Funciones Hipergeométricas
Funciones Hipergeométricas
Funciones Hipergeométricas
Funciones hipergeometricas
1.1. Introducci on
En el presente captulo realizaremos una recopilaci on de los principales resultados
relativos a las funciones hipergeometricas. Esta serie, estudiada por primera vez
por Gauss en 1812, tiene la curiosidad hist orica que en ella se realiza el primer
modelo de una discusion de convergencia efectuada en palabras del propio Gauss
con todo rigor, y hecha para satisfacer a aquellos cuyas preferencias se dirigen a
los metodos rigurosos de los ge ometras antiguos
1
. Actualmente resulta fundamental
en el estudio y desarrollo de las distribuciones de probabilidad discretas, utiliz andose,
sobre todo, para expresar las funciones caractersticas y las generatrices, ya sean de
probabilidad o de momentos.
Denici on 1.1 Sea r un n umero entero positivo y a un n umero real, se conoce
como factorial polin omico de orden r y paso a con respecto a I, para lo cual
escribiremos I
(r,a)
, a la expresi on siguiente:
I
(r,a)
= I (I + a) (I + 2a) (I + (r 1)a)
1
Elementos de historia de las matem aticas. Nicol as Bourbaki. Alianza Universidad. Madrid,
1992, p. 211.
3
4 CAP
ETRICAS
(1) Si a = 1, I
(r,1)
= I
(r)
= I (I 1) (I r +1), se llama r-esimo factorial
descendente de I.
(2) Si a = +1, I
(r,+1)
= (I)
r
= I (I + 1) (I + r 1); se conoce como r-
esimo factorial ascendente de I, y a (I)
r
se le da el nombre de smbolo
de Pochhammer, en honor del matem atico alem an L.A. Pochhammer(1841-
1920).
(3) Para conseguir regularidad en la denici on aceptaremos que I
(0,a)
= 1.
2
1.2. La funci on hipergeometrica de una variable
Denici on 1.2 Se dene la funci on hipergeometrica de Gauss, funci on hi-
pergeometrica de primer genero o simplemente funci on hipergeometrica, a
la serie siguiente:
2
F
1
(a, b; c; z) =
i=0
(a)
i
(b)
i
(c)
i
z
i
i!
(1.1)
con z C; a, b, c C, c = 0, 1, 2, ...
Notaciones alternativas han sido usadas por diversos autores. Entre ellas pode-
mos citar a:
- Meijer(1941), G
12
22
_
z
a, b
1, c
_
=
(a)(b)
(c)z
2
F
1
(a, b; c; z)
- Meijer(1953), (a, b; c; z) =
2
F
1
(a, b; c; z)/(c)
2
No todos los autores utilizan la misma notaci on. Hemos adoptado la de Janardan & Patil
(1972), usada tambien por Johnson, Kotz & Kemp (1992). Diferente elecci on hacen Dyczka (1973,
p.44) y Stuart & Ord (1987, p.81): I
[r]
= I (I 1) (I r + 1). Mood, Graybill & Boes (1974,
p.529) proponen (I)
r
= I (I 1) (I r +1), y por ultimo Johnson, Kotz & Balakrishnan (1997,
p.xix) denen I
[r]
= I (I + 1) (I + r 1), aunque advierten en p.4 la falta de unicidad en la
simbologa utilizada.
1.2. LA FUNCI
ON HIPERGEOM
0 1
0 a 0
1 c b c a b
z
=
2
F
1
(a, b; c; z).
Recibe su nombre por el hecho de que para ciertos valores de sus par ametros
(a = c, b = 1, o b = c, a = 1), se reduce a la serie geometrica elemental:
2
F
1
(a, 1; a; z) = +
2
F
1
(1, b; b; z) =
i=0
z
i
Teorema 1.1 Si a, b o ambos, son enteros no positivos, ya que (I)
j
es cero para
j > I siendo I entero no positivo, la serie (1.1) tiene un n umero nito de terminos,
convirtiendose en un polinomio de grado a, b o min(a, b), respectivamente.
