재규격화

재규격화는 양자장 이론, 필드의 통계역학, 그리고 자기 유사 기하학적 구조의 이론의 기술 모음으로, 이러한 양의 값을 자기 상호작용의 효과를 보상하기 위해 변경함으로써 계산된 양으로 발생하는 무한을 다루는데 사용됩니다.그러나 양자장 이론의 루프 다이어그램에서 무한대가 발생하지 않더라도, 원래의 ^[1]라그랑지안에 나타나는 질량과 필드를 다시 정규화할 필요가 있다는 것을 보여줄 수 있다.

예를 들어, 전자이론은 초기 질량과 전하를 가진 전자를 가정함으로써 시작할 수 있다.양자장 이론에서, 광자, 양전자, 그리고 다른 것들과 같은 가상 입자들의 구름은 초기 전자들을 둘러싸고 상호작용합니다.주변 입자의 상호작용(예: 다른 에너지에서의 충돌)을 설명하면 전자 시스템이 처음에 가정한 것과 다른 질량과 전하를 가진 것처럼 행동한다는 것을 알 수 있다.이 예에서 재규격화는 수학적으로 전자의 초기 가정된 질량과 전하를 실험적으로 관측된 질량과 전하로 대체한다.수학과 실험은 양전자와 양성자와 같은 더 큰 입자가 훨씬 더 강한 상호작용과 더 강한 가상 입자의 구름이 존재하더라도 전자와 정확히 같은 관측된 전하를 보인다는 것을 증명합니다.

재규격화는 큰 거리 척도를 설명하는 매개 변수와 작은 거리 척도를 설명하는 매개 변수가 다를 때 이론의 매개 변수 간의 관계를 지정합니다.물리적으로, 문제에 관련된 무한대 규모의 기여가 누적되면 더 많은 무한대가 발생할 수 있다.시공간을 연속체로 설명할 때, 특정 통계적 및 양자역학적 구조는 잘 정의되지 않는다.이들을 정의하거나 모호하지 않게 하기 위해 연속체 한계는 다양한 스케일의 격자의 "시공 발판"을 조심스럽게 제거해야 한다.재규격화 절차는 특정 물리량(전자의 질량 및 전하 등)이 관찰된 값(실험적)과 동일해야 하는 요건에 기초한다.즉, 물리량의 실험치는 실용적인 응용을 낳지만, 그 경험적 성질 때문에 관측된 측정은 이론적인 기초로부터 더 깊은 유도를 필요로 하는 양자장 이론의 영역을 나타낸다.

재규격화는 섭동 이론에서 무한 적분을 이해하기 위해 양자전기역학(QED)에서 처음 개발되었습니다.처음에는 일부 원조에 의해서도 잠정적인 절차로 의심스러웠지만, 재규격화는 결국 몇몇 물리학과 수학 분야에서 중요하고 자기 정합적인 규모 물리학의 실제 메커니즘으로 받아들여졌다.

오늘날 관점은 바뀌었다. Nikolay Bogolyubov와 Kenneth Wilson의 획기적인 재규격화 그룹의 통찰력을 바탕으로, 원거리 척도는 "유효한" 설명을 통해 서로 관련되는 반면, 초점은 연속적인 척도에 걸친 물리적 수량의 변동에 맞춰져 있다.모든 척도가 폭넓게 계통적으로 연계되어 각 척도에 적합한 특정 계산기법으로 각 척도에 관련된 실제 물리학을 추출한다.Wilson은 시스템의 어떤 변수가 중요하고 어떤 변수가 중복되는지 명확히 했다.

재규격화는 새로운 규모의 미지의 물리학의 존재를 가정함으로써 무한을 제어하는 또 다른 기술인 정규화와는 다르다.

고전 물리학의 자기 상호작용

그림 1양자 전기역학에서의 재규격화:한 재규격화 지점에서 전자의 전하를 결정하는 단순한 전자/광자 상호작용은 다른 지점에서 더 복잡한 상호작용으로 구성됩니다.

무한의 문제는 19세기와 20세기 초에 점입자의 고전 전기역학에서 처음 발생했다.

