수리 경제학
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수리 경제학은 이론을 표현하고 경제학에서 문제를 분석하기 위해 수학적 방법을 적용하는 것이다.종종 이러한 적용 방법은 단순한 기하학을 넘어 미분 및 적분, 미분 및 미분 방정식, 행렬 대수, 수학적 프로그래밍 또는 다른 계산 [1][2]방법을 포함할 수 있습니다.이 접근법의 지지자들은 이 접근법이 엄격함, 일반성 및 [3]단순성과의 이론적 관계를 공식화할 수 있다고 주장한다.
수학은 경제학자들이 비공식적으로 덜 쉽게 표현될 수 있는 광범위하고 복잡한 주제에 대해 의미 있고 시험 가능한 명제를 형성할 수 있게 해준다.게다가, 수학의 언어는 경제학자들이 수학 [4]없이는 불가능했을 논쟁거리나 논쟁거리 있는 주제에 대해 구체적이고 긍정적인 주장을 할 수 있게 해준다.많은 경제이론은 현재 가정과 [5]함의를 명확히 하기 위해 주장되는 일련의 정형화되고 단순화된 수학관계인 수학적 경제모델의 관점에서 제시되고 있다.
다음과 같은 폭넓은 어플리케이션이 있습니다.
- 목표균형에 관한 최적화 문제(가정, 기업 또는 정책 입안자)
- 경제단위(가계 등) 또는 경제시스템(시장 또는 경제 등)이 변하지 않는 것으로 모델링되는 정적(또는 균형) 분석
- 하나 이상의 요인의 변화에 의해 유발되는 하나의 평형에서 다른 평형으로의 변화에 관한 비교 통계학
- 동적 분석, 예를 들어 경제 [2][6][7]성장으로부터 시간 경과에 따른 경제 시스템의 변화를 추적합니다.
공식 경제 모델링은 19세기에 수학적 최적화의 초기 경제적 적용인 효용 극대화와 같은 경제적 행동을 표현하고 설명하기 위한 미분적분학의 사용으로 시작되었다.경제학은 20세기 전반을 통해 학문으로서 더욱 수학적으로 변했지만, 게임이론에서와 같이 2차 세계대전 전후 시기에 새롭고 일반적인 기술의 도입은 [8][7]경제학에서 수학 공식의 사용을 크게 넓힐 것이다.
이러한 급속한 경제 체계화는 일부 저명한 경제학자뿐만 아니라 그 규율에 대한 비판자들을 놀라게 했다.존 메이너드 케인즈, 로버트 헤이브로너, 프리드리히 헤이크 그리고 다른 사람들은 인간의 행동을 위한 수학적 모델의 광범위한 사용을 비판하며, 인간의 선택들은 수학에 의해 환원될 수 없다고 주장했습니다.
역사
사회 및 경제 분석을 위해 수학을 사용한 것은 17세기로 거슬러 올라간다.그 후, 주로 독일 대학에서, 공공 행정과 관련된 데이터의 상세한 제시를 다루는 교육 스타일이 등장했습니다.Gottfried Achenwall은 통계학이라는 용어를 만들면서 이런 방식으로 강의를 했다.동시에, 영국의 소규모 교수 그룹은 "정부와 관련된 것에 대해 수치로 추론하는" 방법을 확립했고, 이 관행을 정치 [9]산술이라고 불렀다.윌리엄 페티 경은 세금, 돈의 속도, 국민소득과 같은 나중에 경제학자와 관련된 문제에 대해 상세히 썼지만, 그의 분석은 수치적이었지만, 추상적인 수학적 방법론을 거부했다.Petty의 연구는 영국 [10]학자들에 의해 대부분 무시되었지만, Petty의 상세한 수치 데이터를 John Graunt와 함께 사용하는 것은 한동안 통계학자와 경제학자들에게 영향을 미칠 것이다.
