우수반지

정류 대수학에서 준우수반지는 완성작전에 관해서도 잘 작용하는 노메테리아식 정류반지로, 보편적으로 카트리네이션(caterial caterial)이라면 훌륭한 링이라고 불린다.우수한 반지는 숫자 이론과 대수 기하학에서 발생하는 반지의 대부분을 포함하는 "잘 처신된" 반지의 자연계급을 찾는 문제에 대한 하나의 답이다.한때는 노에테리아 반지의 계급이 이 문제에 대한 해답이 될 수도 있을 것 같았지만, 나가타 마사요시 등에서는 노에테리아 반지가 일반적으로 예의 바르게 행동할 필요가 없다는 것을 보여주는 몇 가지 이상한 반지를 발견했다. 예를 들어, 정상적인 노에테리아 지역 반지는 분석적으로 정상적일 필요가 없다.

우수한 반지의 등급은 알렉산더 그로텐디크(1965)에 의해 그러한 품위 있는 반지의 등급으로 규정되었다.준우승 고리는 특이점 해결의 문제가 해결될 수 있는 기반 고리로 추측된다. 히로나카 헤이스케(1964)는 특징 0에서 이를 보여주었지만, 양성 특성 사례는 (2016년 현재) 여전히 주요한 개방적인 문제다.본질적으로 대수 기하학이나 숫자 이론에서 자연적으로 발생하는 모든 노에테리아 고리는 훌륭하다; 사실 훌륭하지 않은 노에테리아 고리의 예를 구성하는 것은 꽤 어렵다.

정의들

우수한 고리의 정의는 상당히 관련되어 있으므로, 우리는 그것이 만족하는 기술적 조건의 정의를 상기한다.비록 긴 조건의 목록처럼 보이지만, 실제 대부분의 링은 필드, 다항식 링, 완전한 노메트리안 링, 특성 0을 넘는 데데킨드 도메인(예: $\mathbb {Z}$ {\ $displaystyle \mathbb {Z$ }) $\mathbb {Z}$ 및 이들 링의 지수 및 국산화 링과 같이 우수하다.

리콜된 정의

$필드$ $k$ $k$ 을(를) 포함하는 $R$ $링$ R ${\displaystyle$ $k$ $}$ 을 $($ 를) k ${\$ $displaystyle$ k}의 $K$ $유한$ 확장 K {\ $displaystyle$ $K$ $}$ 에 $k$ $R\otimes _{k}K$ $R\otimes _{k}K$ $⊗ K$ {\displaystysty R\otimes $_{k}K$ }K $}$ K}이 정규인 $R\otimes _{k}K$ 경우 $k$ $k$ 에 대해 기하학적으로 정규화된다고 한다 $k$ .
A homomorphism of rings from $R\to S$ is called regular if it is flat and for every ${\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)$ the fiber $S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})$ is geometrically regular over the residue field $\kappa ({\mathfrak {p}})$ $\kappa ({\mathfrak {p}})$ $displaystyle$ ({\ $mathfrak{p$ })의 p {\ $displaystyle {\$ mathfrak $\kappa ({\mathfrak {p}})$ ${p}.$
고 공식적인 섬유 기하학적으로 운행이 정기적입니다Noetherian 있는 반지 R{R\displaystyle}는 G-ring[1](또는 그로 텐디크 반지);이것은 p에 p.이 ∈ Spec({\displaystyle{\mathfrak{p}}\in{\text{Spec}}(R)}, 지역 링 Rp에서 지도 → Rp^{\displaystyle R_{\mathfrak{이라는 뜻은}}) ${\hat{R_{\mathfrak{p}}}$ 까지 완료하는 $R_{\mathfrak {p}}\to {\hat {R_{\mathfrak {p}}}}$ 것은 위의 의미로 규칙적이다.

Finally, a ring is J-2^[2] if any finite type $R$ -algebra $S$ is J-1, meaning the regular subscheme ${\text{Reg}}({\text{Spec}}(S))\subset {\text{Spec}}(S)$ is open.

