Advanced Engineering Mathematics

(Gujarat Technological University 2016)

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 Advanced
Engineering Mathematics
Second Edition
Gujarat Technological University 2016
 About the Authors

Ravish R Singh is presently Vice Principal at Shree L R Tiwari

College of Engineering, Thane. He obtained a BE degree from
University of Mumbai in 1991, an MTech degree from IIT Bombay
in 2001, and a PhD degree from Faculty of Technology, University
of Mumbai, in 2013. He has published several books with McGraw
Hill Education (India) Private Limited on varied subjects like
Engineering Mathematics (I and II), Applied Mathematics,
Electrical Engineering, Electrical and Electronics Engineering,
etc., for all-India curricula as well as regional curricula of some universities like
Gujarat Technological University, Mumbai University, Pune University, Jawaharlal
Nehru Technological University, Anna University, Uttarakhand Technical University,
and Uttar Pradesh Technical University. Dr Singh is a member of IEEE, ISTE, and
IETE, and has published research papers in national and international journals. His
fields of interest include Circuits, Signals and Systems, and Engineering
Mathematics.

Mukul Bhatt is presently Assistant Professor, Department of

Humanities and Sciences, at Thakur College of Engineering and
Technology, Mumbai. She obtained her MSc (Mathematics) from
H N B Garhwal University in 1992. She has published several books
with McGraw Hill Education (India) Private Limited on Engineering
Mathematics (I and II) and Applied Mathematics for all-India curricula
as well as regional curricula of some universities like Gujarat
Technological University, Mumbai University, Pune University, Jawaharlal Nehru
Technological University, Anna University, Uttarakhand Technical University, and
Uttar Pradesh Technical University. She has seventeen years of teaching experience at
various levels in engineering colleges in Mumbai and her fields of interest include
Integral Calculus, Complex Analysis, and Operation Research. She is a member of
ISTE.
 Advanced
Engineering Mathematics
Second Edition
Gujarat Technological University 2016

Ravish R Singh
Vice Principal
Shree L R Tiwari College of Engineering
Thane, Maharashtra

Mukul Bhatt
Assistant Professor
Department of Humanities and Sciences
Thakur College of Engineering and Technology
Mumbai, Maharashtra

McGraw Hill Education (India) Private Limited

NEW DELHI

McGraw Hill Education Offices

New Delhi New York St Louis San Francisco Auckland Bogotá Caracas
Kuala Lumpur Lisbon London Madrid Mexico City Milan Montreal
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Published by McGraw Hill Education (India) Private Limited
P-24, Green Park Extension, New Delhi 110 016
Advanced Engineering Mathematics, 2e, GTU–2016
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ISBN 13: 978-93-5260-254-4
ISBN 10: 93-5260-254-4
Managing Director: Kaushik Bellani
Director—Products (Higher Education and Professional): Vibha Mahajan
Manager—Product Development: Koyel Ghosh
Specialist—Product Development: Piyali Chatterjee
Head—Production (Higher Education and Professional): Satinder S Baveja
Senior Copy Editor: Kritika Lakhera
Assistant Manager—Production: Atul Gupta
Assistant General Manager—Product Management: Shalini Jha
Manager—Product Management: Ritwick Dutta
General Manager—Production: Rajender P Ghansela
Manager—Production: Reji Kumar

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believed to be reliable. However, neither McGraw Hill Education (India) nor its authors guarantee the accuracy
or completeness of any information published herein, and neither McGraw Hill Education (India) nor its
authors shall be responsible for any errors, omissions, or damages arising out of use of this information. This
work is published with the understanding that McGraw Hill Education (India) and its authors are supplying
information but are not attempting to render engineering or other professional services. If such services are
required, the assistance of an appropriate professional should be sought.

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 Dedicated
to
Aman and Aditri
Ravish R Singh

Soumya and Siddharth

Mukul Bhatt
 Contents
Preface xi
Roadmap to the Syllabus xv
1. Introduction to Some Special Functions 1.1–1.8
1.1 Introduction 1.1
1.2 Gamma Function 1.2
1.3 Beta Function 1.2
1.4 Bessel Function 1.3
1.5 Error Function and Complementary Error Function 1.3
1.6 Heaviside’s Unit Step Function 1.4
1.7 Pulse of Unit Height and Duration Function 1.5
1.8 Sinusoidal Pulse Function 1.5
1.9 Rectangle Function 1.5
1.10 Gate Function 1.6
1.11 Dirac’s Delta Function 1.6
1.12 Signum Function 1.7
1.13 Sawtooth Wave Function 1.7
1.14 Triangular Wave Function 1.7
1.15 Half-Wave Rectified Sinusoidal Function 1.7
1.16 Full-Wave Rectified Sinusoidal Function 1.8
1.17 Square-Wave Function 1.8
2. Fourier Series and Fourier Integral 2.1–2.107
2.1 Introduction 2.1
2.2 Fourier Series 2.1
2.3 Trigonometric Fourier Series 2.2
2.4 Fourier Series of Functions of any Period 2.3
2.5 Fourier Series of Even and Odd Functions 2.52
2.6 Half-Range Fourier Series 2.76
2.7 Fourier Integral 2.95
Points to Remember 2.106
3. Ordinary Differential Equations and Applications 3.1–3.239
3.1 Introduction 3.1
3.2 Differential Equations 3.2
3.3 Ordinary Differential Equations of First Order and First Degree 3.5
viii Contents