경제학의 수학화는 19세기에 본격적으로 시작되었다.그 당시 대부분의 경제 분석은 나중에 고전 경제학이라고 불리게 되는 것이었다.주제들은 대수적 수단을 통해 논의되고 없어졌지만, 미적분은 사용되지 않았다.더 중요한 것은, 1826년 요한 하인리히 폰 튀넨의 "고립된 국가"가 있기 전까지, 경제학자들은 수학 도구를 적용하기 위해 행동에 대한 명확하고 추상적인 모델을 개발하지 않았다.튀넨의 농지 이용 모델은 한계 [11]분석의 첫 번째 예를 나타낸다.튀넨의 연구는 대체로 이론적인 것이었지만, 그는 또한 그의 일반화를 뒷받침하기 위해 경험적 자료를 발굴했다.튀넨은 동시대 사람들과 비교하여 이전의 도구를 새로운 [12]문제에 적용하는 대신 경제 모델과 도구를 구축했습니다.
한편, 물리 과학의 수학적 방법에 대해 훈련받은 새로운 학자들의 집단들은 경제학에 끌렸고, 그 방법들을 옹호하고 그들의 [13]주제에 적용했고, 오늘날 기하학에서 [14]역학으로 옮겨가는 것으로 묘사했다.여기에는 1862년 정치경제학에서 [15]한계효용론을 사용하기 위한 개요를 제공한 "정치경제학의 일반적인 수학 이론"에 관한 논문을 발표한 W.S. 제본스도 포함되어 있다.1871년, 그는 "과학은 단순히 양을 다루기 때문에 수학적인 것이어야 한다"고 선언하면서 정치경제학의 원리를 출판했다.Jevons는 가격과 양에 대한 통계 수집만이 제시된 주제를 정확한 [16]과학으로 만들 수 있을 것이라고 기대했다.다른 사람들은 경제적 문제의 수학적 표현을 확장하는데 선행하고 뒤따랐다.[17]
한계주의자와 신고전주의 경제학의 뿌리
Augustin Cournot과 Léon Walras는 개인이 수학적으로 [18]설명할 수 있는 방식으로 선택지를 통해 효용을 극대화하고자 한다고 주장하면서, 실용성에 대한 원칙적인 도구들을 구축했습니다.당시에는 유틸리티가 [19]utils로 알려진 단위로 정량화할 수 있다고 생각되었습니다.Cournot, Walras, Francis Ysidro Edgeworth는 현대 수학 [20]경제학의 선구자로 여겨진다.
오귀스틴 쿠르노
수학 교수인 Cournot은 1838년에 두 [20]판매자 사이의 경쟁으로 정의된 시장 조건인 이중 독점에 대한 수학적 치료법을 개발했다.이 경쟁에 대한 처리는 [21]'부의 수학적 원리 연구'에서 처음 출판된 것으로 쿠르노 듀오폴리로 언급됩니다.두 판매자 모두 시장에 대한 동등한 접근권을 가지고 있으며 그들의 상품을 비용 없이 생산할 수 있다고 가정한다.또한, 두 상품 모두 균질하다고 가정하였다.각 셀러는 다른 셀러의 산출물을 기준으로 산출물을 변경하고 시장 가격은 공급된 총 수량에 따라 결정됩니다.각 기업의 이익은 생산량과 단위 시장 가격을 곱하여 결정된다.각 기업에 공급되는 양에 대한 이익 함수를 미분하면 선형 방정식의 체계가 남았고, 이 선형 방정식의 동시 해법은 균형 수량, 가격 및 [22]이익을 주었다.쿠르노의 경제학 수학에 대한 기여는 수십 년 동안 무시되었지만, 결국 많은 한계주의자들에게 영향을 미쳤다.[22][23]Cournot의 듀오폴리와 과점 모델은 또한 비협조적인 게임의 첫 공식 중 하나이다.오늘날 해결책은 내쉬 균형으로 주어질 수 있지만 쿠르노의 연구는 현대 게임 이론보다 100년 [24]이상 앞선다.
