일관성

고전적 연역논리학에서 일관된 이론은 논리적 모순으로 이어지지 않는 이론이다.^[1] 모순의 결여는 의미론적 용어나 통사적 용어로 정의될 수 있다. 의미적 정의는 어떤 이론이 어떤 모델을 가지고 있다면, 즉 이론의 모든 공식들이 진실인 해석이 존재한다면 일관된다고 말한다. 현대 수학 논리에서는 만족이라는 용어가 대신 쓰이긴 하지만, 이것은 전통적인 아리스토텔레스 논리에 사용된 감각이다. 통사적 정의에 따르면 이론 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $T$$}$은(는) $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$과(와) 부정 $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ \$lnot \varphi$$$$}$이(가) 모두 $T{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyley$ T}의 결과 집합 요소인 경우$$ 일관성이$$ $.$$A}$은(는) 닫힌 문장 집합(공식적으로 "축소") 및 $⟨{\displaystyle }$ A ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle A\rangele }$$일부$ 형식 연역 체계에서 A ${\displaystyle A}$로부터 증명할 수 ${\displaystyle \mathrm{있는}}$ 닫힌 문장 집합이다$$$$. 공리 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 집합은 $공식{\displaystyle }$ $,$$$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle ⟨}$ \ \ ${\displaystyle \backslash }$ { $\varphi$,\$lnot \varphi \in \langle A\rangele$ }이$($가) 공식 formula$$ {\$displaystysty$ \$varphi }$일 때 일치한다$.$^[2]

이러한 의미적 정의와 통사적 정의가 특정한 연역적 논리에 공식화된 어떤 이론에 대해서도 동등한 연역적 시스템이 존재한다면, 그 논리는 완전체라고 불린다.^{[citation needed]} 반면 서술과 미적분학의 그 완전성 쿠르트 괴델에 의해 1930,[5]에 산수 유도 공리 스키마에 대하여 제한에 일관성 교정 아커만(1924년), von 노이만(1927년에 의해 증명되다고 입증된 문장에 대한 미적분학의 완전성 파울 베르 나이스 1918[표창 필요한][3]에 에밀 포스트지에 의해 1921,[4]에서 입증되었다.)과 헤르브 란드(1931년).[6] 2차 논리처럼 더 강한 로직은 완전하지 않다.

일관성 증명은 특정 이론이 일관성이 있다는 수학적 증거다.^[7] 수학 증명 이론의 초기 발전은 힐버트의 프로그램의 일부로서 모든 수학에 대해 미세한 일관성을 증명해 주고자 하는 욕구에 의해 추진되었다. 힐버트의 프로그램은 불완전성 이론에 의해 강한 영향을 받았는데, 이것은 충분히 강한 증명 이론들이 그들 자신의 일관성을 증명할 수 없다는 것을 보여주었다(사실상 일관성이 있다는 것을 전제로).

일관성은 모델 이론을 통해 증명될 수 있지만, 논리학의 일부 모델을 참조할 필요 없이 순수하게 구문론적인 방법으로 이루어지는 경우가 많다. 절삭은 미적분의 일관성을 암시한다. 즉, 절삭 없는 허위의 증거가 없기 때문에 일반적으로 모순은 없다.

산술 및 집합 이론의 일관성과 완전성

페아노 산술과 같은 산술 이론에서는 이론의 일관성과 그 완전성 사이에는 복잡한 관계가 있다. 만일 그 언어의 모든 공식 φ에 대해 적어도 φ 또는 ¬의 하나 이상이 이론의 논리적 귀결이라면 이론은 완전하다.

프레스버거 산술은 추가되는 자연수에 대한 공리계통이다. 그것은 일관성이 있고 완전하다.

괴델의 불완전성 이론은 어떤 충분히 강한 반복적으로 열거된 산술 이론도 완전하고 일관적일 수 없다는 것을 보여준다. 괴델의 정리는 페아노 산술(PA)과 원시 재귀 산술(PRA) 이론에는 적용되지만 프레스버거 산술에는 적용되지 않는다.

