Linear Algebra and Partial Differential

Equations T Veerarajan
Visit to download the full and correct content document:
https://ebookmass.com/product/linear-algebra-and-partial-differential-equations-t-veer
arajan/
 Linear Algebra and
Partial Differential Equations
 About the Author

T Veerarajan is Dean (Retd), Department of Mathematics, Velammal College of

Engineering and Technology, Viraganoor, Madurai, Tamil Nadu. A Gold Medalist
from Madras University, he has had a brilliant academic career all through. He
has 53 years of teaching experience at undergraduate and postgraduate levels in
various established engineering colleges in Tamil Nadu including Anna University,
Chennai.
 Linear Algebra and
Partial Differential Equations

T Veerarajan
Dean (Retd)
Department of Mathematics
Velammal College of Engineering and Technology
Viraganoor, Madurai
Tamil Nadu

McGraw Hill Education (India) Private Limited

CHENNAI

McGraw Hill Education Offices

Chennai New York St Louis San Francisco Auckland Bogotá Caracas
Kuala Lumpur Lisbon London Madrid Mexico City Milan Montreal
San Juan Santiago Singapore Sydney Tokyo Toronto
 McGraw Hill Education (India) Private Limited
Published by McGraw Hill Education (India) Private Limited
444/1, Sri Ekambara Naicker Industrial Estate, Alapakkam, Porur, Chennai 600 116
Linear Algebra and Partial Differential Equations
Copyright © 2019 by McGraw Hill Education (India) Private Limited.
No part of this publication may be reproduced or distributed in any form or by any means, electronic,
mechanical, photocopying, recording, or otherwise or stored in a database or retrieval system without
the prior written permission of the publishers. The program listings (if any) may be entered, stored and
executed in a computer system, but they may not be reproduced for publication.
This edition can be exported from India only by the publishers,
McGraw Hill Education (India) Private Limited.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 D102739 22 21 20 19 18

Printed and bound in India.

Print-Book Edition
ISBN (13): 978-93-5316-163-7
ISBN (10): 93-5316-163-0
E-Book Edition
ISBN (13): 978-93-5316-164-4
ISBN (10): 93-5316-164-9
Director—Science & Engineering Portfolio: Vibha Mahajan
Senior Portfolio Manager—Science & Engineering: Hemant K Jha
Associate Portfolio Manager—Science & Engineering: Tushar Mishra
Production Head: Satinder S Baveja
Copy Editor: Taranpreet Kaur
Assistant Manager—Production: Anuj K Shriwastava
General Manager—Production: Rajender P Ghansela
Manager—Production: Reji Kumar

Information contained in this work has been obtained by McGraw Hill Education (India), from sources
believed to be reliable. However, neither McGraw Hill Education (India) nor its authors guarantee the accuracy
or completeness of any information published herein, and neither McGraw Hill Education (India) nor its
authors shall be responsible for any errors, omissions, or damages arising out of use of this information. This
work is published with the understanding that McGraw Hill Education (India) and its authors are supplying
information but are not attempting to render engineering or other professional services. If such services are
required, the assistance of an appropriate professional should be sought.

Typeset at Text-o-Graphics, B-1/56, Aravali Apartment, Sector-34, Noida 201 301, and printed at

Cover Designer: APS Compugraphics

Cover Image Source: Shutterstock
Cover Printer:

Visit us at: www.mheducation.co.in

Write to us at: info.india@mheducation.com
CIN: U22200TN1970PTC111531
Toll Free Number: 1800 103 5875
 Preface

Linear Algebra and Partial Differential Equations, has been designed specifically
to cater to the needs of third semester B Tech students. The current edition aims
at preparing the students for examination alongside strengthening the fundamental
concepts related to Partial Differential Equations. Lucidity of the text, ample worked
examples and notes highlighted within the text help students navigate through
complex topics seamlessly. Stepwise explanation, use of multiple methods of
problem solving, and additional information presented by the means of appendices
are few other notable features of the content.

Salient Features
∑ Strict adherence to the syllabus
∑ Stepwise solutions of solved problems which will enable students to score
marks

Chapter Organization
The book is organised into 5 units. Unit 1 deals with Vector Spaces. Unit 2 explains
in detail about Linear Transformation. Unit 3 discusses the Inner Product Spaces.
Unit 4 focuses on Partial Differential Equations while Chapter 5 elaborates on Fourier
Series Solutions of Partial Differential Equations.

Acknowledgements
I have great pleasure in dedicating this book to the students and teachers. I hope that
both the faculty and the students will receive the present edition as willingly as the
earlier editions and my other books.
A number of reviewers took pains to provide valuable feedback for the book. We
are grateful to all of them.
T Veerarajan
 Contents

Preface v
Roadmap to the Syllabus xi

Unit-1: Vector Spaces 1-1–1-11

1.1 Vector Spaces – Definition
1.2 Basis and Dimension 1-3
Worked Examples (1) 1-3
Exercise 1 1-9
Answers 1-10

Unit-2: Linear Transformation 2-1–2-32

2.1 Linear Transformation–Definition 2-1
2.2 Null Space and Range Space 2-2
Worked Examples 2(a) 2-3
Exercise 2(A) 2-8
2.3 Matrix Representation of Linear Transformation 2-9
2.4 Similarity Transformation and Diagonalisation 2-12
Worked Examples 2(b) 2-13
Exercise 2(B) 2-28
Answers 2-30

Unit-3: Inner Product Spaces 3-1–3-18

3.1 Inner Product – Definition 3-1
3.2 Gram–Schmidt Orthogonalisation process 3-4
Worked Examples (3) 3-6
Exercise 3 3-16
Answers 3-17

Unit-4: Partial Differential Equations 4-1–4-108

4.1 Introduction 4-1
4.2 Formation of Partial Differential Equations 4-1
4.3 Elimination of Arbitrary Constants 4-2
4.4 Elimination of Arbitrary Functions 4-2
Worked Examples 4(a) 4-3
Exercise 4(a) 4-19
 Contents
viii
4.5 Solutions of Partial Differential Equations 4-21
4.6 Procedure to Find General Solution 4-22
4.7 Procedure to Find Singular Solution 4-23
4.8 Complete Solutions of First Order Nonlinear P.D.E.s 4-23
4.9 Equations Reducible to Standard Types Transformation 4-26
Worked Examples 4(b) 4-28
Exercise 4(b) 4-48
4.10 General Solutions of Partial Differential Equations 4-50
4.11 Lagrange’s Linear Equation 4-51
dx dy dz
4.12 Solution of the Simultaneous Equations = = 4-52
Worked Examples 4(c) 4-53 P Q R
Exercise 4(c) 4-68
4.13 Linear P.D.E.’s of Higher Order with Constant Coefficients 4-71
4.14 Complementary Function for a Non-homogeneous Linear
Equation 4-76
4.15 Solution of P.D.E.s by the Method of Separation of Variables 4-76
Worked Examples 4(d) 4-77
Exercise 4(d) 4-96
Answers 4-99

Unit-5: Fourier Series Solutions of Partial Differential Equations 5-1–5-201

Part A: Fourier Series 5-1
5A.1 Introduction 5-1
5A.2 Dirichlet’s Conditions 5-2
5A.3 Euler’s Formulas 5-2
5A.4 Definition of Fourier Series 5-5
5A.5 Important Concepts 5-5
5A.6 Fourier Series of Even and odd Functions 5-8
5A.7 Theorem 5-9
5A.8 Convergence of Fourier Series at Specific Points 5-11
Worked Examples 5A(a) 5-12
Exercise 5A(a) 5-39
5A.9 Half-Range Fourier Series and Parseval’s Theorem 5-42
5A.10 Root-Mean Square Value of a Function 5-45
Worked Examples 5A(b) 5-47
Exercise 5A(b) 5-70
5A.11 Harmonic Analysis 5-73
5A.12 Complex Form of Fourier Series 5-75
Worked Examples 5A(c) 5-76
Exercise 5A(c) 5-89
Answers 5-91
Part B: One-Dimensional Heat Flow 5-97
5B.1 Introduction 5-97
5B.2 Equation of Variable Heat Flow in One Dimension 5-97
5B.3 Variable Separable Solutions of the Heat Equation 5-99
 Contents
ix
Worked Examples 5B 5-101
Exercise 5B(b) 5-143
Answers 5-147
Part C: Steady State Heat Flow in Two Dimensions
[Cartesian Coordinates] 5-150
3C.1 Introduction 5-150
3C.2 Equation of Variable Heat Flow in Two Dimensions in Cartesian
Coordinates 5-150
3C.3 Variable Separable Solutions of Laplace Equation 5-153
3C.4 Choice of Proper Solution 5-154
Worked Examples 3C 5-155
Exercise 5C(c) 5-196
Answers 5-199
 Roadmap to the Syllabus

LINEAR ALGEBRA AND

PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
SEMESTER III

Unit-I: Vector Spaces

Vector spaces – Subspaces – Linear combinations and linear system of equations
– Linear independence and linear dependence – Bases and dimensions

Go To Unit-1: Vector Spaces

Unit-II: Linear Transformation and Diagonalization

Linear transformation – Null spaces and ranges – Dimension theorem – Matrix
representation of a linear transformations – Eigenvalues and eigenvectors –
Diagonalizability

Go To Unit-2: Linear Transformation

Unit-III: Inner Product Spaces

Inner product, norms – Gram Schmidt orthogonalization process – Adjoint of
linear operations – Least square approximation

Go To Unit-3: Inner Product Spaces

Unit-IV: Partial Differential Equations

Formation – Solutions of first order equations – Standard types and equations
reducible to standard types – Singular solutions – Lagrange’s linear equation
– Integral surface passing through a given curve – Classification of partial
differential equations - Solution of linear equations of higher order with constant
coefficients – Linear non-homogeneous partial differential equations.

