ANALYSE: CONVERGENCE ET DUALITÉ

PHILIPPE JAMING

Espaces Lp
1. Définition des espaces Lp
1h
Soit 1 ¤ p 8 un nombre réel et pΩ, B, µq un espace mesuré σ-fini. On défini
" » *
L pΩ, µq  f : Ω Ñ C, f µ
measurable,
p
|f pxq| dµpxq 8 .
p
Ω
Cette espace est muni de la “norme” donnée par
» 1

}f }p  |f pxq| dµpxq
p
p
.
Ω
Pour p  8, on défini
L8 pΩ, µq  tf : Ω Ñ C, f µ
mesurable, il existe K ¡ 0 telle que |f pxq| ¤ K, µ
p.p.u.
On muni cet espace de la “norme”
}f }8  inf tK |f pxq| ¤ K µ
p.p.u.
Ceci défini (presque) une norme dans le sens où cette appication vérifie
(i) Pour f P Lp pΩ, µq, on a }f }p ¥ 0 et }f }p  0 si et seulement si f  0 µ-presque
partout.
(ii) Pour f P Lp pΩ, µq et λ P C,o a λf P Lp pΩ, µq et }λf }p  |λ}f }p .
(iii) Pour f, g P Lp pΩ, µq, on a f g P Lp pΩ, µq et }f g }p ¤ }f }p }g }p .
Remarque 1.1. Il est important de remarquer que pour le cas particulier p  2, L2 Ω, µq est
un espace de Hilbert et que la norme est associée au produit scalaire
»
xf, gyL pΩ,µq 
2 f pxqg pxq dµpxq.
Ω

Exercice 1.2. (1) Soit α P R, pour quels p P r1, 8s a-t-on xα P Lp pr0, 1sq et xα P
L pr1, 8qq.
p

(2) Pour p P r1, 8s, trouver f P Lp pRq telle que f R Lq pRq pour tout q P r1, 8s, q  p.
(3) Soit pΩ, B, µq un espace mesuré et 1 ¤ p 8. montrer que f P Lp pΩ, µq, df ptq :
}f }pp
µptx P Ω : |f pxq| ¡ tuq ¤ p .
t
(4) Montrer que
» 8
}f }  p tp
1 df ptq dt.
p
p
0

Date: October 12, 2020.

1
2 PHILIPPE JAMING

Esquisse de démonstration. Notons que (ii) est évident. Pour (i), on utilise le fait que si
une fonction positive a pour intégrale 0, alors elle est nulle presque partout. Le dernier
point (iii) est bien plus subtile (sauf les cas p  1 et p  8 qui sont triviaux et le cas
p  2 quand cela résulte directement de l’inégalité de Cauchy-Schwarz). Nous reportons
la démonstration de ce fait à une section ultérieure. Néanmoins, il est facile de voir que
Lp pΩ, µq est un espace vectoriel puisque

¤ p|f | |g|qp  2p |f | 2 |g| ¤ 2p
1 p|f |p |g|p q.
p
|f g |p

Cela provient de la convexité sur r0, 8q de l’application x ÞÑ xp quand p ¥ 1. Il en

résulte que, si f, g P Lp pΩ, µq alors f g P Lp pΩ, µq. 
Remarque 1.3.
— On écrira simplement Lp pΩq  Lp pµq  Lp : Lp pΩ, µq quand Ω, µ sont implicites.
De même, on peut être amené à écrire Lp pΩ, B, µq lorque le choix de la tribu joue un
rôle particulier. Quand µ est la mesure de comptage sur Ω  N ou Z, on écrit plutôt
`p pΩq  Lp pΩ, µq.
— Il est important de comprendre que }f }8 n’est pas le supremum de f mais son supremum
essentiel.#Les deux quantités diffèrent en général. Par exemple, si f est defini sur R par
1 si x P Q
f p xq  alors sup |f |  1 tandis que }f }8  0 (Q est de mesure 0 dont
0 sinon
f pxq  0 presque partout par rapport à la mesure de Lebesgue).
Bien sûr, si f est continue, alors sup |f |  }f }8 .
La notation L8 est justifiée par le fait suivant que nous laissons en exercice:
Exercice 1.4.
(1) Montrer que, si f P Lq X L8 alors, pour p ¡ q, f P Lp .
(2) Montrer qu’on a alors }f }p Ñ }f }8 quand p Ñ 8.
Les normes que nous venons de définir ne sont pas réellement des normes dans le sens
où }f }p  0 implique que f  0 µ-presque partout et non partout.
Pour circonvenir à cette nuisance, on peut re-définir Lp pΩ, µq de sorte que ses éléments
soient des “classes d’équivalence” de fonctions (un espace quotient). Plus préecisément, si
f P Lp pΩ, µq, on note f˜ l’ensemble des fonctions h telles que f
h  0 µ-presque partout
et on écrit h  f . In particulier, h P Lp pΩ, µq avec }h}p  }f }p . De plus, su f  h et h  g
alors f  g (une réunion finie – et même dénombrable- d’ensembles de mesure nulle est de
mesure nulle), en particulier f˜  h̃. Finalement, on défini
}f˜}p  }f }
p

et ceci ne dépend pas du choix de f dans f˜.

Enfin, si f˜ et g̃ sont les classes déquivalence de f et g P Lp pΩ, µq et si λ, µ P C, alors on
définit λf˜ µg̃  pλf µg q˜. On voit facilement que ceci ne dépend pas du choix de f et
g dans f˜ et g̃.
Nous avons maintenant deux espaces vectoriels. Les éléments du premier sont des fonc-
tions, mais ne dispose pas d’une norme (}f }  0 n’implique pas f  0) alors que le second
dispose d’une norme mais ses éléments sont seulement des classes de fonctions. Les deux
 ANALYSE 1 3

espaces sont habituellement dénotés Lp pΩ, µq et nous utiliserons l’abus de langage suivant:
soit f une fonction dans Lp pΩ, µq pour dire soit f˜ P Lp pΩ, µq et soit f P f˜. Ceci est très
confortable (et l’usage en analyse), mais il faut garder en tête que f  g signifie f  g
µ-presque partout. De plus, si x0 P Ω, alors f px0 q n’a pas de sens puisque µptx0 uq  0.
Bien entendu, si pour une raison ou une autre, f˜ contient une fonction continue (néces-
sairement unique), par défaut, le f P f˜ choisi sera cette fonction continue et f px0 q a son
sens usuel.
Par ailleurs, si µ est la mesure de comptage, i.e. dans `p , ce problème ne se pose pas
puisque µptx0 uq  1.

Remarque 1.5. Insistons sur le fait que f est continue presque partout ne signifie pas que
f˜ contienne une fonction continue. #
1 if x P Q
Par exemple f  1Q i.e. f pxq  alors f n’est continue nulle part alors
0 sinon
que f  0 presque partout#i.e. f P 0̃ et bien sûr 0est continues.
if x  0
Prenons aussi f pxq 
1
1{x sinon
, alors f est continue presque partout (le seul

point de discontinuité est 0) mais il n’existe pas de fonction g continue sur R telle que
f pxq  g pxq pour presque tout x (car alors il existerait xn Ñ 0 tel que f pxn q  g pxn q et
on aurait une contradiction en faisant n Ñ 8).

2. Hölder et Minkowski
1h20
Commençons par démontrer une inégalité qui joue un rôle central en analyse et étend
l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Elle est également un élément clé dans la démonstration de
l’inégalité triangulaire pour la norme }}p .

Théorème 2.1 (Inégalité de Hölder).

¤ p, p1 ¤ 8 tels que p1 p11  1 (avec la
Soit pΩ, B, µq un espace mesurée. Soient 1
1
convention p1  8 quand p  1 et vice versa). Soit f P Lp pΩ, µq et g P Lp pΩ, µq, alors
f g P L1 pΩ, µq et
»  » » 1 » 1
1
  p1
pqpq pq¤ |f pxqgpxq| dµpxq ¤ |f pxq| dµpxq |gpxq| dµpxq
p p
 f x g x dµ x  p
.
 
