El primer material estructural capaz de adoptar una importante variedad de formas es el hormign: una mezcla de materiales inertes (piedra

y arena) con un aglutinante (cemento), los cuales, amasados con agua, tienen la propiedad de endurecer con el tiempo (fraguado) y adquirir una notable capacidad de resistir compresiones. Al ser relativamente fcil poder moldearlo con las formas que el proyectista imagine, sus aplicaciones estructurales son casi ilimitadas. Pero, la importante versatilidad con la que hoy se lo emplea en losas, vigas rectas y curvas, cscaras delgadas de cualquier forma concebible, slo fue posible con el advenimiento del hormign armado. Considerando la escasa resistencia a traccin del hormign, este nuevo material heterogneo llamado hormign armado suple dicha deficiencia mediante la incorporacin de barras de acero en el interior de su masa, confirindole la adecuada capacidad resistente a traccin. Se denomina hormign armado al material compuesto por hormign y barras de acero, asociados de tal manera que, asegurada la adherencia del acero dentro de la masa de hormign, forman un slido nico, desde el punto de vista mecnico. La unin del hormign con las barras de acero, ubicadas estratgicamente en su interior, permite aprovecha ventajosamente las caractersticas de cada uno de los materiales, creando piezas con capacidad de resistir flexiones. El rea de las barras de acero suele ser entre el 0.2% y el 3% de la seccin total del elemento estructural. La capacidad resistente a flexin de una seccin de hormign armado depender de la resistencia a compresin del hormign, ya que las tracciones quedan reservadas al acero de un modo exclusivo. Previo al estudio del dimensionado de elementos estructurales sometido a solicitacin de flexin se vern algunos conceptos de la tecnologa del hormign.

TECNOLOGA DEL HORMIGN Preparacin de la masa de hormign

Es muy importante el estudio de las preparaciones de la mezcla cemento/ridos (1 a 5, 1 a 6) y la relacin agua/cemento en peso (a/c = 0.5 a 0.7) para lograr las propiedades fundamentales de la mezcla, fresca en primer lugar, que es la consistencia o docilidad, y endurecida en segundo lugar, que es la resistencia. Es fundamental la determinacin previa de una dosificacin aproximada de los componentes del hormign, que permita luego una comprobacin experimental con razonables probabilidades de xito. La necesaria homogeneidad de la mezcla se puede lograr en hormigoneras comunes en un lapso de 1 a 2 minutos, luego de lo cual se puede llevar al molde (encofrado) donde ser colocado. La consistencia o grado de fluidez del hormign fresco, se mide mediante el ensayo del tronco de cono de Abrams.

Un molde de metal tronco cnico, se llena con la mezcla en 3 capas de igual altura, compactando cada una con 25 golpes de varilla con chapa; luego se levanta el molde, y se mide el descenso de la mezcla en el punto central. Ese valor, determinado con precisin de 5 mm, es la medida de la consistencia o movilidad de la mezcla. Esta medida, tambin llamada asentamiento vara desde 2 a 18 cm, segn el tipo de estructura y del procedimiento de colocacin y compactacin.

Fraguado
As se denomina el perodo durante el cual la mezcla fresca, al ponerse en contacto el agua con el cemento, comienza a perder gradualmente su capacidad de cambiar de forma; en un lapso de 4 a 10 horas, segn sean las caractersticas del cemento, el proceso de fraguado termina, adquiriendo el material cierta resistencia mecnica y perdiendo la propiedad de moldeo. En realidad, el proceso de endurecimiento puede continuar varios aos, pero se considera que el hormign ha adquirido su mxima resistencia a los 28 das, ya que la posterior hidratacin de las partculas de cemento es muy lenta y puede interrumpirse por falta de agua.

Acerca de la resistencia a la compresin

La resistencia a la compresin del hormign, la cual define su calidad, depende de varios factores: a) la relacin agua/cemento (a/c = 0.5 a 0.7) b) la dosificacin

c)

la forma de curado

d) la calidad de sus componentes (cemento y ridos) De todos los mtodos de dosificacin conocidos solamente se mencionar el ms comn para obras de mediana envergadura, y que se denomina semiemprico. El procedimiento consiste en fijar una relacin agua/cemento en peso, y variar las cantidades de agregados finos y gruesos, realizando pastones de prueba, para luego verificar en laboratorio la resistencia a rotura por compresin.

