Primera parte

Matemtica borrosa, tcnicas y operadores

Teora de los subconjuntos borrosos
Subconjunto borroso conjunto borroso
A. Kaufmann emplea el trmino Subconjunto borroso contra Conjunto
borroso ya que siendo el referencial siempre un conjunto vulgar, es decir tal y como
se define intuitivamente en matemticas modernas, o sea una coleccin de objetos
bien especificados y bien distintos, el subconjunto borroso es subconjunto de este
referencial.
Hay investigadores que prefieren utilizar la palabra Difusos por Borrosos
aunque en castellano se haya asentado ya el trmino borroso.

Subconjuntos borrosos: definiciones, conceptos y operaciones

De la nocin de pertenencia vulgar al concepto

Recordemos que existen dos maneras para definir si un elemento pertenece o
no a un conjunto:
Sea E un conjunto
Sea A un subconjunto de E
A E
Si un elemento x de E pertenece a A se escribe comnmente
x

Se puede utilizar para definir esta pertenencia el concepto de funcin

caracterstica A (x) cuyo valor indica si x pertenece o no a A:
A (x) = 1 si x A
A (x) = 0 si x A
Por ejemplo, sea E = { x1, x2, x3, x4, x5,}
Sea A = { x2, x3, x5,}
La funcin caracterstica se escribe:

A = { (x1, 0), (x2, 1), (x3, 1), (x4, 0), (x5, 1)}
Se puede utilizar la anotacin siguiente:
El referencial E se escribe:
x1

X2

X3

X4

X5

E =

A =

En el caso de un referencial no finito y continuo como

un subconjunto de

sera entonces representado por:

A(x)
1

Recordemos las propiedades del lgebra binaria de Boole:

Sea A el complementario de A en relacin a E

A A=

A U A=

Si x A, x A

AB (x) = A . B (x)
AUB (x) = A (x) B (x)
lo que define el producto y la suma booleanos:

(.)

A. Kaufmann introduce de la siguiente manera el concepto de subconjunto

borroso:
A

[0, 1]

10

Imaginemos que la funcin caracterstica descrita anteriormente pueda tener

valores en el intervalo [0,1]. Un elemento de A podra no pertenecer a A (A = 0),
pertenecer un poco a A (A cercano a 0), pertenecer bastante a A (ni demasiado
cercano a 0 ni demasiado cercano a 1) o pertenecer a A (A = 1). Nace pues el
concepto de nmero borroso, introducido por Zadeh, y que en este ejemplo de
Kaufmann puede tomar como funcin caracterstica:
A = { (x1 0,2), (x2 0), (x3 0,3), (x4 1), (x5 0,8) }

A=

Anotando

x1

X2

x3

x4

X5

0.2

0.3

0.8

donde x1 es un elemento del referencial E y el nmero colocado despus de la barra es

el valor de la funcin caracterstica de este elemento. Este concepto matemtico es
denominado subconjunto borroso y anotado:

A E

A E
~

Se podra utilizar inclusive:

x

A
~

0.2

, y

A
~

A
~

11

donde 1 equivale a y 0 equivale a

As, pues, un subconjunto borroso puede tener un poco de x1, un poco ms de
x3, x4 en entero y gran parte de x5.
Vase a continuacin una representacin grfica de un subconjunto borroso tal
y como lo suele representar Kaufmann.

1 A (x)

Representacin grfica de un subconjunto borroso

Despus de esta definicin de Kaufmann indiquemos la definicin original de

Zadeh, expuesta por primera vez en 19651:
Sea E un conjunto denombrable o no y x un elemento de E entonces un
subconjunto borroso A de E es un conjunto de pares del tipo
~

{ (x A (x) }, x E

12

donde A (x) es el grado de pertenencia de a en A . As, si A (x) toma los

~

valores en un conjunto M llamado conjunto de pertenencia, se puede decir que x

toma sus valores en M por la funcin A (x), o sea:
~

A
~

Esta funcin es tambin llamada funcin de pertenencia. El profesor

Kaufmann, con el fin de considerar las funciones booleanas como casos particulares
de estas funciones de pertenencia, ha modificado la definicin anterior por:
Sea E un conjunto denombrable o no y x un elemento de E. Entonces un
subconjunto borroso A de E es un conjunto de pares.
~

{ A (x) }, x E,
~

donde A (x) es una funcin caracterstica de pertenencia que toma sus valores
~

en un conjunto totalmente ordenado M que indica el grado o nivel de

pertenencia. M se denomina conjunto de pertenencia.
Si M = {(0,1)} el subconjunto borroso A se vuelve subconjunto no borroso
o subconjunto vulgar. Las funciones A (x) son entonces funciones binarias
booleanas.

13

Operaciones
Inclusin
Sea E un conjunto y N su conjunto asociado de pertenencia, sean A y B dos
~

subconjuntos borrosos de E; se dir que A est incluido en B si:

~

x E, A (x) B (x)
~

Se escribir que:

A B
~

Y, si es necesario para impedir confusin, aade Kaufmann:

A B
~

lo que indicar bien que se trata de inclusin en el sentido de la teora de los

subconjuntos borrosos.
La inclusin estricta se anota:

A B
~

o bien

A B
~

14

Igualdad
Sea E un conjunto, M su conjunto asociado de pertenencia, y A y B dos
~

subconjuntos borrosos de E. Se dice de A y B que son iguales si:

~

x E, A (x) = B (x)
y se anotar:

A = B
~

Si al menos un x de E es tal que la igualdad A (x) = B (x) no se satisface

entonces se dice que A y B son desigualdades y se escribe
~

A B
~

Complementacin
Sea E un conjunto y M = [0,1] su conjunto asociado de pertenencia, y A y
~

B dos subconjuntos borrosos de E, se dice de A y B que son complementarios si:

~

x E, B (x) = 1 - A (x)
~

15

lo que se anota B = A o bien A = B

~

y se tiene

A= A
~

Interseccin
Sea E un conjunto, M = [0,1] su conjunto asociado de pertenencia, sean A y
~

B dos subconjuntos borrosos de E, se define la interseccin:

~

A B
~

Por el mayor subconjunto borroso contenido a la vez en A y en B , es decir:

~

x E, A B (x) = Min ( A (x), B (x) )

~

16

Se describe:

A B (x) = A (x) B (x) donde es el mnimo, en una notacin ms propia

~

de la teora de los subconjuntos borrosos.

17

Se puede escribir asimismo

x E, x A y x B
~

x A B
~

A B

Kaufmann introduce aqu la anotacin y , es decir, y borrosa y expone el

~

siguiente ejemplo:
Sea A el subconjunto borroso de los reales muy vecinos de 5 y B el subconjunto
~

borroso de los reales muy vecinos de 10 entonces A

~

es el subconjunto

borroso de los reales muy vecinos de 5 y de 10.