Si la serie es innita:
(1) Es absolutamente convergente si |z| < 1,
(2) Es divergente si |z| > 1, y
(3) Para |z| = 1, z = 1, es:
(a) Absolutamente convergente, si Re(a + b c) < 0.
(b) Condicionalmente convergente, si 0 Re(a + b c) < 1.
(c) Divergente, si Re(a + b c) > 1.
(d) Divergente, si Re(a + b c) = 1 y Re(a + b) Re(ab).
(e) Convergente, si Re(a + b c) = 1 y Re(a + b) > Re(ab).
6 CAP
ETRICAS
(4) Para z = 1, es:
(a) Convergente, si Re(a + b c) < 0.
(b) Divergente, si Re(a + b c) 0.
Demostraci on:
Si calculamos el cociente entre dos terminos consecutivos resulta que:
u
n+1
u
n
=
(a + n)(b + n)
(c + n)(1 + n)
z
y si n , la raz on
u
n+1
u
n
|z|
Por tanto, seg un el criterio de DAlembert, resulta que:
(1) Si |z| < 1, la serie es absolutamente convergente.
(2) Si |z| > 1, la serie es divergente.
(3) Si |z| = 1, z = 1,
La serie es absolutamente convergente para Re(a+bc) < 0, convergente pero
no absolutamente si 0 Re(a + b c) < 1, y divergente si 1 < Re(a + b c).
Si Re(a + b c) = 1, se tiene que:
u
n+1
u
n
= 1
Re(a + b ab + 1)
n
2
+ o(1/n
3
)
De lo que se deduce que la serie es convergente si Re(a + b) > Re(ab), y
divergente si Re(a + b) Re(ab).
(4) Si z = 1,
u
n+1
u
n
=
n
2
+ n(a + b) + ab
n
2
+ n(c + 1) + c
y, aplicando el criterio de Raabe, se obtiene que:
1.2. LA FUNCI
ON HIPERGEOM
u
n+1
u
n
> 1
1
n
C
n
2
donde C es una constante.
+ [c (a + b + 1)z]w
abw = 0
3
(1.2)
Demostraci on:
Llamemos
w = +
2
F
1
(a, b; c; z) =
i=0
(a)
i
(b)
i
(c)
i
z
i
i!
En |z| < 1 la serie de potencias w es indenidamente derivable, luego podemos
hacer:
w
=
dw
dz
=
i=1
(a)
i
(b)
i
(c)
i
i
z
i1
i!
=
i=1
(a)
i
(b)
i
(c)
i
z
i1
(i 1)!
w
=
d
2
w
dz
2
=
i=2
(a)
i
(b)
i
(c)
i
(i 1)
z
i2
(i 1)!
=
i=2
(a)
i
(b)
i
(c)
i
z
i2
(i 2)!
3
La segunda soluci on de la ecuacion diferencial (1.2), linealmente independiente de
2
F
1
(a, b; c; z),
se llama funcion hipergeometrica de segundo genero, y es:
(a, b; c; z) =
(ac+1)(bc+1)
(a)(b)(1c)
z
1c
2
F
1
(a c + 1, b c + 1; 2 c; z).
8 CAP
ETRICAS
Sustituyendo los valores de w, w
y w
i=2
(a)
i
(b)
i
(c)
i
z
i2
(i 2)!
+
+[c (a + b + 1)z]
i=1
(a)
i
(b)
i
(c)
i
z
i1
(i 1)!
+
ab
i=0
(a)
i
(b)
i
(c)
i
z
i
i!
Calculemos los coecientes para cada potencia de z:
(i) z
0
:
c
ab
c
ab = 0
(ii) z
1
:
(a)
2
(b)
2
(c)
2
+ c
(a)
2
(b)
2
(c)
2
(a + b + 1)
ab
c
ab
ab
c
=
=
a(a + 1)b(b + 1)
c(c + 1)
+ c
a(a + 1)b(b + 1)
c(c + 1)
ab
(a + b + 1 + ab)
c
= 0
(iii) z
i
, i 2:
(a)
i+1
(b)
i+1
(c)
i+1
(i 1)!
(a)
i
(b)
i
(c)
i
(i 2)!
+ c
(a)
i+1
(b)
i+1
(c)
i+1
i!
