Complex Variables and Numerical

Methods Gujarat Technological

University 2017 2nd Edition Ravish R
Singh
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Numerical and Statistical Methods for Computer

Engineering Gujarat Technological University 2017 2nd
Edition Ravish R Singh

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methods-for-computer-engineering-gujarat-technological-
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Numerical and Statistical Methods for Civil Engineering

Gujarat Technological University 2017 2nd Edition
Ravish R Singh

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Advanced Engineering Mathematics (Gujarat Technological

University 2018) 4th Edition Ravish R Singh

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mathematics-gujarat-technological-university-2018-4th-edition-
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Advanced Engineering Mathematics (Gujarat Technological

University 2016) 4th Edition Ravish R Singh

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Circuit Theory and Transmission Lines 2nd Edition
Ravish R. Singh

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Circuit Theory and Networks Analysis and Synthesis 2nd

Edition Ravish R. Singh

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analysis-and-synthesis-2nd-edition-ravish-r-singh/

Basic Electrical Engineering 3rd Edition Ravish R.

Singh

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engineering-3rd-edition-ravish-r-singh/

Calculus of Real and Complex Variables Kenneth Kuttler

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Complex Variables A Physical Approach with Applications

Textbooks in Mathematics 2nd Edition Steven G. Krantz

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approach-with-applications-textbooks-in-mathematics-2nd-edition-
steven-g-krantz/
 Complex Variables
and
Numerical Methods
Gujarat Technological University 2017
Second Edition
 About the Authors
Ravish R Singh is presently Academic Advisor at Thakur
Educational Trust, Mumbai. He obtained a BE degree from
University of Mumbai in 1991, an MTech degree from IIT
Bombay in 2001, and a PhD degree from Faculty of Technology,
University of Mumbai, in 2013. He has published several books
with McGraw Hill Education (India) Private Limited on varied
subjects like Engineering Mathematics (I and II), Applied
Mathematics, Electrical Engineering, Electrical and Electronics
Engineering, etc., for all-India curricula as well as regional
curricula of some universities like Gujarat Technological University, Mumbai University,
Pune University, Jawaharlal Nehru Technological University, Anna University,
Uttarakhand Technical University, and Dr A P J Abdul Kalam Technical University
(formerly known as UPTU). Dr Singh is a member of IEEE, ISTE, and IETE, and has
published research papers in national and international journals. His fields of interest
include Circuits, Signals and Systems, and Engineering Mathematics.

Mukul Bhatt is presently Assistant Professor, Department of

Humanities and Sciences, at Thakur College of Engineering
and Technology, Mumbai. She obtained her MSc (Mathematics)
from H N B Garhwal University in 1992. She has published
several books with McGraw Hill Education (India) Private
Limited on Engineering Mathematics (I and II) and Applied
Mathematics for all-India curricula as well as regional curricula
of some universities like Gujarat Technological University,
Mumbai University, Pune University, Jawaharlal Nehru
Technological University, Anna University, Uttarakhand
Technical University, and Dr A P J Abdul Kalam Technical University (formerly known
as UPTU). She has seventeen years of teaching experience at various levels in
engineering colleges in Mumbai and her fields of interest include Integral Calculus,
Complex Analysis, and Operation Research. She is a member of ISTE.
 Complex Variables
and
Numerical Methods
Gujarat Technological University 2017
Second Edition

Ravish R Singh
Academic Advisor
Thakur Educational Trust
Mumbai, Maharashtra

Mukul Bhatt
Assistant Professor
Department of Humanities and Sciences
Thakur College of Engineering and Technology
Mumbai, Maharashtra

McGraw Hill Education (India) Private Limited

CHENNAI

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 McGraw Hill Education (India) Private Limited
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Complex Variables and Numerical Methods (Gujarat Technological University 2017)
Copyright © 2017, 2016 by McGraw Hill Education (India) Private Limited.
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mechanical, photocopying, recording, or otherwise or stored in a database or retrieval system without the
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in a computer system, but they may not be reproduced for publication.
This edition can be exported from India only by the publishers,
McGraw Hill Education (India) Private Limited.
ISBN 13: 978-93-5260-482-1
ISBN 10: 93-5260-482-2
Managing Director: Kaushik Bellani
Director—Products (Higher Education & Professional): Vibha Mahajan
Manager—Product Development: Koyel Ghosh
Senior Specialist—Product Development: Piyali Chatterjee
Head—Production (Higher Education & Professional): Satinder S Baveja
Assistant Manager—Production: Anuj K Shriwastava
Assistant General Manager—Product Management (Higher Education & Professional): Shalini Jha
Product Manager—Product Management: Ritwick Dutta
General Manager—Production: Rajender P Ghansela
Manager—Production: Reji Kumar

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work is published with the understanding that McGraw Hill Education (India) and its authors are supplying
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 Dedicated
To Our Parents
Late Shri Ramsagar Singh
and
Late Shrimati Premsheela Singh
Ravish R Singh

Late Shri Ved Prakash Sharma

and
Late Shrimati Vidyavati Hemdan
Mukul Bhatt
 Contents
Preface xi
Roadmap to the Syllabus xv
1. Complex Numbers 1.1–1.107
1.1 Introduction 1.1
1.2 Complex Numbers 1.2
1.3 Geometrical Representation of Complex Numbers
(Argand’s Diagram) 1.2
1.4 Algebra of Complex Numbers 1.2
1.5 Different Forms of Complex Numbers 1.3
1.6 Modulus and Argument (or Amplitude) of Complex Numbers 1.4
1.7 Properties of Complex Numbers 1.4
1.8 De Moivre’s Theorem 1.25
1.9 Applications of De Moivre’s Theorem 1.36
1.10 Circular and Hyperbolic Functions 1.58
1.11 Inverse Hyperbolic Functions 1.61
1.12 Separation into Real and Imaginary Parts 1.72
1.13 Logarithm of a Complex Number 1.88
Points to Remember 1.104
2. Analytic Functions 2.1–2.88
2.1 Introduction 2.1
2.2 Complex Variable 2.1
2.3 Basic Definitions 2.2
2.4 Limits 2.8
2.5 Continuity 2.12
2.6 Differentiability 2.15
2.7 Analytic Functions 2.19
2.8 Cauchy–Riemann Equations in Polar Form 2.21
2.9 Harmonic Functions 2.46
2.10 Properties of Analytic Functions 2.46
2.11 Construction of Analytic Functions: Milne–Thomson Method 2.63
Points to Remember 2.88
viii Contents

3. Complex Integration 3.1–3.58

3.1 Introduction 3.1
3.2 Some Basic Definitions 3.1
3.3 Line Integral 3.2
3.4 Simply Connected and Multiply Connected Regions 3.20
3.5 Cauchy’s Integral Theorem 3.20
3.6 Cauchy’s Integral Formula 3.31
3.7 Liouville Theorem 3.32
3.8 Maximum Modulus Theorem 3.32
Points to Remember 3.57
4. Power Series 4.1–4.117
4.1 Introduction 4.1
4.2 Sequences and Series 4.1
4.3 Power Series 4.2
4.4 Convergence of a Power Series 4.3
4.5 Taylor’s Series 4.8
4.6 Laurent’s Series 4.18
4.7 Singular Points 4.50
4.8 Residues 4.59
4.9 Cauchy’s Residue Theorem 4.75
4.10 Argument Theorem 4.105
4.11 Rouche’s Theorem 4.107
Points to Remember 4.115
5. Applications of Contour Integration 5.1–5.51
5.1 Introduction 5.1
5.2 Evaluation of a Real Definite Integral of a Rational Function
of cos q and sin q 5.1
5.3 Evaluation of Improper Real Integral of a Rational Function 5.22
5.4 Evaluation of Improper Real Integral of a Rational Function
Including Trigonometric Functions 5.35
5.5 Evaluation of Improper Integral when Simple Poles Lie on the Real
Axis 5.45
Points to Remember 5.51
6. Conformal Mapping and Its Applications 6.1–6.74
6.1 Introduction 6.1
6.2 Conformal Mapping 6.1
6.3 Some Standard Transformations 6.2
6.4 Some Special Transformations 6.29
6.5 Schwarz—Christoffel Transformation 6.45
6.6 Bilinear Transformation 6.49
Points to Remember 6.73
 Contents ix