Ejemplo:
Sea

A =

.3

.7

.4

.5

.8

B =

.2

.9

.4

.5

.2

.2

.4

.4

.5

Entonces A B =

18

Unin
Sea E un conjunto, M = [0,1] su conjunto asociado de pertenencia, A y B
~

dos subconjuntos de E, se define la unin:

A U B
~

Por el ms pequeo subconjunto borroso que contiene A y que contiene B es

~

decir:
x E, AB (x) = Max (A (x), B (x) )
~

Se describe AB (x) = ( A (x) V B (x) donde V es el mximo, en una

~

anotacin ms propia de los subconjuntos borrosos.

Tambin se puede escribir:
x E, x A
~

A
~

y/o x B
~

B
~

x A U B
~

AB
~

lo que permite introducir el y/o borroso escrito simblicamente y/o

19

Ejemplo: con los mismos datos del ejemplo anterior, se obtiene:

A U B =
~

.3

.7

.9

.5

.2

.8

Suma Disyuntiva
Se define la suma disyuntiva de los subconjuntos borrosos a partir de la unin
y de la interseccin de la siguiente manera:

A
~

B = (A B) U (A B)
~

Esta operacin corresponde al o disyuntivo borroso y se escribe o

~

Diferencia
Se define la diferencia por la relacin

A - B = A B
~

20

Distancia
Kaufmann presenta 4 distancias utilizables comnmente, dependiendo su
eleccin del tipo de problema estudiado2 :

Distancia de hamming generalizable a distancia linear

d A ,B =

i=1

( A (X i )

B (X i ))

Distancia euclidiana o distancia cuadrtica

( )

e A,B =
~

i=1

A (X i ) B (X i )
~

Entonces tambin e2 ( A , B ) se denomina norma euclidiana:

~

( )

e A,B =
~

n
i=1

A (x i ) B (x i )
~

Distancia de Hamming generalizada relativa

( ) d (An, B ) = n1

A, B =
~

n
i =1

A (x i ) B (x i )
~

21

Distancia relativa euclidiana

( )=
(A , B ) =
n
d A,B
~

1
A (x i ) B (x i )
~
n i=1 ~

lgebra de subconjuntos borrosos con y U

Los subconjuntos borrosos forman un retculo distributivo no complementado,
tambin llamado retculo vectorial, para las T-normas y T-conormas y U.
De hecho, el lgebra de los subconjuntos borrosos es exactamente la misma
que la de los subconjuntos ordinarios, y difiere en que el principio de tercio excluso
no se verifica.

A A
~

A U A E
~

menos cuando A es un subconjunto ordinario del lgebra de Boole..

~

Las dems propiedades s se verifican y se resumen de la siguiente manera:

A B= B A
~

A U B = B U A
~

Conmutativa

22

( A B ) C = A (B C )
~

( A U B ) U C = A U ( B U C ) Asociativa
~

A A = A
~

A U A = A Indempotencia
~

A (B U C ) = ( A B ) U ( A C )
~

A U ( B C ) = ( A U B ) ( A U C ) Distributiva
~

A = donde es la parte vulgar tal que xi E, (xi ) = 0

~

A U = A
~

A E = A donde E es la parte vulgar tal que xi E, E (xi ) = 1 o sea el

~

referencial

A U E = E
~

A = A Involucin
~

A B= A U B
~

23

A B=
~

A B
~

Teorema de De Morgan en el caso de los subconjuntos

borrosos.

Producto y suma algebraica de dos subconjuntos

Sea E un conjunto y M = [0, 1] su conjunto asociado de pertenencia. Sean A
~

y B dos subconjuntos borrosos de E. Se define el producto algebraico de A

~

B anotado A . B por:
~

x E, A . B (x) = A (x) . B (x)

~

De la misma manera se define la suma algebraica de estos dos subconjuntos

borrosos anotada A + B por:

~

24

 x E, A + B (x) = A (x) + B (x) - A (x) . B (x)

~

Es de notar que si M = {0, 1} es decir, que nos encontramos en un caso de

subconjuntos vulgares, entonces:

A B = A .B
A U B = + B
En efecto, en este caso las tablas son equivalentes (slo en este caso).

Min

Es equivalente a

(.)

25

Max

Es equivalente a

( + )

Contrariamente a las T normas y T conormas y U no se pone en presencia

una lgebra con un retculo vectorial y slo se confirman las propiedades siguientes:

A .B = B .A
~

A + B = B + A
~

Conmutatividad

( A . B ) . C = A . (B . C )
~

( A + B ) + C = A + ( B + C ) Asociatividad
~

A . =
~

A + = A
~

A . E = A
~

26

A +E = E
~

(A) = A
~

Involucin

A .B = A + B
~

Teorema de De Morgan para las operaciones (.) y

.

A +B = A . B
~

( + ) sobre subconjuntos borrrosos

No se verifican como en el lgebra de Boole y precedentemente con y U

en los subconjuntos borrosos, las propiedades ligadas al principio de tercio excluso.
Tampoco se verifican las propiedades de idempotencia ni las de distributividad.

T-normas / T-conormas
Con los subconjuntos borrosos se pueden utilizar una infinidad de pares de
operadores de base adems de y U llamados T-normas y T-conormas.
Kaufmann (*) indica como ejemplos:

27

T (1, 2 ) = 1 . 2
(1, 2 ) = 1 + 2 - 1 . 2

T-norma

T-conorma

o sea el producto (.) y suma algebraica ( + ) tal como se ha visto anteriormente.

T ( 1 , 2 ) =
(1 , 2 ) =

1 . 2
1 + 1 . 2

1. 2
1 + 1 . 2

T (1, 2 ) = 0 (1 + 2 - 1)
(1, 2 ) = 1 (1 + 2 )

ndice de borrosidad
Kaufmann considera, entre otros, dos ndices de borrosidad: el ndice lineal
de borrosidad definido a partir de la distancia de Hamming generalizada relativa y el
ndice cuadrtico de borrosidad definido a partir de la distancia euclidiana relativa.
Se les designar respectivamente por ( A ) y ( A ).
~

28

()

A =
~

()

A =
~

2
.d ( A , A )
~
n
~

2
.e ( A , A )
~
n
~

Siendo A el subconjunto vulgar ms vecino del subconjunto borroso A .

~

Recordemos que un subconjunto vulgar ms vecino de un subconjunto borroso se

define por:

A (x i ) = 0 si A (xi ) < 0,5

~

A (x i ) = 1 si A (xi ) > 0,5

~

A (x i ) = 0 o bien 1 si A (xi ) = 0,5

~

Veamos un ejemplo:

Sea A =
~

Entonces A =
~

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

0.2

0.8

0.5

0.3

0.9

0.4

29

( )

A =
~

2
2
d A,A =
~
~
n
n

8
i=1

A (X i ) A (X i )
~

2
( 0 .2 + 0 .2 + 0 .5 + 0 .3 + 0 + 0 + 0 .1 + 0 .4 ) = 0 .425
8
Kaufmann demuestra que ( A ) = ( A ) es decir, que un subconjunto
~

borroso y su complementario tienen el mismo ndice de borrosidad.

