Intervalo (matemática)

El intervalo real ${\displaystyle I\ }$  es la parte de ${\displaystyle \mathbb {R} }$  que verifica la siguiente propiedad:

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

 

No incluye los extremos.

• ${\displaystyle (a,b)\ }$  o bien ${\displaystyle ]a,b[\ }$ 
• Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

${\displaystyle I=(a,b),\quad \forall x\in I:\quad a<x<b}$ 

En la definición de límite de una función real se considera como dominio un intervalo abierto.

En la topología usual de la recta ( o ℝ) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ℝ, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto <a, b> es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b]^[1]​.

 

Sí incluye los extremos.

• Que se indica: ${\displaystyle [a,b]\ }$ 
• Notación conjuntista o en términos de desigualdades

${\displaystyle I=[a,b],\quad \forall x\in I:\quad a\leq x\leq b}$ 

Incluye únicamente uno de los extremos.

 

• Con la notación ${\displaystyle (a,b]\ }$  o bien ${\displaystyle ]a,b]\ }$  indicamos.

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=(a,b],\quad \forall x\in I:\quad a<x\leq b}$ 

 

• Y con la notación ${\displaystyle [a,b)\ }$  o bien ${\displaystyle [a,b[\ }$ ,

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=[a,b),\quad \forall x\in I:\quad a\leq x<b}$ 

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudios de diferentes operadores como clausura, interior, frontera, conexidad, etc. ^[2]​.

Incluye un extremos e infinito por la derecha.

 

• Con la notación ${\displaystyle [a,\infty )\ }$  indicamos.

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=[a,\infty ),\quad \forall x\in I:\quad a\leq x}$ 

Sin incluir el extremo:

 

• Y con la notación ${\displaystyle (a,\infty )}$ ,

${\displaystyle I=(a,\infty ),\quad \forall x\in I:\quad a<x}$ 

Incluye un extremos e infinito por la izquierda.

 

• Con la notación ${\displaystyle (-\infty ,a]\ }$  indicamos.

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=(-\infty ,a],\quad \forall x\in I:\quad x\leq a}$ 

Sin incluir el extremo:

 

• Y con la notación ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ ,

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=(-\infty ,a),\quad \forall x\in I:\quad x<a}$ 

Para todo valor real:

 

• Y con la notación ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ ,

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=(-\infty ,\infty ),\quad \forall x\in R}$ 

En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:

${\displaystyle A=\{x,\;x\in R:\quad x<4\}}$ 

Esto se lee: A son todos los x reales tales que x es menor que cuatro.

Y el conjunto B:

${\displaystyle B=\{x,\;x\in R:\quad 9<x\}}$ 

El conjunto B abarca todos los x, reales, mayores que nueve.

 

El conjunto unión de A y B sería:

${\displaystyle A\cup B=\{x,\;x\in R:\quad x<4\;\lor \;9<x\}}$ 

O también se puede anotar:

${\displaystyle x\in (-\infty ,4)\cup (9,\infty )}$ 

La unión de dos o más conjuntos es tomar todos los puntos pertenecientes a cada conjunto.

 

El conjunto intersección de A y B no existe:

${\displaystyle A\cap B=\{x,\;x\in R:\quad x<4\;\land \;9<x\}}$ 

porque A y B no tienen puntos en común.

${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ 

Definido el conjunto C:

${\displaystyle C=\{x,\;x\in R:\quad -3<x<15\}}$ 

Es decir, que el conjunto C toma valores entre -3 y 15, siempre siendo x un número real.

 

El conjunto intersección de A y C es:

${\displaystyle A\cap C=\{x,\;x\in R:\quad -3<x<4\}}$ 

El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluidos.

Un entorno simétrico o entorno de centro a y radio r se representa:

 

• Con la notación ${\displaystyle E(a,r)\ }$  indicamos.

${\displaystyle I=E(a,r),\quad \forall x\in I:\quad a-r<x<a+r}$ 

Un entorno reducido de centro a y radio r se representa:

 

• Con la notación ${\displaystyle E^{\star }(a,r)\ }$  indicamos.

