Quantum-like Networks: An Approach

to Neural Behavior through their

Mathematics and Logic 1st Edition
Stephen A. Selesnick
Visit to download the full and correct content document:
https://ebookmeta.com/product/quantum-like-networks-an-approach-to-neural-behavi
or-through-their-mathematics-and-logic-1st-edition-stephen-a-selesnick/
More products digital (pdf, epub, mobi) instant
download maybe you interests ...

Primary Mathematics 3A Hoerst

https://ebookmeta.com/product/primary-mathematics-3a-hoerst/

Quantum Mechanics: Axiomatic Approach and Understanding

Through Mathematics. Volume 1 1st Edition Tapan Kumar
Das

https://ebookmeta.com/product/quantum-mechanics-axiomatic-
approach-and-understanding-through-mathematics-volume-1-1st-
edition-tapan-kumar-das/

Quantum Computing A pathway to quantum logic design 2nd

Edition Hafiz Md Hasan Babu

https://ebookmeta.com/product/quantum-computing-a-pathway-to-
quantum-logic-design-2nd-edition-hafiz-md-hasan-babu/

Einsteins Quantum Error An Approach to Rationality 1st

Edition Simon Altmann

https://ebookmeta.com/product/einsteins-quantum-error-an-
approach-to-rationality-1st-edition-simon-altmann/
Neural Assemblies An Alternative Approach to Classical
Artificial Intelligence Günther Palm

https://ebookmeta.com/product/neural-assemblies-an-alternative-
approach-to-classical-artificial-intelligence-gunther-palm/

State of the Art in Neural Networks and Their

Applications: Volume 1 1st Edition Ayman S. El-Baz

https://ebookmeta.com/product/state-of-the-art-in-neural-
networks-and-their-applications-volume-1-1st-edition-ayman-s-el-
baz/

Quantum Computing: An Applied Approach Hidary

https://ebookmeta.com/product/quantum-computing-an-applied-
approach-hidary/

Quantum Communication, Quantum Networks, and Quantum

Sensing 1st Edition Ivan Djordjevic

https://ebookmeta.com/product/quantum-communication-quantum-
networks-and-quantum-sensing-1st-edition-ivan-djordjevic/

Machine Learning with Neural Networks: An Introduction

for Scientists and Engineers Bernhard Mehlig

https://ebookmeta.com/product/machine-learning-with-neural-
networks-an-introduction-for-scientists-and-engineers-bernhard-
mehlig/
 Quantum-like
Networks
An Approach to Neural
Behavior through their
Mathematics and Logic

12975 9789811260698 tp.indd 1 11/4/22 8:44 AM

 Other World Scientific Titles by the Author

Quanta, Logic and Spacetime: Variations on Finkelstein’s

Quantum Relativity
ISBN: 978-981-02-3255-9

Quanta, Logic and Spacetime

Second Edition
ISBN: 978-981-238-691-5

Shaun - 12975 - Quantum-like Networks.indd 1 25/7/2022 9:07:59 am

 Quantum-like
Networks
An Approach to Neural
Behavior through their
Mathematics and Logic

| Stephen A Selesnick
University of Missouri-St Louis, USA

World Scientific
NEW JERSEY • LONDON • SINGAPORE • BEIJING • SHANGHAI • HONG KONG • TAIPEI • CHENNAI • TOKYO

12975 9789811260698 tp.indd 2 11/4/22 8:44 AM

 Published by
World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
5 Toh Tuck Link, Singapore 596224
USA office: 27 Warren Street, Suite 401-402, Hackensack, NJ 07601
UK office: 57 Shelton Street, Covent Garden, London WC2H 9HE

Library of Congress Cataloging-in-Publication Data

Names: Selesnick, S. A. (Stephen Allan), author.
Title: Quantum-like networks : an approach to neural behavior through their
mathematics and logic / Stephen A Selesnick.
Description: 1st. | New Jersey : World Scientific, [2023] |
Includes bibliographical references and index.
Identifiers: LCCN 2022017522 | ISBN 9789811260698 (hardcover) |
ISBN 9789811260704 (ebook for institutions) | ISBN 9789811260711 (ebook for individuals)
Subjects: LCSH: Neural networks (Neurobiology)--Mathematical models. |
Quantum systems. | Quantum computing.
Classification: LCC QP363.3 .S35 2023 | DDC 612.8--dc23/eng/20220720
LC record available at https://lccn.loc.gov/2022017522

British Library Cataloguing-in-Publication Data

A catalogue record for this book is available from the British Library.

Copyright © 2023 by World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.

All rights reserved. This book, or parts thereof, may not be reproduced in any form or by any means,
electronic or mechanical, including photocopying, recording or any information storage and retrieval
system now known or to be invented, without written permission from the publisher.

For photocopying of material in this volume, please pay a copying fee through the Copyright Clearance
Center, Inc., 222 Rosewood Drive, Danvers, MA 01923, USA. In this case permission to photocopy
is not required from the publisher.

For any available supplementary material, please visit

https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/12975#t=suppl

Desk Editor: Shaun Tan Yi Jie

Typeset by Stallion Press

Email: enquiries@stallionpress.com

Printed in Singapore

Shaun - 12975 - Quantum-like Networks.indd 2 25/7/2022 9:07:59 am

July 18, 2022 15:9 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-fm page v

NETWORK: Any thing reticulated or decussated, at equal

distances, with interstices between the intersections.

Samuel Johnson (1709–1784)

A Dictionary of the English Language (1755)

Pay attention to the chatter we use to convince someone of

the truth of a mathematical proposition. It sheds light on the
function of these beliefs. I mean the chatter with which the
intuition is awakened. By which, that is to say, the machine
of a computing technique is set in motion.

Ludwig Wittgenstein (1889–1951)

Remarks on the Foundations of Mathematics
(From III, §27, 1942, translated by the author.)

Even if a minefield or the abyss should lie before me, I will

march straight ahead without looking back.

Zhu Rongji (1928– )

Une simple largeur apparaı̂t comme profondeur pour ceux qui

sont allongés.
(Mere width appears as depth to those who are supine.)

Simplicien de Forcenex du Resnell-Trémoille

(1758–1810)
(Translated by Haifa Nouaime.)
 B1948 Governing Asia

This page intentionally left blank

B1948_1-Aoki.indd 6 9/22/2014 4:24:57 PM

July 18, 2022 15:9 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-fm page vii

For

Robert A. Taylor

doctor mirabilis and savior of networks

and

Joe Z. Tsien

seeker and finder indomitable

 B1948 Governing Asia

This page intentionally left blank

B1948_1-Aoki.indd 6 9/22/2014 4:24:57 PM

July 18, 2022 15:9 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-fm page ix

Introduction

This work was inspired essentially by the old question of whether or

not brains compute. And if they do, what is it they compute and how
do they do it? On the way to this goal, whether or not it has been
reached — please see Chapter 4 in this connection — many other
issues arose.
It is aimed at: mathematicians, physicists, computer scientists,
and philosophers with an interest in the topics discussed; mathemati-
cians with an interest in extensions of the range of applicability of
mathematical resources apparently not previously so exploited; and
neuroscientists and psychologists with strong mathematical leanings.
This having been said, let me assure the potential reader that
almost no background in quantum physics, logic, network theory,
computation or neuroscience is required for a reading of this work. A
slight exposure to the basics of quantum mechanics and logic would
be an advantage but, apart from requiring a knowledge of linear
algebra, an effort has been made to render the work essentially
self-contained. Where it is not, full references to the literature are
supplied. Other than a knowledge of linear algebra, all that is
required is an appreciation of the power of formalisms such as those
to be found here.
We start from first principles, namely a logical take on very
complex systems such as those found in living organisms. Our
particular approach to the logic of such systems, while not entirely
without precedent in its general philosophy, seems in detail to be

ix
July 18, 2022 15:9 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-fm page x

x Quantum-like Networks

new. The logic that results is close to the familiar Boolean logic
of the classical neural net model of McCulloch and Pitts, differing
from it in one respect only, namely in that disjunction does not
distribute over conjunction (and, necessarily, vice versa). This has
the consequence that disjunction in the logic is not truth functional:
the proposition p OR q may be valid without either p or q being
valid. Here OR is the disjunction in the logic at hand. It is this
property that is characteristic of the logic of the quantum world and
the sole reason we have used the term quantum-like to describe our
networks. To this property may be ascribed most of the discomfort
experienced by classical thinkers when confronting actual quantum
theory. Disjunction manifests in that theory as quantum superpo-
sition, and is responsible for all the apparent puzzles associated
with Schrödinger’s cat, the entanglement of quantum states, etc. In
quantum theory proper, these apparent conundrums followed from
Heisenberg’s formulation of “matrix mechanics” in 1925 and led to a
revolutionary new ontology that is still provoking head scratching
among sensitive physicists. In stark contrast to actual quantum
theory, the quantum-like properties of our model do not require
any new ontologies: rather they manifest in mundane ways, such as
parallelism of computation, and constraints upon probable outcomes.
(It is the aspect of extreme parallelism that lies behind the quest for
a quantum computer.)
Our models follow the tradition of the original McCulloch and
Pitts neural networks in that they are a mix of physical attributes
(the information handling attributes of the nodes) and the logic
associated with the global structure (Boolean, in the classical case).
In our case, both the physics-like attributes and the structural logic
are quantum-like. The physics-like attributes similarly invoke the
internal structure of the ensemble of nodes while the quantum-
like logic invokes the outer structural attributes. The physical
analogue turns out to be a finite (but large) collection of fermion-
like quanta, while the outer logic is a form of computational logic
named for Gentzen. These two approaches to the same object(s)
intermingle in interesting ways. For example, it turns out that our
model is able to simulate the operation of non-synaptic signaling
July 18, 2022 15:9 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-fm page xi

Introduction xi

or connection modes, such as those implemented in actual brains

via neurotransmitters and other substrate media, albeit in a rather
general way. Such modes of substrate connection in actual brains are
of course crucial to their function.
The table of contents displays the nature and course of the work,
which is linear, with no footnotes, though there are digressions here
and there. Each chapter after the first depends to a greater or lesser
extent on results in the preceding chapter. The first chapter is rather
more technical than a foundational chapter usually is. As explained
there, it is necessary to rigorously rehearse the logical background,
though the details may not be necessary for an understanding of the
arguments to follow. For this reason most of the proofs and definitions
required are relegated to an appendix explicitly to Chapter 1 (namely
Appendix A). A reader not interested in these particular details may
trip lightly over them: a guide for such a reader is supplied in the
introduction to this first chapter.
The first three chapters develop the network model itself, while
the second three develop applications of it.
Most of the chapters stay close to the model. An exception is the
last chapter, Chapter 6. This entails an excursion somewhat beyond
the strict confines of the model. It deals with a conjectured general
syntax of retrieval that may underlie the syntax of human language
as a special case. This is applied to the question of why we humans
are the only primates to have innate recursive language, and to the
uncovering of a language deficit that has been found to characterize
the speech of schizophrenic patients. As with most journeys over thin
ice — particularly well-trodden thin ice — I have thought it prudent
to keep this one short.
There is a second appendix (Appendix B) which rehearses
some topics from multilinear algebra which are fundamental to the
models.
A disclaimer: what this work is not about. It is not about
Artificial Intelligence, Deep Learning, nor any of the traditional
applications of artificial neural nets. Although it may be hoped that
there could be practical applications of these results in time, this aim
was not the original impetus behind the work.
July 18, 2022 15:9 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-fm page xii

xii Quantum-like Networks

Acknowledgments
My thanks, above all, to Nadine Castro, whose depth of knowledge
and insight first primed my interest in the logic of brains.
I will be forever unable to fully discharge a debt of gratitude
to Robert A. Taylor MD, and the Santa Barbara Cottage Hospital
staff, whose extraordinary skill and quick action saved my own neural
networks from a fate not modeled in this work, and without which
nothing would have been modeled in it.
A truly profound debt of gratitude is owed also to Joe Z.
Tsien, whose penetrating insight, beautiful experiments and patient
tutelage of a tyro was — and remains — a major inspiration.
An enormous debt of gratitude is owed to Felicitas Ehlen for a
very long and very illuminating correspondence, which was directly
responsible for Chapter 6, though any errors are mine alone.
I am tremendously grateful to many others whose help was
instrumental. These include my collaborators on earlier work on
some of the material treated here, namely: Gareth Owen, Gualtiero
Piccinini and John Piers Rawling.
To legions of anonymous referees I extend my warmest thanks
and apologies.
My no less grateful thanks for much additional help and insights,
in the form of generous correspondence or word of mouth, to: C.
Anthony Anderson, Wallace Arthur, Sonya Bahar, Jasper Brener,
Peter Bruza, Nadine Castro, Felicitas Ehlen, Ortwin Fromm, James
Hartle, Miriam Munson, Ronald Munson, Emmanuel Pothos, and
Robert A. Taylor.
To Ivan Selesnick for manifold forms of help over a period of
years — editorial, mathematical, biomedical and typographical —
my grateful thanks. He is also responsible for Figure 5.4. My thanks
to the multitalented polyglot Haifa Nouaime for her meticulous
translations from the French of the Proust passage in Chapter 4,
and elsewhere, and lessons in Arabic for Chapter 6.
The typesetting would have been impossible without the use of
the splendid LaTeX editor Texpad. My thanks to the Texpad team:
Jawad Deo and Duncan Steele.
July 18, 2022 15:9 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-fm page xiii

Introduction xiii

With the exceptions of Figures 5.2, 5.3 and 5.4 the diagrams
were made with the superb general drawing program OmniGraffle.
My thanks to the Omni Group for this remarkable program.
To say that the literature on almost every neuroscientific, logical,
linguistic and biolinguistic topic touched upon here is oceanic would
be a vast understatement: galactic would be a more appropriate
descriptor. Consequently, I must beg the forgiveness of those mul-
titudes whose work should have been cited but has been overlooked.

