유니버설 대수

유니버설 대수(Universal Algebra)는 대수 구조의 예시("모델")가 아니라 대수 구조 자체를 연구하는 수학 분야이다.예를 들어, 특정 그룹을 연구 대상으로 삼는 대신, 보편 대수학에서는 그룹의 클래스를 연구 대상으로 삼는다.

기본 아이디어

보편 대수학에서, 대수(또는 대수 구조)는 A에 대한 연산들의 집합과 함께 집합 A이다.A에 대한 n-ary 연산은 A의 n개의 요소를 취하여 A의 단일 요소를 반환하는 함수입니다.따라서 0-ary 연산(또는 nullar 연산)은 단순히 A의 요소 또는 상수로 나타낼 수 있으며, 종종 a와 같은 문자로 표시됩니다.1-ary 연산(또는 단항 연산)은 단순히 A에서 A로의 함수이며, 종종 ~x와 같이 인수 앞에 배치되는 기호로 나타납니다. 2-ary 연산(또는 이진 연산)은 종종 x y y와 같이 인수 사이에 배치되는 기호로 표시됩니다.높은 arity 또는 지정되지 않은 arity의 연산은 보통 f(x,y,z) 또는 f(x₁,...,x_n)와 같이 인수를 괄호로 묶고 쉼표로 구분하여 함수 기호로 나타냅니다.일부 연구자들은${\displaystyle \underset{\alpha }{}}$α ${\displaystyle \underset{}{j}}$ J ${\displaystyle x_{}}$α {\$displaystyle$ \$textstyle \bigwedge _{\alpha$ \$in$ J$}x_{\alpha$}}와$$ 같은 무한 연산을 허용하며, 여기서 J는 무한 지수 집합이므로 완전한 격자의 대수적 이론으로 이어진다.대수에 대해 설명하는 한 가지 방법은 대수를 특정 유형$(\displaystyle$\Omega$)$의 대수로 참조하는 것입니다. 여기서$\delta$(\$displaystyle\Omega$})는 대수의 연산의 진도를 나타내는 자연수의 순서열입니다.

방정식

연산이 지정된 후, 대수의 특성은 공리에 의해 더욱 정의되며, 보편 대수에서는 종종 등식 또는 등식 법칙의 형태를 취한다.예를 들어, 이항 연산에 대한 연관 공리는 x ( (y z z) = (x y y) z z 등식으로 주어진다.이 공리는 세트 A의 모든 요소 x, y 및 z를 유지하기 위한 것입니다.

품종

동일성에 의해 정의된 대수 구조의 집합을 다양성 또는 등식 클래스라고 합니다.

연구 대상을 다양성으로 한정하는 것은 제외됩니다.

• 방정식 전을 제외한 보편적 정량( {\$$\$displaystyle \forall$ 및 실존적 정량(display$$\$displaystyle$ \forall$)$을 포함한 정량화(style \displaystyle \$forall)$
• 접속 이외의 논리접속(접속)
• 평등 이외의 관계, 특히 부등식, a-b와 순서 관계

등식 클래스에 대한 연구는 모델 이론의 특별한 분야로 볼 수 있으며, 전형적으로 연산만을 가진 구조(즉, 유형은 함수에 대한 기호를 가질 수 있지만 등식 이외의 관계에 대한 기호를 가질 수 없음)를 다루며, 이러한 구조에 대해 말하는 데 사용되는 언어는 방정식만을 사용한다.

넓은 의미에서 모든 대수적 구조가 이 범위에 포함되는 것은 아니다.예를 들어 순서부여 그룹에는 순서관계가 포함되어 있기 때문에 이 범위에 포함되지 않습니다.

필드 클래스는 모든 필드 법칙을 방정식으로 작성할 수 있는 유형(또는 "시그니처")이 없기 때문에 등식 클래스가 아닙니다(필드의 0이 아닌 모든 요소에 대해 요소의 역이 정의되므로 반전을 유형에 추가할 수 없습니다).

이 제한의 한 가지 장점은 유니버설 대수학에서 연구된 구조들이 유한한 곱을 가진 모든 범주에서 정의될 수 있다는 것이다.예를 들어 위상 그룹은 위상 공간의 범주에 있는 그룹일 뿐입니다.

