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Ecuaciones Geométricas
Ecuaciones Geométricas
Ecuaciones Geométricas
1.1. Introduccin
Una lnea recta tiene una ecuacin de la forma: ax donde a, b, c no son todos cero. Por otro lado una lnea recta est determinada por dos puntos P1 = (x1 , y1 ), P2 = (x2 , y2 ), que satisfacen la ecuacin anterior: ax1 ax2 + bx2 + bx2 + c + c = 0 = 0 + by + c = 0
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w.
Juntando las tres ecuaciones tenemos un sistema de ecuaciones lineales homogneo, donde ahora las incgnitas son a, b, c. ax + by ax1 + bx2 ax2 + bx2 + c + c + c = 0 = 0 = 0
Como a, b, c no todos son ceros, entonces existen soluciones no triviales si el determinante asociado es cero.
at em at
x1,y1
ic a
1.c
x2,y2
om
x x1 x2
y y1 y2
1 1 1
=0
1.2.
Ejemplo
Encontrar la ecuacin de la lnea recta que pasa por los puntos (1, 2), (5, 4). Al sustituir los puntos x 1 5 y 2 4 1 1 1 = x(2 4) y(1 5) + (4 10) = 0
1.3.
Ejercicios
1. Encontrar la ecuacin de la lnea recta que pasa por los puntos (0, 5), (5, 0). 2. Encontrar la ecuacin de la lnea recta que pasa por los puntos (2, 3), (3, 2). 3. Encontrar la ecuacin de la lnea recta que pasa por los puntos (5, 0), (2, 6).
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at em at
ic a
1 .c
om
Crculo
2.1. Introduccin
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ic a
1.c
om
La ecuacin del crculo esta determinada por la ecuacin: a1 (x2 + y 2 ) + a2 x + a3 y + a4 = 0 equivalentemente a (x x0 )2 + (y y0 )0 = r2 . Tambin si se sustituyen los puntos P1 = (x1 , y1 ), P2 = (x2 , y2 ), P3 = (x3 , y3 ) en la ecuacin se tiene que:
2 a1 (x2 + y1 ) + 1 2 2 a1 (x2 + y2 ) + 2 2 a1 (x3 + y3 ) +
2.2.
Ejemplo
Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos (2, 2), (1, 3), (5, 5). Al sustituir los puntos x2 + y 2 8 10 50 x 2 1 5 y 2 3 5 1 1 1 1
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x2 + y 2 2 x2 + y1 1 2 2 x2 + y2 2 x2 + y3 3
at em at
Juntando las cuatro ecuaciones tenemos un sistema de ecuaciones lineales homogneo con la solucin no trivial a1 , a2 , a3 , a4 . Es decir que el determinante asociado es cero. x x1 x2 x3 y y1 y2 y3 1 1 1 1
ic a
a2 x1 a2 x2 a2 x3
+ a3 y1 + a3 y2 + a3 y3
+ a4 + a4 + a4
= 0 = 0 = 0
w.
2.3.
Ejercicios
1. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (3, 4), (2, 5), (4, 5). Solucin (x 1)2 + (y 1)2 = 52
1 .c
=0
=0
om
2. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (7, 7), (5, 9), (7, 9). Solucin (x 1)2 + (y 1)2 = 102 3. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (11, 10), (8, 13), (1, 16). Solucin (x 1)2 + (y 1)2 = 152 4. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (14, 9), (7, 16), (1, 18). Solucin (x 1)2 + (y 1)2 = 172 5. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (15, 11), (1, 19), (13, 17). Solucin (x 1)2 + (y 1)2 = 202 6. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (3, 1), (2, 6), (1, 7). Solucin (x 1)2 + (y 2)2 = 52 7. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (5, 6), (1, 8), (9, 8). Solucin (x 1)2 + (y 2)2 = 102 8. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (8, 10), (1, 17), (13, 11). Solucin (x 1)2 + (y 2)2 = 152 9. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (7, 13), (1, 19), (16, 6). Solucin (x 1)2 + (y 2)2 = 172 10. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (15, 10), (11, 18), (17, 14). Solucin (x 1)2 + (y 2)2 = 202 11. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (2, 0), (1, 1), (6, 6). Solucin (x 2)2 + (y + 3)2 = 52 12. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (4, 5), (2, 7), (10, 3). Solucin (x 2)2 + (y + 3)2 = 102 13. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (7, 9), (2, 12), (11, 9). Solucin (x 2)2 + (y + 3)2 = 152 14. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (13, 5), (2, 14), (17, 11). Solucin (x 2)2 + (y + 3)2 = 172 15. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (10, 13), (2, 23), (18, 15). Solucin (x 2)2 + (y + 3)2 = 202 16. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (14, 13), (10, 5), (7, 6). Solucin (x + 10)2 + (y + 10)2 = 52
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w.
at em at
ic a
1 .c
om
17. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (16, 18), (10, 20), (2, 16). Solucin (x + 10)2 + (y + 10)2 = 102 18. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (19, 2), (10, 5), (1, 2). Solucin (x + 10)2 + (y + 10)2 = 152 19. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (5, 2), (10, 7), (25, 2). Solucin (x + 10)2 + (y + 10)2 = 172 20. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (22, 6), (2, 6), (10, 30). Solucin (x + 10)2 + (y + 10)2 = 202 21. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (13, 5), (7, 13), (6, 6). Solucin (x + 10)2 + (y + 9)2 = 52 22. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (18, 15), (10, 19), (2, 3). Solucin (x + 10)2 + (y + 9)2 = 102 23. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (22, 0), (19, 3), (2, 0). Solucin (x + 10)2 + (y + 9)2 = 152 24. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (25, 1), (18, 6), (5, 17). Solucin (x + 10)2 + (y + 9)2 = 172 25. Encontrar la ecuacin del crculo que pasa por los puntos: (26, 21), (6, 3), (2, 7). Solucin (x + 10)2 + (y + 9)2 = 202
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w.
at em at
ic a
1 .c
om