Ω Ω Ω Ω

De plus,
— on a égalité dans la première inégalité si et seulement s’il existe θ P R tel que
f pxqg pxq  eiθ |f pxqg pxq|.
— si f  0 on a égalité dans la seconde inégalité si et seulement s’il existe un réel λ ¥ 0
tel que
(i) pour 1 p 8, |gpxq|  λ|f pxq|p
1 µ-presque partout;
(ii) pour p  1, |g pxq| ¤ λ µ-presque partout et |g pxq|  λ pour µ-presque tout x tel
que f pxq  0;
(iii) pour p  8, |f pxq| ¤ λ µ-presque partout et |f pxq|  λ pour µ-presque tout x tel
que g pxq  0;
4 PHILIPPE JAMING

Remarque 2.2. Lorsque p  2 on a aussi q  2 et l’inégalité de Hölder n’est autre que

l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Exercice 2.3.
¸
m
Montrer que, si 1 ¤ pi ¤ 8 avec  1, alors
1
 pi
i 1
» 
 ¹ m  ¹
m


 Ω
pq pq¤

fi x dµ x 

}fi }p .
 
i
i 1 i 1

Exercice 2.4.
Dans cet exercice Ω  R muni de la mesure de Lebesgue dx. Pour une fonction f sur R et
λ ¡ 0, on défini une nouvelle fonction fλ sur R par fλ pxq  f pλxq.
(1) Exprimer }fλ }p en fonction de }f }p .
(2) Supposons qu’il existe une constante C telle que, pour tous f P Lp pRq, g P Lq pRq,
on a f g P Lr pRq avec
(2.1) }f g}r ¤ C }f }p }g}q
Replacer f, g par fλ , gλ dans (2.1) et faites varier λ entre 0 et 8. Quelle relation
entre p, q, r pouvez vous en déduire.
(3) Supposez maintenant que p, q, r vérifient cette relation. Démontrer (2.1) à l’aide
de Hölder.
Démonstration. Commençons par la première inégalité. Celle-ci est facile lorsque f, g sont
à valeurs réelles mais un peu plus subtile lorsque f, g sont à valeurs complexes. Démontrons
donc le cas général. »
Il existe θ P R tel que eiθ f pxqg pxq dµpxq soit un réel positif. Quitte à remplacer f
Ω»

par eiθ f , on peut supposer que f pxqg pxq dµpxq P R donc

Ω
»  »
 
pqpq pq
 f x g x dµ x 
  f pxqg pxq dµpxq.
Ω Ω
On écrit alors f g  ϕ1
ϕ2 iϕ3 avec ϕ1 , ϕ2 ¥ 0 et ϕ3 P R de sorte que
» pf g q  ϕ1
ϕ»2 et |<pf g q|  ϕ1 ϕ2 , Im pf g q  ϕ3 ,
–<
– ϕ1 pxq dµpxq, ϕ2 pxq dµpxq ¥ 0 et
»Ω Ω » » »
– f pxqg pxq dµpxq  ϕ1 pxq dµpxq
ϕ2 pxq dµpxq i ϕ3 pxq dµpxq.
Ω Ω » Ω Ω

Comme ceci est un réel positif, ϕ3 pxq dµpxq  0 et

Ω
» » »
(2.2) f pxqg pxq dµpxq ¤ ϕ1 pxq dµpxq ϕ2 pxq dµpxq
Ω
»Ω Ω
»
 
(2.3)  pqpq
< f x g x  dµ x p q¤ |f pxqgpxq| dµpxq.
Ω Ω
Supposons maintenant que ceci soit une égalité. Chacune des inégalités précédentes
³ est
donc une égalité. Nous allons utiliser le fait que si ϕ ¥ 0 est tel que ϕ  0 alors
 ANALYSE 1 5

³ ³
ϕ  0 presque partout, ou plus précisément que si ϕ ¤ ψ et ϕ  ψ alors ϕ  ψ
presque
 partout.
 On déduit donc de la dernière inégalité (2.3) que pour µ-presque tout x,
< f pxqg pxq   |f pxqg pxq| i.e. f g est à valeurs réelles donc ϕ3  0. Ensuite si on a égalité
»
dans (2.2), ϕ2 pxq dµpxq  0 donc ϕ2  0 µ-presque partout et au final f g  ϕ1 ¥ 0 soit
 |f g|.
Ω
fg
Démontrons maintenant la seconde inégalité. Lorsque f  0 ou g  0, il n’y a rien à
faire.
Les cas p  1 (donc q  8) et p  8 (donc q  1) sont triviaux. Nous supposons
donc que 1 p 8 de sorte que 1 p1 8 et f, g  0. Ceci nous permet de définir deux
nouvelles fonctions
  p1
|f| |g|
p

u and v 
}f }p }g}p1 .
Comme log est concave, on obtient, pour 0 α 1, uα v 1
α ¤ αu p1
αqv. En
particulier, pour α  1{p, on a
1
|f | |g| ¤ 1 |f |p 1 |g |p
1.
}f }p }g}p1 p }f }pp p1 }g }pp1

En intégrating par rapport à µ, on obtient le résultat.

Pour le cas d’éqalité, log est en fait strictement concave, ce qui implique que pour
0 α 1, uα v 1
α αu p1
αqv à moins que u  v. On en déduit immédiatement le
résultat. 

Ainsi, l’inégalité de Hölder est en fait une inégalité de convexité. Une autre inégalité de
convexité importante est la suivante:
Théorème 2.5 (Inégalité de Jensen ).
Soit pΩ, B, µq un espace mesuré avec µ une mesure finie. Soit J : R Ñ R une fonction C 1
convexe. Pour f P L1 pΩ, µq, on écrit
»
xf y  1
µpΩq
f pxq dµpxq
Ω

pour sa moyenne sur Ω. Alors

»
(i) rJ  f s
, la partie négative de J  f est dans L1 pΩ, µq, donc J  f pxq dµpxq est
bien définie (éventuellement 8);
Ω

(ii) J pxf yq ¤ xJ  f y, en d’autres termes

 » »

f pxq dµpxq ¤ J f pxq dµpxq.
1 1
µpΩq µpΩq
J
Ω Ω

Démonstration. Comme J est convexe et C , pour a, t P R, 1

J ptq ¥ J paq J 1 paqpt
aq.

En prenant t  f pxq et a  xf y, ceci implique
  
(2.4) J f pxq
J f pxq
 J f pxq ¥ J pxf yq J 1 pxf yqf pxq
J 1 pxf yqxf y.
6 PHILIPPE JAMING

 
En particulier, soit x tel que J f pxq
 0 donc J f pxq  0, et

0 ¤ J f p xq ¤

J 1 pxf yqf pxq J 1 pxf yqxf y
J pxf yq
¤ |J 1 pxf yq||f pxq| |J 1 pxf yqxf y
J pxf yq|.
Comme f P L1 , |J 1 pxf yq||f pxq| P L1 et µ étant une mesure finie, les fonctions constantes
sont intégrables, donc |J 1 pxf yqxf y
J pxf yq| P L1 . La première assertion est donc démontrée.
Ensuite, intégrons (2.4) pour obtenir
» » »
 J 1 pxf yq
J f pxq dµpxq ¥ J pxf yq dµpxq f pxq
xf y dµpxq.
1 1
µpΩq Ω µpΩq Ω µpΩq Ω

Mais »
f pxq
xf y dµpxq  0.
1
µpΩq Ω
L’inégalité de Jensen s’en suite. 