레옹 왈라스
쿠르노가 나중에 부분균형이라고 불리는 것에 대한 해결책을 제공한 반면, 레옹 왈라스는 일반적인 경쟁균형 이론을 통해 경제 전반에 대한 논의를 공식화하려고 시도했다.모든 경제 행위자들의 행동은 생산과 소비 양면에서 고려될 것이다.Walras는 원래 4개의 교환 모델을 제시했는데, 각각 다음 모델에 재귀적으로 포함되어 있습니다.결과 방정식의 해(선형 및 비선형 모두)는 일반 [25]평형이다.그 당시에는 임의로 많은 방정식의 체계에 대한 일반적인 해법은 표현할 수 없었지만, 왈라스의 시도는 경제학에서 두 가지 유명한 결과를 낳았다.첫번째는 왈라스의 법칙이고 두번째는 톤네이션의 원리이다.당시 왈라스의 방법은 매우 수학적인 것으로 여겨졌고, 에지워스는 순수한 에레앙스 데코노미(Elements déconomie politicique pure)의 [26]리뷰에서 이 사실에 대해 장황하게 언급했다.
왈라스의 법칙은 일반적인 평형에서의 해법을 결정하는 문제에 대한 이론적 해답으로 도입되었다.그의 표기법은 현대의 표기법과 다르지만 보다 현대적인 합계 표기법을 사용하여 구성할 수 있다.Walras는 평형상태에서 모든 돈이 모든 상품에 사용될 것이라고 가정했다: 모든 상품은 그 상품의 시장가격에 팔리고 모든 구매자는 그들의 마지막 달러를 상품 바구니에 쓸 것이다.이 가정을 시작으로, Walras는 n개의 시장이 있고 n-1개의 시장이 클리어(리처된 균형 조건)되면 n번째 시장도 클리어된다는 것을 보여줄 수 있다.이것은 두 가지 시장(대부분의 텍스트에서 재화의 시장과 돈의 시장으로 간주됨)으로 시각화하기가 가장 쉽다.두 시장 중 하나가 평형 상태에 도달한 경우, 추가 상품(또는 반대로 돈)은 제2 시장에 출입할 수 없으므로, 그 시장도 평형 상태에 있어야 한다.Walras는 이 문구를 일반균형에 대한 해결책의 존재 증명으로 옮기기 위해 사용했지만, 오늘날에는 학부 수준에서 [27]금융 시장의 시장 정리를 설명하기 위해 일반적으로 사용되고 있다.
투톤네먼트(Tttonnement, 대략적으로 프랑스어로 더듬는다는 뜻)는 왈라시아의 일반적인 균형에 대한 실용적인 표현으로 쓰였다.Walras는 경매자가 가격을 부르고 시장 참가자들은 각자 원하는 수량에 대한 개인 예약 가격을 충족할 때까지 기다리는 상품의 경매로 시장을 추상화했다(여기서 이것은 모든 상품에 대한 경매이므로 모두가 원하는 상품 바구니의 예약 가격을 가지고 있음을 기억한다).s)[28]
모든 구매자가 주어진 시세에 만족해야 거래가 이루어진다.그 가격이면 시장은 "개방"될 것이다. 잉여나 부족은 존재하지 않을 것이다.ttonnement라는 단어는 모든 상품에 대해 가격이 합의될 때까지 다른 상품들의 높은 가격 또는 낮은 가격을 결정하면서 균형으로 향하는 시장의 방향을 묘사하기 위해 사용된다.이 과정은 역동적으로 보이지만, Walras는 모든 시장이 평형을 이룰 때까지 거래가 발생하지 않기 때문에 정적 모델만 제시했습니다.실제로 이러한 [29]방식으로 운영되는 시장은 거의 없습니다.
프랜시스 이시드로 에지워스
Edgeworth는 수학 심리학에서 경제학에 수학적인 요소를 명시적으로 도입했습니다. 1881년에 [30]출판된 '도덕과학에 대한 수학의 적용에 관한 에세이'그는 제레미 벤담의 행복 미적분을 경제 행동에 채택하여 각 결정의 결과를 [31]효용성의 변화로 바꿀 수 있게 했다.이 가정을 사용하여 Edgeworth는 세 가지 가정 하에 교환 모델을 구축했습니다. 개인은 자기 이익, 개인은 효용을 극대화하기 위해 행동하며 개인은 "다른 사람과 독립적으로 재연동할 수 있습니다...모든 서드파티"[32]를 참조해 주세요.