Algunos conceptos estadsticos

Para evaluar la calidad del hormign se debe recurrir a la estadstica, (figura MVI-2) ya que el promedio de los resultados de varias probetas puede no ser confiable para determinar la calidad del hormign. El promedio divide en dos mitades el nmero de probetas ensayadas (el 50% es mayor que el promedio, mientras que el otro 50% es menor). La dispersin de los resultados de cada tipo de hormign ayuda a determinar la mayor calidad de uno con respecto al otro, aunque ambos hormigones comparados hayan obtenido el mismo valor promedio. La desviacin normal, que se designa con la letra s, se calcula mediante la siguiente expresin: s=
i

donde

: valor numrico correspondiente a un ensayo individual m : promedio de los valores m = ensayados n : nmero de ensayos (mayor que 30) si el nmero de ensayos es menor que 30, en la expresin de s se colocar (n 1) en lugar de n.

Resistencia del hormign

La resistencia caracterstica es un indicador de la calidad del hormign, y est dada por la siguiente expresin: bk = m 1.65 x s De la expresin surge que la tensin caracterstica es un valor de la resistencia a compresin que limita un rea a su derecha, entre la curva y el eje de las abscisas, dentro de la cual se ubica el 95% de los valores de rotura de las probetas ensayadas. En definitiva, el criterio para determinar la calidad del hormign se basa en la determinacin de la tensin caracterstica ( bk), la cual se define como aqulla para la cual existe el 95% de probabilidades de ser superada por los valores de rotura de la mezcla ensayada. Cuando se establece una tensin caracterstica se est aceptando el riesgo de que en el conjunto de la estructura a ejecutar exista una cantidad no superior al 5% de lugares donde la resistencia a compresin no alcanzar dicho valor. Durante el desarrollo del dimensionado de las secciones, en una etapa posterior, el coeficiente de seguridad cubrir el riesgo mencionado.

Dimensionamiento a rotura de vigas de Hormign Armado, sometidas a flexin simple y solicitadas simtricamente. Hiptesis de clculo
El hormign resiste solamente esfuerzos de compresin. Todas las tracciones quedan reservadas para el acero. Se cumple la hiptesis de Bernouille, es decir, que las secciones planas antes de la deformacin, permanecen planas hasta el instante de la rotura. Diagrama ( - ) del acero Para todos los tipos de aceros se considera un diagrama bi-lineal, que cumple con la Ley de Hooke en su primer tramo, para el cual, y para todos los tipos de aceros, el mdulo de elasticidad E vale 2100000 kg/cm2. La deformacin mxima se limita al 5 (figura MVI6). La deformacin especfica a partir de la cual comienza la fluencia real o convencional de estos aceros es la siguiente: Para el tipo de acero A 24/37: Para el tipo de acero A 42/50: Para el tipo de acero A 60/66:
fl fl fl

= 2400 kg/cm2 / 2100000 kg/cm2 = 1,14 = 4200 kg/cm2 / 2100000 kg/cm2 = 2 = 6000 kg/cm2 / 2100000 kg/cm2 = 2,86

Diagrama ( - ) del hormign A medida que aumenta el acortamiento de las fibras del hormign, su tensin aumenta segn una ley parablica (parbola de segundo grado), ver figura MVI-7. Cuando el acortamiento unitario llega a 2 se considera que el