7. Interpolation 7.1–7.88
7.1 Introduction 7.1
7.2 Finite Differences 7.2
7.3 Different Operators and their Relations 7.6
7.4 Interpolation 7.19
7.5 Newton’s Forward Interpolation Formula 7.19
7.6 Newton’s Backward Interpolation Formula 7.30
7.7 Central Difference Interpolation 7.39
7.8 Gauss’s Forward Interpolation Formula 7.40
7.9 Gauss’s Backward Interpolation Formula 7.44
7.10 Stirling’s Formula 7.48
7.11 Interpolation with Unequal Intervals 7.55
7.12 Lagrange’s Interpolation Formula 7.56
7.13 Divided Differences 7.70
7.14 Newton’s Divided Difference Formula 7.71
7.15 Inverse Interpolation 7.84
Points to Remember 7.86
8. Numerical Integration 8.1–8.41
8.1 Introduction 8.1
8.2 Newton–Cotes Quadrature Formula 8.1
8.3 Trapezoidal Rule 8.2
8.4 Simpson’s 1/3 Rule 8.9
8.5 Simpson’s 3/8 Rule 8.19
8.6 Gaussian Quadrature Formulae 8.31
Points to Remember 8.40
9. Solutions of a System of Linear Equations 9.1–9.62
9.1 Introduction 9.1
9.2 Solutions of a System of Linear Equations 9.2
9.3 Elementary Transformations 9.2
9.4 Numerical Methods for Solutions of a System of Linear Equations 9.3
9.5 Gauss Elimination Method 9.4
9.6 Gauss Elimination Method with Partial Pivoting 9.15
9.7 Gauss–Jordan Method 9.20
9.8 Gauss–Jacobi Method 9.31
9.9 Gauss–Siedel Method 9.37
Points to Remember 9.61
10. Roots of Algebraic and Transcendental Equations 10.1–10.50
10.1 Introduction 10.1
10.2 Bisection Method 10.2
10.3 Regula Falsi Method 10.15
10.4 Newton–Raphson Method 10.22
x Contents

10.5 Secant Method 10.39

Points to Remember 10.49
11. Eigenvalues by Power and Jacobi Methods 11.1–11.24
11.1 Introduction 11.1
11.2 Eigenvalues and Eigenvectors 11.1
11.3 Nature of Eigenvalues of Special Types of Matrices 11.2
11.4 Relations between Eigenvalues and Eigenvectors 11.3
11.5 Power Method 11.3
11.6 Jacobi Method 11.15
Points to Remember 11.24
12. Numerical Solution of Ordinary Differential Equations 12.1–12.47
12.1 Introduction 12.1
12.2 Euler’s Method 12.2
12.3 Modified Euler’s Method 12.9
12.4 Runge–Kutta Methods 12.21
Points to Remember 12.46

Index I.1–I.2
 Preface
Mathematics is a key area of study in any engineering course. A sound knowledge
of this subject will help engineering students develop analytical skills, and thus
enable them to solve numerical problems encountered in real life, as well as apply
mathematical principles to physical problems, particularly in the field of engineering.

Users
This book is designed for the 4th semester GTU Mechanical Engineering students
pursuing the course Complex Variables and Numerical Methods (CODE 2141905). It
covers the complete GTU syllabus for the course on Complex Variables and Numerical
Methods for the mechanical engineering branch.

Objective
The crisp and complete explanation of topics will help students easily understand the
basic concepts. The tutorial approach (i.e., teach by example) followed in the text will
enable students develop a logical perspective to solving problems.

Features
Each topic has been explained from the examination point of view, wherein the theory
is presented in an easy-to-understand student-friendly style. Full coverage of concepts
is supported by numerous solved examples with varied complexity levels, which is
aligned to the latest GTU syllabus. Fundamental and sequential explanation of topics
is well aided by examples and exercises. The solutions of examples are set following a
‘tutorial’ approach, which will make it easy for students from any background to easily
grasp the concepts. Exercises with answers immediately follow the solved examples
enforcing a practice-based approach. We hope that the students will gain logical under-
standing from solved problems and then reiterate it through solving similar exercise
problems themselves. The unique blend of theory and application caters to the require-
ments of both the students and the faculty. Solutions of GTU examination questions
are incorporated within the text appropriately.
xii Preface

Highlights
∑ Crisp content strictly as per the latest GTU syllabus of Complex Variables and
Numerical Methods (Regulation 2014)
∑ Comprehensive coverage with lucid presentation style
∑ Each section concludes with an exercise to test understanding of topics
∑ Solutions of GTU examination papers from 2010 to 2015 present appropriately
within the chapters
∑ Solution of 2016 GTU examination paper can be accessible through weblink.
∑ Rich exam-oriented pedagogy:
ã Solved Examples within chapters: 473
ã Solved GTU questions tagged within chapters: 150
ã Unsolved Exercises: 474

Chapter Organization
The content spans the following twelve chapters which wholly and sequentially cover
each module of the syllabus.
o Chapter 1 introduces Complex Numbers.
o Chapter 2 discusses Analytic Functions.
o Chapter 3 presents Complex Integration.
o Chapter 4 covers Power Series.
o Chapter 5 deals with Applications of Contour Integration.
o Chapter 6 presents Conformal Mapping and its Applications.
o Chapter 7 explains Interpolation.
o Chapter 8 introduces Numerical Integration.
o Chapter 9 discusses Solutions of a System of Linear Equations.
o Chapter 10 deals with Roots of Algebraic and Transcendental Equations.
o Chapter 11 covers Eigenvalues by Power and Jacobi Methods.
o Chapter 12 explains Numerical Solution of Ordinary Differential Equations.

Acknowledgements
We are grateful to the following reviewers who reviewed various chapters of the script
and generously shared their valuable comments:

Ramesh S Damor L D College of Engineering, Ahmedabad

Jyotindra C Prajapati Marwadi Education Foundation Group of Institutions,
Rajkot
Vijay Solanki Government Engineering College, Patan
Prakash Vihol Government Engineering College, Rajkot
 Preface xiii

Manokamna Agarwal Silver Oak College of Engineering and Technology,

Ahmedabad
Som Sahni Babaria Institute of Technology, Vadodara
Urvi Trivedi SAL Institute of Technology and Engineering Research,
Ahmedabad

We would also like to thank all the staff at McGraw Hill Education (India), especially
Piyali Chatterjee, Anuj Kr. Shriwastava, Koyel Ghosh, Satinder Singh Baveja,
and Vibha Mahajan for coordinating with us during the editorial, copyediting, and
production stages of this book.
Our acknowledgements would be incomplete without a mention of the contribution of
all our family members. We extend a heartfelt thanks to them for always motivating
and supporting us throughout the project.
Constructive suggestions for the improvement of the book will always be welcome.
Ravish R Singh
Mukul Bhatt

Publisher’s Note
Remember to write to us. We look forward to receiving your feedback,
comments, and ideas to enhance the quality of this book. You can reach us at
info.india@mheducation.com. Please mention the title and authors’ name as the
subject. In case you spot piracy of this book, please do let us know.
RoAdmAP to the SyllAbuS
This text is useful for
Complex Variables and Numerical Methods (CoDe 2141905)

Module 1: Complex Numbers and Functions

Exponential, Trigonometric, De Moivre’s Theorem, Roots of a Complex Number,
Hyperbolic Functions and their Properties, Multi-valued Function and its
Branches: Logarithmic Function and Complex Exponent Function Limit,
Continuity and Differentiability of Complex Function, Analytic Functions,
Cauchy-Riemann Equations, Necessary and Sufficient Condition for Analyticity,
Properties of Analytic Functions, Laplace Equation, Harmonic Functions,
Harmonic Conjugate Functions and their Engineering Applications.

GO TO
CHAPTER 1: Complex Numbers
CHAPTER 2: Analytic Functions

Module 2: Complex Integration:

Curves, Line Integral (Contour Integral) and its Properties, Cauchy-Goursat
Theorem, Cauchy Integral Formula, Liouville Theorem (without proof),
Maximum Modulus Theorems (without proof)

GO TO
CHAPTER 3: Complex Integration

Module 3: Power Series

Convergence (Ordinary, Uniform, Absolute) of Power Series, Taylor and Laurent
Theorems (without proof), Laurent Series Expansions, Zeros of Analytic
Functions , Singularities of Analytic Functions and their Classification.
Residues: Residue Theorem, Rouche’s Theorem (without proof)

GO TO
CHAPTER 4: Power Series
xvi Roadmap to the Syllabus

Module 4: Applications of Contour Integration

Evaluation of Various Types of Definite Real Integrals using Contour Integration
Method.

