el mismo
espacio que (1, 2, 5), (0, 8, 9).
Leonel Badilla A.
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Ejercicio X
Sean v1 = (2, 1, 0, 3), v2 = (3, 1, 5, 2), v3 = (1, 0, 2, 1), Cules de los siguientes vectores
estn en h{v1 , v2 , v3 }i
Desarrollo
Para responder la pregunta, primero consideramos la combinacin lineal de los vectores dados,
es decir
a(2, 1, 0, 3) + b(3, 1, 5, 2) + c(1, 0, 2, 1) = (2a + 3b c, a b, 5b + 2c, 3a + 2b + c).
As, se tiene que si encontramos a, b, c tales que un vector arbitrario v se escribe como v =
av1 + bv2 + cv3 , se concluye que v h{v1 , v2 , v3 }i.
Luego, en cada caso,
(a) (2, 3, 7, 3):
Resolvemos (2a + 3b c, a b, 5b + 2c, 3a + 2b + c) = (2, 3, 7, 3), es decir que debemos
resolver
2a + 3b c = 2
ab = 3
5b + 2c = 7
3a + 2b + c = 3
cuyo sistema no tiene solucin, por lo que el vector no pertenece al espacio generado.
(b) (1, 1, 1, 1):
Resolvemos (2a + 3b c, a b, 5b + 2c, 3a + 2b + c) = (1, 1, 1, 1), es decir que debemos
resolver
2a + 3b c = 1
ab = 1
5b + 2c = 1
3a + 2b + c = 1
cuyo sistema no tiene solucin, por lo que el vector no pertenece al espacio generado.
(c) (4, 6, 13, 4):
Resolvemos (2a + 3b c, a b, 5b + 2c, 3a + 2b + c) = (4, 6, 13, 4), es decir que debemos
resolver
2a + 3b c = 4
ab = 6
5b + 2c = 13
3a + 2b + c = 4
Leonel Badilla A.
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Ejercicio XI
En Rn , dado un subespacio M , denimos el Ortogonal a M como el conjunto
M := {v Rn : v u = 0, u M } .
Desarrollo
Debemos probar dos propiedades:
Sean v = (v1 , v2 , . . . , vn ), w = (w1 , w2 , . . . , wn ) M , entonces probaremos que v + w
M . En efecto, dado u = (u1 , u2 , . . . , un ) M
(v + w) u = (v1 + w1 , v2 + w2 , . . . , vn + wn ) (u1 , u2 , . . . , un )
= (v1 + w1 )u1 + (v2 + w2 )u2 + . . . + (vn + wn )un
= v1 u1 + w1 u1 + v2 u2 + w2 u2 + . . . + vn un + wn un
= (v1 u1 + v2 u2 + . . . + vn un ) + (w1 u1 + w2 u2 + . . . + wn un )
= (v u) + (w u)
= 0
Leonel Badilla A.
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Ejercicio XII
En R3 , demuestre que si M es un plano, entonces M es una recta.
Desarrollo
Dados a, b, c escalares, denimos el plano M
= {(x, y, z) : ax + by + cz = 0}.
Como z = ac x cb y , una base para M es (1, 0, ac ), (0, 1, cb ) . Luego, se tiene que
M = (x, y, z) R3 : (x, y, z) (1, 0, ac ) = 0 (x, y, z) (0, 1, cb ) = 0 ,
Luego,
M
x = ct
= (x, y, z) R3 :
y = cb t , t R ,
z = t
Ejercicio XIII
En R3 , demuestre que si M es una recta, entonces M es un plano.
Desarrollo
Dados a, b, c escalares, denimos la recta
x = at
y = bt , t R .
M = (x, y, z) R3 :
z = ct
o bien que
M = (x, y, z) R3 : ax + by + cz = 0 ,
Leonel Badilla A.
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Ejercicio XIV
Con respecto a los dos ejercicios anteriores, cules son las posibilidades para M si M es
un plano de R4 ?.
En R2 , cules son las posibilidades para M si M es un una recta?
Desarrollo
Como primer punto, notamos que un plano tiene dimensin dos.
