Subconjunto

$A$ es subconjunto de otro conjunto $B$ si todos los elementos de $A$ pertenecen también a $B$ . Decimos entonces que $A$ «está contenido» dentro de $B$ .

Definición

La diferencia entre los conjuntos es formado por elementos que pertenecen a uno y a los otros no.
Otras maneras de decirlo son « $A$ está incluido en $B$ », « $B$ incluye a $A$ »,etc.

Ejemplos

El «conjunto de todas las mujeres» es un subconjunto del «conjunto de todas las personas».
${1, 3} \subseteq {1, 2, 3, 4$ }
${2, 4, 6,...} \subseteq {1, 2, 3,..} = N$ . Es decir, números pares positivos ⊆ números naturales

Subconjunto propio

Es cierto que cada elemento de un conjunto $A$ es un elemento de $A$ (es una afirmación tautológica). Por tanto se tiene el siguiente teorema:

Todo conjunto $A$ es subconjunto de sí mismo.

Así, dados dos conjuntos $A \subseteq B$ , cabe la posibilidad de que sean iguales, $A = B$ .

Por otro lado, es posible también que $A$ contenga algunos pero no todos los elementos de $B$ :

Sea $A$ un subconjunto de $B$ tal que $A \neq B$ . Entonces se dice que $A$ es un subconjunto propio de $B$ , y se denota por $A \subset B$ .
(A su vez, se dice que $B$ es un superconjunto propio de $A$ , $B \supset A$ )

Es verdadero que todos los ejemplos de subconjunto mostrados arriba son de hecho subconjuntos propios.

Según el autor, $A \subset B$ y $B \supset A$ subconjunto o subconjunto propio.^[1]Sin embargo, es importante aclarar que existe una diferencia entre subconjunto y subconjunto propio, pues el subconjunto abarca la definición de subconjunto propio.

Conjunto potencia

Artículo principal: Conjunto potencia

La totalidad de los subconjuntos de un conjunto dado $A$ constituye el llamado conjunto potencia o conjunto partes de $A$ :

El conjunto potencia de $A$ es el conjunto formado por todos los subconjuntos de $A$ :

${\mathcal {P}}(A)=\{B:\,B\subseteq A\}$

Cuando el conjunto $A$ tiene un número finito de elementos, por ejemplo $| A | = n$ , el conjunto potencia también es finito y tiene $2 n$ elementos.

Por ejemplo, dado el conjunto $A = {a, b}$ , su conjunto potencia es:

{\mathcal {P}}(A)=\{\emptyset ,\,\{a\},\,\{b\},\,\{a,b\}\}

Propiedades

El conjunto vacío, denotado como $\emptyset$ , es subconjunto de cualquier conjunto.

Esto se debe a que «todo elemento de $\emptyset$ lo es de $A$ » significa lo mismo que « $\emptyset$ no tiene ningún elemento que no esté en $A$ », y esto es cierto sea cual sea $A$ ya que $\emptyset$ no tiene elementos.

Si cada elemento de un conjunto $A$ lo es de otro conjunto $B$ , y cada elemento de $B$ a su vez lo es de otro conjunto $C$ , entonces cada miembro de $A$ pertenece también a $C$ , o sea:

$A\subseteq B$ y $B\subseteq C$ implica $A\subseteq C.$
En el diagrama, $A\subseteq B\subseteq C$ .

Dados tres conjuntos $A$ , $B$ y $C$ , si $A$ es subconjunto de $B$ y $B$ es subconjunto de $C$ , entonces $A$ es subconjunto de $C$ .

Además, si dos conjuntos son subconjuntos el uno del otro, entonces todos los miembros de uno lo son del otro y viceversa. Entonces, ambos conjuntos poseen los mismos elementos, y los conjuntos quedan definidos únicamente por sus elementos, luego:

Si $A$ es subconjunto de $B$ y $B$ es subconjunto de $A$ , entonces $A = B$ .

Propiedades avanzadas

La relación de inclusión tiene las mismas propiedades que la relación de orden no estricto: es reflexiva ( $A \subseteq A$ ); transitiva ( $A \subseteq B$ y $B \subseteq C$ implican $A \subseteq C$ ); y antisimétrica ( $A \subset B$ y $B \subset A$ implican $A = B$ ).