GO TO
CHAPTER 5: Applications of Contour Integration

Module 5: Conformal Mapping and its Applications

Conformal and Isogonal Mappings, Translation, Rotation and Magnification,
Inversion, Mobius (Bilinear), Schwarz-Christoffel Transformations

GO TO
CHAPTER 6: Conformal Mapping and its Applications

Module 6: Interpolation
Interpolation: Finite Differences, Forward, Backward and Central Operators,
Interpolation by Polynomials: Newton’s forward, Backward Interpolation
Formulae, Newton’s Divided Formula, Gauss and Stirling’s Central Difference
Formulae and Lagrange’s Interpolation Formulae for Unequal Intervals

GO TO
CHAPTER 7: Interpolation

Module 7: Numerical Integration

Newton-Cotes Formula, Trapezoidal and Simpson’s Formulae, Error Formulae,
Gaussian Quadrature Formulae

GO TO
CHAPTER 8: Numerical Integration

Module 8: Solutions of a System of Linear Equations

Gauss Elimination, Partial Pivoting, Gauss-Jacobi Method and Gauss-Seidel
Method

GO TO
CHAPTER 9: Solutions of a System of Linear Equations
 Roadmap to the Syllabus xvii

Module 9: Roots of Algebraic and Transcendental Equations

Bisection, False Position, Secant and Newton-Raphson Methods, Rate of
Convergence

GO TO
CHAPTER 10: Roots of Algebraic and Transcendental Equations

Module 10:
Eigenvalues by Power and Jacobi Methods

GO TO
CHAPTER 11: Eigenvalues by Power and Jacobi Methods

Module 11: Numerical Solution of Ordinary Differential Equations

Euler and Runge-Kutta Methods

GO TO
CHAPTER 12: Numerical Solution of Ordinary Differential
Equations
CHAPTER

Complex
1
Numbers

chapter outline
1.1 Introduction
1.2 Complex Numbers
1.3 Geometrical Representation of Complex Numbers (Argand’s Diagram)
1.4 Algebra of Complex Numbers
1.5 Different Forms of Complex Numbers
1.6 Modulus and Argument (or Amplitude) of Complex Numbers
1.7 Properties of Complex Numbers
1.8 De Moivre’s Theorem
1.9 Applications of De Moivre’s Theorem
1.10 Circular and Hyperbolic Functions
1.11 Inverse Hyperbolic Functions
1.12 Separation into Real and Imaginary Parts
1.13 Logarithm of a Complex Number

1.1 IntroductIon

The complex numbers are an extension of the real numbers obtained by introducing
an imaginary unit i, where i = -1 . The operations of addition, subtraction,
multiplication, and division are applicable on complex numbers. A negative real
number can be obtained by squaring a complex number. With a complex number,
it is always possible to find solutions to polynomial equations of degree more than
one. Complex numbers are used in many applications, such as control theory, signal
analysis, quantum mechanics, relativity, etc.
1.2 Chapter 1 Complex Numbers

1.2 complex numbers

A complex number z is an ordered pair (x, y) of real numbers x and y. It is written as
z = (x, y) or z = x + iy, where i = -1 is known as the imaginary unit. Here, x is called
the real part of z and is written as “Re (z)”, and y is called the imaginary part of z and
is written as “Im (z)”.
If x = 0 and y π 0 then z = 0 + iy = iy which is purely imaginary.
If x π 0 and y = 0 then z = x + i 0 = x which is real.
Hence, z is purely imaginary, if its real part is zero, and is real if its imaginary part
is zero.
This shows that every real number can be written in the form of a complex number by
taking its imaginary part as zero. Hence, the set of real numbers is contained in the set
of complex numbers.
Two complex numbers are equal if and only if their corresponding real and imaginary
parts are equal.
If z = x + iy is a complex number then its conjugate or complex conjugate is defined
as z = x – iy.
The even power of i is either 1 or –1 and odd power of i is either i or –i.
i 2 = i.i = –1
i3 = i2.i = –i
i4 = (i2)2 = (–1)2 = 1
i5 = i. i 4 = i, etc.

1.3 GeometrIcal representatIon of complex numbers

(arGand’s dIaGram)

Any complex number z = x + iy can be represented y

as a point P(x, y) in the xy-plane with reference to P(x, y)
the rectangular x and y axes.
The plot of a given complex number z = x + iy, as the
x′ x
point P(x, y) in the xy-plane is known as Argand’s O
diagram (Fig. 1.1). The x-axis is called the real axis,
y-axis is called the imaginary axis, and the xy-plane
is called the complex plane. y′
fig. 1.1
1.4 alGebra of complex numbers
Let z1 = x1 + iy1 and z2 = x2 + iy2 be two complex numbers.
(a) Addition: z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2)
= (x1 + x2) + i (y1 + y2)
 1.5 Different Forms of Complex Numbers 1.3

(b) Subtraction: z1 – z2 = (x1 + iy1) – (x2 + iy2)

= (x1 – x2) + i (y1 – y2)
(c) Multiplication: z1 z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2)
= (x1 x2 – y1 y2) + i (x2 y1 + y2 x1) [∵ i2 = –1]
z1 x + iy1
(d) Division: = 1
z2 x2 + iy2
( x + iy1 ) ( x2 - iy2 )
= 1 ◊
( x2 + iy2 ) ( x2 - iy2 )
x1 x2 + y1 y2 Êy x -x y ˆ
= + i Á 1 22 12 2 ˜
x22 + y22 Ë x2 + y2 ¯

1.5 dIfferent forms of complex numbers

1.5.1 cartesian or rectangular form

If x and y are real numbers then z = x + iy is called the Cartesian form of the complex
number.

1.5.2 polar form

The complex number z = x + iy can be represented y
by the point P whose cartesian co-ordinates are
(x, y) (Fig. 1.2). If polar coordinates of the point P P(r, q )
are (r, q ) then x = r cos q and y = r sin q. r
Hence, polar form of z is q
x' x
z = r cos q + ir sin q O
= r (cos q + i sin q )
Polar form can also be written as r – q.
y'
1.5.3 exponential form fig. 1.2
Polar form of z is
z = r (cos q + i sin q )
cos q + i sin q = eiq [Using Expansion]
Hence, exponential form of z is
z = reiq
note eiq = cos q + i sin q, e–iq = cos q – i sin q.
1 iq - iq 1 iq
Hence, cos q = (e + e ) and sin q = (e - e - iq )
2 2i
1.4 Chapter 1 Complex Numbers

1.6 modulus and arGument (or amplItude) of

complex numbers

Let z = x + iy
= r (cos q + i sin q )

||
Here ‘r’ is called the modulus or absolute value of z and is denoted by z or mod (z) and
q is called argument or amplitude of z and is denoted by arg (z) or amp (z).

Hence, z = r = x 2 + y2

Ê yˆ
arg (z) = q = tan -1 Á ˜
Ë x¯

note The value of q lying between –p and p is called the principal value of argu-
ment. The argument of z is the value of q which lies in the quadrant of point (x, y).

1.7 propertIes of complex numbers

Let z = x + iy and z = x – iy.
1
(a) Re (z) = x = ( z + z )
2
1
(b) Im (z) = y = (z - z )
2i
(c) ( z1 + z2 ) = z1 + z2
(d) ( z1 z2 ) = z1 z2

Êz ˆ z
(e) Á 1 ˜ = 1
Ë z2 ¯ z2

(f ) z z = z 2 = | z |2 È∵| z | = | z | = x 2 + y 2 ˘
|| ÎÍ ˚˙
(g) |z1z2| = |z1| |z2|
and arg (z1z2) = arg (z1) + arg (z2)

z1 z1
(h) =
z2 z2

Êz ˆ
and arg Á 1 ˜ = arg (z1) – arg (z2)
Ë z2 ¯
 1.7 Properties of Complex Numbers 1.5

example 1
Arg (z1, z2) = Arg (z1) + Arg (z2)? Justify. [Summer 2015]

Solution
Yes, Arg (z1 z2) = Arg (z1) + Arg (z2)

Let z1 = r1eiq1 , z2 = r2 eiq2

z1 z2 = (r1 eiq1 ) (r2 eiq2 )
= r1 r2 ei (q1 + q2 )
\ Arg ( z1 z2 ) = q1 + q 2
= Arg ( z1 ) + Arg( z2 )

example 2
-2
Find the principal argument Arg z when z = . [Winter 2014]
1+ 3 i
Solution
-2
z=
1+ 3 i

=
-2
◊
(1 - 3 i)
1 + 3i (1 - 3 i)
-2 + 2 3 i
=
1+ 3
1 3
=- +i
2 2
Ê 3ˆ
ÁË ˜
2 ¯
Arg z = tan -1
Ê 1ˆ
ÁË - ˜¯
2
( )
= tan -1 - 3
2p
=
3
1.6 Chapter 1 Complex Numbers

example 3
Find the modulus and principal value of the arguments of the following
complex numbers:
(
(i) (4 + 2i ) -3 + 2i )
(ii) 2 + 6 3i
5 + 3i
Solution
(i) z = (4 + 2i ) ( -3 + 2i )
= ( -12 + 4 2i - 6i - 2 2 )
= - (12 + 2 2 ) + i ( 4 2 - 6 )

|z| = (12 + 2 2 )2 + (4 2 - 6)
2

= 2 36 + 2 + 12 2 + 8 + 9 - 12 2
= 2 55
È 4 2 -6 ˘
arg( z ) = tan -1 Í ˙
ÍÎ - (12 + 2 2 ) ˙˚
Ê 3-2 2 ˆ
= tan -1 Á ˜
Ë 6+ 2 ¯

Aliter
z = (4 + 2i ) ( -3 + 2i ) = z1 z2 , say
r =|z|
= z1 z2
= z1 z2
= 4 + 2i -3 + 2i
= ( 16 + 4 ) ( 9 + 2 )
= 220
= 2 55
q = arg( z )
= arg( z1 z2 )
= arg( z1 ) + arg( z2 )
= arg(4 + 2i ) + arg ( -3 + 2i )
 1.7 Properties of Complex Numbers 1.7

