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Differential Equations and Dynamical Systems 2

USUZCAMP Urgench Uzbekistan August 8 12 2017
Abdulla Azamov

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Algebra Complex Analysis and Pluripotential Theory 2

USUZCAMP Urgench Uzbekistan August 8 12 2017 Zair
Ibragimov

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Dynamical Systems in Theoretical Perspective ■ód■

Poland December 11 14 2017 Jan Awrejcewicz

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Elementary differential equations Second Edition

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Springer Proceedings in Mathematics & Statistics

Abdulla Azamov
Leonid Bunimovich
Akhtam Dzhalilov
Hong-Kun Zhang Editors

Differential
Equations and
Dynamical
Systems
2 USUZCAMP, Urgench, Uzbekistan,
August 8–12, 2017
Springer Proceedings in Mathematics & Statistics

Volume 268
Springer Proceedings in Mathematics & Statistics
This book series features volumes composed of selected contributions from
workshops and conferences in all areas of current research in mathematics and
statistics, including operation research and optimization. In addition to an overall
evaluation of the interest, scientific quality, and timeliness of each proposal at the
hands of the publisher, individual contributions are all refereed to the high quality
standards of leading journals in the field. Thus, this series provides the research
community with well-edited, authoritative reports on developments in the most
exciting areas of mathematical and statistical research today.

More information about this series at http://www.springer.com/series/10533

Abdulla Azamov Leonid Bunimovich
•

Akhtam Dzhalilov Hong-Kun Zhang

•

Editors

Differential Equations
and Dynamical Systems
2 USUZCAMP, Urgench, Uzbekistan,
August 8–12, 2017

123
Editors
Abdulla Azamov Akhtam Dzhalilov
Institute of Mathematics Turin Polytechnic University
Uzbekistan Academy of Sciences Tashkent, Uzbekistan
Tashkent, Uzbekistan
Hong-Kun Zhang
Leonid Bunimovich Department of Mathematics and Statistics
School of Mathematics University of Massachusetts Amherst
Georgia Institute of Technology Amherst, MA, USA
Atlanta, GA, USA

ISSN 2194-1009 ISSN 2194-1017 (electronic)

Springer Proceedings in Mathematics & Statistics
ISBN 978-3-030-01475-9 ISBN 978-3-030-01476-6 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-030-01476-6
Library of Congress Control Number: 2018955929

Mathematics Subject Classification (2010): 37E10, 26A18, 28D05, 34C05, 34C28, 34D05, 34D45,
37C55, 37A05, 37A60, 37A50, 37D50, 37D25

© Springer Nature Switzerland AG 2018

This work is subject to copyright. All rights are reserved by the Publisher, whether the whole or part
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recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physical way, and transmission
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The publisher, the authors and the editors are safe to assume that the advice and information in this
book are believed to be true and accurate at the date of publication. Neither the publisher nor the
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for any errors or omissions that may have been made. The publisher remains neutral with regard to
jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

This Springer imprint is published by the registered company Springer Nature Switzerland AG
The registered company address is: Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland
Contents

On Linearization of Circle Diffeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Akhadkulov Habibulla, Dzhalilov Akhtam and Konstantin Khanin
The Fujita and Secondary Type Critical Exponents
in Nonlinear Parabolic Equations and Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Aripov Mersaid
A Language of Terms of Taylor’s Formula for Quadratic
Dynamical Systems and Its Fractality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Abdulla Azamov
Discrete-Numerical Tracking Method for Constructing
a Poincaré Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Abdulla Azamov, Akhmedov Odiljon and Tilavov Asliddin
A Discrete Mathematical Model for Heat Transfer Process
in Rotating Regenerative Air Preheater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Bekimov Mansur and Fathalla A. Rihan
On Attractors of Isospectral Compressions of Networks . . . . . . . . . . . . 63
Leonid Bunimovich and Longmei Shu
On Herman’s Theorem for Piecewise Smooth Circle Maps
with Two Breaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Akhtam Dzhalilov, Alisher Jalilov and Dieter Mayer
Pursuit Game for an Infinite System of First-Order Differential
Equations with Negative Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Ibragimov Gafurjan, Usman Waziri, Idham Arif Alias
and Zarina Bibi Ibrahim
Invariance Principles for Ergodic Systems with Slowly
a-Mixing Inducing Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Jianyu Chen and Kien Nguyen

v
vi Contents

Central Limit Theorem for Billiards with Flat Points . . . . . . . . . . . . . . 127

Kien Nguyen and Hong-Kun Zhang
Almost Sure Rates of Mixing for Random Intermittent
Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Marks Ruziboev
Conjugations Between Two Critical Circle Maps
With Non-integer Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Utkir Safarov
e-Positional Strategy in the Second Method of Differential
Games of Pursuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Tukhtasinov Muminjon
Unilateral Ball Potentials on Generalized Lebesgue Spaces
with Variable Exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Yakhshiboev Makhmadiyor
On Linearization of Circle
Diffeomorphisms

Akhadkulov Habibulla, Dzhalilov Akhtam and Konstantin Khanin

Abstract Let f be a circle diffeomorphism with irrational rotation number of

bounded type and satisfying a certain Zygmund-type condition depending on a
parameter γ > 1. We prove that f is C 1+ωγ —smoothly conjugate to a rigid rotation,
where ωγ (x) = A| log x|−γ +1 and A > 0. The result completes our resent results
in [1].

Keywords Circle diffeomorphisms · Rotation number · Denjoy’s inequality ·

Conjugating map

1 Introduction

The first properties of circle homeomorphisms were studied in a classical work of

Poincaré [10]. For an orientation-preserving homeomorphism f of the unit circle
S 1 = R/Z the limit limi→∞ L if (x)/i = ρ f exists and does not depend on x ∈ R,
where L f is a lift of f from S 1 onto R. Here and below L if denotes the ith iter-
ation of L f . The number ρ := ρ f mod 1 is called the rotation number of f. It is
well know that the rotation number is irrational if and only if f has no periodic
orbits. Denjoy [3] proved that if f is an orientation-preserving diffeomorphism of
the circle with irrational rotation number ρ and log f  has bounded variation then f

A. Habibulla (B)
School of Quantitative Sciences, University Utara Malaysia,
CAS 06010, UUM Sintok, Kedah Darul Aman, Malaysia
e-mail: akhadkulov@yahoo.com
D. Akhtam
Turin Polytechnic University, Kichik Halka yuli 17,
Tashkent 100095, Uzbekistan
e-mail: a_dzhalilov@yahoo.com
K. Khanin
Department of Mathematics, University of Toronto, 40 St. George Street,
Toronto, Ontario M5S 2E4, Canada
e-mail: khanin@math.toronto.edu
© Springer Nature Switzerland AG 2018 1
A. Azamov et al. (eds.), Differential Equations and Dynamical Systems,
Springer Proceedings in Mathematics & Statistics 268,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-01476-6_1
2 A. Habibulla et al.

is topological conjugate to the linear rotation f ρ : x → x + ρ; that is, there exists

a homeomorphism h the circle such that h ◦ f ◦ h −1 = f ρ . In the end of 70’s the
problem of smoothness of the conjugacy of smooth diffeomorphisms was one of the
fundamental problems of this direction. The first significant results on smoothness
of conjugacy were obtained by Herman in [4]. It was shown that if f ∈ C k (k ≥ 3),
its rotation number is irrational and satisfies a certain Diophantine condition then h
is in fact k − 1 − ε times differentiable for any ε > 0, and is analytic if f is ana-
lytic. Later Yoccoz [11] extended his results for all Diophantine numbers. In the
end of the 80’s two different approaches to the Herman’s theory were developed by
Katznelson and Ornstein [5, 6] and Khanin and Sinai [7, 8]. These approaches gave
sharp results on the smoothness of the conjugacy in the case of diffeomorphisms
with low smoothness. In 2009, Khanin and Teplinsky [9] developed a conceptually
new approach which is entirely based on the idea of cross-ratio distortion estimates.
Recently, in [1] we have extended the results of [5–9] for a class of circle diffeo-
morphisms satisfying a certain Zygmund-type condition as follows. Consider the
following one-parameter family of functions: Φγ : [0, 1) → [0, +∞), Φγ (0) = 0
and x
Φγ (x) = , where 0 < x < 1 and γ > 0.
(log x1 )γ

Denote by Δ2 f  (x, τ ) the second symmetric difference of f  i.e.,

Δ2 f  (x, τ ) = f  (x + τ ) + f  (x − τ ) − 2 f  (x)

where x ∈ S 1 and τ ∈ [0, 21 ]. Suppose that there exists a constant C > 0 such that
the following inequality holds:

Δ2 f  (·, τ ) L ∞ (S 1 ) ≤ CΦγ (τ ). (1)

Denote by Zγ the class of circle diffeomorphisms f, whose derivatives f  satisfy

(1). The main result of [1] is the following
Theorem 1 Let f ∈ Zγ be a circle diffeomorphism with irrational rotation number
ρ.
(a) If γ ∈ ( 21 , 1] and the partial quotients of ρ satisfies an ≤ Cn α for some α ∈
(0, γ − 21 ) and C > 0. Then the conjugating map h between f and f ρ and its
inverse h −1 are absolute continuous and h  , (h −1 ) ∈ L 2 .
(b) If γ > 1 and the partial quotients of ρ satisfies an ≤ Cn α for some α ∈
(0, γ − 1) and C > 0. Then the conjugating map h between f and f ρ and
its inverse h −1 are C 1 diffeomorphisms.
In this paper we show that the conjugacy is better than C 1 smooth in the case of
γ > 1 and the rotation number is irrational of bounded type i.e., the partial quotients
are bounded. Let ωγ (x) = | log x|−γ +1 . Our main result is the following
On Linearization of Circle Diffeomorphisms 3

Theorem 2 Let f ∈ Zγ for some γ > 1. If the rotation number of f is irrational

of bounded type then there exists a constant A > 0 such that the conjugating map h
between f and f ρ and its inverse h −1 are C 1 diffeomorphisms and

|h  (x) − h  (y)| ≤ Aωγ (|x − y|), |(h −1 (x)) − (h −1 (y)) | ≤ Aωγ (|x − y|)

for any x, y ∈ S 1 , such that x = y.

