disjunkt

 

Zwei Mengen ${\displaystyle A}$  und ${\displaystyle B}$  sind disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, wenn also gilt:

${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ .

Eine Familie von Mengen ${\displaystyle (M_{i})_{i\in I}}$  ist eine disjunkte Mengenfamilie, wenn ihre Elemente paarweise disjunkt sind, wenn also gilt:

${\displaystyle M_{i}\cap M_{j}=\emptyset }$  für ${\displaystyle i\neq j}$  und ${\displaystyle i,j\in I}$ .

Dies lässt sich auch ohne Rückgriff auf Negationen formulieren:

${\displaystyle i=j}$  für alle ${\displaystyle i,j\in I}$  und ${\displaystyle x\in M_{i}\cap M_{j}}$ .

Die Vereinigung ${\displaystyle M}$  einer disjunkten Mengenfamilie nennt man disjunkte Vereinigung und schreibt sie als

${\displaystyle M={\dot {\bigcup _{i\in I}}}M_{i}}$ .

Sind außerdem alle Mengen der Familie nichtleer, liegt eine Partition von ${\displaystyle M}$  vor.

Die Begriffe werden auch analog für Mengensysteme (anstelle von Mengenfamilien) verwendet.

• Die Mengen ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$  und ${\displaystyle B=\{7,8,11\}}$  sind disjunkt, weil sie kein gemeinsames Element haben.
• Die Mengen ${\displaystyle A=\{1,2,7\}}$  und ${\displaystyle B=\{6,7,8,11\}}$  sind nicht disjunkt, da sie das Element ${\displaystyle 7}$  gemeinsam haben.
• Die drei Mengen ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$ , ${\displaystyle B=\{4,5\}}$  und ${\displaystyle C=\{5,6,7\}}$  sind nicht paarweise disjunkt, da zumindest eine der drei möglichen Schnittmengen (nämlich ${\displaystyle B\cap C}$ ) nicht leer ist.
• Die folgende Aufzählung definierte eine (unendliche) disjunkte Mengenfamilie, die eine Partition der ganzen Zahlen darstellt: ${\displaystyle \{0\},\{1,-1\},\{2,-2\},\{3,-3\},\{4,-4\},\ldots }$ .
• Zwei verschiedene Geraden ${\displaystyle g}$  und ${\displaystyle h}$  in der euklidischen Ebene sind genau dann disjunkt, wenn sie parallel sind. Die Gesamtheit aller Parallelen zu einer gegebenen Geraden ${\displaystyle g}$  bildet eine Partition der Ebene.

Weitere Beispiele:

•  
  Die Menge mit der Spielkarte und dem Buch ist disjunkt zur Menge mit der Gitarre und der Trommel.
•  
  Ein paarweise disjunktes Mengensystem
•  
  Ein nicht paarweise disjunktes Mengensystem

Bei der Fragebogenkonstruktion müssen Fragen so formuliert werden, dass die Antwortmöglichkeiten (Begriffsbeziehungen) disjunkt und erschöpfend sind.

Beispiel für nicht-disjunkte Antwortmöglichkeiten: Wie viel verdienen Sie?

1. 0 bis 1000 Euro
2. 500 und mehr Euro.

Personen mit einem Verdienst zwischen 500 und 1000 Euro wissen nicht, welche Antwortmöglichkeit sie wählen sollen.

• Die leere Menge ${\displaystyle \emptyset }$  ist disjunkt zu jeder beliebigen Menge.
• ${\displaystyle \{a\}}$  und ${\displaystyle B}$  sind genau dann disjunkt, wenn ${\displaystyle a\notin B}$ .
• Die Mächtigkeit einer endlichen disjunkten Vereinigung endlicher Mengen ist gleich der Summe der Einzelmächtigkeiten. Für nicht-disjunkte Vereinigungen gilt die Siebformel.
• Einelementige Mengensysteme sind immer paarweise disjunkt.
• Das leere Mengensystem ist paarweise disjunkt^[1]

• Lineare Disjunktheit, ein Begriff der abstrakten Algebra im Zusammenhang mit Körpererweiterungen, der mit der hier betrachteten Disjunktheit nur gemeinsam hat, dass die Schnittmenge linear disjunkter Körper kleinstmöglich ist.

1. ↑ Siehe die Antworten zur Frage „Is the empty family of sets pairwise disjoint?“