3.4 Applications of First-Order Differential Equations 3.84

3.5 Homogeneous Linear Differential Equations of Higher Order with
Constant Coefficients 3.94
3.6 Homogeneous Linear Differential Equations: Method of Reduction of
Order 3.101
3.7 Nonhomogeneous Linear Differential Equations of Higher Order with
Constant Coefficients 3.108
3.8 Method of Variation of Parameters 3.168
3.9 Cauchy’s Linear Equations 3.188
3.10 Legendre’s Linear Equations 3.206
3.11 Method of Undetermined Coefficients 3.214
3.12 Applications of Higher Order Linear Differential Equations 3.223
Points to Remember 3.236
4. Series Solution of Differential Equations 4.1–4.45
4.1 Introduction 4.1
4.2 Power-Series Method 4.1
4.3 Series Solution about an Ordinary Point 4.5
4.4 Frobenius Method 4.20
Points to Remember 4.45
5. Laplace Transforms and Applications 5.1–5.206
5.1 Introduction 5.1
5.2 Laplace Transform 5.2
5.3 Laplace Transform of Elementary Functions 5.2
5.4 Basic Properties of Laplace Transform 5.12
5.5 Differentiation of Laplace Transforms (Multiplication by t) 5.33
5.6 Integration of Laplace Transforms (Division by t) 5.45
5.7 Laplace Transforms of Derivatives 5.56
5.8 Laplace Transforms of Integrals 5.59
5.9 Evaluation of Integrals using Laplace Transform 5.68
5.10 Unit Step Function 5.75
5.11 Dirac’s Delta Function 5.82
5.12 Laplace Transforms of Periodic Functions 5.86
5.13 Inverse Laplace Transform 5.94
5.14 Convolution Theorem 5.158
5.15 Solution of Linear Ordinary Differential Equations 5.176
5.16 Solution of Systems of Simultaneous Differential Equations 5.195
Points to Remember 5.204
6. Partial Differential Equations and Applications 6.1–6.120
6.1 Introduction 6.1
6.2 Partial Differential Equations 6.2
6.3 Formation of Partial Differential Equations 6.2
6.4 Solution of Partial Differential Equations 6.14
 Contents ix

6.5 Linear Partial Differential Equations of First Order 6.18

6.6 Nonlinear Partial Differential Equations of First Order 6.29
6.7 Charpit’s Method 6.46
6.8 Homogeneous Linear Partial Differential Equations with Constant
Coefficients 6.51
6.9 Nonhomogeneous Linear Partial Differential Equations with Constant
Coefficients 6.64
6.10 Classification of Second-order Linear Partial Differential
Equations 6.66
6.11 Applications of Partial Differential Equations 6.67
6.12 Method of Separation of Variables 6.68
6.13 One-Dimensional Wave Equation 6.75
6.14 D’ Alembert’s Solution of the Wave Equation 6.88
6.15 One-Dimensional Heat-Flow Equation 6.90
6.16 Two-Dimensional Heat-Flow Equation 6.106
Points to Remember 6.118

Solved Question Paper Summer 2015 Q.1–Q.23

Solved Question Paper Winter 2015 Q.1–Q.32
Index I.1–I.3
 Preface
Mathematics is a key area of study in any engineering course. A sound knowledge
of this subject will help engineering students develop analytical skills, and thus
enable them to solve numerical problems encountered in real life, as well as apply
mathematical principles to physical problems, particularly in the field of engineering.

Users
This book is designed for the 2nd year GTU engineering students pursuing the
course Advanced Engineering Mathematics, SUBJECT CODE: 2130002 in their
3rd Semester. It covers the complete GTU syllabus for the course on Advanced
Engineering Mathematics, which is common to all the engineering branches.

Objective
The crisp and complete explanation of topics will help students easily understand the
basic concepts. The tutorial approach (i.e., teach by example) followed in the text will
enable students develop a logical perspective to solving problems.

