퇴행성(그래프 이론)

그래프 이론에서 k-degenerate 그래프는 모든 하위 그래프가 최대 k: 즉, 하위 그래프의 일부 꼭지점이 하위 그래프의 가장자리 k 또는 그 이하에 닿는 비방향 그래프다.그래프의 퇴행성은 k-degenerate인 k의 가장 작은 값이다.그래프의 퇴행성은 그래프가 얼마나 희박한지를 나타내는 척도로, 그래프의 수목성 등 다른 첨사성 척도의 일정한 요인 안에 있다.

Degeneracy는 k-core 수,^[1] 폭,^[2] 연결로도 알려져 있으며,^[3] 색소 번호나^[4] Szekeres-Wilf 번호와 본질적으로 동일하다(Szekeres와 Wilf(1968)의 이름을 따서 명명되었다). k-degenerate 그래프는 k-interval graph라고도 불린다.^[5]그래프의 퇴행성은 최소도 정점을 반복적으로 제거하는 알고리즘에 의해 선형 시간으로 계산될 수 있다.^[6]k보다 작은 모든 정점을 제거한 후 남는 연결된 구성요소를 그래프의 k-코어라고 하며, 그래프의 변질성은 k-코어가 있을 정도로 가장 큰 값 k이다.

예

모든 유한한 숲은 고립된 꼭지점(가장자리가 없는 경우)이나 잎 꼭지점(가장자리 정확히 한 쪽 가장자리에 해당)을 가지고 있다. 따라서 나무와 숲은 1-degenate 그래프다.모든 1-디제너레이션 그래프는 숲이다.

모든 유한 평면 그래프는 5도 이하의 정점을 가지고 있다. 따라서 모든 평면 그래프는 5도 이하의 정점을 가지며, 모든 평면 그래프의 퇴행성은 최대 5도이다.마찬가지로, 모든 외부 행성 그래프는 최대 2개의 퇴보성을 가지고 있고,^[7] 아폴로니아 네트워크는 퇴보성을 3개 가지고 있다.

무작위 스케일 프리 네트워크를^[8] 생성하기 위한 바라바시-알버트 모델은 그래프에 추가된 각 꼭지점에 이전에 추가된 정점이 있도록 숫자 m으로 매개변수화된다.따라서 이러한 방식으로 형성된 네트워크의 서브그래프는 최대 m(그래프에 추가된 서브그래프의 마지막 꼭지점)에서 정도 정점을 가지며 바라바시-알버트 네트워크는 자동으로 m-감소된다.

모든 k-규칙 그래프에는 정확히 k가 퇴보되어 있다.더 강하게 말하면, 그래프의 연결된 구성요소 중 적어도 하나가 최대도의 정규 분포를 따르는 경우에만 그래프의 퇴행성은 최대 정점도와 동일하다.다른 모든 그래프의 경우, 변질도는 절대 최대도보다 낮다.^[9]

정의 및 동등성

그래프 G의 색상 번호는 Erdős & Hajnal(1966)에 의해 정의되었으며, 각 꼭지점이 순서 초기에 κ 인접점보다 적은 G의 정점 순서가 존재하는 최소 κ이다.그것은 두 개의 인접한 정점이 동일한 색을 가지지 않도록 정점을 색상으로 칠하는 데 필요한 최소 색상인 G의 색수와 구별되어야 한다. 색상을 결정하는 순서는 색상으로 G의 정점을 색상으로 칠하는 순서를 제공하지만, 일반적으로 색채 수는 더 작을 수 있다.

그래프 G의 퇴행성은 릭앤화이트(1970년)에 의해 G의 모든 유도 서브그래프가 k 이하의 이웃을 가진 정점을 포함하는 최소 k로 정의되었다.유도 서브그래프 대신 임의 서브그래프가 허용되는 경우, 비유발 서브그래프는 동일한 정점 집합에 의해 유도된 서브그래프의 정점도보다 작거나 같은 정점도만 가질 수 있기 때문에 정의는 동일할 것이다.

색소수와 퇴행성의 두 가지 개념은 동등하다: 어떤 유한 그래프에서든 퇴행성은 색소수보다 한 개 적다.^[10]예를 들어, 그래프에 색상 번호 κ이 있는 순서가 있는 경우 각 하위 그래프 H에서 H에 속하고 순서에 마지막인 정점에는 최대 most - 1개의 이웃이 있다.다른 방향에서 G가 k-degenerate인 경우, 대부분의 k 이웃에서 정점 v를 반복적으로 찾아 그래프에서 v를 제거하고 나머지 정점을 주문하고 v를 순서 끝에 추가하면 색상 번호 k + 1을 가진 순서를 얻을 수 있다.

