페르미 가스

이상적인 페르미 가스는 많은 비 상호작용 페르미온들의 앙상블인 물질의 상태를 말한다. 페르미온(Permion)은 전자, 양성자, 중성자와 같이 페르미-디락 통계에 따르는 입자로, 일반적으로 반정수의 스핀을 갖는 입자다. 이러한 통계는 열 평형 상태에서 페르미 가스 내 페르미온의 에너지 분포를 결정하며, 이들의 수 밀도, 온도 및 가용 에너지 상태 집합이 특징이다. 이 모델은 이탈리아의 물리학자 엔리코 페르미의 이름을 따서 지어졌다.^[1]

이 물리적 모델은 페르미온이 많은 많은 시스템에 정확하게 적용될 수 있다. 주요 예로는 금속의 전하 전달자, 원자핵의 핵, 중성자 별의 중성자, 백색 왜성의 전자가 있다.

설명

에너지 상태 그림: 7개의 에너지 레벨이 있는 시스템의 에너지 점유 다이어그램, 에너지 $E_{i}$ $E_{i}$ ${\$ 은

E_{i}

(는) $D_{i}$ Di {\ $displaystyle D_{$ i $D_{i}$ }}}}번 퇴보 Di

{\

상태

D_{i}

(는

N_{i}

{\

$E_$ 이며

N_{{{})

이 부여한 점유율이 있다.

i}}

, with

i=1,2,3,4,5,6,7

. By the Pauli exclusion principle, up to

(2j+1)\cdot D_{i}

fermions can occupy a level of energy $E_{i}$ of the system, where

j

is the Spin of the fermions.

이상적인 페르미 가스 또는 자유 페르미 가스는 일정한 전위 유정에서 비 상호작용 페르미온의 모음을 가정하는 물리적 모델이다. 페르미온은 반정수의 스핀을 가진 기초 입자 또는 복합 입자로, 따라서 페르미-디락 통계를 따른다. 정수 스핀 입자의 등가 모델을 보세 가스(비 상호 작용 보손의 앙상블)라고 한다. 충분한 입자수 밀도와 높은 온도에서 페르미 가스와 보세 가스는 모두 고전적인 이상적인 기체처럼 작용한다.^[2]

Pauli 제외 원리에 따르면, 어떤 양자 상태도 동일한 양자 번호의 집합으로 둘 이상의 페르미온에 의해 점유될 수 없다. 따라서 비접촉식 페르미 가스는 보세 가스와는 달리 에너지당 소량의 입자를 집중시킨다. 따라서 페르미 가스는 약하게 상호작용하는 페르미 가스가 쿠퍼 쌍과 응축수를 형성할 수 있지만(BCS-BEC 크로스오버 시스템이라고도 함) 보세-아인슈타인 응축수로 응축되는 것이 금지된다.^[3] 절대 영에서 페르미 가스의 총 에너지는 단일 입자 지상 상태의 합보다 크다. 왜냐하면 파울리 원리는 페르미온을 분리하고 이동하게 하는 일종의 상호 작용이나 압력을 내포하고 있기 때문이다. 이 때문에 페르미 가스의 압력은 기존의 이상 기체와는 대조적으로 영온에서도 0이 아니다. 예를 들어 이 소위 퇴행성 압력은 중성자 별(중성자의 페르미 가스)이나 백색 왜성(전자의 페르미 가스)을 중력의 내부 당김에 대해 안정시켜 표면적으로는 별을 블랙홀로 붕괴시킨다. 항성이 퇴행 압력을 극복할 만큼 충분히 거대해야 특이점으로 붕괴할 수 있다.

가스가 퇴화되었다고 간주될 수 있는 페르미 온도 이하를 정의할 수 있다(그 압력은 거의 전적으로 Pauli 원리에서 발생한다). 이 온도는 페르미온의 질량과 에너지 상태의 밀도에 따라 달라진다.

금속의 탈색 전자를 설명하기 위한 자유 전자 모델의 주요 가정은 페르미 가스에서 도출될 수 있다. 선별 효과로 인해 상호작용은 무시되기 때문에 이상적인 페르미 가스의 평형 특성과 역학을 처리하는 문제는 단일 독립 입자의 거동에 대한 연구로 감소한다. 이러한 시스템들에서 페르미 온도는 일반적으로 수천 켈빈으로 되어 있기 때문에 인간의 응용에서는 전자 가스가 퇴보하는 것으로 간주될 수 있다. 제로 온도에서 페르미온의 최대 에너지는 페르미 에너지라고 불린다. 호혜 공간의 페르미 에너지 표면은 페르미 표면으로 알려져 있다.

거의 자유로운 전자 모델은 금속과 반도체의 결정 구조를 고려하기 위해 페르미 가스 모델을 채택하는데, 여기서 결정 격자 안의 전자는 상응하는 결정 운동량을 가진 블로치 전자로 대체된다. 이와 같이 주기적 시스템은 여전히 상대적으로 다루기 쉬우며 모델은 교호작용을 다루는 보다 진보된 이론(예: 섭동 이론 사용)의 출발점을 형성한다.

1D 균일 가스

길이 L의 1차원 무한사각형 웰은 잠재적 에너지를 가진 1차원 박스의 모델이다.