예

수학의 일반적인 대수적 시스템의 대부분은 다양성의 예시이지만, 항상 명확한 방법은 아니다. 왜냐하면 일반적인 정의는 종종 수량화 또는 불평등을 수반하기 때문이다.

무리

예를 들어 그룹의 정의를 생각해 보겠습니다.보통 그룹은 다음 공리에 따라 단일 이진 연산 θ로 정의됩니다.

• 연관성(전 절과 같음) : x ( (y) z) = (x y y) ∗ z, 형식 : x x, y, z. x((yzz)=(xyy)zz.
• ID 요소:각 요소 x에 대해 e x x = x = x ∗ e를 갖는 요소 e가 존재한다. 형식적으로는 x e e x = x = x formally e이다.
• 역요소:아이덴티티 요소는 고유하다는 것을 쉽게 알 수 있으며 보통 e로 표시됩니다.그리고 각 x에 대해 x ∗ i = e = i ; x 로 형식적으로 x x i i 로 하는 원소 i 가 존재한다.x440i=e=i440x.

(일부 저자는 x와 y가 A에 속할 때마다 x ) y가 A에 속한다는 "closure" 공리를 사용하지만, 여기서 이것은 이미 a를 이진 연산이라고 함축하고 있습니다.)

집합의 이 정의는 보편 대수의 관점에 즉시 들어맞지 않는다. 왜냐하면 항등원소와 반전의 공리는 보편적으로 "모든 것을 위한" 요소를 유지하는 등가법칙의 관점에서 순수하게 기술되지 않고, 또한 "there exists ..."라는 실존적 수량자를 포함하기 때문이다.군 공리는 이진 연산 , 외에 nullar 연산 e 및 단항 연산 ~를 지정함으로써 보편적으로 수량화된 방정식으로 표현될 수 있으며, ~x는 보통 x로⁻¹ 표기된다.그 공리는 다음과 같습니다.

• 연관성: x ( ( y z z ) = (x ) y ) ∗ z.
• 아이덴티티 요소: e xx = x = x ee, 정식: xx. exx=xee.
• 역원소: x ((~x) = e = (~x) ∗ x 형식: xx. x~~x=e=~xxx.

요약하면, 통상의 정의는 다음과 같습니다.

• 단일 이진 연산(2개)
• 1 균등법칙(관련성)
• 2개의 정량화된 법칙(정확한 법칙과 역법칙)

한편, 범용 대수 정의는 다음을 포함한다.

• 3개의 연산: 1개의 바이너리, 1개의 단항 및 1개의 늘(소수(2,1,0))
• 3가지 등가의 법칙(관련성, 동일성 및 역)
• 정량화된 법칙 없음(품종에서 허용되는 가장 바깥쪽 범용 정량자 제외)

중요한 점은 추가 작업이 정보를 추가하는 것이 아니라 그룹의 일반적인 정의에서 고유하게 따른다는 것입니다.일반적인 정의는 식별 요소 e를 고유하게 규정하지 않았지만, 쉬운 연습은 각 역 요소처럼 그것이 고유하다는 것을 보여준다.

보편적 대수학적 관점은 범주 이론에 잘 적응되어 있다.예를 들어, 범주 이론에서 그룹 개체를 정의할 때, 문제의 개체가 집합이 아닐 수 있는 경우, 수량화된 법칙(개개의 요소를 지칭하는)이 아닌 등가 법칙(일반 범주에서 이치에 맞는)을 사용해야 합니다.또, 카테고리내의 형태로서 역방향 및 항등식을 특정한다.예를 들어 위상 그룹에서 역방향은 요소별로 존재할 뿐만 아니라 연속 매핑(모피즘)을 제공해야 합니다.또한 일부 저자는 정체성 맵이 폐쇄 포함(공보)이어야 한다고 요구한다.

기타 예

대부분의 대수 구조는 보편 대수의 예이다.

• 고리, 반군, 준군, 그룹체, 마그마, 루프 및 기타.
• 고정 필드 위의 벡터 공간과 고정 링 위의 모듈은 범용 대수학입니다.이 값에는 필드 또는 링의 각 요소에 대해 하나씩 이진 덧셈과 단일 스칼라 곱셈 연산자 패밀리가 있습니다.

관계 대수의 예로는 반격자, 격자, 부울 대수가 있다.

기본 구조

,$$\ $displaystyle$\$Omega$ $\}$$유형$은 수정되었다고 가정합니다.그리고 나서 범용 대수학에는 동형상, 서브대수, 곱의 세 가지 기본 구조가 있다.