Basados en los ejercicios anteriores, las posibilidades que se tienen para M si M es un plano
en R4 puede ser el punto origen (dimensin cero), una recta (tiene dimensin uno) u otro plano
(tiene dimensin dos).
Ahora, si M es una recta en R2 , es decir que tiene dimensin uno, lo que nos queda como
posibilidad para M es otra recta (tiene dimensin uno) u el origen (dimensin cero).
Ejercicio XV
Determinar si los siguientes polinomios generan P2 , p1 (x) = 1x+2x2 , p2 (x) = 3+x, p3 (x) =
5 x + 4x2 , p4 (x) = 2 2x + 2x2 .
Desarrollo
Observamos que los polinomios dados son linealmente dependiente entre ellos. Ms an, de
los cuatro vectores dados slo dos son linealmente independiente. En efecto, se tiene que tiene
que es claro que ap1 (x) + bp2 (x) = 0 a = 0 = b. Adems,
2p1 (x) + p2 (x) = p3 (x)
p1 (x) p2 (x) = p4 (x)
de donde los polinomios linealmente independientes son slo p1 (x) y p2 (x) que no pueden generar
todo P2 , pues dim(P2 ) = 3 6= 2 = dim(h{p1 (x), p2 (x)}i).
Ejercicio XVI
Demuestre que no pueden existir cuatro vectores linealmente independiente en un plano que
pasa por el origen.
Desarrollo
Razonando por contradiccin, supongamos que existen v1 , v2 , v3 , v4 vectores linealmente independientes, que estn
en un plano
= {(x, y, z) : ax + by + cz = 0}.
contenidos
a
b
Por un lado, S = (1, 0, c ), (0, 1, c ) es una base del plano dado.
Como los vectores dados son linealmente independientes, dim(h{v1 , v2 , v3 , v4 }i = 4, pero la
dim(hSi) = 2 y {v1 , v2 , v3 , v4 } hSi, lo que es una contradiccin, la que proviene de suponer
Leonel Badilla A.
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que existen cuatro vectores linealmente independiente contenidos en un plano que pasa por el
origen.
Ejercicio XVII
Encontrar una base de los siguientes espacios vectoriales.
Desarrollo
1. h{(1, 1, 1), (1, 2, 3), (8, 3, 1), (2, 4, 5)}i.
2. h{(2, 1), (3, 3), (1, 1), (2, 6)}i.
3. h x + 2x2 , 5x2 x, x, x2 , x3 x2 i.
Ejercicio XVIII
Determine si los vectores v1 = (1, 2, 3), v2 = (5, 6, 1) y v3 = (3, 2, 1) forman un conjunto
linealmente independiente.
Desarrollo
Sea la combinacin lineal de los vectores dando el vector nulo, es decir
a(1, 2, 3) + b(5, 6, 1) + c(3, 2, 1) = (0, 0, 0) (a + 5b + 3c, 2a + 6b + 2c, 3a b + c) = (0, 0, 0)
a + 5b + 3c = 0 2a + 6b + 2c = 0 3a b + c = 0
a = 2c = b c = c, c R
de donde se concluye que los vectores son linealmente dependientes, pues por ejemplo
(1, 2, 3) (5, 6, 1) + 2(3, 2, 1) = (0, 0, 0).
Ejercicio XIX
Si V = C([0, 1], R), denimos el producto interno de f y g como
f g := int10 f (t)g(t)dt.
1, si i = j
0, si i 6= j
Leonel Badilla A.
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Desarrollo
Dados a1 , a2 , . . . , an escalares, sea la combinacin lineal de los vectores dando cero, es decir
a1 f1 + a2 f2 + . . . + an fn = 0.
lo que es vlido para todo j {1, 2 . . . , n}, es decir j = 0 j {1, 2 . . . , n}. As, se concluye
que el conjunto {f1 , f2 , . . . , fn } es linealmente independiente.
Ejercicio XX
Determine si el vector (4, 3, 5) se puede escribir como combinacin lineal de (1, 0, 4) y
(2, 1, 1).
Desarrollo
Debemos vericar si existen a, b escalares tales que
a(1, 0, 4) + b(2, 1, 1) = (4, 3, 5) (a + 2b, b, 4a + b) = (4, 3, 5),
sistema que tiene como solucin a = 2, b = 3, por lo que el vector dado es escribe como
(4, 3, 5) = 2(1, 0, 4) + 3(2, 1, 1).
