히구치 치수

프랙탈 기하학에서 히구치 치수(또는 히구치 프랙탈 치수(HFD))는 실제 값 함수나 시계열의 그래프의 박스 카운팅 치수에 대한 대략적인 값이다.이 값은 알고리즘 근사치를 통해 얻으므로 히구치 방법에 대해서도 이야기한다.이공계 분야에 응용이 많고 지진학에서 1차 파동 특성화,^[1] 임상 신경생리학^[2], 알츠하이머병에서 뇌전도 변화 분석 등의 과목에 적용됐다.^[3]

방법의 공식화

이 방법의 원래 공식은 T 때문이다.히구치 ^[4]입니다Given a time series ${\displaystyle X:\{1,\dots ,N\}\to \mathbb {R} }$ consisting of ${\displaystyle N}$ data points and a parameter ${\displaystyle k_{\mathrm {max} }\geq 2}$ the Higuchi Fractal dimension (HFD) of ${\displaystyle X}$ is calculated in the following way: For each${\displaystyle k\in \{1}$,${\displaystyle }$…,${\displaystyle {}_{}}$ m ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{x}}_{}}$ ${\displaystyle {\backslash \}}_{}}$ ${\displaystyle k\in \{1,\dots, k_{max}\}}$ $및$ m${\displaystyle \{\{1}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle k}\}${\$displaystym m\in \{$${\displaystyle 1}$$,\dots,k}\}\}}}$은(으$$)$만큼$ $길이{\displaystyle {}_{}}$ L$({\displaysty)$를 정의한다$$.

${\displaystyle L_{m}(k)={\frac {N-1}{\lfloor {\frac {N-m}{k}}\rfloor k^{2}}}\sum _{i=1}^{\lfloor {\frac {N-m}{k}}\rfloor } X_{N}(m+ik)-X_{N}(m+(i-1)k) .}$

길이 $L{\displaystyle }$( ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle L(k)}$은(는) $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 길이$$ L ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle k}$( ) ${\displaystyle L_{1}(k),\dots ,L_{k}(k)}$의 평균 값으로 정의된다$.$

${\displaystyle L(k)={\frac {1}{k}}\sum _{m=1}^{k}L_{m}(k).}$

데이터 지점 ${\displaystyle \{(\log }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{1k}}$, ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$(${\displaystyle )\}}$을 통한 가장 적합한 선형 함수의 기울기는 $\$을(를) 통한 가장 적합한 선형 함수의 기울기는 $시계열{\displaystyle }$ X ${\\\\\displaystystyledown$ 치수라고 정의된다$.$

기능에 적용

For a real-valued function ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ one can partition the unit interval ${\displaystyle [0,1]}$ into ${\displaystyle N}$ equidistantly intervals ${\displaystyle [t_{j},t_{j+1})}$ and apply the Higuchi algorithm to the times series ${\displaystyle }$${\displaystyle X}$(${\displaystyle j}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle t_{}}$) ${\displaystyle$ X$(j)=f(t_{j$이는 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 히구치 프랙탈 치수로 귀결된다$.$ 이 경우 히구치 방법은 기하학적 접근법에 따라$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 그래프의 박스 카운팅 치수에 대한 근사치를 산출하는 것으로 나타났다(Liehr & Massopust 2020^[5] 참조).

견고성과 안정성

분절 브라운 함수 및 위어스트라스 함수에 대한 애플리케이션은 히구치 프랙탈 치수가 박스차원 가까이에 있을 수 있다는 것을 보여준다.^[4][5]한편, 데이터 $X{\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$X${\displaystyle }$( ${\displaystyle N}$) ${\displaystyle$ X $(1),\dots ,X (N)}$가 주기적인$$ 경우 또는 그 하위 집합이 수평선에 놓여 있는 경우(Liehr & Massopust 2020^[5] 참조) 방법은 불안정할 수 있다.

참조