2 Preliminaries and Notation

Consider an orientation-preserving circle homeomorphism f with irrational rotation

number ρ := ρ f . We shall use the the continued fraction expansion for the irrational
number ρ = [a1 , a2 , . . . , an , . . .] which is understood as a limit of the sequence of
rational convergents pn /qn = [a1 , a2 , . . . , an ]. The positive integers an , n ≥ 1, are
called partial quotients. The mutually prime positive integers pn and qn satisfy the
recurrent relation pn = an pn−1 + pn−2 , qn = an qn−1 + qn−2 for n ≥ 1, where it is
convenient to define p0 = 0, q0 = 1 and p−1 = 1, q−1 = 0. We take an arbitrary
point x0 ∈ S 1 and fix. Define Δ(n) (n)
0 := Δ0 (x 0 ) as the closed interval in S with
1

endpoints x0 and xqn = f (x0 ), such that, for n odd, xqn is to the left of x0 , and for
qn

n even, it is to its right with respect to the orientation induced from the real line.
Denote by Δi(n) := f i (Δ(n) (n)
0 ), i ≥ 1, the iterates of the interval Δ0 under f. It is
well known that the set Pn := Pn (x0 , f ) of intervals with mutually disjoint interiors
defined as
Pn = {Δi(n−1) , 0 ≤ i < qn } ∪ {Δ(n) j , 0 ≤ j < qn }.

determines a partition of the circle for any n. The partition Pn is called the nth
dynamical partition of S 1 . Obviously, the partition Pn+1 is a refinement of the partition
Pn : indeed, the intervals of order n belong to Pn+1 and each interval Δi(n−1) 0 ≤ i <
qn is partitioned into an+1 + 1 intervals belonging to Pn such that

an+1 −1

Δi(n−1) = Δi(n+1) ∪ (n)
Δi+q n−1 +sqn
. (2)
s=0

Define Kn := Kn ( f ) = maxξ | log( f qn (ξ )) | =  log( f qn ) 0 . It is well know that if

f satisfies the conditions of Denjoy theorem then Kn ≤ v where v = V ar S 1 log f 
(see [8]). This inequality is know as Denjoy’s inequality and it has very important
applications in the theory of circle homeomorphisms. Using this, it can be shown that
the intervals of the dynamical partition Pn have exponentially small length. Indeed,
one finds the following
Theorem 3 Let f be an orientation-preserving diffeomorphism of the circle with
irrational rotation number and log f has bounded variation. There exist constants
C0 > 1 and 0 < μ < λ < 1 depending only on f such that
4 A. Habibulla et al.

(i) For any Δ(n) ∈ Pn we have |Δ(n) | ≤ C0 λn ;

(ii) If the rotation number of f is of bounded type then for any two adjacent intervals
Δ(n) and Δ̃(n) of Pn we have C −1 |Δ̃(n) | < |Δ(n) | < C|Δ̃(n) |;
(iii) If the rotation number of f is of bounded type then for any Δ(n) ∈ Pn we have
|Δ(n) | ≥ C0−1 μn .
The proof of the item (i) of this can be found in [1] and the proofs of the items
(ii) and (iii) can be found [2].

3 Some Supporting Lemmas

Denote Δ(n) (n)

0 = Δ0 ∪ Δ 0
(n−1)
. Let i n : S 1 → N0 be the first entrance time of x in
(n)
0 ; that is, i n (x) = min{i ≥ 0 : f i (x) ∈ Δ (n)
Δ 0 }. Define ζn : S → R as follows
1

(x)−1
i n
ζn (x) = log f  ( f s (x)).
s=0

The following lemmas are needed to derive our main result.

Lemma 1 Let f satisfies the conditions of Theorem 2. Then ζn is a Cauchy sequence.

Proof By the definition of i n :

⎧
⎪
⎨ 0, (n)
if x ∈ Δ 0
i n (x) = qn−1 − j, if x ∈ Δ(n)
⎪ j
⎩ q − i, if x ∈ Δ(n−1)
n i

where 0 < j < qn−1 and 0 < i < qn . This and by (2) we get
⎧
⎪
⎪ 0, if x ∈Δ(n+1)
⎪
⎨q
0
n+1 − j, if x ∈ Δ(n)
i n+1 (x) = j
(n)
⎪
⎪ q − (i + q + sq ), if x ∈ Δi+q
⎪
⎩
n+1 n−1 n n−1 +sqn

qn − i, if x ∈ Δi(n+1)

where 0 < j < qn−1 , 0 < i < qn and 0 ≤ s < an+1 . Therefore
⎧
⎪
⎨ 0, (n)
if x ∈ Δ 0 ∪ Δi
(n+1)
(n)
i n+1 (x) − i n (x) = an+1 qn , if x ∈ Δ j
⎪
⎩ (a (n)
n+1 − s − 1)qn , if x ∈ Δi+qn−1 +sqn

where 0 < j < qn−1 , 0 < i < qn and 0 ≤ s < an+1 . Using the last relation we get
On Linearization of Circle Diffeomorphisms 5

ζn+1 (x) − ζn (x)∞ ≤ an+1 Kn . (3)

By Theorem 7.1 and Lemma 8.2 in [1] we have Kn ≤ Cn −γ . Since the rotation
number is bounded type we get


n+ p−1
1
ζn+ p (x) − ζn (x)∞ ≤ C . (4)
m=n
mγ

We conclude from (4) that ζn is a Cauchy sequence.

Let ζ (x) = limn→∞ ζn (x).

Lemma 2 Let f satisfies the conditions of Theorem 2. Then ζ : S 1 → R is contin-

uous and satisfies the relation

ζ ( f (x)) = ζ (x) − log f  (x). (5)

Proof It is easy to see that for any x ∈ S 1 there exists n 0 := n 0 (x) such that
i n ( f (x)) = i n (x) − 1 for all n ≥ n 0 . This and by the definition of ζn we get

ζn ( f (x)) = ζn (x) − log f  (x)

for all n ≥ n 0 . Taking the limit as n → ∞ we get (5). Next we show ζ is continuous
at x = x0 . One can see ζn (x0 ) = 0 for all n ≥ 1, so ζ (x0 ) = 0. Take any z ∈ Δ (n)
0 . It
is obvious that i j (z) = 0 for every j ≤ n, so ζ j (z) = 0 for every j ≤ n. In particular


p−1
ζn+ p (z) = ζn+m+1 (z) − ζn+m (z).
m=0

This and the relation (4) imply


n+ p−1
1
|ζn+ p (z)| ≤ C .
m=n
mγ

Consequently
lim sup |ζ (z)| = 0.
n→∞ (n)
z∈Δ 0

Hence ζ is continuous at x = x0 . Denote by Ξ = {xi := f i (x); i ∈ N} the tra-

jectory of x0 . Since ζ is continuous at x = x0 and log f  is continuous on S 1 , by
(5) it implies that ζ is continuous on Ξ. Note that i n : S 1 → R is continuous in the
interior of each element of the partition Pn for every n ≥ 1. As a consequence ζn is
continuous in the interior of each element of the partition Pn for every n ≥ 1. Thus
the limit function ζ is continuous on x ∈ S 1 \ Ξ.
6 A. Habibulla et al.

Lemma 3 Let f satisfies the conditions of Theorem 2. There exists C > 0 such that

|ζ (x) − ζ (y)| ≤ Cωγ (|x − y|) (6)

for any x, y ∈ S 1 , such that x = y.

Proof Consider the points xi and xi+qn−1 +sqn where 1 ≤ s ≤ an+1 . It is clear that
xi , xi+qn−1 +sqn ∈ Δi(n−1) . The relation (5) implies

|ζ (xi+qn−1 +sqn ) − ζ (xi )| ≤ an+1 Kn .

