Bernoulliho číslo

Bernoulliho čísla je nekonečná posloupnost racionálních čísel ${\displaystyle {B_{k}},}$ kterou popsal v roce 1631 Johann Faulhaber jako nástroj pro usnadnění počítání sum určitých mocnin po sobě jdoucích přirozených čísel. Toto použití a některé jejich vlastnosti podrobně popsal Jacob Bernoulli v knize Ars Conjectandi (vydané po smrti autora v roce 1713). Uvádí tam mimo jiné, že použitím Faulhaberova vzorce (viz níže) dokáže spočítat součet: ${\displaystyle 1^{10}+2^{10}+3^{10}+...+1000^{10}}$ „za půl čtvrthodiny”.

Bernoulliho čísla našla použití v matematické analýze (při rozvoji funkcí v Taylorovu řadu) a v teorii čísel.

V současné době existují v matematice dvě definice Bernoulliho čísel: novější – uvedená níže jako definice 1 a starší – níže citovaná jako definice 2. Pro rozlišení se Bernoulliho čísla podle definice 1 označují ${\displaystyle {B_{k}},}$ a podle definice 2 ${\displaystyle B_{k}^{*}.}$ Čísla ${\displaystyle B_{k}^{*}}$ tvoří vlastní podmnožinu hodnot ${\displaystyle {B_{k}}.}$

Bernoulliho čísla ${\displaystyle {B_{k}}}$ jsou koeficienty v Taylorově rozvoji funkce:^[1]

${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}\cdot {x^{n}}}{n!}}.}$

Tato řada konverguje pro ${\displaystyle |x|<2\pi .}$

Bernoulliho čísla je možné také definovat rekurentně pomocí vzorce:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose k}\cdot B_{k}=0,}$

kde ${\displaystyle B_{0}=1.}$

Bernoulliho čísla s lichými indexy většími než 2 podle této definice jsou rovna 0.

Čísla se sudými indexy většími než 0 jsou střídavě kladná a záporná.

Prvních 21 Bernoulliho čísel ${\displaystyle B_{k}}$ počínaje ${\displaystyle B_{0}}$:

${\displaystyle 1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}},0,-{\frac {1}{30}},0,{\frac {1}{42}},0,-{\frac {1}{30}},0,{\frac {5}{66}},0,-{\frac {691}{2730}},0,{\frac {7}{6}},0,-{\frac {3617}{510}},0,{\frac {43867}{798}},0,-{\frac {174611}{330}},\ldots }$

Bernoulliho čísla ${\displaystyle B_{k}^{*}}$ jsou koeficienty v Taylorově rozvoji funkce:

${\displaystyle 1-{\frac {x}{2}}\operatorname {cotg} \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {B_{1}^{*}\cdot {x^{2}}}{2!}}+{\frac {B_{2}^{*}\cdot {x^{4}}}{4!}}+{\frac {B_{3}^{*}\cdot {x^{6}}}{6!}}+\ldots }$

Prvních několik Bernoulliho čísel ${\displaystyle B_{k}^{*}}$ počínaje ${\displaystyle B_{1}^{*}}$:

${\displaystyle {\frac {1}{6}},{\frac {1}{30}},{\frac {1}{42}},{\frac {1}{30}},{\frac {5}{66}},{\frac {691}{2730}},{\frac {7}{6}},{\frac {3617}{510}},{\frac {43867}{798}},{\frac {174611}{330}},{\frac {854513}{138}},\ldots }$

Vztah mezi čísly ${\displaystyle B_{n}^{*}}$ a ${\displaystyle B_{n}}$ popisuje vzorec:

${\displaystyle {B_{n}}={\begin{cases}1,&{\mbox{pro }}n=0\\-{\frac {1}{2}},&{\mbox{pro }}n=1\\(-1)^{({\frac {n}{2}})-1}\cdot {B_{\frac {n}{2}}^{*}},&{\mbox{pro }}n{\mbox{ sudé}}\\0,&{\mbox{pro }}n{\mbox{ liché}}\end{cases}}}$

