다항식 평가

수학과 컴퓨터 과학에서 다항식 평가는 다항식의 불분명한 값을 일부 값으로 대체할 때 다항식의 값을 계산하는 것을 말한다.즉 다항식 $P{\displaystyle ({x\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) 평가${\displaystyle }$= ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}{}_{}{\mathrm{}}_{}^{}}$ + ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ + 1 3${\displaystyle {}_{}^{}}$+$$ {\$displaystyle P(x_{1$},$x_{2})=2x_{$1}$x_{2$}+$x_{1$}$}^{$${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$$}+4}$ x$$ $1{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle x_{1}=2,$${\displaystyle \mathrm{x\_}}$${2}=3}$는 계산 P${\displaystyle (2,}$ ${\displaystyle 3}$ ) = ${\displaystyle 2=}$ ${\displaystyle 3}$ +${\displaystyle 2}$ + ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 24}$로 구성된다${\displaystyle \mathrm{.}}$${\displaystyle P(2,3)=2\cdot 2\cdot 3+2^{3}+4=24.$$}$ 다항식 링 § 다항식 평가 참조$$

For evaluating the univariate polynomial ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{n},}$ the most naive method would use ${\displaystyle n}$ multiplications to compute ${\displaystyle a_{n}x^{n}}$, use ${\displaystyle n-1}$ multiplic${\displaystyle {\mathrm{총}}_{}}$ $n{\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{n}{}}$+${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle \frac{1}{}}$) ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$ $a_{n-1}x^{n-1}$ 등을$$ 계산하는 방법{n1}{n-1}{n-1}{\displaystyle ${\tfrac$ {$n(n$+1)}{$2$}$}}}$배수$$ $및{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$ 추가$$.호너의 규칙과 같은 더 나은 방법을 사용하면 이 값을 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 승수와 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 추가로 줄일 수 있다.약간의 사전 처리가 허용된다면, 훨씬 더 많은 절감이 가능하다.null

배경

이 문제는 실제로 자주 발생한다.계산 기하학에서 다항식은 테일러 다항식을 사용하여 함수 근사치를 계산하는 데 사용된다.암호화와 해시 테이블에서 다항식은 k-독립 해싱을 계산하는 데 사용된다.null

전자의 경우 다항식을 부동소수점 산술로 평가하는데 정확하지 않다.따라서 평가의 다른 계획은 일반적으로 약간 다른 답을 줄 것이다.후자의 경우 다항식은 대개 유한한 분야에서 평가되는데, 이 경우 답은 항상 정확하다.null

일반 방법

호너의 법칙

호너의 방법은 반복된 브래킷을 사용하여 다항식을 평가한다.

이 방법을 사용하면 승수 및 추가 $횟수$를 n$${\$displaystyle n}$만으로 줄일 수 있음

호너의 방법은 너무 흔해서 많은 컴퓨터 프로세서에 "멀티-어큐뮬레이션 연산"이라는 컴퓨터 명령이 추가되어 한 번에 덧셈과 곱셈 연산을 할 수 있게 되었다.null

다변량

다항식이 다변량일 경우 일부 변수 순서에 걸쳐 호너의 규칙을 반복 적용할 수 있다.예시

${\displaystyle P(x,y)=4+x+2xy+2x^{2}y+x^{2}y^{2}y^{2}}:$

라고 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\begin}P(x,y)&=4+x(1+y(2)+x(2+y))\quad {\text{or}\P(x,y)&=4+x+y(x(2+x(2))+y(x^{2})\end{정렬}}}$

이 접근법의 효율적인 버전은 카니커와 가스카에 의해 설명되었다.^[1]null

사전 처리를 사용한 평가

${\displaystyle {임의\mathrm{}}_{}}$ 다항식은 계수 $a{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\$을 먼저 "preprocess"하면 호너의 규칙이 요구하는 것보다 적은 연산으로 평가할 수 있다$.$

모츠킨이^[2] 먼저 그 예를 들었다.

${\displaystyle P(x)=x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}}x+a_{0}}$

라고 쓸 수 있다.