My multimodal thanks to Shaun Tan Yi Jie of World Scientific

for his apparently limitless patience and generous help.

S. A. S.
Santa Barbara, California, USA
March 30, 2022
 B1948 Governing Asia

This page intentionally left blank

B1948_1-Aoki.indd 6 9/22/2014 4:24:57 PM

July 18, 2022 15:9 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-fm page xv

About the Author

Dr. Stephen A. Selesnick is Professor Emer-

itus at the Department of Mathematics, Uni-
versity of Missouri–St. Louis, USA. He holds
a PhD in Mathematics from the University of
London, UK, and has over 50 years of experi-
ence in teaching and research. His area of inter-
est is in cross-discipline interactions both within
mathematics and outside of it. Thus his early
work was on applying algebraic and topological
methods in analysis, quantum logic, lattice theory, etc., and later
to such things as surface definitions in CAD/CAM. Subsequently he
became interested in physics, and worked in quantum field theory
and applications to elementary particles. An attempt to build on the
work of the late David Finkelstein led to a monograph in 2 editions,
Quanta, Logic and Spacetime, purporting to derive the Lagrangians
of fundamental physics from first principles. Some of this led to work
on quantum computing and the logical provenance of the Lagrangians
of the fundamental forces and gravity. More recently he has become
interested in the mathematics of neural networks, particularly their
mysterious quantum-like aspects.

xv
 B1948 Governing Asia

This page intentionally left blank

B1948_1-Aoki.indd 6 9/22/2014 4:24:57 PM

July 18, 2022 15:9 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-fm page xvii

Contents

Introduction ix

About the Author xv

Notes to the Reader xxiii

Part I: Logic and networks 1

Chapter 1. Logical Foundations 3

1.1 Irredeemable complexity: Biological systems . . . .. 4
1.2 The doctrine of hidden variables . . . . . . . . . . .. 6
1.2.1 Proximity and orthogonality spaces,
ortholattices and the emergence
of orthologic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7
1.2.2 Orthologic and some of its models . . . . .. 10
1.3 Quantum-like behavior in the modal models . . .. 18
1.3.1 The hallmarks of quantum-like behavior,
Born’s Law and the manifestations of
superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25
1.4 Quantum-like vs. non-quantum-like behavior
in the models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
1.4.1 The crucial difference: Greetings
from Limbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
1.4.2 Parameter windows . . . . . . . . . . . . . . .. 31

xvii
July 18, 2022 15:9 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-fm page xviii

xviii Quantum-like Networks

Chapter 2. Neuronal Networks 42

2.1 Neurons: Structure and function . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Quantum-like networks and their combinations . . . 46
2.2.1 Standard neural networks . . . . . . . . . . . . 46
2.2.2 Combinations of networks and their state
spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.3 The tensor product ⊗ . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.4 The external direct sum ⊕ and
multimodality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3 The bicameral neuron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.1 Bicameral networks . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3.2 Multimodal nodes . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.3 CAVEAT! Tensor products of b-network
state spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3.4 Relabeling the nodes of an external
direct sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4 Bicameral network dynamics . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.1 Derivation of the pseudo-Hamiltonian for
a b-network . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.4.2 Firing patterns and eigenstates . . . . . . . . 82
2.4.3 A pair of toy b-networks . . . . . . . . . . . . . 87
2.4.4 Symmetry promotes stability . . . . . . . . . . 89
2.5 Remarks on the nature of the substrate
connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.5.1 The significance of the exterior
product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.5.2 Probing the exterior product
connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.6 Multimodal b-networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.7 Digression: Spin, the Hopfield model and
a free-floating tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.7.1 The Jordan-Wigner paradigm . . . . . . . . . 99
2.7.2 A mathematical subdigression . . . . . . . . . 100
July 18, 2022 15:9 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-fm page xix

Contents xix

Chapter 3. The Logic of Many Networks 102

3.1 Natural deduction . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 103
3.1.1 A minimal system . . . . . . . . . . . . ..... 103
3.2 The Gentzen sequent calculus . . . . . . . . . ..... 110
3.2.1 Linear Logic and the minimal
system GN . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 113
3.2.2 Interpretation of the calculus in the
category of finite dimensional
vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . ..... 122
3.2.3 A model for the ! operator in the
category VF,k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.2.4 The logical interpretation of storage . . . . . 126
3.2.5 Modes of connection I . . . . . . . . . . . . . . 129
3.3 Timing sequents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.4 Digression: A translation theorem . . . . . . . . . . . 139

Part II: Applications 143

Chapter 4. Memory-like Processes 145

4.1 The fragility of connections . . . . . . . ........ 146
4.1.1 The onset of Long Term
Potentiation (LTP) . . . . . . . . ........ 147
4.1.2 Early LTP . . . . . . . . . . . . . . ........ 150
4.1.3 Extrasynaptic connections and
Hebb redux . . . . . . . . . . . . . ........ 152
4.1.4 Modes of connection II: White
matter tracts . . . . . . . . . . . . ........ 156
4.2 Memory and retrieval . . . . . . . . . . . ........ 158
4.2.1 Context formation and pattern
completion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.2.2 Gestalts I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.2.3 Retrieval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
July 18, 2022 15:9 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-fm page xx

xx Quantum-like Networks

Chapter 5. Tsien’s Theory of Connectivity 171

5.1 The view from GN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.1.1 Digression: How many black squares? . . . . 181
5.2 The interaction Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.3 Inside the FCM for a single input . . . . . . . . . . . 185
5.4 The case of more than one stimulus . . . . . . . . . . 198
5.4.1 Multimodal b-neurons in the FCMs . . . . . 205
5.4.2 Cyclicity in a special case . . . . . . . . . . . . 206
5.4.3 Digression: Dopaminergic (DA) cells . . . . . 207
5.5 The time course in verbal fluency . . . . . . . . . . . . 208
5.6 Forgetting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.6.1 Failure of retrieval I: ⊗ may not be
implementable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.6.2 Failure of retrieval II: Neurogenesis . . . . . . 211
5.6.3 Loss of engrammatic cohesion in short term
memory loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.6.4 Longer term memory effects . . . . . . . . . . 222
5.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Chapter 6. A General Syntax of Retrieval 227

6.1 A minimal syntax circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.2 Multimodality, again . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.3 Gestalts II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.4 Cognitive syntactic atoms and molecules . . . . . . . 243
6.4.1 Syntax for firing patterns and tensors . . . . 245
6.4.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.4.3 General properties of the syntax . . . . . . . . 268
6.5 Language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
6.5.1 Neuroanatomy is linguistic destiny . . . . . . 275
6.5.2 Why Only Us . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.5.3 The failure of ⊗ and the language of
schizophrenia . . . . . . . . . . . . . . . . .... 282
6.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 284
July 18, 2022 15:9 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-fm page xxi

Contents xxi

Part III: Appendices 287

Appendix A: Appendix to Chapter 1 289

A.1 Some logical and mathematical results . ... ... . 289
A.1.1 Modal identities . . . . . . . . . . . ... ... . 289
A.1.2 Modal propositions . . . . . . . . . ... ... . 291
A.1.3 Ortholattices . . . . . . . . . . . . . ... ... . 292
A.1.4 Subsets of Rn \{0} . . . . . . . . . . ... ... . 301
A.1.5 Orthologic: Models, completeness and the
Modal Embedding Theorem . . . ... ... . 303

Appendix B: A Mathematics Primer 307

B.1 Some multilinear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
B.1.1 Tensor products . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
B.1.2 Exterior products . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
B.1.3 Exterior algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
B.1.4 The Plücker Embedding . . . . . . . . . . . . . 314
B.2 A note on convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Bibliography 318

Index 325
 B1948 Governing Asia

This page intentionally left blank

B1948_1-Aoki.indd 6 9/22/2014 4:24:57 PM

July 18, 2022 15:9 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-fm page xxiii

Notes to the Reader

Semantic Overloads
In cross-disciplinary studies such as this one, there often arises the
phenomenon of semantic overload: the same or similar words being
used with different technical meanings in different contexts. Our
subject is particularly prone to this source of confusion. To nip it in
the bud, we shall draw attention to these possibilities sooner rather
than later. To wit:
• Projection
This term is used in mathematics to describe certain operators
upon linear spaces, namely the ones that project every vector upon
a subspace of the space. In neuroscience a projection generally
refers to an axon or bundle of axons that extends from a neuron
or ensemble of neurons, to a neuron or ensemble of neurons at
some distance from the upstream neuron or neurons.
• Convergence
The mathematical notion is assumed to be familiar to the reader.
The neurological term generally applies to a number of axons
emanating from different neurons meeting at, or converging upon,
a common neuron.
• Proof
In addition to its usual usage, this term is also applied in the
area of proof theory as, epitomized by a Gentzen sequent calculus,
another word for deduction.

xxiii
July 18, 2022 15:9 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-fm page xxiv

xxiv Quantum-like Networks

• Category
There is a strict mathematical meaning to this term and a very
much less strict linguistic meaning to this term. We shall use both,
but the differences will be clear from the contexts.
• Clique
In graph theory a clique is formally defined as a graph in which
every pair of distinct nodes are adjacent, i.e. are at the ends of a
single edge. In Chapter 5 its usage is informal.
• Motif
There is a formal graph theoretic definition which we shall not
need in this work. In Chapter 5 its use is informal.
• State
The word “state” has many connotations in the case of both
classical and quantum-like systems. In classical systems states are
usually unambiguously sets of points or elements in some ambient
parameter space, such as the phase spaces of mechanics. In the
case of actual quantum theory the word “state” has an ostensibly
different connotation. A very general view of them is that they
are certain functions defined on certain lattices, or algebras of
operators: then deep theorems, such as that of Gleason, realize
a correspondence between certain of these states — the so-called
“pure” ones — and one-dimensional subspaces, or rays, in certain
Hilbert spaces. In Chapter 1 we shall pursue an entirely logical
approach to the issue of quantum-like behavior. The central class
of objects that arises is the class of ortholattices. Thanks to
the work of R. Goldblatt, and others, this apparently denatured
logical theory has sufficient structure to provide us with built-
in versions of “states” as elements of sets, and precise analogues
of the “pure states”, or one-dimensional subspaces (“rays”), of
actual quantum theory. More generally the logical structure deals
with “propositions” which are the precise analogues of the closed
subspaces of Hilbert spaces, which have the status of propositions
in echt quantum logic.
Further confusion is threatened when we come to our main
application, which is to “parameter windows” of complex systems:
namely, subsets of Euclidean spaces, which consist of actual
July 18, 2022 15:9 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-fm page xxv

Notes to the Reader xxv

vectors. We promise to be vigilant in sorting out these issues as

they arise.
At the outset, namely section 1.1, our use of the term “state”
(of a system) shall be in a specific colloquial sense as a set of
real parameters arranged in a list-like form, or vector. The linear
algebraic structure will then follow from our logical considerations.
The possible branching into quantum-like or classical behaviors
will follow.
Later we shall understand the term “state” to refer to the one-
dimensional subspace, or ray, determined by a vector. As noted,
there is a one-to-one correspondence between such rays and “pure
states”, namely the unit vectors generating the respective rays.

In cases where confusion is risked we will be careful to make

distinctions.