Go To Unit-4: Partial Differential Equations

 Roadmap to the Syllabus
xii

Unit-V: Fourier Series Solutions of Partial Differential Equations

Dirichlet’s conditions – General Fourier series – Half range sine and cosine series
– Method of separation of variables – Solutions of one dimensional wave equation
and one-dimensional heat equation – Steady state solution of two-dimensional
heat equation – Fourier series solutions in Cartesian coordinates

Go To Unit-5: Fourier Series Solutions of

Partial Differential Equations
 Vector Spaces
1-1

Unit 1
Vector Spaces

1.1 Vector SpaceS – Definition

A vector space is a non-empty set of objects (called vectors) for which rules of addition
and scalar multiplication are defined as follows and for which the following axioms
hold good:
Addition means a rule that assigns to each pair of vectors u and v in the vector space
V, a vector (u + v) in V.
Scalar multiplication means a rule that assigns to each scalar c in a field F (viz., a
set of real or complex scalars which obey the elementary rules of algebra) and each
vector in V, a vector cu in V.
axioms:
1. Addition is commutative. viz., for any two vectors, u, v, ΠV, u + v = v + u.
2. Addition is associative. viz., for any vectors u, v, ΠV, (u + v) + w = u + (v + w)
3. There is a unique vector 0 in V (called zero vector) such that u + 0 = 0 + u =
u for any vector u in V.
4. For each vector u in V. there is a unique vector – u in V, such that u + (–u) = 0
5. For any scalar c in F and any vector u, v in V, c(u + v) = Cu + Cv.
6. For any two scalars C1 and C2 in F and any vector u ΠV, (C1 + C2)u = C1u
+ C2u.
7. For the unit scalars 1 ΠF, 1u = u for any u ΠV.
8. For any two scalars C1 and C2 in F and any vector u ΠV, (C1C2) u =
C1 (C2u).

Note
The Vector space is also referred to as the vector space over the field F or
linear space.

examples of Vector Spaces

1. The set of all n-triples of scalars in any field F with addition and scalar
multiplication defined by:
(a1, a2, ..., an) + (b1, b2, ..., bn) = a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn and c (a1, a2, ...,
an) = (ca1, ca2, ..., can), where ai, bi, c ΠF. This vector space is denoted by
Fn. Particular cases are Rn and Cn.
 Linear Algebra and Partial Differential Equations
1-2

Note
The zero vector of Fn is 0 = (0, 0, ..., 0)
2. The set of all (m × n) matrices with entries from any field F is a vector space
over F w.r.t. the operations of matrix addition and scalar multiplication is
denoted by F m × n
Note
F1 × n = Fn
3. The set of all polynomials c0 + c1x + c2x2 + L + cnxn, with the coefficients ci
from any field F with respect to additions of polynomials and multiplication
by a constant.
4. The set V of all function from a non-empty set X into any arbitrary field F
for which addition and scalar multiplication are defined as follows is a vector
space.
The sum of any two functions f and g ΠV is the function (f + g) (x) = f(x) + g(x)
The product of a scalar c Œ F and a function f Œ V in the function cf ŒV,
defined by (cf) (x) = cf(x).

Subspaces
If W is a subset of a vector space V over a field F, such that W is itself a vector space
over F w.r.t. vector addition and scalar multiplication [viz., (1) W is non-empty,
(2) v, w ΠW implies v + w ΠW and (3) v ΠW implies c v ΠW for every c ΠF], then
W is called a sub-space of V.

Examples of Subspaces
1. If V is R3, then the set W consisting of those vectors whose first component
is zero. i.e., W = {(0, a, b): a, b ΠR} is a sub-space of V.
2. If V is the space of all n × n matrices, then the set of all symmetric matrices
of order n is a sub-space of V.
3. If V is any space, then the set {0} consisting of the zero vector alone and the
entire space V are sub-spaces V.

Span
If S is a non-empty sub set of a vector space V, the set of all linear combinations of
vectors in S is a subspace of V and is called the span of S and denoted by L(S). The
subspace L(S) is said to be generated by S.
If L(S) = V, then V is said to be finitely generated by S.
Examples
1. The vector e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) and e3 = (0, 0, 1) and span the vector
space R, for, any vector (a, b, c) in R3 can be expressed as a linear combination
of e1, e2, e3 as (a, b, c) = ae1 + be2 + ce3
2. The polynomial 1, t, t2, ... generate the vector space of all polynomials in t,
as any polynomial can be expressed as a linear combination of 1, t, t2, ... .
 Vector Spaces
1-3

Linear Dependence and independence of Vectors

The vectors u1, u2, ..., um are said to be linear by dependent if scalars, c1, c2, ... cm (not
all zero simultaneously) can be found such that
c 1u 1 + c 2 u 2 + L + c mu m = 0 (1)
where the symbol 0 on the right denotes the null vector.
Otherwise the m vectors are said to be linearly independent. In this case the
equation (1) will be satisfied only if c1 = c2 = ... = cm = 0.
In (1), suppose ck π 0, then
ckuk = –c1u1 – c2u2 – L – ck – 1 uk – 1 – ck + 1 uk + 1 – L – cmum
or equivalently uk = d1u1 + d2u2 + L + dmum. In the case, the vector uk is said to be a
linear combination of all the others.

1.2 BaSiS anD DimenSion

A vector space V is said to be finite-dimensional (n-dimensional or dim V = n), if there
exists a linearly independent set of vectors {e1, e2, ..., en) in V which spans the space
V. The set {e1, e2, ..., en} is called a basis of V and the number of elements in a basis
is called the dimension of V

Examples
1. The vectors e1, (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), e3 = (0, 0, 1, ..., 0), en = (0,
0, 0, ..., 1) form a basis of Rn, called the standard basis and dim (Rn) = n.
2. If V is the vector space of all ( m × n) matrices over F, then dim V = mn.
In particular, if V is the vector space of all (2 × 2) matrices over R, then dim
V = 4.
Ê 1 0ˆ Ê 0, 1ˆ Ê 0 0ˆ Ê 0 0ˆ
The matrices Á ˜ ,Á ˜ ,Á ˜ and Á from the basis of V.
Ë 0 0¯ Ë 0, 0¯ Ë 1 0¯ Ë 0 1˜¯
3. If V is the vector space of polynomials in t of degree n, then dim (V) = n + 1,
for the linearly independent set {1, t, t2, ..., tn} is a basis of V.

Worked Examples (1)

Example 1
Determine whether the vector v = (3, 9, –4, –2) belongs to the space spanned by
u1 = (1, –2, 0, 3), u2 = (2, 3, 0, –1) and u3 = (2, –1, 2, 1)
If v belongs to the space spanned by u1, u2 and u3, then constants k1, k2, k3 should
exist such that v = k1u1 + k2u2 + k3u3.
viz., (3, 9, –4, –2) = k1(1, –2, 0, 3) + k2(2, 3, 0, –1) + k2(2, –1, 2, 1)
viz., k1 + 2k2 + 2k3 = 3 (1)
–2k1 + 3k2 – k3 = 9 (2)
2k3 = –4 (3)
 Linear Algebra and Partial Differential Equations
1-4
and 3k1 – k2 + k3 = –2 (4)
Equations (1), (2), (3) and (4) are satisfied by k1 = 1, k2 = 3 and k3 = –2
\ The vector v belongs to the space spanned by the vectors u1, u2, u3.

Example 2
Find whether the vector (2, 4, 6, 7, 8) is in the subspace of R5 spanned by (1, 2, 0, 3,
0), (0, 0, 1, 4, 0) and (0, 0, 0, 0, 1)
If possible, let (2, 4, 6, 7, 8) = k1(1, 2, 0, 3, 0) + k2(0, 0, 1, 4, 0) + k3(0, 0, 0, 0, 1).
Then k1 = 2, 2k, = 4, k2 = 6, 3k1 + 4k2 = 7, k3 = 8
There equations are not satisfied by the same set of values of k1, k2 and k3,
\ The given vector does not belong to the subspace of R5.

Example 3
Examine the linear dependence or independence of the following vectors:
u1 = (1, –2, 3, 4), u2 = (–2, 4, –1, –3) and u3 = (–1, 2, 7, 6)
Writing the vectors as row vectors, one below the other, we have
Ê 1, -2, 3, 4 ˆ Ê 1, -2, 3, 4 ˆ
Á -2, 4, 1, -3˜  Á 0, 0, 5, 5 ˜ (u , u + 2u , u + u )
Á ˜ Á ˜ 1 2 1 3 1
Ë -1, 2, 7, 6 ¯ Ë 0, 0, 10, 10¯
Ê 1, -2, 3, 4ˆ
 Á 0, 0, 5, 5˜ [u1 , u2 + 2u1 , u3 + u1 - 2 (u2 + 2u1 )
Á ˜
Ë 0, 0, 0, 0¯

We see that u3 – 3u1 – 2u2 = 0

\ The 3 vectors are linearly dependent.

Example 4
Find the maximum number of linearly independent vectors among the following and
express each of the remaining vectors as a linear combination of these.
u1 = (1, 2, 1); u2 = (4, 1, 2); u3 = (6, 5, 4) and u4 = (–3, 8, 1).
Writing the vectors as row vectors one below the other, we have
Ê 1, 2, 1ˆ Ê 1, 2, 1 ˆ
Á 4, 1, 2˜ Á 0, 7, -2˜ [u1 , u2 , - 4u1 , u3 - 6u1 , u4 + 3u1 ]
Á ˜ Á ˜
Á 6, 5, 4˜ Á 0, -7, -2˜ [u1¢, u2¢ , u3¢ , u2¢ say]
Á - 3, 1˜¯ ÁË 0, 14, 4 ˜¯
Ë 8,

Ê 1, 2, 1 ˆ
Á 0, -7, -2˜
Á ˜ (u1¢, u2¢ , u3¢ - u2¢ , u4¢ + 2 n2¢ )
Á 0, 0, 0 ˜
Á 0, 0, 0 ˜
Ë ¯
 Vector Spaces
1-5

Maximum number of linearly independent vectors = 2

Also u¢3 – u¢2 = 0
viz., u3 – 6u1 – (u2 – 4u1) = 0
viz., u3 = 2u1 + u2
and u¢4 + 2u¢2 = 0
viz., u4 = 3u1 + 2(u2 – 4u1) = 0
viz., u4 = 5u1 – 2u2.

Example 5
Determine whether the set of vectors (4, 1, 2, 0), (1, 2, –1, 0), (1, 3, 1, 2) and
(6, 1, 0, 1) is linearly independent.
Let k1(4, 1, 2, 0) + k2(1, 2, –1, 0) + k3(1, 3, 1, 2) + k4(6, 1, 0, 1) = 0 (A)
Then 4k1 + k2 + k3 + 6k4 = 0 (1)
k1 + 2k2 + 3k3 + k4 =0 (2)
2k1 – k2 + k3 =0 (3)
and 2k3 + k4 =0 (4)
using (4) in (1); 4k1 + k2 – 11k3 =0 (5)
using (4) in (2); k1 + 2k2 + k3 =0 (6)
Eliminating k3 from (3) and (5); 26k1 – 10k2 = 0 or 13k1 – 5k2 =0 (7)
Eliminating k3 from (3) and (6); k1 – 3k2 =0 (8)
Solving (7) and (8), we get k1 = 0 and k2 =0
From (3), k3 = 0 and from (4), k4 =0
viz., the only values satisfying (A) are k1 = k2 = k3 = k4 = 0.
\ The given system in linearly independent.

