비오-사바르트 법칙

물리학, 특히 전자기학에서, Biot-Savart 법칙(/ ˈbi ʊo əˈs ɑːv ɑːr/ 또는/ ˈbjo ʊs əˈv ːr/)은 일정한 전류에 의해 생성된 자기장을 설명하는 방정식입니다. 자기장은 전류의 크기, 방향, 길이 및 근접성과 관련이 있습니다.

Biot-Savart 법칙은 자기 정역학의 기본입니다. 그것은 자기적 근사에서 유효하며, 암페어의 순환 법칙과 가우스의 자기적 법칙 모두와 일치합니다.^[2] 자기력이 적용되지 않을 때, 비오-사바르트 법칙은 Jefimenko의 방정식으로 대체되어야 합니다. 이 법은 1820년에 이 관계를 발견한 장 밥티스트 비오와 펠릭스 사바르트의 이름을 따서 지어졌습니다.

식

다음 식에서 매체는 자기가 아닌 것으로 가정됩니다(예: 진공). 이를 통해 자기장 B를 직접 유도할 수 있고, 여기서 기본 벡터는 H입니다.^[3]

전류(폐곡선/와이어를 따라)

$Id{\boldsymbol {\ell }}$ ℓ {\displaystyle Id ${\boldsymbol$ $\mathbf {{\hat {r}}'}$ r^' ${\displaystyle$ \ $mathbf$ ${\hat$ {r $\mathbf {{\hat {r}}'}$ 의 방향과 $|\mathbf {r'} |$ r $'$ 의 $|\mathbf {r'} |$ 이 표시됩니다 $.$

Biot-Savart 법칙은^[4]^{: Sec 5-2-1} (예를 들어 와이어로 인해) 필라멘트 전류 I에 의해 생성된 3D 공간의 위치 r에서의 결과 자속 밀도 B를 계산하는 데 사용됩니다. 정상 전류(또는 정지 전류)는 전하가 시간에 따라 변하지 않고 전하가 어떤 지점에서도 축적되거나 고갈되지 않는 지속적인 흐름입니다. 이 법칙은 전류가 흐르는 경로 C(예: 와이어)를 통해 평가되는 선 적분의 물리적 예입니다. SI 단위 teslas (T)의 방정식은^[5]

$\mathbf {B}(\mathbf {r})={\frac {\mu_{0}}{4\pi}}\int_{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell}}\times \mathbf {r'}}{\mathbf {r'}^{3}}$

여기서 $d{\boldsymbol {\ell }}$ ℓ ${\displaystyle d{\boldsymbol$ {\ell}}는 $경로$ C ${\displaystyle$ C}를 따르는 벡터이며, 크기는 기존 ${\boldsymbol {\ell }}$ 방향의 와이어 차동 요소의 길이이고, ℓ {\displaystyle ${\$ boldsymbol {\ell}}는 $경로$ C $C$ displaystyle C}의 한점입니다. 그리고 r $\mathbf {r'} =\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}$ = $\mathbf {r'} =\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}$ - $d{\boldsymbol {\ell }}$ ℓ ${\$ displaystyle \mathbf {r'} =\mathbf {r} - ${\$ boldsymbol {\ $ell$ }}은 {\displaystyle {\boldsymbol {\ell}}의 점 ℓ {\displaystyle {\boldsymbol {\ell}}에서 필드가 계산되는 지점까지의 전체 변위 벡터입니다(r {\displaystyle}). $\mathbf {r}}),$ μ는₀ 자기 상수입니다. 또는:

\mathbf {B}(\mathbf {r})={\frac {\mu _{0}}{4\pi}}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell}}\times \mathbf {\hat {r}}}{ \mathbf {r'}^{2}}

여기서

{\

r}}}

}

은

\mathbf {{\hat {r}}'}

r

\mathbf {r'}

{\

의 단위 벡터입니다

\mathbf {r'}

굵은 글씨로 표시된 기호는 벡터 양을 나타냅니다.

정상 전류는 경계가 있을 때만 닫힌 경로를 따라 흐를 수 있기 때문에 적분값은 일반적으로 닫힌 곡선 주위에 있습니다. 그러나 이 법은 무한히 긴 전선에도 적용됩니다(이 개념은 2019년 5월 20일까지 전류의 SI 단위인 암페어의 정의에 사용되었습니다).