Ce résultat est valable pour toute fonction convexe J puisqu’une telle fonction vérifie
toujours une inégalité de la forme J ptq ¥ J paq cpt
aq. Bien sûr c  J 1 paq uniquement
si J est différentiable en a.
Notons que l’inégalité de Hölder résulte aussi de celle de Jensen:

Deuxième démonstration de l’inégalité de Hölder. Quitte à remplacer f , g par |f |, |g |, on

peut supposer que f, g ¥ 0. Les cas p  1 et p  8 sont triviaux donc nous supposons
que 1 p 8.
Soit Ω1  tx P Ω : g pxq ¡ 0u. Alors
» » » »
f p pxq dµpxq  f p pxq dµpxq f p pxq dµpxq ¥ f p pxq dµpxq
Ω Ω1 ΩzΩ1 Ω1

tandis que
» » » »
1 1
f pxqg pxq dµpxq  f pxqg pxq dµpxq et g pxqp dµpxq  g pxqp dµpxq.
Ω Ω1 Ω Ω1

Il suffit donc de démontrer l’inégalité de Hölder’s en remplaçant Ω par Ω1 , en d’autre

termes, de supposer que g ne s’annule pas sur Ω.
1
On peut alors definir une nouvelle mesure dν pxq  g pxqp dµpxq ainsi que la fonction
1
F pxq  f pxqg pxq
p {p . Notons que
» »
1
ν pΩq  1 dν pxq  g pxqp dµpxq
Ω Ω
donc ν est une mesure finie. De plus
» »
1 1
F pxq dν pxq  f pxqg pxq
p {p g pxqp dν pxq
1 1
»
ν p Ωq p1
Ω g pxq dµpxq Ω
Ω
»
f pxqg pxq dµpxq
 »
Ω
1
g pxqp dµpxq
Ω
 ANALYSE 1 7

1 

pp p1  p1 1
 1. Finallement, l’inégalité de Jensen’s avec J ptq  |t|p
1
puisque
p
implique
» »
p
1 1
 f pxqg pxq dµpxq  f pxqp g pxq
p g pxqp dµpxq
 Ω»

 ¤ Ω »
p1 1
g pxq dµpxq g pxqp dµpxq
Ω Ω
qui est bien ce qu’on voulait démontrer. 

Exercice 2.6.
(1) Montrer que, si J est strictement convexe, on a une égalité dans l’inégalité de
Jensen uniquement si f est constante.
(2) En déduire le cas d’égalité dans l’inégalité de Hölder.
Exercice 2.7. (Inclusion des espaces Lp )
(1) Soeint 1 ¤ p1 p2 ¤ 8. Montre que, si f P Lp1 X Lp2 alors,
(a) pour tous p1 p p2³, f P Lp ,
(b) l’application p ÞÑ log |f |p est convexe sur rp1 , p2 s.
(2) À quelles conditions sur p, q a-t-on l’inclusion `p € `q ?
Théorème 2.8 (Inéqualité de Minkowski).
Soient pΩ, B, µq et pΓ, B̃, γ q deux espaces mesurés σ-finis et soit 1 ¤ p 8. Alors, pour
toute fonction f γ b µ-mesurable,
» » p 1 » » 1
 
p q pq pq ¤ |f px, yq| dγ pxq dµpy q.
p p
(2.5)  f x, y dµ y  dγ x p
 
Γ Ω Ω Γ

En particulier, si le membre de droite est fini, le membre de gauche aussi. De plus, on a

égalité si et seulement si les variables de f sont séparables, c’est-à-dire si f est de la forme
f px, y q  αpxqβ py q.
En d’autres termes
 »  »
 
x
 Ñ | p q| p q ¤
f x, y dµ y  }x Ñ f px, yq}p dµpyq,
Ω p Ω
»  »
 
qui est une généralisation de l’inégalité  f t dµ t 
 pq pq ¤ |f ptq| dµptq u puisque celle-ci
Ω Ω
correspond au cas particulier où Γ est un singleton.

Démonstration. Il suffit de supposer que f ¥ 0 et que f ¡ 0 sur un ensemble de mesure

positive. Il suffit aussi de supposer que le membre de droite de (2.5) est fini, sans quoi
l’inégalité est sans objet. »
Rappelons que d’après le théorème de Fubini, y Ñ f px, y qp dγ pxq et H : x Ñ
»
f px, y q dµpy q sont mesurables.
Soit fn  f χEn où En  Fn X tpx, y q P Γ  Ω : |f px, y q| ¤ nu”et Fn est une suite
Ω

croissante de parties de mesures finie de Γ  Ω qui couvrent Γ  Ω: Fn  Γ  Ω. Pour

8 PHILIPPE JAMING

fn , le membre de gauche de (2.5),

» » p 1

|fn px, yq| dµpyq dγ pxq

p

Γ Ω

est fini.
D’autre part, le théorème de convergence monotone montre que cette quantité tend vers
» » p 1

|f px, yq| dµpyq dγ pxq

p

.
Γ Ω

Nous pouvons donc supposer que cette quantité est également finie.
D’après Fubini (Tonneli),
» » »
H pxqp dγ pxq  f px, y q dµpy q H pxqp
1 dγ pxq
Γ
»Γ » Ω

 f px, y qH pxqp
1 dγ pxq dµpy q.

Ω Γ

Mais, Hölder (1{p 1{p1  1) implique

» » { » 1 p1{
1 p
1
f px, y qH pxq
dγ pxq
p 1
¤ f px, y q dγ pxq
p
H pxqpp
1qp dγ pxq
Γ Γ Γ
» {
1 p »
{
1 1 p
 f px, y qp dγ pxq H pxqp dγ pxq .
Γ Γ

Il en résulte que
» » » {
1 p »
{
1 1 p
H pxq dγ pxq ¤
p
f px, y q dγ pxq
p
dµpy q H pxqp dγ pxq .
Γ Ω Γ Γ
»
Comme nous avons supposé que H pxqp dγ pxq  0, 8, nous pouvons diviser les deux
Γ
côtés par
»
{
1 1 p
H pxqp dγ pxq
Γ

pour obtenir le résultat voulu. 

Corollaire 2.9 (Inégalité trianguliare pour les normes Lp ).

Soit pΩ, B, µq un espace mesuré avec µ une mesure σ-finie. Soit 1 ¤ p ¤ 8 et f, g P
Lp pΩ, µq. Alors
}f g}p ¤ }f }p }g}p
et on a égalité si et seulement si g  λf avec λ ¥ 0.

Démonstration. Soit Γ  t1, 2u muni de la mesure de comptage. Définissons la fonction F

sur Γ  Ω par F p1, y q  f py q, F p2, y q  g py q. L’inégalité de Minkowski se réduit alors à
l’inégalité trianguliare. 
 ANALYSE 1 9

Esquisse d’une seconde démonstration. Il y a une argument un peu plus direct

» »
|f pxq g pxq|p dµpxq  |f pxq g pxq|p
1 |f pxq g pxq| dµpxq
Ω Ω
»
¤ |f pxq g pxq|p
1 |f pxq| dµpxq
Ω
»
|f pxq g pxq|p
1 |g pxq| dµpxq.
Ω

Hölder ( p1 1
p1  1 soit p1  p
p 1 ) implique alors
»
|f pxq g pxq|p
1 |f pxq| dµpxq
Ω
» 1
p1 » 1

¤ |f pxq g pxq|pp
1q p
1 dµpxq |f pxq|p dµpxq

p p
.
Ω Ω
La seconde integral est traitée de la même façon. On en déduit
» » 1
p1 
|f pxq g pxq| dµpxq ¤
p
|f pxq g pxq| dµpxq
p
}f }p }g}p
Ω Ω

et on conclue en divisant par }f g } On doit bien évidemment traiter séparément le

p
p.
cas où }f g }p  0 mais aussi vérifier que }f g }p 8, (ce qui a été fait lorsque nous
p p

p
avons introduit la norme de L ). 