Es posible definir un ndice de borrosidad similar al anterior en base al
producto:
n

4
n

A . A (x i )
~

i= 1

Ejemplo:

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

0.7

0.2

0.9

0.4

Entonces A =

0.3

0.8

0.1

0.6

Y A . A =

.21

.16

.09

.24

Sea A =
~

30

()

A =
~

4
(0.21 + 0.16 + 009 + 0 + 0 + 0 .24 + 0 ) = 0.40
7

Nmeros borrosos

Definicin de un nmero borroso como un caso particular de un

subconjunto borroso
Existen varias maneras de definir un nmero borroso. Hecha anteriormente la
presentacin de lo que es un subconjunto borroso, una de las maneras de definir un
nmero borroso es interpretndolo como un caso particular de subconjunto borroso,
convexo y normal.
Por ejemplo, el subconjunto borroso A es un nmero borroso

A =

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

.1

.3

.5

.2

.1

Y se representa de la siguiente manera:

31

Xi
Nmero borroso como caso particular de un subconjunto borroso

Definicin de un nmero borroso como una secuencia de intervalos de

confianza
Se puede definir un nmero borroso como una secuencia finita o infinita de
intervalos de confianza, tal como la definen por ejemplo Gil Aluja y Kaufmann en

Tcnicas Operativas de Gestin para el Tratamiento de la Incertidumbre (1987),

obra que goza de un interesantsimo prlogo de Raymond Barre.
Se afecta a cada intervalo de confianza un valor [0,1] de tal manera que
dos intervalos de confianza diferentes no pueden tener el mismo valor . Este valor
se llama nivel de presuncin. Se designa por A = [a1() x a2() ] el intervalo de
confianza de nivel , se debe cumplir: ( < )

(A A), , [0,1], es

decir, que los intervalos de confianza deben encajarse, estrictamente o no, los unos
con los otros.
Existe un intervalo y uno solo que puede reducirse a un real nico.

32

As pues, A es una aplicacin funcional en

Un nmero borroso presentado de esta manera se puede considerar como una
generalizacin del concepto de intervalo de confianza. Es una familia de intervalos
que satisfacen los tres puntos enunciados anteriormente.

La figura siguiente representa un nmero borroso y uno de sus -cortes.

x R
Nmero borroso y uno de sus - cortes

33

Considerando cortes cada 1 decimal (se puede tomar tantos cortes como
sea necesario), se representa a continuacin un nmero borroso tomando 11 cortes.

34

-3

-2

-1

0.2

0.7

0.8

0.8

0.5

0.1

A =

35

Definicin de un nmero borroso mediante m(x) para cualquier x de R

Otra manera de definir un nmero borroso es mediante la designacin de
(x), funcin que asigna a cada valor x de 3 su valor caracterstico.
Gil Aluja y Kaufmann lo presentan de la siguiente manera:
Hay que dar la funcin 1 (x) a la izquierda y 2 (x) a la derecha tomando un
x tal que:
1 (x) = 2 (x) = 1
Tomando su mismo ejemplo tenemos pues:
1

x1 = 4-1

x2 = -3 + 6

x
-1

6
Nmero borroso mediante designacin de u(x)

36

La funcin (x) es:

(x) = 0,

x -1

x+1
, 1 x 3
4

x+6
,3 x 6
3

= 0 , 6 x
Se obtiene el intervalo de confianza de nivel tomando la funcin inversa de
a la izquierda y a la derecha:
a = {a1 (x), a2 (x) } = { 4 - 1, -3 +6 )
Las dos ltimas maneras de representar un nmero borroso son equivalentes.

37

Nmero borroso triangular

Los nmeros borrosos triangulares son aquellos cuyas funciones son
lineales. As pues un nmero borroso triangular, en abreviacin NBT, queda
perfectamente representado por 3 nmeros a1, a2, a3, y se puede anotar:
A = ( a1, a2, a3, ) a1

a1

, a2

, a3

a1 a2 a3

a2

a3

Xi

Numero borroso triangular

38

Nmero borroso trapezoidal

Idnticamente a los NBT se definen los nmeros borrosos trapezoidales:
4

A = (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 )a 1 a 2 a 3 a 4 , a i R
i=1

Y se representa de la siguiente manera:

u
1

Xi

a1

a2

a3

a4

Nmero borroso trapezoidal

La utilizacin de nmeros borrosos trapezoidales puede resultar en la prctica

ms til que la de los nmeros borrosos triangulares a la hora de hacer combinaciones
y operaciones entre los mismos.

39

Subconjuntos -borrosos e intervalos de confianza

Subconjuntos -borrosos / Definiciones

Definicin de A. Kaufmann
El concepto de subconjunto -borroso fue introducido por Sambuc en su tesis
de medicina Application au diagnostic en pathologie tyroidienne, (Facultad de
Medicina de Marsella, 1975). Kaufmann3 define muy sencillamente este concepto de
la siguiente manera:
En la nocin de subconjunto borroso la funcin de pertenencia toma sus
valores en [0,1]. Entonces imaginemos que esta funcin de pertenencia tome sus
valores en los segmentos de [0,1] o sea:

A (x ) = (A1) (A2 ) (x )
~

( 0 ,1)

Se dice entonces que A es un subconjunto -borroso del referencial.

~

40

Definicin original de Sambuc

Sambuc define un subconjunto -borroso como un L-fuzzy-Set en el sentido de
Gohen4, es decir, un subconjunto borroso con valores en un retculo. Entonces A,
subconjunto -borroso en E se define por un conjunto de parejas tal que:
A = { x, A (x)}, x E
donde A es una aplicacin que toma sus valores en el retculo F. F es el conjunto de
intervalos de la forma [a1 , a2] incluidos en el intervalo [0,1]
Sambuc define sobre F una relacin de orden .:
Sea A = [a1 , a2] y B = [b1 , b2], dos elementos de F, A B si a1 b1 y a2
b2, donde es la relacin de orden total usual sobre [0,1].

Define una interseccin y una reunin donde y corresponden al mnimo

y al mximo de dos reales.

Verifica la conmutatividad, asociatividad, idempotencia, distributividad e

involucin.
En definitiva, F es un retculo distributivo para la relacin de orden .
Adems el retculo posee un elemento nulo [0, 0] que es neutro para y un

elemento universal [1, 1] neutro para .

41

Propiedades de los intervalos de confianza en R.

La base de los subconjuntos -borroso radica en los intervalos de confianza.
Recordemos sus propiedades, partiendo de la definicin de Gil Aluja y Kaufmann5,
quien los define como un subconjunto de

A = [a1 , a2 ], a1 a2,

definido como:

a1 , a2

cerrado a la izquierda y cerrado a la derecha.