Example 6
Show that the vectors u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 2) and w = (0, 0, 1) generate R3.
If u, v, w generate R3, a general vectors (a, b, c) in R3 should expressed as a linear
combination of u, v, w.
Let (a, b, c) = k1(1, 2, 3) + k2(0, 1, 2) + k3(0, 0, 1)
\ k1 = a; 2k1 + k2 = b \ k2 = b – 2a
and 3k1 + 2k2 + k3 = c \ k3 = c – 3a – 2(b – 2a) = c – 2b + a
Hence the three given vectors generate R3.

Example 7
Find the condition on a, b, c so that (a, b, c) ŒR3 belong to the space generated by
u = (2, 1, 0), v = (1, –1, 2) and w = (0, 3, –4)
Let (a, b, c) = k1(2, 1, 0) + k2(1, –1, 2) + k3(0, 3, –4)
 Linear Algebra and Partial Differential Equations
1-6
Then 2k1 + k2 = a (1)
k1 – k2 + 3k3 = b (2)
2k2 – 4k3 = c (3)
Eliminating k3 from (2) and (3), 4k1 + 2k2 = 4b + 3c
viz., 2a = 4b + 3c from (1)

Example 8
Show that the vectors u = (1, 0, –1), v = (1, 2, 1) and w = (0, –3, 2) form a basis for
R3. Express each of the standard basis vectors as a linear combination of u, v, w.
Writing u, v, w as row vectors one below the other and row reducing, we get
Ê 1, 0, -1ˆ Ê 1, 0, -1ˆ
Á 1, 2, 1 ˜  Á 0, 2, 2 ˜ ( R , R - R , R )
Á ˜ Á ˜ 1 2 1 3
Ë 0, -3, 2 ¯ Ë 0, -3, 2 ¯
Ê 1, 0, -1ˆ
3
 Á 0, 2, 2 ˜ ( R1¢, R2¢ , R3¢ + R2¢ )
Á ˜ 2
Ë 0, 0, 5 ¯

\ The given vectors are linearly independent.

Let (a, b, c) = k1(1, 0, –1) + k2(1, 2, 1) and k3(0, –3, 2)
Then k1 + k2 = a
2k2 – 3k3 = b
–k1 + k2 + 2k3 = c
1 1 1
Solving, k1 = (7a - 2b - 3c); k2 = (3a + 2b + 3c) and k3 = (2 a - 2b + 2c)
10 10 10
The standard basis vectors and given by
7 3 2
e1 = (1, 0, 0) = u+ v+ w
10 10 10
2 2 2
e2 = (0, 1, 0) = - u+ v- w
10 10 10
3 3 2
and e3 = (0, 0, 1) = - u+ v+ w
10 10 10

Example 9
Find a basis and the dimension of the sub space W of R4, generated by the vectors
(1, –2, 5, –3), (2, 3, 1, –4) and (3, 8, –3, –5).
 Vector Spaces
1-7

We form the matrix with the given vectors as rows and then row-reduce to echelon
form as given below:
Ê 1, -2, 5, -3ˆ Ê 1, -2, 5, -3ˆ
Á 2, 3, 1, -4˜  Á 0, 7, -9, 2 ˜ ( R , R - 2 R , R - R - R )
Á ˜ Á ˜ 1 2 1 3 1 2
Ë 3, 9, -3, -5¯ Ë 0, 7, -9, 2 ¯
Ê 1, -2, 5, 3ˆ
 Á 0, 7, -9, 2˜ ( R1 , R2 , R3 - R2 )
Á ˜
Ë 0, 0, 0, 0¯
The non zero row vectors in the echelon form, namely, (1, –2, 5, –3) and (0, 7, –9, 2)
form a basis of W and dim (W) = 2

Example 10
If W is the space spanned by the polynomial v1 = t3 – 2t2 + 4t + 1, v2 = t3 + 6t – 5, v3
= 2t3 – 3t2 + 9t – 1 and v4 = 2t3 – 5t2 + 7t + 5, find a basis and dimension of W.
The coefficient vectors relative to the basis (t3, t2, t, 1) are (1, –2, 4, 1), (1, 0, 6, –5),
(2, –3, 9, –1) and (2, –5, 7, 5)
We form the matrix with these coefficient vectors as rows and row-reduce to the
echelon form as given below:
Ê 1 -2 4 1 ˆ Ê 1 -2 4 1 ˆ
Á 1 0 6 -5˜ Á 0 2 2 -6˜
Á ˜ Á ˜ ( R1 , R2 - R1 , R3 - 2 R1 , R4 - 2 R1 )
Á 2 -3 9 -1˜ Á 0 1 1 -3˜
Á ˜ Á ˜
Ë 2 -5 7 5 ¯ Ë 0 -1 -1 3 ¯

Ê 1 -2 4 1 ˆ
Á 0 1 1 -3˜
Á ˜ ( R1 , R2 ∏ 2, R3 , R4 )
Á 0 1 1 -3˜
Á 0 -1 -1 3 ˜
Ë ¯

Ê 1 -2 4 1ˆ
Á0 1 1 -3˜
Á ˜ ( R , R , R - R2 , R4 + R2 )
Á0 0 0 0˜ 1 2 3
Á0 0 0 0 ˜¯
Ë

\ (1, –2, 4, 1) and (0, 1, 1, –3) form a basis for the space generated by the coefficient
vectors
viz., t3 –2t2 + 4t + 1 and t2 + t –3 form a basis for the space W and dim (W) = 2.

Example 11
Find the dimension and a basis for the solution space W of the system of homogeneous
equation given below.
x1 + 2x2 + 2x3 – x4 + 3x5 = 0
 Linear Algebra and Partial Differential Equations
1-8
x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + x5 = 0
3x1 + 6x2 + 8x3 + x4 + 5x5 = 0
Row-reducing the given system of equation, we get
x1 + 2x2 + 2x3 – x4 + 3x5 = 0 (1)
x3 + 2x4 – 2x5 = 0 (2)
dim (W) = No. of unknowns – No. of non-zero equations
= 5 – 2 = 3.
The free variables are taken as x2, x4 and x5 (\ x2 is not present in (2))
Taking x2 = 1, x4 = 0, x5 = 0; v1 = (x1, x2, x3, x4, x5) = (–2, 1, 0, 0, 0), using (1) and (2)
Taking x2 = 0, x4 = 1, x5 = 0; v2 = (5, 0, –2, 1, 0), using (1) and (2)
Taking x2 = 0, x4 = 0, x5 = 1; v3 = (–7, 0, 2, 0, 1), using (1) and (2)
v1, v2, v3 form a basis for the solution space W.

Example 12
Find a homogenous system of equations whose solution set W is spanned by (1, –2,
0, 3 –1), (2, –3, 2, 5, –3) and (1, –2, 1, 2, –2).
v = (x1, x2, x3, x4, x5) ŒW, if and only if v is a linear combination of the given vectors.
\ (x1, x2, x3, x4, x5) = k1(1, –2, 0, 3, –1) + k2 (2, –3, 2, 5, –3) + k3(1, –2, 1, 2, –2)
viz., k1 + 2k2 + k3 = x1 (1)
–2k1 – 3k2 – 2k3 = x2 (2)
2k2 + k3 = x3 (3)
3k1 + 5k2 + 2k3 = x4 (4)
–k1 –3k2 – 2k3 = x5 (5)
Row-reducing the above equation, we get
k1 + 2k2 + k3 = x1 (1¢)
k2 = 2x1 + x2 (2¢)
2k2 + k3 = x3 (3¢)
–k2 – k3 = x4 – 3x1 (4¢)
–k2 –k3 = x1 + x5 (5¢)
(3¢) + (4¢) gives k2 = –3x1 + x3 + x4
Also k2 = 2x1 + x2
\ 2x1 + x2 = –3x1 + x3 + x4
viz; 5x1 + x2 – x3 – x4 = 0 (6)
Equating (4¢) and (5¢), we also get
x1 + x5 = x4 – 3x1
 Vector Spaces
1-9

viz; 4x1 – x4 + x5 = 0
(OR) 4x1 – (5x1 + x2 – x3) + x5 = 0 viz., x1 + x2 – x3 – x5 = 0 (7)
v ΠW, if and only if the above system has a solution.
viz., if 5x1 + x2 – x3 – x4 = 0 (6)
and x1 + x2 – x3 – x5 = 0 (7¢)
Equations (6) and (7¢) form the required homogeneous system of equations.

Exercise 1
Part A (Short-Answer Questions)
1. Define vector space with two examples.
2. Define subspace with two examples.
3. Define span of a vector space.
4. Define standard vectors in R3 and prove that they span the vector space R3
5. Define linear dependence and independence of vectors.
6. Define basis and dimension of a vector space.
7. If V is the vector space of all (2 × 2) matrices over R, give a basis of V and
dimension of V.
8. Determine whether the vectors (1, 1, 1) and (1, –1, 5) form a basis for the
vector space R3.
9. Find whether the vectors (1, 1, 2), (1, 2, 5) and (5, 3, 4) form a basis for the
vector space R3.
10. Find whether the vector (1, 1, 1), (1, 2, 3) and (2, –1, 1) form a basis for the
vector space R3.
Part B
11. Is the vector (3, –1, 0, –1) in the sub-space of R4 spanned by the vectors
(2, –1, 3, 2), (–1, 1, 1, –3) and (1, 1, 9, –5)?
12. Find whether the vector (–3, –6, 1, –5, 2) is in the sub space of R5 spanned
by (1, 2, 0, 3, 0), (0, 0, 1, 4, 0) and (0, 0, 0, 0, 1).
13. Examine the linear dependence or independence of the following vectors:
(i) u1 = (2, –1, 3, 2), u2 = (1, 3, 4, 2) and u3 = (3, –5, 2, 2).
(ii) u1 = (1, –1, 0, 1), u2 = (–1, –1, –1, 2) and u3 = (2, 0, 1, –1)
14. Find the maximum number of linearly independent vectors among the
following and express each of the remaining vectors as a linear combination
of these:
u1 = (3, 1, –4); u2 = (2, 2, –3); u3 = (0, –4, 1) and u4 = (–4, –4, 6)
15. Show that the vectors u1 (2, 3, –1, –1); u2 = (1, –1, –2, –4); u3 = (3, 1, 3, –2)
and u4 = (6, 3, 0, –7) form a linearly dependent system, also express u4 as a
linear combination of other.
16. Determine whether the vector (4, 2, 1, 0) is a linear combination of
the vectors u1 = (6, –1, 2, 1), u2 = (1, 7, –3, –2), u3 = (3, 1, 0, 0) and
u4 = (3, 3, –2, –1).
17. Show that the vector (a, b, 0) in R3 is generated by
(i) u1 = (1, 2, 0) and u2 = (0, 1, 0)
 Linear Algebra and Partial Differential Equations
1-10
(ii) u1 = (2, –1, 0) and u2 = (1, 3, 0)
18. Show that the vector (a, b, 0) in R3 is generated by
(i) u1 = (0, 1, 1) and u2 = (0, 2, –1)
(ii) u1 = (0, 1, 2) and u2 = (0, 2, 3)
19. Show that the vectors (1, 1, 1), (1, 2, 3) and (2, 3, 8) form a basis for R3.
Express each of the standard basis vectors as a linear combination of these
vectors.
20. Show that the vectors u = (1, 2, 2), v = (2, 1, –2) and w = (2, –2, 1) form a basis
for R3. Express each of the standard basis vectors as a linear combination of
u, v and w.
21. Find a basis and dimension for the subspace of R4 spanned by the four vectors
v1 = (1, 1, 2, 4), v2 = (2, –1, –5, 9), v3 = (1, –1, –4, 0) and v4 = (2, 1, 1, 6)
22. Find a basis and dimension of the subspace of R4 spanned by
(i) (1, 4, –1, 3); (2, 1, –3, –1) and (0, 2, 1, –5)
(ii) (1, –4, –2, 1); (1, –3, –1, 2) and (3, –8, –2, 7)
23. Find a basis and dimension of the solution space W of the homogeneous
system x + 3y + 2z = 0, x + 5y + z = 0 and 3x + y + 8z = 0.
24. Find a basis and dimension of the solution space W of the homogeneous
system: x1 + 2x2 – x3 + x4 = 0 and x1 – 2x2 + x3 + 2x4 = 0
25. Find a homogeneous system of equations whose solution set W is spanned
by (1, –2, 0, 3), (1, –1, –1, 4) and (1, 0, –2, 5)