3. Complétude des espaces Lp

Nous allons maintenant démontrer que les espaces Lp sont complets i.e. des Banach. En
premier lieu, adaptons le théorème de convergence dominée (qui est sous certains aspects
un théorème de convergence dans L1 ) à la convergence dans Lp :
Lemme 3.1 (Lp -convergence dominée). Soit pΩ, B, µq un espace mesuré σ-fini et soit
1¤p 8.
Soit pfk q une suite dans Lp pΩ, µq et f, F deux fonctions dans Lp pΩ, µq. Supposons que
(i) pour tout k et µ-presque tout x P Ω, |fk pxq| ¤ F pxq
(ii) pour µ-presque tout x P Ω, fk pxq Ñ f pxq quand k Ñ 8. En particulier, |f pxq| ¤
F pxq µ-p.p.
Alors fk Ñ f dans Lp pΩ, µq i.e. }fk
f }p Ñ 0.
Démonstration. Nous devons montrer que
»
(3.6) |fk pxq
f pxq|p dµpxq Ñ 0.
Ω

Mais la condition (ii) implique |fk pxq
f pxq|p Ñ 0 µ-p.p.

La condition (ii) implique
p
|fk pxq
f pxq|p ¤ p|fk pxq| |f pxq|qp ¤ 2F pxq
³
et l’hypothèse F P Lp signifie que Ω F pxqp dµpxq 8. Le théorème de convergence
dominée nous donne donc (3.6) 
 10 PHILIPPE JAMING

Théorème 3.2 (Lp est complet).

Soit pΩ, B, µq un espace mesuré σ-fini et soit 1 ¤ p ¤ 8. Alors Lp pΩ, µq est complet
(donc un espace de Banach).
Plus précisément, si pfk q est une suite de Cauchy dans Lp pΩ, µq, alors il existe une
sous-suite pfkj qj et f, F dans Lp pΩ, µq tels que
(i) pour j ¥ 1, |fkj pxq| ¤ F pxq pour µ-presque tout x P Ω;
(ii) pour µ-presque tout x P Ω, fkj pxq Ñ f pxq quand j Ñ 8.
Remarque 3.3. La sous-suite pfkj qj ainsi construite converge donc vers f dans Lp d’après le
lemme précédent. Comme une suite de Cauchy qui a une sous-suite convergente converge,
on en déduit que fk Ñ f dans Lp . Il serait toutefois erroné de penser que fk Ñ f presque
partout.
Démonstration. Nous allons nous concentrer sur le cas 1 ¤ p 8. Le cas p  8 résulte
essentiellement de la complétude de C et du fait qu’une réunion dénombrable d’ensembles
négligeables est négligeable. Celle-ci est laissée en exercice.
Comme noté ci-dessus, il s’agı̂t essentiellement de construire la suite fkj . Le processus
est classique. Tout d’abord, il existe k1 tel que pour n ¥ k1 , }fk1
fn }p ¤ 1{2 (ε  1{2
dans la définition d’une suite de Cauchy). Il existe alors k2 ¡ k1 tel que pour n ¥ k2 ,
}fk2
fn }p ¤ 1{22 ... On construit ainsi par récurrence une suite kj ¡ kj
1 telle que, si
n ¥ kj , fkj
fn p ¤ 1{2j .
Considérons alors la suite croissante positive définie par
¸
`
F` pxq  |fk1 pxq| |fk pxq
fk pxq|.
j 1 j

j 1

L’inégalité triangulaire donne

¸
`
  8
¸
}F` }p ¤ }fk }p
1
fk
j 1

fk p ¤ }fk }p
j 1
2
j  1 }fk }p
1
8.

j 1 j 1 
Le théorème de convergence monotone implique que F` converge presque partout vers une
fonction F P Lp . En particulier, F pxq est fini pour µ-presque tout x P Ω. Pour un tel x, la
série
¸
`

fk1 pxq fkj 1
pxq
fk pxq j

j 1
est absolument convergente, donc convergente. Comme c’est une série téléscopique
¸
`

fk1 pxq fkj 1 pxq
fk pxq  fk pxq.
j ` 1

j 1

Nous avons donc montré que fkl 1 est convergente pour presque tout x et, avec l’inégalité
triangulaire, |fil 1 | ¤ Fl ¤ F ce qui complète la démonstration. 

4. Séparabilité des espaces Lp

50+40 min
4.1. Le résultat. Rappelons qu’un espace de Banach X est séparable s’il existe une partie
D € X dénombrable et dense dans X i.e. telle que, si x P X pour tout ε ¡ 0, il existe
20 min
y P D tel que }x
y } ε. De façon équivalente, il suffit qu’il existe une partie D € X
 ANALYSE 1 11

dénombrable et totale dans X i.e. telle que l’espace vectoriel engendré par D soit dense
i.e. telle que, si x P X alors pour tout ε ¡ 0 il existe x1 , . . . , xN P D et λ1 , . . . , λN P C (ou
R si X est un R-espace vectoriel) tels que }x
λ1 x1
  
λN xN } ε.
Rappelons qu’une tribu peut être engendrée par une famille F i.e. σ pF q est la plus petite
tribu qui contient F, ce sont toutes les parties de Ω obtenues par réunion dénombrable
et passage au complémentaire. Lorsque F est dénombrable, on notera σN pF q l’ensemble
des parties de Ω qui sont obtenues par un nombre dénombrable d’opérattion de réunion,
intersections et passage au complémentaire d’éléments de F et cet ensemble est encore
dénombrable.
Exemple 4.1.
— Lorsque Ω  N et F est l’ensemble des parties de la forme t0, . . . , nu, n P N, il est facile
de voir que σN pF q  P pNq, l’ensemble des parties de Ω. La même chose est évidemment
vraie lorsque F est l’ensemble des parties finies de F. On obtient ainsi la tribu associée à
la mesure de comptage.
— Lorsque Ω  R et F  tra, bs : a, b P Qu l’ensemble des intervalles à extrémités
rationnelles, alors σN pF q est presque la tribu borélienne au sens suivant:
Si A est une partie borélienne de mesure de Lebesgue |A| finie,* alors pour tout ε ¡ 0,
il existe Aε P σN pF q tel que |pAzAε q Y pAε X Aq| ε.
En d’autres termes, la mesure de la différence symétrique A∆A» ε  pAzAε qYpAε X Aq est
arbitrairement petite, on voit facilement que ceci s’écrit aussi |1A pxq
1A pxq| dx
ε ε.
Notez que ra, bs avec a, b irrationnels de fait pas partie de σN pF q.
Ω

– Lorsque Ω est un ouvert de Rd la même chose est vraie si on prend

# +
¹
d
F  raj , bj s € Ω : aj , bj PQ .

j 1

On dira dans ce cas que pΩ, B, µq a une σ-algèbre à base dénombrable F.

Le résultat à retenir de cette section est le suivant:
Théorème 4.2 (Séparabilité des espaces Lp ). Soit pΩ, B, µq une espace mesuré une σ-
algèbre à base dénombrable F et soit 1 ¤ p 8. Alors la famille t1A : A P σN pF qu est
totale dans Lp pΩ, B, µq.
En d’autres termes, la famille dénombrable des fonctions de la forme
¸
N
f  pλj iµj q1Aj

j 1

avec N P N et pour j  1, . . . , N λj , µj P Q et Aj P σN pF q sont denses dans Lp pΩ, B, µq.

