Punto de acumulación

En topología, el concepto de punto de acumulación (también denominado punto límite o punto de aglomeración ^[1]​) de un conjunto en un espacio captura la noción informal de punto que está arbitrariamente próximo a otros puntos del conjunto sin pertenecer necesariamente a él. Informalmente hablando, un punto de acumulación de un conjunto S en un espacio topológico X es un punto x en X que puede ser aproximado por puntos de S distintos a x tanto como se desee.

Este concepto generaliza la noción de límite y puede ser base de conceptos como conjunto cerrado y cerradura topológica. Ciertamente, un conjunto es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos de acumulación, y la operación topológica de cerradura puede considerarse como el resultado de agregar a un conjunto todos sus puntos de acumulación.

Sea ${\displaystyle (X,\tau )}$ un espacio topológico y S un subconjunto de X. Diremos que x es un punto de acumulación de S si y solamente si para cualquier subconjunto abierto U del espacio X que contenga al punto x, ${\displaystyle U_{x}}$ se tiene que ${\displaystyle S\cap (U_{x}-\{x\})\neq \emptyset }$.

Ejemplos

• El intervalo ${\displaystyle (0,1)}$ tiene como puntos de acumulación a todos los puntos del intervalo ${\displaystyle [0,1]}$.

• Un conjunto finito de números reales en la topología estándar no tiene puntos de acumulación.

• Sin embargo, cualquier número es un punto de acumulación de un conjunto finito en la topología trivial de los números reales.

• ${\displaystyle \mathbb {N} }$ no tiene puntos de acumulación cuando se considera como subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ en la topología estándar. Por lo tanto, cada punto en ${\displaystyle N}$ es aislado.

x es un punto límite de S si y solo si está en la cerradura de S \ {x}.

'Demostración: Partamos del hecho de que un punto está en la cerradura de un conjunto si y solo si toda vecindad del punto tiene intersección no vacía con el conjunto. Ahora, x es un punto límite de S ssi toda vecindad de x contiene un punto de S distinto a x ssi toda vecindad de x contiene un punto de S \ {x} sii x está en la cerradura de S \ {x}.

• Si usamos L(S) para denotar el conjunto de puntos límite de S, entonces tenemos la siguiente caracterización de la cerradura de S: La cerradura de S es igual a la unión de S y L(S).
  • Demostración: Supongamos que x está en la cerradura de S. Si x está en S, está demostrado. Si x no está en S, entonces toda vecindad de x contiene un punto de S, y este punto no puede ser x. En otras palabras, x es un punto límite de S y x está en L(S).

Recíprocamente, si x está en S, entonces toda vecindad de x claramente tiene intersección no vacía con S, así que x está en la cerradura de S. Si x está en L(S), entonces toda vecindad de x contiene un punto de S (distinto de x), así que x está en la cerradura de S. Esto completa la prueba.

• Un corolario de este resultado nos da una caracterización de los conjuntos cerrado: un conjunto S es cerrado si y solo si este contiene a todos sus puntos límite.

• Teorema: ${\displaystyle E\,}$ es un conjunto cerrado si ${\displaystyle E'\subset E}$ , donde ${\displaystyle E'\,}$ es el conjunto de todos los puntos de acumulación de ${\displaystyle E\,}$.

Válido para cualquier espacio (métricos, topológicos, etc).

• Ningún punto aislado es el punto de límite de un conjunto que no lo contenga.
• Un espacio X es discreto si y solo si ningún subconjunto de X tiene puntos límites.
• Si un espacio X tiene la topología trivial y S es un subconjunto de X con más de un elemento, entonces todos los elementos de X son puntos límites de S.

• Punto adherente
• Punto aislado

• W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill, 1976. ISBN 0-07-054235-X