하전 입자의 질량은 정전장(전자파 질량)의 질량-에너지를 포함해야 한다.입자가 $반지름 e$ r의 하전 구면 쉘이라고 가정합니다.현장의 질량-에너지는

{\displaystyle m_{\text{em}=\int {frac {1}{2},dV=\int _{r_{\text{e}}{\infty}{\infty}{\frac {1}{{4\pi r^2}}\frac {\f}\frac {q}\frcrc}{{4}\fi r^2}\dr}{{{{{\dr}}}}}}{{\drcrcr}}}}}}}}{{{{{\d

이 값은 $r$ → $0$ 으로_e 무한이 됩니다.이는 점 입자가 무한 관성을 가지므로 가속할 수 없음을 의미합니다.덧붙여서 $m을$ 전자질량과 $m_{\text{em}}$ 하는 $m_{\text{em}}$ $r$ 의_e 값은 고전적인 전자반경이라고 불리며 ( $q=e$ $=$ e { $display style$ q $=$ e $q=e$ }, c $\varepsilon _{0}$ ${\$ 0의 restore $factors$ 0 0 { $displaystyle$ \ $varepsilon$ _ { $\varepsilon _{0}$ 0 $\varepsilon _{0}$ 은 다음과 같습니다 $m_{\text{em}}$ .

({displaystyle r_{\text{e}}=pi \varepsilon _{0}m_{\text{e}}c^{2}}=\alpha {\frac {hbar}{m_{\text{e}}}}}) 약 2.8배 10^{-15}~{\text}}{m})

$\alpha \approx 1/137$ 서 α $\alpha \approx 1/137$ 1 $\alpha \approx 1/137$ / $\alpha \approx 1/137$ ${$ $displaystyle \alpha \ approx$ 1/137 $}$ 은 $\hbar /(m_{\text{e}}c)$ 미세 구조 $\hbar /(m_{\text{e}}c)$ 이고 $\hbar /(m_{\text{e}}c)$ / ( $\hbar /(m_{\text{e}}c)$ ) { $displaystyle$ \ $hbar$ / ( $m _$ { \ text { e $}$ c )는 전자의 감소된 콤프턴 파장이다.

재규격화:구형 하전 입자의 총 유효 질량은 구형 쉘의 실제 맨 질량을 포함한다(위의 전기장과 관련된 질량에 더함).셸의 최소 질량이 음수인 경우 일관된 점 ^{[citation needed]}한계를 취할 수 있습니다.이것은 재규격화라고 불렸고 로렌츠와 아브라함은 이런 방식으로 전자에 대한 고전적인 이론을 개발하려고 시도했다.이 초기 연구는 양자장 이론의 정규화와 재규격화에 대한 이후의 시도에 영감을 주었다.

(새로운 물리학이 소규모로 존재한다고 가정할 때 이 고전적인 문제에서 무한대를 제거하는 다른 방법은 정규화(물리학)를 참조하십시오.)

하전 입자의 전자기 상호작용을 계산할 때, 입자 자체의 역반응을 무시하기 쉽습니다.(회선 분석의 백EMF와 유사합니다).그러나 이러한 역반응은 하전 입자가 방사선을 방출할 때 발생하는 마찰을 설명하기 위해 필요하다.전자가 점이라고 가정하면, 역반응의 값은 자기장이 역제곱이기 때문에 질량이 분산되는 것과 같은 이유로 분산됩니다.

아브라함-로렌츠 이론은 원인이 없는 "전가속"을 가지고 있었다.때때로 힘이 가해지기 전에 전자가 움직이기 시작합니다.이것은 점 한계가 일관되지 않음을 나타냅니다.

양자장 이론에서는 하전 입자가 가상 입자-반입자 쌍에 대한 간섭으로 인해 지터베궁을 경험하고, 따라서 콤프턴 파장과 유사한 영역에서 효과적으로 전하를 제거했기 때문에, 문제는 양자장 이론보다 고전장 이론에서 더 심각했다.작은 결합에서의 양자 전기역학에서 전자기 질량은 입자의 반지름의 대수로만 분산된다.

양자 전기역학에서의 발산

(a) 진공 편파, 전하 선별이 루프는 자외선이 로그로 발산됩니다.

(b) QED에서의 자기 에너지도

(c) '펭귄' 그림의 예

1930년대에 양자 전기역학을 개발했을 때, Max Born, Werner Heisenberg, Pascual Jordan 및 Paul Dirac은 섭동 보정에서 많은 적분들이 발산된다는 것을 발견했습니다(무한의 문제 참조).

섭동 이론 수정의 분산을 설명하는 한 가지 방법은 1947-49년 한스 크래머,^[2] 한스 베테,^[3] 줄리안 슈윙거,^[4]^[5]^[6]^[7] 리처드 파인만,^[8]^[9]^[10] 그리고 신이치로 토모나가에 ^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]의해 발견되었고,^[18] 1949년 프리먼 다이슨이 체계화하였다.분기는 가상 입자의 닫힌 루프가 있는 파인만 다이어그램과 관련된 복사 보정에 나타납니다.