Une fonction de la forme ci-dessus est appelée une fonction simple. Le point vraiment
important est de savoir que les fonctions simples sont denses (et que dans des bonnes con-
dition sur l’espace mesuré, on peut se contenter une partie dénombrable de ces fonctions).
Les deux sous-sections suivantes sont destinées à démontrer ce point et peut être omis en
première lecture. Le second point important de cette section se trouve en 5
30 min
| |
*Dans tout ce cours, nous adopterons la notation A pour désigner la mesure de Lebesgue d’une partie
A € Rd
 12 PHILIPPE JAMING

4.2. Un peu plus sur l’intégration de Lebesgue. Soit pΩ, B, µq un espace mesurée σ-
fini. Nous allons supposer une propriété supplémentaire: il existe une famille dénombrable
B̃ € B telle que, si A P B, pour tout ε ¡ 0, il existe B P B̃ telle que µpA∆B q ε. Nous
avons déjà vu des exemples ci-dessus.
Rappelons qu’une fonction simple sur Ω est une fonction de la forme
¸
(4.7) spxq  ak 1Ak
P
k K

avec K fini et 0 µpAk q 8. On peut de plus supposer que les Ak sont disjoints.
L’intégrale de Lebesgue d’une fonction positive f est définie par
» # +
¸
f pxq dµpxq  sup ak µpAk q : s de la forme (4.7) et tels que s ¤ f .
Ω P
k K

Notons que cette quantité peut être 8. Notons qu’on peut ajouter comme condition que
» B̃. Ainsi une famille D0 dénombrable de
les ak soient rationnels et que les Ak soient dans
functions simples positives suffit pour définir f pxq dµpxq.
Ω
Comme dans l’introduction, on étend
³ alors la définition de l’intégrale aux fonctions f à
valeurs complexes à condition que Ω |f pxq| dµpxq 8.
De cette discution, il est clair que l’ensemble dénombrable
D  tf1
f2 ipf3
f4 q, f1 , f2 , f3 , f4
P D0 avec f1 , f2 et f3 , f4 à supports disjointsu
a la propriété suivante: soit f une fonction intégrable, alors pour tout ε ¡ 0, il existe
fε  fε1
fε2 ipfε3
fε4 q P D tel que
»
|f
fε | dµpxq ¤ ε.
Ω

En d’autres termes, D est dénombrable dense dans L1 pΩ, µq.

20 min
4.3. Sepatabilité de Lp pΩ, µq pour 1 ¤ p 8. Le cas 1 p 8 requière un peu
plus de travail. Fixons f P L pΩ, µq, et ε ¡ 0. Écrivons f  f1
f2 ipf3
f4 q avec
p

fi ¥ 0 et notons que
 fi ¤ |f| donc chaque fi P L pΩ, µq. De plus, si pour ε ¡ 0 on troueve
p
piq
fε P S0 tels que fi
fεpiq p ¤ ε alors en posant fε  fεp1q
fεp2q ipfεp3q
fεp4q q, on a
}f
fε }p ¤ 4ε. Il suffit donc de supposer que f ¥ 0.
Ensuite, soit fn  1f ¤n f et remarquons que fn Ñ f presque partout et que 0 ¤ fn ¤ f
donc fn Ñ f in Lp pΩ, µq. Notons aussi que fn ¤ n donc fn est bornée.„ Il existe donc
N tel que }f
fN }p ¤ ε. Ainsi, quitte à remplacer f par fN on peut supposer que f est
borné par une constante N .
¤ Soit maintenant pΩn q une suite croissante de parties de Ω de meure finie telles que
Ωn  Ω. Posons fn  1Ωn fN de sorte fn Ñ f presque partout et 0 ¤ fn ¤ f donc
fn Ñ dans Lp pΩ, µq. On peut donc supposer que
f est positive, bornée par N et à support Ω̃ de mesure finie ν  µpΩ̃q.
„On a ici montré que, L8 Ω, µ
p q X Lp pΩ, µq est dense dans Lp pΩ, µq.
 ANALYSE 1 13

”M 1{p
Écrivons alors r0, N s € 
j 0 Ij avec Ij  rpj {ν q1{p ε, pj 1q{ν εr. ce choix est dicté
par la propriété suivante:
1{p 
pj 1q{ν ε
pj {ν q1{p ε ¤ p1 j q1{p
j 1{p ε{ν 1{p
¤ ε{ν 1{p
puisque 1 ¤ p 8 donc 0 1{p ¤ 1. Pour chaque j, choisissons aj P Ij X Q.
Posons


Bj  f pIj q et remarquons que les Bj sont disjoints et recouvrent Ω̃. De plus, pour
1

x P Bj
1{p
¤ f pxq
aj ¤ pj 1q{ν 1{p ε
aj ¤ ε{ν 1{p .


ε{ν 1{p ¤ j {ν ε
aj
En d’autres termes, pour x P Bj , |f pxq
aj |p ¤ ε{ν 1{p . Comme les Bj ’s cover the support
de f , pour x tel que f pxq  0, il existe j tel que x P Bj et alors
|f pxq
aj |p  |f pxq1B pxq
aj 1B pxq|p ¤ εp {ν1B pxq.
j j j

Ensuite, remarquons que si u et v ont des supports disjoints, alors |u v |p  |u|p |v |p .

Ainsi, les Bj étant disjoints, on a pour tout x tel que f pxq  0
¸
N ¸
N ¸
N
| f pxq1Bj pxq
aj 1Bj pxq|p  |f pxq1B pxq
aj 1B pxq|p
j j

j 1 
j 1 j 1
¸
N
εp
¤ 1Bj pxq
j 1 ν
p
 εν 1Ω̃ pxq.
°N
Finallement, ceci se réduit à 0  0 lorsque f pxq  0. Posons alors f˜  j 1 aj 1B j
et
intégrons sur Ω pour obtenir
» p »
|f pxq
f˜pxq|p dµpxq ¤ εν 1Ω̃ pxq dµpxq  εp
Ω Ω
par définition de ν.
Ainsi, en perdant un ε, on peut remplacer f par f˜, c’est-à-dire supposer que
f est une fonction simple à coefficents rationnels positifs, bornée par N et
¸
M
de support un ensemble de mesure fini f  aj 1Bj .
j 1 
La dernière étape consiste ensuite à remplacer les Bj par des ensembles Aj P B̃ avec
µpBj zAj q pε{N M qp et de poser
¸
M
fε  aj 1Aj
j 1 
de sorte que f
fε  °Mj1 aj 1B zA . Comme 0 ¤ aj ¤ N on a
j j

¸
M
 
}f
fε }p ¤ aj 1Bj zAj p ¤ N M max µpBj zAj q1{p ¤ ε.

j 1

Ceci donne bien la densitée cherchée.

 14 PHILIPPE JAMING

5. Continuité des translations dans Lp pRd q

30 min
Cette section est essentielle pour la suite, tant pour le résultat que pour le raisonnement
développé ici.
Pour a P Rd , on defini l’opérateur de translation τa agissant sur f P Lp pRd q par τa f pxq 
f px
aq. Bien entendu, pour 1 ¤ p ¤ 8 ceci est une opérateur linéaire borné Lp pRd q Ñ
Lp pRd q avec }τa f }p  }f }p .
Nous nous intéressons ici à la continuité des translations par rapport au paramètre a:
Proposition 5.1. Soit 1 ¤ p 8 et f P Lp pRd q l’application a ÞÑ τa f est continuoe
R Ñ L pR q. Plus précisément
d p d

pour f P Lp pRd q fixé, et a0 P Rd , }τa f
τa0 f }p Ñ 0 quand a Ñ a0 .