Some often used notation and terminology

• End of proof: 
• There exists: ∃
• For all: ∀
• Equal by definition: :=
• Transpose of the vector or matrix argument: In general ( )T , but
in the case of our creation operators on a real exterior algebra, for
reasons of tradition: ( )† . Thus a†i := aTi .
• Set complementation: ( )c
• Proportional to: ∝
• Natural log of ( ): ln( )
• Set difference: X\Y := X ∩ Y c
• Set element inclusions: we generally write for instance x, y, z, . . . ∈
S for individual element
 memberships x ∈ S, y ∈ S, z ∈ S, . . .
n n!
• Binomial coefficient: :=
k k!(n − k)!
• The field of real numbers: R
• The field of complex numbers: C
• If and only if: iff
• Injective (as in injective function or map): one-to-one
July 18, 2022 15:9 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-fm page xxvi

xxvi Quantum-like Networks

• Surjective (as in surjective function or map): onto

• Bijective: injective andsurjective
1 if i = j
• Kronecker delta: δij =
0 if i = j
• For vector spaces V and W , Hom(V, W ) will denote the vector
space of linear maps from V into W .
• For a vector space V over the field k, V ∗ will denote the dual space
of V , namely Hom(V, k).
July 18, 2022 12:52 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-ch01 page 1

Part I

Logic and networks

1
 B1948 Governing Asia

This page intentionally left blank

B1948_1-Aoki.indd 6 9/22/2014 4:24:57 PM

July 18, 2022 12:52 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-ch01 page 3

Chapter 1

Logical Foundations

There are few entries in the lexicon more abused than the word
“quantum.” It is one of the aims of this foundational chapter to
precisely elucidate why and how we came to use this term in the
context of a study of very complex systems such as those found in
living organisms. This we attempt here by rigorously rehearsing the
logic that arises when we try to cope with complexity by blocking
or ignoring the differences between states of such systems which
would produce negligibly discernible differences of effect. Roughly
speaking, we regard such states as being confusable if their effects
are indistinguishable. (We call this hiding the variables, which may
be a misnomer since it is the differences in the variables that we are
hiding.) We explain in this chapter how this leads to a quantum-
like logic, quite independently of any considerations of quantum
physics itself, except for the purposes of post facto comparisons
and interpretations. This ultimately reduces to a consideration of
subsets of Euclidean spaces from this point of view which will form
the basis of the neuronal network model introduced in subsequent
chapters.
For a purported introductory chapter this first chapter might
appear to be technically daunting, particularly to readers not
interested in the technicalities of the logic involved. For such readers
a guide will be provided in the last paragraph of this section.
The technical formalities are required, as mentioned, to justify the
unfortunate necessity for the use of the often faddish, abused and

3
July 18, 2022 12:52 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-ch01 page 4

4 Quantum-like Networks

possibly off-putting term quantum in quantum-like. Most of the

formalities in this chapter may otherwise be ignored when reading
the later chapters.
The layout of this chapter is as follows. In section 1.1 we
informally introduce the idea of a system with confusable states, such
as those that arise when considering the case of a biological cell, and
its logic. This is treated a little more formally in section 1.2.1. In
section 1.2.2 we develop the logic formally with most detailed proofs
and definitions relegated to the chapter’s appendix, Appendix A.
The main result in section 1.2.2 is the Modal Embedding Theorem
1.2.4 which is used in section 1.3 to analyze the two archetype
quantum paradigms, namely Schrödinger’s unfortunate cat and the
double slit experiment, entirely by means of the known B-modal
system of logic. This analysis, together with a theorem characterizing
the Booleanness of ortholattices, namely Theorem A.1.2, is used
in section 1.4 to establish in some generality distinctions between
quantum-like and non-quantum-like behaviors in our kind of system.
The final section 1.4.2 exhibits and discusses various examples of
the subsets of Euclidean spaces we have dubbed parameter windows:
namely, the subsets constituting the supposed ranges of the systems’
parameter values. Our further applications will be limited to the last
such example, Example 5.
An attempt has been made to supply as much logical detail and
background as possible where necessary in this chapter. However,
only the last example is actually needed for what follows. Here
is a possible tour through the chapter for readers not interested
in the logical details: sections 1.1, 1.2.1, as much as possible of
section 1.3, which is particularly important for our applications to
follow, section 1.4, and a glance at the examples in section 1.4.2,
particularly Example 5: we are interested in parameter windows with
non-Boolean proposition lattices, typified by that example.

1.1 Irredeemable complexity: Biological systems

As noted, our model is based upon a possibly novel approach to
dealing with extreme complexity. By way of example let us consider
July 18, 2022 12:52 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-ch01 page 5

Logical Foundations 5

first the case of a single biological cell, prokaryotic or eukaryotic.

It consists, roughly speaking, of a bi-lipid membrane, studded with
receptors made of complex proteins, enveloping a complex fluid
containing more proteins and other complex molecules such as RNA,
DNA, organelles, cytostructures, etc. All of these are in a state of
continuous and complex motion, involving diffusion in the fluid itself,
along with the concomitant meeting and interaction of proteins and
enzymes entailing the folding and unfolding of the proteins, their
capture and release of phosphate groups, etc., which constitute the
allosteric computations of unicellular life.
The specification of a state of such a cell at some point in
time would entail some sort of numerical encoding into strings or
vectors of real numbers of the variables parametrizing such things
as chemical concentrations, temperature and pressure gradients,
membrane voltages, the geometry and topology of the ever-changing
protein complexes, the dynamics of the fluid medium, and so on.
It would require a vector of real numbers with millions if not
billions of entries. It is reasonable to suppose that there would
be essentially little discernible or practical difference, when viewed
from the outside, between one such state and another in which a
relatively few of these microscopic variables are different. Thus, two
such vectors could be far apart in Euclidean space, but negligibly
different, or confusable insofar as the cell’s behavior is concerned.
For instance, vectors with billions of entries could have hundreds or
thousands of differences and still be confusable. (Such tolerance of
relatively small changes in its states would be a selective advantage
to an organism). We shall regard this sort of confusability of states
to be tantamount to the hiding of the variables involved, since their
small variations are effectively suppressed.
The same idea applies mutatis mutandis to large conglomerations
of cells such as those found in brains. The human brain is estimated
to contain on average 1011 neurons. Later, in Chapter 2 we shall start
the construction of our neuromorphic model at this level, thinking
of the principal neurons as being the computational units and the
confusable states as being those of a large collection of such neuron-
like elements.
July 18, 2022 12:52 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-ch01 page 6

6 Quantum-like Networks

In this foundational chapter we shall pursue the logic of such

systems in some detail. Systems of this type, some of whose internal
states are not easily distinguished one from another by quiescent
external observers as above, obey a variant of ordinary Boolean
logic, called orthologic (OL). This logic has quantum-like attributes:
actual quantum theory is surely not a theory of hidden variables,
but a theory of hidden variables may be quantum-like and ours
is one of those. Specifically, OL differs from ordinary logic in one
respect only: namely the distributive law does not necessarily obtain.
As a consequence the disjunct (OR, written  in this logic) is
not truth functional. That is to say, the proposition p  q could
be true without either p or q being true. This and some of the
properties that follow from it are the essence of the quantum-like
behavior such systems may exhibit and are the source of much
of the disquiet experienced by classical thinkers when confronted
by actual quantum theory. In the models of the logic of interest
to us, this non-classical disjunct is realized as the superposition
of states. Essentially, this process of hiding variables has traded
their irredeemable complexity for the process of superposing states.
Despite the fact that superpositions entail a continuum of possible
states between those superposed, we contend that this trade is more
than fair. For, although the quantum-like structure that emerges
is not actual quantum mechanics, we have had enough experience
of actual quantum mechanical paradigms to be able to extract
meaningful information from the new setup.

1.2 The doctrine of hidden variables

The idea of hidden variables underlying actual quantum physics is
anathema to most physicists. Subtle experiments thwart the idea that
there are unknown but basically objective mechanisms underlying
actual quantum physics. However, as we shall argue in this chapter
and its sequels, for complex systems hiding the actual variables
seems to be a good idea, and leads immediately to a logic and
phenomenology very like actual quantum theory.
July 18, 2022 12:52 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-ch01 page 7

Logical Foundations 7

1.2.1 Proximity and orthogonality spaces,

ortholattices and the emergence of orthologic
Our interest is in systems whose sets of states may be characterized as
proximity spaces. A proximity space W, ≈  is a set W with a relation
≈ on it having the properties: reflexivity (for w ∈ W , w ≈ w) and
symmetry (for w, v ∈ W , w ≈ v iff v ≈ w). Such a relation, called
a proximity, is not generally transitive. Note that identity, =, is a
proximity on any set. A proximity relation has the informal intuitive
reading: v ≈ w iff the state v is confusable with the state w in
the absence, say, of a direct observation or measurement. In other
words, in the absence of any interference (such as a measurement),
if such a system can be surmised to be in the state v, it may as
well, for all intents and purposes, be surmised to be in the state
w, and conversely. (For other similar interpretations and examples,
see [11].)
This confusability of elements of W will now affect the practical
operational matter of assembling subsets of W . If the proximity were
identity, =, then a subset E is trivially assembled from its elements
as

E= {v} (1.2.1)
v∈E

= {w ∈ W : w = v} (1.2.2)
v∈E

= {w ∈ W : ∃ v ∈ E such that w = v}. (1.2.3)

In the case of a general proximity, ≈, this must be replaced by
{w ∈ W : ∃ v ∈ E such that w ≈ v} =: ♦E. (1.2.4)
This is the set constructible out of the elements of E to within the
limits of confusability. Within the operational dictates of confusabil-
ity, this is the closest to the set E one can get by assembling its
elements. (Note that E ⊆ ♦E.) So the rule for reconstructing a
subset E to within the limits of confusability is to place the modal
“possibility” operator ♦ in front of it: ♦E. In the modal context these
July 18, 2022 12:52 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-ch01 page 8

8 Quantum-like Networks

are the elements that are “possibly” in E. Cf. the discussion of the
B-modal system in section 1.2.2.
Since, in the case of the identity proximity (and denoting set
complementation by the superscript c) we have
E c = {w ∈ W : ∃ v ∈ E such that w = v}c , (1.2.5)
this becomes the subset (♦E)c . So, in the general case, and within the
limits of confusability, we obtain, as the proper reconstruction of ( )c
according to the rule above, which entails placing the ♦ operator
in front of the set to be constructed “up to confusability,” the
subset
(♦E) := ♦(♦E)c (1.2.6)
as the proper generalization of the Boolean complementation oper-
ation. For a proximity space W, ≈ the sets of the form ♦E, for
E ⊆ W , were shown by J. L. Bell [10, 11] to constitute a complete
ortholattice, with join being the ordinary set union, the concomitant
meet of two elements ♦E and ♦F being the largest subset of the
form ♦( ) contained within ♦E ∩ ♦F , and the complement given by
( ) . An ortholattice is essentially a lattice with all the properties
of a Boolean algebra except the distributive law: cf. Appendix A,
section A.1.3 for definitions and first properties. Bell calls this
lattice the lattice of “parts” of W, ≈ and we shall follow him
in denoting it by Part W since the proximity relation will never
be ambiguous. (See Definition A.1.5 for more on the meet in this
lattice.)
In the case in which the proximity is just =, then the lattice of
parts is just the Boolean algebra of all subsets of W . The “associated”
logic is what is known as the Propositional Calculus (PC) and the
association is that Boolean algebras provide models for the logic, in
the logical sense explained in section 1.2.2. There is a similar logic,
mentioned above, that is modeled by the class of ortholattices: it is
called orthologic (OL). It is a logic strictly weaker than standard
PC, meaning that everything and more that can be proved in OL
can be proved in PC. The difference is that OL does not require the
presence of the distributive law.
July 18, 2022 12:52 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-ch01 page 9

Logical Foundations 9

The upshot is that the proper logic of propositions that deal

“operationally” with the systems we are interested in, which gener-
alizes ordinary PC in the Boolean case, is OL. Consequently we shall
adopt OL as our overarching logic when dealing with the systems of
interest to us here.
We shall therefore need first to rehearse the relevant material
on this logic and its model theory. The logical machinations of
this chapter are in service to the justification of the choice later of
the extended spaces of states which form the basis of our network
models. Some more logic, though of a different kind, will appear
in Chapter 3 and its sequels. This “external” computational logic
is simpler and our purely logical applications of it will be rather
rudimentary. (The non-logical applications will be less rudimentary,
though all mathematical background will be supplied.) A computable
version of the logic OL is embeddable into this latter logic: a proof
of this will given in the digressionary last section, section 3.4, of
Chapter 3, which may be skipped.
The following diagram charts the logical development described
in this chapter.

Irredeemable complexity
hiding the variables not hiding the variables

generalizing
Proximity spaces Sets of states
out of which are constructed out of which are constructed

generalizing
Parts: E subsets: E
constituting constituting

generalizing
Ortholattices Boolean algebras
modeling modeling

generalizing
Orthologic (OL) Propositional Calculus (PC)

The logic involved in the classical neural networks, such as those

of MacCulloch and Pitts and their many descendants, and indeed
several precursors, is the one described by the rightmost column in
July 18, 2022 12:52 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-ch01 page 10

10 Quantum-like Networks

the diagram above. Our approach follows the leftmost column. It

should be noted that we formulate no hypotheses concerning the
origin or root cause of the “confusability” giving rise to our adoption
of a proximity other than identity. Some or all of it could have arisen
from actual quantum effects, such as those postulated to arise from
the actual physics and chemistry of such things as microtubules or
certain molecules, and other more general field-like effects: all of these
would be covered by our orthological considerations. Similarly, the
more recent neuromorphic models, involving complex new solid state
materials and memristor-like circuits, would also be covered by these
considerations.