Consequently, for any x j ∈ Ξ ∩ (Δi(n−1) \ Δi(n+1) ) we have

∞

|ζ (x j ) − ζ (xi )| ≤ am+1 Km .
m=n

Since am+1 is bounded we get

∞
1 C
|ζ (x j ) − ζ (xi )| ≤ C γ
≤ γ −1 . (7)
m=n
m n

It is obvious that
|Δi(n+1) | ≤ |x j − xi | ≤ |Δi(n−1) |.

This and Theorem 3 imply

1
n=O . (8)
log |x j − xi |

Combining (7) with (8) we can assert that

C
|ζ (x j ) − ζ (xi )| ≤ γ −1
. (9)
log |x j − xi |

Since Ξ is dense in S 1 , the function ζ can be continuously extended to the whole

of S 1 verifying the inequality (9).
On Linearization of Circle Diffeomorphisms 7

4 Proof of Theorem 2

Consider the function ϕ : S 1 → R defined as

−1
ϕ(x) = eζ (x) eζ (t) dt .
S1

It is clear ϕ is continuous and positive on S 1 . We claim that ϕ satisfies the homo-

logical equation
1
ϕ( f (x)) =  ϕ(x), x ∈ S 1 . (10)
f (x)

Indeed, by the inequality (5) we get

−1  −1 1
ϕ( f (x)) = eζ ( f (x)) eζ (t) dt = eζ (x)−log f (x)
eζ (t) dt = ϕ(x).
S1 S1 f  (x)

Next we show that the C 1 —smooth diffeomorphism

x
h(x) = ϕ(t)dt, x ∈ S1
x0

conjugates f and f ρ . Using the relation (10) we get

f (x0 )
h( f (x)) = h(x) + ϕ(t)dt. (11)
x0

Denote by H and F the lift functions of h and f respectively. From the relation
(11) it follows that
f (x0 )
H (F n (x)) = H (x) + n ϕ(t)dt, x ∈R (12)
x0

for all n ≥ 1. It is well known (see for instance [4]) that there exists a one periodic
functions H such that H = H + Id. Therefore, by (12) we get
f (x0 )
F n (x) − x H (x) − H (F n (x))
= + ϕ(t)dt. (13)
n n x0

Taking the limit as n → ∞ we get

f (x0 )
ρ= ϕ(t)dt.
x0
8 A. Habibulla et al.

Hence h ◦ f = f ρ ◦ h. From Lemma 3 it follows that

|ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ Cωγ (|x − y|)

and consequently
|h  (x) − h  (y)| ≤ Cωγ (|x − y|)

for any x, y ∈ S 1 , such that x = y. Since h and h −1 are diffeomorphisms we can

easily show that
|(h −1 (x)) − (h −1 (y)) | ≤ Cωγ (|x − y|)

for any x, y ∈ S 1 , such that x = y. Thus, Theorem 2 is completely proved.

References

1. Akhadkulov, H., Dzhalilov, A., Khanin, K.: Notes on a theorem of Katznelson and Ornstein.
Dis. Con. Dyn. Sys. 37(9), 4587–4609 (2017)
2. Akhadkulov, H., Dzhalilov, A., Noorani, M.S.: On conjugacies between piecewise-smooth
circle maps. Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 99, 1–15 (2014)
3. Denjoy, A.: Sur les courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore. J.
Math. Pures Appl. 11, 333–375 (1932)
4. Herman, M.: Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations.
Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 49, 5–234 (1979)
5. Katznelson, Y., Ornstein, D.: The differentiability of the conjugation of certain diffeomorphisms
of the circle. Ergod. Theor. Dyn. Syst. 9, 643–680 (1989)
6. Katznelson, Y., Ornstein, D.: The absolute continuity of the conjugation of certain diffeomor-
phisms of the circle. Ergod. Theor. Dyn. Syst. 9, 681–690 (1989)
7. Khanin, K.M., Sinai, Y.G.: A new proof of M. Herman’s theorem. Commun. Math. Phys. 112,
89–101 (1987)
8. Khanin, K.M., Sinai, Y.G.: Smoothness of conjugacies of diffeomorphisms of the circle with
rotations. Russ. Math. Surv. 44, 69–99 (1989); Trans. Usp. Mat. Nauk. 44, 57–82 (1989)
9. Khanin, K.M., Teplinsky, AYu.: Herman’s theory revisited. Invent. Math. 178, 333–344 (2009)
10. Poincaré, H.: Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (I). J. Math.
Pures Appl. 7, 375–422 (1881)
11. Yoccoz, J.C.: Conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle dont le nombre de
rotation vérifie une condition diophantienne. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 17(3), 333–359
(1984)
The Fujita and Secondary Type Critical
Exponents in Nonlinear Parabolic
Equations and Systems

Aripov Mersaid

Abstract In this work, demonstrated the possibilities of the self-similar approach

to the studying of qualitative properties of nonlinear reaction diffusion equation and
system such as finite speed of a perturbation, Fujita and secondary type critical expo-
nents of a global solvability. Asymptotic of the self-similar solutions in a secondary
critical case is established. Based on the computer modeling of nonlinear processes
described by nonlinear degenerate parabolic equation and cross system discussed.
The problem choosing an initial approximation for numerical solution depending on
a value of numerical parameters is solved.

Keywords Parabolic · Degenerate · Equation · System · Self-similar · Fujita

1 Introduction

This paper devoted to a various extensions of a result of Fujita [1] and secondary
critical exponent for the initial value problem to the reaction-diffusion equation

∂u   p−2
= ∇(u m−1 ∇u k  ∇u) + div(c(t)u) + γ (t)u β , (1)
∂t

u (0, x) = u 0 (x)  0, x ∈ R N , (2)

in Q = (t > 0, x ∈ R N ) with m, β, k  1, p  2, ∇(·) = gradx (·), 0 < c(t),

γ (t) ∈ C(0, ∞).

A. Mersaid
National university of Uzbekistan, Tashkent, Uzbekistan
e-mail: mirsaidaripov@mail.ru

© Springer Nature Switzerland AG 2018 9

A. Azamov et al. (eds.), Differential Equations and Dynamical Systems,
Springer Proceedings in Mathematics & Statistics 268,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-01476-6_2
10 A. Mersaid

Also to the nonlinear degenerate parabolic cross system (see [2–17])

∂u    p−2 
A(u, v) = − + div vm 1 −1 ∇u k  ∇u − div(c(t)u) + γ (t)u β1 = 0,
∂t
∂v    p−2 
B(u, v) = − + div u m 2 −1 ∇vk  ∇v − div(c(t)v) + γ (t)vβ2 = 0, (3)
∂t

u (0, x) = u 0 (x)  0, v (0, x) = v0 (x)  0, x ∈ R N , (4)

where m i , βi ∈ R, i = 1, 2, p  2, k  1 are the given numerical parameters,

∇(·) = gradx (·).
The problem (1), (2) describes many nonlinear processes, for instance the pro-
cesses of nonlinear filtration in liquid and gas, the thermal conductivity, nonlinear
reaction diffusion, when the thermal conductivity coefficient is a power function of
the derivative in the presence of a convective transfer with speed c(t) and source
[2, 3, 18–23]. The Eq. (1) is a base for modeling of the many physical processes too
[1, 17–22, 24–26].
Notice that the class of Eq. (1) contains the linear diffusion equation, ( p =
2, m = 1), commonly known as the heat equation, ∂t u = Δu; the nonlinear diffu-
sion equation ∂t u = Δu k , known as the porous medium equation ( p = 2, m > 1),
or the fast diffusion equation ( p = 2, m < 1), and the gradient-dependent diffu-
sion equation, ∂t u = div(|∇u| p−2 ∇u) := Δ p u, that is, the p−Laplacian equation
( p = 2, m = 1). When p = 2 and m = 1, Eq. (1) is called the doubly nonlinear
diffusion equation, due to the fact that its diffusion term depends nonlinearly on
both the unknown density u, and its gradient ∇u. Such gradient-dependent diffusion
equations appear in several models in non-Newtonian fluids [16], in glaciology [13,
23], and in turbulent flows in porous media [17]. For more details on these models,
we refer to the work [2–10, 22–24], and the references therein.
Equation (1) is good combination for of slowly diffusion (k( p − 2) + m −
1 > 0), fast diffusion k( p − 2) + m − 1 < 0 and other diffusion cases too. One
of the particular features of problem (1) is that the equation is degenerate at points
where u = 0 or ∇u = 0. Hence, there is no classical solution in general. Therefore,
we consider weak solution with property
  p−2
0  u(t, x), u m−1 ∇u k  ∇u ∈ C(Q),

satisfying to Eq. (1) in tense of distribution [24].

System (3) describes the processes of reaction—diffusion, heat conductivity, poly-
trophic filtration of gas and liquid (k = 1, p = 2), biological population and etc. in
the two componential nonlinear medium with source, and convective transfer speed
of which c(t) depends on time. A specifically properties of this equation and system
is its degenerating. Therefore, we need to investigate the weak solution, because in
this case solutions of problem (3), (4) may do not exist in the classical tense.
The Fujita and Secondary Type Critical Exponents… 11

For system (3) in general we will study a class of weak solutions with properties

0  u(t, x), (u m 1 −1 (t, x)|∇u k | p−2 ∇u) ∈ C(Q),

0  v(t, x), (vm 2 −1 (t, x)|∇vk | p−2 ∇v) ∈ C(Q),

and satisfying to (1) in the sense of a distribution [24].