우수성 정의(Quasi-)

링 $R$ $R$ 이 $R$ (가) G-링과 J-2 링이라면 준우수라고 한다.그것은 준우승적이고 보편적으로 기념일이라면 훌륭하다고^[3]^{pg 214} 불린다.실제로 거의 모든 노에테리아 고리는 보편적으로 카트리네이션이기 때문에 우수한 고리와 준우수한 고리의 차이는 거의 없다.

어떤 계략은 같은 성질에 의해 덮개가 있는 경우 우수 또는 준우수라고 불리는데, 이는 모든 열린 성질이 이 성질을 가지고 있음을 의미한다.

특성.

우수한 링 $R$ $R$ 이 $R$ (가) G-링이기 때문에 정의상 노메트리안이다.^[1]그것은 보편적으로 기념일이기 때문에, 모든 주요 이상들의 최대 사슬은 길이가 같다.이것은 그러한 고리의 치수가 고정된 최대 사슬에 의해 제한될 수 있기 때문에 그러한 고리의 치수 이론을 연구하는 데 유용하다.실제로 이것은 무한 차원 고리를 주는, 원초적 이상의 최대 사슬에 대한 귀납적 정의를 가지고 있는 무한 차원 노메트리안 고리는^[4] 구성될 수 없다는 것을 의미한다.

구성표

탁월한 체계 $X$ $X$ 과 $X$ 국소적으로 $f:X'\to X$ 한 형태의 $f:X'\to X$ f $f:X'\to X$ : $f:X'\to X$ $f:X'\to X$ → X ${\displaystyle f:X'\to$ X $}$ 을 $f:X'\to X$ 를) 감안할 때 $X^{}$ ′ ${\$ X $'}$ 이^[3]^{pg 217}(가) 우수하다 $X'$ .

준우수성

어떤 준우승반지는 나가타반지다.

준우량 감소 국소 링은 분석적으로 감소한다.

모든 준우량 국소 링은 분석적으로 정상이다.

예

우수한 반지

숫자 이론이나 대수 기하학에서 자연적으로 발생하는 대부분의 상호 작용 고리는 훌륭하다.특히:

예를 들어 모든 필드 및 p-adic 정수의 링 $Z$ 와_p 같은 완전한 노메테리아 지역 링은 훌륭하다.
특성 $0$ 의 모든 디데킨드 영역은 훌륭하다.특히 정수의 링 $Z$ 가 우수하다.특성이 $0$ 보다 큰 영역에 대한 전용 도메인은 우수할 필요가 없다.
$R$ 또는 $C$ 에 대한 한정된 수의 변수에 있는 수렴전원 직렬의 링은 우수하다.
뛰어난 반지의 국산화라면 어떤 것이든 훌륭하다.
훌륭한 링 위에서 미세하게 생성된 대수학은 훌륭하다.여기에는 $R$ $R$ 이 $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{k})$ $R$ $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{k})$ $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{k})$ 한 R {\displaystyle $R[x_{1},\ldots,x_{n}/(f_{1},\ldots,f_{k})$ 가 모두 포함된다.이것은 대수 기하학에서 고려되는 대부분의 고리가 훌륭하다는 것을 의미한다.

G-링이 아닌 J-2 링

여기 $치수$ 1의 이산 평가 $링$ A와 $특성$ p > $0$ 의 예가 있는데, $J-2$ 는 맞지만 G 링은 아니므로 준우월성이 없다. $만일$ k가 [ $k : k p]$ = $\infty$ 과 함께 $특징$ p의 어떤 분야이고 $A$ 가 [ $k p (a 0,$ $a 1, ...)$ : $k p]$ 가 유한한 전력 시리즈 σax의 고리라면, $A$ 의 형식 섬유가 모두 기하학적으로 정규적이지 않기 때문에 $A$ 는 G-링(G-링)이 아니다.기껏해야 $1인$ 치수의 노메테리아 로컬 링이 모두 $J-2$ 링이기 때문에 $J-2$ 링이다.그것은 또한 데데킨드 도메인이기 때문에 보편적으로 caterial이다.여기서 $k$ 는^p 프로베니우스 형태주의 $a$ → a $아래$ 에서^p $k$ 의 이미지를 나타낸다.