더욱이 괴델의 두 번째 불완전성 정리는 산술의 반복적으로 열거할 수 있는 충분히 강한 이론의 일관성을 특정한 방법으로 시험할 수 있음을 보여준다. 그러한 이론은 이론의 괴델 문장이라고 불리는 특정한 문장을 증명하지 않는 경우에만 일관성이 있는데, 이는 이론이 실제로 일관성이 있다는 주장을 공식화한 것이다. 그러므로 충분히 강하고, 반복적으로 열거되고, 일관된 산술 이론의 일관성은 그 시스템 자체에서 결코 증명될 수 없다. 제르멜로-프라엔켈 세트 이론(ZF)과 같은 세트 이론을 포함하여 충분히 강력한 산술의 파편을 설명할 수 있는 반복적으로 열거되는 이론에도 동일한 결과가 적용된다. 이러한 정해진 이론들은 그들 자신의 괴델 문장을 증명할 수 없다. 단, 그것들이 일관성이 있다고 가정한다면, 이것은 일반적으로 믿어지고 있다.

ZF의 일관성은 ZF에서 증명할 수 없기 때문에, 약한 개념의 상대적 일관성은 세트 이론(그리고 다른 충분히 표현된 자명 시스템에서도 흥미롭다. T가 이론이고 A가 부가적인 공리라면 T + A가 일관성이 있다는 것을 증명할 수 있다면 T + A는 T(또는 단순히 A가 T와 일치한다는 것)에 상대적인 것이라고 한다. A와 ¬A가 모두 T와 일치한다면 A는 T와 독립적이라고 한다.

1차 논리

표기법

${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }($Turnstile 기호)는 다음과 같은 수학 논리의 맥락에서 "제공될 수 있음"을 의미한다. 즉, ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\vdash b}$은(일부 지정된 형식 시스템에서) b로부터 증명할 수 있다. 논리 기호 목록을 참조하십시오. 다른 경우 개찰구 기호는 다음을 의미할 수 있다. 자세한 내용은 수학 기호 목록을 참조하십시오.

정의

• A set of formulas ${\displaystyle \Phi }$ in first-order logic is consistent (written ${\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }$) if there is no formula ${\displaystyle \varphi }$ such that ${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$ and ${\displaystyle \Phi \vdash \lnot \varphi }$. Otherwise $$${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ ${\displaystyle \Phi }$이(가) 일치하지 않음(${\displaystyle \mathrm{Inc}}$ ${\displaystyle \mathrm{inc}}${ ${$ {\$displaystyle \operatorname {Inc} \Phi }).$
• ${\displaystyle \Phi }$ is said to be simply consistent if for no formula ${\displaystyle \varphi }$ of ${\displaystyle \Phi }$, both ${\displaystyle \varphi }$ and the negation of ${\displaystyle \varphi }$ are theorems of ${\displaystyle \Phi }$.^{[clarification needed]}
• ${\displaystyle }$$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi$ $}$의 언어에 적어도 하나의 공식은 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi$$\}$의 정리가 아닌$$ 경우 { ${\displaystyle \Phi$ }은 절대적으로$$ 일관성이 있거나 Post consistency라고 한다.
• ${\displaystyle \Phi }$ is said to be maximally consistent if for every formula ${\displaystyle \varphi }$, if ${\displaystyle \operatorname {Con} (\Phi \cup \{\varphi \})}$ implies ${\displaystyle \varphi \in \Phi }$.
• ${\displaystyle \Phi }$ is said to contain witnesses if for every formula of the form ${\displaystyle \exists x\,\varphi }$ there exists a term ${\displaystyle t}$ such that ${\displaystyle (\exists x\,\varphi \to \varphi {t \over x})\in \Phi }$, where ${\displaystyle \var$$phi {$t$\over x}$은(는) $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$의 $각{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$을(를) $t{\displaystyle }$ ${\displaystyty t}($으)^{[citation needed]}로$$ 대체하는 것을$$ 나타내며$,$ 1차 논리를 참조하십시오.