Analytical solving of the considered nonlinear problem is very complicated.
Therefore, now computing experiment becomes almost unique means for solving
of the nonlinear problems. But, before a numerical computing are required inves-
tigation of qualitative properties of different type solutions arising on depended of
value of numerical parameters of the considered problem necessary to study the
qualitative properties of solutions.
One of effective method for investigation qualitative properties of considered
problem is self-similar, approximately self-similar approach [1, 18–20, 24]. For this
goal, we use method of nonlinear splitting algorithm [20], which allowed constricting
the system of self-similar equation for (1) and system (2). This approach intensively
used by many authors [18–20, 24] for investigation of the new properties of solution
such as finite speed of perturbation, blow up properties, localization of solutions and
so on [24].

2 Fujita Type Global Solvability

2.1 Case of Single Equation

Consider a global solvability of the problem (1), (2). Different qualitative properties
of solution for the particular value of numerical parameters of the Cauchy and bound-
ary value problem to the Eq. (1) intensively studied by many authors [1–8, 18–24].
First Fujita [1] for the problem (1) showed that if γ (t) = 1, c(t) = 0, m = 1, p = 2,
1 < β  1 + 2/N , all solutions are blow up in time [1], while if β > 1 + 2/N the
problem has a global solution for small initial data. Value of numerical parameter
when β = 1 + 2/N is called the Fujita type critical exponent.
Samarskii A.A. and etc. [24] showed that condition of the global solvability when
γ (t) = 1, c(t) = 0, p = 2 is β > m + 1 + 2/N . After V. Galaktionov establish
the following condition of the global solvability β > p − 1 + p/N (see [24]) when
in (1) γ (t) = 1, c(t) = 0, m = 1, k = 1 ( p−Laplacian equation). More general
condition of a global solvability when c(t) = 0, k = 1 were established in [19], when
γ (t) = 1, c(t) = 0, k = 1 the variable density case of the Eq. (1) considered in works
[2–5, 20–23]. The condition of the global solvability in the case c(t) = 0, k = 1
obtained in the work [20] The role of the Fujita and secondary critical exponents
type intensively discussed in literature [1–6, 18–24].
12 A. Mersaid

Usually for establishing blow up properties solution applied the. In [5] authors
to show the blow up phenomena not use technique the Zel’dovich–Kompaneets–
Barenblatt solutions [24], since the construction of such type of function is more
complicated for considered problem. Therefore, authors obtain a result by multiply-
ing on a special factor, which has convenient properties. In particular, by choosing
the parameters of the factor and using the properties of the solution, obtained the
inequality, which allows proving blow up property. Considering semi linear case of
the system (3) when in k = m = 1, p = 2 first Escobedo-Herero [11] establish the
Fujita type global solvability. Notice that the Fujita type global solvability of the
problem (3), (4) is not studied yet.
This paper discusses problem the Fujita type global solvability and secondary
critical exponents for double nonlinear degenerate equation (1) and system (3) using
self-similar approach [20]. The algorithm establishing both critical exponents using
self-similar analysis of solutions is suggested. Based on an invariant group (self-
similar) analysis the method of establishing of a value of the Fujita type critical
exponents for single degenerate type parabolic equation and system (3) is given. The
Fujita type condition of a global solvability to the problem (1), (2) are established. It is
shown that formally a value of the second critical exponent for degenerate type double
nonlinear parabolic equation and they system is the roots of the linear algebraic
system equations. The estimate of weak solutions to the problem (3), (4) is obtained.
Depending on value of numerical parameters, the problem of an appropriate initial
approximation solution for an iterative process, leading to the quick convergence
with necessary accuracy is solved.
In recent years, as mentioned above many authors [2–10, 18, 19, 21–23] have
studied the different qualitative properties of solutions to the Cauchy problem (1)
and their variants (see ([2–10, 23] and the references therein)). Zheng et al. [22]
investigate the blow-up properties of the positive solution of the Cauchy problem (1)
in the case c(t) = 0, γ (t) = 1, and established a secondary critical exponent for the
decay initial value at infinity. They notice in this case the problem of the existence
and nonexistence of global solutions of the Cauchy problem not considered.
Under some suitable assumptions, the existence, uniqueness and regularity of a
weak solution to the Cauchy problem (1) and their variants have been extensively
investigated by many authors (see [2–11, 20–23] and the references therein).
The first goal of this paper is to study the blow-up behavior of solution u(x, t)
of (1) when the initial data u 0 (x) has slow decay near x = ∞. For instance, in the
following case
u 0 (x) ∼
= M|x|−a , M > 0, a ≥ 0, (5)

In recent years, many authors have studied the properties of solutions to the
Cauchy problem (1), (2) and their variants [2–10, 23] and the references therein). In
particular, J.-S. Guo and Y. Y. Guo (see [22] and references) obtained the secondary
critical exponent for the case k = 1, p = 2 and shows there exists a secondary critical
exponent a ∗ = 2/( p − m) such that the solution u(x, t) of (1) blows up in finite time
for the initial data u 0 (x), which behaves like |x|−a at x = ∞ if a ∈ (0, a ∗ ), and there
The Fujita and Secondary Type Critical Exponents… 13

exists a global solution for the initial data u 0 (x), which behaves like |x|−a at x = ∞
if a ∈ (a ∗ , N ).
Mu et al. [22] studied the secondary critical exponent for the p−Laplacian equa-
tion (m = 1) with slow decay initial values and shows that there exists a secondary
critical exponent ac∗ = ( p/(q + 1 − p)) such that the solution u(x, t) of (1) blows
up in finite time for the initial data u 0 (x) which behaves like |x|−a at x = ∞ if
a ∈ (ac∗ , N ), and there exists a global solution for the initial data u 0 (x), which
behaves like |x|−a at x → ∞ if a ∈ (ac∗ , N ).
Recently, Zheng and Mu [9] also investigated the secondary critical exponent for
the doubly degenerate parabolic equation with slow decay initial values and obtained
similar results. Introduce the function

t
γ (y)dy]− β−1 ,
1
z + (t, x) = u(t) f (ξ ), u(t) = [T + (β − 1)
0
γ γ1
f (ξ ) = (a − bξ ) , a > 0. (6)
p p − 1
b = (k( p − 2) + m − 1) p − p/( p−1) , γ = , γ1 = .
p−1 k( p − 2) + m − 1

Below considering the problem Cauchy (1), (2); (3), (4) the algorithm for con-
struction of the Fujita type a critical exponent is suggested and has establish the Fujita
type for critical exponent. Applying this algorithm, condition of a global solvability
Cauchy problem (1), (2) and (3), (4) are obtained.

3 Main Results

3.1 Fujita Type Critical Exponent to the Problem (1)

Theorem 1 Assume k( p − 2) + m − 1 > 0,

γ (t)τ (t)[u(t)]β−[k( p−2)+m−1] < N / p, t > 0, u 0 (x) ≤ z + (0, x), x ∈ R N , (7)

then u(t, x) ≤ z + (t, x) in Q.

For the problem (1) the Fujita type critical exponent is

γ (t)τ (t)[ū(t)]β−[k( p−2)+m−1] = N / p, t > 0.

This result consist all early known results other authors (Fujita, Samarskii A.A.,
Kurdyumov S.P., Galaktionov V.A., Mikhaylov A.P. and others) on a global solv-
ability problem Cauchy (1), (2). In the case c(t) = 0, γ (t) = 1 we obtain all early
known Fujita type condition of a global solvability [1, 18–22, 24]
14 A. Mersaid

β > k( p − 2) + m + p/N .

Value of the Fujita type critical exponent is β = β∗ = k( p − 2) + m + p/N .

Corollary 1 In the critical case the Eq. (1) always is a self-similar

  k  p−2 
d d f  d f ξ df
ξ 1−N
ξ N −1
f m−1   + + (N / p)( f β + f ) = 0.
dξ  dξ  dξ p dξ

Theorem 2 Let us 1 < β ≤ k( p − 2) + m + p/N . Then all solutions of the prob-

lem (1), (2) are blow up in time for u 0 (x) = 0, x ∈ R N .