Ejercicio XXI
Para qu valores de son linealmente dependiente los vectores (1, 2, 3), (2, 1, 4), (3, , 4)?
Desarrollo
Los vectores sern linealmente dependientes si la matriz formada por los vectores dados como
las tiene rango menor que 3. As, escalonamos la matriz A formada por los vectores como las.
Luego,
1 2 3
1 2
2 1 0 2
3 4 4
0 0
3
5
540
2
Leonel Badilla A.
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Luego, si 540
= 0 = 8 el rango de la matriz es menor que tres, es decir que si = 8,
2
los vectores son linealmente dependientes.
Ejercicio XXII
Sean {v1 , v2 , . . . , vn } un conjunto linealmente independiente. Demostrar que
{v1 , v1 + v2 , v1 + v2 + v3 . . . , v1 + . . . + vn }
Desarrollo
Dados a1 , a2 , . . . , an escalares, sea la combinacin lineal de los vectores dando cero, es decir
a1 v1 + a2 (v1 + v2 ) + a3 (v1 + v2 + v3 ) + . . . + an (v1 + . . . + vn ) = 0.
..
.
..
.
..
.
an = 0
Ejercicio XXIII
En C([0, 1], R) demuestre que la funciones y1 (x) = sin (x) e y2 (x) = cos (x) son linealmente
independiente
Desarrollo
Dados a, b escalares, consideramos la combinacin lineal dando cero, es decir a sin (x) +
b cos (x) = 0. Como la igualdad anterior es vlida para x [0, 1], en particular si evaluamos
en x = 0, se tiene que a sin (0) + b cos (0) = 0 a = 0. Ahora, para x = 1, se tiene que
b cos (1) = 0 b = 0. Luego, se tiene que a = b = 0, es decir que los vectores y1 (x), y2 (x) son
linealmente independientes.
Leonel Badilla A.
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Ejercicio XXIV
Sea A una matriz de n n, con coeciente en un cuerpo F . Pruebe que sus las son un
conjunto linealmente independiente en V = F n si y slo si sus las forman un conjunto de
vectores linealmente independiente en V .
Desarrollo
Sea A una matriz de n n, con coeciente en un cuerpo F dada por
A= .
..
..
..
..
.
.
.
an1 an2 . . . ann
Si agrupamos obtenemos
(1 a11 + . . . n an1 )v1 + . . . + (1 a1n + . . . n ann )vn = ,
Leonel Badilla A.
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..
.
..
.
..
.
Si multiplicamos la ecuacin i por vi , para todo i {1, 2, . . . , n}, y sumamos todas la ecuaciones obtenemos
(1 a11 + . . . + n an1 )v1 + . . . + (1 a1n + . . . + n ann )vn = ,
Ejercicio XXV
Considere las bases B1 = {(1, 1), (1, 1)} , B2 = {(2, 1), (3, 2)} y B3 = {(1, 2), (1, 2)}.
Calcule las matrices de cambio [T ]BB21 , [T ]BB32 y [T ]BB13 . Compruebe que
B2
B3
3
[T ]B
B2 [T ]B1 = [T ]B1
Desarrollo
Para encontrar la matriz de cambio de la base B1 a la base B2 , escribimos los vectores de la
base B1 como combinacin lineal de los vectores de la base B2 . As,
Para (1, 1):
Dados a11 , a21 escalares, sea la combinacin lineal (1, 1) = a11 (2, 1) + a21 (3, 2), que
genera el sistema de ecuaciones
2a11 + 3a21 = 1
a11 2a21 = 1
Leonel Badilla A.
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=
5 1
3 1
.
=
43
54
1
2
.
Leonel Badilla A.
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lgebra Lineal
=
34
14
14
34
.
=
34
45
1
2
5 1
3 1
=
34
41
14
34
3
= [T ]B
B1
Ejercicio XXVI
En R2 sea B = {(1, 1), (2, 3)} y sea [(x, y)]B = (2, 1), escriba (x, y) en trminos de la base
cannica.