${\displaystyle I=E^{\star }(a,r),\quad \forall x\in I:\quad x\in E(a,r)\;-\;\{a\}}$ 

Un entorno reducido de un punto p es un entorno de p, menos {p}. Por ejemplo, el [[intervalo (−1, 1) = {y : −1 < y < 1} es un entorno de p = 0 en la recta real, entonces el conjunto (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) − {0} es un entorno reducido de 0.

• Si a > b, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al conjunto vacío.
• (a,a), [a,a) y (a,a] denotan también al conjunto vacío.
• [a,a] denota al conjunto unitario {a}, también llamado intervalo degenerado.
• Estas notaciones también se utilizan en otras áreas de las matemáticas; por ejemplo, la notación ${\displaystyle (a,b)\ }$ , denota un par ordenado en teoría de conjuntos; las coordenadas de un punto o un vector en geometría analítica y álgebra lineal; un número complejo en álgebra.
• Ambas notaciones admiten el símbolo de infinito (${\displaystyle \infty }$ ) para indicar que no hay cota.

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:

Notación	Intervalo	Longitud	Descripción
${\displaystyle [a,b]\,}$	${\displaystyle a\leq x\leq b}$	${\displaystyle b-a\,}$	Intervalo cerrado de longitud finita.
${\displaystyle [a,b[\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ [a,b)\!}$	${\displaystyle a\leq x<b\!}$	${\displaystyle b-a\,}$	Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b).
${\displaystyle ]a,b]\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (a,b]\!}$	${\displaystyle a<x\leq b}$	${\displaystyle b-a\,}$	Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).
${\displaystyle ]a,b[\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (a,b)\!}$	${\displaystyle a<x<b\!}$	${\displaystyle b-a\,}$	Intervalo abierto.
${\displaystyle ]-\infty ,b[\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (-\infty ,b)\!}$	${\displaystyle x<b\!}$	${\displaystyle \infty }$	Intervalo semiabierto.
${\displaystyle ]-\infty ,b]\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (-\infty ,b]\!}$	${\displaystyle x\leq b\!}$	${\displaystyle \infty }$	Intervalo semiabierto.
${\displaystyle [a,\infty [\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ [a,\infty )\!}$	${\displaystyle x\geq a\!}$	${\displaystyle \infty }$	Intervalo semiabierto.
${\displaystyle ]a,\infty [\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (a,\infty )\!}$	${\displaystyle x>a\!}$	${\displaystyle \infty }$	Intervalo semiabierto.
${\displaystyle ]\infty ,+\infty [\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (\infty ,+\infty )\!}$	${\displaystyle x\in \mathbb {R} \!}$	${\displaystyle \infty }$	Intervalo a la vez abierto y cerrado.
${\displaystyle \{a\}\!}$	${\displaystyle x=a\!}$	${\displaystyle 0\!}$	Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).
${\displaystyle \{\}=\emptyset \!}$	x no existe	Sin longitud.	Conjunto vacío.

• La intersección de intervalos de ${\displaystyle \mathbb {R} }$  es también un intervalo.
• La unión de intervalos de ${\displaystyle \mathbb {R} }$  no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).
• Las partes conexas de ${\displaystyle \mathbb {R} }$  son exactamente los intervalos.
• Los intervalos cerrados sobre una recta se denominan «segmento de recta».
• La imagen por una función continua de un intervalo de ${\displaystyle \mathbb {R} }$  es un intervalo de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Esta es una formulación del Teorema del valor intermedio.

Sean I = [a, b] y J = [c, d] con a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.

Entonces: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que

• I + J = [ a + c , b + d ].

• I - J = [ a - d, b - c ].

• Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].

Un intervalo n-dimensional se define como un subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , que es el producto cartesiano de n intervalos: ${\displaystyle I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$ , uno en cada eje de coordenadas.

 

En términos topológicos, en el espacio métrico ${\displaystyle \mathbb {R} }$  usual los intervalos son las bolas abiertas y cerradas. De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro a y radio ε, al conjunto de puntos x cuya distancia a a es menor que ε.

${\displaystyle E(a;\epsilon )=\left\{x\in \mathbb {R} \ :\ |x-a|<\epsilon \right\}}$ 

• Desigualdad
• Valor absoluto
• Intervalo unidad
• Partición de un intervalo
• Medida de Lebesgue

• Skornyakov, L.A. (2001), «Interval_and_segment&oldid=14087», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Weisstein, Eric W. «Interval». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.