기본결과

1. 다음은 이에 해당한다.
   1. ${\displaystyle \operatorname {Inc} \Phi }$
   2. 모든 ${\displaystyle \phi \mathrm{}}$ ,${\displaystyle }$⊢${\displaystyle \phi }$. ${\displaystyle \varphi ,\;\Phi \vdash \varphi .}$
2. 만족스러운 모든 공식 집합은 일관적이며${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 ${\displaystyle \Phi}$ 공식 집합은 $모델$ $I{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle {\mathfak$ {$I}이($가) 있는 경우에만$$ 충족된다$.$
3. 모든$$ $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$ 및 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에 대해$:$
   1. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle ⊢}$ ⊢ {\$displaystyle \phi$ \$vdash \$${\displaystyle \mathrm{varphi}}$ $\}\},$ ${\displaystyle Con\mathrm{}(}$ ( {${\displaystyle \{\mathrm{}}${ } } } } ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \}}$ } } } } ) ) } ${\$Ph(\$Phip$ \\$lot \$lot \lot$\varph$ \v.
   2. if ${\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }$ and ${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$, then ${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\varphi \}\right)}$;
   3. if ${\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }$, then ${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\varphi \}\right)}$ or ${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\lnot \varphi \}\right)}$.
4. $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi}$을(를) 최대 일관성이 있는 공식 집합으로$$ 하고 증인을 포함한다고 가정합시다. 모든$$ $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$ 및 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$에 대해$:$
   1. $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Phi \vdash \varphi$ $\},$$$${\displaystyle \mathrm{if}}$ ${\displaystyle \in }$ ∈$${ {\$displaystyle \varphi \in \Phi$ $\},$
   2. ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ ${\displaystyle \in }$ ${$ {\$displaystyle \varphi \in \Phi }$ 또는$$ $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ ∈ ${\displaystyle \in }$ ∈ {$${ {\$displaystyle \lnot \varphi \in \Phi$ $\}$ ,
   3. ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$$\phi {\displaystyle }$${\displaystyle \psi }$) ${\displaystyle \in }$ ∈ { { ∈ \ \ \ \$\$$$\${\displaystyle \mathrm{barphi}}$ $\lor$\psi )\$in$ \Phi$$\ ${\displaystyle \in }$ \$$\ \ \ ${\displaystyle \backslash }$ \ \ \ } \ $si$ }$}$ $si }$$if$ \$$$\$ \ $style$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ if if if if if$$ if if if if if if if if if if if if if \display if \ \ \display \$display$ \ \${\displaystyle \mathrm{display}}$ \display
   4. ${\displaystyle \mathrm{만약}}{\displaystyle }$( ${\displaystyle \to }$ → ${\displaystyle )}$ )${\displaystyle }${ { ${\barphi \to \psi )\in$ $\psi }$ 및 ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ ${\displaystyle \in }$ ∈ { ${\display$ style $\varphi \in \$$Phi$$\},$ $그{\displaystyle }$ 다음${\displaystyle \mathrm{\psi }}$ ∈ \ \ \$$\ \ \ \$psi \psi$ $\backslash$psi$$\?
   5. ${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ ${\displaystyle \in }$ { \$$\ \ \$exists x$\,\$varphi$\in \$phi$\$phi }$과 같은$$ $용어$가 t ${\displaystyle t$$}$인 $경우$에만 \$phy$^{[citation needed]}

헨킨 정리

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) 기호 집합으로 한다$$. $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$을(를) 증인이 포함된 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ - 포뮬라의$$ 최대 일관성이 있는 집합으로$$ 두십시오.

Define an equivalence relation