Ê 2ˆ Ê 2ˆ
= tan -1 Á ˜ + tan -1 Á
Ë 4¯ Ë -3 ˜¯
Ê 1ˆ Ê 2ˆ
= tan -1 Á ˜ - tan -1 Á
Ë 2¯ Ë 3 ˜¯
Ê 1 2 ˆ
-1
Á 2- 3 ˜
= tan Á ˜
Á 1+ 1 ◊ 2 ˜
ÁË ˜¯
2 3
Ê 3-2 2 ˆ
= tan -1 Á
Ë 6 + 2 ˜¯
2 + 6 3i
z=
(ii) 5 + 3i
Ê 2 + 6 3i ˆ Ê 5 - 3i ˆ
=Á ˜Á ˜
Ë 5 + 3i ¯ Ë 5 - 3i ¯
28 + 28 3i
=
28
= 1 + 3i

( 3)
2
| z | = (1)2 + =2
Ê 3ˆ p
arg ( z ) = tan -1 Á =
Ë 1 ˜¯ 3

example 4
Evaluate [(1+i)100 + (1–i)100].
Solution
Let 1 + i = reiq

r = 1+ i = 1+1 = 2
Ê 1ˆ p
q = tan -1 Á ˜ = tan -1 1 =
Ë 1¯ 4
p
i
\ 1 + i = 2e 4

p
-i
and 1 - i = 2e 4
1.8 Chapter 1 Complex Numbers

100 100
Ê i ˆ
p Ê -i ˆ
p
(1 + i )
100
+ (1 - i )
100
= Á 2e 4 ˜ + Á 2e 4 ˜
Ë ¯ Ë ¯

= 250 (e25p i + e -25p i )

= 250 (2 cos 25p )
= 251 (-1)
= -251

example 5
Express in polar form:
2
Ê 2 + iˆ
(i) Á (ii) 1 + sin a + i cos a
Ë 3 - i ˜¯
Solution
2
Ê 2 +iˆ 4 + i 2 + 4i
(i) ÁË 3 - i ˜¯ =
9 + i 2 - 6i
3 + 4i
=
8 - 6i
3 + 4i 8 + 6i
= ◊
8 - 6i 8 + 6i
i
=
2
1
= 0+i◊
2
1
Let 0+i◊ = r (cos q + i sin q )
2
2
Ê 1ˆ 1
r = 02 + Á ˜ =
Ë 2¯ 2
Ê 1ˆ
Á ˜ p
and q = tan -1 Á 2 ˜ = tan -1 • =
Ë 0¯ 2
Hence, the polar form is
2
Ê 2 +iˆ 1Ê p pˆ
ÁË 3 - i ˜¯ = 2 ÁË cos 2 + i sin 2 ˜¯
 1.7 Properties of Complex Numbers 1.9

Êp ˆ Êp ˆ
(ii) 1 + sin a + i cos a = 1 + cos Á - a ˜ + i sin Á - a ˜
Ë2 ¯ Ë2 ¯
Êp aˆ Êp aˆ Êp aˆ
= 2 cos2 Á - ˜ + 2i sin Á − ˜ cos Á - ˜
Ë 4 2¯ Ë 4 2¯ Ë 4 2¯

È 2 q q q˘
Í∵ 1 + cos q = 2 cos 2 , sin q = 2 sin 2 cos 2 ˙
Î ˚

Êp aˆ È Êp aˆ Ê p a ˆ˘
= 2 cos Á - ˜ Ícos Á - ˜ + i sin Á - ˜ ˙
Ë 4 2¯ Î Ë 4 2¯ Ë 4 2 ¯˚

Comparing with the polar form r(cos q + i sin q ),

Êp aˆ
r = 2 cos Á - ˜
Ë 4 2¯
p a
q= -
4 2
Hence, the polar form is
Êp aˆ È Êp aˆ Ê p a ˆ˘
1 + sin a + i cos a = 2 cos Á - ˜ Ícos Á - ˜ + i sin Á - ˜ ˙
Ë 4 2¯ Î Ë 4 2¯ Ë 4 2 ¯˚

example 6
Find the value of - 5 + 12i .
Solution
Let - 5 + 12i = x + iy
–5 + 12i = (x + iy)2
–5 + 12i = (x2 – y2) + i (2xy)
Comparing real and imaginary parts,
x2 – y2 = –5 ... (1)
and 2xy = 12
xy = 6
6
Putting y = in Eq. (1),
x
36
x2 - = –5
x2
1.10 Chapter 1 Complex Numbers

x4 + 5x2 – 36 = 0
(x2 + 9) (x2 – 4) = 0
x2 = –9, x2 = 4
Since x is real, x=±2
and y=±3
Hence, -5 + 12i = ± 2 ± 3i

example 7
iy 3 y + 4i
If x and y are real, solve the equation - = 0.
ix + 1 3 x + y
Solution
iy 3 y + 4i
- =0
ix + 1 3 x + y
iy (3 x + y) - (3 y + 4i )(ix + 1)
=0
(ix + 1)(3 x + y)
(-3 y + 4 x ) + i (3 xy + y 2 - 3 xy - 4) = 0 + i 0
(-3 y + 4 x ) + i( y 2 - 4) = 0 + i 0

Comparing real and imaginary parts,

–3y + 4x = 0
and y2 – 4 = 0
y=±2
3
\ x=±
2
Hence, the solution is
3
x=± , y=±2
2

example 8
Solve the equation z2 + (2i – 3) z + 5 – i = 0. [Summer 2015]
Solution
z2 + (2i – 3) z + 5 – i = 0
 1.7 Properties of Complex Numbers 1.11

The equation is quadratic in z.

- (2i - 3) ± (2i - 3)2 - 4 (5 - i )

z=
2
- (2i - 3) ± 4i 2 + 9 - 12i - 20 + 4i
=
2
- (2i - 3) ± -15 - 8i
=
2
- (2i - 3) ± 16i 2 + 1 - 8i
=
2
- (2i - 3) ± (1 - 4i )2
=
2
- (2i - 3) ± (1 - 4i )
=
2
- 2i + 3 + 1 - 4i -2i + 3 - 1 + 4i
= and
2 2
= 2 - 3i and 1 + i

Hence, the solution is

z = 2 – 3i and z = 1 + i

example 9
Prove that Re (z) > 0 and |z – 1| < |z + 1| are equivalent, where
z = x + iy.
Solution
z = x + iy
Re (z) > 0
x>0 ... (1)
Now, |z – 1| < |z + 1|
|x + iy – 1| < |x + iy + 1|
( x − 1) 2 + y 2 < ( x + 1) 2 + y 2
x2 + 1 – 2x + y2 < x2 + 1 + 2x + y2
–2x < 2x
0 < 4x
0<x or x>0 ... (2)
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contenteront plus difficilement de leur sort... Par votre compassion,
vous en aurez fait des malheureux.» Vous reconnaissez bien là
toutes les maximes de la tyrannie raisonnable, et de la sage barbarie
des satisfaits... Évidemment, je serais bien plus tranquille si je voyais
les choses d'un peu plus bas, si j'obéissais aveuglément à cette
consigne de solidarité qui nous unit, si je n'essayais pas de me
mettre à la place des ouvriers qui sont en face de nous. Quand on
ne voit qu'un seul côté de la question, on est bien plus à son aise...
Mais on ne se refait pas. Je suis l'homme des concessions et des
transactions. Ainsi, dans mes affaires, je n'ai jamais de procès.
Aussitôt que j'entre en conflit avec quelqu'un, oh! il m'arrive de me
mettre en colère, comme tout le monde, de faire l'imbécile et de
crier: «Je serai intransigeant! Je le traînerai devant les tribunaux!»
Seulement, comme je me suis fait une règle de ne jamais prendre de
décision immédiate, le lendemain, je suis calmé. Et je transige.
C'est ainsi qu'ils se parlaient chaque matin de leurs préoccupations,
et qu'ils évoquaient de graves questions, paisiblement, sans trop
s'émouvoir. C'étaient des entretiens libres et heureux. Quand ils
étaient las d'être assis sur l'herbe, ils reprenaient le chemin du
château. Et Julien montait dans sa chambre pour mettre un pantalon
plus frais, afin de faire honneur à la dame de ses pensées.
 CHAPITRE X
Vers l'amie.
Les poètes ne servent pas seulement de truchement aux amoureux.
Ils leur rendent encore ce service aussi important et aussi pratique
de leur fournir des intermèdes pour leurs longs entretiens avec la
femme aimée. Quand on est mal disposé, quand on est à court de
sujets de conversation, un saut à la bibliothèque. Victor Hugo vient
nous dire complaisamment La Tristesse d'Olympio. Vigny, sans se
faire prier, détaille les strophes miraculeuses de la Maison du
Berger. Ou bien, c'est Baudelaire qui, aux alentours du crépuscule,
nous prête son Balcon, à l'effet immanquable.
Julien connaît aussi les poètes actuels. Sa mémoire est munie de
vers tout récents. Il a avec lui le nécessaire de poésie, tout à fait
moderne, dernier cri.
Il possède aussi quelques souvenirs d'enfance qu'il raconte fort bien.
Il parle de sa mère comme si c'était lui qui avait découvert l'amour
filial.
Enfin, il sait faire de fréquentes allusions à son isolement, au besoin
constant de consolation qui le tourmente. Il arrive à parler
couramment de la personne idéale qui écoutera sa souffrance. Et,
quand le soir, on se sépare pour aller se coucher, et qu'il prend
congé d'Antoinette, son serrement de main n'est pas la grossière
pression d'un bellâtre malappris... C'est une étreinte de doigts où l'on
sent tout son désespoir. Il serre la main d'Antoinette comme un
naufragé saisit une branche de la rive. Tous ses gestes savent être
instinctifs, presque inconscients. Il n'adresse à la bien aimée que
des hommages naïfs et éperdus, qu'elle ne peut pas repousser.
Julien n'agit pas avec l'habileté cauteleuse d'un oiseleur qui veut
prendre une proie au piège. Non, mais tous ses efforts sont
naturellement adroits, car il voit clairement le but vers lequel il se
dirige. C'est un homme plein de tact, à qui il ne manque le plus
souvent, pour bien agir, que la volonté d'agir. Cette volonté, il l'a
enfin acquise le jour où, ayant fait entendre à Antoinette qu'il l'aimait,
il s'est donné à lui-même la certitude qu'il était épris de cette femme.
Il n'a plus qu'à obéir à sa volonté, comme Ruy Blas obéissait à Don
Salluste.