2개의 대수 A와 B의 동형사상은 A의 연산_A f마다 A의 연산_B f와 B의 대응 f(예를 들어 n), h(x_A1, …x_n) = f_B(h(x₁, …x_n) (가끔 f의 첨자가 빠졌을 때)가 되는 함수 h: A → B이다.예를 들어 e가 상수(기본 연산)이면 h(e_A) = e_B. ~가 단항 연산이면 h(~x) = ~h(x)입니다.θ가 이항 연산인 경우 h(x y y) = h(x) h h(y)입니다.기타 등등.동형사상으로 할 수 있는 것 중 몇 가지와 특정한 종류의 동형사상의 정의는 동형사상 항목 아래에 나열되어 있습니다.특히, 우리는 대수의 동형상 h(A)를 취할 수 있다.

A의 하위 대수는 A의 모든 작업에서 닫힌 A의 하위 집합입니다.대수 구조의 일부 집합의 곱은 좌표적으로 정의된 연산을 갖는 집합의 데카르트 곱이다.

기본적인 정리

• 군, 링, 모듈 등의 동형 이론을 포함하는 동형 이론.
• Birkhoff의 HSP 정리는 대수의 클래스가 동형 이미지, 하위 대수 및 임의의 직접 곱에서 닫힌 경우에만 다양하다는 것을 나타냅니다.

동기 및 응용 프로그램

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통일된 접근법 외에도, 보편적 대수는 또한 깊은 이론과 중요한 예시와 반례를 제공한다.그것은 새로운 대수학 수업의 연구를 시작하려는 사람들에게 유용한 틀을 제공한다.그것은 (가능하다면) 보편적 대수학의 관점에서 방법을 재캐스팅하고, 그것들을 다른 클래스에 적용하는 것으로 해석함으로써, 대수의 일부 특정 클래스를 위해 발명된 방법을 다른 클래스의 대수에 사용할 수 있게 할 수 있다.J.D.H. 스미스가 말했듯이, "특정 프레임워크에서 지저분하고 복잡해 보이는 것은 적절한 일반적인 프레임워크에서 단순하고 명백하게 드러날 수 있다."

특히, 보편대수는 모노이드, 고리, 격자의 연구에 적용될 수 있다.유니버설 대수가 나오기 전에, 많은 정리들(특히 동형 이론들)이 이 모든 클래스에서 개별적으로 증명되었지만, 유니버설 대수를 통해, 그것들은 모든 종류의 대수 체계에 대해 완전히 증명될 수 있다.

아래에 언급된 1956년 히긴스의 논문은 특정 대수 체계에 대한 프레임워크에 대해 잘 추적되어 온 반면, 그의 1963년 논문은 부분적으로만 정의된 연산과 대수에 대한 논의로 주목할 만하며, 이에 대한 전형적인 예는 범주와 군소체이다.이것은 기하학적 조건에서 정의되는 영역을 갖는 부분 연산을 가진 대수 이론의 연구로 정의될 수 있는 고차원 대수학의 주제로 이어진다.주목할 만한 예는 다양한 형태의 고차원 범주와 그룹로이드이다.

제약 만족 문제

유니버설 대수는 제약 만족 문제(CSP)에 대한 자연스러운 언어를 제공합니다.CSP는 중요한 계산 문제 클래스를 가리키며, 이 대수 위에 관계형 대수 A와 $실존적{\displaystyle }$ 문장 ${\$ {$style$ \ varphi$}$가 주어졌을 때 ${\$ { $display$style \ $varphi$}가 A에서 충족될 수 있는지 확인하는 것입니다.대수 A는 대부분의 경우 고정되어 있기 때문에_A CSP는 실존문장$「\display$ \$varphi$만을 가진 문제를 참조합니다.

모든 계산 문제는 일부 대수 ^[1]A에 대해 CSP로_A 공식화할 수 있다는 것이 증명되었다.

$예$를 들어 n컬러링 문제는 대수${\displaystyle (\{}$ ${\displaystyle 0,1}$,${\displaystyle \dots ,n}$ - ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \},}$ $)$ { $displaystyle (}\{0,1,\dots,n-1\},\neq \big$의 CSP, 즉 n$${ $displaystyle$ n$}$ 요소$$ $및{\displaystyle }$ 단일 관계라고 할 수 있습니다.