Las propiedades de los intervalos en

son:

Igualdad
(a1 = b1 y a2 = b2 ) ( [a1 , a2] = [b1 , b2] )

Suma

a1 , b1 , a2 , b2

[ a1 , a2 ] (+) [ b1 , b2 ] = [ a1 + b1 , a2 + b2 ]

Sustraccin

42

a1 , a2 , ba , b2

[ a1 , a2 ] (-) [ b1 , b2 ] = [ a1 - b2 , a2 - b1 ]

El complemento de A se escribe A- y A- = [ -a2 , -a1 ] para A = [ a1 , a2 ]

A= [a,a] = a

La operacin (+) en los intervalos de confianza es conmutativa, asociativa y posee

un neutro pero no forma un grupo dado que:
A (+) A- = 0 (excepto si A se reduce a un real)

Multiplicacin en

y a1 , a2 , b1 , b2

[a1 , a2 ] (.) [b1 , b2 ] = [a1 . b1 , a2 . b2 ]

Multiplicacin en

[a1 , a2 ] (.) [b1 , b2 ] = [ Min (a1 . b1 , a1 . b2 , a2 . b2 , a2 . b2 ),

Max (a1 . b1 , a1 . b2 , a2 . b1 , a2 . b2 ) ]

La inversa de un intervalo de confianza A se escribe A-1

43

En

A 1 =

+:

1 1
,
a 2 a1

a1, a2 < 0
a1, a2 > 0, o bien, y de manera general

En

+:

A 1 = Min

1 1
1 1
,
, Max
,
,
a2 a1
a2 a1

A (.) A-1 1 excepto si A se reduce a un real.

Divisin
Se considera la divisin de A por B como la multiplicacin de A por B-1 es decir:
A (:) B = A (.) B-1

Multiplicacin por un real

A = [ a1 , a2 ],

a1 , a2

Entonces K.A = [ Min (K.a1, K.a2 ), Max (K.a1, K.a2 ) ]

Divisin por un real

Se establece

K1 =

1
K

Comparacin de dos intervalos de confianza

44

No forman un orden total sino un orden parcial.

Las operaciones y para el Mnimo y el Mximo tienen las propiedades de un

retculo distributivo.

Propiedades algebraicas de los subconjuntos -borrosos

Estas propiedades son las de los intervalos de confianza en [0, 1]:

Sea [a1 , a2 ] y [b1 , b2 ]
Con 0 a1 a2 1 y 0 b1 b2 1, entonces
* [a1 , a2 ]

() [b1 , b2 ] = [a1 b1 ,

a2 b2 ]

* [a1 , a2 ]

() [b1 , b2 ] = [a1 b1 ,

a2 b2 ]

* [a1 , a2 ] = [1 - a2 , 1 - a1 ]
* [a1 , a2 ]

(+) [b1 , b2 ] = [a1 + b1 , a2 + b2 ] si a2 + b2 1

* [a1 , a2 ]

(-) [b1 , b2 ] = [a1 - b2 , a2 b1] si 0 a1 - b2 a2 b1 1

* [a1 , a2 ]

(.) [b1 , b2 ] = [a1 . b1 , a2 . b2 ]

* [a1 , a2 ]

(:) [b1 , b2 ] = [a1 / b2 , a2 / b1 ] si a2 / b1 1

45

Para los intervalos de confianza existen varios tipos de inclusin:

-

Inclusin ensemblista:
( [a1 , a2 ] [b1 , b2 ] [a1 b1 , a2 b2 ]
E

Inclusin de intervalos:
( [a1 , a2 ] [b1 , b2 ] [a1 b1 , a2 b2 ]

Sambuc la denomina -inclusin y pone

x E, A (x) = [a1 , a2 ]
B (x) = [b1 , b2 ] , a2 b1 A B
s

Casos particulares:
a = [ a, a ] ; 0 = [ 0, 0 ] ; 1 = [ 1, 1 ]
Los intervalos de confianza en [ 0. 1 ] no forman un orden total, por ejemplo
[ .3, .6 ] y [ .4, .5 ] no son comparables y forman un retculo distributivo no
complementado, as como los subconjuntos -borrosos.

46

Ejemplo

A =

[ .1, .3 ]

[ .5, .6 ]

[ 0., .3 ]

[ .2, .3 ]

B =

[ 0 , .2 ]

[.1, .5 ]

[ .2, .8 ]

A( )B =

[ .1, .3 ]

[.5, .6 ]

[ 0, .2 ]

[ .2, .3 ]

A( )B =

[ 0, .3 ]

[ .1, .5 ]

[ .2, .8 ]

47

La siguiente figura representa un subconjunto -borroso

1
2
1

x R

Subconjunto -borroso

48

Subconjunto aleatorio borroso

Definicin
Se atribuyen a R. Feron y a K. Hirota las teoras de los subconjuntos aleatorios
borrosos (Probabilistic sets); al primero, por su escrito Ensembles alatoires flous
de 1976, de la Academia de Ciencias de Pars y al segundo por Concept of
probabilistic sets en la revista Fuzzy Sets and Systems, de 1981, siendo esta revista la
ms importante publicacin para los estudios de los Fuzzy Sets.

Base de lo que se determinar ms adelante como Expertones, mxima

aportacin del Profesor Kaufmann en el campo del estudio que nos concierne en este
caso, la teora de los subconjuntos aleatorios borrosos tambin es sencillamente
explicitada por este profesor. Por ello escogemos su propia definicin con el fin de no
mezclar distintas definiciones, siendo el expertn la ltima finalidad del estudio.
Consideremos un referencial E, finito
Consideremos un subconjunto borroso A de E.
~

Supongamos que la funcin de pertenencia A (x) sea una variable aleatoria

que toma sus valores en [0, 1] y cuya densidad F ( A (x) ) = existe para cada x de
~

E.

49

Se dice que A es un subconjunto aleatorio borroso o subconjunto a funcin

~

de pertenencia aleatoria.
Un subconjunto aleatorio borroso se anotar A .
~

Ejemplo
Veamos un mismo ejemplo de Kaufmann6
Sea un referencial E = ( a, b, c, d, e, f ) y para simplificar leyes de
probabilidad en (0, .1, .2, .3, .4, .5, .6, .7, .8, .9, 1).

50

La tabla siguiente da un ejemplo de subconjunto aleatorio borroso:

a

pr ( a)

pr ( b)

pr ( c)

pr ( d)

pr ( e)

pr ( f)

.2

.5

.4

.1

.1

.2

.2

.1

.1

.2

.3

.1

.1

.4

.4

.0

.1

.2

.4

.5

.2

.1

.1

.6

.3

.7

.1

.1

.2

.8

.1

.1

.9

.1

.3

.1

.1

Grficamente se puede representar un subconjunto aleatorio borroso de la

manera siguiente, con la densidad de probabilidad F ( (x)):

51


1
B
A

xR
Subconjunto aleatorio borroso

Caractersticas
Un subconjunto borroso es un caso particular de un subconjunto aleatorio
borroso.
El subconjunto borroso

A =

.3

.2

.3

.8

Corresponde al subconjunto aleatorio borroso:

52

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.9
1

Un subconjunto ordinario es un caso particular de un subconjunto aleatorio

borroso:
El subconjunto ordinario B

B =

Corresponde al subconjunto aleatorio borroso

53

.1

1.