1.2.2 Orthologic and some of its models

As mentioned above, OL, which is in fact the core logic underlying
echt quantum logic, is a weakening of ordinary PC: one assumption
is dropped, namely that conjunction distributes over disjunction,
or equivalently, vice versa. It is perhaps surprising that the simple
extension of Boolean logic to the non-distributive case should lead
to a plethora of models, at least two of which lend themselves to
quantum-like semantics. This writer knows of at least four such
models, three of which we shall touch on here. In the Boolean
case, they all collapse into one, namely the models provided by
the category of Boolean algebras. The model we shall be aiming
at involves modal logic, and we shall sketch this development
here, relegating mathematical and logical details, where possible, to
Appendix A.
In 1974 Goldblatt [41] introduced a deductive system for OL and
proved completeness theorems for it in terms of certain models. These
theorems are of the following type. A logical system may be specified
by adopting a set of axioms and then deriving correct formulas,
that is, “theorems,” from these via sequences using specified rules
of inference. If “models” exist for such a system then the validity
of a formula may be defined in terms of conditions satisfied by
the formula vis-à-vis the model. Then a completeness theorem
would establish the equivalence of theoremhood via sequences of
inferences (or provability) and validity in terms of the model. We
July 18, 2022 12:52 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-ch01 page 11

Logical Foundations 11

shall here adopt the policy that the former type of assertion shall
be symbolized by a simple turnstile ( ), usually bearing a subscript,
while the model-based validity assertion shall be symbolized by a
more elaborate turnstile ( , |=).
For example, ordinary PC may be characterized by morphisms
of formulas into Boolean algebras: the completeness theorem in this
case asserts that a formula is provable in PC if and only if its
image under any morphism into any Boolean algebra is the top
element. There is a similar completeness theorem for intuitionistic
logic (IL) with Boolean algebras being replaced by Heyting lattices.
Goldblatt proved a similar completeness theorem for OL, the target
lattices in this case being ortholattices. (Since Boolean algebras are
ortholattices it follows immediately from the respective completeness
theorems that any orthotheorem is also a theorem of PC, but clearly
not conversely: OL is strictly weaker than PC). As noted, in the OL
case the model theory bifurcates in the sense that there is another
kind of model that also characterizes OL, namely a Kripkean one.
From the existence of such models, one finds a different sort of
semantics arising solely from the peculiarities of disjunction, and
it is this semantics that mimics quantum behavior. This is because
in the case of the slightly stronger quantum logic itself, disjunction
is exactly “quantum” superposition, the nexus of most if not all of
the puzzlements classical thinkers experience when confronted with
quantum theory. The existence of these Kripkean models of OL led
Goldblatt to realize that OL itself may be embedded into a well-
studied modal system, namely the B-modal system of Becker [9], B
for “Brouwersche,” which well predates the advent of quantum logic
in 1936 [13]. The same result was obtained almost simultaneously but
independently by Dishkant [28]: see also [24]. The associated Kripke
models for this B-system also provide a semantics for probing the
anomalies of disjunction and it is these we shall focus on, since this
system is well known, and reveals the quantum-like behavior clearly
and simply. In this section we shall give a simplified sketch of the
path to the Modal Embedding Theorem for OL, leaving the details
to Appendix A. (Cf. also [76, 81, 82].)
July 18, 2022 12:52 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-ch01 page 12

12 Quantum-like Networks

Goldblatt’s realization of OL as a deductive system may be

described as follows. The atoms, or primitive symbols, are
(i) a denumerable collection Φ0 of propositional variables a1 , a2 , . . .;
(ii) the connectives ∼ (“negation”) and (“conjunction”); and
(iii) parentheses.
The set Φ of well-formed orthoformulas is constructed from these
in the usual manner. Elements of Φ will be denoted by lowercase
Greek characters α, β, . . ., usually taken from the beginning of the
alphabet. We shall generally try to reserve characters at the end of
the Latin alphabet for elements of sets of various kinds.
Since there is no implication sign in Φ, a formal deductive
calculus is based on sequents involving at most single formulas and
written in the form
α β (1.2.7)
for α, β ∈ Φ, the reading of which is that β may be inferred from α.
Certain sequents are designated as axioms, and there are three rules
of inference, namely, for any formula α, β:

Axioms
O1. α α
O2. α β α
O3. α β β
O4. α ∼∼ α
O5. ∼∼ α α
O6. α ∼α β

Inference Rules
α β β γ
O7.
α γ
α β α γ
O8.
α β γ
α β
O9.
∼β ∼α
July 18, 2022 12:52 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-ch01 page 13

Logical Foundations 13

A disjunctive connective may be introduced through the following

definition

α  β := ∼ ((∼ α) (∼ β)) (1.2.8)

and dual forms of O2, O3, O6 and O8 follow.

A string s1 ; s2 ; . . . ; sn of sequents is called a proof of its last
member sn if each si is either an axiom or follows from some
preceding sequent through the use of one of the rules of inference. If
there exists a proof of a sequent α β then we write

α O β (1.2.9)

and say that β is deducible from α in OL. If α O β for any formula

α we say that β is a theorem of OL or an orthotheorem, and we write

O β. (1.2.10)

(Note that this is equivalent to α  ∼ α O β.)

Algebraic orthomodels
The first characterization of OL is in terms of ortholattices. As men-
tioned, these are lattices L, , , 0L , 1L , ( )  satisfying all the axioms
for a Boolean algebra except the axiom purporting distribution of
meet over join, or equivalently join over meet. Please see section
A.1.3 for details. Given an ortholattice L a function vL : Φ0 → L
determines a valuation upon Φ via the recursive definitions

vL (α β) = vL (α) vL (β) (1.2.11)


vL (∼ α) = vL (α) . (1.2.12)

The algebraic characterization theorem for OL may then be

stated as follows [41].

Theorem 1.2.1. γ O α iff vL (γ)  vL (α) for all ortholattices L

and all valuations vL .

Then, because γ  ∼ γ O α is equivalent to O α, we have the

following.
July 18, 2022 12:52 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-ch01 page 14

14 Quantum-like Networks

Corollary 1.2.1. O α iff vL (α) = 1L for all ortholattices L and all

valuations vL .
Definition 1.2.1. A pair A := L, vL  is called an algebraic
orthomodel for OL, and a formula α deemed valid in A if vL (α) =
1L .
Then the last corollary may be restated as:

O α iff α is valid in every algebraic model.

Since Boolean algebras are ortholattices, the following corollary
follows immediately from the completeness theorem for PC.
Corollary 1.2.2. If O α, then α is a theorem of PC.
The converse is of course false.

Kripkean orthomodels
These models were first posited by Goldblatt [41] and have been
elaborated upon by Dalla Chiara [24] and others. The model in this
case comprises a proximity space W, ≈ and a function, called a
valuation  : Φ → R(W ) satisfying
(α β) = (α)∩ (β) (1.2.13)
(∼ α) = (α)⊥ . (1.2.14)
Here, R(W ) denotes the complete ortholattice of propositions in
W, ≈ as described in section A.1.2, et seq.
Definition 1.2.2. A Kripke orthomodel M := W, ≈,  is a
proximity space W, ≈, with a valuation  : Φ → R(W ).
We will say that a formula α is:
true at the “world” w ∈ W , and write w |=M α iff w ∈ (α);
true on the set E, and write E |=M α iff w |=M α for all w ∈ E:
that is, iff E ⊆ (α);
true in the Kripke orthomodel M iff it is true at every world in
W , that is iff W |=M α;
Kripke valid, and write |= α iff it is true in all Kripke ortho-
models.
July 18, 2022 12:52 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-ch01 page 15

Logical Foundations 15

Then we have the following simplified version of another com-

pleteness theorem for OL, also due to Goldblatt [41].

Theorem 1.2.2. O α iff |= α.

A proof is given in section A.1.5.

the B-modal system

As noted, the main result we shall utilize in this chapter is the
Modal Embedding Theorem [24, 28, 41]. The proof of this theorem
of course entails first a statement of the completeness theorem for
the B-system.
Here is a brief account of this modal system, namely the
“Brouwersche” or B-system of Becker (cf. for example [19, 47, 48]).
To describe it we introduce the ordinary Boolean connectives ¬
(negation), ∧ (conjunction), and the modal operator  (necessity).
Material implication → and the possibility operator ♦ are introduced
through the usual definitions (for example ♦ := ¬  ¬, or equivalently
 := ¬ ♦ ¬). The axioms and inference rules include the usual ones
for PC with modus ponens, and the modal additions (for formulas α
and β):
(α → β) → (α → β) (1.2.15)
α → α (1.2.16)
α → ♦α (the “Brouwersche” axiom) (1.2.17)
If α is deducible then  α is deducible. (Necessitation) (1.2.18)
We denote the set of modal formulas by ΦM. If a formula α can be
deduced from a formula β by a chain of inferences from the axioms,
we write β B α. The theoremhood of a formula α is defined as usual:
namely, α is a theorem of the B-system if β B α for all β, in which
case we write

B α. (1.2.19)
(The origin of the odd nomenclature in equation (1.2.17) is that
 ♦ :=  ¬  ¬ is like a strong form of double negation and the rule in
July 18, 2022 12:52 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-ch01 page 16

16 Quantum-like Networks

equation (1.2.17) is then similar to the rule p → ¬¬ p in intuitionistic

logic, the form of logic favored by L. E. J. Brouwer, whose converse
is invalid in that system.)
Models for this system are described as follows, where 2 denotes
the smallest Boolean algebra, which may also be written {0, 1}.

Definition 1.2.3. A Kripke B-model is a triple B = W, ≈, v where

W is a set of worlds, ≈ is a proximity on W , and v is a function
v : ΦM × W → 2 satisfying:

V1. For each w ∈ W , v( , w) : ΦM → 2 is a Boolean valuation with

respect to ¬ and ∧. That is:
v(¬ α, w) = ¬ v(α, w) where ¬ on the right denotes complemen-
tation in 2 and
v(α ∧ β, w) = v(α, w) ∧ v(β, w) where ∧ on the right denotes the
meet in 2;
V2. For any modal formula α, v( α, w) = 1 iff v(α, x) = 1 ∀x such
that x ≈ w.
It follows that:
V3. v(α ∨ β, w) = v(α, w) ∨ v(β, w) where ∨ on the right denotes the
join in 2, and
V4. For any modal formula α, v(♦ α, w) = 1 iff ∃ x ≈ w (i.e. ∃ x with
x ≈ w) such that v(α, x) = 1.
A modal formula α is said to be:
true at the world w in the B-model B, written w B α, iff
v(α, w) = 1;
true on the set E ⊆ W , written E B α, iff w B α for all
w ∈ E;
true in the B-model B iff W B α;
B-valid, written  α, iff it is true in all B-models.

It is worth stating explicitly that, from V2 and V4 and the other

definitions, we have:

w B α iff ∀x ≈ w, x B α (1.2.20)
w B ♦α iff ∃x ≈ w, x B α. (1.2.21)
July 18, 2022 12:52 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-ch01 page 17

Logical Foundations 17

These models characterize the B-system, by the following com-

pleteness result:

Theorem 1.2.3. B α iff  α.

This is proved in [19, 47, 48].

the modal embedding theorem

As noted, a translation of OL into the B-system was found by Gold-
blatt and independently by Dishkant. The translation recursively
assigns to each orthoformula α ∈ Φ a modal formula α◦ ∈ ΦM as
follows:

T1. For atomic formulas ai : a◦i = ♦ai

T2. (α β)◦ = α◦ ∧ β ◦
T3. (∼ α)◦ =  ¬ α◦

Then we have the following Modal Embedding Theorem.

Theorem 1.2.4. For α ∈ Φ O α iff B α◦ .

An outline of the proof is given in section A.1.5.

The following sketch may be of help with the material above.

The translation of OL into the modal B-system is interesting

and instructive, as we shall see in section 1.3, but the B-system is
presumably a stronger logic.
Now, returning to section 1.2.1 in light of this model theory, our
proximity spaces of states are seen to provide Kripkean orthomodels
for OL in which the valuations  take values in the ortholattice
July 18, 2022 12:52 Quantum-like Networks - 9in x 6in b4780-ch01 page 18

18 Quantum-like Networks

R(W ) of propositions in an orthogonality space W, ⊥. But our

argument in section 1.2.1 would seem to have identified the lattice
Part W as the correct generalization of the lattice of Boolean propo-
sitions. Fortunately, these notions coincide thanks to the following
theorem of J. P. Rawling. Here ♦( ) and ( ) are as defined in
section A.1.1.