Answers

Exercise 1

8. No, since dim (R3) = 3, but there are only 2 elements.

9. No, since the vectors are linearly dependent.
10. Yes, since the vectors are linearly independent.
11. No, the given vectors are linearly dependent.
12. Yes, since (–3, –6, 1, –5, 2) = –3u1 + u2 + 2u3
13. (i) Linearly dependent, since u3 = 2u1 – u2
(ii) Linearly dependent since u1 = u2 + u3
14. 2, let them be u1 and u2. Then u3 = 2u1 – 3u2 and u4 = 0 u1 – 2u2
15. u4 = u1 + u2 + u3
16. Yes since u = 2u1 + u2 – 3u3 + 0.u4
17. (i) (a, b, 0) = a(1, 2, 0) + (b – 2a)(0, 1, 0)
1 1
(ii) (a, b, 0) = (3a - b) (2, - 1,0) + (a + 2b) (1, 3, 0)
7 7
1 1
18. (i) (0, b, c) = (b + 2c) (0, 1, 1) + (b - c)(0, 2, - 1)
3 3
(ii) (0, b, c) = (–3b + 2c) (0, 1, 2) + (2b – c) (0, 2, 3)
 Vector Spaces
1-11

7 5 1 1 3 1
19. e1 = u - u + u ; e = - u1 + u2 - u3
4 1 4 2 4 3 2 2 2 2
1 1 1
and e3 = - u1 - u2 + u3
4 4 4
1 2 2 2 1 2 2 2 1
20. e1 = u + v + w; e2 = u + v - w; e3 = u - v + w
9 9 9 9 9 9 9 9 9
21. (1, 1, 2, 4), (0, –3, –11, 1) and (0, –2, –6, –4) form a basis and dim = 3.
22. (i) dim (W) = 3; Basis ∫ [(1, 4, –1, 3), (0, –7, –1, –7) and (0, 2, 1, 5)
(ii) dim (W) = 2; Basis ∫ [(1, –4, –2, 1) and (0, 1, 1, 1)]
23. Basis ∫ (7, –1, 2) and dim (W) = 1
24. dim (W) = 2; Basis ∫ [(–5, 1, 0, 3) and (3, 0, 1 –2)]
25. 2x1 + x2 + x3 = 0 and 5x1 + x2 – x4 = 0
 Linear Transformation
2-1

Unit 2
Linear Transformation

2.1 Linear TransformaTion–DefiniTion

If V and W are vector spaces over the same field F, a function T from V into W is
called a linear transformation or linear mapping, provided it preserves the two basic
operations of a vector space and denoted by T : V Æ W.
viz., (i) T(v + w) = T(v) + T(w) for any v, w ΠV
(ii) T(cv) = cT(v), for any v ΠV and c ΠF.

Note
T(0) = T(0v) = 0. T(v) = 0.

examples of Linear Transformation

1. Zero transformation: Let N : V Æ W be a transformation such that N(v) = 0 Œ W,
for every v ΠV.
Now N(v + w) = 0 = 0 + 0 = N(v) + N(w)
and N(cv) = 0 = c × 0 = cN(v)
Hence W is a linear transformation, usually denoted by 0.
2. Identity transformation: Let I: V Æ V be a transformation such that I(v) = v,
for every v ΠV.
Now I(v + w) = v + w = I(v) + I(w)
and I (cv) = cv = cI(v)
Hence I is a linear transformation.
3. If V is the vector of polynomials in the variable x over the real field R and if
1
df
D(f) = and I ( x ) = Ú f ( x ) dx, then
dx 0
D : V Æ V and : V Æ R are linear transformation, for
D(c1v + c2w) = c1 D(v) + c2 D(w) and,
1 1 1
I (c1v + c2 w) = Ú (c1v + c2 w) dx = c1 Ú v dx + c2 Ú wdx = c1 I (v) + c2 I (w)
0 0 0

4. Let P be a fixed (m × m) matrix with entries over F and Q be a fixed (n × n)

matrix over F.
 Linear Algebra and Partial Differential Equations
2-2
If T is a transformation over the space Fm × n is defined as T(A) = PAQ, then
T is a linear transformation, for
T(c1A + c2B) = P(c1A + c2B)Q = [c1(PA) + c2(PB)]Q = c1(PAQ) + c2(PBQ)
= c1T(A) + c2T(B)

Note
T: V Æ W can be uniquely determined by arbitrarily assigning elements of W
to the elements of a basis of V as per the following theorem which is stated
without proof.
Theorem: If V is a finite dimensional vector space over a field F, with {v1, v2, ..., vn}
as a basis and W is another vector space over the same field containing the arbitrary
vector {w1, w2, ..., wn} (which may be linearly dependent or equal to each other), there
exists a unique linear transformation T : V Æ W such that T(vj) = wj ij = 1, 2, ..., n.
For example, let us find T : R2 Æ R3 defined by T((1, 2) = (3, –1, 5) and T(0, 1)
= (2, 1, –1)
Since (1, 2) and (0, 1) are linearly independent, they form a basis of R2. The vectors
(3, –1, 5) and (2, 1, –1) have been arbitrarily chosen in R3
Now (a, b) = c1(1, 2) + c2(0, 1) \ c1 = a and c2 = b – 2a
\ T(a, b) = a(3, –1, 5) + (b – 2a) (2, 1, –1)
= (2b – a, b – 3a, 7a – b), which is the unique linear transformation
required.

2.2 nuLL space anD range space

Definitions: If V and W are vector spaces over the field F and if T : V Æ W is a linear
transformation, the set of all vectors v in V such that T(v) = 0 is called the null space
of T or kernel of T and denoted by NT.
The set of all vector w is W such that T(v) = w, v ΠV is called the range space or
the image space of T and denoted by RT.

Note
Null space of T is a subspace of V and range space of T is a subspace of
W.)

If V is finite dimensional, the dimension of the range of T is called the rank of T

and that of the null space of T is called the nullity of T

Dimension Theorem
The sum of the dimension of the range space and null space of a linear transformation
is equal to the dimension of its domain viz., if V and W are vector spaces over the
field F and if T : V Æ W is a linear transformation and if V is finite dimensional, then
rank (T) + nullity (T) = dim (V).
Proof: Let {v1, v2, ..., vk} be a basis for NT, so that dim (NT) = k
 Linear Transformation
2-3

We can find vectors vk + 1, vk + 2, ... vn such that (v1, v2, ... vn) is a basis of V, so that
dim (V) = n.
The theorem is proved, if we can prove that (Tvk + 1, Tvk + 2, ... Tvn) is basis for RT
Clearly the vectors Tv1, Tv2, ... Tvn span RT
But Tv1 = Tv2 = ... = Tvk = 0
\ Tvk + 1, Tvk + 2, ..., Tvn span RT
These vector Tvk +1, Tvk +2, Tvn will be a basis of RT, provided they are linearly
independent.
n
Let these be scalars ci such that  ci (Tvi ) = 0
i = k +1

n
viz., T Â ci vi = 0 (Q T is linear)
i = k +1
n n
This means that v = Â ci vi is (in N T ) viz., T Â ci vi = 0 [Q T is linear]
i = k +1 i = k +1 (1)
Since {v1, v2, ..., vk} is a basis of NT, there exist scalars b1, b2, ..., bk such that
k
v= Â bi vi (2)
i =1

k n
From (1) and (2), we get  bi vi -  ci vi = 0
i =1 i = K +1

Since v1, v2, .., vn form a basis of V, they are linearly independent.
\ b1 = b2 = ... = bk = ck + 1 = ck + 2 = ... = cn = 0
\ Tvk + 1, Tvk + 2, ..., Tvn form a basis for RT
\ dim (RT) = n – k and dim (NT) = k
\ Rank (T) + nullity (T) = dim(V)

Worked Examples 2(a)

Example 1
Show that the transformation T : R3 Æ R2 defined by T(x, y, z) = (z, x + y) is linear.
Let v = (x, y, z) and w = (x¢, y¢, z¢)
Then c1v + c2w = (c1x + c2x¢, c1y + c2y¢, c1z + c2z¢)
\ T(c1v + c2w) = {c1z + c2z¢, c1(x + y) + c2(x¢ + y¢)}, by definition of T
= c1(z, x + y) + c2(z¢, x¢ + y¢)
 Linear Algebra and Partial Differential Equations
2-4
= c1T(x, y, z) + c2T(x¢, y¢, z¢)
= c1T(v) + c2T(w)
\ T is linear.

Example 2
Show that the transformation T : R2 Æ R2 defined by T(x, y) = (sin x, y) is not linear.
Let v = (x, y) and w = (x¢, y¢)
Then c1v + c2w = (c1x + c2x¢, c1y + c2y¢)
\ T(c1v + c2w) = {sin(c1x + c2x¢), c1y + c2y¢} (1)
But c1T(v) + c2T(w) = c1 (sin x, y) + c2 (sin x¢, y¢)
= {c1 sin x + c2 sin x¢, c1y + c2y¢} (2)

From (1) and (2), we see that T(c1v + c2w) π c1T(v) + c2T(w)
\ T is not linear.