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.9

Representacin de :
0

.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1

54

Representacin de E:
A

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.9

Funciones acumulativas complementarias

La funcin acumulativa complementaria se define por:

F ( = ) =

F ( = ) =

pr ( )

u=

F ( e ), dl
e =

55

Los subconjuntos aleatorios borrosos contribuidos a partir de leyes de

probabilidad de las cuales se obtienen las leyes acumulativas complementarias tienen
la propiedad de monotona.
Ejemplo:
Para el A definido anteriormente
~

tenemos la funcin acumulativa

complementaria A :
~

F ( a)

F ( b)

F ( c)

F ( d)

F ( e)

F ( f)

.1

.8

.5

.6

.2

.7

.8

.5

.6

.3

.9

.6

.6

.5

.6

.4

.9

.5

.5

.5

.6

.5

.5

.5

.4

.3

.2

.6

.3

.5

.3

.2

.2

.7

.3

.2

.3

.2

.2

.8

.3

.1

.3

.1

.9

.3

.1

.2

.3

.1

.1

56

Operaciones con los subconjuntos aleatorios borrosos

Tal y como lo explicita el profesor Gil Aluja7 con los subconjuntos aleatorios
borrosos se pueden utilizar las mismas operaciones que con los subconjuntos
borrosos, basta con hacer las operaciones nivel por nivel, ya que cada nivel
proporciona un subconjunto borroso. Asimismo se pueden realizar las operaciones
probabilsticas columna por columna
Se opera con las funciones acumulativas complementarias definidas
anteriormente:

Operaciones con los operadores probabilsticos (.) y ( + ).

a

.1

.6

.4

.8

.9

.6

.8

.36

.2

.6

.5

.4

.9

.8

.9

.6

.9

.40

.36

.3

.6

.5

.4

.9

.7

.9

.6

.9

.35

.36

.4

.6

.8

.4

.2

.9

.8

.1

.7

.54

.64

.04

.14

.5

.6

.8

.4

.2

.9

.8

.1

.7

.56

.64

.04

.14

.6

.6

.7

.4

.2

.8

.7

.7

.48

.49

.14

.7

.6

.7

.3

.1

.7

.7

.6

.42

.49

.06

.8

.4

.3

.1

.7

.7

.6

.28

.06

.9

.1

.1

.1

.6

.4

.4

.04

.04

.1

.6

.4

.04

.1

.6

.4

.8

.9

.94

.2

.6

.5

.4

.9

.8

.9

.90

.94

.3

.6

.5

.4

.9

.7

.9

.85

.94

(.)

57

.4

.6

.8

.4

.2

.9

.8

.1

.7

.5

.6

.8

.4

.2

.9

.8

.1

.7

.6

.6

.7

.4

.2

.8

.7

.7

.6

.7

.3

.1

.7

.7

.8

.4

.3

.1

.7

.9

.1

.1

.1

.1

(+ )

.96

.96

.46

.76

.96

.96

.46

.76

.7

.92

.91

.4

.76

.6

.88

.91

.3

.64

.7

.6

.7

.82

.3

.64

.6

.4

.4

.6

.46

.1

.46

.6

.4

.6

.46

Operaciones con ( ) y (V)

0

.1

.6

.4

.8

.9

.6

.8

.4

.2

.6

.5

.4

.9

.8

.9

.6

.9

.5

.4

.3

.6

.5

.4

.9

.7

.9

.6

.9

.5

.4

.4

.6

.8

.4

.2

.9

.8

.1

.7

.6

.8

.1

.2

.5

.6

.8

.4

.2

.9

.8

.1

.7

.6

.8

.1

.2

.6

.6

.7

.4

.2

.8

.7

.7

.6

.7

.2

.7

.6

.7

.3

.1

.7

.7

.6

.6

.7

.1

.8

.4

.3

.1

.7

.7

.6

.4

.1

.9

.1

.1

.1

.6

.4

.4

.1

.1

.1

.6

.4

.1

( )

58

.1

.6

.4

.8

.9

.9

.2

.6

.5

.4

.9

.8

.9

.8

.9

.3

.6

.5

.4

.9

.7

.9

.7

.9

.4

.6

.8

.4

.2

.9

.8

.1

.7

.9

.8

.4

.7

.5

.6

.8

.4

.2

.9

.8

.1

.7

.9

.8

.4

.7

.6

.6

.7

.4

.2

.8

.7

.7

.8

.7

.4

.7

.7

.6

.7

.3

.1

.7

.7

.6

.7

.7

.3

.6

.8

.4

.3

.1

.7

.7

.6

.7

.7

.3

.6

.9

.1

.1

.1

.6

.4

.4

.6

.4

.1

.4

.1

.6

.4

.6

.4

(V)

Complementario de un subconjunto borroso

.1

.6

.4

.8

.9

.2

.6

.5

.4

.9

.8

.9

.3

.6

.5

.4

.9

.7

.9

.4

.6

.8

.4

.2

.9

.8

.1

.7

.5

.6

.8

.4

.2

.9

.8

.1

.7

.6

.6

.7

.4

.2

.8

.7

.7

.7

.6

.7

.3

.1

.7

.7

.6

.8

.4

.3

.1

.7

.7

.6

.9

.1

.1

.1

.6

.4

.4

.1

.6

.4

59

De la misma manera, las propiedades son las mismas que para los
subconjuntos borrosos, es decir, que los subconjuntos aleatorios borrosos conforman
un retculo distributivo con los operadores ( ) y (), es decir que se cumplen:
F1 () F2 () = F2 () F1 ()
F1 () F2 () = F2 () F1 () Conmutativa
F1 () ( F2 () F3 () ) = ( F1 () F2 () ) F3 ()
F1 () ( F2 () F3 () ) = ( F1 () F2 () ) F3 () Asociativa
F1 () F1 () = F1 ()
F1 () F1 () = F1 () Idempotencia
F1 () F2 () F3 () = ( F1 () F2 () ) ( F1 () F3 () )
F1 () F2 () F3 () = ( F1 () F2 () ) ( F1 () F3 () ) Distributiva
F1 () F(0) () = F(0) ()
F1 () F(0) () = F1 ()
F1 () F(1) () = F1 ()
F1 () F(0) () = F(1) ()

60

F1 () = F1 () Involucin
F1 () F2 () = F1 () F2 ()
F1 () F2 () = F1 () F2 () Teorema de De Morgan

Este retculo distributivo es no complementario:

F1 () F1 () F(0) ()
F1 () F1 () F(1) ()

61

Complementario de un subconjunto aleatorio borroso

De acuerdo con Gil Aluja y Kaufman, en su trabajo Tcnicas operativas de

gestin para el tratamiento de la incertidumbre, si Fx es la funcin acumulativa del

subconjunto aleatorio borroso para x, el complementario vendr dado por:

( )

x E , Fx =

pr x (1 z )

z=

62

Es decir para:

A
~

.1

.6

.4

.2

.6

.5

.4

.3

.6

.5

.4

.4

.6

.8

.4

.2

.5

.6

.8

.4

.2

.6

.6

.7

.4

.2

.7

.6

.7

.3

.1

.8

.4

.3

.1

.9

.1

.1

.1

.1

63

.1

.9

.2

.9

.9

.9

.3

.6

.7

.9

.4

.4

.3

.7

.9

.5

.4

.3

.6

.8

.6

.4

.2

.6

.8

.7

.4

.2

.6

.8

.8

.4

.5

.6

.9

.4

.5

.6

.4

.6

64

Se indica a continuacin un mtodo para buscar el complemento, por ejemplo

para la columna del criterio a:

.1

.6

.4

.1

.2

.6

.9

.4

.2

.3

.6

.8

.4

.3

.4

.6

.7

.4

.4

.4

.5

.6

.6

.4

.5

.4

.6

.6

.5

.4

.6

.4

.7

.6

.4

.4

.7

.4

.8

.3

.8

.4

.9

.2

.9

.4

.1

.4

Giro

65

Esperanza matemtica de un subconjunto aleatorio borroso

A
~

.1

.6

.4

.2

.6

.5

.4

.3

.6

.5

.4

.4

.6

.8

.4

.2

.5

.6

.8

.4

.2

.6

.6

.7

.4

.2

.7

.6

.7

.3

.1

.8

.4

.3

.1

.9

.1

.1

.1

.1

La esperanza matemtica se obtiene por columna calculando la media de las

valuaciones es decir:
Criterio a: (.6 + .6 + .6 + .6 + .6 + .6 + .6 + 0 + 0 + 0) / 10 = .42
Criterio b: (1 + 1 + 1 + .8 + .8 + .7 + .7 + .4 + .1 + .1) / 10 = .66
Criterio c: (1 + .5 + .5 + .4 + .4 + .4 + .3 + .3 + .1 + 0) / 10 = .39
Criterio d: (.4 + .4 + .4 + .2 + .2 + .2 + .1 + .1 + .1 + 0) / 10 = .21
La esperanza matemtica es el subconjunto borroso:
(A) =
~

.42

.66

.39

.21

66

Expertones

Elaboracin de un subconjunto aleatorio borroso a travs de la opinin de

expertos
Sea un grupo de ocho expertos a los que se requiere una valuacin en [0, 1]
sobre cuatro propiedades Pa, Pb, Pc, Pd, con un sistema endecadario.
La opinin de cada experto se lee como un subconjunto borroso:
Pa

Pb

Pc

Pd

.3

.2

.1

.6

.4

.2

.2

.7

.1

.3

.1

.6

.3

.1

.1

.6

.4

.2

.7

.4

.3

.5

.3

.2

.3

.2

.1

.1

Experto
No.

Cada estimacin individual de los expertos es un subconjunto borroso por los

que se les podra haber denominado:

A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6, A 7, A 8
~

67

Se toma la estadstica correspondiente, es decir que se procede a denombrar en

cuantos casos ha sido estimado el valor 0, el valor .1 y as sucesivamente hasta el
valor 1.
Pa

Pb

Pc

Pd

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.9

En cada columna verificamos que efectivamente el total de casos es 8. Se

establecen pues, a este nivel, las probabilidades de cada caso, dividiendo cada
elemento por ocho en esta simulacin, lo que nos lleva a la matriz:

68

Pa

Pb

Pc

Pd

.500

.1

.125

.250

.500

.2

.250

.125

.375

.3

.250

.250

.125

.125

.4

.375

.5

.125

.6

.375

.7

.250

.8

.9

Se puede verificar que la suma de cada columna es 1. A este nivel se procede

al establecimiento de las probabilidades acumuladas complementarias.

69

Pa

Pb

Pc

Pd

.1

.500

.2

.875

.250

.500

.3

.625

.125

.125

.4

.750

.375

.5

.750

.6

.625

.7

.250

.8

.9

Acabamos de construir un subconjunto aleatorio borroso a partir de la opinin

de 8 expertos, en ingls probabilistic set.

Concepto de expertn
El concepto de expertn ha sido creado por Kaufmann y radica en dos
elementos. El primero es el subconjunto aleatorio borroso, desarrollado a su base
tanto por Feron como por Hirota. El segundo es el intervalo de confianza, estudiado
por Moore con la aportacin relevante en el mbito que nos interesa hecha por
Sambuc referente a los subconjuntos -borrosos. As pues de la fusin de estas dos
lneas de investigacin nace naturalmente el expertn, o sea un subconjunto aleatorio
borroso, fruto de la fusin de expertos, pero con opiniones expresadas con intervalos,

70

de la misma manera con la que Sambuc traduce la opinin de un solo experto por un
conjunto borroso con intervalos, es decir, un subconjunto -borroso.
As, pues, se pide a los expertos valuaciones en [0, 1] por ejemplo con un
sistema endecadario, y tal como lo hemos visto anteriormente se realiza un
subconjunto aleatorio borroso, pero esta vez con intervalos de confianza. Se le
denomina expertn.
Se pueden hacer con los expertos todas las operaciones que se hacen con los
subconjuntos borrosos, los intervalos de confianza y los subconjuntos aleatorios
borrosos.
De hecho, un subconjunto aleatorio borroso es un caso particular de expertn
en el que el lmite inferior y el lmite superior se confunden en la opinin de los
expertos.

Ejemplo de expertn

Sea la opinin de 10 expertos sobre 4 propiedades:

71

Experto No.

Pa

Pb

Pc

Pd

[.1, .2]

[.6, .8]

[.3, .5]

[0, .4]

[.5, .5]

[.2, .2]

[.8, .9]

[.3, .4]

[.2, .3]

[.3, .4]

[.9, .1]

[.4, .5]

[.3, .4]

[.1, .1]

[.8, .9]

[.2, .4]

[.1, .3]

[0, .2]

[.7, .8]

[.1, .2]

[0, .4]

[.1, .3]

[.6, .1]

[0, .3]

[.1, .5]

[0., 1]

[0, 1]

[0, 1]

[0, 1]

[.1, .2]

[.8, .8]

[.3, .4]

[.1, .3]

10

[.1, .2]

[.8, .9]

[0, .3]

[.1, .5]

Recordemos que [0. 1] significa la imprecisin completa. El experto no puede

pronunciarse. [.5, .5] significa ni verdadero, ni falso. Tal como lo describe Kaufmann
es un verdadero cdigo de verdad que se establece entre los expertos y el colector de
conocimientos.

La estadstica nos da la tabla siguiente:

72

Pa

Pb

Pc

Pd

[4 ,

2]

[1 , 0]

[3 ,

0]

[3 ,

0]

.1

[5 ,

1]

[0 , 0]

[1 ,

0]

[4 ,

0]

.2

[0 ,

4]

[0 , 0]

[1 ,

1]

[2 ,

1]

.3

[1 ,

1]

[0 , 0]

[3 ,

2]

[1 ,

3]

.4

[0 ,

1]

[0 , 0]

[1 ,

3]

[0 ,

3]

.5

[0 ,

0]

[0 , 0]

[1 ,

3]

[0 ,

2]

.6

[0 ,

0]

[2 , 0]

[0 ,

0]

[0 ,

0]

.7

[0 ,

0]

[1 , 0]

[0 ,

0]

[0 ,

0]

.8

[0 ,

0]

[4 , 3]

[0 ,

0]

[0 ,

0]

.9

[0 ,

0]

[1 , 3]

[0 ,

0]

[0 ,

0]

[0 ,

1]

[1 , 4]

[0 ,

1]

[0 ,

1]

73

Y, en consecuencia, la estadstica siguiente. En este caso se ve facilitada por el

hecho de que haya 10 expertos:
Pa

Pb

Pc

Pd

[.4 ,

.2]

