Trabajo de Mecanica Tecnica
Trabajo de Mecanica Tecnica
Trabajo de Mecanica Tecnica
MECANICA TECNICA .
: CHAVEZ FURLONG ISABEL HERRERA LOPEZ JESUS IVAN MATIAS SANDOVAL JUNIOR MAURIOLA CARHUAPOMA WILIAN MECHATO ELIAS IRVIN MONTERO FLOREZ JUAN JOSE SILVA PAZO EDUARDO PEA MANCHAY ALVARO VELASQUEZ CARRASCO ORLANDO YARLEQUE LITANO DANIEL
INDICE
INTRODUCCION. OBJETIVOS.... RESEA HISTORICA FUNDAMENTO TEORICO PROCEDIMIENTOS DATOS.. ANALISIS DE DATOS. CONCLUSIONES. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS...
INTRODUCCION
El presente manual de laboratorio tiene como finalidad ofrecer una nueva forma de afianzar el aspecto conceptual de una parte de la mecnica que es de vital importancia para que los estudiantes comprendan de una manera ptima la forma de calcular la constante de elasticidad y rigidez de algunos metales tales como el cobre, el fierro, alambre, etc. El presente trabajo tambin tiene como propsito llevar a cabo explicar el movimiento peridico que presenta el pndulo de torsin, para esto se usaron conceptos como constante de torsin, momento de inercia, periodo. Lo que abarca este experimento es: el marco terico y experimental, objetivos, conclusin, etc. Que es de vital importancia ya que permite a los estudiantes e interesados desarrollar su capacidad en el clculo de datos experimentales, criterio para solucionar problemas propios que se plantean en la ingeniera.
1. OBJETIVOS 1.1. Reconocimiento de los materiales y sus funciones usados en este experimento. 1.2. Estudiar el movimiento armnico simple con desplazamiento angular. 1.3. Medir la constante elstica de torsin y el modulo de rigidez de un alambre metlico. 1.4. Aprender a ensamblar el equipo experimental. 1.5. Determinar el momento de inercia de un disco. 1.6. Analizar por medio de esta prctica, el movimiento de un pndulo de torsin. 1.7. Tener claro cada uno de los componentes de un pndulo de torsin. 1.8. Determinar el momento de inercia del pndulo de torsin. 2. RESEA HISTORICA El principio del pndulo fue descubierto por el fsico y astrnomo italiano Galileo, quien estableci que el periodo de la oscilacin de un pndulo de una longitud dada puede considerarse independiente de su amplitud, es decir, de la distancia mxima que se aleja el pndulo de la posicin de equilibrio. (No obstante, cuando la amplitud es muy grande, el periodo del pndulo s depende de ella). Galileo indic las posibles aplicaciones de este fenmeno, llamado isocronismo, en la medida del tiempo. Sin embargo, como el movimiento del pndulo depende de la gravedad, su periodo vara con la localizacin geogrfica, puesto que la gravedad es ms o menos intensa segn la latitud y la altitud. Por ejemplo, el periodo de un pndulo dado ser mayor en una montaa que a nivel del mar. Por eso, un pndulo permite determinar con precisin la aceleracin local de la gravedad.
3. FUNDAMENTO TEORICO En este trabajo vamos a explicar el movimiento pendular, que es una forma de desplazamiento que presentan algunos sistemas fsicos. Debemos tener en cuenta algunos conceptos tericos relativos a la oscilacin (que implica deformacin del slido), como la Ley de Hooke, el movimiento armnico simple (M.A.S.) y la elasticidad por deslizamiento de muelles (cizalla y torsin). 3.1. LEY DE HOOKE Y MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Ley de hooke Como modelo para un movimiento armnico simple, considrese un boque de masa m unido al extremo de un resorte, con el bloque libre de moverse en una superficie horizontal sin friccin. Cuando el resorte no est estirado ni comprimido el bloque, esa en la posicin llamada posicin de equilibrio del sistema, que identificamos como x=0, sabemos por experiencia que este sistema oscila en un sentido y en otro si se saca de su posicin de equilibrio. Cuando el bloque se desplaza a una posicin X 1 el resorte ejerce sobre el boque una fuerza que es proporcional a la posicin dada y por la ley de hooke. En fsica, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elstico es directamente proporcional a la fuerza aplicada :
Siendo,
el alargamiento,
la longitud original,
: mdulo de Young,
la
seccin transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elsticos hasta un lmite denominado lmite elstico. Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, fsico britnico contemporneo de Isaac Newton. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo public en forma de un famoso anagrama, revelando su contenido un par de aos ms tarde.