hormign alcanza su tensin de rotura, entendindose como tal, no el valor de su resistencia caracterstica a compresin, sino un valor un poco menor que designamos R, siendo aproximadamente R = 0,82 bk. Aqu debe hacerse un distingo entre el caso de una columna con carga centrada en la que todas sus fibras alcanzan su tensin de rotura al mismo tiempo, y el caso de una viga, para la cual las fibras del plano extremo son las primeras en alcanzar la deformacin del 2, y por lo tanto la tensin de rotura R. Para el primer caso la deformacin del 2 indica, obviamente, el lmite de resistencia de la columna. En el segundo caso, en cambio, cuando el plano extremo de fibras del hormign alcanza la tensin de rotura (porque su deformacin lleg al 2), no por ello se agota la resistencia de la viga, pues los planos inferiores an no alcanzaron el 2 de deformacin y sostienen a los superiores cuyas fibras siguen deformndose sin aumentar su tensin (tramo vertical del diagrama de la figura MVI-7). La rotura recin sobreviene cuando un conjunto, y no un solo plano de fibras alcanza la tensin mxima. Claro est que en esos momentos el plano de fibras extremo ha alcanzado una deformacin superior al 2 y que entonces, y tal como indica la figura, los planos de fibras de ese conjunto que alcanzaron una deformacin igual o mayor al 2 estn sometidos a una tensin igual a R. El diagrama de tensiones resulta pues rectangular en esa zona; y parablico en el resto ( 1< 2).

Designamos con 1 la deformacin de las fibras del plano extremo de la viga, y con e la deformacin de la armadura de acero. Se considerar, en el caso de flexin simple, que la viga llega a rotura cuando el hormign comprimido alcanza una deformacin mxima del 3,5 o cuando el acero traccionado alcanza una deformacin del 5. Lo primero que ocurra hace que la pieza pierda su capacidad de seguir resistiendo. Al disear la viga conviene partir de la premisa de que en el instante ltimo el acero alcanzar la deformacin lmite del 5 (5 fisuras de un milmetro de ancho por metro), y nunca menor del 3, de manera de evitar el peligro de rotura sin un suficiente preaviso, ya que previamente aparecera un estado de fisuracin altamente peligroso. En lo que respecta al hormign, y para evitar un aprovechamiento excesivo del mismo (lo que no conviene, salvo que razones muy importantes lo hagan necesario) es preferible disear la seccin considerando un acortamiento 1 comprendido entre el 2 y 2,5. Anlisis de una viga de seccin rectangular, con armadura de traccin solamente

Consideremos la viga de seccin rectangular que indica la figura MVI-8: b es el ancho de la seccin de la viga, d es su altura; x mide la distancia desde el plano neutro al borde comprimido y h representa la altura til (distancia desde la armadura al borde comprimido). Al deformarse la viga por efecto de la accin de las cargas que la misma soporta, las fibras de hormign ubicadas por encima del plano neutro se acortan. La armadura de acero experimenta, en cambio, un alargamiento.

Consideremos dos secciones S1 y S2 en la viga. Antes de la deformacin por flexin estas secciones son planas y perpendiculares al eje de la viga. Al deformarse la viga, giran mantenindose planas, hasta quedar perpendiculares a las fibras longitudinales deformadas. Supongamos ahora que incrementamos la carga que soporta la viga hasta llegar a su rotura, y consideremos que en este instante es el acero el que ha llegado a la deformacin lmite del 5, en tanto que la deformacin mxima del hormign slo lleg al 2,5. El diagrama de tensiones en el hormign comprimido ser pues parablico rectangular, de acuerdo con lo indicado en el punto anterior. Esta situacin lmite se indica en la figura MVI-9.

En el instante de la rotura se han desarrollado en el interior de la viga un par de fuerzas: Cu = resultante ltima de compresiones y Tu = esfuerzo ltimo de traccin en la armadura. Tu = Cu por razones de equilibrio interno. Este par de fuerzas origina un momento interior Cu * z que equilibra al momento ltimo Mu de las fuerzas exteriores. Cu x z = M u z es la distancia entre las fuerzas Cu y Tu (brazo de palanca).

Vamos a indicar ahora cmo determinar el valor de Cu y su distancia a al borde comprimido. Cu resulta de multiplicar el rea de la zona comprimida (b x) por la tensin media de rotura, que es indudablemente menor que R, escribiremos: un coeficiente menor que (media de rotura) = R; luego Cu = b x R siendo uno, cuyo valor se da en la tabla siguiente, en funci6n de 1.