두 명의 개인이 모두 효용을 극대화할 수 있는 솔루션 세트는 현재 Edgeworth Box로 알려진 계약 곡선으로 설명됩니다.엄밀히 말하면, 엣지워스의 문제에 대한 두 사람의 해법은 1924년까지 아서 라이온 [34]볼리에 의해 그래픽으로 개발되지 않았다.Edgeworth 상자의 계약 곡선(또는 더 많은 행위자를 위한 Edgeworth 문제에 대한 모든 솔루션 세트)을 경제의 [35]핵심이라고 합니다.
Edgeworth는 수학적인 증명들이 경제학에서 모든 사상 학파에 적합하다고 주장하는데 상당한 노력을 기울였다.경제 저널의 책임자로 있는 동안, 그는 수학 [36]경제학의 저명한 회의론자인 에드윈 로버트 앤더슨 셀리그먼을 포함한 경쟁 연구자들의 수학적 엄격함을 비판하는 여러 기사를 실었다.기사들은 세금 발생과 생산자들의 반응을 놓고 오락가락했다.Edgeworth는 공급의 결합성은 있지만 수요의 결합성은 없는 상품을 생산하는 독점(비행기의 일등석과 이코노미, 비행기가 날면 좌석 두 세트 모두 함께 날 수 있음)이 세금을 적용한다면 소비자가 보는 두 상품 중 하나에 대한 가격을 실제로 낮출 수 있다는 것을 알아챘다.상식과 좀 더 전통적인 수치 분석은 이것이 터무니없다는 것을 보여주는 것처럼 보였다.셀리그만은 Edgeworth가 성취한 결과가 그의 수학적 공식의 기행이라고 주장했다.그는 지속적인 수요 함수와 세금의 미미한 변동에 대한 가정이 역설적인 예측을 낳았다고 제안했다.Harold Hoteling은 나중에 Edgeworth가 옳았고, 같은 결과(세금의 결과로 가격이 하락)가 불연속적인 수요 함수와 세율의 [37]큰 변동으로 발생할 수 있다는 것을 보여주었다.
현대 수리 경제학
1930년대 후반부터,[8][38] 미적분과 미분방정식, 볼록 집합, 그래프 이론의 새로운 수학적 도구 배열이 이전에 물리학에 적용된 새로운 수학적 방법과 유사한 방식으로 경제 이론을 발전시키기 위해 배치되었다.그 과정은 나중에 역학에서 [39]공리학으로 옮겨가는 것으로 묘사되었다.
미적분
Vilfredo Pareto는 경제 행위자들의 결정을 주어진 재화의 할당을 더 선호하는 다른 할당으로 바꾸려는 시도로 간주함으로써 미시 경제를 분석했다.다른 개인을 [40]더 나쁘게 만들지 않고 적어도 한 개인을 더 좋게 만들 수 있는 행위자 간에 교환이 일어날 수 없을 때 할당 집합은 파레토 효율(Pareto optimal은 동등한 용어)으로 취급될 수 있다.파레토의 증거는 일반적으로 왈라시안 평형과 결합되거나 비공식적으로 아담 스미스의 보이지 않는 손 [41]가설에 기인한다.오히려, 파레토의 진술은 복지 [42]경제학의 첫 번째 기본 정리로 알려진 것에 대한 첫 번째 공식 주장이었다.이 모델들은 다음 세대의 수학 경제학의 불평등이 결여되어 있었다.
