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    Taller Parcial 3

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    Daniela Arango Vásquez
    Este documento presenta una serie de ejercicios sobre transformaciones lineales. En los ejercicios 1-10, se pide determinar si ciertas afirmaciones sobre transformaciones lineales son verdaderas o falsas. En los ejercicios 11-17, se pide determinar si ciertas funciones entre espacios vectoriales son transformaciones lineales y, de serlo, calcular su núcleo, imagen, rango y nulidad. Finalmente, los ejercicios 18-36 contienen preguntas sobre diferentes tipos de transformaciones lineales como isometrías y transformaciones her

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    Daniela Arango Vásquez
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    Este documento presenta una serie de ejercicios sobre transformaciones lineales. En los ejercicios 1-10, se pide determinar si ciertas afirmaciones sobre transformaciones lineales son verdaderas o falsas. En los ejercicios 11-17, se pide determinar si ciertas funciones entre espacios vectoriales son transformaciones lineales y, de serlo, calcular su núcleo, imagen, rango y nulidad. Finalmente, los ejercicios 18-36 contienen preguntas sobre diferentes tipos de transformaciones lineales como isometrías y transformaciones her

    Descripción original:

    taller de lineal

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    Este documento presenta una serie de ejercicios sobre transformaciones lineales. En los ejercicios 1-10, se pide determinar si ciertas afirmaciones sobre transformaciones lineales son verdaderas o falsas. En los ejercicios 11-17, se pide determinar si ciertas funciones entre espacios vectoriales son transformaciones lineales y, de serlo, calcular su núcleo, imagen, rango y nulidad. Finalmente, los ejercicios 18-36 contienen preguntas sobre diferentes tipos de transformaciones lineales como isometrías y transformaciones her

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    Este documento presenta una serie de ejercicios sobre transformaciones lineales. En los ejercicios 1-10, se pide determinar si ciertas afirmaciones sobre transformaciones lineales son verdaderas o falsas. En los ejercicios 11-17, se pide determinar si ciertas funciones entre espacios vectoriales son transformaciones lineales y, de serlo, calcular su núcleo, imagen, rango y nulidad. Finalmente, los ejercicios 18-36 contienen preguntas sobre diferentes tipos de transformaciones lineales como isometrías y transformaciones her

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    de 3

    Universidad de Antioquia

    Facultad de Ciencias Exactas y Naturales


    Instituto de Matematicas
    Algebra Lineal
    Prof. Luz Stella Botero Ramrez
    Taller No. 3
    Transformaciones Lineales
    27 de noviembre de 2014
    En cada una de las afirmaciones de la 110 coloque V o F seg
    un la considere verdadera
    o falsa. Recuerde que todas deben ser justificadas:
    1. Si T es una transformaci
    on lineal, entonces T (3~x) = 3T (~x).
    2. Si T es una transofrmaci
    on lineal, entonces T (~x + ~y ) = t(~x) + T (~y ).
    3. Si T es una transformaci
    on lineal, entonces T (~x~y ) = T ~xT ~y .
    4. Si A es una matriz de m n, entonces T ~x = A~x es una transformacion lineal de Rn
    en Rm .
    5. Si T es una transformaci
    on lineal de V en W , entonces la imagen de T es W .
    6. Si T : Rn Rm es una transformacion lineal, es posible encontrar un isomorfismo.
    7. Si T es 1,1, entonces nu T {~0}.
    8. Si T : R2 R2 es una isometra, entonces T

     
     
    1
    5
    es ortogonal a T
    5
    1

    9. Si T : Rn Rn es un isomorfismo, entonces T es una isometra.


    10. Si T : Rn Rn es una isometra, entonces T es un isomorfismo.

    En los ejercicios 11-17 determine si la transformacion de V en W dada es lineal, si


    lo es encuentre n
    ucleo, imagen, rango y nulidad de dicha transformacion.
       

    x
    x
    x1
    2
    2
    11. T : R R ; T
    =
    x2
    y
    0

    13. T : Rn R; T . = x1 +x2 + +xn
    ..
    xn

    x
     

    y
    = xz
      
    
    14. T : R4 R2 ; T
    z
    x
    x+y
    yw
    12. T : R2 R2 ; T
    =
    y
    xy
    w
    15. T : Mmn Mmn ; T (A) = AB, donde B es una matriz fija de n p.

    16. T : Dn Dn ; T (D) = D2 (Dn es el conjunto de matrices diagonales de n n).


    17. T : C[0, 1] C[0, 1]; T f (x) = f (x) + 1
    18. Encuentre todas las transformaciones lineales de R2 en R2 que llevan a la recta
    y = ax a la recta y = bx.
    19. Encuentre una transformacion lineal T de R3 R3 tal que
    nuT = {(x, y, z) : 2x y + z = o}.
    20. Encuentre una transformacion lineal T de R2 R3 tal que
    imagen T = {(x, y, z) : 2x y + z = 0}.
    21. Sea H un subespacio de V donde dim H = k y dim V = n. Sea U el subconjunto
    de L(V, V ) que tiene la propiedad de que si T U ), entonces T ~h = ~0 para todo
    ~h H.
    a) Demuestre que U es un subespacio de L(V, V ).
    b) Encuentre dim.

    En los ejercicios 22-27 encuentre la representacion matricial AT de la transformacion


    lineal T , nu T , imagen T , (T ) y (T ). Recuerde que si no se especifican bases,
    debe usar las can
    onicas.

     
    x+y
    x
    22. T : R2 R3 ; T
    = xy
    y
    2x + 3y

    x
    x y + 2z
    23. T : R3 R3 ; T y = 3x + y + 4z
    z
    5x y + 8z

    
    
    x
    2x + y + z
    24. T : R3 R2 ; T y =
    y 3z
    z
    ( 1 1 1 )
    B1 = 0 , 1 , 1 ;
    1
    0
    1

    B2

      
    1
    2
    ,
    1
    3

    25. T : P3 P1 ; T (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) = (a1 + a3 )x a2


    
     
    
    a b
    a b + 2c + d
    a + 2c + 2d
    26. T : M22 M22 ; T
    =
    c d
    a 2b + 5c + 4d 2a b + c d
    27. D : P4 P2 : Dp(x) = p(x)
    28. Muestre que T : Mmn Mmn definida por T A = At es un isomorfismo.

    29. Encuentre un isomorfismo entre Dn , las matrices diagonales de n n con elementos


    reales y Rn . (Analice primero el caso n = 2.
    30. Muestre que el conjunto de matrices simetricas de n n es isomorfo al conjunto de
    matrices triangulares superiores de n n.
    31. Muestre que para cualquier n
    umero real , la transformacion T : R3 R3 definida
    por T ~x = A~x, donde

    sin
    cos 0
    A = cos sin 0
    0
    0
    1
    es una isometra
    32. Muestre que para cualquier n
    umero real ,
    por T ~x = A~x, donde

    cos
    sin
    A=
    0
    sin

    la transformacion T : R3 R3 definida
    0

    1
    0

    0
    cos

    es una isometra
    33. Encuentre una isometra entre P1 [1, 1] y R2 .
    34. Encuentre una isometra entre M22 y P3 [1, 1].
    35. La matriz compleja A de n n se llama hermitiana si A = A. Muestre que la
    matriz
    
    
    4
    3 2i
    A=
    3 + 2i
    6
    es hermitiana.
    36. Muestre que si A es hermitiana, entonces las componentes de la diagonal de A son
    reales.

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