Remarque 5.2. Il est important de noter que ceci est faux pour p  8 (sauf si f est
uniformément continue, par exemple si f P C0 pRd q). Nous laissons ce point en exercice qui
devrat être évident après l’étape 1.
Démonstration. Tout d’abord }τa f
τa0 f }p  }τa
a0 f
f }p il suffit donc de considérer
a0  0.
Étape 1. La propriété est vraie si f  1E pour E un ensemble de mesure finie.
Quand d  1 et f  1rα,β s , τa f  1rα a,β as , de sorte que,
#

f  1
r1β,β as
1r1α,α sa ifif aa ¤¥ 00 .
τa f
rβ a,βs rα a,αs
1{p
Ainsi }τa f
f }p  p2aq Ñ 0 quand a Ñ 0.
±d
Maintenant, si Q P Rd est un cube Q  j 1 raj , bj s et f  1Q le résultat suit di-
”N
rectement. De plus, si U  j 1 Qj avec les Qj des cubes disjoints et f  1U alors
°N °N  
f  j 1 1Q donc }τa f
f }p ¤ j 1 τa 1Q
1Q p Ñ 0 quand a Ñ 0.
Si U est un ensemble ouvert borné, pour tout ε ¡ 0 il existe une famille de cubes disjoints
j j j

”N °N
Qj € U telle que |U z j 1 Qj | ¤ ε. Alors, pour f  1U et fε  j 1 1Q , on a j

¤
N
}τa f
τa fε }p  }fε
f }p  |U z Qj |1{p .

j 1

On en déduit que
}τa f
f }p ¤ }τa f
τa fε }p }τa fε
fε }p }fε
f }p ¤ 3ε1{p
pour peut que a soit assez petit. Nous venons donc de démontrer le r’esultat pour ces f .
Finallement, soit E un ensemble de mesure de Lebesgue finie et ε ¡ 0. Il existe un
ouvert U tel que |E∆U | ¤ ε. Soit f  1E et fε  1U , alors |f
fε |  1E∆U , donc
}f
fε }p  |E∆U |1{p ¤ ε1{p et on conclue comme précédemment.
Étape 2. Conclusion.
Tout d’abord, par linéarité, si f est une fonction simple, f  °Nj1 cj 1E , alors
j

¸
N
 
}τa f
f }p ¤ |cj |τa 1E
1E p Ñ 0
j j

j 1
 ANALYSE 1 15

quand a Ñ 0.
Enfin, si f P Lp et ε ¡ 0, il existe une fonction simple fε telle que }f
fε }p ¤ ε. On
conclue comme précédemment. 

6. Le théorème de projection
30min
Les projections jouent un rôle essentiel dans les espaces de Hilbert. Il n’y a malheureuse-
ment rien de tel dans un espace de Banach général, mais une version de ce théorème est
valide dans les espaces Lp :
Théorème 6.1. Soit 1 ¤ p 8 et soit E un sous-espace vectoriel fermé de Lp pΩ, µq.
Pour f P Lp pΩ, µq, soit dpf, E q  inf gPE }f
g}p . Alors il existe g0 tel que dpf, E q 
}f
g0 }p .
Remarque 6.2. Notons que si }g }p ¡ 2}f }p alors
}f
g}p ¥ }g}p
}f }p ¡ }f }p  }f
0}p ¥ dpf, E q
puisque 0 P E. Ainsi dpf, E q  inf t}f
g }p : g P E, }g }p ¤ 2}f }p u.
Si E est un espace de dimension finie, alors l’ensemble tg P E, }g }p ¤ 2}f }p u est compact
puisque fermé et borné. Comme g Ñ }f
g }p est continue, l’existence de g0 est immédiate.
Si E est de dimension infini, cet argument n’est plus valide puisque les ensembles fermés
bornés ne sont plus forcément compacts. En fait, le fait que toute partie fermée bornée
d’un espace de Banach soit compacte implique que celui-ci soit de dimension finie (voir
cours d’analyse fonctionnelle).
Démonstration lorsque p ¥ 2. Commençons par rappeler que lorsque p  2 ce théorème
résulte de l’identité du parallélogramme
}u
v}22 }u v}22  2}u}22 2}v}22 .
Soit alors gn P E une suite telle que }f
gn }2 Ñ dpf, E q. L’identité du parallélogramme
appliquée à u  f
2g , v  f
2g donne
m n

  2
 gn gm 
}gn
}  4
2
gm 2
1
2
}f
} 2
gm 2
1
2
}f
}
2
gn 2 
 2

f  .
2
 
Comme gn gm
2 P E,  g 2g
f 2 ¥ dpf, E q donc
n m

}gn
gm }22 ¤ 2p}f
gm }22
dpf, E q2 }f
gn }22
dpf, E q2 q

et ainsi pgn q est de Cauchy. Mais alors pgn q est convergente et E étant fermé, sa limite
g0 P E. Par continuité de la norme }f
gn }2 Ñ }f
g0 }2 et cette limite est bien le g0
cherché.
Lorsque p ¡ 2, l’identité du parallélogramme n’est plus vérifiée (elle caractérise les
espaces de Hilbert). Toutefois, elle est encore valable ponctuellement: si f, g P Lp pΩ, µq et
x P Ω alors
|f pxq
gpxq|2 |f pxq gpxq|2  2|f pxq|2 2|gpxq|2 .
Comme p ¡ 2, r : p{2 ¡ 1. Mais, pour a, b ¡ 0
(6.8) ar br ¤ pa bqr ¤ 2r
1 par br q.
16 PHILIPPE JAMING

On en déduit que
 
|f pxq
gpxq|p |f pxq g pxq|p  |f pxq
gpxq|2 r |f pxq gpxq|2 r

¤ |f pxq
gpxq|2 |f pxq gpxq|2 r
   
 2r pf pxq|2 |gpxq|2 r ¤ 22r
1 pf pxq|2r |gpxq|2r

 2p
1 pf pxq|p |gpxq|p .
En fait, ceci n’est valable que si |f pxq| et |g pxq| sont finis, mais l’hypothèse f, g P Lp
implique que ceci est le cas pour presque tout x.
Intégrons alors cette inégalité par rapport à µ pour obtenir
 
}f
g}pp }f g }p
p
¤ 2p
1 pf }pp }g|pp .
On conclue alors comme dans le cas p  2: on considère une suite gn P E telle que
}gn
f }p Ñ dpf, E q et on remplace f par f
gn , g par f
gm dans cette inégalité. Cela
conduit à
 
}gn
gm }pp ¤ 2p
1 pf
gn }pp }f
gm }pp
}2f
gn
gm }pp
 
¤ 2p
1 pf
gn }pp }f
gm }pp
2dpf, E q .
Ainsi gn est de Cauchy donc converge. Comme E est fermé, sa limite est dans E et est le
projection cherchée. 
Démonstration de (6.8). Ré-écrivons ar br ¤ pa bqr sous la forme 1 pb{aqr ¤ p1 b{aqr ,
ou encore, en posant t  b{a, 1 tr ¤ p1 tqr pour tout t ¡ 0. Posons f ptq  p1 tqr
p1 tr q
pour t ¥ 0. Alors f p0q  0 et f 1 ptq  rpp1 tqr
1
tr
1 q ¥ 0 puisque r ¥ 1 (donc sr
1
est croissante).
On utilise la convexité de t Ñ tr pour l’autre inégalité:
 r r
br
pa bq r
2 r a
2
b
¤ 2r a 2
comme annoncé. 
La démonstration du cas p 2 est plus complexe et requière l’inégalité de Hammer

|}f g }p }f
g}p |p |}f g }p
}f
g}p |p ¤ 2p }f }pp }g}pp
qui est délicate à établir. Nous n’allons pas utiliser ce cas et ne donnerons pas la démonstration
ici.

7. Dualité
La dualité est une des propriétés clé de l’analyse. Notre but est de déterminer le dual
des espaces Lp pΩ, µq, c’est-à-dire de déterminer toutes les applications linéaires continues
de Lp pΩ, µq Ñ C.
Notons que, grâce à l’inégalité de Hölde, il est facile de construire des formes linéaires
continues sur Lp pΩ, µq:
p1
Lemme 7.1. Soit 1 ¤ p ¤ 8 et p1 tel que p1 p1  1. À g P L pΩ, µq on associe
1

l’application »
Φg p f q  f pxqg pxq dµpxq.
Ω
 ANALYSE 1 17

Alors Φg est une forme linéaire continue sur Lp pΩ, µq. De plus
»
}Φg } : sup f pxqg pxq dµpxq  }g }p1 .
} f } p ¤1 Ω

