Vierkantswortel

Die vierkantswortel van 'n getal is 'n tweede getal met die eienskap dat die tweede getal gemaal met homself gelyk is aan die oorspronklike getal. Dit is die teenoorgestelde (inverse) van 'n kwadraat in die sin dat die vierkantswortel van 'n getal se kwadraat weer die oorspronklike getal is. Op 'n soortgelyke wyse is die kwadraat van die vierkantswortel ook gelyk aan die oorspronklike getal.

Die vierkantswortel van 'n getal y, is 'n getal x met die eienskap:

${\displaystyle x^{2}=y\!}$

'n Ander manier om hierdie verhouding te skryf is:

${\displaystyle x={\sqrt {y}}\!}$

Waar die vierkantswortelsimbool ${\displaystyle {\sqrt {y}}\!}$ die operasie of proses aandui wat die vierkantswortel van y bepaal.

As 'n eenvoudige voorbeeld kan mens opmerk dat:

${\displaystyle 4^{2}=16\!}$

En dus kan mens sê dat die vierkantswortel van 16 gelyk is aan 4:

${\displaystyle {\sqrt {16}}=4\!}$

Die vergelyking:

${\displaystyle 4^{2}=16\!}$

het nogtans twee wortels: 4 en -4. Die definisie van die vierkantswortel hou egter in dat ons net die een positiewe wortel kies:

${\displaystyle {\sqrt {16}}\neq -4\!}$

Die term vierkantswortel verwys na die meetkundige probleem waar die lengte van 'n vierkant se sye bepaal moet word indien die oppervlakte van die vierkant reeds bekend is. In so 'n geval is die sylengte gelyk aan die vierkanstwortel van die oppervlak.

Daar is nie 'n eenvoudige uitdrukking of formule om die vierkantswortel van 'n getal te bepaal nie. Maar daar is verskeie formules wat gebruik kan word om 'n die vierkantswortel se waarde te benader. Die bepaling van vierkantswortels was van groot praktiese en historiese belang gewees, en akkurate benadermetodes bestaan al sedert die antieke Babilonieërs en Grieke.

Oor die algemeen kan hierdie formules iteratief toegepas word: Hulle neem 'n geskatte waarde vir die vierkantswortel en gebruik die formule om 'n beter benadering te kry. Deur so 'n formule oor en oor toe te pas kan mens so na aan die werklike antwoord kom as wat jy wil. Moderne rekenaars (en sakrekenaars) maak van sulke iteratiewe metodes gebruik.

Die oudste bekende metode is die sogenaamde Babiloniese metode, wat ook soms as Heron se metode bekend staan, en in werklikheid 'n spesiale geval van die Newton-Raphson-metode is (alhoewel dit 1600 jaar voor Newton al in gebruik was). Die grondslag vir die metode is die waarneming dat indien die geskatte waarde vir die vierkantswortel, ${\displaystyle y}$ ,'n bietjie te klein is, dan sal ${\displaystyle x/y}$ weer 'n bietjie te groot wees. As mens dus die gemiddelde waarde van hierdie twee neem, dan behoort dit 'n beter benadering vir die vierkantswortel te gee:

${\displaystyle y_{nuut}={\frac {y_{oud}+x/y_{oud}}{2}}}$ waar y die vierkanstwortel van x benader

Hierdie formule neem dus 'n rowwe skatting vir die vierkantswortel ${\displaystyle y_{oud}}$, en gee 'n verbeterde benadering ${\displaystyle y_{nuut}}$.

Voorbeeld:

Gestel ons wil die vierkantswortel van 10 bepaal, en ons weet dat 3 'n goeie eerste skatting is aangesien ${\displaystyle 3^{2}=9}$. Stel dan ${\displaystyle y_{oud}=3}$ en gebruik die formule om 'n beter skatting te bekom:

${\displaystyle y_{nuut}={\frac {3+10/3}{2}}=3.166}$ (en let op dat ${\displaystyle 3.166^{2}=10.02}$)

Ons kan dit nou nog 'n keer doen. Stel ${\displaystyle y_{oud}=3.166}$ en gebruik die formule weer:

${\displaystyle y_{nuut}={\frac {3.166+10/3.166}{2}}=3.16228}$ (en let op dat ${\displaystyle 3.16228^{2}=10.00001}$)

Hierdie waarde is tot 4 desimale plekke gelyk aan die regte antwoord.

Dit is moontlik om ook wortels van negatiewe getalle te definieer, deur die imaginêre getal i te gebruik:

${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle {\sqrt {-16}}=4i\!}$

Opnuut verwerp ons die negatiewe oplossing

${\displaystyle {\sqrt {-16}}\neq -4i\!}$

Dit het tot gevolg dat:

${\displaystyle {\sqrt {-16}}*{\sqrt {-16}}\neq {\sqrt {(-16)*(-16)}}\!}$

Ons kan mos skryf:

${\displaystyle {\sqrt {-16}}*{\sqrt {-16}}=4i*4i=-16\!}$

Terwyl:

${\displaystyle {\sqrt {(-16)*(-16)}}={\sqrt {256}}=+16\!}$