Rigidez CR 02
Rigidez CR 02
Rigidez CR 02
(n 1)A s
ct h d h cb
As
Eje neutro
(n 1)A s
h b h + (n 1) A s d + (n 1) A s d 2 ct = b h + (n 1) A s + (n 1) A s
1 h 2 2 b h 3 + b h c t + (n 1) A s (d c t ) + A Ig = s (c t d ) 12 2 cb = h c t
2
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a) Punto de agrietamiento (Mcr y cr) El momento flector que causa que la fibra extrema en traccin llegue a la resistencia a la traccin se obtiene usando la seccin transformada. La resistencia a la traccin del concreto se puede tomar como el mdulo de ruptura, dado en la ecuacin C.9-4 del Reglamento (Seccin 9.5.2.2).
fr = 2.2 fc
(kgf/cm2)
E c = 0 .7 f c
(MPa)
Se puede utilizar tambin el valor del ensayo del cilindro acostado NTC 1907 (ASTM C496).
eje neutro
cb = fr
Entonces:
= M cr cb = fr I M cr = fr I 0.7 fc I (MPa) = cb cb
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c y
fc
kd
Cc
kd
fy
Ts
fuerzas
De compatibilidad de deformaciones:
c + y d = c k d k= c c + y
Substituyendo:
b d A s f y = fc c c + y
Pero es funcin de c, por lo tanto, debe utilizarse un procedimiento iterativo consistente en variar el valor de c, obteniendo el valor correspondiente de , hasta que se cumpla el equilibrio. Usando el valor de c que cumple equilibrio, se obtiene . El momento de fluencia puede calcularse como:
M y = A s f y d (1 k )
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cu
fc
kd
kd Cc
Ts
fuerzas
Si se desprecia el endurecimiento por deformacin, fs debe ser fy, si se tiene en cuenta debe ser el esfuerzo correspondiente a s. De compatibilidad de deformaciones:
cu + s cu = d kd k= cu cu + s
Substituyendo:
b d A s fs = fc cu cu + s
En este caso cu es conocido, por lo tanto y rambin se conocen. Si se desprecia el endurecimiento por deformacin s puede obtenerse usando fs = fy. Otros casos deben resolverse iterativamente para s hasta que se obtiene equilibrio. Momento y curvatura ltimos se obtienen de:
M u = A s fs d (1 k )
u = cu kd
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Ejemplo de clculo del diagrama M- Se debe calcular el diagrama momento-curvatura de la siguiente seccin simplemente reforzada:
fc = 28 MPa f y = 420 MPa
h = 500 mm
bw = 250 mm
2 510 = 0.0091 450 250 Es = 200 000 MPa Ec = 4700 fc = 24870 MPa
200 000 =8 24 879 fr 3.7 = = 0.00015 Ec 24870
n=
y = 50u
420 = 0.0021 Es 200 000 0.021 + 0.002 fc = = 0.00367 fc 7 = 0.5 50u + 50h 0.002 = 300
fy
50h = 0 Z=
cu 20c =
Rigidez no fisurada
bw = 250 mm
h = 500 mm
ct
d = 450 mm
(y ct )
A y
I0
A (y ct )2
250 450
2.60109 0 2.60109
11 189
( A y ) 34.46 106 ct = = = 261 mm A 132,140 ( ) 2 Ig = I0 + A ( y ct ) = 2.60 109 + 0.27 109 = 2.87 109 mm4
cb = h ct = 500 261 = 239 mm
Momento de agrietamiento
Mcr = fr Ig cb 3.7 N / mm2 2.87 109 mm4 = 239 mm
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Momento de fluencia
c
fc
kd
kd Cc
fy
Ts
fuerzas
De compatibilidad:
c c + y = kd d c = y k (1 k )
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Un anlisis ms exacto de la profundidad del eje neutro indica que el valor de k en fluencia es 0.328, (kd = 148 mm). La aproximacin es suficientemente buena. Momento ultimo En este punto c = cu
cu = 0.005
kd
cu u
fc
kd Cc
De equilibrio:
Ts = Cc b k d A s fs = fc
s
fs
Ts
fuerzas
De compatibilidad:
cu cu + s = kd d s = cu
(1 k )
k
Ts = Cc A s fs = fc b k d k = A s fs fc b d
Verificamos que la deformacin unitaria del acero no haya excedido su (su = 0.10)
s = cu
(1 k )
k
= 0.005
( 1 0.232)
0.232
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Diagrama Momento-Curvatura
180 160 140 120 M (kN-m) 100 80 60 40 20 0 0 0.00001 0.00002 (1/mm) 0.00003 0.00004 0.00005
2 No. 8 (1) Ab = 510 mm2 As =1020 mm2 h = 500 mm d = 450 mm bw = 250 mm f'c = 28 MPa fy = 420 MPa
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h = 500 mm
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Profundidad eje neutro vs. curvatura 0.7 bw = 250 mm d = 450 mm 0.00003 0.6 h = 500 mm f'c = 28 MPa fy = 420 MPa
0.5
0.4 2 No. 8 (1) Ab = 510 mm2 As =1020 mm2 k 0.3 0.2 0.1 0 0 0.00001 0.00002 0.00004 0.00005 Curvatura (1/mm)
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0.8
I/Ig 0.6
2 No. 8 (1) Ab = 510 mm2 As =1020 mm2
0.4
0.2
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Diagrama Momento-Curvatura con Endurecimiento por Deformacin 200 180 160 140 Momento (kN-m) 120 100 80 60 40 20 0 0 0.00001 0.00002 0.00003 0.00004 0.00005 Curvatura (1/mm) h = 500 mm bw = 250 mm d = 450 mm f'c = 28 MPa fy = 420 MPa
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