Por su parte la distancia a de Cu al borde comprimido se determina mediante la siguiente expresin: a = ka x (los valores del coeficiente ka se dan en la misma tabla) Secciones rectangulares con armadura de traccin y compresin (doble armadura) Seguimos refirindonos al caso de flexin simple. En este caso la armadura de compresin fe se colocar slo en casos especiales (apoyos de vigas continuas, secciones debilitadas por la presencia de huecos, etc.) para aumentar la resistencia de la zona comprimida (figura MVI-11). El momento mximo a que puede estar sometida una seccin cuando todas las compresiones son resistidas por el hormign nicamente, se determina usando como recta de deformacin la correspondiente a 1 = 3,5 y e = 3,00, que son los valores que figuran en la ltima lnea de la TABLA VI-1. Este momento mximo ser caracterizado con un asterisco, siendo su valor: M* = b h2 / Kh2

Luego, si el momento Msolicitante que debe resistir la viga resulta mayor que Madmisible*, la diferencia M = M M*, deber ser equilibrada por un par de fuerzas formado por la armadura de compresin y la armadura adicional de traccin. El brazo de palanca de este par de fuerzas vale (h r), siendo r la distancia de la armadura comprimida al borde comprimido. Ceu es la fuerza de compresin ltima de la armadura comprimida. Cbu es la fuerza de compresin ltima del hormign comprimido.

Clculo de armaduras Sin necesidad de mayores explicaciones podemos escribir: (Armadura de traccin) fe = (Armadura de compresin) fe = La tensin e = eu/1.75 se determina en funcin de la deformacin e de la armadura comprimida en el instante de la rotura. La simple observacin de la figura MV-2 permite asegurar que e tendr un valor de alrededor del 3, por lo cual, y de acuerdo con el diagrama / , cualquier tipo de acero estar en fluencia. En particular, para el acero ADN 420 que venimos usando en nuestros ejemplos, resultar: eu = 4200 kg/cm2, y por lo tanto e = 4200 kg/cm2 / 1.75 = 2400 kg/cm2 En ningn caso debe aceptarse fe > fe. Si se llega a esta situacin ello indica que las dimensiones de la seccin de hormign son insuficientes. Las experiencias han verificado que las vigas que se encuentran ntimamente ligadas a las losas, arrastran en su deformacin una parte de sta. Por este motivo, la seccin de la viga no ser rectangular sino en forma de T o L. Figura MVI-12. Las vigas te o ele constituyen sin duda una solucin estructural muy racional en hormign armado, siempre que la losa se disponga del lado de las compresiones. En estas condiciones, la viga cuenta con una gran cantidad de material sujeto a compresin y puede resistir grandes momentos flectores, an con alturas reducidas.

Vigas en te

Se comprende fcilmente que la eficacia con que la losa colabora con el nervio disminuye a medida que se aleja de ste. Para evitar tener que considerar tensiones decrecientes, se aplica el criterio de reemplazar el ancho real por otro llamado ancho colaborante o efectivo, que es una anchura tal que, suponiendo una distribucin uniforme de tensiones, conduce a igual tensin resultante que con la distribucin real (figura MVI-13).

El ancho colaborante depende del tipo de carga, de las condiciones de apoyo de la viga, de la forma de la seccin, de la relacin entre el espesor del ala y altura del nervio, etc. Por lo general se puede tomar como ancho colaborante mximo b = bo + (l / 3), siendo l la luz de la viga, o mejor, la distancia entre los puntos de momento nulo. Como es natural, no debe sobrepasarse la anchura disponible. Hiptesis de clculo Si el ancho colaborante es mucho mayor que el ancho del nervio (b/bo 4), es suficientemente exacto despreciar las tensiones de compresin en el nervio, y que se encuentran comprendidas entre el borde inferior de la losa y el eje neutro (figura MVI-14).