Desarrollo
Buscamos la matriz de cambio de base desde B a la base cannica Bc = {(1, 0), (0, 1)}.
Para ello, escribimos los vectores de la base antigua como combinacin lineal de los vectores
de la base nueva.
Para (1, 1):
Dados a11 , a21 escalares, sea la combinacin lineal (1, 1) = a11 (1, 0) + a21 (0, 1), que tiene
como nica solucin a11 = 1 y a21 = 1.
Para (2, 3):
Dados a12 , a22 escalares, sea la combinacin lineal (2, 3) = a12 (1, 0) + a22 (0, 1), que tiene
como nica solucin a12 = 2 y a22 = 3.
Luego, la matriz de cambio de base es
c
[T ]B
B
As,
[(x, y)]Bc =
=
1 2
1 3
1 2
1 3
2
1
.
=
0
1
,
es decir que el vector (x, y) escrito en la base cannica es (x, y) = 0(1, 0) 1(0, 1) = (0, 1).
Leonel Badilla A.
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Ejercicio XXVII
Considere H R3 dado por la ecuacin x + y + z = 0.
Desarrollo
(a) Encuentre dos bases diferentes para este espacio
Encontramos una base despejando x = y z , de donde (x, y, z) = (y z, y, z) =
y(1, 1, 0) + z(1, 0, 1), de donde la base queda B1 = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.
Encontramos otra base diferente despejando z = x y , de donde (x, y, z) = (x, y, x
y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1), de donde la base queda B2 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}.
(b) Calcule la matriz de cambio de base entre las bases que encontr en la parte (a).
Para la matriz de cambio de base [T ]BB21 , escribimos los vectores de la B1 como combinacin
lineal de los vectores de B2 .
Para (1, 1, 0):
Dados a11 , a21 escalares, sea la combinacin lineal (1, 1, 0) = a11 (1, 0, 1)+a21 (0, 1, 1),
que tiene como nica solucin a11 = 1 y a21 = 1.
Para (1, 0, 1):
Dados a12 , a22 escalares, sea la combinacin lineal (1, 0, 1) = a12 (1, 0, 1)+a22 (0, 1, 1),
que tiene como nica solucin a12 = 1 y a22 = 0.
Luego, la matriz de cambio de base es
2
[T ]B
B1
=
1 1
1
0
.
Ejercicio XXVIII
En el espacio vectorial V = P2 (R) sea B = 1 x, 3x, x2 x 1 una base
Desarrollo
(a) Sea [x]B = (2, 1, 3), Qu polinomio es x?
El polinomio es p(x) = 2(1 x) + 3x + 3(x2 x 1) = 1 2x + 3x2 .
(b) Si B2 = 3 2x, 1 + x, x + x2 , encuentre [T ]BB2
Para la matriz de cambio de base [T ]BB2 , escribimos los vectores de la B como combinacin
lineal de los vectores de B2 .
Para 1 x:
Dados a11 , a21 , a31 escalares, sea la combinacin lineal
1x = a11 (32x)+a21 (1+x)+a31 (x+x2 ) = (3a11 +a21 )+(2a11 +a21 +a31 )x+a31 x2 ,
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2
1
[T ]B
B1 =
5
0
35
9
5
1
5
58 .
1
2
5
[x]B2 = 15
0
53
1
5
4
2
5
,
58 1 = 17
5
1
3
3
9
5
17
5 (1
+ x) + 3(x + x2 ) = 1 2x + 3x2 .
Leonel Badilla A.
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Ejercicio XXIX
En R3 considere las bases B1 = {(3, 0, 0), (1, 2, 1), (0, 1, 5)} y B2 = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}.
Escriba [x]B1 = (2, 1, 4) en trminos de la base B2 .
Desarrollo
Buscamos la matriz de cambio de base [T ]BB21 . Para ello, escribimos los vectores de la B1 como
combinacin lineal de los vectores de B2 .
Para (3, 0, 0):
Dados a11 , a21 , a31 escalares, sea la combinacin lineal
(3, 0, 0) = a11 (1, 1, 0) + a21 (0, 1, 1) + a31 (1, 0, 1),
Leonel Badilla A.