La forma ms comn de representar matemticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuacin del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza sobre el resorte con la elongacin o alargamiento producido: ejercida
Donde
que experimenta su longitud. La energa de deformacin o energa potencial elstica estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuacin:
su constitucin. Definiremos ahora una constante intrnseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos as la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando producto o intrnseca, se tiene: por la longitud total, y llamando al
Llamaremos
uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas, constante de un pequeo trozo de muelle de longitud
a la misma distancia
al alargamiento de ese pequeo trozo en virtud de la aplicacin de la fuerza . Por la ley del muelle completo:
Tomando el lmite:
, se obtiene
como ecuacin de onda unidimensional que describe los fenmenos ondulatorios (Ver: Muelle elstico). La velocidad de propagacin de las vibraciones en un resorte se calcula como:
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE El movimiento de una partcula en un sistema complejo, es ms fcil de analizar si consideramos que el movimiento es una superposicin de oscilaciones armnicas, las cuales pueden describirse en trminos de seno y coseno. Consideremos un sistema oscilatorio consistente en una partcula sometida a una fuerza.
Donde es una constante y es el desplazamiento de la partcula a partir de su posicin de equilibrio. Tal sistema oscilatorio recibe el nombre de oscilador armnico simple, y su movimiento se llama movimiento armnico simple.
3.2.
Movimiento Oscilatorio
El movimiento oscilatorio es un movimiento en torno a un punto de equilibrio estable. Los puntos de equilibrio mecnico son, en general, aquellos en los cuales la fuerza neta que acta sobre la partcula es cero. Si el equilibrio es estable, un desplazamiento de la partcula con respecto a la posicin de equilibrio (elongacin) da lugar a la aparicin de una fuerza restauradora que devolver la partcula hacia el punto de equilibrio. En trminos de la energa potencial, los puntos de equilibrio estable se corresponden con los mnimos de la misma. Ejemplo El movimiento armnico simple constituye un ejemplo de movimiento oscilatorio. Se llama as al movimiento descrito por la ecuacin: Dnde: : es la elongacin : es el tiempo : es la amplitud o elongacin mxima. : es la frecuencia angular : es la fase inicial Es un movimiento de vaivn. Podemos hacer una descripcin cientfica? Si estudiamos el movimiento de un nmero de objetos podemos quizs contestar a la pregunta. Si una masa se suspende a partir de un resorte, se tira hacia abajo y despus se suelta, se producen las oscilaciones. El balanceo de una bolita en una pista curvada, la bolita oscila hacia delante y atrs de su posicin de reposo.
Una masa suspendida del extremo de una cuerda (un pndulo simple), cuando la masa se desplaza de su posicin de reposo y se la suelta se producen las oscilaciones. Un carrito atado entre dos soportes en un plano horizontal por medio de resortes oscilar cuando el carrito se desplaza de su posicin de reposo y despus se suelta. Una regla afianzada con abrazadera en un extremo a un banco oscilar cuando se presiona y despus se suelta el extremo libre.
3.3.
Medida de la constante de un muelle En esta pgina, se va a simular dos prcticas que son habituales en un laboratorio de Fsica. La medida de la constante elstica de un muelle por dos procedimientos
Esttico Dinmico
a) Esttico: Ya hemos estudiado el comportamiento de los muelles elsticos. La fuerza F que aplicamos es proporcional a la deformacin del muelle, x. F=kx k se denomina constante elstica del muelle y se mide en N/m.
Para los muelles helicoidales existe una ley similar, la diferencia es que se aplica un momento en vez de una fuerza, y la deformacin es un desplazamiento angular. Fr=K
En el experimento real, se gira la varilla soporte un cierto ngulo , se mide con un dinammetro la fuerza F que hay que aplicar a una distancia r del eje para que la varilla soporte se mantenga en equilibrio para dicho desplazamiento angular. Se ha de tener cuidado de que el eje del dinammetro forme 90 con la varilla. Se desva la varilla un ngulo mayor, se mide la fuerza F, situando el dinammetro a la misma distancia r del eje, y as sucesivamente.
b) Dinmico: En el procedimiento dinmico se separa la varilla soporte un cierto ngulo de suposicin de equilibrio, se suelta, y la varilla comienza a oscilar.