3.2 The Fujita Type Global Solvability for the System (3)

Consider the functions

u + (t, x) = ū(t) f¯(ξ ), v+ (t, x) = v̄(t) ψ̄(ξ ),

t
ξ = |η| /[τ (t)]1/ p , τ (t) = a1 (T + t)1/a1 , η = c(y)dy − x, x ∈ R N
0
a1 =(β1 − 1)(β2 − 1)/(β1 − 1)(β2 − 1) − (m 1 − 1)(β1 − 1) − (β2 − 1)( p − 2),
f¯(ξ ) = (a − ξ γ )+1 , ψ̄(ξ ) = (a − ξ γ )+2 , a > 0 , γ = p/( p − 1)
q q

( p − 1)(k( p − 2) − (m 1 − 1)) ( p − 1)(k( p − 2) − (m 2 − 1))

q1 = , q2 = ,
q q
q = [k( p − 2)]2 − (m 1 − 1)(m 2 − 1)

Theorem 3 Assume

(β1 − 1)(β2 − 1) − (m 1 − 1)(β1 − 1) − (β2 − 1)k( p − 2) > 0,

β2 − 1
< N / p,
(β1 − 1)(β2 − 1) − (m 2 − 1)(β2 − 1) − k( p − 2)(β1 − 1)
β1 − 1
< N / p,
(β1 − 1)(β2 − 1) − (m 1 − 1)(β1 − 1) − k( p − 2)(β2 − 1)

u 0 (x)  u + (0, x), v0 (x)  v+ (0, x), x ∈ R N .

The Fujita and Secondary Type Critical Exponents… 15

Then for the solution of the problem (1), (2) in Q the estimate

u(t, x)  u + (t, x), v(t, x)  v+ (t, x). (8)

is hold.

Proof of the Theorem 1. Consider the following self-similar solution of the

Eq. (1)
t
−1/ p
u(t, x) = u(t) f (ξ ), ξ = |η|τ , η = c(y)dy − x,
0

τ (t) = u β−[k( p−2)+m] /[β − (k( p − 2) + m)],

where the function

t
γ (y)dy]− β−1
1
u(t) = [T + (β − 1)
0

is solution of the equation

d ū
= −γ (t)ū β ,
dt

f (ξ ) satisfy to an approximately self-similar equation

  k  p−2 
d 
m−1  d f
 df ξ df
ξ 1−N
ξ N −1
f  + + s(t)( f β + f ) = 0, (9)
dξ  dξ  dξ p dξ

where s(t) = γ (t)τ (t)[u(t)]β−[k( p−2)+m] .

In particular when γ (t) = 1 from (7) we have a self-similar equation
  k  p−2 
d d f  df ξ df
A( f ) ≡ ξ 1−N
ξ N −1
f m−1   + + d( f β + f ) = 0, (10)
dξ  dξ  dξ p dξ

where d = β−[k( p−2)+m]

1
.
Easy to check that for the function f (ξ ) after simple calculation we have
⎛  k  p−2 ⎞

d ⎝ N −1 m−1  d f   df⎠ ξ df
ξ 1−N ξ f   + = −(N / p) f (ξ ).
dξ  dξ  dξ p dξ

Therefore from (8) we have

β−1
A( f ) = [[−(N / p) + γ (t)τ (t)ū(t)]β−[k( p−2)+m] + γ (t)τ (t)[ū(t)]β−[k( p−2)+m] f ]f.
16 A. Mersaid

According condition of the theorem for small value of a we have

A( f ) ≤ 0 in ξ < a ( p−1)/ p .

Therefore, according the comparison principle conclude

f ≤ f in ξ < a ( p−1)/ p .

It means that
u(t, x) ≤ u + (t, x) = u(t) f (ξ ), in Q.

Proof of the Theorem 1 completed.

4 The Second Critical Exponent Case

Recently Zheng, Chunlai Mu, Dengming Liu, Xianzhong Yao, and Shouming Zhou
for the decaying initial data establish a secondary critical exponent to the problem (1),
(2) when γ (t) = 1. They for the case c(t) = 0, γ (t) = 1 established that if u 0 (x) ≈
M|x|−a , M > 0 then value a = a∗ = p/(β − k( p − 2) + m) is secondary critical
exponent for the problem Cauchy. The cases k = 1, γ (t) = 1, c(t) = 0, γ (t) =
1, c(t) = 0, k = 1, p = 2 considered in works [1] In particular, J.S. Guo and Y.Y.
Guo (see [22]) when c(t) = 0, γ (t) = 1, k = 1, p = 2 obtained the secondary
critical exponent for the porous medium type equation in high dimensions and proved
existing a secondary critical exponent a = a∗ = 2/(β − m) such that if u 0 (x) ≈
|x|−a the solution of (1) blows up in finite time for the initial data, which behaves
like |x|−a at ∞ if a belongs to (0, a∗ ), and there exists a global solution if a belongs
to (a∗ , N ).
Below we establish asymptotic behavior of the solutions in the secondary critical
exponent case.
Introduce the function
p p−1
f (ξ ) = (a + ξ γ )γ1 , γ = , γ1 = − .
p−1 β − (k ( p − 2) + m)

Theorem 4 Let us β > max (k ( p − 2) + m) , [(k ( p − 2) + m) N ]/(N − p),

p < N , then the regular vanishes at infinity solutions of the equation (1) has an
asymptotic representation
p p−1
f (ξ ) = c(m, l, p, k, N , β)(a + ξ p−1 )− β−(k( p−2)+m) (1 + o(1)), (11)
The Fujita and Secondary Type Critical Exponents… 17

where

(N − p)β − (k ( p − 2) + m) N
c(m, p, k, N , β) = |kγ1 | p−2 ( p − 1) .
β − (k ( p − 2) + m)

In the work [24] in the case p = 2, k = l = 1, γ (t) = 1, c(t) = 0 the following

formal asymptotic of solution is given

f (ξ ) ≈ cξ −
2
β−m

which used for numerical solution. But, value of constants c is not known. We notice
according the Theorem1 value of constants c is
  β−m
1
(N − 2)β − N m
c= , β > N /N − 2, N  3.
β −m

Mentioned authors using this asymptotic of solution solves numerically. But with-
out proving of the Theorem 1 and finding value of constant c. Consider particular
case of the Eq. (1) when γ (t) = 1, c(t) = 0.
Then notice that from (9) in the case m = 1, p = 2, k = l = 1 we have
  β−1
1
(N − 2)β − N
c(1, 1, 2, 1, N , β) = .
β −1

In particular when p = 2, k = m = 1. For L p (u k )−Laplacian equation (in (1)

k = m), see [26])

(N − p)β − (k( p − 1) − 1)N

c(m, k, p, k, N , β) = |kγ1 | p−2 k( p − 1) ,
β − (k( p − 1) − 1)

where k( p − 1) − 1 > 0.
For p−Laplacian equation (k = m = 1)

(N − p)β − pN
c(1, l, p, 1, N , β) = |kγ1 | p−2 ( p − 1) .
β−p

Notice these results are given in [26] and they are very important for computational
aims.
The proofs of Theorems 2 are based on the transformation of Eq. (1) as follows:
 p

f (ξ ) = f (ξ )y(η), η = ln a + ξ p−1

Then with respect to the function y(η) we obtain a new nonlinear equation whose
solution for η → ∞ tends to the constant c indicated in the statement of the theorem.
18 A. Mersaid

These results extended to the following equation with variable density

∂u   p−2
 
ρ1 (x) = div ρ2 (x)u m−1 ∇u k  ∇u + ρ1 (x)γ (t)u β , u(0, x) = u 0 (x)  0, x ∈ R N ,
∂t
(12)
where ρ1 (x) = |x|n 1 , ρ2 (x) = |x|n 2 , n i ∈ R, ∇(·) − grad (·).
x
Consider the functions defined in Q
( p−1)/(k( p−2)+m−1)
z 1 (t, x) = ū(t)y(ξ ), y(ξ ) = (a − ξ p/( p−1) )+ ,

p − (n 1 + n 2 ) p/( p−(n 1 +n 2 )) N − n1
ξ = ϕ(x)[τ (t)]−1/ p , ϕ(x) = |x| , s=p .
p p − (n 1 + n 2 )

Theorem 5 Assume k ( p − 2) + m − 1 > 0, n 1 < N , n 1 + n 2 < p,

γ (t)τ (t)[ū(t)]β−[k( p−2)+m−1] < s/ p, t > 0, u 0 (x)  z 1 (0, x), x ∈ R N , (13)

then the problem (8) is global solvable in Q.

