상대론적 역학

물리학에서 상대론적 역학은 특수 상대성 이론(SR)과 일반 상대성 이론(GR)과 호환되는 역학을 말한다.움직이는 물체의 속도가 빛의 속도와 비슷한 경우 입자계 또는 유체의 비양자 기계적 설명을 제공합니다.그 결과 고전역학은 고속 및 에너지로 이동하는 입자로 정확하게 확장되어 입자의 역학과 함께 전자기학의 일관된 포함을 제공한다.이것은 입자와 빛이 빛보다 더 빠른 속도로 이동하는 것이 허용되는 갈릴레이 상대성 이론에서는 가능하지 않았다.상대성 역학의 기초는 특수 상대성 이론과 일반 상대성 이론의 가설이다.SR과 양자역학의 통합은 상대론적 양자역학이며, GR의 통합은 물리학의 미해결 문제인 양자중력이다.

고전 역학과 마찬가지로, 주제는 "운동학", 위치, 속도 및 가속도를 지정함으로써 운동을 기술, 그리고 "역학", 에너지, 모멘타, 각 모멘타와 그 보존 법칙을 고려함으로써 완전한 기술, 입자에 작용하거나 입자에 의해 가해지는 힘 등으로 나눌 수 있다.그러나 "움직이는" 것으로 보이는 것과 "정지 중인 것"(고전 역학에서 "통계학"으로 칭함)은 기준 프레임을 측정하는 관찰자의 상대적 움직임에 따라 달라진다.

비록 모멘텀의 시간 미분으로서의 힘(뉴턴의 제2법칙), 경로를 따라 입자에 가해지는 힘의 선 적분으로서의 입자에 의해 행해진 일, 그리고 행해진 일의 시간 미분으로서의 힘과 같은 고전 역학으로부터의 정의와 개념이 SR로 옮겨지지만, 행해진 일에는 많은 중요한 수정이 있습니다.나머지 정의와 공식.SR은 운동은 상대적이며 물리 법칙은 관성 기준 프레임에 관계없이 모든 실험자에게 동일하다고 말한다.공간과 시간의 개념을 수정하는 것 외에도, SR은 뉴턴 역학에서 중요한 구성 요소인 질량, 운동량, 에너지의 개념을 재고하도록 강요한다.SR은 이러한 개념들이 모두 동일한 물리량의 서로 다른 측면이라는 것을 보여주며, 이는 상호 관련되는 공간과 시간을 보여주는 것과 거의 같은 방식으로 나타납니다.결과적으로, 또 다른 수정은 시스템의 질량 중심 개념으로, 고전 역학에서는 정의하기가 간단하지만 상대성 이론에서는 훨씬 덜 명확합니다. 자세한 내용은 상대론적 질량 중심을 참조하십시오.

상대론적 속도 의존성과 모든 입자와 필드의 속도 제한을 정확하게 설명하는 로렌츠 인자의 비선형성 때문에 더 친숙한 3차원 벡터 미적분 형식주의에서는 방정식이 더 복잡해집니다.단, 평탄한 민코프스키 공간(SR)과 곡면 시공간(GR)을 포함한 4차원 시공간에서는 4차원 벡터, 즉 4차원 텐서로 수집이 가능하기 때문에 단순하고 우아한 형태를 가진다.그러나 6가지 성분 각운동량 텐서는 3D 관점에서는 2개의 벡터(이들 중 하나는 축방향 벡터)이기 때문에 바이벡터라고 불리기도 합니다.

상대론적 운동학

상대성 이론의 속도를 나타내는 4벡터인 4속도는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\mathbf {U}} = flac {d\boldsymbol {d} } = \ left\frac {cdt} {d\flac }, {\frac {d\mathbf {x} {d\f} } } }$

위에서$$-({$displaystyle\tau})$은 월드라인이라고 불리는 시공간 경로의 적절한 시간이며, 그 다음에 위의 물체 속도가 나타납니다.

${\displaystyle {\mathbf {X}}=(ct,\mathbf {x})}$

4개의 위치, 즉 이벤트의 좌표입니다.시간 연장으로 인해 적절한 시간은 동일한 위치에서 발생하는 기준 프레임 내의 두 이벤트 사이의 시간입니다.적절한 시간은 좌표 시간 t와 다음과 같이 관련됩니다.

$({displaystyle {d\frac}{dt}}=param frac {1}{\faram (\mathbf {v}}})}$

여기서${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$(${\displaystyle v\mathbf{}}$)({$displaystyle\gamma}(\mathbf {v})$는 로렌츠 계수입니다.