Features
Each topic has been explained from the examination point of view, wherein the theory
is presented in an easy-to-understand student-friendly style. Full coverage of concepts
is supported by numerous solved examples with varied complexity levels, which is
aligned to the latest GTU syllabus. Fundamental and sequential explanation of topics
are well aided by examples and exercises. The solutions of examples are set follow-
ing a ‘tutorial’ approach, which will make it easy for students from any background
to easily grasp the concepts. Exercises with answers immediately follow the solved
examples enforcing a practice-based approach. We hope that the students will gain
logical understanding from solved problems and then reiterate it through solving simi-
lar exercise problems themselves. The unique blend of theory and application caters to
the requirements of both the students and the faculty. Solutions of GTU examination
questions are incorporated within the text appropriately.
xii Preface

Highlights
∑ Crisp content strictly as per the latest GTU syllabus of Advanced Engineering
Mathematics (Regulation 2014)
∑ Comprehensive coverage with lucid presentation style
∑ Each section concludes with an exercise to test understanding of topics
∑ Solutions of GTU examination papers from 2012 to 2014 present appropriately
within the chapters
∑ Solution to Summer and Winter 2015 GTU question papers placed at the end of the
book
∑ Rich exam-oriented pedagogy:
Non GTU solved examples within chapters: 531
Solved GTU questions within chapters: 105
Unsolved exercises: 571

Chapter Organization
The content spans the following six chapters which wholly and sequentially cover
each module of the syllabus.
Chapter 1 introduces Some Special Functions.
Chapter 2 discusses Fourier Series and Fourier Integral.
Chapter 3 presents Ordinary Differential Equations and Applications.
Chapter 4 covers Series Solution of Differential Equations.
Chapter 5 deals with Laplace Transforms and Applications.
Chapter 6 presents Partial Differential Equations and Applications.

Acknowledgements
We are grateful to the following reviewers who reviewed various chapters of the script
and generously shared their valuable comments:
Manokamna Agrawal Silver Oak College of Engineering and Technology,
Ahmedabad, Gujarat
JC Prajapati Marwadi Education Foundation Group of
Institutions, Rajkot
Shailesh Patel SPB Patel Engineering College, Gujarat
Kinnari Sutaria AD Patel Institute of Engineering, Karamsad
Prakash Kumar Patel Babaria Institute of Technology, Vadodara, Gujarat
We would also like to thank all the staff at McGraw Hill Education (India), especially
Vibha Mahajan, Koyel Ghosh, Piyali Chatterjee, Kritika Lakhera, Satinder Singh
Baveja, Anuj Shrivastava and Atul Gupta for coordinating with us during the editorial,
copyediting, and production stages of this book.
 Preface xiii

Our acknowledgements would be incomplete without a mention of the contribution of

all our family members. We extend a heartfelt thanks to them for always motivating
and supporting us throughout the project.
Constructive suggestions for the improvement of the book will always be welcome.
Ravish R Singh
Mukul Bhatt

Publisher’s Note
Remember to write to us. We look forward to receiving your feedback,
comments and ideas to enhance the quality of this book. You can reach us at
info.india@mheducation.com. Please mention the title and authors’ name as the
subject. In case you spot piracy of this book, please do let us know.
ROADMAP TO THE SYLLABUS
This text is useful for

SUBJECT CODE: 2130002 – Advanced Engineering Mathematics

Module 1: Introduction to Some Special Functions

Gamma function; Beta function; Bessel function; Error function and
complementary error function; Heaviside’s function; Pulse unit height and
duration function; Sinusoidal pulse function; Rectangle function; Gate function;
Dirac’s Delta function; Signum function; Sawtooth wave function; Triangular
wave function; Half-wave rectified sinusoidal function; Full rectified sine
wave; Square wave function.

GO TO
CHAPTER 1: Introduction to Some Special Functions

Module 2: Fourier Series and Fourier Integral

Periodic function; Trigonometric series; Fourier series; Functions of any period;
Even and odd functions; Half-range expansion; Forced oscillations; Fourier
integral.

GO TO
CHAPTER 2: Fourier Series and Fourier Integral

Module 3: Ordinary Differential Equations and Applications

First order differential equations: basic concepts; Geometric meaning of
y ’ = f (x, y) Direction fields; Exact differential equations; Integrating factor;
Linear differential equations; Bernoulli equations; Modeling: Orthogonal
trajectories of curves; Linear differential equations of second and higher
order: Homogeneous linear differential equations of second order; Modeling:
Free oscillations; Euler-Cauchy Equations; Wronskian; Nonhomogeneous
equations; Solution by undetermined coefficients; Solution by variation of
parameters; Modeling: Free Oscillations, Resonance and electric circuits; Higher
order linear differential equations; Higher order homogeneous equations with
constant coefficient; Higher order nonhomogeneous equations. Solution by
[1/f(D)] r(x) method for finding particular integral.