Corollary 2 Let γ (t) = 1, k( p − 2) + m − 1 > 0. Then condition of the Fujita

type solvability of the problem (10) is

N − n1
β > k( p − 2) + m + .
p − (n 1 + n 2 )

Corollary 3 Let γ (t) = t σ , k( p − 2) + m − 1 > 0. Then condition of the Fujita

type solvability of the problem (10), (2) is

N − n1
β > β∗ = (1 + σ )[k( p − 2) + m] + ,
p − (n 1 + n 2 )

value of the critical exponent is equal to

N − n1
β = β∗ = (1 + σ )[k( p − 2) + m] + .
p − (n 1 + n 2 )

This result consist all early known results authors [1–6, 18–24] about global
solvability problem Cauchy to the degenerate type Eq. (10)

1
(S − p)β − (1 + σ ) (k ( p − 2) + m) S β−(k( p−2)+m)
c(m, k, p, σ, S) = −|kγ1 | p−2 l( p − 1)
β − (1 + σ ) (k( p − 2))

N − n1
S=p p − (n 1 + n 2 ) > 0, n 1 < N .
p − (n 1 + n 2 )
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Title: Die Erfolgreichen

(Thirty great lives)

Author: Herbert Newton Casson

Release date: January 15, 2024 [eBook #72724]

Language: German

Original publication: Leipzig: Josef Singer Verlag A.-G, 1926

Credits: The Online Distributed Proofreading Team at

https://www.pgdp.net

*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE

ERFOLGREICHEN ***
 HERBERT N. CASSON

Die Erfolgreichen
(Thirty great lives)

1.—10. Tausend

1926
J O S E F S I N G E R VERLAG A.-G., LEIPZIG
 Copyright 1926 by Ernst Angel-Verlag, Berlin-Schöneberg
Autorisierte Übertragung aus dem Englischen
von Dr. Walter J. Briggs