Theorem 1.2.5. Given an orthogonality space W, ⊥:

♦ : R(W ) → Part W (1.2.22)

is an isomophism of complete ortholattices. Its inverse is

 : Part W → R(W ). (1.2.23)

This is proved in section A.1.3 after Defintion A.1.5. We shall

now generally relinquish the lattice Part W in favor of the completely
isomorphic lattice R(W ) in those places where the Kripkean models
are invoked, but see Example 3 in section 1.4.2 for an application
of it.

1.3 Quantum-like behavior in the modal models

With the logical results in hand we can now investigate some
semantics of orthotheorems in these models.
First, we recall some properties of actual quantum mechanics.
In this theory a “quantum” (such as a particle like an electron
or a photon) is not an object in the classical macroscopic sense
since it does not have objective properties or attributes. These will
generically depend upon the mode of probing or observing what
attributes it does have. The observation, or measurement, of one
property (for instance, the momentum of an electron) may render
another property indefinite (the electron’s position in this case) and
vice versa. This of course flies in the face of classical tenets about
objects. (Please see section 1.4.1 on the issue of objectivity.) This
particular example epitomizes the Heisenberg Uncertainty Principle,
whose real import is that quanta do not have objective states of
being. Instead, certain repertoires of actions may be specified as
Another random document with
no related content on Scribd:
 — Hän kiusasi itseään, — huudahteli Katerina Ivanovna, — hän
koetti aina vain vähentää veljensä syyllisyyttä tunnustamalla minulle,
ettei hän itsekään pitänyt isästään ja että hän kenties itsekin oli
toivonut tämän kuolemaa. Oi, hänellä on syvä, syvä omatunto! Hän
on kiusannut itsensä näännyksiin omallatunnollaan! Hän ilmaisi
minulle kaiken, kaiken, hän tuli luokseni ja puhui minulle joka päivä
niinkuin ainoalle ystävälleen! — huudahti hän yhtäkkiä aivan kuin
uhmaillen, ja hänen silmänsä säkenöivät. — Hän kävi Smerdjakovin
luona kaksi kertaa. Kerran hän tuli luokseni ja sanoi: jos murhaaja ei
ole veljeni, vaan Smerdjakov (sillä täällä levittivät kaikki sitä satua,
että Smerdjakov oli murhannut), niin kenties silloin minäkin olen
syyllinen, sillä Smerdjakov tiesi, etten minä pitänyt isästä, ja luuli
kenties minun toivovan isäni kuolemaa. Silloin minä otin esille tämän
kirjeen ja näytin hänelle, ja hän tuli täysin vakuutetuksi, että hänen
veljensä oli murhaaja, ja se lannisti hänet kokonaan. Hän ei jaksanut
kestää sitä, että hänen oma veljensä on — isänmurhaaja! Jo viikko
takaperin minä näin, että hän oli tämän johdosta sairas. Viime
päivinä hän minun luonani istuessaan houraili. Minä huomasin
hänen järkensä menevän sekaisin. Hän houraili kävellessään, hänet
nähtiin tässä tilassa kaduilla. Tänne saapunut tohtori tutki minun
pyynnöstäni häntä toissa päivänä ja sanoi hänen olevan
saamaisillaan kuumeen, — kaikki hänen takiaan, kaikki pedon takia!
Eilen hän sitten sai tietää Smerdjakovin kuolleen, — se vaikutti
häneen niin voimakkaasti, että hän menetti järkensä… ja kaikki tuo
tapahtui pedon takia, kaikki vain siksi, että hän tahtoi pelastaa
pedon!

Oi, tietysti voi näin puhua ja tämmöisiä tunnustuksia tehdä vain

jonkin ainoan kerran elämässään, — esimerkiksi kuolinhetkellä,
mestauslavalle noustessa. Mutta Katjalla oli nyt hänen erikoinen
hetkensä, ja hänen luonteenlaatunsa pääsi esille. Tämä oli sama
hurja Katja, joka silloin syöksyi nuoren hurjastelijan luo
pelastaakseen isänsä; tämä oli sama Katja, joka äsken koko tämän
yleisön edessä ylpeänä ja siveänä uhrasi itsensä ja neitseellisen
kainoutensa kertomalla Mitjan »jalosta teosta», jotta saisi edes
hiukankin lievennetyksi häntä odottavaa kohtaloa. Ja nyt hän
uhrautui aivan samalla tavalla, mutta toisen miehen puolesta, ja
kenties hän vasta nyt, vasta tällä hetkellä, ensimmäisen kerran tunsi
ja käsitti täydelleen, miten rakas tuo toinen mies hänelle oli! Hän
uhrautui pelästyneenä hänen puolestaan, yhtäkkiä tajuttuaan, että
toinen oli syössyt itsensä turmioon todistamalla, että murhaaja olikin
hän eikä hänen veljensä, uhrautui pelastaakseen hänet, hänen
kunniansa, hänen maineensa! Mutta kuitenkin välähti mieleen
kauhea asia: valehteliko hän Mitjaa vastaan kuvatessaan entisiä
suhteitaan tähän, — siinä oli kysymys. Ei, ei, hän ei panetellut
tahallaan, kun hän huusi, että Mitja halveksi häntä maahan
kumartamisen johdosta! Hän itse uskoi sen; hän oli syvästi
vakuutettu, kenties tuosta kumarruksesta asti, että suoraluontoinen
Mitja, joka silloin vielä jumaloi häntä, nauroi hänelle ja halveksi
häntä. Ja aivan ylpeydestä hän itse silloin oli kiintynyt Mitjaan
rakkaudella, hysteerisellä ja pingoitetulla, loukatusta ylpeydestä, eikä
tuo lempi ollut rakkauden, vaan koston kaltaista. Oi, kenties tämä
pingoitettu rakkaus olisi muuttunut oikeaksi, kenties Katja vain sitä
toivoikin, mutta Mitja loukkasi häntä uskottomuudellaan sydämen
pohjaan asti, eikä sydän antanut sitä anteeksi. Mutta koston hetki tuli
odottamatta, ja kaikki, mikä kauan aikaa oli ollut kertyneenä loukatun
naisen rinnassa ja tehnyt siellä kipeätä, purkautui yhtäkkiä ilmoille.
Hän hylkäsi Mitjan, mutta hylkäsi myös itsensä! Ja luonnollisesti heti,
kun hän oli ennättänyt purkaa sydämensä, jännitys laukesi ja hän oli
menehtyä häpeästä. Alkoi taas hysteerinen kohtaus, hän kaatui
maahan itkien ja huutaen. Hänet vietiin pois. Sillä hetkellä, jolloin
häntä kannettiin ulos, syöksähti Grušenjka parkaisten Mitjan luo
paikaltaan niin nopeasti, ettei häntä ennätetty estää.

— Mitja! — kirkaisi hän. — Sinun käärmeesi on syössyt sinut

turmioon! Nyt hän näytti teille oikean luontonsa! — huusi hän
oikeudelle täristen vihasta. Puheenjohtajan viittauksesta häneen
tartuttiin ja häntä lähdettiin viemään ulos salista. Hän ei antautunut,
riuhtoi ja pyrki takaisin Mitjan luo. Mitja parkaisi ja syöksyi niinikään
häntä kohti. Hänet otettiin kiinni.

Niin, minä luulen, että katsomaan tulleet naisemme olivat

tyytyväisiä: näytelmässä oli runsaasti nähtävää. Muistan, miten sitten
paikalle saapui Moskovasta tullut tohtori. Luultavasti oli
puheenjohtaja jo aikaisemmin lähettänyt komisariuksen
hommaamaan Ivan Fjodorovitšille hoitoa. Tohtori ilmoitti oikeudelle,
että sairas on hyvin vaarallisen kuumekohtauksen vallassa ja että
hänet olisi heti vietävä pois. Prokuraattorin ja puolustajan
kysymysten johdosta hän vahvisti todeksi, että potilas itse oli käynyt
hänen luonaan toissa päivänä ja että hän oli tälle silloin ennustanut
pian alkavaa kuumetta, mutta sairas ei ollut halunnut ruveta
hoidettavaksi. »Mutta hänen sieluntilansa ei ollut ensinkään terve,
hän itse tunnusti minulle, että näkee valveilla ollessaan näkyjä,
kohtaa kadulla erinäisiä jo kuolleita henkilöitä ja että hänen luonaan
käy joka ilta vieraana saatana», lopetti tohtori. Annettuaan
lausuntonsa kuuluisa lääkäri poistui. Katerina Ivanovnan antama
kirje liitettiin esineellisten todistuskappaleitten joukkoon.
Neuvoteltuaan oikeus päätti jatkaa jutun käsittelyä ja merkitä
pöytäkirjaan molemmat yllättävät todistukset (Katerina Ivanovnan ja
Ivan Fjodorovitšin).
 Mutta minä en ryhdy enää kuvailemaan jatkokäsittelyä. Sitäpaitsi
jäljelläolevien todistajien lausunnot olivat ainoastaan aikaisemmin
esitettyjen toistamista ja todeksi vakuuttamista, vaikka jokaisessa
olikin oma luonteenomainen erikoisuutensa. Kaikki kuitenkin, toistan
sen, keskittyy yhteen pisteeseen prokuraattorin puheessa, johon heti
siirryn. Kaikki olivat kuohuksissaan, viimeinen katastrofi oli saanut
kaikki sähköisiksi, ja hirveän kärsimättöminä kaikki odottivat vain
ratkaisua, asianomaisia puheita ja tuomiota. Katerina Ivanovnan
todistukset olivat ilmeisesti järkyttäneet Fetjukovitšia. Sen sijaan
prokuraattori oli voitonriemuinen. Kun asian käsittely oli loppunut,
ilmoitettiin istunnon keskeytyvän, ja tätä keskeytystä kesti lähes
tunnin verran. Viimein puheenjohtaja ilmoitti syytös- ja
puolustuspuheiden alkavan. Kello oli luullakseni kahdeksan illalla,
kun prokuraattorimme Ippolit Kirillovitš aloitti syytepuheensa.

6.

Prokuraattorin puhe. Karakteristiikka.

Ippolit Kirillovitš aloitti syytepuheensa hermoväristyksen vallassa,

kylmä sairauden hiki otsalla ja ohimoilla sekä tuntien koko
ruumiissaan vuorotellen vilunväreitä ja kuumuutta. Niin hän itse
myöhemmin kertoi. Hänen oman käsityksensä mukaan tämä puhe
oli hänen chef-d'oeuvre'nsä, hänen koko elämänsä chef-d'oeuvre,
hänen joutsenlaulunsa. Totta onkin, että yhdeksän kuukautta tämän
jälkeen hän kuoli pahaan keuhkotautiin, niin että hänellä tosiaankin,
kuten sittemmin nähtiin, olisi ollut oikeus verrata itseään joutseneen,
joka laulaa viimeisen laulunsa, jos hän olisi edeltäpäin aavistanut
kuolevansa. Tähän puheeseen hän pani koko sydämensä ja kaiken
älynsä ja osoitti odottamatta, että hänessä piili sekä
kansalaistunnetta että »kirottuja» kysymyksiä, ainakin mikäli meidän
Ippolit Kirillovitš parkamme kykeni niitä omaksumaan. Pääasia oli,
että hänen puheensa vaikutti vilpittömyydellään: hän uskoi
vilpittömästi syytetyn syylliseksi; hän ei syyttänyt tätä ainoastaan
tilauksesta, viran puolesta, ja vaatiessaan »kostoa» hän todella
värisi halusta »pelastaa yhteiskunta». Naismaailmammekin, joka
loppujen lopuksi suhtautui vihamielisesti Ippolit Kirillovitšiin, myönsi
kuitenkin hänen puheensa tehneen tavattoman etevän vaikutuksen.
Hän alkoi ontolla, katkonaisella äänellä, mutta sangen pian hänen
äänensä voimistui ja kaikui yli koko salin, ja niin oli puheen loppuun
asti. Mutta heti lopetettuaan puheensa hän oli vähällä pyörtyä.