Example 3
Find whether the transformation T : R2 Æ R3 defined by
T(x, y) = (x + 1, 2y, x + y) is linear.
Let v (x, y) and w = (x¢, y¢)
Then c1v + c2w = (c1x + c2x¢, c1y + c2y¢)
\ T(c1v + c2w) = {c1x + c2x¢ + 1, 2(c1y + c2y¢), c1(x + y) + c¢2(x¢ + y¢)
π c1T(v) + c2T(w)
\ T is not linear.

Example 4
If V is the vector space of all n × n matrices over F and if B is an arbitrary matrix in
V, show that the transformation T : V Æ V defined by T(A) = AB – BA, where A Œ V
is linear. Show also that T(A) = A + B is not linear, unless B = 0.
T(c1A + c2A¢) = (c1A + c2A¢)B – B(c1A + c2A¢)

= c1(AB – BA) + c2(A¢B – BA¢) (1)

c1T(A) + c2T(A¢) = c1(AB – BA) + c2(A¢B – BA¢) (2)

From (1) and (2), we see that T is linear.
Now T(c1A + c2A¢) = c1A + c2A¢ + B (3)
and c1T(A) + c2T(A¢) = c1(A + B) + c2(A¢ + B)

= c1A + c2A¢ + 2B (4)

From (3) and (4); we see that T is not linear, but linear when B = 0
Another random document with
no related content on Scribd:
face de moi, immobile comme moi, gardait le même silence. Mais
dès l’entrée dans les faubourgs d’Avignon, avant même que le train
eût ralenti, il était debout, rassemblant notre bagage : et je savais
bien que, pas plus que moi, il n’avait dormi.
La stagnation blanche des lampes électriques occupait seule les
avenues désertes et, quand la traversait un frisson métallique,
l’ombre des feuilles était la seule que l’on vît tout à coup danser le
long des murs. Il était tard, et ce grand orage de la veille avait mis
dans l’air les premières fraîcheurs de l’automne. Dans l’hôtel
modeste où Fabien me conduisit, on nous servit un pauvre souper
de pâté, d’olives et de fromage de chèvre. Les chambres sentaient
le savon grossier, le tabac refroidi, l’odeur forte des huiles dont le
carrelage rouge était lustré ; et toute la médiocrité de ce gîte
lamentable nous obligea enfin de prononcer les premières paroles.

Il nous fallait trouver un logement pour y passer ces quelques

semaines et nous nous en occupâmes dès le lendemain. Fabien,
dans cette ville, avait quelques amis qui nous eussent utilement
renseignés. Mais il n’en parlait pas, et, comprenant trop bien qu’il ne
voulût pas en ce moment penser à eux, je n’osai les lui rappeler.
Tandis qu’il consultait les agences qui sont sur la place de l’Horloge,
je m’en allai de mon côté, au hasard des petites rues, si bruyantes et
peuplées quand elles touchent au cœur de la ville, et, dès qu’elles
s’en éloignent, serrant leurs vieux murs sur de si profonds silences.
Et tout étourdie que je fusse encore, recevant de tous mes actes un
étonnement qui, dans certaines minutes, allait jusqu’à la stupeur, je
sus cependant découvrir dès ce matin-là ce qui nous était
nécessaire.
C’était une vieille maison de la rue Trois-Faucons, étroite, avec
une porte romane dont le marteau figurait deux serpents
enchevêtrant leurs nœuds. Elle appartenait à un antiquaire du nom
de Chayère, tenant boutique près de Saint-Agricol et qui avait là son
dépôt de marchandises. Les pièces, dallées de noir et de blanc,
étaient occupées par tout un peuple d’armoires et d’horloges, de
tables escaladant des commodes, de fauteuils portant des chaises
renversées ; et l’on ne voyait en entrant là qu’un pêle-mêle de
panneaux luisants et de dorures fanées, qu’un enchevêtrement de
pieds tors ou cambrés, tandis que pendaient des plafonds les petits
lustres aux cristaux poussiéreux, et les lampes d’église au flanc
desquelles se ternissaient les angelots d’argent ou d’étain. Mais, au
premier étage, deux chambres étaient vides, auxquelles attenait une
petite cuisine. Elles avaient encore leurs plafonds peints et les
carreaux verdâtres de leurs fenêtres d’autrefois, et elles donnaient
sur un humide et profond jardin auquel on pouvait descendre du rez-
de-chaussée par de longues marches de pierre.
Chayère consentit à nous louer ces chambres, et sut en deux
heures les rendre habitables, grâce à quelques meubles qu’il tira de
ses réserves. Il y mit un lit Directoire dont la peinture gris s’ornait
d’un filet bleu, une table d’acajou assez grande pour que nous y
puissions prendre nos repas, une commode faite en Arles, une
armoire qui venait d’Aix, des chaises, deux bergères dont la
tapisserie crevée laissait échapper un crin noir mêlé de paille. Il
accrocha aux fenêtres des rideaux de damas qui, tendus,
semblèrent lamés de ciel, tant leur trame avait d’usure et de
transparence. Enfin, une femme qu’il m’indiqua put me fournir un
peu de linge et une autre de la vaisselle.
Je travaillai la journée entière avec cet homme, afin que, dès le
soir, tout fût en état. Fabien rôdait à travers la ville. Il rentra comme
le soir allait venir et, sans rien regarder, alla s’asseoir dans un
fauteuil près de la fenêtre. Elle était grande ouverte. Une mourante
et délicieuse odeur d’automne venait de ce petit jardin si sombre,
serré entre de grands murs, où quelques roses achevaient de fleurir.
Plus défait et misérable encore que je ne l’avais vu la veille, mais
aussi plus aigrement nerveux, Fabien remarqua :
— Cet enclos empoisonne l’humidité et la feuille pourrie. Et le
logement doit être assez malsain… Enfin !…
Je murmurai :
— Nous y sommes pour peu de jours.
 Il se tut. Un peu plus haut, j’ajoutai :
— N’est-ce pas ?
— Mais je n’en sais rien, dit-il, rien…
Je soupirai peut-être, ou je fis un petit geste. Peut-être aussi j’eus
l’imprudence de le regarder. Alors cette irritation, qui devenait peu à
peu la forme de sa détresse, le tourna vers moi, méfiant de nouveau,
presque haineux :
— Et puis, tais-toi, cria-t-il, ne me pose aucune question. Nous
sommes ici. C’est bien. Cela suffit. Ne t’inquiète pas d’autre chose.
Je ne veux plus entendre parler de rien. Je te le défends. Pas un
mot, tu m’entends… pas une question… Jamais… jamais !… Pas un
mot.
Il agitait devant lui sa main fébrile et menaçante :
— Pas un mot… jamais !
Je répétai :
— Non… non… jamais.
Et dès ce moment, je commençai d’observer, non seulement au
sujet de ce qui avait pu se passer à Lagarde pendant la nuit terrible,
mais au sujet de nous-mêmes, de nos moindres pensées, de ce
triste voyage, ce silence qu’il exigeait, cet absolu silence… Fabien
m’effrayait, mais ce n’était pas de la même façon que la veille, et je
ne pouvais m’expliquer pour quelles secrètes raisons il m’était
maintenant possible de rester auprès de lui.

*
* *

Il prit tout de suite l’habitude de partir chaque matin dès le réveil

pour des marches interminables à travers les faubourgs et dans la
campagne. Une femme, à ce moment, venait pour nous servir. Mais
elle ne pouvait me donner qu’un petit nombre d’heures ; elle s’en
allait avant midi, laissant le repas préparé. Alors, je mettais la nappe,
je disposais les plats, j’attendais. Enfin, Fabien rentrait, assez tard et
portant sur son visage cette souffrance, cet air d’égarement qui ne
cessaient plus d’y paraître. Sans même m’avoir dit bonjour, il
s’asseyait à table et se mettait à manger. Mais après les premières
bouchées il relevait la tête, m’observait, et je voyais aussitôt la
méfiance et l’inquiétude remonter au fond de ses yeux. J’hésitais…
Je me demandais longuement ce que je pourrais lui dire… Et je
finissais par poser quelques questions qui étaient toujours les
mêmes et recevaient les mêmes réponses :
— Tu es allé te promener ?
— Oui.
— Où cela ?
— Devant moi.
— Au bord du Rhône ?
— Je n’en sais rien.
Et le silence recommençait, si pesant que je ne tentais plus
même un effort pour le soulever.
Il s’anima seulement la première fois que je reçus une lettre de
Guicharde. Ce fut quatre jours après notre arrivée. Dès son entrée
dans la chambre, apercevant sur la commode arlésienne la simple
enveloppe de papier bleu, reconnaissant l’écriture, Fabien eut un
geste brusque. Et tout de suite, avec une impatience fébrile :
— Eh bien ! demanda-t-il, qu’est-ce qu’elle dit ?
Elle disait peu de chose, sortant à peine et ne voyant personne.
Elle espérait que Fabien allait mieux, que ce repos nécessaire après
tant de fatigues et d’émotions lui ferait du bien. Elle disait que la
maison sans nous lui paraissait grande et vide, qu’elle s’occupait
avec Adélaïde de tout bien mettre en ordre afin que nous soyons
contents à notre retour. Et elle terminait par de petites phrases où
elle avait mis toute la tendresse et tout le dévouement de son cœur.
— C’est tout ?… interrompit Fabien comme je lisais ces phrases.
— C’est tout.
— Bien dit-il, c’est bien.
 Ce fut la seule fois qu’il m’interrogea sur les lettres de Guicharde.
Par la suite, s’il en trouvait une dans la boîte et qu’il me la montât, il
la jetait sur la table avec quelquefois une indifférence et quelquefois
une colère également dédaigneuses, sans jamais plus demander ce
que ma sœur pouvait avoir à nous apprendre.
Il repartait aussitôt le repas terminé. Une fois encore, je restais
seule. Alors, la pièce mise en ordre, j’allais m’asseoir auprès de la
fenêtre. Une angoisse plus violente chaque jour et plus douloureuse
m’envahissait, m’absorbait. Et quand j’en revenais, au bout de plus
d’une heure, je m’apercevais que, pendant tout ce temps, j’avais
rôdé dans les faubourgs et la campagne auprès de Fabien, avec lui,
portant ses grands remords et sa grande misère… Et c’est de toute
sa lassitude que je me sentais écrasée.