A partir de la medida del periodo de las oscilaciones se obtiene la constante elstica del muelle. Cuando la varilla soporte se ha desviado un ngulo y se suelta el muelle ejerce sobre la varilla soporte un momento -K. El momento es de sentido contrario al desplazamiento angular. Tenemos un slido en rotacin alrededor de un eje fijo bajo la accin de un momento. La ecuacin de la dinmica de rotacin se escribe Ia = - Kq En forma de ecuacin diferencial
Deduccin de las formulas del pndulo de torsin Para empezar denotaremos esta definicin (constante elstica de torsin).
Considrese un alambre fijo en su extremo superior sometido a la accin de un torque deformador , paralelo al eje vertical que hace girar al extremo inferior un ngulo BAC = BOC = . Si consideramos una porcin angular cilndrica interior del alambre, vemos que el par aplicado le produce una deformacin constante = tan rad, que depende de la rigidez del material con que est hecho el alambre.
En la figura se muestra una porcin del alambre que tiene un radio r tomando un ngulo elemental sometido al esfuerzo de corte tal que, sus lados verticales se desplazan un ngulo , este comportamiento se repite en todos los cubos elementales situados por encima y por debajo del cubo de referencia, dando como resultado un giro de la lnea AB a la posicin AC bajo la accin del par de fuerzas f como se muestran en la figura. El arco descrito es: (1) (2)
De donde y se mide en radianes. Si la fuerza actuante en las caras superior e inferior al anillo es df y el rea dS=2.r dr, la definicin de esfuerzo o tensin cortante nos da:
Que usando la Ec. (2) (3) De donde la fuerza sobre la superficie del anillo es:
Que tambin puede escribirse en la forma: (4) En el experimento, R y L (radio y longitud del alambre) se mantendrn constantes, de modo que la cantidad entre parntesis en la ecuacin (5) es una constante que lo denotaremos con:
Esta ecuacin no es sino la expresin matemtica de la ley de Hooke cuando la deformacin es angular. En consecuencia, es la constante elstica de torsin del alambre. La reaccin correspondiente al torque deformador de la Ec. (6) es el torque recuperador. (7) Generado por las fuerzas de cohesin intermolecular del alambre. Una forma experimental de medir y G consiste en sujetar una masa m en el extremo inferior de un alambre como el de la fig.2 y aplicarle un torque deformador girando la masa un ngulo . Al dejarlo libre, el torque recuperador produce una masa un movimiento oscilatorio rotante. La ecuacin dinmica de estas oscilaciones se obtiene aplicando la segunda Ley de Newton para la rotacin: (8) Donde I es el momento de inercia del cuerpo oscilante respecto al eje de rotacin paralelo al alambre. Esta ecuacin puede escribirse en la forma: (9)
Que es similar a la ecuacin dinmica del MAS (Movimiento Armnico Simple) lineal. Por similitud entonces deducimos que la frecuencia angular del movimiento oscilatorio rotante del disco es:
(10)
Usando la Ec.(11) podemos hallar la constante elstica de torsin y luego usando la Ec.(5) el modulo de rigidez G del material del cual est hecho el alambre. Para lograr esto debemos medir las dimensiones del alambre, el periodo T y el momento de inercia I de pndulo de torsin de la fig.2. En el experimento usaremos un sistema oscilante compuesto de un tornillo soporte y discos, acoplados como se muestra en la fig. 3. Por lo tanto el momento de inercia I del sistema oscilante ser la suma del momento de inercia del tornillo (It) y de los discos que vayamos usando (Id)
4. MATERIALES E INSTRUMENTOS Materiales Alambre de cobre Varillas de fierro Base de fierro Tornilio de Discos de fierro de aprox. 310 g Abrazadera de aluminio Pernos de ajuste Instrumentos Cronometro Regla metlica Balanza digital Pie de rey 0.01 s 0.05 cm 0.1 g 0.05mm Precisin
5. PROCEDIMIENTOS Y DATOS EXPERIMENTALES 5.1. Por medicin directa obtener: a) Longitud del alambre entre los puntos de sujecin L = 1.50 m b) El dimetro del alambre es: d = calibre 27 c) Los Dametros interior D1 y exterior D2 de cada disco y anotar los resultados en la tabla 1 5.2. Calcular el momento de inercia de cada disco usando la frmula
(14)
DISCO
Dimetro interior de cada Disco D1 (m) 0.0125 0.013 0.013 0.0135 0.012
Dimetro exterior de cada Disco D2 (m) 0.074 0.075 0.0745 0.075 0.075
Momento de Inercia de cada Disco Id (Kg.m2) 2.14025 x 10-4 2.21621 x 10-4 2.20191 x 10-4 2.22127 x 10-4 2.22106 x 10-4
A B C D E
5.3) Verificar que el alambre est firmemente sostenido a la varilla horizontal y que el tornillo lo est al extremo del alambre. Luego, insertar el disco A en el tornillo y ajustarlo firmemente en el centro del mismo.