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21
[T ]B
B1 =
3
2
3
2
3
2
0 3
2 2 .
1 3
Ahora,se tiene que el vector dado escrito en trminos de la base B2 est dado por
[x]B2 =
3
2
3
2
3
2
2
9
0 3
2 2 1 = 3 .
1 3
4
16
Ejercicio XXX
En R3 consideremos los vectores u = (1, 2, 3), v = (3, 2, 1) y w = (3, 2, 7). Encuentre
, R tales que w = u + v . Cuntas soluciones tiene este problema?.
Desarrollo
Dados , R, hacemos la combinacin lineal
(3, 2, 7) = (1, 2, 3) + (3, 2, 1),
Ejercicio XXXI
Sean W1 , W2 subespacios de V , con V un espacio vectorial de dimensin nita. Suponga que
W1 W2 = {}. En este caso, decimos que W1 + W2 es la suma directa de W1 y W2 . Adems,
anotamos W1 W2 , en vez de W1 + W2 . Pruebe que V = W1 W2 si y slo si todo elemento
v V se escribe de modo nico como v = w1 + w2 , con w1 W1 y w2 W2 .
Desarrollo
Supongamos en primer lugar que la suma es directa, es decir W1 W2 = {}. Veamos que
entonces la descomposicin es nica. Sea v W1 +W2 . Si v = w1 +w2 = w10 +w20 , con w1 , w10 W1
y w2 , w20 W2 , entonces w1 w10 = w2 w20 W1 W2 , de donde w1 w10 = w2 w20 = , es
decir que w1 = w10 y w2 = w20 .
Ahora supongamos que la descomposicin es nica y veamos que la suma es directa. Hay que
comprobar que W1 W2 = {}. Sea v W1 W2 , ste puede descomponerse como v = v + ,
con v W1 y W2 , y tambin puede descomponerse como v = + v , con W1 y v W2 .
Por la unicidad de la descomposicin, deducimos que v = .
Leonel Badilla A.
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Ejercicio XXXII
Sean u1 = (0, 1, 2), v1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 0, 3), v2 (2, 1, 0). Sean W1 := h{u1 , v1 }i y
W2 := h{u2 , v2 }i.
Desarrollo
(a) Encuentre los escalares a1 , b1 , c1 y a2 , b2 , c2 tales que
W1 = {(x, y, z) : a1 x + b1 y + c1 z = 0}
W2 = {(x, y, z) : a2 x + b2 y + c2 z = 0}
que tiene como solucin a1 = 3c1 y b1 = 2c1 que tiene innitas soluciones. Considerando
una de ellas, con c1 = 1, obtengo que a1 = 3 y b1 = 2.
Anlogamente, se tiene que en particular, u2 W2 , de donde a2 + 3c2 = 0, y v2 W2 ,
de donde 2a2 b2 = 0. As, se obtiene el sistema
a2 + 3c2 = 0
2a2 b2 = 0
que tiene como solucin b2 = 6c2 y a2 = 3c2 que tiene innitas soluciones. Considerando
una de ellas, con c2 = 1, obtengo que a2 = 3 y b2 = 6.
(b) Muestre que u2
/ W1 y que W1 + W2 = R3 , sin embargo no se tiene que W1 W2 = R3 .
Para ver que u2
/ W1 , basta vericar que u2 no satisface la ecuacin del plano de W1 , es
decir 3 (1) + 1 3 = 6 6= 0. Adems, armamos que {u1 , v1 , u2 } es un conjunto linealmente
independiente. En efecto, dados a, b, c escalares, formamos la combinacin lineal nula de los
vectores a(0, 1, 2) + b(1, 1, 1) + c(1, 0, 3) = (0, 0, 0), que genera el sistema
bc = 0
a+b = 0
2a + b + 3c = 0
Leonel Badilla A.
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Ejercicio XXXIII
Para todo subespacio vectorial V de Rn , pruebe que existe un subespacio vectorial G de Rn
tal que Rn = V G.
Desarrollo
Recordamos que Rn es un espacio vectorial donde se dene el producto interior, dado por
uv =
n
X
i=1
Ejercicio XXXIV
Sean S = {v1 , v2 , . . . , vn }, con vj V , donde V es un espacio vectorial de dimensin m n.