가상 입자는 에너지와 운동량의 보존에 따르지만, 어떤 에너지와 운동량도 가질 수 있다. 심지어 상대론적 에너지-모멘텀 관계에 의해 그 입자의 관측 질량에 대해 허용되지 않는 것( $E^{2}-p^{2}$ , E $E^{2}-p^{2}$ - p $E^{2}-p^{2}$ (\ $displaystyle$ E $^{2}-p^{2}})$ 도 $E^{2}-p^{2}$ 그 과정에서 입자의 제곱질량은 아니다.예를 들어 광자의 경우 0이 아닐 수 있다.)이런 입자를 오프셸이라고 한다.루프가 있는 경우 루프를 구성하는 입자의 운동량은 들어오는 입자와 나가는 입자의 에너지와 모멘타에 의해 고유하게 결정되지 않습니다.루프 내 한 입자의 에너지 변동은 입자와 발신 입자에 영향을 주지 않고 루프 내 다른 입자의 에너지 변동과 동등하고 반대되는 변화에 의해 균형을 잡을 수 있다.따라서 많은 변형이 가능합니다.따라서 루프 프로세스의 진폭을 구하려면 루프 주위를 이동할 수 있는 에너지와 운동량의 모든 가능한 조합에 통합해야 합니다.

이러한 적분들은 종종 발산됩니다. 즉, 무한한 답을 제시합니다.유의한 분기는 "자외선"이다.자외선의 확산은 다음에서 오는 것으로 묘사될 수 있다.

루프의 모든 입자가 큰 에너지와 모멘타를 갖는 적분 영역
필드의 매우 짧은 파장 및 고주파 변동, 필드의 경로 적분,
루프가 입자 경로 상의 합으로 간주될 경우 입자 방출과 흡수 사이의 적절한 시간이 매우 짧습니다.

이러한 차이는 단거리, 단시간 현상입니다.

오른쪽 여백의 그림에서 볼 수 있듯이 양자 ^[19]전기역학에는 정확히 세 개의 루프 발산 루프 다이어그램이 있습니다.

(a) 광자는 가상의 전자-양전자 쌍을 만들어 전멸시킨다.이것은 진공 편광도입니다.

(b) 전자는 자기 에너지라고 불리는 가상의 광자를 빠르게 방출하고 재흡수한다.

(c)전자가 광자를 방출하고, 제2의 광자를 방출하고, 제1의 광자를 재흡수한다.이 프로세스는 그림 2의 아래 섹션에 나타나 있으며 정점 재규격화라고 불립니다.이에 대한 파인만 도표는 펭귄을 약간 닮은 모양 때문에 "펭귄 도표"라고도 불린다.

세 가지 분기는 고려 중인 이론의 세 가지 매개변수에 해당합니다.

필드 정규화 Z.
전자의 질량입니다.
전자의 전하.

적외선 발산이라고 불리는 두 번째 종류의 발산은 광자와 같은 질량이 없는 입자 때문입니다.하전입자를 포함한 모든 과정은 무한대의 파장의 간섭성 광자를 방출하며, 한정된 수의 광자를 방출하는 진폭은 0이다.광자의 경우 이러한 분산을 잘 이해할 수 있습니다.예를 들어 1-루프 순서로 정점 함수는 자외선 및 적외선 분산을 모두 가진다.자외선 발산과는 대조적으로, 적외선 발산에는 관련된 이론에서 매개변수의 정규화가 필요하지 않습니다.정점 다이어그램의 적외선 확산은 다음과 같은 중요한 차이와 함께 정점 다이어그램과 유사한 다이어그램을 포함시킴으로써 제거된다: 전자의 두 다리를 연결하는 광자는 파장이 무한대인 두 개의 온셸(즉, 실제) 광자에 의해 절단되고 대체된다. 이 다이어그램은 bremsstrong process와 동등하다.s. 이 추가 다이어그램은 정점 다이어그램과 같이 루프를 통과하는 제로 에너지 광자와 bremsstrahlung을 통해 방출되는 제로 에너지 광자를 구분할 수 있는 물리적 방법이 없기 때문에 포함되어야 한다.수학적 관점에서 IR 분산을 정규화할 수 있는 방법은 다음과 같다.

\displaystyle \left(p^{2}-a^{2}\right)^{\frac {1}{2}}

p = $a$ 에서는 잘 정의되지만 UV는 발산됩니다. $-a$ 에² 대한 322-분수 도함수, IR 발산을 구한다.

({displaystyle {1}{p^{2}-a^{2}}})

적외선 분기를 자외선 ^{[clarification needed]}분기로 바꿔서 치료할 수 있습니다.

루프의 발산

그림 2QED에서 전자-전자 산란에 기여하는 다이어그램.이 루프는 자외선을 발산합니다.