*
* *

Huit jours passèrent ainsi, et chacun aggravait la détresse de

Fabien et lui creusait un peu le visage. Un matin, en rentrant, il
refusa de s’asseoir à table et alla se jeter sur son lit.
— Je n’en puis plus, dit-il. Je vais tomber malade.
C’était la première fois que devant moi il s’abandonnait ainsi. Je
voyais bien cependant qu’il ne me permettrait encore de lui poser
aucune question. Mais parce qu’il avait soupiré, je soupirai avec lui.
— Tu t’ennuies trop. Ce désœuvrement est une terrible chose.
Déjà redressé, déjà hostile, il cria presque :
— Qu’est-ce que tu veux que je fasse ?
— Tu pourrais lire.
— Et quoi donc ? Où les prendrais-je, les livres ?
— Chez le marchand… Roumanille a beaucoup de choses.
— Tu es folle. Je ne gagne rien en ce moment, et j’irais dépenser
l’argent à acheter des livres !
 J’avais déjà fait cette proposition et j’avais toujours reçu la même
réponse. Je voyais bien qu’il s’obstinait sombrement à ne rien faire
et ne voulait tirer un secours que de ses mornes promenades. Mais
pendant ces après-midi solitaires où je ne pouvais m’occuper à rien
qu’à le chercher et qu’à le suivre, une âme nouvelle avait dû se
former en moi ; ma grande patience aujourd’hui ne se laissait point
rebuter par ses rudesses. Et je proposai encore, après être allée
dans la cuisine chercher l’eau fraîche et le vin :
— Quelquefois…, aujourd’hui par exemple, veux-tu que je sorte
avec toi ?
— Si ça t’amuse…
Il se décidait tout de même à se lever et à prendre sa place
devant le repas servi. Il ajouta :
— Et si tu en as le temps.
— Je le trouverai.
— Mais ne pense pas, déclara-t-il en cassant son œuf, que je
vais attendre que tu aies tout remis en ordre.
— Je te rejoindrai donc.
— Où cela ?
— Où tu voudras.
— Eh bien ! dit-il comme résigné, à quatre heures, au petit café
qui est près de la porte de l’Oulle.
… Je fus exacte. Et tandis que j’allais vers ce morne rendez-
vous, pensant à Fabien comme je ne cessais plus de le faire, et à
toute cette horreur de lui-même qui paraissait chaque jour l’accabler
avec plus de force, je pensais aussi que ce serait une grande charité
que de sourire et de paraître heureuse en l’apercevant… Mais mon
visage, au contraire, malgré cet air que je voulais lui donner, dut
marquer seulement que tout mon cœur se serrait.
Ce petit café où il m’attendait, tout étroit, misérable, derrière ses
fusains maigres et sous sa tente sale, avait sa terrasse envahie par
des rouliers de Villeneuve et par quelques soldats. De grosses
femmes, des filles en cheveux, buvaient auprès d’eux. Et Fabien
était là, parmi cette racaille, avec trois soucoupes devant lui sur la
petite table verte, et un verre encore plein. Il le vida d’un trait quand
il m’aperçut et me rejoignit aussitôt.
— Mais, lui fis-je remarquer, tu n’as pas payé.
Je m’arrêtais. Il m’entraîna.
— Ne t’inquiète pas. On me connaît. J’ai payé ma note samedi et
je payerai à la fin de cette semaine.
Il marchait un peu lourdement et avait pris mon bras pour s’y
appuyer.
— Tu as donc l’habitude de venir… dans cet endroit ?
— Mais oui, avoua-t-il, quand je suis fatigué de marcher.
Et, aussitôt agressif :
— Ai-je autre chose à faire ?
Ayant passé la porte de l’Oulle, nous allions le long du rempart.
La poussière de l’été le recouvrait encore, et la première grande
pluie, sans parvenir à l’emporter, l’avait seulement délayée un peu et
ramassée çà et là en croûtes épaisses. La pierre était blanche et les
arbres blancs au pied desquels croissait une herbe misérable, tout à
la fois boueuse et consumée. Fabien avait lâché mon bras.
Silencieux, baissant la tête, il défaisait au bout de sa canne les
petites mottes de terre et s’il en manquait quelqu’une, s’impatientant
aussitôt, il l’écrasait du talon. De cette manière évidemment, quand il
était seul, se passaient ses promenades. Je les imaginais bien ainsi.
Mais j’ignorais où le menait ensuite la fatigue, j’ignorais ce cabaret,
ces stations hébétées au milieu de la plus basse populace, devant le
verre rempli et les soucoupes empilées… Or, voici que comprenant
mieux bien des choses, non pas aujourd’hui seulement, mais me
semblait-il, depuis quelque temps, je commençais à comprendre que
ce n’était rien d’avoir quitté avec lui notre maison, et rien de
consentir à demeurer près de lui. — Et il me semblait être
maintenant responsable de cette déchéance nouvelle vers laquelle il
s’en allait.
 Que faire cependant pour la secourir, puisque, tout replié sur sa
grande misère, il ne me permettait pas d’en approcher ? Quelle
parole, cherchant à l’atteindre profondément, ne lui eût paru
injurieuse, et toute pénétrée du terrible soupçon ?… Continuant de
ne regarder que la terre, il s’arrêtait maintenant à chaque pas, pour
écheveler l’herbe courte du bout de son soulier. Jamais son silence
ne m’avait semblé si pesant et pour la première fois, au lieu de le
subir avec lui, je souhaitais de l’en délivrer.
Alors, le touchant doucement au bras :
— Regarde, dis-je, ces bohémiens.
Au pied du rempart était arrêtée une roulotte misérable, faite de
mauvaises planches déteintes, et montée sur deux roues. Lié par
une corde à l’arbre le plus proche, un maigre cheval, grisâtre comme
la pierre et desséché comme elle, humait le sol aride avec
résignation. Et deux femmes, s’affairant autour d’un feu de
broussailles, trempaient des linges dans un petit chaudron où fumait
je ne sais quelle mixture aromatique et forte. La plus vieille avait ses
cheveux serrés dans un mouchoir rouge et jaune, et l’autre, toute
jeune, déformée par une grossesse dont le terme était proche,
portait une robe d’indienne à fleurs roses dont les deux volants
traînaient dans la poussière.
Elle tordit un des linges entre ses petites mains sales et se
dandinant avec peine s’approcha d’un homme qui était couché à
quelques pas, le dos soutenu par une caisse et le genou gauche
empaqueté de chiffons noirâtres et sanglants. Une grande
souffrance convulsait son visage. La jeune femme s’agenouilla près
de lui et commença de défaire le grossier pansement.
Fabien, leur jetant un coup d’œil, avait aussitôt détourné la tête,
mais je voulais maintenant qu’il s’intéressât à eux et je lui
demandai :
— Que peut avoir ce malheureux ?
— Je n’en sais rien.
— Mais elle infectera la plaie en la soignant ainsi.
 — C’est leur affaire.
Je m’étais arrêtée, il marcha plus vite. Je dus courir pour le
rejoindre, et tout animée soudain d’une idée qui me paraissait
bonne :
— Fabien ! si tu voulais examiner ce malheureux… si tu lui
donnais un conseil…
Sans répondre, il allait toujours, de son pas rapide. J’insistai, plus
pressante, et il me semblait le supplier pour lui-même et non pour
cet étranger.
— Il souffre… Si tu voulais essayer de le soulager… avoir
pitié !… Ces pauvres gens t’écouteraient, j’en suis sûre… Et puisque
tu n’as rien à faire, tu pourrais demain revenir voir si l’homme ne va
pas un peu mieux.
Mais comme je le prenais par le bras, voulant l’arrêter et le forcer
de retourner vers ces misérables, il se dégagea brusquement. Et,
ricanant, les épaules secouées, la bouche mauvaise :
— Alors, proféra-t-il, je ne suis plus bon qu’à soigner les
bohémiens au bord des routes, et les chiens crevant au fond des
fossés ! Nulle autre clientèle maintenant ne saurait avoir confiance
en moi… C’est cela, n’est-ce pas ? que tu veux me faire entendre.
Je te remercie…
— Mais, Fabien…
— Laisse-moi tranquille.
Nous continuâmes en silence cette sombre promenade. Nous
approchions maintenant du pont Saint-Bénézet. C’est le vieux pont
de la chanson. Trois de ses arches, il y a bien longtemps, furent
emportées par le Rhône. Rompu ainsi au point le plus furieux des
eaux, il continue vainement de se tendre vers l’autre rive. Mais il
porte en son milieu une petite chapelle, et, comme nous nous étions
arrêtés, indécis et las, découragés également de poursuivre cette
route et de regagner notre logis, je proposai à Fabien de la visiter.
— Comme tu voudras, dit-il avec indifférence.
 Nous entrâmes donc chez le gardien. La chambre qu’il habite,
creusée dans le rempart même, sentait l’oignon, le vieux cuir et la
fumée de bois ; et le bonhomme, installé devant un établi s’occupait
à rapetasser de vieilles chaussures. Il les martelait à petits coups,
d’un geste égal et nonchalant, et, soucieux de ne se point fatiguer,
sans s’interrompre ni se lever, il nous désigna une clef pendue à la
muraille, puis une petite porte au fond de la chambre.
— Vous monterez l’escalier. Il est dur. Prenez garde à tomber en
redescendant. Et puis là-haut, ne passez pas le garde-fou qui est
après la chapelle. Y en a qui le font. Mais c’est déraisonnable, à
cause de la solidité, qui n’est pas sûre.
L’escalier serré entre deux murailles que veloutaient des plantes
aux fleurs minuscules, était roide en effet, mais avait peu de
marches, et le vieux pont s’étendait là-haut, dans toute la lumière du
déclinant soleil. Point d’autres visiteurs aujourd’hui. Nous étions
seuls. Sur les larges dalles où, selon la légende, les belles dames
dansaient avec les beaux messieurs, Fabien laissait traîner son pas
plus pesant. Il vint s’accouder à la rampe de fer, et je me penchai
auprès de lui. Le Rhône en feu roulait un couchant tourmenté.
Villeneuve à notre gauche, légère et couleur d’or, attendait
magnifiquement que la vînt saisir l’ombre sournoise se préparant au
fond des creuses vallées. Très loin, Châteauneuf-des-Papes, parmi
de sombres verdures, répandait ses maisons rousses comme une
poignée de maïs égrené. Et de la cime pierreuse et blonde des
collines, de la cime éclatante du mont Ventoux, semblait sortir cette
lumière qui se dissolvait dans le ciel, et retombait sur les petites
villes éparses, les champs mûrs, la terre dorée.
Il me semblait que mon cœur recevait cette lumière comme la
recevaient les choses, et que, comme elles, il en était tout embelli.
Ma bonne volonté fut tout à coup plus vivace et meilleure. Je
recommençai de m’émouvoir comme je l’avais fait en voyant Fabien
dans ce cabaret. Ce que j’avais compris à ce moment, je le
comprenais mieux encore. Et, sachant bien maintenant que j’avais le
devoir de le sortir de lui même, je savais aussi que la tâche serait
difficile et qu’il ne fallait pas me décourager aussitôt. — La
souffrance des êtres n’avait pu le toucher ; je voulus essayer de la
beauté des choses et, lui montrant le paysage admirable, je
murmurai :
— C’est beau.
Mais il secoua les épaules d’un air excédé et se détournant, alla
s’asseoir sur un des bancs creusés dans le mur de la chapelle. Je
ne le suivis pas tout de suite. Je regardais encore le ciel et l’eau et,
toute soulevée au-dessus de moi-même, il me paraissait à présent
que j’étais croyante et que je disais ma prière. C’était la plus belle de
toutes ; elle se formait dans mon cœur et je n’en connaissais pas les
paroles ; mais je sentais toute la force qui me venait d’elle. — Que
dire à Fabien, qui le secourût un peu ?… Que lui dire ?… Des
feuilles rugueuses frôlaient mes deux mains croisées, et je vis qu’un
figuier avait poussé entre les pierres. S’appuyant au contrefort de la
troisième arche, qui le gardait un peu du vent, il poussait de fortes
branches, et vivace, large, d’un beau gris bleuâtre qui ne se tachait
point de jaune, il avait seulement pour se nourrir quelques parcelles
de terre que le vent avait amoncelées au joint de deux blocs creusés
par les pluies.
— Qu’il a suffi de peu de chose… pensais-je, sans bien entendre
moi-même tout cette pensée.
Et je me répétai quelques minutes plus tard :
— Il suffit de peu de chose…
D’autres minutes passèrent encore et j’allai retrouver Fabien
dans l’intérieur de la chapelle. Elle est petite et ronde, sans porte, et
regarde le courant qui s’en va vers la mer. Les colonnes de l’autel
s’ornent encore de feuillages confus, et çà et là, aux angles de la
voûte, autour d’un pilier, des sculptures délicates achèvent de
s’effacer et de rentrer dans la pierre. Mais Fabien ne s’intéressait
point à ces petites formes végétales, célestes ou démoniaques. Les
bras croisés, et renversant un peu la tête, il fixait le mur devant lui,
avec un air d’hébétude douloureuse. Quand j’entrai, il ne bougea
pas. Alors j’allai m’asseoir à son côté. Je posai doucement ma main
sur son genou, et je dis très bas :
 — Tu es malheureux…
En même temps, je me préparais à supporter sa colère. Mais au
contraire, il me regarda presque doucement, tout surpris, non de
mes paroles peut-être, mais de ce ton que je leur avais donné ; et il
avoua, aussi bas, plus bas encore que moi-même :
— Oui.
Aussitôt il prit ma main, la serra nerveusement, la retint dans les
siennes. Et ce petit mouvement exprimait toute sa détresse, comme
ma courte phrase avait montré toute ma pitié… Rien d’autre. Il n’y
eut rien d’autre. Mais il me paraissait que la parole nécessaire avait
été dite.
Ensuite, nous nous levâmes pour regagner notre maison ; et ce
retour, par la porte du Rhône et les vieilles rues qui sont autour du
séminaire, continua d’être silencieux ; et le repas, près de la fenêtre
ouverte sur le sombre jardin, fut silencieux aussi comme les autres
soirs. Cependant, une ou deux fois, je retrouvai dans les yeux de
Fabien, au lieu de cette méfiance attentive, de cette tressaillante
inquiétude, le regard étonné qu’il avait eu dans la chapelle… Et
cependant je sentais mon obsédante angoisse se pénétrer de je ne
sais quelle satisfaction si profonde qu’elle ressemblait peut-être à de
la joie.