${\displaystyle y=(x+\beta _{0}x+\beta _{1},\quad P(x)=(y+x+\beta _{2})y+\beta _{3}}}}$

여기서 $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {\beta \mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$ ${\displaystyle {값}_{}}$을 0${\displaystyle }$,${\displaystyle {}_{}\dots }$에 근거하여 미리 계산한다$,$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 모츠킨의 방법은 호너의 4에 비해 3배수만을 사용한다.

각 $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 대한 $값$은 P${\displaystyle (x}$) ${\displaystyle P(x)}$을(를) 확장하고$$ 계수를 동일화하여 쉽게 계산할 수 있다$$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{0}&={\tfrac {1}{2}}(a_{3}-1),\quad &z&=a_{2}-\beta _{0}(\beta _{0}+1),\quad &\beta _{1}&=a_{1}-\beta _{0}z,\\\beta _{2}&=z-2\beta _{1},\quad &\beta _{3}&=a_{0}-\beta _{1}(\beta _{1}+\beta _{2}).\end{정렬}}}$

예

Taylor ${\displaystyle \mathrm{expansion}}$ exp ${\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$+${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$/ 2${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle x\mathrm{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle 24}$ ${\displaystyle \exp(x$)\ 약 $1+x+x^{2}/2+x^{3}/6+x^{4}}$를 계산하려면$,$ 인자 24를 기준으로 업스케일업 스케일업하고 위의 단계를 적용하고 스케일다운하면 된다.3 곱셈 계산이 가능하지

${\displaystyle y=(x+1.5)x+11.625,\quad P(x)=(y+x-15)y/24+2.63477.}$

등가 호너 형태(${\displaystyle \mathrm{P}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle x}$(${\displaystyle 1\mathrm{}}$+ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$+ x${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$/ 6${\displaystyle }$+ x${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 24))}$ ${\displaystyle P(x)=1+x(1$+x(1$/2+x(1/6$+x/24$))\})$에 대해 1 곱하기.null

다중점 평가

${\displaystyle {}_{}}$ 점 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, $…,$ x m {\$displaystyle x_{1},\$${\displaystyle \mathrm{dots}}$$,x_{m}$의 $n{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle mn}$배수를$$ 호너의 방법 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ m$}번$ 사용하여$$ $수행$할 수 있다$$.위의 사전 처리 접근법을 사용하면 이 값을 $2배{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 즉\mathrm{}}$ m ${\displaystyle n}$/ 2 {\displaystyle $mn/2}$배수로$$ 줄일 수 있다.단, 빠른 푸리에 변환을 사용하면 시간 요구사항을 $O{\displaystyle }$( (${\displaystyle }$n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle m}$) ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$+ m$){\$로 줄일 수 있다$.$^[3]

다항식을 평가하고자 하는 지점이 어느 정도 구조를 가지고 있는 경우에는 보다 간단한 방법이 존재한다.예를 들어 Knuth는^[4] 유형의 다항식 값을 표로 표시하는 방법을 제공한다.

${\displaystyle P(x_{0}+h), P(x_{0}+2h),\dots .}$

동적평가

(로그⁡ n)O(1)시(1){\displaystyle(n\log)^{O(1)}(\l 1+(로그 2⁡ q)이 x1,…,)m{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}미리 알려져 있지 않는 경우, Kedlaya과 Umans[5]크기 Fq{\displaystyle F_{q}유한한 밭에 다항식을 평가하기 위한}시간의 데이터 구조를 주었다.og$_{2}q)^{1+o(1)}}$일부 초기 전처리 후 평가당$$.이것은 라르센에^[6] 의해 본질적으로 최적인 것으로 보여졌다.null

The idea is to transform ${\displaystyle P(x)}$ of degree ${\displaystyle n}$ into a multivariate polynomial ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$, such that ${\displaystyle P(x)=f(x,x^{d},x^{d^{2}},\dots ,x$$^{d^{m}})}$ and the individual degrees of ${\displaystyle f}$ is at most ${\displaystyle d}$. Since this is over ${\displaystyle {\bmod {q}}}$, the largest value ${\displaystyle f}$ can take (over ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) is ${\displaystyle M=d^{m}(q-1)^{dm$$}}$. Using the Chinese remainder theorem, it suffices to evaluate ${\displaystyle f}$ modulo different primes ${\displaystyle p_{1},\dot$