$\displaystyle \displaystyle (\mathbf {v}) = specfrac {1} {1-\displayrt {1-\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} /c^{2}}}}}}},\rightlefthar 숟가락(v) = spac {1} {1-(\rt {1-(v/c})^{{{{{\c})}}}}}}}}}}}}}}.}$

(어느 버전도 인용할 수 있습니다)따라서 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\mathbf {U}}=\display(\mathbf {v})(c,\mathbf {v})}$

$\delta {\displaystyle }$( ${\displaystyle v\mathbf{}}$) \ $displaystyle$\$gamma$( \ $mathbf${ $v }$ $)\}$의 계수를 제외하고 처음 세 항은 관찰자가 기준 프레임에서 보는 속도이다.${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle v\mathbf{}}$) \ $displaystyle \ gamma$( \ mathbf { v )$$} } $is$ 、 관찰자의 기준 프레임과 물체 프레임 사이의 $속도{\displaystyle \mathbf{}}$v \ $displaystyle$\$mathbf { v }$ the$$ the 、 관찰자의 적절한 시간이 측정되는 프레임입니다.이 양은 로렌츠 변환에서는 불변하기 때문에 다른 기준 프레임에 있는 관찰자가 무엇을 보는지 확인하기 위해 두 기준 프레임 사이의 속도 4 벡터에 로렌츠 변환 행렬을 곱하면 됩니다.

상대론적 역학

정지 질량 및 상대론적 질량

기준 프레임에서 측정된 물체의 질량을 정지질량 또는 불변질량이라고 하며 m $(\$으로 $표기하기$도 한다.물체가 다른 기준 프레임에서 $속도{\displaystyle \mathbf{}}$v$displaystyle$ $\mathbf {v})$로 움직이면 $m{\displaystyle }$= = = = = = = $(\mathbf${\$displaysty$})로 표기된다.$v)m_{0}}:$ 이$$ ^[1]프레임에서는 종종 객체의 "유사론적 질량"이라고 불립니다.일부 저자는 정지 질량을 나타내기 위해 m$\displaystyle$m을$$ $사용$하지만, 이 문서는 상대론적 질량에 m$\displaystyle$ m_${$$0$}을(를) $사용$하여 정지 ^[2]질량에 $\$을(를) 사용하는 관례를 따릅니다.

Lev Okun은 상대론적 질량의 개념이 "오늘날에는 합리적 정당성이 없다"며 더 이상 ^[3]가르쳐서는 안 된다고 제안했다.볼프강 린들러와 T. R. 샌딘을 포함한 다른 물리학자들은 이 개념이 ^[4]유용하다고 주장한다.이 토론에 대한 자세한 내용은 특수 상대성 이론의 질량을 참조하십시오.

정지 질량이 0인 입자를 무질량이라고 한다.광자와 중력자는 질량이 없는 것으로 생각되며 중성미자는 질량이 거의 없다.

상대론적 에너지와 운동량

SR에서 운동량과 에너지를 정의하는 방법에는 몇 가지가 있습니다.한 가지 방법은 보존 법칙을 사용한다.이러한 법칙이 SR에서 유효하게 유지되려면 가능한 모든 참조 프레임에서 참이어야 합니다.그러나 운동량과 에너지의 뉴턴식 정의를 사용하여 간단한 사고실험을 하면 SR에서 이러한 양이 보존되지 않는다는 것을 알 수 있다.상대론적 속도를 설명하기 위해 정의에 약간의 수정을 가함으로써 보존의 개념을 구할 수 있다.이러한 새로운 정의는 SR의 운동량과 에너지에 대한 올바른 정의로 받아들여지고 있습니다.

물체의 4모멘텀은 일반 운동량과 형태가 동일하지만 3벡터를 4벡터로 대체한다.

${\displaystyle {\mathbf {P}}=m_{0}{\boldsymbol {\mathbf {U}}}=(E/c,\mathbf {p})}$

일정한 기준 프레임에 대해 속도 $(\displaystyle \mathbf$ {v$$$})$로 이동하는 ${\displaystyle {불변\mathrm{}}_{}}$ $질량{\displaystyle {}_{}}$m(\$displaystyle$m_$\{$$0$})을 가진 물체의 에너지와 운동량은 다음과 같다.