세 번째 등가 공식은 G의 가장자리가 최대 k에서 특이도를 갖는 방향의 아세클릭 그래프를 형성하도록 방향을 지정할 수 있는 경우에만 G가 k-디제너레이션(또는 최대 k + 1)인 것이다.^[11]이러한 방향은 색 번호 순서에서 각 모서리를 두 끝점 중 더 이른 쪽을 향하게 하여 형성될 수 있다.다른 방향에서, 만약 outdior k가 있는 방향이 주어진다면, 결과 방향의 acyclick 그래프의 위상학적 순서로 coloring number k + 1을 가진 순서를 얻을 수 있다.

k-코레스

그래프 G의 k-core는 모든 정점이 최소한 k를 갖는 G의 최대 연결 서브그래프다.동등하게, 그것은 k보다 작은 모든 정점을 반복적으로 삭제함으로써 형성된 G의 서브그래프의 연결된 구성요소 중 하나이다.비어 있지 않은 k-core가 존재한다면 G는 적어도 k-core를 가지고 있으며 G의 퇴행성은 G가 k-core를 가지고 있는 가장 큰 k이다.

$꼭지점{\displaystyle }$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은(는) c ${\displaystyle c}$ -core에$$ 속하지만 $({\displaystyle c}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (c+1)$-core에$$ 속하지 않는 경우$$ $c{\displaystyle }$ ${\displaysty c}$을(는 1) -c+1) -core를 갖는다$$.

k-core의 개념은 소셜 네트워크의^[12] 클러스터링 구조를 연구하고 랜덤 그래프의 진화를 설명하기 위해 도입되었다.^[13]생물정보학,^[14] 네트워크 시각화,^[15] 생태계의 네트워크의 복원력에도 적용되었다.^[16]주요 개념, 중요한 알고리즘 기법 및 일부 응용 분야를 다루는 주제에 대한 조사는 Malliaros 외(2019)에서 찾을 수 있다.

부트스트랩 퍼콜레이션은 전염병 모델과^[17] 분산 컴퓨팅의 내결함성을 위한 모델로서 연구된 무작위 프로세스다.^[18]격자 또는 다른 공간에서 활성 세포의 무작위 서브셋을 선택한 다음, 이 서브셋의 유도 서브그래프의 k-core를 고려하는 것으로 구성된다.^[19]

알고리즘

Matula&벡 알고리즘 G=꼭지점 집합 V과 O(V+E){\displaystyle{{O\mathcal}}(\vert V\vert +\vert E\vert)}시간과 2E+O(V){\displaystyle 2\vert E\vert+{\mathcal{O}}에 E세트{G=(V,E)\displaystyle}(V, E) 그래프의 축퇴 순서를 도출하기 위해 설명하(1983년).(\vert $V\vert )}$ 공간$$, 정도 색인 버킷 대기열에 정점을 저장하고 가장 작은 정도로 정점을 반복적으로 제거함.퇴행 k는 제거 당시 어떤 정점이라도 가장 높은 정도에 의해 주어진다.

보다 상세하게, 알고리즘은 다음과 같이 진행한다.

• 출력 목록 L을 초기화하십시오.
• 아직 L에 없는 v의 인접 개수인 G의 각 꼭지점 v에 대한 숫자 d를_v 계산한다.처음에 이 숫자들은 정점의 정도에 불과하다.
• D_v[i]가 d = i에 대해 아직 L에 없는 정점 v 목록을 포함하도록 어레이 D를 초기화하십시오.
• k를 0으로 초기화한다.
• n번 반복:
  • D[i]가 비어 있지 않은 i를 찾을 때까지 어레이 셀 D[0], D[1], ...을 스캔하십시오.
  • k를 max(k,i)로 설정
  • D[i]에서 정점 v를 선택하십시오.L의 시작 부분에 v를 추가하고 D[i]에서 제거한다.
  • 아직 L에 없는 v의 각 인접 w에 대해 d에서_w 하나를 뺀 다음 d의_w 새로운 값에 해당하는 D의 셀로 w를 이동시킨다.

알고리즘의 끝에서 모든 ${\displaystyle \mathrm{꼭지점}}$ $L{\displaystyle }$ [${\displaystyle }$i ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle L[i]}$은$($는) 정점 $[1,\ldots,$에 대해 최대 k $에지$를 갖는다$$$.$The l-cores of G are the subgraphs ${\displaystyle H_{l}\subset G}$ that are induced by the vertices ${\displaystyle L[1,\ldots ,i]}$, where i is the first vertex with degree ${\displaystyle \geq l}$ at the time it is added to L.