La resultante de las tensiones de compresin del hormign se supone ubicada a la mitad del espesor del ala (d/2). Esto implica considerar tensiones de compresin uniformes en todo el espesor del ala, hiptesis que, cuando no se cumple estrictamente, origina un pequeo error en favor de la resistencia. Todos los esfuerzos de traccin quedan reservados a la armadura. Para un mximo aprovechamiento del hormign la recta de deformacin queda definida por los valores 1 = 3,5 y e = 3.0. Sin embargo, en las vigas placa generalmente el estado lmite o de rotura se produce con la mxima deformacin del acero, e = 5; pero la deformacin del hormign no llega al valor mximo posible. Por ese motivo, en el ejemplo (A) la recta de deformacin ha sido fijada con los valores 1 = 3.0y e = 5.0 (en la figura B se indica la variacin de las tensiones en el hormign); do es la altura de la viga; h es la altura til; d es el espesor de las alas; b es el ancho

colaborante; y bo es el ancho del nervio; adoptando un recubrimiento r resulta h = do r Mientras que la deformacin en el borde inferior del ala no descienda por debajo del 2, segn las figura MVI-14 (A) y (B) en toda la losa comprimida la tensin ser constante e igual a R Estamos en condiciones de plantear las siguientes proporciones: (x d) / 2 = x / 3, de donde despejamos x=3d x / h = 3.0 / (3.0 + 5.0); y reemplazando el valor de x en esta ecuacin resulta d = 0.12h En la figura MVI-14 (C) se observa que mientras d <= 0,12h toda la placa queda sometida en el instante de la rotura a la tensin R, por lo tanto, la fuerza resultante de compresin ser: Cu = b d / R; en cambio cuando d > 0.12 h, la tensin media de rotura ser menor que R para a <= 1 media de rotura = R, Valores de a en funcin de la relacin d/h

En general en los edificios, el ancho colaborante es muy grande en relacin con las cargas; si se quisiera aprovechar totalmente la zona comprimida habra que reducir la altura, lo que traera aparejado una cuanta de acero grande y un aumento en la deformacin de la viga. Por este motivo se aconseja elegir H >= luz/10

Este Mdulo VII reproduce los contenidos del Mdulo VII de la publicacin ESTRUCTURAS EN ARQUITECTURA - Primer Nivel cuyo autor es el Ingeniero Jos Luis Gmez - ISBN 987 - 98330 - 0 - 7 Este elemento estructural se caracteriza por tener dos dimensiones importantes con respecto a la tercera y que es su espesor. Corrientemente recibe cargas verticales y, por su trabajo a flexin, las transmite a sus apoyos, sean stos vigas o muros.

Por otra parte, las losas ligadas monolticamente a los planos verticales constituyen los planos horizontales o inclinados encargados de resistir como vigas, de gran canto, las fuerzas laterales (viento y sismo), transmitindolas a los planos resistentes verticales. Losa con armadura resistente en una direccin En una losa con dos apoyos como observamos en la figura MVII-1, si la cargamos en forma gradual y creciente hasta su rotura, veremos la aparicin de una fisura central paralela a los apoyos en todo su largo. Esta fisura es coincidente con los lugares donde se producen los mayores momentos elsticos.

Si la losa tiene cuatro apoyos, pero la relacin de luces ly /lx < 0.50, se comportar en forma similar a la analizada anteriormente. (figura MVII-2) Los momentos flectores en la direccin y son iguales que un conjunto de vigas puestas una al lado de la otra, y por lo tanto puede ser dimensionada como si fuesen vigas rectangulares de ancho b = 100 cm. La armadura en 1a direccin y obtenida para ese ancho, se repetir a lo largo de lx. Utilizaremos las mismas frmulas empleadas para el dimensionado de vigas rectangulares. Momento admisible = Madmis = h = d 1.5 cm

La altura necesaria = h = Seccin de acero = fe = El espesor mnimo se fija en 7cm, pero cuando la losa es transitable por vehculos deber tener dmnimo >=12 cm Para evitar deformaciones excesivas, la altura a disear ser, por lo menos, igual a 1/35 de la luz entre apoyos. La separacin entre barras de la armadura principal no debe exceder de 20 cm, ni dos veces el espesor de la losa. En las proximidades de momento mximo, la separacin no debe exceder de separacin = 15 + d/10, siendo d = espesor En las losas armadas en una direccin se deber prever una armadura transversal a la armadura resistente, y que llamaremos armadura de reparticin, cuya seccin por metro ser por lo menos un 20% de la armadura principal. Si la armadura transversal es de otro tipo de acero que el de la armadura principal, su seccin deber aumentarse en relacin inversa de sus lmites de fluencia.