$디스플레이 스타일E&=\gamma(\mathbf {v})m_{0}c^{2}\\mathbf {p}&=m_{0}\mathbf {v}\end{aligned}}}$

$계수{\displaystyle }${\(\$displaystyle \gamma)$는 위에서 설명한 4단계의 정의에서 비롯됩니다.${\$ \ $displaystyle$\ $gamma$의 외관은 다음 섹션에서 설명하는 대체 방법으로 설명할 수 있습니다.

운동 에너지 $(\displaystyle$ K$)$는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle K=(\gamma-1)m_{0}c^{2}=E-m_{0}c^{2},}$

그리고 운동 에너지의 함수로서의 속도는 다음과 같이 주어진다.

${{displaystyle v=ccccrt {1-\leftfrac}c^{2}}{K+m_{0}c^{2}}\right}=cccfrac {K(K+2m_{0}c^{2}}}}}{K+m_0}c^{c}{c}}}}}{frc}}{fr}}}{frc}}}}}{frc}}}}}}{c}}}}}}{frc}}}}}{c}}}}}}$

공간 운동량은 p ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle m\mathbf{}}$ v$$\$displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v}$ $\}$로 기록될 수 있으며, 뉴턴 역학에서 뉴턴 질량 대신 상대론적 질량의 형태를 보존할 수 있다.그러나 이러한 대체는 힘과 운동 에너지를 포함한 일부 양에 대해 실패합니다.게다가 상대론적 질량은 로렌츠 변환에서 불변하는 것이 아니라 나머지 질량은 불변한다.이 때문에 많은 사람들은 휴식 질량을 사용하고 $(\displaystyle\gamma)$을 4단 속도 또는 좌표 시간에 걸쳐 명확하게$$ 설명하기를 선호한다.

에너지, 운동량 및 속도의 간단한 관계는 에너지와 운동량의 정의에서 얻을 수 있습니다$.$ $에너지$에는 v\$displaystyle$$\mathbf${$v$를 곱하고 운동량에 $c2를$곱하고 두 식이 같다는 점에 유의하십시오.이것은 산출된다.

${\displaystyle \mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v} }$

$\$는 이 방정식을 c$\displaystyle$c로$$ $나누고{\displaystyle }$ 제곱함으로써 제거할 수 있다.

${{displaystyle (pc)^{2}=E^{2}(v/c)^{2}}$

$에너지$의 정의를 ${\(\display\display$\squaring$)$과 스쿼어링으로 나눈다.

${{displaystyle E^{2}\left(1-(v/c)^{2}\right)=\left(m_{0}c^{2}\right)^2}$

대체:

${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

이것은 상대론적 에너지-모멘텀 관계이다.

$에너지{\displaystyle }$E(\$displaystyle$ E$)$와 $운동량{\displaystyle \mathbf{}}$p(\$displaystyle \mathbf {p})$는 측정 기준 프레임에 따라 달라지지만 ${\displaystyle {E2\mathrm{}}^{}}$-${\displaystyle }$( ${\displaystyle p{}^{}}$c )${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $($ \ $displaystyle$ E$^{2}$ - ( $pc$)^2$}$} } is$$ 。값은 - ${\displaystyle {c\mathrm{}}^{}}$ 2$(\$의 4모멘텀 벡터의 제곱 크기입니다$.{\displaystyle }$

시스템의 불변 질량은 다음과 같이 기술될 수 있다.

$({displaystyle {m_{0}}_{\text{tot}}={frac {text{tot}}^{2}-(p_{\text{tot}c)^{2}}}{c^{2}}}})$

운동 에너지와 결합 에너지 때문에, 이 양은 시스템이 구성되는 입자의 나머지 질량의 합과는 다릅니다.휴면 질량은 뉴턴 물리학에서의 상황과 달리 특수 상대성 이론에서 보존된 양이 아니다.그러나 물체가 내부에서 변화하더라도 주변과 에너지나 운동량을 교환하지 않는 한, 그 휴면 질량은 변화하지 않으며 어떤 기준 프레임에서도 같은 결과로 계산될 수 있다.

질량-에너지 등가

상대론적 에너지-입자 방정식은 m = 0인₀ 무질량 입자의 경우에도 모든 입자에 적용된다.이 경우:

${\displaystyle E=pc}$

Ev = cp로² 치환하면 v = c: 질량 없는 입자(광자 등)는 항상 빛의 속도로 이동한다.