다른 그래프 모수와의 관계

그래프 G가 outdo k로 반복적으로 방향을 잡은 경우, 각 노드의 각 발신 가장자리에 대해 하나의 포리스트를 선택하여 그 가장자리를 k 포리스트로 분할할 수 있다.따라서 G의 식도락성은 기껏해야 그 퇴행성과 동일하다.다른 방향에서 k-숲으로 분할할 수 있는 n-Vertex 그래프는 최대 k(n - 1) 가장자리를 가지며, 따라서 최대 2k-1의 정도 정점을 가지므로 퇴행성은 수목성의 2배 미만이다.또한 다항 시간에서 도수는 최소화할 수 있지만 반복할 필요는 없는 그래프의 방향을 계산할 수도 있다.그러한 방향을 가진 그래프의 가장자리는 k 사이비 포리스트로 같은 방법으로 분할될 수 있으며, 반대로 그래프의 가장자리의 어떤 분할도 k 사이비 포리스트로 하여금 (각 사이비 포리스트에 대한 outdo-1 방향을 선택함으로써) 외도-k 방향으로 이어지게 하기 때문에, 그러한 방향의 최소 외도는 의사보성, which이다.다시 h는 기껏해야 타락과 같다.^[20]두께 또한 식목성의 일정한 요소 안에 있으므로 퇴행성의 요소도 있다.^[21]

k-degenerate 그래프는 최대 k + 1의 색수를 가지고 있다. 이것은 평면 그래프의 6색 정리의 증거와 정확히 같은 정점 수에 대한 간단한 유도에 의해 증명된다.색수는 최대 집단의 순서에 따라 상한이므로 후자 불변성 또한 기껏해야 퇴보성 플러스 1이다.최적의 컬러링 번호로 주문 시 탐욕스러운 컬러링 알고리즘을 사용하면 최대 k+1 색상을 사용하여 k-degenerate 그래프의 컬러를 그래프로 표시할 수 있다.^[22]

k-Vertex 연결 그래프는 k 정점 이하를 제거하여 둘 이상의 구성요소로 분할할 수 없는 그래프 또는 동등하게 각 정점 쌍이 k 정점 분리 경로로 연결될 수 있는 그래프다.이러한 경로는 분리 가장자리를 통해 쌍의 두 꼭지점을 벗어나야 하므로 k-Vertex 연결 그래프는 적어도 k-bertex 연결 그래프가 퇴보성을 가져야 한다.k-코어(k-cores)와 관련되지만 꼭지점 연결성에 기반한 개념은 구조 응집이라는 이름으로 소셜 네트워크 이론에서 연구되어 왔다.^[23]

그래프가 최대 k에서 트리 너비 또는 경로 너비를 갖는 경우, 각 정점들이 최대 k k 이전 이웃에 있는 완벽한 제거 순서를 갖는 코드 그래프의 하위 그래프다.따라서 퇴행성은 기껏해야 나무 너비와 같고, 기껏해야 경로 너비와 같다.그러나 그리드 그래프와 같이 경계가 있는 퇴행성과 무한 트리 너비를 가진 그래프가 존재한다.^[24]

The Burr–Erdős conjecture relates the degeneracy of a graph G to the Ramsey number of G, the least n such that any two-edge-coloring of an n-vertex complete graph must contain a monochromatic copy of G. Specifically, the conjecture is that for any fixed value of k, the Ramsey number of k-degenerate graphs grows linearly in the number of vertices of도표^[25]이 같은 추측은 이씨(2017년)가 입증했다.

무한 그래프

유한 그래프의 맥락에서 퇴행성과 색소수의 개념이 자주 고려되지만, Erdds & Hajnal(1966)에 대한 원래의 동기는 무한 그래프 이론이었다.무한 그래프 G의 경우, 순서에서 초기인 α보다 적은 각 꼭지점이 있는 G의 정점 순서가 존재할 수 있도록 유한 그래프의 정의와 유사하게 색상 번호를 가장 작은 기수 α로 정의할 수 있다.색채와 색채수 사이의 불평등도 이 무한한 환경에서 지속된다; Erdős & Hajnal(1966)은 그들의 논문을 발표할 당시 이미 잘 알려져 있었다고 말한다.

무한 격자의 임의 하위 집합의 변질성은 부트스트랩 퍼콜레이션이라는 이름으로 연구되어 왔다.

참고 항목

• 그래프 이론
• 네트워크 과학
• 퍼콜레이션 이론
• 중심-주변 구조
• 세레세다의 추측

메모들

참조