5.4) Con el pndulo (alambre + tornillo + disco) en posicin vertical, aplicar un torque externo al disco girndolo un ngulo de aproximadamente 90= . Dejarlo libre y medir el tiempo de 10 oscilaciones, calcular el periodo de oscilaciones y anotar su valor en la tabla 2. Repetir la medida anterior 3 veces ms. 5.5) Agregar el disco B, ajustarlo firmemente con el disco A en el centro del tornillo y girar el conjunto en ngulo de aproximadamente 90= . Dejar libre el conjunto, medir el tiempo de 10 oscilaciones y calcular el periodo de oscilacin, anotar su valor en la tabla 2. Repetir esta medida 3 veces ms.
5.6) Continuar estas mediciones agregado, de uno en uno, los otros discos.
Tabla 2 Discos A A+B A+B+C A+B+C+D A+B+C+D +E Momento de inercia discos I (Kg.m^2) 4.35699 x 10-4 6.55691 x 10-4 8.77326 x 10-4 10.99962 x 10-4 Dispersin del periodo en segundos T1 0.6049 0.6910 0.7861 0.8703 T2 0.5780 0.6901 0.7752 0.8771 T3 0.5800 0.6882 0.7722 0.8673 T4 0.5668 0.6752 0.7739 0.8517 Periodo Medio T(Hz) 0.5824 0.6861 0.7769 0.8668
Anlisis grfico
6.1.
6.2.
El valor de la pendiente B: ..
La ecuacin emprica: ..
6.3.
Identificar los valores numricos de las constantes obtenidas anteriormente con las constantes de la ecuacin (13)
= ..
= .
6.4.
=..
=..
Anlisis estadstico
6.5.
Completar la tabla 3
N 1 2 3 4
Xj = I (kg.m2)
Yj = T2 (s2)
XjYj (kg.m2.s2)
Xj2 (kg2.m4)
Yj2 (s4)
6.6.
Aplicar el mtodo de los cuadrados mnimos o algn procesador de datos estadsticos tal como Excel o el Analizador grfico Micro cal Origen, a los datos de la tabla 3 y escribir:
Ecuacin emprica : .
6.7.
= ( )
7. RESULTADOS
METODO GRAFICO
METODO ESTADISTICO
Error porcentual e% =
X 100 =
X 100
GRAFICO e% =
ESTADISTICO e% =
Donde Gt es el mdulo de rigidez del material usado, que puede obtenerse en la bibliografa sugerida en el silabo y Ge es el valor del mdulo de rigidez obtenido experimentalmente.
8. CONCLUSIONES: 8.1. Examine la deduccin de la ecuacin diferencial del movimiento del pndulo de torsin (ecuaciones 8 y 9) y los pasos anlogos en el pndulo fsico y diga cul de los pndulos tiene estrictamente un movimiento armnico. ___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
8.2. Establezca una diferencia y una semejanza entre las constantes y G. ___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
8.3 Fundamente si en el fenmeno estudiado, existe alguna forma de energa potencial. Escriba su frmula en el caso afirmativo. ___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
Bibliografa
R. J. Atkin & N. Fox: An Introduction to the Theory of Elasticity, ed. Dover, 1980. Timoshenko, Stephen; Godier J.N... McGraw-Hill. ed. Theory of elasticity. Ortiz Berrocal, Luis. McGraw-Hill. ed. Elasticidad. Aravaca (Madrid). pp. 94-96. ISBN 84-4812046-9. Olivella, X.; Agelet de Saracibar, C.. 3. En Edicions UPC. Mecnica de Medios Continuos para Ingenieros. Barcelona. pp. 71-75. ISBN 978-84-8301-412-7.