획기적인 논문인 경제분석재단(1947년)에서 폴 새뮤얼슨은 알프레드 마샬의 이전 연구를 바탕으로 이 과목의 여러 분야에 걸쳐 공통 패러다임과 수학적 구조를 확인했다.재단은 물리학에서 수학적 개념을 가져와 경제 문제에 적용했다.이 넓은 견해(예를 들어 르 샤틀리에의 원리를 튜닝에 비교하는 것)는 수학 경제학의 근본적인 전제를 주도한다: 경제 행위자의 시스템이 모델링되고 그들의 행동이 다른 시스템과 거의 비슷하게 설명될 수 있다.이 연장은 지난 세기의 변방주의자들의 작업을 따라왔고, 그것을 상당히 확장시켰다.Samuelson은 변수의 외생적 변화 후 두 개의 다른 평형 상태를 비교하는 비교 통계학을 사용하여 집계 그룹에 개별 효용 극대화를 적용하는 문제에 접근했다.이 책과 다른 방법들은 20세기 [7][43]수리경제학의 기초를 제공했다.
선형 모델
존 폰 노이만에 의해 [44]1937년에 제한된 일반 평형 모델이 공식화 되었다.이전 버전과 달리, 폰 노이만의 모형은 불평등 제약 조건을 가지고 있었다.팽창하는 경제 모델을 위해, 폰 노이만은 브루어의 고정점 정리를 일반화함으로써 평형의 존재와 독특함을 증명했다.폰 노이만의 팽창 경제 모델은 음이 아닌 행렬 A와 B를 가진 행렬 연필 A - δ B를 고려했다; 폰 노이만은 상보성 방정식을 풀 확률 벡터 p와 q와 양수 δ를 구했다.
- pT(A - µ B) q = 0,
경제적 효율성을 나타내는 두 가지 불평등 시스템과 함께.이 모델에서, (변환된) 확률 벡터 p는 상품의 가격을 나타내며, 확률 벡터 q는 생산 과정이 실행될 "강도"를 나타낸다.고유해법 ①은 경제 성장률, 즉 이자율을 나타낸다.플러스 성장률의 존재를 증명하고 성장률이 이자율과 같다는 것을 증명한 것은 폰 [45][46][47]노이만에게도 놀라운 성과였다.폰 노이만의 결과는 폰 노이만의 모델이 음이 아닌 [48]행렬만을 사용하는 선형 프로그래밍의 특별한 경우로 여겨져 왔다.폰 노이만의 경제 팽창 모델에 대한 연구는 계산 [49][50][51]경제학에 관심을 가진 수학 경제학자들의 관심을 계속 끌고 있다.
입출력 경제
1936년, 러시아 태생의 경제학자 바실리 레온티에프는 소련 경제학자들이 구축한 '물질 균형' 표를 바탕으로 그의 입력-출력 분석 모델을 구축했는데, 그 자체도 중진부들의 초기 연구를 따랐다.생산과 수요 과정의 시스템을 기술한 그의 모델로, Leontief는 한 경제 부문의 수요 변화가 다른 [52]경제 부문의 생산에 어떻게 영향을 미칠지를 묘사했다.실제로, Leontief는 경제적으로 흥미로운 질문들을 다루기 위해 그의 단순한 모델들의 계수를 추정했다.생산 경제학에서, "레온티에프 기술"은 입력 가격에 관계없이 일정한 비율의 입력을 사용하여 산출물을 생산하고, 경제를 이해하기 위한 레온티에프 모델의 가치를 감소시키지만, 그 매개변수를 비교적 쉽게 추정할 수 있게 한다.이와는 대조적으로, 경제 팽창의 폰 노이만 모델은 기법의 선택을 허용하지만, 각 [53][54]기술에 대한 계수를 추정해야 한다.
수학적 최적화
수학에서 수학적 최적화(또는 최적화 또는 수학적 프로그래밍)는 사용 가능한 대안 [55]집합에서 최적의 요소를 선택하는 것을 말한다.가장 간단한 경우에서 최적화 문제는 함수의 입력값을 선택하고 함수의 대응하는 값을 계산함으로써 실제 함수를 최대화 또는 최소화하는 것을 포함한다.솔루션 프로세스에는 최적화를 위해 필요한 일반 조건과 충분한 조건을 충족하는 것이 포함됩니다.최적화 문제에 대해서는 함수 및 그 입력에 대해 특수한 표기법을 사용할 수 있다.보다 일반적으로 최적화는 정의된 도메인이 주어진 일부 함수의 사용 가능한 최상의 요소를 찾는 것을 포함하며 다양한 계산 최적화 [56]기술을 사용할 수 있다.