J-2 링이 아닌 G-링

여기 G-링이지만 J-2 링은 아니어서 준우월성이 없는 링의 예가 있다.무한히 많은 발전기 모든 발전기의 제곱과 입방체로 발생하는 다항 반지 k[x1,x2,...]의 R은 subring,과 SR에서 어떤 이상 일부 xn하는 것을 합동 참모 본부 인사 참모 부장 반지처럼 Sev에서 사이 특이점, S는1-dimensionalNoetherian 도메인에 의해 생성되지 않의 모든 요소에 inverses을 접한.음.정말y 폐쇄점, 즉 단수점 세트는 G-링이지만 닫히지 않는다.이 반지는 또한 모든 주요 이상에서 지역화가 일반 반지의 몫을 차지하기 때문에 보편적으로 100주년이다.

우수하지 않은 준우수 반지

나가타가 2차원 노메테리아 지방반지로 보편적으로 카타레인은 아니지만 G-링(G-Ring)이며, 어느 지방 G-링도 J-2링(마츠무라 1980, p.88, 260) 하브 오차:목표 없음:CITREFMatsumura1980(도움말)이다.그래서 그것은 훌륭하지 않은 준우수한 지방 반지다.

특이점 분해능

준우수 고리는 특이점 해결 문제와 밀접한 관련이 있으며, 이는 그로텐디크가 이를 규정하게 된 동기인^[3]^{pg 218} 것으로 보인다.그로텐디크(1965)는 모든 완전 일체형 노메트리안 링의 특이점을 해결할 수 있다면, 감소된 모든 준우수 링의 특이점을 해결할 수 있다고 관찰했다.히로나카(1964)는 특성 0의 한 분야에 걸쳐 완전한 일체형 노메테리아 지방 고리에 대해 이것을 증명했는데, 이는 특성 0의 한 분야에 걸쳐 뛰어난 계략의 모든 특이점을 해결할 수 있다는 그의 정리를 내포하고 있다.반대로 노메트리안 링 R을 통해 모든 일체형 유한 알헤브라의 스펙트럼의 모든 특이점을 해결할 수 있다면, 링 R은 준우승적이다.

참고 항목

특이점 분해능

참조

^ ^a ^b "Section 15.49 (07GG): G-rings—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2020-07-24.
^ "Section 15.46 (07P6): The singular locus—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2020-07-24.
^ ^a ^b ^c Grothendieck, Alexander (1965). "Éléments de géométrie algébrique : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 24: 5–231.
^ "Section 108.14 (02JC): A Noetherian ring of infinite dimension—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2020-07-24.

알렉상드르 그로텐디크, 장 디우도네, 엘레멘츠 드 조메트리 알제브리크 4세 출판사 마테마티크 드 l'l'IHES 24 (1965), 섹션 7
V.I. Danilov (2001) [1994], "Excellent ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
히로나카 헤이스케, 특성 0의 분야에 걸친 대수적 다양성의 특이점 해결. I, II. 수학 연보(2) 79(1964), 109-203; ibid. (2) 79 1964 205-326.
마쓰무라 히데유키, ISBN 0-8053-7026-9, 13장.

[stacks.math.columbia.edu-1] "Section 15.49 (07GG): G-rings—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2020-07-24.

[2] "Section 15.46 (07P6): The singular locus—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2020-07-24.

[:0-3] Grothendieck, Alexander (1965). "Éléments de géométrie algébrique : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 24: 5–231.

[4] "Section 108.14 (02JC): A Noetherian ring of infinite dimension—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2020-07-24.

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