— Herrat valamiehet — alkoi syyttäjä, — nyt esillä oleva asia on

tullut kuuluisaksi yli koko Venäjän. Mutta mitä, niin luulisi, tässä on
ihmeteltävää, mikä tässä on niin erikoisen kauhistuttavaa? Varsinkin
meille, meille erikoisesti? Mehän olemme ihmisiä, jotka olemme
tähän kaikkeen niin kovin hyvin tottuneet! Mutta sepä juuri meitä
kauhistuttaakin, että tämmöiset murheelliset asiat melkein ovat
lakanneet tuntumasta meistä kauheilta! Tätä juuri täytyy kauhistua,
tätä meidän tottumustamme, eikä tämän tai toisen yksilön yksinäistä
tihutyötä. Mitkä sitten ovat syyt välinpitämättömyyteemme, meidän
tuskin edes lämpimään suhtautumiseemme tämmöisiin asioihin,
tämmöisiin ajan merkkeihin, jotka ennustavat meille kaikkea muuta
kuin kadehdittavaa tulevaisuutta? Johtuuko tämä
kyynillisyydestämme, meidän vielä niin nuoren, mutta jo ennen
aikojaan raihnaiseksi vanhentuneen yhteiskuntamme varhaisesta
järjen ja mielikuvituksen näivettymisestä? Meidän perustuksiaan
myöten järkähtäneistä siveellisistä peruskäsitteistämmekö vaiko
siitä, että näitä siveellisiä peruskäsitteitä meillä loppujen lopuksi
kenties ei ole olemassakaan? Jätän vastaamatta näihin kysymyksiin,
mutta joka tapauksessa ne kiusaavat mieliä, ja jokaisen kansalaisen
ei ainoastaan tule, vaan hänen pakottava velvollisuutensa on kärsiä
niistä. Meidän aloitteleva vielä arka sanomalehdistömme on
kuitenkin jo tehnyt yhteiskunnalle jonkin verran palveluksia, sillä
ilman sen välitystä me emme koskaan olisi saaneet tietää edes
osapuilleen täydellisesti niitä hillittömän tahdon ja siveellisen
lankeemuksen kauhutöitä, joista se myötäänsä kertoo palstoillaan
kaikille, eikä ainoastaan niille, jotka käyvät nykyisen hallituksemme
meille lahjoittaman uuden julkisen oikeuden tuomiosaleissa. Ja mitä
luemmekaan melkein joka päivä? Oi, sellaisista asioista joka hetki,
että niiden rinnalla tämä nyt käsiteltävä juttukin kalpenee ja näyttää
melkeinpä aivan tavalliselta asialta. Mutta kaikkein tärkeintä tässä on
se, että suurin osa meidän venäläisiä, meidän kansallisia
rikosjuttujamme todistaa nimenomaan jostakin yleisestä,
jonkinmoisesta yhteisestä onnettomuudesta, joka on pesiytynyt
meille ja jota vastaan jo on vaikeata taistella, koska se on muuttunut
yleiseksi pahaksi. Tuolla nuori, loistava upseeri, joka kuuluu
korkeimpiin yhteiskuntapiireihin ja joka tuskin on ennättänyt aloittaa
elämänsä ja uransa, teurastaa alhaisella tavalla, salaisesti, ilman
mitään omantunnon vaivoja pikku virkamiehen, joka osittain on ollut
hänen hyväntekijänsä, ja tämän palvelijattaren, anastaakseen
velkakirjansa ja samalla kaikki virkamiehen rahat: »Nekin tarvitaan
suuren maailman huvituksiini ja vastaista virka-uraani varten.»
Surmattuaan molemmat hän menee pois, kun on ensin pannut
kummankin ruumiin pään alle tyynyn. Tuolla nuori sankari, jonka
rintaa koristavat urhoollisuudesta saadut ristit, surmaa niinkuin rosvo
maantiellä päällikkönsä ja hyväntekijänsä äidin ja vakuuttaa
yllyttäessään kumppaneitaan, että »tuo äiti rakastaa häntä kuin
omaa poikaansa ja seuraa senvuoksi kaikkia hänen neuvojaan eikä
ryhdy mihinkään varokeinoihin». Olkoonpa, että tämä on peto, mutta
minä en uskalla nyt meidän aikanamme enää sanoa, että hän on
ainoa peto laatuaan. Toinen ei surmaa, mutta ajattelee ja tuntee
aivan samalla tavalla kuin hän, on sydämessään yhtä epärehellinen
kuin hänkin. Hiljaisuudessa, ollessaan kahden kesken omantuntonsa
kanssa, hän kenties kysyy itseltään: »Mitä on oikeastaan kunnia, ja
eikö veri ole vain ennakkoluulo?» Kenties nousee huuto minua
vastaan ja sanotaan, että minä olen sairaalloinen, hysteerinen mies,
lausun julki kummallisia panetteluja, — ja, Herra Jumala, miten minä
ensimmäisenä siitä iloitsisinkaan! Oi, älkää uskoko minua, pitäkää
minua sairaana, mutta muistakaa kuitenkin sanani: jos edes
kymmenes, jos kahdeskymmenes osa sanoistani sisältää totuutta, —
niin johan sekin on kauheata! Katsokaa, hyvät herrat, katsokaa,
miten nuoret ihmiset meillä ampuvat itsensä: oi, ilman pienimpiäkään
hamletmaisia kysymyksiä siitä, mitä siellä tulee, ilman merkkiäkään
noista kysymyksistä, aivan kuin tuo kysymys hengestämme ja
kaikesta, mikä meitä haudan tuolla puolen odottaa, olisi aikoja sitten
pyyhitty pois heidän luonnostaan, haudattu ja hietaan peitetty.
Katsokaa lopuksi meillä vallitsevaa irstailua, meidän irstailijoitamme.
Fjodor Pavlovitš, käsiteltävänä olevan jutun onneton uhri, on
joihinkin heistä verrattuna miltei viaton lapsukainen. Mehän
tunsimme hänet kaikki, »hän parissamme eli»… Niin, venäläisen
rikollisuuden psykologiaa ryhtyvät kenties joskus tutkimaan parhaat
kyvyt, sekä meikäläiset että eurooppalaiset, sillä aihe on sen
arvoinen. Mutta tämä tutkiminen suoritetaan joskus myöhemmin, kun
siihen on aikaa ja kun kaikki nykyhetken traagillinen sekamelska on
jo siirtynyt kauemmaksi etualalta, niin että sitä voi tarkastella sekä
älykkäämmin että puolueettomammin kuin mitä esimerkiksi minun
kaltaiseni ihmiset voivat tehdä. Nyt me vain kauhistumme tai
teeskentelemme kauhistumista, mutta kuitenkin nautimme
näytelmästä, koska pidämme voimakkaista, mielettömistä
vaikutelmista, jotka saavat kyynillisen ja laiskan joutilaisuutemme
liikkeelle, tai myöskin pikkulasten tavoin huidomme käsillämme
luotamme kauheita aaveita ja peitämme päämme pielukseen,
kunnes kamala näky on kadonnut, unohtaaksemme sen kohta
ilonpidossa ja leikeissä. Mutta täytyyhän meidänkin joskus alkaa
elää järkevästi ja ajatellen, täytyyhän meidänkin luoda silmäys
itseemme ja yhteiskuntaan, täytyyhän meidänkin saada
yhteiskunnalliselle elämällemme järkevä sisällys tai edes vaikkapa
aloittaa järkisisällyksen antaminen. Edellisen aikakauden suuri
kirjailija, personoidessaan suurimman teoksensa lopussa Venäjän
niin, että näkee sen uljaan venäläisen kolmivaljakon muodossa, joka
kiitää tuntematonta päämäärää kohti, huudahtaa: »Ah,
kolmivaljakko, sinä lintu, kuka on sinut keksinyt!» ja hän lisää ylpeän
innostuksen valtaamana, että vinhaa vauhtia kiitävän kolmivaljakon
edestä väistyvät kunnioittavasti kaikki kansat. Niin, hyvät herrat,
olkoon asia niin, väistykööt vain kunnioittavasti tai epäkunnioittavasti,
mutta minun syntisen mielipiteeni mukaan nerokas taiteilija on
lopettanut teoksensa näin joko lapsellisen viattoman
kaunosieluisuuden puuskan vallassa tai yksin kertaisesti peläten
silloisen ajan sensuuria. Sillä jos kolmivaljakkoa vetämään
valjastettaisiin vain hänen omat sankarinsa, Sobakevitšit, Nozdrevit
ja Tšitšikovit, niin, pantiinpa ajajaksi kuka hyvänsä, mihinkään
kelvolliseen asti ei tuommoisilla hevosilla ajeta! Mutta nuohan olivat
vain entisen ajan hevosia, jotka eivät vedä vertoja nykyisille, meillä
on parempia…

Tässä keskeyttivät Ippolit Kirillovitšin puheen kättentaputukset.

Liberaalinen ajatustapa venäläistä kolmivaljakkoa kuvattaessa
miellytti kuulijoita. Tosin käsiään taputti vain pari kolme ryhmää, niin
ettei puheenjohtaja edes katsonut olevan syytä kääntyä yleisön
puoleen ja uhata »salin tyhjentämisellä», vaan ainoastaan katsahti
ankarasti taputtajiin. Mutta Ippolit Kirillovitš oli saanut rohkaisua: ei
koskaan vielä oltu hänelle taputettu, käsiä! Miestä ei oltu niin
moneen vuoteen tahdottu kuunnella, ja nyt oli yhtäkkiä tarjoutunut
tilaisuus puhua sanottavansa koko Venäjän kuultaviin!