*
* *

Il partit le lendemain aussi tôt que d’habitude et sans m’avoir

parlé davantage. Mais il rentra moins tard, et dès qu’il eut ouvert la
porte :
— Tu sais, me dit-il, ils sont partis.
Je lui demandai, bien étonnée, de qui il parlait ainsi. Alors il me
répondit de son ton brusque :
— De qui veux-tu que ce soit ?… De ces bohémiens…
 Et il gagna aussitôt le fauteuil où, tout accablé, il se laissait
tomber au retour de ses promenades.
J’avais versé de l’eau dans un petit pot de grès bleu pour y
mettre deux roses cueillies dans le jardin de Chayère où je
descendais quelquefois. Mais j’oubliai les roses sur la table, et je
m’approchai de Fabien.
— Tu es donc retourné là-bas ?
Il se taisait.
— Tu t’es rappelé ?… tu as eu pitié ?…
Il haussa les épaules.
— Je suis passé là par hasard.
Il me parut qu’il mettait une espèce de pudeur à cacher sa
pensée, à se défendre de l’avoir eue. Il était repris déjà par sa
nervosité et je compris bien qu’il ne fallait pas en ce moment
l’interroger davantage. Mais après qu’il fut reparti, et durant toutes
les heures du long après-midi, je ne cessai plus de songer à cette
petite bonne intention que j’avais cru deviner en lui.
La femme qui nous servait n’était pas venue et je dus sortir pour
acheter moi-même notre souper. J’allais par la rue Haute et la rue
Vieux-Sextier. J’entrais dans ces boutiques obscures qui sentent le
piment, le bois frais et la morue sèche. Sur le trottoir étroit ou les
pavés pointus, je croisais de ces filles d’Avignon dont la taille molle,
les longs yeux et la bouche peinte offrent et demandent l’amour au
premier qui passe ; des bourgeoises aussi, importantes et fortes,
suivies de beaucoup d’enfants ; des touristes, des étrangers, des
Parisiennes agitées, de vieilles Anglaises vêtues de clair, chaussées
largement, rêveuses et desséchées. Mais toute cette animation de la
cité joyeuse ne parvenait pas à me distraire. Une espèce de
recueillement singulier m’empêchait de bien voir autour de moi les
gens et les maisons ; et il se continua après que je fus rentrée dans
mon logis silencieux. Il me fallut préparer la viande, allumer le feu,
descendre chercher l’eau fraîche à la fontaine du jardin. Je m’y
attardai un instant. Les grands murs autour de moi rabattaient
l’ombre et l’humidité. Il ne venait là que de sombres feuillages, un
maigre laurier, des lierres et des buis. Mais je me rappelais ce figuier
accroché aux pierres, battu du vent, tirant d’une poignée de terre sa
force et sa belle couleur… Je me répétais, comme la veille : « Peu
de chose… il suffit, il a suffi de peu de chose. » Ma méditation s’en
allait maintenant par des chemins que je ne connaissais pas, et, par
instant, sans que ma pauvre raison en pût rien saisir, un grand éclair
me traversait dont je brûlais toute pendant de confuses et
magnifiques secondes.
Quand Fabien rentrait, je ne pouvais que me résigner à subir sa
présence. Ce soir-là je l’attendis, simplement. Mais je vis bien à son
visage crispé qu’il n’éprouvait plus ce semblant d’apaisement qui, la
veille et ce matin encore, rafraîchissait un peu sa sèche douleur.
J’essayai de parler ; il se tut. Je voulus prendre sa main ; il la retira
avec impatience. Ma bonne volonté cependant ne pouvait plus se
décourager.

*
* *

Lagarde maintenant était loin derrière moi comme ces petites

villes que l’on voit bleuir confusément au fond des vieux tableaux.
Les lettres de ma Guicharde, presque quotidiennes, ne me
semblaient pas venues de là et ce que me disait ma sœur, en
dehors de sa tendresse, me demeurait étranger. De tout mon simple
passé demeuraient seulement vivantes pour moi les heures les
meilleures, et je n’entends point par là les plus heureuses, mais ces
heures méditatives, repliées, exigeantes, où l’on sent le tourment
soudain d’avoir une âme et le besoin qu’elle s’en aille vers quelque
chose de meilleur et de plus beau… J’avais connu beaucoup de ces
heures-là pendant mon enfance résignée et ma jeunesse monotone.
Elles étaient à la fois ma richesse et mon tourment. Mais le pauvre
bagage de ma vie intérieure me permettait seulement de connaître
ces exigences et point de les satisfaire.
Ce sel quotidien, qui m’était nécessaire, et que certains trouvent
dans la foi en leur religion, et d’autres dans leur seule sagesse, je ne
pouvais, dans ma simplicité, le tirer que de l’amour. J’attendais tout
de lui, et qu’il fût ma vie même ; et parce que l’amour m’avait déçue,
je pensais ne plus exister. — Comment aujourd’hui se faisait-il que
les plus longues et les plus tristes heures me parussent avoir un
goût que je ne connaissais pas ? Je ne voyais personne. J’avais à
peine le temps de sortir. J’étais tout absorbée par mes besognes de
servante. Mes mains s’abîmaient ; il leur vint au pouce et au pli des
phalanges de petites raies noirâtres que rien ne pouvait plus effacer.
Et mes cheveux que j’aime parce qu’ils sont épais et doux, coiffés
chaque jour trop rapidement, devenaient ternes et cassants. Je
voyais tout cela, et de la peine que me causait cette apparence de
déchoir je tirais une espèce de plaisir fait de je ne sais quoi et dont
j’étais avide. Toute ma vie me semblait soulevée d’un grand souffle.
— Et cependant je ne faisais rien d’autre que vivre auprès d’un
misérable, et commencer seulement d’avoir pitié de lui.
Sa grande souffrance, chaque jour, me devenait plus sensible ; et
chaque jour j’approchais un peu plus son âme désespérée. C’est
surtout quand il était absent et que ses brusqueries ou sa mauvaise
humeur n’étaient plus là pour nous séparer. Alors je revivais avec lui
la minute abominable. J’étouffais de cette épouvante de lui-même
dont il était suffoqué. Je me débattais comme il devait le faire.
J’éprouvais comme ce mal tenait à la chair de l’âme et ne se pouvait
arracher…