[.1 , 0]

[.3 ,

0]

[.3 ,

0]

.1

.[5 ,

.1]

[0 ,

0]

[.1 ,

0]

[.4 ,

0]

.2

[0 ,

.4]

[0 ,

0] [.1 , .1]

[.2 ,

.1]

.3

[.1 ,

.1]

[0 ,

0]

[.3 , .2]

[.1 ,

.3]

.4

[0 ,

.1]

[0 ,

0]

[.1 , .3]

[0 ,

.3]

.5

[0 ,

0]

[0 ,

0]

[.1 , .3]

[0 ,

.2]

.6

[0 ,

0]

[.2 , 0]

[0 ,

0]

[0 ,

0]

.7

[0 ,

0]

[.1 , 0]

[0 ,

0]

[0 ,

0]

.8

[0 ,

0]

[.4 , .3]

[0 ,

0]

[0 ,

0]

.9

[0 ,

0]

[.1 , .3]

[0 ,

0]

[0 ,

0]

[0 ,

.1]

[.1 , .4]

[0 ,

.1]

[0 ,

.1]

74

Y las probabilidades acumuladas complementarias, empezando siempre por el

nivel 1 en la parte baja de la matriz:

Pa

Pb
1]

[1 ,

Pc

Pd

[1 ,

1]

[1 ,

1]

[1 ,

1]

.1

[.6 , .8] [.9 , 1]

[.7 ,

1]

[.7 ,

1]

.2

[.1 , .7] [.9 , 1]

[.6 ,

1]

[.3 ,

1]

.3

[.1

.3] [.9 , 1]

[.5 , .9]

[.1 ,

.9]

.4

[0 ,

.2] [.9 , 1]

[.2 , .7]

[0 ,

.6]

.5

[0 ,

.1] [.9 , 1]

[.1 , .4]

[0 ,

.3]

.6

[0 ,

.1] [.9 , 1]

[0 ,

.1]

[0 ,

.1]

.7

[0 ,

.1] [.7 , 1]

[0 ,

.1]

[0 ,

.1]

.8

[0 ,

.1] [.6 , 1]

[0 ,

.1]

[0 ,

.1]

.9

[0 ,

.1] [.2 , .7]

[0 ,

.1]

[0 ,

.1]

[0 ,

.1] [.1 , .4]

[0 ,

.1]

[0 ,

.1]

75

Y finalmente se obtiene el expertn:

Pa

Pb

Pc

Pd

[1, 1]

[1, 1]

[1,1]

[1, 1]

.1

[.6, .8]

[.9, 1]

[.7, 1]

[.7, 1]

.2

[.1, .7]

[.9, 1]

[.6, 1]

[.3, 1]

.3

[.1, .3]

[.9, 1]

[.5, .9]

[.1, .9]

.4

[0, .2]

[.9, 1]

[.2, .7]

[0, .6]

.5

[0, .1]

[.9, 1]

[.1, .4]

[0, .3]

.6

[0, .1]

[.9, 1]

[0. .1]

[0, .1]

.7

[0, 1]

[.7, 1]

[0, .1]

[0, .1]

.8

[0, .1]

[.6, 1]

[0, .1]

[0, .1]

.9

[0. .1]

[.2, .7]

[0, .1]

[0, .1]

[0, .1]

[.1, .4]

[0, .1]

[.1, .1]

Este expertn representa sin ninguna deformacin la estimacin del grupo de

expertos.

76

lgebra de expertones
En Tcnicas especiales para la gestin de expertos, tal como ya se adelantaba
en Les expertons (1987), Kaufmann sostiene que el lgebra de los expertones no
difiere de la utilizada con las variables borrosas, los intervalos de confianza y los
nmeros borrosos.
As pues si a , b , c son expertones y para las T-normas () y (), se tienen
~

las siguientes propiedades:

Conmutativa

a () b = b () a
~

a () b = b () a
~

Asociativa
( a () b ) () c = a () ( b () c )
~

( a () b ) () c = a () ( b () c )
~

Idempotencia:

77

a () a = a
~

a () a = a
~

Distributiva

a () ( b () c ) = ( a () b ) () ( a () c )
~

a () ( b () c ) = ( a () b ) () ( a () c )
~

Involucin

a = a
~

Operaciones con 0 y 1

a () 0 = 0
~

a () 0 = a
~

a () 1 = a
~

a () 1 = 1
~

78

Teorema de De Morgan

a () b = a () b
~

a () b = a () b
~

Complementario de un expertn
Sea el expertn A su complementario se calcula de la siguiente manera:

.1

.4

.1

.6

.9

.9

.1

.4

.1

.9

.2

.6

.8

.9

.4

.4

.2

.9

.9

.3

.6

.6

.7

.4

.4

.3

.9

.9

.4

.6

.6

.6

.4

.6

.4

.7

.9

.5

.4

.6

.5

.6

.8

.5

.6

.8

.6

.2

.4

.4

.7

.9

.6

.4

.6

.7

.1

.3

.3

.9

.9

.7

.4

.4

.8

.1

.1

.2

.9

.9

.8

.4

.4

.9

.1

.1

.1

.9

.1

.9

.2

.4

.1

.1

.4

A
~

Giro

A
~

79

Operaciones con expertones

Los expertones pueden ser objeto de las mismas operaciones que las que rigen
los subconjuntos borrosos, y los subconjuntos aleatorios borrosos. Ello permite
agrupar, comparar, clasificar las opiniones de los expertos.
Asimismo, es posible para cada experto obtener su esperanza matemtica,
pero este recurso tiene que ser el ltimo. Es necesario hacer caer la entropa lo ms
tarde posible, y manejar las opiniones de los expertos en el estado de expertn. Solo
con este ltimo expertn se puede calcular una esperanza matemtica.
Repetimos algunas operaciones con expertones para que el lector pueda
familiarizarse con las mismas, pudiendo encontrar en Tcnicas especiales para la

gestin de expertos ms detalle.

Expertn a : 4 expertos
~

.1

.2 .25

.750

.500

.750

.3 .25

.25

.4

1 .2
2

.3
.9

.5

.25

.500

.750

.6 .25

.25

.500

.500

.7

.250

.8

.250

3 .3

.6

.9 .25

4 .6

.5

.25

.250
0
[.500, .575]

a
~

80

Expertn b = 12 expertos
~

1 .8

.8

2 .5

.4

0 .166

3 .6

.7

.1 .083

4 0

.2

5 0

.083

.834

.2

.083

.751

.916

.1

.3 .167

.083

.751

.833

6 .1

.3

.4

.167

.587

.750

7 .3

.4

.5 .167

.083

.584

.583

8 .3

.5

.6 .250

.167

.417

.500

9 .5

.6

.7

.167

.167

.333

10 .6

.7

.8 .167

.083

.167

.166

11 .6

.6

.9

.083

.083

12 .8

.9

0
[.425

.516]