Proof. L’inégalité de Hölder montre que Φg pf q est bien définie pour f P Lp pΩ, µq. Il est
alors évident que Φg est linéaire et l”inégalité de Hölder montre que cette forme linéaire
est continue avec }Φg } ¤ }g }p1 . Enfin, en utilisant le cas d’égalité on obtient bien que
}Φg }  }g}p1 . 
La but de cette section est de démontrer la réciproque de ce lemme (sauf pour p  8
pour lequel l’espace dual est beaucoup plus compliqué).
Théorème 7.2. Soit pΩ, B, µq une mesure σ-finie. Soit 1 ¤ p 8 et p1 tel que p1 p11  1.
1
Soit Φ P pLp q1 i.e. une forme linéaire sur Lp pΩ, µq. Alors il existe un unique g P Lp pΩ, µq
tel que Φ  Φg , c’est-à-dire
»
Φpf q  f pxqg pxq dµpxq.
Ω
pour tout f P Lp pΩ, µq. En particulier }Φ}  }g }p1 .
Remarque 7.3. Insistons sur le fait que pour p  8 ce résultat est faux. Le dual de
L8 pΩ, µq (sauf quand Ω est fini) est un espace bien plus difficile à décrire que L1 pΩ, µq.
Commençons par le plus simple.
1
Démonstration de l’unicité de g. Soient donc g1 , g2 P Lp tels que Φg1  Φg2 . En d’autres
termes, en posant g  g1
g2 , pour tout f P#Lp , Φg pf q  0.
p 1
2
Si p ¡ 1, alors p1 8, on pose f pxq  0|gpxq| gpxq ifif ggppxxqq  0 . Comme |f | 
0 p

p|g|p1
1 qp  |g|p1 puisque p  p1p
1 1 quand p1 p11  1, on a bien f P Lp . Ensuite,

» »
1
0  Φg pf q  f pxqg pxq dµpxq  |gpxq|p1
2 gpxqgpxq dµpxq  }g}pp1
Ω Ω
donc g  0. ”
Si p  1, une petite modification s’impose. On écrit Ω  n¥1 Ωn avec µpΩn q 8 et
g pxq  eiθpxq |g pxq|. Alors fn  e
iθ Ωn P L1 et
» »
0  Φg pfn q  fn pxqg pxq dµpxq 
|gpxq| dµpxq.
Ω Ωn
Ainsi g  0 µ-presque
” partout
” sur Ωn i.e. ” il existe En € Ωn tel
” que g  0 sur Ωn zEn .
Ainsi g  0 sur n¥1 Ωn z n¥1 En  Ωz n¥1 En . Comme n¥1 En est une réunion
dénombrable d’ensembles négligeables, c’est un ensemble de mesure nulle. Ainsi g  0
µ-presque partout. 
En premier lieu, rappelons que, pour p  2, L pΩ, µq est un espae de Hilbert et que,
2

d’après le théorème de Riesz, L2 pΩ, µq est son propre dual. Plus précisément, pour toute
application linéaire Φ, il existe un unique h P L2 pΩ, µq tel que, pour tout f P L2 pΩ, µq
»
Φpf q  xf, hy : f pxqhpxq dµpxq  Φg pf q
Ω
18 PHILIPPE JAMING

avec g  h̄. Nous allons maintenant utiliser ce fait pour démontrer le théorème dans le cas
1 ¤ p 2.
Nous donnerons ensuite une autre démonstration, basée sur le théorème de projection
et qui s’inspire directement de la démonstration classique du théorème de Riesz.

Démonstration dans le cas 1 ¤ p 2. Soit p1 l’indice dual, p1 p1  1 et remarquons que

1

p1 ¡ 2. Soit s donné par p2 1s  1 i.e. s  2
2 p et r  ps. Le choix de r et s a été guidé

pour que l’inégalité de Hölder se lise
» » p 2{ » {
1 s
(7.9) |f pxq| |gpxq|
p p
dµpxq ¤ |f pxq|
2
dµpxq |gpxq|ps dµpxq  }f }p2 }g}pr .
Ω Ω Ω
”
Écrivons alors Ω  ¥ Ωn avec µpΩn q
n 2 8 et les Ωn 2 à 2 disjoints. Définissons w par
¸
wpxq  αn 1Ωn
n 1 ¥
où les αn ¡ 0 sont choisis pour que
° n, αn ¡ 0 et αn
(i) pour tout 1 ¤ αn ,
(ii) }w}r  n¥1 αnr µpΩn q 8.
r

Il résulte de (7.9) que, pour tout f P L2 pΩ, µq, f w P Lp pΩ, µq avec }f w}p ¤ }w}r }f }2 .
Ainsi, l’operateur Tw : L2 Ñ Lp défini par Tw f  wf est borné.
Maintenant, soit Φ P pLp q1 , une forme linéaire continue sur Lp pΩ, µq. Alors ΦTw est
une forme linéaire continue sur L2 pΩ, µq. D’après le théorème de Riesz, il existe alors
G P L2 pΩ, µq tel que ΦTw  ΦG : pour tout f P L2 pΩ, µq,
»
ΦTw f  Φpf wq  f pxqGpxq dµpxq.
Ω

Considérons alors l’ensemble S  tϕ P Lp pΩ, µq : ϕ{w P L2 pΩ, µqu. Notons que S est
” L pΩ, µq. En effet, si f P L pΩ, µq et ε ¡ 0, il existe N tel qu’en écrivant
p p
dense dans
ΦN  n¤N Ωn fN  f 1ΦN 1|f |¤N , et }f
fN }p ¤ ε (notez qie fN Ñ f p.p. et que
|fN | ¤ f donc fN Ñ f dans Lp ). De plus, pour x P ΦN , il existe n ¤ N tel que x P Ωn .
Ainsi wpxq  αn ¥ αN puisque les αn ont été choisis décroissants. Par suite
#
|fN pxq| ¤ 0 si x R ΦN
w p xq si x P ΦN
N
.
αN

Ainsi fN {w est borné avec un support de mesure fini donc dans L2 pΩ, µq i.e. fN P S.
Mais alors, pour ϕ P S, on peut écrire ϕ  f w avec f  ϕ{w P L2 . Doonc
» »
Gpxq
Φpϕq  Φpf wq  f pxqGpxq dµpxq  ϕpxq dµpxq  Φg pϕq
Ω Ω w p xq
1
avec g : G{w. Il nous reste à démontrer que g P Lp pΩ, µq. En effet, si c’est le cas Φg
est une forme linéaire continue sur Lp . On a Φ  Φg sur S qui est dense dans Lp . Par
continuité de Φ et Φg , on aura donc Φ  Φg sur tout Lp , qui est exactemetn ce que nous
souhaitons démontrer..
1
Montrons donc que g P Lp pΩ, µq. Pour cela, distinguons deux cas:
 ANALYSE 1 19

2
p
2. Posons κ  et remarquons que κ 2 
p
1
Commençons par le cas 1 p

ppκ 1q  p1 : . Considérons alors ϕN  g |g |κ 1|g|¤N 1ΦN et observons que |ϕN | 

p
p
1
|g|κ 1 1|g|¤N 1ΦN . En particulier ϕN est borné et a un support de mesure fini donc ϕn P
Lp pΩ, µq et, sur son support, w ¥ αN donc |ϕN {w| ¤ |ϕN |{αN P L2 pΩ, µq. Ainsi, ϕN P S.
Mais alors
» »
ΦpϕN q  Φg pϕN q  ϕN pxqg pxq dµpxq  |gpxq|κ 2
1|g|¤N pxq1ΦN pxq dµpxq
Ω Ω
»
 |gpxq|p1 1|g|¤N pxq1Φ pxq dµpxq.
N
Ω

D’autre part, Φ est continue sur Lp pΩ, µq donc, pour tout ϕ, |Φpϕq| ¤ }Φ}}ϕ}p , en partic-
ulier
» {
1 p
|ΦpϕN q| ¤ }Φ}}ϕN }p  }Φ} |g|pκ pxq1|g|¤N pxq1Φ pxq dµpxq
N
Ω
» {
|g|p1 pxq1|g|¤N pxq1Φ pxq dµpxq
1 p
 } Φ} N
.
Ω

Combiner les deux inégalté entraine que, pour tout N ,

» 1 p1
{
|g|p1 pxq1|g|¤N pxq1Φ pxq dµpxq
N
¤ }Φ}
Ω

On fait ensuite N et, grâce au théorème de convergence monotone, }g }p1 ¤ C donc g P