방정식을 적용하려면 자기장을 계산할 공간의 점을 임의로 선택합니다( $\mathbf {r}$ ${\$ 그 점을 고정한 상태에서 전류의 경로 위에 적분한 선은 그 점의 총 자기장을 찾기 위해 계산됩니다. 이 법칙의 적용은 자기장에 대한 중첩 원리에 암묵적으로 의존합니다. 즉, 자기장이 전선의 각 무한소 구간에 의해 개별적으로 생성된 자기장의 벡터 합이라는 사실입니다.^[6]

예를 들어 전류 $I.$ 을 운반하는 $R$ 반지름 $R$ ${\displaystyle$ $R$ $}$ 루프의 자기장을 생각해 보십시오 $.$ ${\displaystyle$ I $.}$ 루프의 중심선을 따라 $x$ 거리 $x$ $x$ 인 점에 대해 $I.$ 해당 지점의 자기장 벡터는 다음과 같습니다.

\mathbf {B}({\hat {\mathbf {x}}}) = {\frac {\mu_{0}IR^{2}}{2(x^{2}+R^{2})^{3/2}}}{\hat {\mathbf {x} }},

여기서

{\hat {\mathbf {x} }}

{\

은

{\hat {\mathbf {x} }}

루프의 중심선을 따른 단위 벡터입니다(게다가 루프가 원점의 중심이 되도록 함).^[4]^{: Sec 5-2, Eqn (25)} 헬름홀츠 코일, 솔레노이드, 마그세일 우주선 추진 시스템과 같은 장치에는 설명한 것과 같은 루프가 나타납니다. 중심선에서 벗어난 지점에서 자기장을 계산하려면 수치 해나 근사치가 필요한 타원 적분을 포함하는 더 복잡한 수학이 필요합니다.^[7]

전류 밀도(컨덕터 볼륨 전체)

위에 주어진 공식은 전류가 무한히 좁은 전선을 통과하는 것으로 근사화될 수 있을 때 잘 작동합니다. 도체의 두께가 어느 정도인 경우, Biot-Savart 법칙의 적절한 공식(SI 단위)은 다음과 같습니다.

$\mathbf {B}(\mathbf {r})={\frac {\mu _{0}}{4\pi}}\iint _{V}\{\frac {(\mathbf {J} \,dV)\times \mathbf {r} '}{ \mathbf {r} '^{3}}$

여기서 $\mathbf {r'}$ ${\$ 은 $\mathbf {r'}$ dV에서 $\mathbf {r}$ r ${\$ 까지의 벡터이고 $\mathbf {r}$ $dV$ $dV$ 는 $dV$ 볼륨 요소이며, $\mathbf {J}$ ${\$ 는 해당 볼륨의 전류 밀도 벡터(A/m² 단위의 SI)입니다 $\mathbf {J}$ .

단위 벡터 $\mathbf {{\hat {r}}'}$ ${\$

\mathbf {B}(\mathbf {r})={\frac {\mu _{0}}{4\pi}}\iint _{V}\dV{\frac {\mathbf {J} \times \mathbf {\hat {r}}} {\mathbf {r} '^{2}}

정전류

균일한 정전류 I의 특별한 경우, 자기장 $\mathbf {B}$ ${\$ 는 $\mathbf {B}$

\mathbf {B}(\mathbf {r})={\frac {\mu_{0}}{4\pi}}}I\int_{C}{\frac {d{\boldsymbol {\ell}}\times \mathbf {r'}}{ \mathbf {r'}^{3}}

즉, 적분에서 전류를 제거할 수 있습니다.

등속도로 점전하

일정한 속도 v로 움직이는 점전하 입자 q의 경우 맥스웰 방정식은 전기장과 자기장에 대해 다음과 같이 표현합니다.^[8]

{\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {q}{4\pi \epsilon_{0}}{\frac {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}\sin ^{2}\theta \right)^{\frac {3}{2}}}{\frac {\hat {r}}}}{\mathbf {r} '^{2}}\\\mathbf {H} &=\mathbf {v} \times \mathbf {D}\\\mathbf {B} &={\frac {1} {c^{2}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \end{align}}

여기서

\mathbf {\hat {r}} '

\mathbf {\hat {r}} '

\mathbf {\hat {r}} '

은 입자의 현재(지연되지 않은) 위치에서 필드를 측정하는 지점을 가리키는 단위 벡터이고, θ은 v

{\displaystyle \mathbf

{

\mathbf {r} '

과

\mathbf {r} '

r

\mathbf {r} '

사이의 각도입니다. 또는

,

이들은 소스 전하의 관성 프레임에서 쿨롱 힘의 로런츠 변환(4-force 형태)을 고려하여 유도할 수 있습니다.^[9]

$v$ ≪ c일 때 전기장과 자기장은 다음과 같이 근사할 수 있습니다.