경제학은 경제에서 에이전트에 의한 최적화와 충분히 밀접하게 관련되어 있어 영향력 있는 정의는 경제학 쿼 과학을 대안 [57]용도와 함께 "목표와 희소한 수단 사이의 관계로서 인간 행동의 연구"라고 설명한다.최적화 문제는 현대 경제학을 통해 진행되며, 많은 경우 명백한 경제적 또는 기술적 제약이 따릅니다.미시경제학에서, 효용 극대화 문제와 그 이중 문제, 즉 주어진 효용 수준에 대한 지출 최소화 문제는 경제 최적화 [58]문제이다.이론은 소비자들이 그들의 예산 제약에 따라 효용을 극대화하고 기업은 그들의 생산 기능, 투입 비용 및 시장 [59]수요에 따라 그들의 이익을 극대화하는 것을 가정한다.
경제 균형은 원칙적으로 경험적 [7][60]데이터에 대해 시험할 수 있는 경제 이론의 핵심 요소로서 최적화 이론에서 연구된다.포트폴리오 이론, 정보 경제 및 검색 이론의 [59]응용 프로그램을 포함하여 위험과 불확실성을 수반하는 동적 프로그래밍 및 모델링 최적화에서 새로운 발전이 발생했습니다.
전체[61] 시장 시스템에 대한 최적성 특성은 복지 경제학의 두 가지 기본 이론의 공식과 일반 평형의 Arrow-Debreu 모델(아래에서도 [62]논의됨)에서와 같이 수학적 용어로 명시될 수 있다.보다 구체적으로 말하면, 많은 문제가 분석(공식) 솔루션에 의해 해결됩니다.다른 많은 것들은 소프트웨어의 [56]도움을 받아 수치적인 해결 방법을 필요로 할 정도로 복잡할 수 있다.다른 것들은 복잡하지만 계산 가능한 해결 방법, 특히 경제 [63]전체에 대한 계산 가능한 일반 평형 모델을 허용하기에 충분히 다루기 쉽다.
선형 및 비선형 프로그래밍은 이전에는 평등 [64]제약만을 고려했던 미시경제학에 큰 영향을 미쳤다.노벨 경제학상을 받은 많은 수학 경제학자들은 선형 프로그래밍을 이용하여 주목할 만한 연구를 수행하였다: 레오니드 칸토로비치, 레오니드 후르비츠, 티알링 쿱만스, 케네스 J. 애로우, 로버트 도프만, 폴 사무엘슨, 그리고 로버트 솔로.[65]칸토로비치와 쿠프만 둘 다 조지 B를 인정했다. 단치히는 선형 프로그래밍으로 노벨상을 공동 수상할 자격이 있다.비선형 프로그래밍을 연구한 경제학자들도 노벨상을 수상했는데, 칸토로비치, 후르비츠, 쿱만스, 애로우, 사무엘슨 외에 라그나 프리슈가 대표적이다.
선형 최적화
선형 프로그래밍은 1930년대 러시아와 1940년대 미국에서 기업과 산업의 자원 할당을 지원하기 위해 개발되었습니다.베를린 공수(1948년) 동안 소련의 [66][67]봉쇄 이후 베를린이 굶주리는 것을 막기 위해 보급품 수송을 계획하기 위해 선형 프로그래밍이 사용되었습니다.
비선형 프로그래밍
부등식 제약이 있는 비선형 최적화의 확장은 1951년 Albert W에 의해 달성되었다. 비선형 최적화 문제를 고려한 터커와 해롤드 쿤:
- ( x)0 { g { （ x ）\0 }및 h j ( ) { _ { （ x ）= } 의 이 되는 f (x) { f (x ) } 를 합니다.
- ( ) { f ( \ )는 최소화하는 함수입니다.
- icdot는 m m 부등식 구속조건의 함수입니다. 서 i ,({ i= i}, 은 과 같습니다.