Et que m'ordonnez-vous, seigneur, présentement?

—De plaire à cette femme, et d'être son amant.

D'ailleurs, il ne désire pas encore Antoinette. Heureusement. Car le

désir, animal pressé et maladroit, lui ferait faire des bêtises.
 CHAPITRE XI
Intermède: Rose Meulier.
Qui aller voir à Tours? C'est une ville de garnison. Comment, sans
renseignements, être sûr des femmes de là-bas? Il n'osait en parler
au petit dragon. D'ailleurs, Henri avait sa bonne amie à la ville, une
bonne amie très jalouse, et qui ne lui avait probablement pas laissé
l'occasion de se documenter.
Le meilleur, peut-être, était d'écrire à Paris. Il passa en revue ses
amies. La plus facile à faire voyager était Rose Meulier, une forte
brune de trente-cinq ans, qui avait, disait-elle, joué la comédie, et qui
était, en tous cas, très liée avec une actrice du Gymnase. Rose
Meulier était vaguement entretenue par un Belge qui passait tous les
trois mois quinze jours à Paris. Or, il était venu le mois précédent.
Rose Meulier ne devait pas avoir quitté Paris, car elle ne se
déplaçait qu'avec Madge Raynaud, son amie du Gymnase. Or,
Madge jouait un des principaux rôles dans la reprise actuelle, étant
une de nos plus charmantes vedettes d'été.
Le surlendemain, Antoinette et le marquis devaient précisément
s'absenter toute la journée. Ils allaient assister à un mariage aux
environs d'Orléans. L'auto les mènerait au rapide de dix heures, à
Saint-Pierre-des-Corps. Julien en profiterait pour aller à Tours. Il
écrivit donc à Rose Meulier de prendre le surlendemain le train de
huit heures à Paris, qui arrive à onze heures à Saint-Pierre. Julien
reçut la dépêche d'acceptation de Rose Meulier, le lendemain à midi.
«Entendu. Compte sur moi demain. Baisers. Rosy.»
Rosy était un petit nom gentil qu'elle se donnait à elle-même.
Julien, le jour venu, se tourmenta: sa combinaison était ingénieuse,
mais trop juste de jeu, et pouvait rater. Un peu de retard du rapide
de Nantes, qui devait conduire Antoinette à Orléans, et la marquise
apercevait Rose Meulier sur le quai de Saint-Pierre-des-Corps. Ce
ne serait pas grave, grave, mais tout de même un peu gênant. Il
n'avait pas dit pourquoi il allait à Tours. On ne le lui avait pas
demandé. On pouvait supposer ce qu'on voudrait. Mais si on voyait
Rose Meulier...
Il était si préoccupé qu'il oublia d'admirer la robe délicieuse et
l'exquis chapeau qu'Antoinette avait sortis pour le mariage. Et,
comme Antoinette n'avait accepté d'assister à ce mariage que pour
se faire cette robe et ce chapeau, on peut concevoir qu'elle en
attendait des compliments, surtout d'un homme dont elle occupait,
en souveraine, la pensée. Il ne s'expliqua pas du tout sa froideur,
pendant le trajet en auto de Bourrènes à Tours.
Ils étaient installés tous les deux derrière la voiture. Le marquis était
sur le siège à côté du chauffeur, à qui il parlait avec animation.
Antoinette et Julien n'échangèrent que de rares paroles, et, le grave,
c'est qu'il ne parut même pas s'étonner assez de sa froideur, obsédé
qu'il était par cette histoire de retard possible du rapide. Enfin,
arrivant à Saint-Pierre-des-Corps, il apprit que le train était annoncé.
Soulagé d'un grand souci, il regarda Antoinette, et lui dit une phrase
très gentille sur la vision merveilleuse qu'il emporterait d'elle, en
l'assurant qu'elle n'avait jamais été si jolie. Elle changea
instantanément de regard et de visage. Elle se dit sans doute: «Il
était temps!» Car le train précisément entrait en gare. Ils se
séparèrent après s'être donné leur meilleure poignée de mains,
heureux l'un de l'autre, sans s'être rendu compte du souci dont
chacun d'eux était enfin délivré.
Rose Meulier était une femme d'un caractère égal, d'un esprit
pondéré, ennemie résolue de l'iniquité. Elle ne poursuivait, bien
entendu, son idéal de justice que dans le domaine assez restreint, il
faut le dire, de ses préoccupations. C'est ainsi qu'elle ne cessa d'être
impressionnée pendant tout son voyage à Tours par un différend qui
mettait aux prises une crémière de sa maison de Paris et le gérant
de l'immeuble. Elle en fit juge son ami Julien et lui exposa l'affaire
pendant le déjeuner. Après le repas, ils s'installèrent dans un lit de
l'hôtel... Rose était loin d'être dénuée de sensualité. Elle ne
manquait jamais de manifester une très vive émotion, des plus
sincères d'ailleurs, quand elle était aux bras d'un amant, de perdre la
tête pendant trois ou quatre secondes, au point de s'écrier chaque
fois, et sans varier d'ailleurs sa formule d'enthousiasme: «Je vois le
ciel! Je vois le ciel!» Elle n'y faillit pas cette fois-là. L'instant d'après,
elle avait repris son sang-froid, et résumait tous les mauvais
arguments du gérant. Puis elle faisait un tableau saisissant de la
situation de la malheureuse crémière, enceinte de trois mois, et
élevant quatre enfants, dont le dernier dans une couveuse. Cette
description fut si complète que Julien, qui somnolait, eut le temps de
retrouver son ardeur. Il entoura à nouveau de ses bras cette docile
personne, qui revit pour la seconde fois le firmament, et en fit la
constatation. Puis, pendant que Julien s'endormait tout à fait, elle
prononça un réquisitoire intarissable, qui atteignait par-dessus la tête
du gérant la propriétaire elle-même, responsable de la barbarie de
son représentant.