Gedruckt in der Buchdruckerei Otto Regel G. m. b. H., Leipzig

INHALTS-VERZEICHNIS
Seite
Isaac Newton 5
James Watt 10
Robert Clive 16
Michael Faraday 23
Elias Howe 27
Thomas Henry Huxley 32
Frederick Winslow Taylor 38
Andrew Carnegie 46
Cecil Rhodes 53
Dr. Jameson 59
John Wanamaker 64
Murdo Mackenzie 70
Cyrus H. H. Curtis 74
Edward Bok 81
Luther Burbank, der König der Gärtner 87
King C. Gillette 92
Joseph Fels 97
George Westinghouse 104
Charles Seabrook 111
George F. Johnson 117
Thomas A. Edison 124
Lord Rhondda 128
Sir Swire Smith 133
Henry Ford 138
 Isaac Newton.
Wenn man das ganze britische Volk, all seine Toten und Lebenden
in einer Reihe aufstellen wollte, so würde sehr wahrscheinlich an der
Spitze dieser Reihe Sir Isaac Newton stehen.
Er als der erste der gesamten Menschheit fand das Geheimnis der
Sterne. Er war der erste, der das Mysterium der Schwerkraft bekannt
machte.
Während Sie und ich über kleine Dinge nachdenken — Zinsfuß,
Löhne, Nutzen, Erzeugung und so fort —
dachte Newton über das Weltall nach.
Sein bedeutendes Buch »The principia« ist allgemein als das
hervorragendste Erzeugnis menschlichen Geistes anerkannt.
Allem Anschein nach werden die meisten großen Männer an
bedeutungslosen Orten geboren — und Newton war keine
Ausnahme. Er kam 1642 in einem kleinen Dörfchen in Lincolnshire
zur Welt. Sein Vater war wenige Monate nach seiner Verehelichung
gestorben. So war der kleine Newton bei seiner Geburt schon
vaterlos. Seine Mutter hatte eine bescheidene Jahresrente von 80
Pfund.
Der kleine Isaac Newton war kein guter Schüler. Er interessierte
sich nicht dafür, was der Lehrer sagte. Er widmete seine ganze
Aufmerksamkeit mechanischen Dingen. Er erfand eine Windmühle,
eine Wasseruhr und einen neuartigen Wagen, der von seinem
Insassen angetrieben werden konnte. Er liebte es sehr,
Papierdrachen steigen zu lassen. Er machte auch Papierlaternen
und befestigte diese Laternen an dem Schwanz seiner Drachen.
Dann ließ er diese Drachen nächtlicherweile steigen, um die
Landbevölkerung glauben zu machen, daß Kometen am Himmel
wären.
 Schon als Junge von 12 Jahren interessierte er sich nur für
Mechanik und den Sternenhimmel. Er erfand eine Sonnenuhr. Er
studierte die Sterne. Der Mechanismus des Firmaments schien ihn
zu faszinieren.
Mit 15 Jahren wurde er auf ein Gut in die Lehre gegeben, war aber
völlig wertlos als Lehrling der Landwirtschaft. Während die Schafe
herumirrten und das Vieh den Mais fraß, hockte er an einer Hecke
und las ein Buch über Astronomie.
Zum Glück wußte seine Mutter sein Genie richtig einzuschätzen.
Sie befreite ihn von der landwirtschaftlichen Arbeit und sandte ihn
zurück in die Schule.
Mit 18 Jahren wurde er in das Trinity College in Cambridge
aufgenommen. Neun Jahre später war er dort Professor der
Mathematik. So gut wie sein ganzes Leben lang blieb er mit
Cambridge in Verbindung.
Mit 24 Jahren begann er das Phänomen des Lichtes zu studieren.
Er entdeckte, daß das Licht aus verschiedenartigen Strahlen
zusammengesetzt ist.
Darauf erfand er
ein reflektierendes Fernrohr.
Es war das erste seiner Art. Sein erstes Fernrohr steht jetzt in der
Bibliothek der Royal Society mit der folgenden Inschrift: »Erfunden
von Sir Isaac Newton und von ihm eigenhändig hergestellt im Jahre
1671.«
Man hatte zu jener Zeit noch sehr geringe Kenntnisse in der
Astronomie. Alle Fernrohre waren niedliche Spielzeuge. Das,
welches Newton erfand, war sechs Zoll lang. Niemand in Newtons
Generation ahnte etwas von den 100-Tonnen-Fernrohren, die wir
heute haben.
Galilei war ein Jahr vor Newtons Geburt gestorben. 42 Jahre vor
Newtons Geburt war Bruno in Rom auf dem Scheiterhaufen
verbrannt worden, weil er versichert hatte, daß sich die Erde um die
Sonne bewegt.
 Ja, in jenen frühen Tagen der Astronomie, in denen Newton
erschien, war es geradezu gefährlich, über derartige Dinge
nachzudenken.
Aber Newton hatte das gute Glück, in England zu leben. Er lebte,
wo die Wissenschaft frei war. Seine Anschauungen wurden zwar
angegriffen, aber er selbst war niemals in Gefahr, verfolgt zu
werden.
Es geschah, als er 24 Jahre alt war, daß er zum ersten Male die
Anziehung der Schwerkraft erfaßte. Er saß allein im Garten seiner
Mutter in dem kleinen Bauerndorf, in dem er geboren war, als er
einen Apfel fallen sah.
Warum fiel der Apfel? Wie hoch würde sein Gewicht auf einer
Erde sein, die zweimal so groß wie die unsrige wäre? Was würde
dem Apfel geschehen, wäre er halbwegs zwischen Erde und Sonne?
Das waren die Fragen, die er sich selbst stellte. Er brachte die
Vollkraft seines mathematischen Verstandes auf dieses Problem in
Anwendung.
Er studierte dieses Problem 20 Jahre. Endlich entdeckte er, daß
die Schwerkraft und die Zentrifugalkraft sich gegenseitig
ausgleichen. Damit hatte er schließlich das Geheimnis der Ordnung
des gestirnten Himmels entdeckt.
Im Jahre 1687, als er 45 Jahre alt war, veröffentlichte er sein
großes Buch »The principia«. Dieses Buch verkündete
das Prinzip der allgemeinen Gravitation.
Dieses Prinzip ist: Jedes Atom des Stoffes im Weltall wird durch
jedes andere Atom des Stoffes mit einer Kraft angezogen, die im
umgekehrten Verhältnis zu dem Quadrat ihrer Entfernung steht.
Newton fand heraus, daß der Stein sich auf die Erde und die Erde
sich auf den Stein zubewegt. Die Erde zieht die Sonne an und die
Sonne zieht die Erde an. Jedes Atom zieht jedes andere Atom an.
Er entdeckte, daß, was wir »Gewicht« nennen, eine Täuschung
ist. Ein Mensch, der auf der Erde einen Zentner wiegt, würde zum
Beispiel auf der Sonne 13 Zentner wiegen.
 Niemals versuchte Newton seine Erfindungen und Entdeckungen
geheimzuhalten. Er teilte sie seinen Freunden ganz offen mit. Das
Ergebnis war, daß in verschiedenen Fällen andere Leute seine
Erfindungen als die ihrigen bezeichneten.
Das größte Unglück traf Newton, als er sein Buch über »Die Natur
des Lichtes« vollendet hatte. Er hatte daran 20 Jahre gearbeitet.
Doch, als er einmal aus seinem Studierzimmer sich entfernt hatte,
warf sein kleiner Hund eine Kerze um, das Manuskript fing Feuer
und wurde völlig vernichtet.
Als Newton das Zimmer wieder betrat und sah, was geschehen
war, soll er ausgerufen haben: »O Diamond, wie wenig weißt du von
dem Unheil, das du angerichtet hast!«
In seinen späteren Jahren wendete sich Newton dem politischen
Leben zu. Er wurde Parlamentsmitglied. Er wurde eingesetzt als
Meister der Münze. Königin Anna verlieh ihm die Ehre der
Ritterschaft und höhere Ehre noch: er wurde Präsident der Royal
Society.
Er starb 1727 im Alter von 85 Jahren. Sein Leichnam wurde in der
Westminster Abtei beigesetzt, nahe dem Eingang des Chors, auf der
linken Seite.
Er starb hochgeehrt und reich. Sein persönlicher Nachlaß betrug
32 000 Pfund und sein Ruhm ist im Laufe der Jahrhunderte immer
mehr gewachsen.
Er war ein bescheidener, offener und geselliger Mann.
Er war nicht eitel.
Er liebte Menschen nicht weniger als Prinzipien.
Kurz vor seinem Tode äußerte er: »Ich weiß nicht, wie ich der Welt
vorkomme; mir selbst aber komme ich vor wie ein Junge, der am
Meeresufer spielt und der sich unterhält, hin und wieder einen
besser abgerundeten Kieselstein oder eine hübschere
Muschelschale zu finden, während der große Ozean der Wahrheit
weit und unerforscht vor ihm liegt.«
 James Watt.
James Watt ist in Greenock im Jahre 1736 geboren. Zu jener Zeit
gab es noch keine Fabriken, Eisenbahnen, Dampfschiffe,
Maschinen, freie Schulen, Einheitspostgebühren oder Freihandel.
Er war ein zarter Junge. Er genoß wenig Schulbildung. Er wurde
hauptsächlich von seiner Mutter unterrichtet.
Er war ein eifriger Leser guter Bücher. Mit fünfzehn Jahren hatte
er »Die Elemente der Philosophie« zweimal gelesen.
Sein Vater und sein Großvater waren tüchtige Mechaniker, und so
verwendete der kleine »Jamie« seine Zeit auf drei Dinge: 1.
Spielzeugmaschinen zu machen, 2. ernste Bücher zu lesen, 3. in
den Wäldern herumzustreifen.
Er liebte es, Experimente zu machen.
Und einmal studierte er eine Stunde lang den Teekessel. Er
bedeckte den Ausguß, um die Hebekraft des Dampfes zu erproben.
Seine Tante, die dabei saß, warf ihm vor, daß er seine Zeit damit
verschwende, mit Dampf zu spielen.
Als er siebzehn Jahre alt war, starb seine Mutter, und sein Vater
wurde plötzlich arm. James ging nach Glasgow und bekam eine
kleine Anstellung, in der er Brillen, Angelruten und dergleichen
reparierte.
Mit 19 Jahren kam er nach London. Es war im Jahre 1755. Es war
eine äußerst gefährliche und unbequeme Reise, eine Reise zu
Pferde. Zwölf Tage saß James im Sattel. Das war das erste große
Ereignis seines Lebens. (Dank Watt können wir heute von London
nach Glasgow in acht Stunden reisen!)
Watt blieb in London. Er arbeitete in einer kleinen Werkstatt in
Cornhill, wo er wissenschaftliche Instrumente herstellte. Dann kehrte
er nach Glasgow zurück.
 Er wurde berufen, die wissenschaftlichen Instrumente der
Universität Glasgow zu reparieren. Das war das zweite große
Ereignis seines Lebens.
Verschiedene Professoren wurden auf seine Arbeit aufmerksam.
Sie gaben ihm einen Arbeitsraum in der Universität. Hier reparierte
Watt die Apparate der Universität und machte auch Fischereigeräte
für fremde Kunden. Er beschäftigte sich sogar damit, eine
verbesserte Orgel herzustellen.
Als Watt 23 Jahre alt war, trat das dritte große Ereignis ein — er
fand ein altes Modell einer Dampfmaschine in der Universität.
Natürlich war es keine verwendbare Dampfmaschine. Es war eine,
die nicht laufen wollte. Aber sie faszinierte Watt; er begann sofort,
den Dampf zu studieren.
Zunächst begegnete er einem sehr ernsten Hindernis — die
meisten Artikel über Dampf waren französisch und italienisch
geschrieben. Sehr wenige gab es im Englischen. Was tat Watt? Er
fing sofort an, Französisch und Italienisch zu lernen und blieb
beharrlich dabei, bis er die Artikel über Dampf lesen konnte.
Im Jahre 1764 heiratete er eine hilfreiche Frau. Sein Geschäft ging
gut. Er hatte sechzehn Arbeiter und verdiente jährlich gegen 600
Pfund rein.
Er dachte jetzt einzig und allein an Dampf, und an nichts anderes.
Im Jahre 1765 schrieb er seinem Freund:
»Alle meine Gedanken gelten jetzt nur noch dieser Maschine.«
Er verfertigte ein rohes Modell. Es wollte nicht arbeiten. Er machte
ein zweites, und es wollte nicht arbeiten. Hernach ein drittes und ein
viertes.
Es gab zu dieser Zeit keine Werkstatt der Welt, die einen
vollständigen Zylinder herstellen konnte. Das verursachte Watt so
viel Schwierigkeiten.
Er vernachlässigte sein Geschäft. Er geriet in Schulden. Da kam
das vierte große Ereignis — er lernte Dr. Roebuck, den Begründer
der Carron-Eisenwerke, kennen.
 Dr. Roebuck war der erste Mann, der es wagte, Geld in Dampf
anzulegen. Er gab Watt 1000 Pfund, um seine Schulden