복합 시스템의 나머지 질량은 일반적으로 부품의 나머지 질량의 합과 약간 다르다는 점에 유의하십시오. 왜냐하면, 그 정지 프레임에서는 운동 에너지가 질량을 증가시키고 (음) 결합 에너지가 질량을 감소시키기 때문입니다.특히, 가상의 "빛 상자"는 비록 순간순간이 상쇄되기 때문에 발생하지 않는 입자로 만들어졌지만 정지 질량을 가질 것이다.

시스템의 불변 질량에 대한 위의 공식을 보면, 하나의 거대한 물체가 정지해 있을 때(v = 0, p = 0), 0이 아닌 질량이 남는 것을₀ 알 수 있다: m = E/c².하나의 입자가 정지해 있을 때의 총 에너지이기도 한 해당 에너지를 "정지 에너지"라고 합니다.움직이는 관성 프레임에서 볼 수 있는 입자 시스템에서 총 에너지는 증가하며 운동량도 증가합니다.그러나 단일 입자의 경우 정지 질량은 일정하게 유지되고 입자 시스템의 경우 불변 질량은 일정하게 유지됩니다. 왜냐하면 두 경우 모두 에너지와 운동량이 서로 감산되어 상쇄되기 때문입니다.따라서, 입자계의 불변 질량은 단일 입자의 나머지 질량과 마찬가지로 모든 관측자에 대해 계산된 상수입니다.

시스템의 질량과 불변 질량의 보존

입자 시스템의 경우 에너지-모멘텀 방정식은 입자의 운동량 벡터를 합해야 합니다.

$\displaystyle E^{2}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}$

모든 입자의 모멘타가 0이 되는 관성 프레임을 운동량 중심 프레임이라고 합니다.이 특수 프레임에서, 상대론적 에너지-입자 방정식은 p = 0을 가지며, 따라서 시스템의 모든 부분의 총 에너지로서 시스템의 불변 질량을 c로² 나눈다.

${\displaystyle m_{0,\rm {system}}=\sum _{n}E_{n}/c^{2}}$

이것은 저울의 뜨거운 가스 병과 같이 총 운동량이 0인 프레임에서 측정되는 시스템의 불변 질량입니다.이러한 시스템에서 저울의 무게는 불변 질량이며, 시스템의 총 에너지에 따라 달라집니다.따라서 이는 분자의 나머지 질량의 합보다 크지만 시스템 내의 모든 총 에너지도 포함합니다.에너지나 운동량과 마찬가지로, 고립된 시스템의 불변 질량은 시스템이 완전히 닫힌 상태로 있는 한(질량이나 에너지가 들어오거나 나가는 것이 허용되지 않는 경우) 변경될 수 없습니다. 왜냐하면 시스템의 총 상대론적 에너지는 어떠한 것도 들어오거나 나갈 수 없는 한 일정하게 유지되기 때문입니다.

운동량 프레임의 중심이 아닌 관성 프레임으로 시스템을 변환함으로써 발생하는 이러한 시스템의 에너지 증가는 불변 질량의 증가 없이 에너지 및 운동량의 증가를 일으킨다.그러나 E = mc는₀² 운동량이 0인 중심 프레임의 격리된 시스템에만 적용된다.

이 공식을 액면 그대로 받아들이면 상대성 이론에서 질량은 단순히 다른 이름으로 에너지라는 것을 알 수 있습니다.1927년 아인슈타인은 특수 상대성 이론에 대해 "이 이론 하에서 질량은 바꿀 수 없는 크기가 아니라 ^[5]에너지의 양에 의존하는 크기이다."라고 언급했다.

폐쇄형(분리형) 시스템

"완전 폐쇄" 시스템(즉, 격리 시스템)에서는 총 에너지, 총 운동량 및 이에 따른 총 불변 질량이 보존된다.아인슈타인의 질량 변화에 대한 공식은 가장 단순한 δE = δmc² 형태로 해석되지만, 에너지가 빠져나갈 수 있는 비닫힘계에서만 해석되며, 따라서 불변 질량이 감소한다.아인슈타인의 방정식은 그러한 시스템이 주변으로 손실되는 에너지에 비례하여 위의 공식에 따라 질량을 잃어야 한다는 것을 보여준다.반대로 열과 빛을 방출하는 반응을 하기 전 계와 열과 빛이 빠져나갔을 때 반응 후 계의 질량 차이를 측정할 수 있다면 계를 빠져나가는 에너지의 양을 추정할 수 있다.