Julien dormit profondément jusqu'au dîner. Quand il s'éveilla, il vit

Rose Meulier, assise sur l'oreiller, qui travaillait, gentiment, à de
petits chaussons de laine blanche. Julien la regarda avec un sourire
tendre, en se demandant comment il allait faire pour la quitter le plus
vite possible.
—C'est très ennuyeux, dit-il au bout d'un instant. Je vais être obligé
de rentrer au château après dîner. Ça ne te fait rien de passer la nuit
toute seule à l'hôtel?
—N'y a-t-il pas de train pour rentrer à Paris ce soir? dit Rose
Meulier, qui n'était pas femme à soulever des récriminations chaque
fois qu'une question de justice ne se trouvait point en jeu.
—Il y a un train tout à l'heure. Mais il faut se dépêcher. Je crois qu'il
y a un wagon-restaurant.
—Si c'était ça, dit Rose, je préférerais rentrer maintenant, parce que
j'irais prendre Madge au théâtre...
Elle s'habilla rapidement. Julien la conduisit à la gare, où elle n'eut
que le temps de monter dans le train.
—Voilà, se dit Julien. Comme il n'y a pas de moyen pratique pour
rentrer ce soir au château, je vais dîner tout seul au restaurant. Puis
je passerai la soirée tout seul à une terrasse de café. J'irai ensuite
dormir tout seul, après qu'on l'aura refait, dans mon lit de cet après-
midi.
 CHAPITRE XII
Progrès.
Le récit de cette journée fut fait, dès le lendemain, à la marquise de
Drouhin, par Julien lui-même, mais avec des variantes qui relevaient
un peu l'aventure, quelques lacunes volontaires, et des
interprétations imprévues. Rose Meulier devenait carrément une
femme de théâtre. Elle trahissait un amant, un amant étranger, au
profit du seul Julien. Si Julien avait fait tous ses efforts pour la
renvoyer à Paris, le plus tôt possible, c'était parce qu'il sentait bien
que depuis son changement d'existence, son âme d'homme était
profondément modifiée, et qu'il lui serait désormais difficile de
supporter les êtres avec qui il avait jadis vécu. Il avait voulu faire une
dernière expérience. Elle était décisive et navrante.
... Julien, tous ces jours précédents, s'était demandé par quelle
transition il arriverait à faire savoir à Antoinette que non seulement il
avait besoin d'un appui moral, mais d'une véritable maîtresse...
Jamais, pensait-il, je n'arriverai à lui dire cela... Or, cette femme
quasi-divine, à qui il n'avait jamais osé déclarer formellement qu'il
l'aimait, cet être surnaturel entouré de respect et de ferveur, cette
idole intangible trouva moyen de lui faire une scène de jalousie, et
de lui reprocher hautement son équipée de Tours. Il s'agissait, disait-
il, d'une dernière expérience, d'une sorte d'adieu à une existence
misérable... Mais elle ne pouvait comprendre comment un homme,
qui se prétendait absorbé par un rêve, conquis par un idéal nouveau,
comment un fidèle pouvait déserter l'autel où il se trouvait en extase,
pour aller se livrer à de honteux ébats... Et comme Julien protestait,
jurait qu'il ne s'agissait là que de gestes sans importance, Antoinette
déclarait qu'il n'en était que plus coupable... D'ailleurs, elle ne croyait
pas ce qu'il disait. Certainement, il était allé à Tours, parce que cela
lui plaisait... Il avait bien tort de s'en défendre. Et pourquoi s'en
défendrait-il? Il était maître de sa conduite... Il n'appartenait à
personne. Et s'il prétendait ne pas être indépendant, il mentait. Car il
fallait toujours en venir là: s'il avait été si occupé d'une pensée
unique, il ne se fût jamais échappé vers ces distractions.
... Julien ne protestait que mollement. L'important pour lui était de
prolonger la discussion. Il sentait très bien, sans se le formuler avec
netteté, que chaque grief invoqué par Antoinette la rapprochait
insensiblement de lui. C'était elle désormais qui engageait le fer. Elle
se liait et se livrait ainsi peu à peu.
Cet entretien, bien moins amical et bien plus intime que les autres,
se passa après le dîner. Antoinette était revenue, l'après-midi, du
mariage. Elle était assez fatiguée. Et cependant ils restèrent à
causer sur la terrasse beaucoup plus tard que les soirs précédents.
Les joueurs de bridge, qui avaient terminé leur partie, interrompirent
la conversation. Antoinette se leva pour remonter à sa chambre, et
donna à son invité une poignée de mains extraordinairement molle
et froide. Est-ce donc de la sorte qu'une dame polie prend congé
d'un monsieur qu'elle a fait venir chez elle pour passer quelques
semaines? Seule, une maîtresse peut ainsi traiter un amant. Julien
regarda Antoinette avec un œil désespéré, cependant qu'un espoir
invincible gonflait de félicité son cœur; et ces deux sentiments, le
secret et l'exprimé, étaient, chose curieuse, très sincères l'un et
l'autre.
 CHAPITRE XIII
La galerie intervient.
Le marquis, la marquise, madame Lorgis et madame Jehon étaient
partis, après le déjeuner, pour faire une grande promenade en auto.
Le diplomate avait entraîné Jehon à la pêche à la ligne.
Il y avait, à trois kilomètres du parc, une petite rivière qui, disait le
diplomate, devait être «poissonneuse en diable». Il prétendait être
un fanatique de la pêche et un connaisseur.
—Il a l'air d'un pêcheur assez compétent, dit Julien à Lorgis.
—Il n'est compétent en rien, dit Lorgis.
—Vous dites cela, constata Julien, avec une espèce de joie
sauvage.
—C'est possible, dit Lorgis en souriant, mais que voulez-vous? Ce
genre de type-là, c'est celui que j'exècre le plus... Compétent, le
diplomate? C'est un de ces individus à qui la compétence sera
toujours interdite, parce qu'ils ont un besoin constant de briller, dans
n'importe quel ordre d'idées, et que jamais un gaillard comme ça
n'aimera connaître les choses pour le plaisir de savoir. Ainsi, je
préfère cent fois le marquis, si hurluberlu qu'il soit. Au moins, lui, il
s'intéresse vraiment à ce qui l'occupe... Pas longtemps, mais il s'y
intéresse. Tandis que ce monsieur Dessiré, le diplomate... Vous
savez qu'il n'est même pas diplomate? Il a passé jadis un vague
examen des Affaires Étrangères; il est parvenu, grâce à mille
protections, au grade de troisième secrétaire. Il a considéré, avec
juste raison, qu'il ne pouvait pas aller plus loin, et a demandé sa
mise en disponibilité. Et c'est la faveur, on peut le dire, qu'on lui a
accordée avec le plus d'empressement... Regardez-le s'en aller à la
pêche. Il a appris d'un pêcheur deux ou trois termes spéciaux, le
nom de quelques appâts... Et il ne va au bord de la rivière que pour
avoir l'occasion de sortir ses petites connaissances.
... Il emmène avec lui l'auditeur qu'il lui faut, cette poire majestueuse
de Jehon à qui il en impose surtout par sa sévérité, par sa raillerie
systématique. Moi, j'ai horreur de ça... Oh! je ne défends à personne
de s'égayer sur le compte de son prochain. Vous pouvez constater
que je ne m'en prive pas, du moment qu'il y a de quoi... Mais, nom
d'une brique! il faut qu'il y ait de quoi.
... J'ai connu au Havre un parent à moi, un vieux monsieur de la
marine, pas bête du tout, et très moqueur. Or, il prétendait ne se
moquer que des gens ridicules. Il disait: «On me traite de rosse,
mais il faut reconnaître que dans mes rosseries il y a toujours un
grain de justice. Je ne veux rien savoir de la rosserie à blanc. Pour
moi la blague, c'est une façon comme une autre de dire la vérité.»
Julien écoutait parler le marchand de petits pois, et se sentait
content, et un peu orgueilleux d'être son compagnon, et de causer
avec lui si librement. Il ne pensait que rarement à ses trente millions,
et s'il y pensait quelquefois, il se disait que l'amitié de Lorgis était
d'autant plus précieuse qu'elle était certainement désintéressée.
Il sentait bien qu'il n'exploiterait jamais ce millionnaire, sa situation
personnelle étant assez indépendante pour l'en dispenser, et Lorgis
le savait aussi. Julien pouvait donc s'abandonner aux charmes de
cette liaison. La sincérité de ses sentiments ne serait jamais
suspectée.
Ce matin-là, ils étaient arrivés jusqu'à une sorte de terrasse que
bordait un petit mur, et qui donnait sur une plaine démesurée.
Ils prirent place sur un banc, mais Lorgis, à peine assis, se leva tout
de suite:
—Non, dit-il, ne restons pas là. Cette immensité de ciel m'étourdit.
Mes idées se dispersent; ainsi que l'on dit dans un poème allemand
dont j'ai oublié l'auteur, elles deviennent toutes petites, toutes
petites, et disparaissent comme le tout petit point noir d'un oiseau
lointain. Allons-nous-en. Ici, je ne pourrais que rêver et dormir.
Tenez, il y a un petit banc là-bas, qui me paraît tout à fait
confortable... Oui, d'ailleurs, j'ai quelque chose à vous dire.
Julien, étonné, le regarda.
—J'ai quelque chose à vous dire, monsieur Julien Colbet, dit Lorgis
