열역학적 수량의 부분파생물을 포함하는 방정식
맥스웰 관계 사이의 경로를 보여 주는 흐름도. P {\displaystyle P} T {\displaystyle T} V {\displaystyle V} S {\displaystyle S} α {\displaystyle \alpha } coefficient of thermal expansion , κ {\displaystyle \kappa } compressibility , C V {\displaystyle C_{V}} heat capacity at constant volume, C P {\ displaystyle C_{P} 맥스웰의 관계 는 두 번째 파생상품의 대칭성 과 열역학적 전위 의 정의에서 파생되는 열역학 방정식의 집합이다. 이 관계들은 19세기 물리학자 제임스 서기 맥스웰 의 이름을 따서 명명되었다.
방정식 맥스웰 관계의 구조는 연속적인 기능에 대한 두 번째 파생상품들 사이의 평등을 나타내는 것이다. 두 변수의 분석함수 의 분화 순서가 무관하다는 사실(슈바르츠 정리 )에서 바로 따르게 된다. 맥스웰 관계의 경우 고려된 함수는 열역학적 잠재력이고 x i {\ displaystyle x_{i} x j {\ displaystyle x_{j} 개 의 자연 변수 다
슈바르츠의 정리(일반) ∂ ∂ x j ( ∂ Φ ∂ x i ) = ∂ ∂ x i ( ∂ Φ ∂ x j ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}\right)}
모든 자연 변수를 일정하게 유지한 상태에서 부분파생상품 을 취한다. 모든 열역학적 잠재력 n n 1 {\ displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}: 여기 {\displaystyle n} 엔트로피의 실질적인 증가는 열역학 법칙에 의해 충족되는 관계에 따라 검증될 것이다.
맥스웰의 4대 공통 관계 가장 일반적인 네 가지 맥스웰 관계는 열적 자연 변수(온도 {\displaystyle T 엔트로피 S {\displaystyle S 기계적 자연 변수(압력 {\displaystyle P} 체적 )와 관련하여 네 가지 열역학적 전위의 두 번째 파생상품의 동일성이다. V {\displaystyle }:
맥스웰의 관계 (공통) + ( ∂ T ∂ V ) S = − ( ∂ P ∂ S ) V = ∂ 2 U ∂ S ∂ V + ( ∂ T ∂ P ) S = + ( ∂ V ∂ S ) P = ∂ 2 H ∂ S ∂ P + ( ∂ S ∂ V ) T = + ( ∂ P ∂ T ) V = − ∂ 2 F ∂ T ∂ V − ( ∂ S ∂ P ) T = + ( ∂ V ∂ T ) P = ∂ 2 G ∂ T ∂ P {\displaystyle {\begin}+\왼쪽({\frac {\partial T}{\partial V}\오른쪽)_{{ S}&=&-\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial S}\오른쪽)_ {V}&=&#{\frac {\partial ^{2} U}{\partial S\partial V}\\\+\좌측({\frac {\partial T}{\p}\partial P}\오른쪽)_{{ S}&=&+\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial S}\오른쪽)_{ P}&=&{\frac {\partial ^{2} H}{\partial S\p}\partial P}\\+\왼쪽({\frac {\partial S}{\partial V}\right)_{{partial V}{partial V}\partial v}}{partial s}{partial s}}} T}&=&+\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial T}\오른쪽)_ {V}&=&-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial T\partial V}\\\-\left({\partial S}{\p}\partial P}\right)_{{\partial P}}{partial P}}}}{partial P}}}}}}{{{}}}}}}}}}}}}}}{{{{{ T}&=&+\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial T}\오른쪽)_{ P}&=&#{\frac {\partial ^{2}G}{\partial T\p}\p}\partial P}\ended}\,\!}
where the potentials as functions of their natural thermal and mechanical variables are the internal energy U ( S , V ) {\displaystyle U(S,V)} enthalpy H ( S , P ) {\displaystyle H(S,P)} Helmholtz free energy F ( T , V ) {\displaystyle F(T,V)} Gibbs free energy G ( T , P ) {\displaystyle G(T,P)} thermodyn 아믹 스퀘어 는 이러한 관계를 회상하고 도출하기 위한 니모닉 으로 사용될 수 있다. 이러한 관계의 유용성은 직접 측정할 수 없는 엔트로피 변화를 온도, 부피, 압력 등의 측정 가능한 양 측면에서 수량화하는 데 있다.
각 방정식은 관계를 사용하여 다시 표현할 수 있다.
( ∂ y ∂ x ) z = 1 / ( ∂ x ∂ y ) z {\displaystyle \left \frac {\put y}{\put x}}\오른쪽)_{z}=1\put/\precent\frac {\precent x}{\put y}\put y}\pright)_{z}\pright. } 맥스웰 관계라고도 알려져 있다.
파생 맥스웰 관계는 단순한 부분 분화 규칙, 특히 함수의 전체 차이 와 두 번째 순서 부분파생상품 평가의 대칭성에 기초한다.
쇼데리브레이션 맥스웰 관계의 도출은 열역학적 전위 의 차동 형태에서 추론할 수 있다. 내부 에너지 U의 차등 형태는
d U = T d S − P d V {\displaystyle {\begin}dU&=TdS-PdV\\\ended}\\,\!} 이 방정식은 형태의 총미분율 과 유사하다.
d z = ( ∂ z ∂ x ) y d x + ( ∂ z ∂ y ) x d y {\displaystyle dz=\left \frac {\put z}{\reft x}\right)_{y}\dx+\frac {\put z}{\put y}\right)_{x}\!dy} 어떤 형태의 방정식에도 불구하고
d z = M d x + N d y {\displaystyle dz=Mdx+Ndy\,} 저것
M = ( ∂ z ∂ x ) y , N = ( ∂ z ∂ y ) x {\displaystyle M=\왼쪽({\frac {\partial z}{\partial x}\오른쪽)_{y},\quad N=\partial z}{\partial y}\오른쪽)_{x}}}} d U T S P d V {\ displaystyle dU=TdS-PdV\,} .
T = ( ∂ U ∂ S ) V , − P = ( ∂ U ∂ V ) S {\displaystyle T=\왼쪽({\frac {\partial U}{\partial S}\오른쪽)_ {V},\quad -P=\left({\frac {\partial U}{\partial V}\오른쪽)_{ S}