화학 및 핵반응

핵반응과 화학반응 모두에서, 그러한 에너지는 원자(화학용) 또는 원자핵(원자반응용)에서 전자의 결합 에너지 차이를 나타낸다.두 경우 모두 반응물질과 (냉각된) 생성물의 질량 차이는 반응에서 벗어나는 열과 빛의 질량을 측정하기 때문에 (방정식을 사용하여) 반응이 진행되면 방출될 수 있는 열과 빛의 등가 에너지를 얻을 수 있다.

화학에서 방출된 에너지와 관련된 질량 차이는 분자 ^[6]질량의 약 10이다⁻⁹.그러나 핵반응에서 에너지는 너무 커서 질량 차이와 관련이 있으며, 생성물과 반응물의 무게를 측정하면 미리 추정할 수 있다(원자 질량을 사용하여 간접적으로 무게를 잴 수 있으며, 원자질량은 각 핵종에 대해 항상 동일하다).따라서 아인슈타인의 공식은 다른 원자핵의 질량을 측정했을 때 중요해진다.질량의 차이를 보면 어떤 원자핵이 특정 핵반응에 의해 방출될 수 있는 에너지를 축적하고 있는지 예측할 수 있어 원자력과 결과적으로 핵폭탄 개발에 유용한 중요한 정보를 얻을 수 있다.예를 들어 역사적으로 리제 마이트너는 핵분열을 유리한 과정으로 만들기에 충분한 에너지가 있다고 추정하기 위해 핵의 질량 차이를 사용할 수 있었다.아인슈타인 공식의 이 특별한 형태의 함축적 의미는 따라서 그것을 모든 과학에서 가장 유명한 방정식 중 하나로 만들었다.

운동량 중심 프레임

등식 E₀² = mc는 운동량 프레임의 중심에 있는 격리된 시스템에만 적용됩니다.그것은 질량이 에너지로 변환되고 그 후에 질량이 사라진다는 것을 의미하는 것으로 널리 오해되어 왔다.그러나 시스템에 적용되는 방정식의 일반적인 설명에는 열과 빛이 빠져나갈 수 있는 개방(비절연) 시스템이 포함됩니다. 그렇지 않았다면 시스템의 질량(불변 질량)에 기여했을 것입니다.

역사적으로 질량이 에너지로 "변환"되는 것에 대한 혼란은 질량과 물질이 페르미온 입자로 정의되는 "물질" 사이의 혼란에 의해 도움을 받아왔다.이러한 정의에서 전자기 방사선과 운동 에너지(또는 열)는 "물질"로 간주되지 않는다.어떤 상황에서는 물질이 물질의 형태가 아닌 에너지로 변환될 수 있지만(위 참조), 이러한 모든 상황에서 물질과 물질의 형태가 원래의 질량을 유지합니다.

고립된 시스템(모든 질량 및 에너지 교환에 대해 폐쇄됨)의 경우 에너지가 사라질 수 없기 때문에 운동량 프레임의 중심에서 질량이 사라지지 않습니다.대신 이 방정식은 모멘텀 중심 프레임의 시스템에 에너지가 추가되거나 시스템에서 빠져나갈 때 시스템이 추가 또는 제거된 에너지에 비례하여 질량을 얻거나 손실한 것으로 측정된다는 것을 의미합니다.따라서, 이론적으로, 원자 폭탄이 폭발을 수용할 수 있을 만큼 강한 상자에 넣어지고, 저울에서 폭발한다면, 이 닫힌 시스템의 질량은 변하지 않을 것이고, 저울은 움직이지 않을 것이다.초강력 플라즈마로 채워진 상자 안에서 투명한 "창"을 열고 빛과 열을 빔으로 방출하고 폭탄 부품을 냉각시킬 때만 시스템은 폭발의 에너지와 관련된 질량을 잃게 된다.예를 들어 21킬로톤 폭탄에서는 약 1그램의 빛과 열이 생성된다.만약 이 열과 빛이 빠져나간다면, 폭탄의 잔여물은 냉각되면서 1그램의 질량을 잃게 될 것이다.이 사고 실험에서는 빛과 열이 그램의 질량을 빼앗아 가고, 따라서 그것을 흡수하는 ^[7]물체에 이 그램의 질량을 축적할 것이다.

각운동량

상대론적 역학에서 시간 변동 질량 모멘트

${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {v} \right)}$

궤도 3차원 운동량

${\displaystyle \mathbf {L} = \mathbf {x} \times \mathbf {p} }$