abzuzahlen. Dagegen gab ihm Watt ein Zweidrittelinteresse an der
Dampfmaschine.
Watt war niemals ein Geschäftsmann. Er haßte Kaufen und
Verkaufen. Er war ein Erfinder — sonst nichts.
Immerwährend war er bei schlechter Gesundheit. Er hatte Anfälle
von Melancholie. Er litt an Kopfschmerzen. Aber er harrte aus.
Am 5. Januar 1769 erhielten Watt und Arkwright Patente für die
erste Dampfmaschine und für die erste Spinnmaschine. An diesem
Tage wurde Lancashire geboren. (Sitz großer englischer
Maschinenfabriken.)
Watt hatte nunmehr den richtigen Entwurf für eine
Dampfmaschine, aber keine Werkstatt konnte sie herstellen. Ein
Modell nach dem anderen arbeitete schlecht oder gar nicht. Er hatte
keine brauchbaren Dichtungsstoffe und mußte alte Hüte und Kork
verwenden. Alle seine Modelle waren undicht.
Er geriet tiefer in Schulden. Sein Freund Dr. Roebuck wurde
bankerott. Seine Frau starb in der Schwangerschaft. Und dann kam
das fünfte große Ereignis — er lernte Matthew Boulton kennen. Das
war im Jahre 1773.
Matthew Boulton hatte eine Modellfabrik in Birmingham. Er
machte Uhren. Er war einer der gescheitesten Geschäftsleute seiner
Zeit. Er war ein Freund von Franklin, Wedgwood (Erfinder des
Steingutes) und Priestley (englischer Naturforscher). Er war ein
Organisator und ein vornehmer und tüchtiger Mann.
Dr. Roebuck schuldete Boulton 200 Pfund Sterling und Boulton
nahm zwei Drittel von Watts Patent in Zahlung. So übersiedelten im
Jahre 1774 Watt und seine Maschine von Glasgow nach
Birmingham. Jedermann machte sich über die Maschine lustig, als
sie im Wagen auf der Landstraße befördert wurde.
In diesem Jahre verdiente Watt 200 Pfund Sterling durch
Vermessungen. Einen Teil davon gab er Dr. Roebuck. Persönlich
gab er nicht mehr als zwei Pfund Sterling wöchentlich aus. Die
russische Regierung bot ihm 1000 Pfund Sterling das Jahr. Er sollte
eine angenehme Regierungsstelle in Kronstadt bekommen, aber er
lehnte ab. Er blieb Boulton und seiner Maschine treu.
Um diese Zeit stahl einer seiner Arbeiter die Zeichnungen der
Maschine und verkaufte sie einer anderen Firma. Das Ergebnis war:
Konkurrenz. Um sich zu schützen, mußte Watt sein Patent um
sieben Jahre verlängern lassen. Der große Burke hielt im Parlament
eine pathetische Rede gegen diese Verlängerung. Aber ohne
Wirkung.
Dann kam das sechste große Ereignis — Watt lernte Wilkinson
kennen, der es verstand, gute Zylinder zu machen.
Mit einem Male wurde die Wattsche Dampfmaschine praktisch
verwendbar.
Kohlenbergwerke sandten Bestellungen auf Pumpmaschinen.
Boulton ließ im ersten Jahre 65 bauen. Von dieser Zeit an war die
Dampfmaschine ein Erfolg.
Im Jahre 1802 schrieb ein Freund, namens Edgworth, an Watt und
sagte: »Warum nicht Dampf statt Postpferden? Warum nicht eine
Eisenschienenbahn?« Das war die erste Anregung für die
Dampfbahn.
Im nächsten Jahre bestellte Fulton eine Maschine von Boulton und
Watt, und im Jahre 1807 fuhr das erste Dampfschiff auf dem
Hudson. Um diese Zeit gab es schon viele Konkurrenten. Die
Rechtsstreitigkeiten häuften sich. Watt und Boulton gewannen zwar
diese Prozesse, aber sie waren sehr kostspielig. Ein Londoner
Anwalt verlangte eine Gebühr von 6000 Pfund Sterling.
Watt und Boulton waren 25 Jahre lang Teilhaber. Dann zogen sie
sich vom Geschäft zurück, und die Gesellschaft wurde von ihren
Söhnen fortgeführt.
Bis zum Jahre 1824 hatten Boulton und Watt 1164
Dampfmaschinen mit insgesamt 25945 PS. erbaut. Zur Zeit betragen
die Gesamtpferdekräfte der Dampfmaschinen ungefähr 200 000 000.
Das entspricht ungefähr der Kraft von 4 500 000 000 Männern.
 In seinen alten Tagen wurde Watt mit Ehren überschüttet. Er
erntete Reichtümer und Ruhm. Als er im Jahre 1819 in Heathfield in
Staffordshire starb, war er in der ganzen zivilisierten Welt bekannt.
Seinem Andenken wurde in der Westminster-Abtei eine
Gedenktafel errichtet. Lord Brougham verfaßte die Inschrift in den
edlen Worten:
»Er erweiterte die Hilfsquellen seines Vaterlandes ...
er erhöhte die Macht der Menschen ...«
Das ist die Geschichte von James Watt. Sie sollte nie vergessen
werden, solange das britische Weltreich besteht.
 Robert Clive.
Wenn wir fragen: »Wer hat das britische Weltreich aufgebaut?«,
dann ist die Antwort: »Viele haben daran gearbeitet, doch Clive am
meisten von allen.«
Das weite Indien mit seinen 325 Millionen Einwohnern — drei
Viertel des britischen Imperiums — wurde von einem Mann, ohne
irgendwelche Hilfe der britischen Regierung, dem Reiche
eingebracht.
Dieser eine Mann war Robert Clive — ein armer bürgerlicher
Junge aus Shropshire mit geringer Erziehung.
Er vollendete seine Tat ohne den Beistand von Geld, Einfluß oder
militärischer Ausbildung.
Er raffte einen Haufen Arbeiter und indischer Sepoys zusammen
und machte sie zu Eroberern eines Fünftels der bewohnten Erde.
Und als er dann dieses Fünftel der bewohnten Erde der britischen
Krone überreichte, wurde er vom Parlament als ein Kriegsgewinnler
getadelt.
Clive wurde 1725 in einem Shropshire-Dorf geboren. Sein Vater
war ein vergrämter Mann ohne Erfolge — halb ein Anwalt und halb
ein Farmer.
Als Junge war Bob Clive stets in Schwierigkeiten. Er war immer
der böseste Knabe des Dorfes; und jedermann meinte, er würde ein
schlimmes Ende nehmen.
Er war tapfer wie ein Bullenbeißer und von furchterregendem
Temperament. Er war immer in Kämpfen. Er organisierte die kleinen
Jungen des Dorfes und erhob Tribut von den Geschäftsleuten als
Bezahlung für den Schutz gegen andere Jungen.
 Einmal kletterte er auf den Kirchturm und ließ sich auf der
obersten Spitze nieder. Er war ein verwegener Junge und ein
geborener Kampfhahn. In der Schule war er vollkommen
unbrauchbar. Er versuchte eine nach der anderen, aber keine konnte
ihm Respekt abgewinnen. Er war das schwarze Schaf der Familie,
verachtet und abgelehnt von der ganzen Stadt.
So sandte der Vater in Verzweiflung den Achtzehnjährigen nach
Indien in ein Geschäft.
Der junge Clive erreichte Indien nach einer einjährigen Reise. Sein
Geld war verausgabt, er stak in Schulden. Sein Gehalt war kleiner
als das irgendeines Stenotypisten heute. Er logierte in einer kleinen
schäbigen Dachkammer.
Das war Clives erster Einzug in Indien.
Das erste, was er tat, war, ein Duell mit einem Bramarbas
auszutragen; das trug ihm sein erstes bißchen Ansehen ein.
Das zweite war, daß er sich mit dem Gouverneur anfreundete, der
eine gute Bibliothek hatte. Er erzog sich selbst, wie es fast alle
großen Männer tun.
Zu dieser Zeit dominierten die Franzosen in Indien. Auch die
Holländer waren einflußreich. Aber die Briten waren Außenseiter. Sie
wurden mehr als Hausierer angesehen.
Die Franzosen griffen das kleine Fort an, in dem Clive als
Angestellter arbeitete, und fingen jedermann, außer Clive: Der
sprang über einen Zaun und entkam.
Dies Ereignis begründete seine Karriere. Er wurde sogleich Soldat
und studierte militärische Taktik.
Vier Jahre später wurde er Hauptmann, organisierte 200
Engländer und 300 Sepoys — eingeborene Inder — und begann als
ein privater, selbständiger Abenteurer die Franzosen zu verjagen.
Er hatte Erfolg. Er stürmte ein französisches Fort und nahm es in
Besitz. Eine Armee von dreitausend Mann wurde gegen ihn
ausgesendet, aber er griff sie unter dem Schutze der Nacht an und
zersprengte sie.
 Eine zweite Armee von zehntausend Mann wurde aufgeboten, um
ihn zu überwältigen, aber er verschanzte sich, kämpfte fünfzig Tage
und siegte endlich durch einen Ausfall.
Er verschaffte sich weitere neunhundert Soldaten und vertrieb die
Franzosen aus Indien.
Nur ein junger Buchhalter von fünfundzwanzig Jahren — und nun
plötzlich der tüchtigste britische General!
Mit siebenundzwanzig Jahren kam er nach England zurück und
heiratete ein schönes Mädchen — Miß Maskelyne — die er liebte.
Seine Familie war erstaunt über seine Fortschritte. »Schließlich«,
grollte sein Vater, »hat der Bub doch etwas in sich.«
Clive war jetzt reich geworden. Er zahlte die Schulden seines
Vaters und rettete den Familienbesitz.
Zwei Jahre führte er ein lustiges Leben und gab sein Geld mit
vollen Händen aus. Er wurde in das Parlament gewählt, jedoch bald
wieder hinausgeworfen. Eine Parteiabstimmung brachte ihn um
seinen Sitz.
Er fing an, zu erfahren, wie England jene zu behandeln pflegt, die
seine Größe begründet haben.
Bald war sein ganzes Geld ausgegeben, und mit dreißig Jahren
ging er nach Indien zurück. Er wurde Gouverneur in der
Ostindischen Gesellschaft.
Er kam gerade rechtzeitig zurück, um die tragischen Neuigkeiten
des »Black Hole« (Das schwarze Loch) von Kalkutta zu hören. Ein
bengalischer Nabob hatte 146 Engländer in einen Kerker von
zwanzig Quadratfuß geworfen. Nur dreiundzwanzig überlebten es.
Clive wartete nicht auf Befehle oder auf die Unterschrift formeller
Anordnungen. Er ging sofort zur Tat über. Er sammelte dreitausend
Leute und griff den Nabob an. Der Nabob hatte eine Armee von
achtundfünfzigtausend. Es kam zu einer heftigen Schlacht, in der
19 : 1 gegen Clive standen.
 Clive zog sich nicht etwa zurück, um in gewandtem literarischen
Stil ein Buch zu schreiben und die Technik seiner Niederlage zu
begründen.
Er nahm den Kampf auf und siegte. Er zerschmetterte die Armee
des Nabob. Sie hatte Elefanten in ihrer Front, die bei ihrer Umkehr
und Flucht die eigenen Massen der Eingeborenen niedertraten.
Das war die Schlacht von Plassey.
Der Nabob wurde gefangen und innerhalb einer halben Stunde
hingerichtet. Von diesem Augenblick an war Indien britisch.
Hätte Clive gewollt, so hätte er Kaiser von Indien werden können.
Er hätte seine Siege zu seinen eigenen Gunsten ausnützen, er hätte
eine Dynastie und eine Flagge begründen können.
Er tat es nicht. Wahrscheinlich kam ihm niemals der Gedanke. Er
fühlte sich als Engländer und er handelte für England.
Durch den Sieg von Plassey wurde er der Meister der Schätze von
Bengalen. Er hatte die Macht, sich ihrer zu bedienen, und er nahm
300 000 Pfund Sterling als einen fairen Tagelohn für eine faire
Tagesarbeit.
Eine zweite Armee von vierzigtausend Mann marschierte gegen
ihn auf. Er drillte seine kleine Schar von dreitausend Mann und
nahm die Schlacht auf. Wieder gewann er. Und wieder machte er
sich ein Vermögen.
Dann zogen die Holländer eine dritte Armee zusammen. Clive
zersprengte sie nach seiner Gewohnheit mit einer Handvoll
Engländer und Sepoys. Diese Schlacht machte ihn endgültig zum
Herrn von Indien.
Wieder kehrte er nach England zurück und wurde warm
aufgenommen. Er wurde zum Lord gemacht. Pitt nannte ihn einen
»vom Himmel gefallenen General«. Er lebte großartig in Berkeley
Square und hatte zwei Paläste auf dem Lande. Und das alles mit
vierunddreißig Jahren!
Sein Einkommen war 40 000 Pfund Sterling jährlich; aber er sorgte
sich wenig um Geld. Er war sehr freigebig. Das erste, was er tat,