+
(a + b + 1)
(a)
i
(b)
i
(c)
i
(i 1)!
ab
(a)
i
(b)
i
(c)
i
i!
=
=
(a + i)(a)
i
(b + i)(b)
i
(c + i)(c)
i
(i 1)!
(a)
i
(b)
i
(c)
i
(i 2)!
+
+c
(a + i)(a)
i
(b + i)(b)
i
(c + i)(c)
i
i!
(a + b + 1)
(a)
i
(b)
i
(c)
i
(i 1)!
ab
(a)
i
(b)
i
(c)
i
i!
=
1.2. LA FUNCI
ON HIPERGEOM
+ [c (a + b + 1)z]w
abw = 0
es equivalente a la ecuaci on diferencial:
[ ( + c 1) z ( + a) ( + b)] (w) = 0 (1.3)
siendo = z
d
dz
.
Demostraci on:
[ ( + c 1) z ( + a) ( + b)] (w) = 0
(1 z)
2
(w) + [c 1 (a + b) z] (w) a b z w = 0
(1 z) z (w
+ z w
) + [c 1 (a + b) z] z w
a b z w = 0
(1 z) z
2
w
+ [1 z + c 1 (a + b) z] z w
a b z w = 0
10 CAP
ETRICAS
{(1 z) z w
+ [c (a + b + 1) z] w
a b w} z = 0
(1 z) z w
+ [c (a + b + 1) z] w
a b w = 0
como se quera demostrar.
Denici on 1.3 (Prolongaci on analtica de la funci on hipergeometrica) En
el exterior del crculo de radio unidad, puede prolongarse analticamente la funci on
hipergeometrica mediante la transformaci on integral de Euler, de la forma siguiente:
2
F
1
(a, b; c; z) =
(c)
(a)(c a)
_
1
0
t
a1
(1 t)
ca1
(1 zt)
b
dt (1.4)
con Re(c) > Re(a) > 0 y |arg(1 z)| <
4
.
Ya que
2
F
1
(a, b; c; z)=
2
F
1
(b, a; c; z), puede tambien denirse como:
2
F
1
(a, b; c; z) =
(c)
(b)(c b)
_
1
0
t
b1
(1 t)
cb1
(1 zt)
a
dt (1.5)
con Re(c) > Re(b) > 0 y |arg(1 z)| < .
Ambas integrales denen funciones analticas univaluadas en |arg(1 z)| < ;
es decir, en todo C excepto en los puntos del intervalo (1, +). Ya que la funci on
2
F
1
(a, b; c; z) esta denida en |z| < 1, utilizando (1.1) y (1.4) o (1.5) obtenemos una
prolongaci on analtica de la funci on hipergeometrica a C, salvo el intervalo [1, +).
4
La funci on gamma, (z), se dene (Erdelyi, A., Magnus, W., Oberhettinger F. and Tricomi,
F.G., 1953, p.1) como (z) =
_
0
e
t
t
z1
dt, con Re(z) > 0
1.2. LA FUNCI
ON HIPERGEOM
i=0
(a
1
)
i
(a
p
)
i
(b
1
)
i
(b
q
)
i
z
i
i!
(1.6)
con z C; a
j
, b
k
C, b
k
= 0, 1, 2, ...; j = 1, 2, ..., p; k = 1, 2, ..., q
Teorema 1.4 Si alg un a
j
, es entero no positivo, la serie (1.6) tiene un n umero
nito de terminos, convirtiendose en un polinomio de grado mn
a
j
Z
{0}
{a
j
}.
Si la serie es innita:
(1) Si p = q + 1,
(a) Es absolutamente convergente si |z| < 1
(b) Es divergente si |z| > 1
(c) Para |z| = 1, z = 1, es:
(c1) Absolutamente convergente, si Re
_
p
i=1
a
i
i=1
b
i
_
< 0.
(c2) Condicionalmente convergente, si 0 Re
_
p
i=1
a
i
i=1
b
i
_
< 1.
(c3) Divergente, si Re
_
p
i=1
a
i
i=1
b
i
_
> 1.