en cachant sa gêne sous un peu d'emphase. Je recule cette
explication depuis quelque temps parce qu'elle m'embête un peu.
C'est peut-être pour cela que je me suis étendu avec tant de
complaisance sur le cas de ce diplomate imbécile...
Ils étaient arrivés à ce petit banc. Julien, impatient et un peu troublé,
s'y assit. Lorgis prit davantage son temps, s'assit à son tour, sourit
d'un air gêné...
—Il faudra pourtant que je vous le dise! Allons!... Je vais vous
communiquer mes inquiétudes au sujet... de ce qui se passe... entre
vous et notre cousine Antoinette... Ne sursautez pas! Ne me
répondez pas! Je vous demande instamment d'attendre que j'aie
terminé, complètement terminé, pour me dire... ce que vous aurez à
me dire. Si vous me répondez tout de suite, avec des réponses
sincères ou de commande, l'entretien déviera. J'en garderai mieux le
fil si je suis seul à parler... Je commence par vous faire cette
déclaration, que je déteste me fourrer dans la vie des gens et
attenter ainsi à leur liberté. J'ai vu si souvent des personnes se
mêler des affaires d'autrui, en se payant de bonnes raisons pour
justifier ce qui, de leur part, n'était que de la curiosité! Moi, j'ai
horreur de ça... Je me suis bien interrogé avant de vous parler... Je
ne tenais pas du tout à avoir avec vous cette explication! D'abord il y
a de fortes chances pour qu'elle soit inutile, et qu'elle n'arrête rien.
Mais tout de même, j'ai le devoir de tenter l'exceptionnel... Car je
veux avoir fait l'impossible pour empêcher qu'Antoinette devienne
votre maîtresse... Ne me répondez pas, je vous en prie! Vous
parlerez tout à l'heure...
... Je tiens aussi à vous déclarer que je me fiche complètement que
Hubert soit ou non cocu. Si je n'écoutais que mon bon cœur, je
souhaiterais même ardemment qu'il le fût, parce que je voudrais voir
comment il prendrait la chose, et que je me demande avec une très
vive curiosité si cet événement serait capable de retenir son
attention pendant vingt-quatre heures.
... Au point de vue de la justice immanente, personne mieux que lui
n'aurait mérité cette infortune. Il a épousé, il y a sept ans, cette
admirable femme dont il ne s'occupe jamais. Il n'est pour elle ni un
mari ni un compagnon. Il n'a pour elle qu'une galanterie impeccable,
quand les hasards de la vie la font se trouver sur son chemin.
Jusqu'à présent, la Providence a préservé Hubert d'un sort fâcheux.
Il est, avec moi, un des rares maris non trompés que je connaisse.
Mais, moi, c'est que je veille au grain!
Il faut vous dire que j'ai fait mon stage avant mon mariage. J'ai adoré
ma première maîtresse, et j'ai été trompé à dix-neuf ans. Précocité.
J'ai été très malheureux, très lâche, très faible. La dame a fini par
me quitter. J'ai trouvé une autre personne qui m'a consolé, puis
trompé à son tour. Non seulement j'avais contre moi une fatale
clairvoyance, mais j'inspirais à mes maîtresses une telle confiance
qu'elles n'arrivaient pas à me mentir, et qu'elles finissaient toujours
par me prendre comme confident. A ce jeu, je n'ai acquis aucune
résignation: au contraire, plus ça se répétait, plus ça m'était
désagréable. Mais j'y ai gagné tout de même une expérience
sérieuse. Si bien que lorsque j'ai épousé ma délicieuse Annette,
d'avance je répondais de sa conduite. Je m'occupe d'elle. Je la
distrais. Je lui ai fait des enfants, et je l'ai vivement intéressée à leur
éducation. C'est un procédé un peu vieux, mais qui n'en est pas plus
mauvais. Elle s'occupe beaucoup de ses gosses. De cette façon, les
enfants ne sont peut-être pas infailliblement bien élevés, mais la
conduite de la mère a des chances d'être irréprochable.
... Je mérite donc hardiment mon sort de mari indemne. Quant à
Hubert, je le répète, c'est un miracle s'il ne lui est rien arrivé jusqu'à
présent. Et, si ennuyeux que ce soit pour la galerie, je veux faire
tous mes efforts pour que ce miracle subsiste. Antoinette est une
femme pour qui j'ai beaucoup d'admiration, une amitié profonde, et,
comme tout le monde ici, un peu d'amour... Elle a de la religion, et le
maximum de vertu... Mais elle est très belle. Son mari ne lui assure
aucune protection morale. Et, dans ces conditions, ses excellents
principes ne serviraient qu'à donner plus de solennité à sa chute...
... Vous m'êtes très sympathique... Mais je fais des vœux ardents
pour que vous ne réussissiez pas dans votre entreprise... Attendez...
Vous aurez la parole tout à l'heure... Or, voulais-je vous dire, je ne
vois qu'un moyen, pour que vous n'arriviez pas à vos fins. C'est que,
de vous-même, vous renonciez à vos projets. Si bête que ce soit de
vous demander cela, je veux vous l'avoir demandé. Ça me gâte la
vie de penser que cette chose gênante puisse arriver dans la famille
de Drouhin, si mal incarnée par Hubert. Ça m'embêterait surtout à
cause de ce brave petit homme d'Henri, qui est le vrai représentant
des Drouhin, qui s'apercevrait de tout, et qui serait, c'est triste à dire,
le vrai cocu de l'affaire... Maintenant, mon vieux, c'est à vous de
parler, mais, je vous en prie, ne me dites rien, car vous n'avez
absolument rien de sincère à me dire. Et des règles de
gentilhommerie, de galanterie, dont nous nous fichons l'un et l'autre,
mais auxquelles nous ne pouvons nous soustraire, des convenances
impérieuses vous interdisent d'être sincère avec moi... Non, non, je
sais... «La sympathie que vous a inspirée la marquise est pleine de
respect... Et jamais, au grand jamais, vous n'oseriez...» C'est
entendu, je considère que vous m'avez dit tout cela. J'aime autant
ne pas le réentendre... Pensez seulement à ce que je vous ai dit,
moi... Votre cœur n'est peut-être pas encore engagé. Si tentante que
soit une pareille aventure, évitez-la. Ne soyez pas l'occasion
élégante et sinistre que la Providence a épargnée jusqu'ici à cette
maison. Ne dites pas: «Autant moi qu'un autre.» Il est possible que
ce ne soit jamais un autre. Et d'ailleurs, je préfère que ce soit un
autre que vous, un autre que je ne connais pas, plutôt que vous que
j'estime. Je n'emploie pas de termes plus affectueux, pour ne pas
avoir l'air de vouloir vous gagner à ma cause... Au revoir, mon vieux.
N'en parlons plus. Non! non! Je vous ai dit que je savais tout ça...
Et, repoussant Julien, qui essayait de dire quelque chose, il ne
savait quoi, pour ne pas rester silencieux, le marchand de petits pois
lui serra la main rapidement, et s'en alla en toute hâte, en hélant,
faute de mieux, ce falot de Jacques de Delle, qui apparaissait au
bout de l'allée.
 CHAPITRE XIV
Effets d'une intervention.
Au reste, Julien ne tient pas à lui courir après. Que lui dirait-il?
Il ne sait que se dire à lui-même.
Comme tout est compliqué! Il croyait que son aventure avec la
marquise allait suivre bien doucement son cours. Pourquoi Lorgis
vient-il se jeter à la traverse?
Il n'est pas seulement ennuyé d'être en désaccord avec le marchand
de petits pois. Il est effrayé de faire de la peine à ce jeune Henri qui
a fait sa conquête, dès le jour où ils se sont rencontrés.
Et il va peut-être rompre avec ces deux hommes... Pour qui? Pour
une femme qu'il aime, qu'il adore, mais aussi avec qui il se sent
beaucoup moins de liens... Il pense bien qu'à la rigueur, il sacrifierait
le petit dragon, très gentil, très sympathique, mais qui, en somme,
n'a fait qu'une brève apparition dans sa vie. Mais Lorgis? Il s'en rend
compte maintenant: jamais, depuis qu'il est arrivé à l'âge d'homme, il
n'a connu un ami qui vaille celui-là. Il se sent vraiment heureux
quand il est avec lui; il s'amuse passionnément! Certes, Antoinette
est venue embellir sa vie, l'anoblir, l'orner de gloire. Mais comme,
cette vie, Lorgis la rend singulièrement plus animée, plus vibrante,
plus variée!
Ainsi, la veille même, ils étaient allés s'asseoir tous les deux dans
une auberge, où passaient des rouliers; et Lorgis avait une façon de
regarder les gens, qui les mettait en lumière. Vraiment, quand on
était avec lui, il semblait qu'on eût des yeux plus vifs et plus
pénétrants. Son regard dirigeait votre regard où il fallait. Lorgis, par
sa seule présence, augmentait votre curiosité et votre clairvoyance.
Des fois, sans rien dire, il vous parlait et vous instruisait...
Julien, maintenant, a bien cette impression que Lorgis se détachera
de lui s'il n'écoute pas les conseils de tout à l'heure... Il faut donc
choisir...
Entre cette soumission heureuse et tranquille que représente pour
lui son amitié avec Lorgis, et la gloire, pleine de périls, d'exercer sa
domination sur cette belle Antoinette, il y a de quoi hésiter.
Qui sait? Peut-être Julien eût-il sacrifié son amour naissant, s'il avait
eu un jugement plus personnel... Mais c'était un homme du monde,