V(x)={\begin{case}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{2}}(x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\nflt;&\text}기타적으로 표시됨}}}\end{case}

그것은 하나의 입자에 대한 해법이 잘 알려진 양자역학의 표준 모델 시스템이다. 상자 내부의 전위는 균일하기 때문에, 기체의 실제 수밀도 프로필은 총 입자 수가 적을 때 노드와 안티노드를 가질 수 있지만,^[4] 이 모델을 1D 균일 가스라고 한다.

이 수준들은 단일 양자수 n으로 표시되며 에너지는 다음과 같이 주어진다.

E_{n}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}:{2mL^{2}}:n^{2}.\,

여기서 $E_{0}$ $E_{0}$ ${\$ 은 $E_{0}$ 0점 에너지(게이지 고정의 한 형태로 임의로 선택할 수 있음), $m$ $m$ 단일 페르미온의 질량 $m$ , $\hbar$ ${\displaysty \hbar}$ 은 축소된 $\hbar$ Plank 상수다.

박스에 스핀오일이 있는 N 페르미온의 경우, 2개 이상의 입자가 동일한 에너지를 가질 수 없다. 즉, 두 개의 ${\textstyle E_{1}}$ 가 ${\textstyle E_{1}}$ 1 ${\textstyle E_{1}}$ {\ $textstyle E_{1$ }의 에너지를 가질 수 있고 ${\textstyle E_{1}}$ 다른 두 개의 입자는 ${\textstyle E_{2}}$ E ${\textstyle E_{2}}$ {\ $textstyle E_{2}}}$ 등을 ${\textstyle E_{2}}$ 가질 수 있다. 같은 에너지의 두 입자는 스핀 ½(spin up) 또는 -½(spin down)을 가지며, 각 에너지 레벨에 대해 두 개의 상태가 된다. 총 에너지가 가장 낮은(지상 상태) 구성에서, 최대 n = N/2까지의 모든 에너지 레벨이 점유되고 모든 높은 레벨은 비어 있다.

따라서 페르미 에너지의 기준을 $E_{0}$ $E_{0}$ ${\$ 로 정의하면 $E_{0}$ 페르미 에너지는 다음과 같다.

E_{\mathrm {F}^{{\text{1D}}}}=E_{n}-E_{0}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}:{2mL^{2}}:}\좌측(\frac {{{N}}}\오른쪽\rfloor \right)^{2},}}}}

여기서 $\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor$ $\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor$ $⌋{\$ 은 $\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor$ (는) n = N/2에서 평가한 바닥 기능이다.

열역학적 한계

열역학 한계에서는 입자 N의 총수가 너무 커서 양자수 n을 연속 변수로 취급할 수 있다. 이 경우 상자 안의 전체 숫자 밀도 프로파일이 실제로 균일하다.

$n_{1}<n<n_{1}+\operatorname {d} \!n$ $n_{1}<n<n_{1}+\operatorname {d} \!n$ < $n_{1}<n<n_{1}+\operatorname {d} \!n$ < $n_{1}<n<n_{1}+\operatorname {d} \!n$ n 1 + $n_{1}<n<n_{1}+\operatorname {d} \!n$ n $n_{1}<n<n_{1}+\operatorname {d} \!n$ 범위의 양자 상태 수는 다음과 $n_{1}<n<n_{1}+\operatorname {d} \!n$ 같다.

{\dplaystyle D_{n}(n_{1})\operatorname {d} \!n=2\operatorname {d} \!n\,}

일반성을 상실하지 않는 한 영점 에너지는 다음과 같은 결과를 가지고 0으로 선택된다.

E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}:{2mL^{2}}:n^{2}\implies \operatorname {d} \!E={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}:{mL^{2}}}n\operatorname {d} \!n={\frac {\hbar \pi }{L}{\sqrt{2E}}\operatorname {d} \!n\,

따라서 다음과 같은 범위에서:

E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}:{2mL^{2}}n_{1}^{2}<E_{1}+\operatorname {d} \!E\...

양자 상태의 수는 다음과 같다.

D_{n}(n_{1})\operatorname {d} \!n=2{\frac {\operatorname {d} \!E}{\operatorname {d} \!E/\\operatorname {d} \!n}={\frac {2}{{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}:{mL^{2}}:n}}\operatorname {d} \!E\equiv D(E_{1})\operatorname {d} \!E\,

여기서 타락의 정도는 다음과 같다.

D(E)={\frac {2}{\operatorname {d} \!E/\operatorname {d} \!n}={\frac {2L}{\hbar \pi }{\\sqrt {\frac {m}{2}E}}\,.

그리고 주의 밀도는 다음과 같다.

g(E)\equiv {\frac {1}{{{L}D(E)={\frac {2}{\frac \hbar \pi }}}{\sqrt {\frac {m}{2}}E}}\,.

현대문학에서는 위의 $D(E)$ ) ${\디스플레이스타일 D(E)}$ 을(를) '국가의 밀도'라고도 한다 $D(E)$ .^[4] 그러나 $g(E)$ ( E $g(E)$ ) $g(E)$ 은(는) 시스템 볼륨(이 1D 사례에서 $L$ $L$ ${\displaystyle$ L $})$ 의 $D(E)$ 인수로 $D(E)$ ( $D(E)$ ) ${\displaystyle$ $D$ $(E)}$ 과(와) $g(E)$ .