σ-álgebra

${\displaystyle \sigma }$-álgebra

Sea ${\displaystyle \Omega }$ un conjunto no vacío.

Llamamos ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre ${\displaystyle \Omega }$ a una familia ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )}$ no vacía de subconjuntos de ${\displaystyle \Omega }$ que verifique:

1. ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {A}}}$ (contiene al total).
2. ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A^{c}=\Omega \setminus A\in {\mathcal {A}}}$ (cerrada bajo complementarios).
3. ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {A}}\,\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {A}}}$ (cerrada bajo uniones numerables).

Propiedades básicas de las ${\displaystyle \sigma }$-álgebras

Sea ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre un conjunto ${\displaystyle \Omega }$. Se cumplen las siguientes propiedades:

1. El conjunto vacío pertenece a la ${\displaystyle \sigma }$-álgebra:

   ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {A}}}$.

2. La ${\displaystyle \sigma }$-álgebra es cerrada bajo uniones finitas:

   ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {A}}\quad \forall n\in \mathbb {N} }$.

3. La ${\displaystyle \sigma }$-álgebra es cerrada bajo intersecciones numerables:

   ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {A}}\,\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow \bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {A}}}$.

4. La ${\displaystyle \sigma }$-álgebra es cerrada bajo intersecciones finitas:

   ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {A}}\quad \forall n\in \mathbb {N} }$.

5. La ${\displaystyle \sigma }$-álgebra es cerrada bajo diferencia de conjuntos:

   ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {A}}}$.

Sea ${\displaystyle \{{\mathcal {A}}_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}$ una familia arbitraria de ${\displaystyle \sigma }$-álgebras sobre ${\displaystyle \Omega }$.

Entonces, la intersección ${\displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda }{\mathcal {A}}_{\lambda }}$ es también una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre ${\displaystyle \Omega }$.

${\displaystyle \sigma }$-álgebra inducida

Sea ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre un conjunto ${\displaystyle \Omega }$ y ${\displaystyle E\subseteq \Omega }$ no vacío.

La familia

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{E}=\{A\cap E:A\in {\mathcal {A}}\}}$

es una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre ${\displaystyle E}$. Recibe el nombre de ${\displaystyle \sigma }$-álgebra inducida.

${\displaystyle \sigma }$-álgebra generada por una familia de subconjuntos

Sea ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )}$ una familia de subconjuntos de ${\displaystyle \Omega }$.

Se define la ${\displaystyle \sigma }$-álgebra generada por ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, denotada por ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}$ o ${\displaystyle \langle {\mathcal {S}}\rangle }$, como la menor ${\displaystyle \sigma }$-álgebra (en el sentido de la inclusión) que contiene a ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$.

${\displaystyle \sigma }$-álgebra de Borel

Si ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ es un espacio topológico, la ${\displaystyle \sigma }$-álgebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\sigma \left({\mathcal {T}}\right)}$ se denomina ${\displaystyle \sigma }$-álgebra de Borel.

${\displaystyle \sigma }$-álgebra producto

Sean ${\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1}),(\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})}$ dos espacios medibles.

Se define la ${\displaystyle \sigma }$-álgebra producto sobre ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}}$ como:

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\times {\mathcal {A}}_{2}=\sigma \left(\{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in {\mathcal {A}}_{1},A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}\}\right)}$

Función medible

Una función ${\displaystyle f:(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1})\to (\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})}$ entre dos espacios medibles se dice medible si la preimagen de cualquier conjunto ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$-medible es ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$-medible, esto es:

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}}_{2},\,f^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}_{1}}$.

Sea ${\displaystyle \Omega _{1}}$ un conjunto, ${\displaystyle (\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})}$ un espacio medible y ${\displaystyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$ una aplicación.

Entonces, la familia

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\{f^{-1}(A):A\in {\mathcal {A}}_{2}\}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega _{1})}$

es una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre ${\displaystyle \Omega _{1}}$.

Sea ${\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1})}$ un espacio medible, ${\displaystyle \Omega _{2}}$ un conjunto y ${\displaystyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$ una aplicación.

Entonces, la familia

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}=\{f(A):A\in {\mathcal {A}}_{1}\}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega _{2})}$

es una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre ${\displaystyle \Omega _{2}}$.