(c4) Divergente, si Re
_
p
i=1
a
i
i=1
b
i
_
= 1 y Re
_
p
i=1
a
i
_
Re
_
p
i=1
a
i
_
.
(c5) Convergente, si Re
_
p
i=1
a
i
i=1
b
i
_
= 1 y Re
_
p
i=1
a
i
_
> Re
_
p
i=1
a
i
_
.
12 CAP
ETRICAS
(d) Para z = 1, es:
(d1) Convergente, si Re
_
p
i=1
a
i
i=1
b
i
_
< 0.
(d2) Divergente, si Re
_
p
i=1
a
i
i=1
b
i
_
0.
(2) Si p q, es absolutamente convergente para todo valor de z.
(3) Si p > q + 1, es divergente para z = 0.
Demostraci on:
Si calculamos el cociente entre dos terminos consecutivos resulta que:
u
n+1
u
n
=
(a
1
+ n) (a
p
+ n)
(b
1
+ n) (b
q
+ n) (1 + n)
z
y si n tenemos que:
(1) Si p = q + 1 entonces,
u
n+1
u
n
|z|
Por tanto, seg un el criterio de DAlembert, resulta que:
(a) Si |z| < 1, la serie es absolutamente convergente.
(b) Si |z| > 1, la serie es divergente.
(c) Si |z| = 1, z = 1,
La serie es:
- absolutamente convergente para Re
_
p
i=1
a
i
i=1
b
i
_
< 0
- convergente pero no absolutamente si 0 Re
_
p
i=1
a
i
i=1
b
i
_
< 1
1.2. LA FUNCI
ON HIPERGEOM
i=1
a
i
i=1
b
i
_
> 1
- Si Re
_
p
i=1
a
i
i=1
b
i
_
= 1, se tiene que:
u
n+1
u
n
= 1
p
i=1
a
i
p
i=1
a
i
+ 1
n
2
+ o(1/n
3
)
De lo que se deduce que la serie es convergente si Re
_
p
i=1
a
i
_
> Re
_
p
i=1
a
i
_
,
y divergente si Re
_
p
i=1
a
i
_
Re
_
p
i=1
a
i
_
.
(d) Si z = 1,
u
n+1
u
n
=
n
p
+ n
p1
i=1
a
i
+ +
p
i=1
a
i
n
q+1
+ n
q
_
q
i=1
b
i
+ 1
_
+ +
q
i=1
b
i
y, aplicando el criterio de Raabe, se obtiene que:
(i) Si Re
_
p
i=1
a
i
i=1
b
i
_
< 0, la serie es convergente.
(ii) Si Re
_
p
i=1
a
i
i=1
b
i
_
> 0, es divergente.
(iii) Si Re
_
p
i=1
a
i
i=1
b
i
_
= 0 tambien es divergente, ya que en este
caso:
u
n+1
u
n
> 1
1
n
C
n
2
donde C es una constante.
14 CAP
ETRICAS
(2) Si p q,
u
n+1
u
n
u
n+1
u
n
j=1
( + a
j
)z
i
= z
i
j=1
(i + a
j
)
(2)
q
k=1
( + b
k
1)z
i
= i z
i
k=1
(i + b
k
1)
(3) [ ( + b
1
1) ( + b
q
1) z ( + a
1
) ( + a
p
)]
(
p
F
q
(a
1
, a
2
, ..., a
p
; b
1
, b
2
, ..., b
q
; z)) =
=
i=0
(a
1
)
i
(a
p
)
i
(b
1
)
i
(b
q
)
i
i!
_
i(i + b
1
1) (i + b
q
1) z
i
(i + a
1
) (i + a
p
) z
i+1
ON HIPERGEOM
[(i 1 + a
1
) (i 1 + a
p
)] =
(a
1
)
i1
(a
p
)
i1
(b
1
)
i1
(b
q
)
i1
(i 1)!
_
(a
1
+ i 1) (a
p
+ i 1)
(b
1
+ i 1) (b
q
+ i 1)
1
i
i (i + b
1
1) (i + b
q
1)+
(i 1 + a
1
) (i 1 + a
p
)] = 0
como se quera demostrar.
16 CAP
ETRICAS
Bibliografa
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