81

Expertn c : 2 expertos
~

.1

.2

.3

.4

.5

.6 .500

.7 .500

.500

.500

.8

.500

.500

.500

1 .7

.9

2 .6

.7

.500

[0.65

0.85]

c
~

82

Expertn d : 5 expertos
~

0 .200

.200

.1 .200

.200

.800

.2 .200

2 .3
3

.4
.9

4 .2
5

.3
.1

.600

.600

.3 .200

.200

.400

.600

.4

.200

.200

.400

.5

.200

.6

.200

.7

.200

.8

.200

.9 .200

.200

.200

0
[.300

.340]

d
~

83

a () b
~

0 1

.1 1

.834

.834

.2 1

.751

.916

.751

.916

.3 .750

.751

.833

.750

.833

.4 .500

.750

.587

.750

.500

.750

.5 .500

.750

.584

.583

.500

.583

.6 .500

.500

.417

.500

.417

.500

.7 .250

.250

.167

.333

.167

.250

.8 .250

.250

.167

.166

.167

.166

.9 .250

.250

.083

.083

1 0
A [.500,

.575]

()

[.425,

.516]

[.408,

.508]

84

Se demuestra que ( a () b ) ( a ) () E ( b )
~

a () b
~

0 1

.1 1

.834

.2 1

.751

.916

.3 .750

.751

.833

.751

.4 .500

.750

.584

.750

.584

.750

.5 .500

.750

.584

.583

.584

.750

.6 .500

.500

.417

.500

.500

.500

.7 .250

.250

.167

.333

.250

.333

.8 .250

.250

.167

.166

.250

.250

.9 .250

.250

.083

.250

.250

1 0
A [.500,

()

.575]

[.425,

.516]

0
[.408,

0
.508]

Se demuestra que ( a () b ) ( a ) () E ( b )
~

85

b. d
~

Esta es la norma triangular T-norma (.) producto

0 1

.1 .834

.800

.800

.667

.800

.2 .751

.916

.600

.600

.450

.549

.3 .751

.833

.400

.600

.300

.499

.4 .584

.750

.200

.400

.116

.300

.5 .584

.583

.200

.200

.116

.116

.6 .417

.500

.200

.200

.083

.100

.7 .167

.333

.200

.200

.033

.066

.8 .167

.166

.200

.200

.033

.033

.9 0

.083

.200

.200

.016

1 0

[.425,

.516]

(.)

0
[.300,

.340]

[.179,

.297]

86

b +d
~

Esta es la T-norma + , es decir la suma algebraica

x + y = x + y - x . y

0 1

.1 .834

.800

.2 .751

.916

.3 .751

.800

.967

.600

.600

.901

.967

.833

.400

.600

.851

.934

.4 .584

.750

.200

.400

.668

.850

.5 .584

.583

.200

.200

.668

.667

.6 .417

.500

.200

.200

.534

.600

.7 .167

.333

.200

.200

.334

.467

.8 .167

.166

.200

.200

.334

.333

.9 0

.083

.200

.200

.200

.267

1 0

[.425,

.516]

0
[.300,

0
.340]

0
[.545,

0
.608]

87

Calculemos el complemento del expertn a :

~

0 1

1 0

0 1

.1 1

.9 0

.1 1

.2 1

.8 0

.250

.2 .750

.750

.3 .750

.7 .250

.500

.3 .750

.750

.4 .500

.750

.6 .250

.500

.4 .750

.750

.5 .500

.750

.5 .500

.500

.5 .500

.500

.6 .500

.500

.4 .750

.750

.6 .250

.500

.7 .250

.250

.3 .750

.750

.7 .250

.500

.8 .250

.250

.2 .750

.750

.8 0

.250

.9 .250

.250

.1 1

.9 0

1 0

1 0
[.500,

0
.575]

[.425,

.500]

Contraexpertizaje
En Tcnicas especiales para la gestin de expertos, Gil Aluja y Kaufmann
van ms all del expertn, aumentando la calidad de la valuacin, con la introduccin
de mtodos de contraexpertizaje. As, pues, si tenemos una valuacin de expertos, se
obtiene primero el expertn:

88

1 .3
2

.8
.7

3 .6
4

.8
.8

5 .8
6

.2
1

0 0

.1 0

.2 0

.3 1

.833

.4 0

.833

.833

.5 0

.833

.833

.6 1

.833

.833

.7 1

.666

.833

.8 2

.500

.660

.9 0

.166

.166

1 1

.166

.166

Frecuencia

frecuencias

Probabilidades

Acumuladas

Acumuladas

89

Lo que da el expertn

[1 , 1]
[1 , 1]
[1 , 1]
[1 ,.833]
[.833, .833]
[.833 ,.833]
[.833 ,.833]
[.666 ,.833]
[.500 ,.660]
[.166 ,.166]
[.166, .166]
.699 , .716
Se redondea a
.70 , .72

Un segundo grupo de expertos utiliza la semntica siguiente para cualificar la

opinin del primer grupo:

90

0: el valor 0.70 es correcto

.1: prcticamente 0.70
.2: caso 0.70
.3: cercano a 0.70
.4: ms cerca de 0.70 que de 0.72
.5: tan cerca de 0.70 que de 0.72
.6: ms cerca de 0.72 que de 0.70
.7: cercano a 0.72
.8: casi 0.72
.9: prcticamente 0.72
1 : el valor 0.72 es correcto
Si el intervalo (0.70, 0.72) no fuera aceptado por los contraexpertos, se
tomara en lugar de 0.70 el valor ms pequeo de los suministrados por los
contraexpertos, y en lugar de 0.72 el ms alto.
Supongamos 3 expertos que aceptan el intervalo (0.70, 0.72) y su opinin:
Experto

.5

2 .2
3

.6
0

La nueva valuacin se obtiene por la frmula siguiente:

Sea [ A* , A* ] un intervalo de los expertos

91

Sea [ * , * ] un intervalo de contraexpertos

El nuevo intervalo [ A* , A* ] queda definido por:
A* = A* + ( A* - A* ) *
A* = A* + ( A* - A* ) *

En el ejemplo:
.5
0.70 + ( 0.72 0.70 )

.2

.71
.6

.704

.70
c

o sea redondeando

.712

.704
[.70

.707
,

.71]

Vemos, pues, que la opinin es ahora (0.70, 0.71) contra (0.70, 072) por lo
que hemos ganado precisin.
Hay otras maneras de realizar contraexpertizaje. Para ello el lector interesado
podr referirse a Tcnicas especiales para la gestin de expertos.

92

Referencias
1

Zadeh, L.A. (1965). Fuzzy Sets. Information and Control, vol.8, pp. 338-353, june.

Para ms detalle ver Kaufmann, A. y Gil-Aluja, J. (1968). Introduccin a la teora

de los subconjuntos borrosos a la gestin de las empresas. Tomo I., Santiago de
Compostela, Espaa: Ed. Milladoiro.
3

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Goghen, (1967). L-Fuzzy-Sets. Journ, Math, Analysis and apl., vol. 18, pp. 145173.
5

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tratamiento de la incertidumbre. Barcelona, Espaa: Ed. Hispano-Europea.

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Previsiones, decisiones y estrategias. Madrid: Ed. Pirmide.

93

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95