Para aceros A-42/50 debe disponerse un mnimo de 3 barras 6 mm por metro o cantidad mayor de barras ms finas con una seccin equivalente. Para cubrir los momentos de empotramiento no considerados en el clculo, se deber prever en los apoyos la ubicacin de una armadura adicional de aproximadamente 1/3 de la armadura de tramo. Comnmente se levanta una barra de por medio en la forma indicada en la figura MVII-3. L = luz de clculo, distancia entre los tercios internos de la superficie de apoyos, o en su defecto, la luz libre incrementada en un 5%.

LOSAS NERVURADAS
Entindese por losa nervurada a aqulla constituida por una serie de vigas T, es decir, son losas en las que se ha sustituido parte de la zona traccionada de hormign por material inerte de relleno, concentrndose las barras de acero en las nervaduras resultantes. La verificacin de la seccin resistente y clculo de armaduras se realizar de acuerdo a lo visto en el tema Vigas T, disponiendo en este caso de un ancho colaborante b igual a la distancia entre ejes de nervios (figura MVII-4) Si el clculo de momento solicitante se ha realizado para un ancho de un metro de losa, habr previamente que obtener el momento flector correspondiente a un nervio, multiplicndolo por la separacin entre nervios, expresada en metros. M(nervio) = M * sep. (expresada en metros)

El espesor del ala de compresin debe ser por lo menos 1/10 de la distancia libre entre nervios y no menor a 5cm No es necesario ningn anlisis estructural de la placa (ala de compresin) si la distancia libre entre nervios es menor a 70cm. d>= >= 5 cm

Como todas las vigas, los nervios deben llevar estribos y slo se pueden suprimir si, y slo si, se cumplen las siguientes condiciones: p = 275 kg/m2 y dimetro de las barras = l6 mm

En losas nervuradas, armadas en una sola direccin, se debern prever nervios de reparticin con la finalidad de lograr mayor rigidez. La separacin entre nervios de reparticin no deber ser mayor a la indicada en la tabla correspondiente

La armadura mnima en la capa de compresin estar constituida por una malla formada por barras de 4 mm de dimetro, en acero ADN 420, con separacin de 20 cm, o seccin equivalente. En ningn caso, la separacin podr ser mayor a 25 cm Algunos tipos de ladrillos que se fabrican en Crdoba

Tambin, y con el fin de reducir el peso de la estructura, se acostumbra reemplazar el bloque por cajones de madera perdidos, o moldes de chapa metlica, previamente engrasados para facilitar su recuperacin.

LOSAS CRUZADAS Anlisis de las losas rectangulares macizas por lneas de rotura.

Si se carga una losa apoyada en sus cuatro bordes en forma gradualmente creciente hasta su rotura, las primeras fisuras aparecen en la zona central, donde son mayores los momentos elsticos. Al avanzar el proceso de carga las nuevas fisuras se van orientando a lo largo de ciertas lneas que se dirigen a las esquinas, que en el caso de losas simplemente apoyadas en sus cuatro bordes tienen una inclinacin de 45 grados respecto de los bordes de la losa. Como consecuencia de esta fisuracin la losa queda dividida en cuatro partes, como indica la figura MVII-6. Si se desprecian las deformaciones elsticas, frente a las deformaciones plsticas, se puede admitir simplificadamente, que las partes de la losa entre lneas de rotura quedan planas y, por consiguiente, sus intersecciones, es decir, las lneas de rotura, son rectas. Las deformaciones de las losas consisten pues, nicamente en rotaciones de unas partes, en relacin con otras rotaciones que tienen lugar a lo largo de las lneas de rotura y de las lneas de apoyo (bordes de la losa). Es bueno destacar que en el instante ltimo (colapso), el momento flector mximo est repartido a lo largo de estas lneas de rotura de una manera constante y es precisamente, igual al momento de rotura interno. Finalmente, y para terminar con estas consideraciones preliminares digamos que si planteamos una ecuacin de equilibrio de momentos de cada una de las partes en que queda dividida la losa, con respecto al eje que coincide con la lnea de apoyo (borde), entre el momento exterior ltimo, desarrollado por la carga ltima (q), y el momento o los momentos internos ltimos (Mxu o Myu), desarrollados en las lneas de rotura, siempre ser posible, dividiendo ambos miembros de esta ecuacin de equilibrio por el coeficiente de seguridad, tener planteada en definitiva, una ecuacin en la que intervienen cargas y momentos internos de servicio. Por lo tanto en lo sucesivo, pese a que el clculo se desarrolla a partir del anlisis de lo que ocurre en el instante del colapso final, trabajaremos con cargas y momentos de servicio. Para hacer posible la solucin del problema es necesario establecer una cierta relacin entre los momentos Mx y My que corresponden a las direcciones x e y respectivamente. Se buscar que esta relacin coincida con el valor que resultar por aplicacin del mtodo elstico, de manera de obtener una adecuada seguridad a la fisuracin, en ambas direcciones. Consideremos en cada losa rectangular simplemente apoyada, la aplicacin de las premisas en que se basa el mtodo elstico:

 Para las fajas centrales el punto de cruce de las flechas fx y fy deben coincidir, fx = fy (figura MVII-7) Y como estas flechas son proporcionales respecto de la parte de carga qx o qy que se transmite en una y otra direccin, y a la cuarta potencia de las luces correspondientes, es posible escribir: qx Ix4 = qy ly4 luego ly4/lx4 = qx/qy

llamando = ly/lx queda

4

= qx/qy (1)

El momento en direccin y es proporcional a qy y al cuadrado de la luz ly, y anlogamente ocurre en la direccin x. Luego resulta Mx/My = qx lx2 / [qy ly2] = Mx = My
2 4

1/

es decir

(2 )

Queda as definida la relacin que debe existir entre los momentos en una y otra direccin. Por lo tanto si pudiramos determinar el momento en la direccin y, por ejemplo, el momento en la otra direccin se obtendr inmediatamente por aplicacin de la ltima ecuacin. Clculo del momento en la direccin y Supondremos primeramente que ly < lx. Para determinar el momento en la direccin y, es decir, My, se analizar el equilibrio entre el momento de las fuerzas exteriores y el momento interno equilibrante, tal como lo muestra la figura MVII-8, referida a la parte de losa que colinda con uno de los bordes de luz lx. Para facilitar la comprensin del tema, las lneas oblicuas de rotura han sido reemplazadas por escalones paralelos a los lados de la losa.

Para la parte no grisada resulta: rea = =

La distancia del baricentro de esta rea al borde de losa es:

Gy =

Luego, si q es la carga por metro cuadrado de losa, el momento de las fuerzas exteriores con respecto al borde resulta: Mext = My lx, y como debe ser Mext = Mint resulta My l x = de donde

My =

y teniendo en cuenta la ecuacin (1)

My =

si llamamos al denominador my (minscula) =

(3) queda My =

(4)

Conocido My, y teniendo en cuenta la ecuacin (2) obtenemos: Mx = Multiplicando y dividiendo el 2 miembro por lx2 o sea Mx = (6)

Mx =

(5)

Expresin en la que mx =

Con valores de e dentro del campo [0.5 <= <= 2] se han determinado los denominadores de momentos que figuran en la TABLA VII-1 (denominadores para momentos / coeficientes para reacciones de apoyo). Clculo de la carga que la losa transmite a los apoyos (carga equivalente por metro de apoyo) La carga total que la losa transmite a un borde cualquiera es, evidentemente igual al producto del rea de la parte de placa adyacente al mismo, multiplicada por la carga q que corresponde a cada metro cuadrado de losa. Si dividimos esta carga total por la longitud de dicho borde, obtenemos una carga uniforme equivalente por metro de longitud de borde.