Et puis il rentrait, avec son pauvre visage, et je me désespérais

de ne pouvoir pas lui dire que j’avais souffert avec lui. Toujours il
semblait redouter mes moindres paroles. Depuis sa défense le
premier jour de notre arrivée, il n’avait plus permis qu’il fût entre
nous question de Lagarde. Il fronçait les sourcils si je prononçais un
nom de là-bas. Hélas ! Quel secours pouvais-je lui prêter, tant qu’il
exigerait, tant qu’il garderait ce silence ? Et l’idée que je devais
l’amener à me remettre son secret, son remords, sa grande misère,
se faisait en moi, — hésitante, d’abord, effrayée, — plus calme
ensuite, — et si forte enfin, si profonde !… Que ferions-nous de notre
vie après qu’il aurait parlé ? Que serait l’expiation nécessaire ? Je ne
savais pas. Cela était plus loin… Mais tout près de moi, au fond de
moi, fait du plus passionné et du meilleur de moi-même, il y avait
maintenant le désir incessant, il y avait le besoin qu’il me fît cet aveu
et qu’il y trouvât un peu d’apaisement.
Je ne pouvais rien dire, je ne pouvais, même par un regard, lui
montrer qu’il devait parler et que tout mon cœur était prêt. Mais
autour de lui ma vigilance se faisait plus attentive et voulait lui être
plus douce. C’étaient de petits soins. C’étaient de petites paroles qui
ne touchaient à rien de lui, à rien de moi. Au lieu d’accepter ces
terribles silences dans lesquels se passaient tous nos repas, je lui
parlais de ce que j’avais vu pendant mes sorties, des gens, des
bêtes, des maisons ; et malgré que cela lui fît hausser les épaules,
comme je m’efforçais de sourire, il sourit à son tour, une ou deux
fois. Enfin, pour qu’il ne retournât plus jamais à ce cabaret de la
porte de l’Oulle, je pris l’habitude de sortir avec lui presque chaque
après-midi. Et nous allions très loin dans la campagne parce que
l’animation des places, la vue des passants, provoquaient aussitôt
son irritation.
Au retour, nous tournions longuement dans les ruelles désertes
pour éviter les boulevards populeux. Il ne pouvait souffrir que
quelqu’un le regardât. Une espèce de méfiance maladive et
haineuse à l’égard de tous les êtres semblait le posséder. Je fus
donc bien surprise quand il m’annonça un matin qu’ayant rencontré
son ami, M. Fabréjol, il avait accepté l’invitation que nous faisait
celui-ci d’aller déjeuner le dimanche suivant dans sa maison de
Pampérigouste.

*
* *

De ces Fabréjol, — car ils étaient deux, le père et le fils, —

Fabien, autrefois, aimait à parler, avec ostentation. Quarante ans
auparavant, ma belle-mère, faisant son voyage de noce, avait été
reçue « en » Avignon par Mme Fabréjol, jeune mariée également.
Ces dames, je crois, s’étaient connues au couvent. Et les relations
entre les deux familles, cordiales de la part des Fabréjol,
empressées de celle des Gourdon, s’étaient poursuivies d’une
manière un peu vague, mais persévérante. Maintenant, Mme
Fabréjol était morte. Son mari et son fils vivaient en Algérie où ils
exploitaient de vastes domaines ; mais ils avaient conservé aux
portes d’Avignon la maison familiale : ils revenaient s’y installer pour
quelques mois tous les deux ou trois ans et y faisaient alors
pratiquer des embellissements coûteux et inutiles qui donnaient de
leur fortune, disait mon mari, une opinion considérable. — Or nous
avions appris, peu du jours avant notre brusque départ, que ces
messieurs n’avaient, cette année, pas encore quitté la France ; mais,
je l’ai dit, Fabien voulait en ce moment oublier tous ses amis, et pas
plus qu’un autre nom, dans le petit logis de la rue des Trois-
Faucons, le nom des Fabréjol n’avait été rappelé.

Sans doute, aujourd’hui, troublé de la rencontre, maladroit dans

ses hésitations et craignant qu’un refus ne parût singulier, il n’avait
pas osé se dérober à cette invitation. Il en souffrait… je le
plaignais… Mais je m’aperçus qu’il n’était pas mécontent et, au
contraire, tout animé. Il parla ce jour-là plus que d’habitude et ce fut
seulement de M. Fabréjol, de ses terres, de sa richesse, des
ambitions politiques qu’il avait peut-être et qu’il réaliserait sûrement.
Satisfait de petits détails qu’il se rappelait peu à peu, de petites
paroles aimables ou polies, il me disait combien cet homme fortuné
avait toujours eu de considération pour lui, Fabien, et pour ses
talents. Il ne pouvait trop se flatter de le connaître… il se réjouissait
de l’avoir revu. Et regrettant presque nos douloureux et profonds
silences, le retrouvant tel qu’à Lagarde, dans son pauvre
personnage, je m’étonnais tristement que les petites misères de son
âme fussent à ce point capables de lui faire oublier sa grande
misère…
Tout occupée de lui seul, je donnai d’abord peu d’attention à un
souvenir que faisaient revivre toutes ses paroles et qui cependant ne
m’était pas déplaisant. Trois ans auparavant, les Fabréjol nous
avaient rendu visite à Lagarde. Ils venaient choisir des marbres aux
carrières de Saint-Jacques pour un petit pavillon que l’on devait
élever dans leur jardin à la ressemblance de celui où la reine Jeanne
tenait sa cour d’amour dans la cité des Baux. On le voit encore,
paraît-il, au bas de la colline, dans un enclos où poussent
aujourd’hui le trèfle et le blé. J’ignorais cette reine et son pavillon.
C’est Philippe Fabréjol qui me les fit connaître.
Il était venu trop tard au rendez-vous que, leurs affaires conclues,
son père lui donnait dans notre maison et, quoique me trouvant
seule, il était resté fort longtemps. Nous ne nous étions jamais vus ;
cependant notre causerie, tout de suite, s’était faite amicale. Je me
rappelais bien ce grand garçon aux beaux traits droits, avec de clairs
yeux bleus dans un visage brûlé. Il parlait avec une simplicité
agréable, mais sa façon de m’écouter me touchait plus encore que
ses paroles. Auprès de lui les mots me venaient sans contrainte ;
toutes sortes de petites idées dansaient dans mon cerveau plus
clair, joyeuses et pressées de se faire connaître. Et je crois qu’après
son départ j’aurais quelquefois pensé à lui. Mais maman jugea fort
inconvenant que, me rencontrant sans mon mari, ce jeune homme
eût ainsi prolongé sa visite. Elle me le dit avec autant de sévérité
qu’elle en pouvait avoir. Et, toute confuse, je laissai aller
volontairement le souvenir de Philippe Fabréjol comme on ouvre les
doigts sur une plume un jour de grand vent.
A mesure cependant qu’approchait le dimanche, ces souvenirs
confus m’occupaient davantage, et je m’aperçus que ce déjeuner me
faisait un certain plaisir. Je ne songeais plus autant à m’étonner que
Fabien eût accepté d’y paraître ; son animation me parut moins
déplaisante ; je crois même que je la partageais un peu. — Mais
voici que la veille du jour où nous devions nous rendre à
Pampérigouste, il recommença d’être tout absorbé en soi-même, et
les pensées qui lui venaient au sujet des Fabréjol, il cessa de me les
dire. La nuit, à travers mon sommeil, il me parut qu’il se levait,
marchait dans les chambres, ouvrait la fenêtre. Enfin, au matin,
habillé déjà et prêt à partir, ayant réfléchi un long moment tout en
dépliant, repliant, et froissant son journal, il me déclara soudain qu’il
n’irait pas à Pampérigouste. Et je sentis le remords d’avoir été
depuis ces quelques jours moins anxieusement vigilante et attentive
à sa peine.
Acceptant aussitôt sa décision sans en paraître surprise et sans
lui poser là-dessus aucune question, je reportai dans l’armoire le
chapeau que je me préparais à mettre. Il me regarda tout étonné.
— Qu’est-ce que tu fais ?… me demanda-t-il. Tu vas être en
retard.
— Mais puisque nous n’y allons pas.
— Moi, dit Fabien, pas toi. Tu dois au contraire m’excuser. Tu
raconteras que je suis malade.
Et, me donnant les explications que je ne lui demandais pas :
— C’est ce que j’ai déjà répondu l’autre jour à Fabréjol quand il
s’est étonné de me voir ici. Mais nous nous sommes séparés
rapidement. Aujourd’hui il aurait le temps de m’interroger
davantage…
Sa voix était presque confidentielle. Il ajouta plus sourdement :
— Je ne pourrais pas le supporter.
Et il me parut que, dite sur ce ton, cette petite phrase voulait
commencer de me laisser entendre les raisons terribles de sa
détresse.
— Je comprends, murmurai-je, parlant aussi bas que lui-même,
je comprends…
Et je m’effrayais en pensant que maintenant peut-être allait tout
entier venir vers moi l’aveu redoutable. Je m’effrayais… et
cependant je pensais : « Enfin !… enfin !… » Et je savais bien que
tout mon cœur était prêt… Mais Fabien ne sentit pas à ce moment
que ma détresse allait au-devant de la sienne et suppliait qu’il la lui
remît. Il laissa cette minute passer silencieusement… Et il me répéta
ensuite :
— Tu vas être en retard ; dépêche-toi. Cela n’aura rien de
singulier que tu ailles là-bas toute seule, puisque, tu seras reçue par
la sœur de Fabréjol. C’est elle qui tient la maison. Tu diras
qu’aujourd’hui je me suis senti plus mal. Présente cette excuse
adroitement et de façon vraisemblable. Les Fabréjol sont gens à
ménager…
Son visage amaigri se contracta. Ses yeux s’assombrirent.
— Et puis, ajouta-t-il, il est inutile qu’ils aillent supposer je ne sais
quoi…
Mais ces paroles sans doute lui parurent imprudentes. Et comme
s’il eût voulu me défendre d’y réfléchir, tout aussitôt,
minutieusement, il commença de m’expliquer quelle sorte de voiture
je devrais prendre sur la place de l’Horloge et quel prix il
conviendrait de ne pas dépasser sous peine d’être volée. Je voyais
bien que toute sa peine, de nouveau, était sur lui, plus pesante et
plus acharnée. Malgré ma distraction et mes vagues négligences de
ces derniers jours, ayant maintenant pris l’habitude de ne plus guère
le quitter, j’aurais bien voulu ne pas l’abandonner aujourd’hui, et je
m’inquiétais de sa solitude. Mais je n’osai pas le lui faire entendre.

*
* *

La maison des Fabréjol ne regarde pas Avignon, mais un de ces

petits vallons qui se creusent, au sud de Villeneuve, entre les
collines. Elle est bâtie à mi-hauteur de la pente assez rapide. Son
jardin descend jusqu’au bord d’un étroit ruisseau, puis se relève en
face, et la terre rouge où poussent les beaux oliviers nourrit un peu
plus haut le houx sauvage et le buis, jusqu’à la région odorante et
grise où ne vivent que la pierre nue, le thym et les sèches lavandes.
La route entre dans ce vallon étroit par un petit pont qui, de très
haut, domine le ruisseau. C’est à cet endroit que j’aperçus Philippe
Fabréjol ; il venait au-devant de la voiture et j’en descendis aussitôt.
Il souriait de son sourire franc et bon. Son visage me parut plus brun
encore et ses yeux bleus étaient plus lumineux.