\mathbf {E} = {\frac {q} {4\pi \varepsilon _{0}}\{\frac {\mathbf {\hat {r}}} { \mathbf {r} '^{2}}

\mathbf {B} = {\frac {\mu _{0}q}{4\pi }}\mathbf {v} \times {\mathbf {\hat {r}}} {\mathbf {r} '^{2}}

이 방정식들은 1888년 올리버 헤비사이드에 의해 처음으로 유도되었습니다. $\mathbf {B}$ 저자는^[10]^[11] B ${\$ 에 대한 위 식을 표준 Biot-Savart 법칙과 매우 유사하기 때문에 "점 전하에 대한 Biot-Savart 법칙"이라고 $\mathbf {B}$ 부릅니다. 그러나 비오 사바르트 법칙은 정상 전류에만 적용되며 우주에서 움직이는 점전하는 정상 전류를 구성하지 않기 때문에 이 언어는 오해의 소지가 있습니다.^[12]

자기 응답 응용 프로그램

Biot-Savart 법칙은 양자역학적 계산이나 이론에서 전류 밀도를 얻을 수 있다면 화학적 차폐나 자기 감수성과 같은 원자나 분자 수준에서도 자기 반응을 계산하는 데 사용될 수 있습니다.

공기역학 응용

그림은 강도 $\Gamma$ γ ${\displaystyle$ \Gamma}의 와류 필라멘트( $dl$ ${\displaystyle dl$ 요소에 의해 P 지점에서 유도된 속도( $dV$ ${\displaystyle dV$ 를 보여줍니다.

Biot-Savart 법칙은 공기역학 이론에서도 와류선에 의해 유도되는 속도를 계산하는 데 사용됩니다.

공기역학적 응용에서는 자기적 응용에 비해 와류와 전류의 역할이 반대로 나타납니다.

맥스웰의 1861년 논문 '힘의 물리적 선에 대하여'^[13]에서 자기장 세기 H는 순수한 와류(스핀)와 직접적으로 동일시되는 반면, B는 와류 바다의 밀도에 대해 가중치가 부여된 가중 와류였습니다. 맥스웰은 자기 투과율 μ를 소용돌이 바다의 밀도를 측정하는 척도로 여겼습니다. 그래서 관계는

자기유도전류: $\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$ 기본적으로 선형 전류 관계에 대한 회전 비유였습니다.
대류 전류: $\mathbf {J} =\rho \mathbf {v},$ 여기서 ρ은 전하 밀도입니다.

B는 축면에 정렬된 와류의 일종의 자기 전류로 간주되었으며, H는 와류의 원주 속도입니다.

전류 방정식은 직선 운동을 포함하는 전하의 대류로 볼 수 있습니다. 비유하자면, 자기 방정식은 스핀을 수반하는 유도 전류입니다. 유도 전류에서 B 벡터의 방향을 따라 직선 운동은 없습니다. 자기 유도 전류는 힘의 선을 나타냅니다. 특히 역제곱 법칙 힘의 선을 나타냅니다.

공기역학에서 유도 공기 전류는 와류 축을 중심으로 솔레노이드 링을 형성합니다. 소용돌이 축이 자기에서 전류가 하는 역할을 하고 있다는 비유를 할 수 있습니다. 이는 공기역학(유체 속도장)의 기류를 전자기학에서 자기 유도 벡터 B와 동등한 역할로 만듭니다.

전자기학에서는 B 라인이 소스 전류 주위에 솔레노이드 링을 형성하는 반면 공기 역학에서는 공기 전류(속도)가 소스 와류 축 주위에 솔레노이드 링을 형성합니다.

따라서 전자기학에서는 와류가 '효과'의 역할을 하는 반면 공기역학에서는 와류가 '원인'의 역할을 합니다. 그러나 우리가 B선들을 고립된 상태로 볼 때, 우리는 B가 소용돌이 축이고 H가 1861년 맥스웰의 논문에서와 같은 원주 속도라는 점에서 공기역학적 시나리오를 정확하게 봅니다.

2차원에서 무한한 길이의 소용돌이선의 경우, 한 점에서의 유도 속도는 다음과 같이 주어집니다.

v={\frac {\Gamma}{2\pir}

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

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