Suponga que S tiene la propiedad:
(L)
Desarrollo
(a) Puede ser S un conjunto linealmente dependiente? D ejemplos.
S puede ser. Por ejemplo, consideramos V = R4 y S = {(1, 2, 3, 0), (1, 0, 1, 1), (0, 2, 4, 1)}
Es claro que S cumple la propiedad (L), y adems es un conjunto linealmente dependiente,
pues (0, 2, 4, 1) = (1, 2, 3, 0) + (1, 0, 1, 1).
(b) Puede ser S un conjunto linealmente independiente? D ejemplos.
S puede ser. Por ejemplo, consideramos V = R3 y S = {(1, 2, 3), (1, 0, 1)} Es claro que
S cumple la propiedad (L),y adems es un conjunto linealmente independiente.
Leonel Badilla A.
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(c) En qu caso se puede asegurar que la propiedad (L) garantiza que el conjunto que la
posee es linealmente independiente.
La propiedad (L) garantiza que el conjunto S es linealmente independiente slo cuando S
posee dos elementos.
Ejercicio XXXV
Considere R como espacio vectorial sobre Q. Pruebe que la dimensin de este espacio es
innita.
Desarrollo
Sea A = {log(p) | p primo} R. El conjunto A es innito porque lo es el conjunto de los
nmeros primos y logaritmo es una funcin inyectiva.
Veamos que es linealmente independiente. Sean p1 , . . . , pn primos distintos. Supongamos que
existe una combinacin lineal
c1 log(p1 ) + + cn log(pn ) = 0 con ci Q.
Podemos suponer que los coecientes ci son enteros multiplicando por el mnimo comn
denominador.
La expresin anterior, usando las propiedades de los logaritmos, es
log(pc11 pcnn ) = 0.
Ejercicio XXXVI
Sea V = C3 y sea B = {(2i, 1, 0), (2, 1, 1), (0, 1 + i, 1 i)}
Desarrollo
(a) Pruebe que B es base de V .
Consideremos la combinacin lineal de los vectores dando cero, es decir dados a, b, c F
a(2i, 1, 0) + b(2, 1, 1) + c(0, 1 + i, 1 i) = (0, 0, 0),
Leonel Badilla A.
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2 2i
1
.
2i
3
1
4 + 4i
Ejercicio XXXVII
Sea U = {(1, 0, i), (1 + i, 1 i, 1), (i, i, i)}. Pruebe que U es base de C3 y encuentre la matriz
de cambio de base de U a B (del ejercicio anterior).
Desarrollo
Consideremos la combinacin lineal de los vectores dando cero, es decir dados a, b, c F
a(1, 0, i)+b(1+i, 1i, 1)+c(i, i, i) = (0, 0, 0) (a+b(1+i)+ci, (1i)b+ci, ai+b+ci) = (0, 0, 0),
Leonel Badilla A.
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26
3
2
12 i, a23 = 12 i, a33 = 34 + 54 i.
+ i) (1 + i) 32 21 i
1 1i 1 + 3i 1 i .
[T ]B
U =
2
2
2
2
3
14 43 i
34 + 54 i
2
1
2 (1
Leonel Badilla A.
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Ejercicio XXXVIII
Dada la matriz
1
i
0
i
0
1 .
0 1+i 1i
Encuentre una matriz P , de modo que P A sea escalonada y reducida por las.
Desarrollo
Debemos aplicar operaciones elementales por las, las que detallamos a continuacin:
1
i
0
i
0
1
0 1+i 1i
1
i
0
E +iE1
0 1
1
2
0 1+i 1i
1
i
0
(1)E2
0
1
1
0 1+i 1i
1 i 0
E3 +(1i)E2
0 1 1
0 0 2
1
i
0
1
2 E3
0 1 1
0 0 1
1 i 0
E2 +E3
0 1 0
0 0 1
1 0 0
E1 +(i)E2
0 1 0
0 0 1
As, construimos la matriz P que reeja todas las operaciones elementales por las realizadas,
obteniendo:
1+i
1 + i i
P = 21 1 i 1 + i 1
1 + i 1 + i
1