- j는 l 등가 구속조건의 함수입니다.서 1, (\ j= l)은다음과 같습니다
불평등 구속을 허용함에 있어, 쿤은-터커 방식은 (그때까지)[68] 평등 제약만을 허용했던 라그랑주 승수의 고전적인 방법을 일반화했다.쿤 씨터커 접근방식은 불평등 [69][70]제약의 처리를 포함한 라그랑지안 이중성에 대한 추가 연구에 영감을 주었다.비선형 프로그래밍의 이중성 이론은 펜첼과 로카펠라의 볼록 분석 이중성 이론을 즐기는 볼록 최소화 문제에 적용되었을 때 특히 만족스럽다. 이 볼록 이중성은 선형 프로그래밍에서 발생하는 것과 같은 다면체 볼록 함수에 특히 강하다.라그랑지안 이중성과 볼록 분석은 운영 연구, 발전소의 스케줄링, 공장의 생산 일정 계획, 항공사(노선, 비행, 비행기, 승무원)[70]의 라우팅에서 매일 사용된다.
변분 및 최적 제어
경제 역학에서는 동적 시스템을 포함한 시간 경과에 따른 경제 변수의 변화를 허용합니다.이러한 변화에 대한 최적의 함수를 찾는 문제는 변분학과 최적 제어 이론에서 연구된다.제2차 세계대전 전에 프랭크 램지와 해롤드 호텔링은 변형을 이용한 미적분을 사용했다.
동적 프로그래밍에 리처드 벨 만의 일이자 L. 폰트랴긴의 1962년 영어 번역에 이어(알.의 초기 work,[71]최적 제어 이론은 사용되는 더욱 광범위하게 대학에서 경제학에서 역동적인 문제들, 특히 경제 발전은 평형과 안정성의 경제 systems,[72]의 전형적인 예는 최적. consumpt이온과 [73]세이브.결정론적 제어 모델과 확률적 제어 [74]모델 사이의 중요한 차이점이다.최적 지배이론의 다른 적용 분야에는 예를 [75]들어 재무, 재고, 생산 분야 등이 있다.
기능 분석
존 폰 노이만이 브루어의 고정점 [8][44][76]정리를 일반화함으로써 경제 이론, 특히 고정점 이론을 포함하는 기능 분석 방법을 도입한 것은 1937년 경제 성장 모델에서 최적의 평형의 존재를 증명하는 과정이었다.폰 노이만의 프로그램에 따라 케네스 애로우와 제라드 데브레는 볼록 집합과 고정점 이론을 사용하여 경제 평형의 추상적 모델을 공식화했다.1954년 Arrow-Debreu 모델을 도입하면서, 그들은 평형의 존재를 증명했고(독특성은 아니지만), 또한 모든 Walras 평형이 파레토 효율적이라는 것을 증명했다; 일반적으로 평형이 [77]유일할 필요는 없다.모델에서 "기본" 벡터 공간은 양을 나타내고 "이중" 벡터 공간은 [78]가격을 나타냅니다.
러시아에서 수학자 레오니드 칸토로비치는 양과 [79]가격 사이의 이중성을 강조하는 부분 순서 벡터 공간에서 경제 모델을 개발했습니다.칸토로비치는 가격을 "객관적으로 결정된 평가"로 개명했는데, 이는 러시아어로 "o. o. o."로 축약된 것으로 소련에서 [78][80][81]가격을 논의하는 것이 어렵다는 것을 암시했다.
유한 차원에서도 기능 분석의 개념은 특히 생산 또는 소비 가능성을 나타내는 볼록 집합을 지원하는 하이퍼플레인에 대한 정상 벡터로서의 가격의 역할을 명확히 하는 데 있어 경제 이론을 밝혀냈다.그러나 시간 경과에 따른 또는 불확실성 하에서 최적화를 기술하는 문제는 에이전트가 함수 [78][82][83][84]또는 확률적 과정 중에서 선택하기 때문에 무한 차원 함수 공간을 사용해야 한다.