Carga por metro de viga de borde paralela a la direccin y, a la cual, para claridad de la explicacin llamamos V1 (figura MVII-9) q1 = multiplicando y dividiendo por lx ; llamando queda: q1 = (7 )

q1 =

Anlogamente se determina la carga por metro que la losa transmite a las vigas V2, es decir, a las vigas de direccin x. q2 =

=
2

; y llamando q l y (8 )

queda finalmente q2 =

Mediante las ecuaciones (7) y (8) sea han determinado los coeficientes 1 y 2 que figuran en la TABLA VII-1 (denominadores para momentos / coeficientes para reacciones de apoyo) para valores de [0.5 <= <= 2].

Losa triangular
Comenzamos con un tringulo equiltero de lado a; la losa est simplemente apoyada sus tres bordes (figura MVII-10). Ensayos experimentales muestran que las lneas de rotura se desarrollan a lo largo de las bisectrices de sus ngulos, y que en consecuencia en el instante ltimo la placa llega a transformarse en un mecanismo formando tres tringulos articulados. Analicemos el tringulo ADB. Superficie = (a x 0.289 x a) S = a2/6.93 Momento de la carga q con respecto al borde AB:

Mext = q superficie Gy = q a2 0.096a / 6.93 = q a3 / 72 Llamemos ahora Mp al momento por metro que acta en el plano normal a la lnea de rotura. El momento total a lo largo de cada una de las lneas de rotura ser: Mp = 0.577 a (figura MVII-10) El equilibrio de los vectores momento exige, considerando la proyeccin sobre el eje x de los vectores momento que actan en las lneas de rotura AD y DB, del sector ADB que analizamos (ver figura MVII-11) Mext = Mint luego q a3 / 72 =

= 2 x (0.577 Mp a) cos 30; como cos30 = 0.866 q a3 / 72 = 2 x (0.577 x Mp x a) x 0.866 de donde Mp = q a2 / 72 momento por unidad de longitud en cada lnea de rotura. El momento interno que corresponda a la lnea de rotura CA debe ser resistido por una armadura paralela al eje x. Los momentos que actan en la lnea AD y la lnea DB, podran resistirse por armaduras perpendiculares a las mismas, o mejor an por una armadura fey = fex En efecto el vector momento Mp que acta por metro de longitud de la lnea AD puede descomponerse en dos vectores momento Mpx y Mpy Mpx = 0.866 Mpy Mpy = 0.5 Mp Como el primero corresponde a una faja de losa de 0.866 m de ancho, y el segundo a una faja de 0.5 m, resulta, en definitiva, un valor por metro de ancho, tanto para la faja en direccin x, como para la de direccin y, actuando el momento Mp, y en consecuencia debe colocarse una armadura fex = fey extendida a toda la losa. Losa (placa) circular En el caso de una placa circular simplemente apoyada en su permetro, cualquier lnea radial puede considerarse como lnea de plastificacin. Estudiemos el equilibrio de un sector circular pequeo. Figura VII-12. El rea de este elemento es, al rea total, como 2 sea: rea elemento = rea crculo 2 rea elemento = rea elemento = R2 R2 / /2 es a 2 o

Momento con respecto al borde Mext = q R2 R / 3 = q R3 / 3 Este momento exterior es equilibrado por los momentos interiores que actan en las lneas de rotura. La ecuacin de equilibrio resultar de proyectar los vectores momentos sobre la direccin de la tangente al sector que se analiza. q R3/3 = 2 Mp R sen ; si el elemento considerado es chico, seno Luego Mp = q R2 / 6 Losa triangular simplemente apoyada, de lados desiguales Mp = = ;

Ver figura VII-13. Q es la carga para la totalidad de la placa, es decir, Q = q rea placa Otros polgonos regulares

Losas nervuradas cruzadas.

Para losas nervuradas cruzadas se aplicarn en forma similar las prescripciones reglamentarias dadas para losas en una sola direccin. Se cuidar especialmente lo referente a la separacin mxima y dimensiones mnimas de nervios. Para la determinacin de los momentos flectores en la direccin y, como en la direccin x, debemos encontrar qu parte de la carga total trabajar en cada direccin. La TABLA MVII-2 nos permite encontrar los coeficientes x y y en funcin de la relacin de luces = ly / lx qx = x q qy = y q qx + qy = q 2 2 Mx = qx lx / 8 My = qy ly / 8 Fex = Mx / [z e] Fey = My / [z e]