— Tosiaankin, — jatkoi hän, — mitä on tämä Karamazovien perhe,

joka yhtäkkiä on tullut niin surullisen kuuluisaksi aivan koko
Venäjällä? Kenties minä liioittelen kovin paljon, mutta minusta
näyttää siltä, että tämän perheen kuvassa ikäänkuin välähtelevät
eräät meidän nykyaikaisen sivistyneen yhteiskuntaluokkamme
peruselementit, — oi, eivät kaikki elementit, ja ne vilahtelevat vain
mikroskooppisessa koossa, »niinkuin aurinko pienessä
vesipisarassa», mutta kuitenkin siinä jotakin heijastui, kuitenkin
jotakin pääsi esille. Katsokaa tuota onnetonta, hillitöntä ja irstasta
ukkoa, tuota »perheenisää», jonka olemassaolo loppui niin
surullisesti. Syntyperältään aatelismies, joka aloitti uransa köyhänä
elättinä, sai sattumalta ja odottamatta naimisiin menemällä vähän
pääomaa, oli alussa pikku veijari ja imarteleva narri, jossa kehittyi
älyllisiä taipumuksia, muuten ei niinkään pieniä, ja ennen kaikkea
koronkiskuri. Vuosien kuluessa, sikäli kuin pääoma kasvaa, hän
tulee rohkeammaksi. Matelevaisuus ja liehakointi häviävät, jäljelle
jää vain ivallinen ja ilkeä kyynikko ja irstailija. Henkinen puoli on kuin
kokonaan poispyyhitty, mutta elämänhalu on tavaton. Asiat menevät
siihen, ettei hän näe koko elämässä mitään muuta kuin irstaat
nautinnot, ja niin hän opettaa lapsiaankin. Mitään isän henkisiä
velvollisuuksia ei hänellä ollenkaan ole. Hän nauraa semmoisille,
hän antaa pikku lastensa kasvaa takapihalla ja on iloissaan, kun ne
viedään häneltä pois. Hän unohtaakin ne kokonaan. Ukolla ei ole
muuta siveyssääntöä kuin — après moi le déluge. Kaikkea, mikä on
päinvastaista kansalaisen käsitteelle, mitä täydellisintä, jopa
vihamielistä eristäytymistä yhteiskunnasta: »Palakoon vaikka koko
maailma tulessa, kunhan minun vain on hyvä olla.» Ja hänen on
hyvä olla, hän toivoo hartaasti saavansa elää sillä tavoin vielä
kaksikymmentä tai kolmekymmentä vuotta. Hän pettää tilinteossa
omaa poikaansa, ja tämän rahoilla, tämän äidinperinnöllä, jota hän ei
tahdo hänelle antaa, hän koettaa voittaa häneltä, pojaltaan,
rakastajattaren. Ei, minä en tahdo jättää syytetyn puolustamista
suurilahjaisen, Pietarista saapuneen puolustusasianajajan
tehtäväksi. Minä sanon itsekin totuuden, minä ymmärrän itsekin sen
inhon määrän, jonka isä sai syntymään poikansa sydämessä. Mutta
riittää, riittää jo tästä onnettomasta ukosta, häntä on kohdannut
kosto. Muistakaamme kuitenkin, että hän on isä ja yksi nykyajan isiä.
Loukkaanko minä yhteiskuntaa, kun sanon, että hän on yksi varsin
monista nykyajan isistä? Voi, kovin monet nykyajan isistä vain eivät
lausu niin kyynillisesti julki ajatuksiaan kuin tämä, sillä he ovat
saaneet paremman kasvatuksen, ovat sivistyneempiä, mutta itse
asiassa heillä on sama filosofia kuin hänelläkin. Mutta olkoonpa, että
minä olen pessimisti, olkoon. Olemme jo sopineet siitä, että te
annatte minulle anteeksi. Päättäkäämme jo etukäteen: älkää te
uskoko minua, älkää uskoko, minä puhun, mutta älkää te uskoko.
Antakaa minun kuitenkin sanoa sanottavani, muistakaa kuitenkin
jotakin minun sanoistani. No niin, tässä ovat tuon ukon lapset, tuon
perheenisän lapset: yksi on edessämme syytettyjen penkillä,
hänestä tulee myöhemmin puhe; toisista mainitsen vain sivumennen
hiukan. Näistä toisista on vanhempi — muuan nykyajan nuoria
miehiä, hänellä on loistava sivistys, varsin voimakas äly, joka
kuitenkaan ei usko mihinkään, on kovin paljon jo kieltänyt elämässä
ja pyyhkinyt pois, aivan tarkalleen samalla tavoin kuin teki hänen
isänsäkin. Me olemme kaikki kuulleet häntä, hänet otettiin
seurapiireissämme ystävällisesti vastaan. Mielipiteitään hän ei
salannut, päinvastoin, aivan päinvastoin oli asian laita, mikä antaakin
minulle nyt rohkeuden puhua hänestä jonkin verran avomielisesti, ei
tietenkään hänestä yksityisenä henkilönä, vaan ainoastaan
Karamazovin perheen jäsenenä. Täällä kuoli eilen, itsemurhan
tehden, kaupungin laidassa eräs sairaalloinen idiootti, joka on hyvin
läheisissä tekemisissä tämän jutun kanssa, Fjodor Pavlovitšin
entinen palvelija ja mahdollisesti äpäräpoika, Smerdjakov. Hän kertoi
minulle hysteerisesti itkien valmistavassa kuulustelussa, kuinka tuo
nuori Karamazov, Ivan Fjodorovitš, kauhistutti hänet henkisellä
hillittömyydellään: »Kaikki, muka, on heidän mielestään luvallista,
mitä ikinä vain maailmassa on, eikä vastaisuudessa mikään tule
olemaan kiellettyä, — tämmöistä he kaikki minulle opettivat.»
Luultavasti tämä teesi, joka hänelle opetettiin, tekikin idiootin
lopullisesti hulluksi, vaikka hänen henkiseen luhistumiseensa tietysti
vaikutti myös sekä kaatuvatauti että koko tuo heidän talossaan
tapahtunut kauhea katastrofi. Mutta tämänkin idiootin puheessa
vilahti eräs peräti mielenkiintoinen huomautus, joka olisi ollut
kunniaksi viisaammallekin havaintojen tekijälle kuin hänelle, ja
siksipä minä sen otinkin tässä puheeksi: »Jos on», sanoi hän, »joku
pojista, joka on enimmän Fjodor Pavlovitšin kaltainen luonteeltaan,
niin se on hän, Ivan Fjodorovitš!» Tähän huomautukseen minä
katkaisen aloittamani karakteristiikan, koska mielestäni
hienotunteisuus ei salli sen jatkamista. Oi, minä en tahdo tehdä
enempiä johtopäätöksiä ja korpin tavoin rääkyä nuorelle kohtalolle
vain turmiota. Me näimme tänään täällä, tässä salissa, että välitön
totuuden voima vielä asuu hänen nuoressa sydämessään, että
epäusko ja siveellinen kyynillisyys, jotka hän on pikemmin saanut
perintönä kuin todellisen henkisen kärsimyksen tuloksena, eivät vielä
ole tukahduttaneet hänessä perhekiintymyksen tunteita. Sitten toinen
poika, oi, hän on vielä nuorukainen, hurskas ja nöyrä, vastakohtana
veljen synkälle ja mädäntyvälle maailmankatsomukselle hänessä on
pyrkimys tarttua kiinni niin sanoakseni »kansallisiin perusaineksiin»
eli siihen, mitä meillä tällä konstikkaalla sanalla tarkoitetaan
erinäisissä ajattelevan intelligenssimme teoretisoivissa
ryhmäkunnissa. Hän, nähkääs, etsi turvaa luostarista; hän oli vähällä
itse ruveta munkiksi. Hänessä minun mielestäni ilmeni ikäänkuin
itsetiedottomasti ja jo niin aikaisin se arka epätoivo, jonka vallassa
niin monet nyt meidän onnettomassa yhteiskunnassamme, peläten
sen kyynillisyyttä ja siveellistä turmelusta ja väärin kylläkin pitäen
kaiken pahan alkuna eurooppalaista valistusta, heittäytyvät niin
sanoakseni oman maan äidilliseen syliin, niinkuin aaveita
pelästyneet lapset, ja odottavat heikontuneen äitinsä kuivettuneilla
rinnoilla saavansa ainakin rauhallisesti nukahtaa ja nukkua siinä
koko elämänsä ajan, kunhan vain eivät näkisi peloittavia kauhukuvia.
Omasta puolestani minä toivon hyväsydämiselle ja lahjakkaalle
nuorukaiselle kaikkea hyvää, toivon, ettei hänen nuorukaisellinen
kaunosieluisuutensa ja kansalliselle pohjalle pyrkimisensä muuttuisi
myöhemmin, kuten niin usein tapahtuu, siveelliseltä puoleltaan
synkäksi mystisismiksi ja kansalliselta puoleltaan tylsäksi
yltiöisänmaallisuudeksi — noiksi kahdeksi ominaisuudeksi, jotka
uhkaavat kansakunnalle kenties vielä suurempaa pahaa kuin väärin
ymmärretystä ja vaivatta saadusta eurooppalaisesta sivistyksestä
johtunut varhainen mädäntyminen, jommoista hänen vanhempi
veljensä sairastaa. —

Yltiöisänmaallisuus ja mystisismi aiheuttivat taas pari kolme

kättentaputusta. Ja Ippolit Kirillovitš tietysti innostui, ja joskin tämä
kaikki oli sangen vähän yhteydessä käsiteltävän jutun kanssa,
puhumattakaan siitä, että lausutut ajatukset esiintyivät verraten
epäselvinä, niin keuhkotautisen ja katkeroituneen miehen teki kovin
mieli edes kerran eläessään puhua suunsa puhtaaksi.
Kaupungissamme puhuttiin jälkeenpäin, että kuvatessaan Ivan
Fjodorovitšia hän antoi valtaa epähienolle tunteelle, sillä kerran tai
kahdesti oli Ivan Fjodorovitš julkisesti väittelyssä pannut hänet
pussiin, ja tämän muistaen Ippolit Kirillovitš tahtoi nyt kostaa. En
kuitenkaan tiedä, oliko tämmöinen johtopäätös oikea. Joka
tapauksessa tämä kaikki oli vain johdantoa, sitten puhe kohdistui
suoranaisemmin ja lähemmin itse asiaan.