1
Lp pΩ, µq comme annoncé.
Pour p  1 il faut un peu modifier l’argument. On écrit g  eiθ |g | et on considère
ϕN  e
iθ 1|g|¡}Φ} 1{N 1ΦN . Comme précédemment ϕN P S. Mais ensuite
» »
ΦpϕN q  Φg pϕN q  ϕN pxqg pxq dµpxq  |gpxq|1|g|¡}Φ} 1{N 1Φ dµpxq N
Ω Ω
¥ p}Φ} 1{N q µpt|g| ¡ }Φ} 1{N u X ΦN q.
D’autre part
»
|ΦpϕN q| ¤ }Φ}}ϕN }1  }Φ} 1|g|¡}Φ} 1{N 1Φ dµpxq N
Ω
 }Φ}| µpt|g| ¡ }Φ} 1{N u X ΦN q.
Combinons les”deux pour obtenir |t|g | ¡ }Φ} 1{N u X ΦN |  0. Finallement, comme
t|g| ¡ }Φ}u  N ¥1 t|g| ¡ }Φ} 1{N u X ΦN on obtient |g| ¤ }Φ} presque partout. 

Il nous reste donc à traiter le cas p ¡ 2. La démonstration précédente ne peut pas

être adaptée. On va donc modifier la démonstration du cas p  2 basée sur le théorème
de projection. Il se trouve que la même démonstration marche aussi pour 1 p 2
mais, dans ce cas, le théorème de projection est plus difficile (nous ne l’avons d’ailleurs pas
démontré).
Avant de faire cela, nous aurons besoin d’un lemme assez simple
20 PHILIPPE JAMING

Lemme 7.4. Soit pΩ, µq un espace mesuré et 1 p 8. Soient f, g P Lp pΩ, µq. Pour
t P R, définissons
N ptq  }f
tg}pp .
Alors Φ est dérivable en 0 de dérivée
»

N 1 p0q  p |f ptq|p
2 Re f ptqgptq dµptq.
Ω

Remarque 7.5. On dit que la norme est gateau-différentiable.

Notez que 2|f ptq|p
2 Re f ptqg ptq  |f ptq|p
2 f ptqg ptq |f ptq|p
2 f ptqg ptq P L1 puisque
1
g P Lp et |f ptq|p
2 f ptq, |f ptq|p
2 f ptq P Lp (avec Hölder).

Démonstration du lemme. Le point de départ est le fait suivant sur les nombres complexes,
si a, b P C alors

lim
|a tb|p
|a|p  p |a|p
2 pā b a b̄q.
tÑ0 t 2
Lorsque a  0, le membre de gauche est interpété comme étant 0 (ce qui est naturel par
prolongement par continuité) et cette identité est triviale. Si a  0, on écrit
p{2
ϕptq : |a tb|p  p|a tb|2 qp{2  |a|2 2tpā b a b̄q t2 |b|2

et on dérive pour trouver

p{2
1 
ϕ1 ptq  |a|2 tpā b a b̄q t2 |b|2 2t|b|2
p
ā b a b̄
2

 p
2
|a tb|p
2 ā b a b̄ 2t|b|2
Ñ p
2
|a tb|p
2 pā b a b̄q quand t Ñ 0
Ainsi ϕ est dérivable en 0 et

lim
|a tb|p
|a|p
 ϕ1 p0q  p2 |a|p
2 pā b a b̄q.
tÑ0 t
Ensuite, on remarque que s Ñ |s|p est convexe donc

|f tg |p  |p1
tqf tpf g q|p ¤ p1
tq|f |p t|f g |p

et
 p
 
|f |p   1 1 t pf tg q
1
t
t
pf
gq ¤ 1 1 t |f tg |p
1
t
t
|f
g|p
d’où
|f |p
|f
g|p ¤ |f tg |p
|f |p
t
¤ |f g |p
|f |p

donc
 
|
 f tg |p
|f |p 
 ¤ |f | |f g |p |f
g|p P L1
 p
 t
 ANALYSE 1 21

On peut donc appliquer le théorème de covnergence dominée et en déduire que

»
N ptq
N p0q |f pxq tgpxq|p
|f pxq|p dµpxq
N 1 p0q  lim  lim
tÑ0 t tÑ0 Ω t
»
 tlim |f pxq tg pxq|p
|f pxq|p
dµpxq
Ω Ñ0 t
»

 p2 |f ptq|p
2 f ptqgptq f ptqgptq dµptq
Ω
qui est bien l’expression annoncée. 
1
Nous pouvons maintenant démontrer que le dual de Lp est Lp .
Démonstration du cas 1 p 8 à l’aide du théorème de projection. Soit Φ une forme li-
1
néaire continue sur Lp pΩ, µq. Nous cherchons g P Lp pΩ, µq tel que Φ  Φg . On peut
supposer que Φ  0 puisqu’il suffit alors de prendre g  0. Il existe donc f P Lp pΩ, µq avec
Lpf q  0. Quitte à remplacer f par f {Lpf q on suppose alors que Lpf q  1.
Soit E  ker Φ  Φ
1 pt0uq qui est donc un sous-espace fermé de Lp pΩ, µq. Il existe
alors g0 P E tel que }f
g0 }p  dpf, E q. Notons que Lpf
g0 q  Lpf q
Lpg0 q  1
0  1
et que }f
g0 }p  }pf
g0 q
0}p  dpf, E q. On peut donc remplacer f par f
g0 et
supposer que 0 est la projection de f sur E: Lpf q  1 et }f }p  dpf, E q, soit, pour tout
g P E, }f }p ¤ }f
g }p .
Fixons maintenant g P E et considérons
»
N ptq  |f pxq
tgpxq dµpxq  }f
tg}pp .
Ω
Observe d’abord que
– comme tg P E, N ptq  }f
tg }p ¥ }f }p  N p0q. Donc N a un minimum en 0.
p p

– d’après le lemme précédent, N est dérivable en 0 donc N 1 p0q  0 et, d’après l’expression
de N 1 p0q, »
N 1 p0q  p |f pxq|p
2 <f pxqgpxq dµpxq  0.
Ω
Nous venons donc de montrer que, pour tout g P Lp , avec Lpg q  0,
»
< |f pxq|p
2 f pxqg pxq dµpxq  0.
Ω
Notons que, si g P Lp est tel que Lpg q  0 alors ig P Lp et Lpig q  iLpg q  0 donc
»
<i |f pxq|p
2 f pxqg pxq dµpxq  0.
Ω
En combinant les deux »
|f pxq|p
2 f pxqgpxq dµpxq  0.
Ω
1 1
Finalement, définissons f˜pxq  |f pxq|p
2 f pxq et remarquons que |f˜|p  |f |pp
1qp  |f |p
 p1
1
donc f˜ P Lp avec f˜ 1  }f }p . Nous venons donc de montrer que pour tout g P Lp pΩ, µq
  p

tel que Lpg q  0,

p
»
Φf˜pg q  f˜pxqg pxq dµpxq  0.
Ω
22 PHILIPPE JAMING

Soit maintenant h P Lp et g  h
Lphqf P Lp . Remarquons que Lpg q  Lphq

LphqLpf q  0 puisque Lpf q  1 et que Φf˜pf q  }f }p . Ainsi Φf˜pg q  0. Mais
p


0  Φf˜pg q  Φf˜ h
Lphqf  Φf˜phq
LphqΦf˜pf q  Φf˜phq
Lphq}f }pp .
Comme Lpf q  1, f  0 donc }f }pp  0 et on conclue que
Lphq 
}f }p Φf˜phq  Φf˜{}f } phq
1
p
p
p
qui est le résultat souhaité. 

Univ. Bordeaux, IMB, UMR 5251, F-33400 Talence, France. CNRS, IMB, UMR 5251, F-33400
Talence, France.
Email address: Philippe.Jaming@math.u-bordeaux.fr