이분법 추측(2017년 4월 증명)은 A가 유한 대수일 경우_A CSP는 P 또는 ^[2]NP-완전이라고 한다.

일반화

보편대수는 또한 범주론의 기법을 사용하여 연구되어 왔다.이 접근법에서는, 이러한 연산에 따르는 연산과 방정식의 목록을 작성하는 대신에, 로베어 이론 또는 보다 일반적으로 대수 이론으로 알려진 특별한 종류의 범주를 사용하여 대수 구조를 설명할 수 있다.또는 모나드를 사용하여 대수 구조를 설명할 수 있다.두 가지 접근법은 서로 밀접하게 관련되어 있으며 각각 고유한 ^[3]장점이 있습니다.특히, 모든 로베어 이론은 집합의 범주에 대한 모나드를 제공하는 반면, 집합의 범주에 대한 "완료" 모나드는 로베어 이론에서 발생합니다.그러나 모나드는 하나의 특정 범주(예를 들어 집합의 범주) 내의 대수 구조를 기술하는 반면, 대수 이론은 범주의 큰 클래스(즉 유한한 곱을 가진 것) 내의 구조를 기술한다.

범주 이론에서 보다 최근의 발전은 오퍼라드 이론이다 – 오퍼라드는 범용 대수와 유사한 연산 집합이지만, 변수가 있는 식들 사이에서만 제한되고 변수의 중복이나 누락은 허용되지 않는다.${\displaystyle {}^{}}$ g${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ { $display gg$^ { - 1 } $=$1 }은(는) 왼쪽 변수 g를 복제하고 오른쪽 변수 g를 생략하기 때문에 링은 그룹이 아닌 일부 오퍼라드의 이른바 "subbras"로 설명할 수 있습니다.처음에 이것은 귀찮은 제한으로 보일 수 있지만, 그 결과는 오퍼라드가 특정한 이점을 가지고 있다는 것이다: 예를 들어, 누군가는 연관 대수의 개념을 얻기 위해 링과 벡터 공간의 개념을 혼합할 수 있지만, 군과 벡터 공간의 개념의 유사한 혼합을 형성할 수는 없다.

또 다른 발전은 연산자가 부분 함수가 될 수 있는 부분 대수이다.어떤 부분 함수는 또한 본질적으로 대수학 ^[4]이론으로 알려진 로베어 이론의 일반화에 의해 처리될 수 있다.

유니버설 대수의 또 다른 일반화는 모델 이론으로, "범용 대수 + 논리"^[5]로 설명되기도 한다.

역사

앨프리드 노스 화이트헤드의 1898년에 출판된 "유니버설 대수학 논문"에서, 유니버설 대수학이라는 용어는 본질적으로 오늘날과 같은 의미를 가지고 있었다.화이트헤드는 윌리엄 로완 해밀턴과 아우구스투스 드 모건을 이 문제의 창안자로, 제임스 조셉 실베스터를 이 용어의 ^{[6]: v} 창안자로 지목했다.

당시 리 대수와 쌍곡 사분원과 같은 구조들은 연관 곱셈 클래스를 넘어 대수 구조를 확장할 필요성에 관심을 끌었다.한 리뷰에서 알렉산더 맥팔레인은 다음과 같이 썼다: "작업의 주요 아이디어는 여러 방법을 통합하거나, 그것들을 포함하기 위해 일반 대수학을 일반화하는 것이 아니라, 오히려 그들의 ^[7]여러 구조에 대한 비교 연구이다."그 당시 조지 불의 논리대수는 일반수 대수의 강력한 대척점을 만들었고, 그래서 "범용"이라는 용어는 긴장된 감성을 진정시키는 역할을 했다.

화이트헤드의 초기 연구는 (해밀턴에 기인한), 그라스만의 Ausdehnungslehre, 그리고 불의 논리 대수를 통합하는 것을 추구했다.Whitehead는 그의 책에 다음과 같이 썼다.