— Mutta tuossa on nykyaikaisen perheenisän kolmas poika, —

jatkoi Ippolit Kirillovitš, — hän on syytettyjen penkillä, hän on
edessämme. Edessämme ovat myös hänen urotyönsä, hänen
elämänsä ja tekonsa: kun aika tuli, niin kaikki avautui
nähtäväksemme, kaikki tuli ilmi. Vastoin veljiensä
»eurooppalaisuutta» ja »kansallisia perusaineksia» hän on ikäänkuin
välitön kuva Venäjästä, — oi, ei koko, ei koko Venäjästä, Jumala
meitä semmoisesta varjelkoon! Ja kuitenkin se on siinä, tuo meidän
rakas Venäjämme, haiskahtaa siltä, kuuluu, että se on siinä, tuo
äitimme. Oi, me olemme välittömiä, meissä on paha ja hyvä
ihmeellisellä tavalla sekaantuneena, me harrastamme valistusta ja
Schilleriä ja samaan aikaan me reuhaamme ravintoloissa ja revimme
juoppolalleja, ryyppytovereitamme, parrasta. Oi, mekin olemme
hyviä ja ihania, mutta ainoastaan silloin, kun meidän itsemme on
hyvä ja ihana olla. Päinvastoin, me ihan kuohumme — nimenomaan
kuohumme — jaloja ihanteita, mutta vain sillä ehdolla, että ne
saavutetaan ilman muuta, putoavat pöydällemme taivaasta ja ennen
kaikkea ilmaiseksi, ilmaiseksi, ettei niistä tarvitsisi mitään maksaa.
Me emme ensinkään pidä maksamisesta, sen sijaan pidämme hyvin
paljon saamisesta, ja niin on laita kaikissa asioissa. Oi, antakaa,
antakaa meille kaikki mahdolliset elämän hyvyydet (nimenomaan
kaikki mahdolliset, vähempään emme tyydy) ja varsinkaan älkää
olko meidän tapamme tiellä missään asiassa, ja silloin mekin
osoitamme voivamme olla hyviä ja ihania. Me emme ole ahneita,
emme, mutta antakaa kuitenkin meille rahoja, niin saatte nähdä,
miten jalosti, miten halveksittavaa metallia halveksien me
paiskaamme ne menemään yhdessä yössä hillittömään juominkiin.
Mutta jos meille ei anneta rahoja, niin me näytämme, kuinka me
saamme niitä hankituksi, kun oikein mielemme tekee. Mutta tästä
tulee puhe myöhemmin, menkäämme järjestyksessä. Ennen kaikkea
on meillä edessämme hylätty poika parka, »takapihalla ilman
saappaita», niinkuin äsken lausui arvoisa ja kunnioitettu
kansalaisemme, joka hänkin, — voi! — on syntyperältään
ulkomaalainen! Toistan vieläkin: en anna kenenkään muun
tehtäväksi syytetyn puolustamista! Minä olen syyttäjä, mutta minä
olen myös puolustaja. Niin, mekin olemme ihmisiä, meissäkin on
ihmisyyttä, mekin osaamme arvioida, kuinka syvän vaikutuksen
luonteen kehitykseen voivat tehdä lapsuuden ja kodin ensimmäiset
vaikutelmat. Mutta pojasta kasvaa nuorukainen, hän on jo nuori
mies, upseeri; huimien tekojen ja kaksintaisteluhaasteen johdosta
hänet lähetetään erääseen armaan Venäjänmaamme
kaukaisimpaan pikku rajakaupunkiin. Siellä hän on virassa ja siellä
hän juoda remuaa ja tietysti — iso laiva vaatii laajat vedet. Me
tarvitsemme varoja, ennen kaikkea varoja, ja niinpä pitkien
kinastelujen jälkeen hän ja hänen isänsä sopivat viimeisestä
maksettavasta kuudentuhannen ruplan erästä ja hänelle lähetetään
se. Huomatkaa, että hän on antanut asiakirjan, ja on olemassa
hänen kirjeensä, jossa hän melkein sitoutuu olemaan vaatimatta
muuta ja lopettaa näihin kuuteentuhanteen perintöriidan isän kanssa.
Nyt hän kohtaa nuoren, yleväluontoisen ja henkisesti kehittyneen
tytön. Oi, minä en uskalla kertoa uudelleen yksityiskohtia, te kuulitte
ne äsken juuri: siinä on kunniaa, siinä on uhrautuvaisuutta, ja minä
vaikenen. Kevytmielisen ja irstaan, mutta todelliselle jaloudelle,
korkeammalle aatteelle päänsä kumartaneen nuoren miehen kuva
vilahti silmiimme tavattoman sympaattisena. Mutta yhtäkkiä tämän
jälkeen, tässä samassa oikeussalissa, saatiin aivan odottamatta
nähdä mitalin toinenkin puoli. Taaskaan en uskalla ryhtyä lausumaan
arveluita ja pidätyn analysoimasta, miksi seuraukset olivat sellaiset.
Mutta täytyihän kuitenkin olla syitä, miksi seuraukset tulivat
sellaisiksi. Tuo sama naishenkilö, silmät täynnä kauan salassa olleen
pahastuksen kyyneliä, ilmoittaa meille, että syytetty juuri oli
ensimmäisenä valmis häntä halveksimaan hänen varomattoman,
kenties hillittömän äkillisen tekonsa johdosta, joka kuitenkin joka
tapauksessa oli ylevä ja jalomielinen. Hänenpä juuri, tuon tytön
sulhasen, huulilla ensimmäiseksi vilahti se ivallinen hymy, jota tyttö
vain silloin ei jaksanut kestää, kun se näkyi hänen huulillaan.
Tietäen, että mies jo oli ollut uskoton hänelle (ollut uskoton varmana
siitä, että tytön on vastedes pakko sietää hänen puoleltaan mitä
tahansa, myöskin hänen uskottomuuttaan), tietäen tämän morsian
tahallaan tarjoaa hänelle kolmetuhatta ruplaa ja antaa selvästi, hyvin
selvästi hänen silloin ymmärtää antavansa hänelle rahaa, jotta hän
voisi pettää juuri hänet: »Mitä, otatko vai etkö, voitko olla niin
kyynillinen», sanoo morsian hänelle äänettömästi tuomitsevalla ja
tutkivalla katseellaan. Mies katsoo häneen, ymmärtää täydelleen
hänen ajatuksensa (hänhän tunnusti täällä itse teidän kuultenne
ymmärtäneensä kaiken) ja ottaa ilman mitään ehtoja nuo
kolmetuhatta ja ryyppää ne kahdessa päivässä uuden lemmittynsä
kanssa! Mitä ei ole uskottava? Edellistäkö legendaa — ylevän
jalomielisyyden puuskaako, joka saattoi antamaan pois viimeiset
elämiseen tarvittavat rahat ja kumartamaan hyveelle, vaiko mitalin
toista puolta, joka on niin inhoittava? Tavallisesti on elämässä niin,
että kun esiintyy kaksi vastakohtaa, niin totuus löydetään keskiväliltä;
tässä tapauksessa se olisi sananmukaisesti väärin. Luultavinta on,
että hän edellisessä tapauksessa oli vilpittömästi jalo ja
jälkimmäisessä tapauksessa yhtä vilpittömästi alhainen. Miksi? Juuri
siksi, että meillä on leveä, karamazovilainen luonto, — siihen minä
puheellani pyrinkin, — luonto, johon mahtuu samalla kertaa
kaikenlaisia vastakohtia ja joka kykenee samalla kertaa näkemään
molemmat pohjattomat syvyydet, yläpuolellamme olevat kaikkein
korkeimmat ihanteet ja allamme ammottavan syvimmän ja
haisevimman lankeemuksen kuilun. Maistanette loistavan ajatuksen,
jonka äsken lausui koko Karamazovien perhettä syvästi ja läheltä
tarkannut nuori havaintojen tekijä herra Rakitin: »Lankeemuksen
alhaisuuden tunteminen on näille epäsiveellisille, hillittömille
luonteille yhtä välttämätön kuin korkeimman jalouden tunteenkin
tunteminen», — ja se on totta: he tarvitsevat nimenomaan tuota
luonnotonta sekoitusta aina ja lakkaamatta. Kaksi pohjatonta
syvyyttä, kaksi syvyyttä, hyvät herrat, aivan samalla hetkellä, —
ilman niitä me olemme onnettomia emmekä saa tyydytystä,
olemisemme ei ole täydellistä. Me olemme leveitä, leveitä niinkuin
emomme Venäjä, me sisällytämme itseemme kaiken ja tulemme
toimeen kaiken kanssa! Olemme nyt, herrat valamiehet, sattuneet
hipaisemaan noita kolmeatuhatta ruplaa, ja minä otan itselleni
vapauden mennä asioissa hiukan edelle. Ajatelkaahan vain, että
hän, tämä luonne, saatuaan silloin nuo rahat, vieläpä sillä tavoin,
semmoisen häpeän kautta, niin häpeällisesti ja äärettömän
alentavalla tavalla, — ajatelkaahan vain, että hän muka samana
päivänä kykeni erottamaan niistä puolet, ompelemaan rintapussiin ja
olemaan sitten kokonaisen kuukauden ajan niin luja, että kantoi niitä
kaulassaan huolimatta kaikista kiusauksista ja suuresta
rahantarpeesta! Ei juovuspäissään reuhatessaan ravintoloissa, ei
silloinkaan, kun hänen piti kiitää pois kaupungista hankkiakseen
Jumala tiesi keneltä rahaa, jota hän välttämättömästi tarvitsi
viedäkseen lemmittynsä pakoon kilpailijan, isänsä viettelyiltä, — hän
uskalla kajota tuohon pussiin. Mutta jo yksistään siitä syystä, ettei
jättäisi lemmittyään alttiiksi ukon houkutuksille, jolle hän oli niin
mustasukkainen, hänen olisi pitänyt avata pussinsa ja jäädä kotiin
vartioimaan lakkaamatta lemmittyään, odottaen sitä hetkeä, jolloin
tämä sanoo lopultakin hänelle: »Minä olen sinun», jolloin hän olisi
kiitänyt tämän kanssa pois jonnekin kauas nykyisestä onnettomasta
ympäristöstä. Mutta ei, hän ei kajoa taikakaluunsa, ja millä
tekosyyllä? Alkuperäinen tekosyy, sanoimme sen, oli nimenomaan
se, että kun hänelle sanottaisiin: »Minä olen sinun, vie minut minne
tahdot», — niin olisi varoja millä viedä. Mutta tämä ensimmäinen
tekosyy kalpeni, syytetyn omien sanojen mukaan, toisen
ilmaantuessa. Niin kauan kuin minä, mukamas, pidän päälläni näitä
rahoja, »minä olen lurjus, mutta en varas», sillä voin aina mennä
loukatun morsiameni luo ja pannen hänen eteensä puolet häneltä
petollisesti anastamistani rahoista aina, sanoa hänelle: »Katsos,
minä join puolet rahoistasi ja osoitin sillä olevani heikko ja moraaliton
mies, ja jos niin tahdot, lurjus (minä käytän syytetyn omia sanoja), —
mutta vaikka olenkin lurjus, niin en ole varas, sillä jos olisin varas,
niin en olisi tuonut sinulle tätä jäljelle jäänyttä toista puolta rahoista,
vaan olisin anastanut senkin niinkuin edellisenkin puolen.»
Ihmeellinen asian selitys! Tämä sama hurja, mutta heikko mies, joka
ei voinut vastustaa kiusausta ottaa vastaan kolmetuhatta niin
häpeällisesti, — tämä sama mies tuntee itsessään yhtäkkiä moista
stoalaista lujuutta ja kantaa kaulassaan tuhansia ruplia uskaltamatta
kajota niihin! Sopiiko tämä ollenkaan tarkastamaamme luonteeseen?
Ei, ja minä otan itselleni vapauden kertoa teille, miten tämmöisessä
tapauksessa olisi menetellyt todellinen Dmitri Karamazov, jos hän
todellakin olisi päättänyt ommella rahat rinnalla kannettavaan
pussiin. Ensimmäisen viettelyksen hetkenä, — no, vaikkapa
huvittaakseen taas jollakin tuota uutta lemmittyään, jonka kanssa oli
juoda rilluttanut jo toisen puolen rahoista, hän olisi avannut pussinsa
ja ottanut siitä — sanokaamme aluksi vaikkapa sata ruplaa, — sillä
miksi piti viedä takaisin nimenomaan puolet, se on puolitoista
tuhatta, riittäähän tuhatneljäsataakin ruplaa; — tuloshan on sama:
»Lurjus, mutta ei varas, sillä toinhan takaisin kuitenkin
tuhatneljäsataa ruplaa, varas olisi ottanut kaikki eikä olisi palauttanut
mitään.» Sitten jonkin ajan kuluttua hän olisi taas ratkonut auki
pussin ja ottanut sieltä toisen sataruplasen, sitten kolmannen, sitten
neljännen, ja viimeistään kuukauden lopulla hän olisi ottanut pussista
viimeisen satasen: »kunhan vien yhdenkin satasen takaisin, niin
tulos on sama: Olen lurjus, mutta en varas. Yhdeksänkolmatta
sataruplasta olen juonut, mutta yhden olen sittenkin antanut takaisin,
varas ei olisi antanut takaisin.» Ja viimein hän, pantuaan menemään
viimeisen edellisenkin satasen, olisi katsellut viimeistä ja sanonut
itselleen: »Eipä todellakaan maksa vaivaa viedä pois yhtä ainoata
satasta, — minäpä juon senkin!» Näin olisi tehnyt se todellinen
Dmitri Karamazov, jonka me tunnemme! Legenda pussista, jota hän
muka kantoi rinnallaan — se on niin räikeässä ristiriidassa
todellisuuden kanssa, ettei suurempaa ristiriitaa voi esittää. Kaikkea
voi otaksua paitsi tätä. Mutta me palaamme vielä tähän. —

Mainittuaan järjestyksessä kaiken, mitä oikeudellisen tutkimuksen

toimittajat tiesivät isän ja pojan välisistä omaisuutta koskevista
riidoista ja perhesuhteista, ja yhä uudestaan tullen siihen
johtopäätökseen, että erinäisistä tosiseikoista päättäen ei ole
pienintäkään mahdollisuutta päästä selvyyteen tästä perinnön jakoa
koskevasta kysymyksestä ja todeta, kuka on vienyt toiselta osuutta
ja kuka on maksanut toiselle liikaa, mainitsi Ippolit Kirillovitš noiden
kolmentuhannen ruplan johdosta, jotka lähtemättömästi
kummittelivat Mitjan päässä, mitä lääketieteellinen asianymmärtäjäin
lausunto sisälsi.

7.

Historiallinen katsaus

Lääkärien lausunto pyrkii todistamaan meille, että syytetty ei ole

täydessä järjessään ja että hän sairastaa maniaa. Minä vakuutan,
että hän on kuin onkin täydessä järjessään ja että tämä juuri onkin
pahinta: jos hän ei olisi täydessä järjessään, niin hän ehkä olisikin
paljon viisaampi. Että hän taasen sairastaa maniaa, niin siihen minä
voisin yhtyäkin, mutta vain yhdessä kohdassa, — samassa, johon
asianymmärtäjäin lausuntokin viittaa, nimittäin että syytetyn mielestä
hänen isänsä oli hänelle maksava nuo kolmetuhatta ruplaa. Mutta
kuitenkin voidaan kenties löytää verrattomasti lähempää tarjoutuva
näkökulma selittämään tuota syytetyn ainaista raivostumista noitten
rahojen johdosta kuin hänen taipumuksestansa mielenvikaisuuteen.
Omasta puolestani minä yhdyn täydellisesti nuoren lääkärin
lausumaan mielipiteeseen, että syytetty on ollut ja on henkisiltä
kyvyiltään täysin normaalinen ja on vain ollut kiihdyksissä ja
vihastunut. Siinäpä se juuri onkin: ei kolmetuhatta, ei rahasumma
sinänsä ollut syynä syytetyn joka kerta kuohahtavaan raivoisaan
vihastukseen, vaan siihen oli erikoinen syy, joka synnytti hänessä
suuttumuksen. Se syy oli — mustasukkaisuus! —

Tässä Ippolit Kirillovitš esitti laajasti syytetyn koko kohtalokkaan

intohimon Grušenjkaa kohtaan. Hän alkoi siitä hetkestä, jolloin
syytetty oli lähtenyt »nuoren naisen» luo »lyödäkseen häntä», —
käyttääkseni hänen omia sanojaan, selitti Ippolit Kirillovitš, — mutta
sen sijaan, että olisi lyönyt, jäi hänen jalkojensa juureen, — siinä on
tämän rakkauden alku. Samaan aikaan luo silmänsä samaan
naishenkilöön myös ukko, syytetyn isä, — ihmeellinen ja onneton
yhteensattumus, sillä molemmat sydämet syttyivät yhtäkkiä, samalla
kertaa, vaikka aikaisemmin kumpikin oli tuntenut ja kohdannut tuon
naisen, — ja noihin kumpaankin sydämeen syttyi mitä hillittömin,
aivan karamazovilainen intohimo. Tässä meillä on tuon naisen oma
tunnustus: »Minä», sanoo hän, »pidin pilkkanani kumpaakin». Niin,
hänen teki yhtäkkiä mieli pitää pilkkanaan kumpaakin; aikaisemmin
ei ollut tehnyt mieli, mutta nyt tämä tuuma yhtäkkiä lennähti hänen
päähänsä, — ja asia päättyi niin, että kumpikin lankesi hänen
jalkoihinsa voitettuna. Ukko, joka oli kumartanut rahoja kuin
Jumalaa, varasi heti kolmetuhatta ruplaa ainoastaan sitä varten, että
tuo nainen kävisi hänen asunnossaan, mutta pian hänet oli johdettu
niin pitkälle, että hän olisi pitänyt onnena saada laskea nimensä ja
koko omaisuutensa hänen jalkojensa juureen, kunhan tämä vain olisi
suostunut tulemaan hänen lailliseksi aviovaimokseen. Syytetyn
tragedia taas on silminnähtävä, se on edessämme. Mutta sellaista oli
nuoren naisen »leikki». Onnettomalle nuorelle miehelle ei viettelijätär
antanut edes toivoa, sillä toivoa, todellista toivoa hänelle annettiin
vasta ihan viime hetkellä, kun hän langeten polvilleen kiduttajansa
eteen ojenteli häntä kohti käsiään, jotka jo olivat hänen isänsä ja
kilpakosijansa veren tahrimat: juuri tässä asennossa hänet
vangittiinkin. »Minut, minut lähettäkää yhdessä hänen kanssaan
pakkotyöhön, minä hänet olen tähän saattanut, minä olen syyllisin
kaikista!» huuteli tämä nainen itse vilpittömän katumuksen vallassa,
kun syytetty vangittiin. Lahjakas nuori mies, joka on ottanut
kuvatakseen tämän jutun kulun, — samainen herra Rakitin, josta jo
olen maininnut, — määrittelee muutamin ytimekkäin ja kuvaavin