그림 2의 다이어그램은 QED에서 전자-전자 산란에 대한 몇 가지 단일 루프 기여 중 하나를 보여준다.그림의 왼쪽에 있는 전자는 실선으로 나타나며, $4모멘텀 μ$ p로 시작해서 $4모멘텀 μ$ r로 끝납니다.R - $p$ 를^μ $운반$ 하는^μ 가상 광자를 방출하여 에너지와 운동량을 다른 전자로 전달한다.그러나 이 그림에서는 그 전에 $4모멘텀q$ 를^μ 운반하는 다른 가상광자를 방출하고 다른 가상광자를 방출한 후 이를 재흡수한다.에너지와 운동량 보존은 $4모멘텀q$ 를^μ 고유하게 결정하지 않기 때문에 모든 가능성이 동등하게 기여하므로 통합해야 합니다.

이 다이어그램의 진폭은 무엇보다도 루프의 인자로 끝납니다.

-ie^{3}\int {frac {d^{4}q}{{\mu}{\frac {i(\frac ^{\alpha }(r-q)_{\alpha }+m)}{(r-q)^2}-m^{2}+rclon } ^{\frac } }

이 식에서 다양한 $δ μ$ 인자는 디락 방정식의 공변 공식에서와 같이 감마 행렬입니다. 그것들은 전자의 스핀과 관련이 있습니다. $e$ 의 계수는 전기 결합 상수이며, i $(\displaystyle$ i $\epsilon)$ 는 $i\epsilon$ 모멘타 공간에서의 극 주변 적분 등고선에 대한 휴리스틱한 정의를 제공한다.우리의 목적을 위해 중요한 부분은 2개의 전자 라인과 루프의 광자 라인의 전파기로부터 나오는 적분자의 세 가지 큰 요인 중 $q$ 에^μ 대한 의존성이다.

이것은 $q$ 의^μ 큰 값에서 우세한 두 가지 q의 $힘$ 을^μ 가진 조각을 가지고 있다(Pokorski 1987, 페이지 122).

\displaystyle e^{3}\mu ^{\alpha }\display ^{\rho}\display ^{\rho}\display ^{\mu}\int {frac {d^4}q}{(2\pi)}{\frac {q_{\alpha }{\rho}{{2-} } } }}

우리가 어떤 식으로든 유한한 에너지와 운동량을 차단하지 않는 한 이 적분은 발산되고 무한합니다.

유사한 루프 분기는 다른 양자장 이론에서도 발생합니다.

정규화 및 최소 수량 및 최소 수량

해결책은 전자의 전하와 질량, 그리고 양자장 자체의 정규화와 같은 것들을 나타내는 이론의 공식에 처음에 나타나는 양이 실제로 실험실에서 측정된 물리 상수와 일치하지 않는다는 것을 깨닫는 것이었다.기술한 바와 같이, 그것들은 물리 상수 자체에 대한 가상 입자 루프 효과의 기여도를 고려하지 않은 최소한의 양이었다.무엇보다도, 이러한 효과들은 전자기학의 고전 이론가들을 매우 짜증나게 했던 전자기 역반응의 양자역작용을 포함할 것이다.일반적으로 이러한 효과는 애초에 고려 중인 진폭만큼 분산되므로 일반적으로 유한하게 측정된 양은 발산된 최소 양을 의미합니다.

현실과 접촉하기 위해서는 공식은 측정 가능하고 정규화된 양으로 다시 쓰여져야 합니다.예를 들어, 전자의 전하는 특정한 운동학적 재규격화 지점 또는 감산 지점에서 측정된 양으로 정의될 것이다.라그랑지안의 남은 부분들, 극소량의 나머지 부분들을 포함하는 부분들은 다른 도표들에 대한 골치 아픈 분기를 정확히 상쇄하는 다른 도표들과 함께, 카운터텀으로 재해석될 수 있다.

QED에서의 재규격화

그림 3Z

카운터 1

항에 해당하는 정점은 그림 2의 분산을 상쇄한다.

예를 들어 QED의 Lagrangian에서는

{L}={psi}}_{B}\left[i\gamma_{\mu}\left(\display ^{\mu}+ie_{})B}A_{B}^{\mu}\right)-m_{B}\psi_{B}-{\frac {1}{4}F_{B}{\mu\nu}F_{B}{\mu\nu}}

필드 및 결합 상수는 실제로 최소 수량이므로 위의 $첨자$ B가 됩니다.통상적으로 최소 수량은 대응하는 라그랑주 항이 정규화된 항의 배수가 되도록 작성된다.

\displaystyle \left bar \psi }mpsi \right_{B}=Z_{0}{\bar {psi }}m\psi }

\left({\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi \right)_{B}=Z_{1}{\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi

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