"이러한 대수는 개별적인 세부 연구를 위한 고유한 가치를 가지고 있습니다; 또한 그들은 비교 연구할 가치가 있습니다, 그에 따라 상징적 추론의 일반 이론, 특히 대수적 상징성에 던져진 빛을 위해서.비교 연구는 필연적으로 이전의 몇 가지 개별 연구를 전제로 하며, 지식 없이는 비교가 불가능합니다."^[6]

그러나 화이트헤드는 일반적인 성질의 결과를 얻지 못했다.이 주제에 대한 연구는 개럿 버크호프와 외이슈타인 오레가 보편적인 대수학을 출판하기 시작한 1930년대 초반까지 미미했다.1940년대와 1950년대에 메타 수학과 범주 이론의 발전은 특히 에이브러햄 로빈슨, 알프레드 타르스키, 안제이 모스토프스키,^[8] 그리고 그들의 학생들의 연구를 더욱 발전시켰다.

1935년에서 1950년 사이의 기간 동안, 대부분의 논문은 자유 대수학, 일치와 하위 대수학, 그리고 동형 정리에 대해 다루면서 Birkhoff의 논문에 의해 제안된 노선을 따라 쓰여졌다.수학 논리의 발달이 대수학에 응용할 수 있게 만들었지만, 그것들은 천천히 나타났다; 1940년대에 아나톨리 몰트세프가 발표한 결과는 전쟁 때문에 주목을 받지 못했다.1950년 캠브리지에서 열린 국제 수학자 회의에서 타르스키의 강의는 C.C.뿐만 아니라 타르스키 자신에 의해 주로 모델 이론적인 측면이 발달하는 새로운 시대를 열었다.창, 레온 헨킨, 비야니 존슨, 로저 린든, 기타.

1950년대 후반, 에드워드 마르크제프스키가^[9] 자유 대수의 중요성을 강조하면서, 마르크제프스키가 얀 마이시엘스키, 브와디스와프 나르키에비치, 비톨드 니트카, J. 프완카, Szier C와 함께 자유 대수의 대수 이론에 대한 50개 이상의 논문을 발표하게 되었다.

1963년 윌리엄 로베어의 논문을 시작으로 범주가론의 기법이 보편 ^[10]대수학에서 중요해졌다.

「 」를 참조해 주세요.

• 그래프 대수
• 용어 대수
• 클론
• 보편 대수 기하학
• 단순 보편 대수

각주

레퍼런스

• 버그만, 조지 M., 1998년일반 대수학 및 유니버설 건설에 대한 초대장(퍼브).헨리 헬슨, 15세, 버클리 캘리포니아, 94708) 398쪽.ISBN 0-9655211-4-1.
• 버크호프, 개럿, 1946년유니버설 대수학Comptes Rendus du Premier Congrés Canadien de Mathématiques, 토론토 대학교 출판부, 310–326페이지.
• Burris, Stanley N. 및 H.P. Sankapanavar, 1981.유니버설 대수 Springer-Verlag 코스.ISBN 3-540-90578-2 무료 온라인 에디션.
• 콘, 폴 모리츠, 1981년유니버설 대수학네덜란드 도르드레흐트: D.레이델 출판사.ISBN 90-277-1213-1(1965년 Harper & Row에서 초판)
• 프리즈, 랄프, 랄프 맥켄지 1987년모듈러 품종에 대한 정류자 이론, 제1판 런던 수학회 강의 노트 시리즈, 125. 케임브리지 대학교 ISBN 0-521-34832-3을 누릅니다. 무료 온라인 제2판.
• 그레처, 조지, 1968년유니버설 대수학 D.반 노스트랜드 컴퍼니
• 히긴스, P. J. 그룹이 여러 연산자를 가지고 있습니다.검사, 런던 수학.Soc. (3) 6(1956), 366-416.
• 히긴스, P.J., 연산자 계획을 가진 알헤브라스.마티쉬 나히히텐 (27) (1963) 115–132.
• 데이비드, 그리고 랄프 맥켄지, 1988년.유한대수의 구조 미국 수학회.ISBN 0-8218-3400-2.무료 온라인 에디션.
• 집슨, 피터, 헨리 로즈, 1992년다양한 격자, 수학 강의 노트 1533.스프링거 벨락.ISBN 0-387-56314-8.무료 온라인 에디션.
• 피고지, 돈대수의 일반 이론무료 온라인 에디션.
• 1976년 J.D.H. 스미스말체프 변종, 스프링거-발락.
• 화이트헤드, 알프레드 노스, 1898년케임브리지의 유니버설 대수학 논문.(주로 역사적 관심사)

외부 링크

• Algebra Universalis - Universal Algebra에 특화된 저널.