qui adoptait les cours en usage pour les différentes joies de la vie,
que le monde a estimées et classées. En regard de la conquête
d'une aussi belle femme, quel petit trésor que le pur trésor d'une
amitié d'homme!
Même les périls, les incertitudes de cette conquête en font un
événement plus glorieux. Entre le placement rémunérateur et de tout
repos que représente l'amitié de Lorgis, et la belle spéculation d'une
aventure amoureuse, toutes les traditions mondaines et françaises
défendent à ce jeune homme de balancer.
Julien balance cependant...
Il se figure qu'il est indécis... S'il voyait clair en lui, il saurait très bien
qu'il n'a jamais de décision à prendre, et qu'il attend tout des
événements. Ce qu'il appelle de l'indécision, c'est plutôt l'ignorance
de la route où le destin va le pousser. Est-il capable d'aller trouver
Antoinette et de lui dire: Voilà ce que j'ai résolu?
Tout ce qu'il fera, c'est de lui parler... peut-être... si l'occasion l'y
amène... de lui rapporter ce qu'a dit Lorgis... Et ce qu'il dira lui-même
dépendra du visage qu'elle aura.
Julien, jusqu'au retour d'Antoinette, erre sous les arbres du parc.
Plus il y songe, plus il lui semble difficile d'abandonner cette
entreprise si bien commencée. C'est tellement contraire à la nature
humaine de renoncer à ce qu'on n'a pas encore eu...
On sacrifie un avantage acquis, une maîtresse déjà conquise... Mais
une femme à conquérir? Il est d'ailleurs très difficile, pour un homme
faible, de dire: «Je ne ferai pas cela,» parce que, tant que l'action
n'est pas commise, le sacrifice n'est pas définitif, et l'action à
commettre est toujours là comme une tentation impérieuse. On n'a
pas la ressource de se dire: «Le sort en est jeté, n'y pensons plus.»
On y revient toujours.
... «Oui, pense Julien. Mais est-ce que je l'aime vraiment?» Un
doute, tout à coup, surgit en lui. «Si je m'étais trompé, si je ne
l'aimais pas!»
«Mais je lui ai dit que je l'aimais. Je suis engagé. Si je l'aime, je puis
me sacrifier. Si je ne l'aime pas, je ne puis la sacrifier. Je lui ai trop
dit que je l'aimais. Ce serait infâme de la détromper. Si je ne l'aime
pas, je dois continuer toute ma vie ce pieux mensonge.»
Il se voit, feignant de l'aimer, la pressant dans ses bras, la câlinant
avec tant d'ardeur qu'elle croira toujours que c'est sincère, et ce rêve
de dévouement pour cette pauvre femme, si jolie, ne lui est en
aucune façon désagréable.
Ce même soir, après dîner, afin de pouvoir causer avec Antoinette,
Julien espérait avec impatience la formation du bridge quotidien.
Mais, par considération pour le diplomate, on attendait toujours, pour
s'installer autour de la table, qu'il fût remonté dans sa chambre... On
n'attendait généralement pas longtemps. Depuis quelques instants,
assis sur un fauteuil d'osier, on remarquait qu'il tenait toute droite sa
tête un peu rafistolée, qu'ornait une moustache fine. Aucune
animation ne retenait plus ses paupières tombantes. Il souriait
encore, bien que sa verve, dans ses yeux, ne fût plus qu'en
veilleuse. Il écoutait les gens avec politesse, mais son visage rigide
dissimulait par instant un bâillement comprimé, dont le vent retenu
filait doucement dans la rainure de ses lèvres entr'ouvertes.
Puis on voyait errer sur son visage un sourire vague et continu. A ce
moment, on sentait qu'il fallait se détourner de lui, lui laisser sa
liberté, pour que, s'étant levé de sa chaise, il pût aller, à pas de
flâneur, sur la terrasse, et disparaître ensuite jusqu'au lendemain, en
effectuant ainsi une sortie à l'anglaise dont tous les assistants, du
coin de l'œil, avaient épié chaque temps et chaque mouvement.
—Au travail! disait alors un des amateurs de bridge, le plus souvent
Lorgis, qui brillait beaucoup à ce jeu. Le marquis avait aussi de
remarquables qualités instinctives. Mais il était maudit par ses
partenaires, parce qu'il parlait tout le temps d'autre chose, sans pour
cela cesser de suivre la partie. Quant à Jehon, le grand artiste, il
jouait majestueusement et mal. Son partenaire ne pouvait
s'empêcher de constater, presque chaque fois, qu'une ou deux
levées avaient été perdues, et que si on avait joué autrement...
Jehon en souffrait, et, pendant le quart d'heure qui suivait la partie, il
était obligé de se remémorer toute sa carrière pleine de gloire, sa
rosette d'officier, sa médaille d'honneur...
On ne se gênait pas, par exemple, pour accabler de reproches Miss
Herford, la jeune Anglaise, qui riait d'autant plus qu'elle était plus
attrapée.
Le bridge et le bézigue une fois en pleine action, Antoinette et Julien
purent gagner la terrasse.
—Il a été question de vous cet après-midi, lui dit-il.
—De moi?
—Notre ami Lorgis a remarqué l'impression que vous aviez faite sur
moi.
C'était la première fois qu'il lui parlait ainsi d'elle en la désignant, et
situait enfin dans la vie la personne idéale dont il avait été tant
question entre eux. Encore une transition longtemps cherchée, et
c'était Lorgis qui la lui fournissait maintenant! De sorte que le début
même de cet entretien, destiné en principe à les séparer, les
rapprochait l'un de l'autre.
Sur un ton assez enjoué, il lui dit les craintes de Lorgis, en laissant
entendre que les appréhensions de leur ami étaient beaucoup plus
audacieuses que ses espérances à lui, Julien. Il sut très bien
transposer les paroles de Lorgis, de façon qu'Antoinette n'eût pas à
en être offensée, mais de façon aussi à enlever, par la même
occasion, sans en avoir l'air, quelques-uns des voiles de respect
dont il l'avait toujours entourée. Tout ceci fut exécuté avec beaucoup
de tact. D'ailleurs, cette heure du soir était toujours la bonne heure
pour Julien.
—Il ne m'a pas laissé le loisir de lui répondre, continua-t-il. Et
d'ailleurs, qu'aurais-je pu lui dire? Je n'aurais jamais osé lui révéler
ce qui était en moi, et que je n'ai jamais pu faire connaître à
personne. Lorgis est un homme plein d'intelligence. Il peut tout
comprendre. Mais peut-il tout concevoir? Il n'a jamais éprouvé
certainement pour personne les sentiments qui me pénètrent. Et ce
sont des sentiments que l'on n'imagine pas quand on ne les a pas
connus. Moi-même, jusqu'à ces temps-ci, je ne pouvais croire à leur
existence...
... Il parlait, il parlait. Et Antoinette, noyée d'ombre, ne répondait rien.
Il en était lui-même embarrassé pour elle... Le meilleur parti était de
lui prendre la main, d'y déposer un baiser furtif, et de se sauver
comme un voleur. Il s'en alla rapidement dans le parc, et remonta,
peu après, dans sa chambre: de cette façon, il n'avait pas à revoir
tout de suite le marchand de petits pois, qui aurait peut-être pu lui
demander des nouvelles. A vrai dire, les conséquences de la
conversation de l'après-midi avaient été un peu différentes de ce
qu'attendait Lorgis, et même de ce qu'attendait Julien, à qui la seule
présence d'Antoinette avait fourni des raisons puissantes, et vieilles
comme le monde, de poursuivre l'éternelle aventure.
 CHAPITRE XV
Travail latent.
En se réveillant, le lendemain, après une nuit très paisible, Julien se
disait: «J'ai quelque chose qui m'ennuie... Qu'est-ce que c'est
donc?» Il finit par retrouver le souci perdu...
C'était la nécessité de se retrouver en présence de Lorgis. Que lui
dire? Il pensa un moment à faire comme ces soldats «tireurs au
flanc», qui se font porter malades les jours de grande revue.
«Si je ne me levais pas?...»
C'était reculer puérilement l'explication: ce n'était pas l'éviter. Il sauta
énergiquement à bas de son lit, comme un homme prêt à tous les
courages... mais il ne savait toujours pas ce qu'il dirait à Lorgis.
Il s'arrêta à ce parti: ne rien dire du tout. Et il s'y arrêta par raison,
non par lâcheté. Il y eut même un certain mérite, car il était encore à
un âge où l'on a un besoin continuel d'explications. Ce n'est pas de
la franchise, c'est plutôt de la faiblesse: on ne veut pas rester dans
l'incertain et dans l'inconnu. On couperait soi-même le fil qui fait
tomber sur notre tête l'épée menaçante, afin d'être fixé, et de savoir
au juste quand elle tombera.
Julien, pour cette fois, eut l'audace d'attendre les événements. Au
fond, ce parti-là n'avait pas de peine à être le plus sage, étant donné
que toute autre résolution eût été absurde. Il ne pouvait vraiment
raconter à Lorgis sa conversation de la veille avec Antoinette. Il
n'était pas censé avoir parlé à la jeune femme, voilà tout. Lorgis, en
le quittant, lui avait dit: «Ne me répondez pas! Taisez-vous!» Hé
bien! il continuerait à se taire...
Cette attitude, tout de même un peu fatigante pour un jeune homme
pas très discret, lui fut facilitée au moins ce jour-là par les