Použitím Stirlingova vzorce získáme následující přiblížení hodnot Bernoulliho čísel:

${\displaystyle {B_{n}}\approx (-1)^{n-1}\cdot 4\cdot {\sqrt {\pi \cdot n}}\cdot \left({\frac {n}{\pi {e}}}\right)^{2n}.}$

Každé Bernoulliho číslo ${\displaystyle B_{\nu }}$ je možné vyjádřit ve tvaru^[2]:

${\displaystyle B_{\nu }=C_{\nu }-\sum {\frac {1}{k+1}},}$

kde ${\displaystyle C_{\nu }}$ je přirozené číslo, a sčítání se provádí pro takové dělitele k čísla ${\displaystyle \nu ,}$ pro které je ${\displaystyle k+1}$ prvočíslo.

Například Bernoulliho číslo ${\displaystyle B_{6}={\frac {1}{42}}}$ je možné zapsat ve tvaru ${\displaystyle B_{6}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{7}},}$ protože číslo 6 má čtyři dělitele: 1, 2, 3, 6, z nichž tři (1, 2, 6) jsou čísla o 1 menší než než prvočísla 2, 3, 7.

Bernoulliho čísla se objevují v Taylorových rozvojích mnoha funkcí jako ${\displaystyle \mathrm {tg} \,{x},\mathrm {cotg} \,{x},\mathrm {tgh} \,{x},{\frac {x}{e^{x}-1}},\ln |\sin(x)|,}$ aj.

Faulhaberův vzorec pro součet mocnin po sobě jdoucích přirozených čísel:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{j^{k}}={\frac {1}{k+1}}\cdot \left\langle n^{k+1}+{{K+1} \choose {1}}\,{B_{1}}n^{k}+{{K+1} \choose {2}}\,{B_{2}}n^{k-1}+\cdots +{{K+1} \choose {k}}\,{B_{k}}n\right\rangle .}$

Vztah s Riemannovou funkcí zeta popisuje Eulerův vzorec:

${\displaystyle \zeta (2k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}={\frac {\pi ^{2k}2^{2k-1}}{(2k)!}}B_{2k}.}$

Z něj plyne, že

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

Další vzorec pocházející od Leonharda Eulera:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}}{\frac {1}{n^{2k}}}=(-1)^{k+1}{\frac {\pi ^{2k}\left(2^{2k-1}-1\right)}{(2k)!}}B_{2k}.}$

Bernoulliho čísla byla studována mj. spolu s regulárními prvočísly. Mnoho dalších vlastnosti Bernoulliho čísel a jejich dalších použití je možné najít v níže uvedené literatuře.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Liczby Bernoulliego na polské Wikipedii.

• liczby Bernoulliego [online]. PWN [cit. 2021-10-02]. Dostupné online. (polsky) 
• ГЕЛЬФОНД, A. О., 1952. Исчисление конечных разностей. [s.l.]: ГИТТЛ. (rusky) 
• RIBENBOIM, Paulo, 1997. Mała księga wielkich liczb pierwszych. Warszawa: WNT. ISBN 83-204-2201-9. OCLC 69586783 (polsky) 
• CONWAY, J.H.; GUY, R.K., 1999. Księga liczb. Warszawa: WNT. ISBN 83-204-2366-X. (polsky) 
• GRAHAM, R.L.; KNUTH, D.E.; PATASHNIK, O., 2006. Matematyka konkretna. Warszawa: WNT. ISBN 83-01-14764-4. Kapitola 6.5: Liczby Bernoulliego. (polsky) 
• WEISSTEIN, E.W. MathWorld [online]. Wolfram Research. Kapitola Bernoulli Number. Dostupné online. (anglicky) 

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Bernoulliho číslo na Wikimedia Commons