GO TO
CHAPTER 3: Ordinary Differential Equations and Applications
xvi Roadmap to the Syllabus

Module 4: Series Solution of Differential Equations

Power series method; Theory of power series methods; Frobenius method.

GO TO
CHAPTER 4: Series Solution of Differential Equations

Module 5: Laplace Transforms and Applications

Definition of the Laplace transform; Inverse Laplace transform; Linearity;
Shifting theorem; Transforms of derivatives and integrals; Differential
equations; Unit step function; Second shifting theorem; Dirac’s delta function;
Differentiation and integration of transforms; Convolution and integral
equations; Partial fraction differential equations; Systems of differential
equations.

GO TO
CHAPTER 5: Laplace Transforms and Applications

Module 6: Partial Differential Equations and Applications

Formation of PDEs; Solution of partial differential equations f(x, y, z, p, q) = 0;
Nonlinear PDEs of first order; Some standard forms of nonlinear PDEs; Linear
PDEs with constant coefficients; Equations reducible to homogeneous linear
form; Classification of second-order linear PDEs; Separation of variables; Use
of Fourier series; D’Alembert’s solution of the wave equation; Heat equation:
Solution by Fourier series and Fourier integral.

GO TO
CHAPTER 6: Partial Differential Equations and Applications
CHAPTER
1
Introduction to Some
Special Functions

Chapter Outline
1.1 Introduction
1.2 Gamma Function
1.3 Beta Function
1.4 Bessel Function
1.5 Error Function and Complementary Error Function
1.6 Heaviside’s Unit Step Function
1.7 Pulse of Unit Height and Duration Function
1.8 Sinusoidal Pulse Function
1.9 Rectangle Function
1.10 Gate Function
1.11 Dirac’s Delta Function
1.12 Signum Function
1.13 Sawtooth Wave Function
1.14 Triangular Wave Function
1.15 Half-Wave Rectified Sinusoidal Function
1.16 Full-Wave Rectified Sinusoidal Function
1.17 Square-Wave Function

1.1 INTRODUCTION

There are some special functions which have importance in mathematical analysis,
functional analysis, physics, or other applications. In this chapter, we will study
different special functions such as gamma, beta, Bessel, error, unit step, Dirac delta
functions, etc. The study of these functions will help in solving many mathematical
problems encountered in advanced engineering mathematics.
1.2 Chapter 1 Introduction to Some Special Functions

1.2 GAMMA FUNCTION

[Winter 2013]
The gamma function is an extension of the factorial function to real and complex
numbers and is also known as Euler integral of the second kind. The gamma function
is a component in various probability-distribution functions. It also appears in various
areas such as asymptotic series, definite integration, number theory, etc.
The gamma function is defined by the improper integral e x x n 1dx, n > 0 and is
0

denoted by n .

Hence, n e x x n 1 dx , n > 0
0

The gamma function can also be expressed as

x2 2 n 1
n 2 e x dx
0

Properties of the Gamma Function

(i) n 1 nn
This is known as recurrence formula or reduction formula for the gamma
function.
(ii) n 1 n ! if n is a positive integer
n 1
(iii) n if n is a negative fraction
n

(iv) n1 n
sin n

(v) 1
2

1.3 BETA FUNCTION

[Winter 2014, Summer 2013, 2014]
The beta function B(m, n) is defined by
1 m 1 1
B(m, n) x (1 x )n dx , m 0, n 0
0

B(m, n) is also known as Euler’s integral of the first kind. The beta function can also
be defined by

B(m, n) 2 2 sin 2 m 1
x cos2 n 1
x dx
0
 1.5 Error Function and Complementary Error Function 1.3

Properties of the Beta Function

(i) The beta function is a symmetric function, i.e., B(m, n) = B(n, m).
m n
(ii) B(m, n)
m n
1 2m
(iii) m m
2 2 1
2 m

This is known as duplication formula.

1
xm
(iv) B(m, n) dx
0 m n
(1 x )
This is called improper integral form of the beta function.

1.4 BESSEL FUNCTION

The Bessel function (Fig. 1.1) is a special function that occurs in problems of wave
propagation, static potentials, and signal processing. A Bessel function of order n is
defined by
n 2k
( 1)k
x
J n ( x)
k 0 k! n k 1 2

xn x2 x4
1
2n n 1 2(n 2) 2 4(2 n 2)(2 n 4)

Properties of Bessel Functions

0( )
x2 x4
(i) J 0 ( x ) 1 1
22 22 42 0.8
0.6
(ii) J–n(x) = (–1)n Jn(x) if n is a positive 0.4
integer 0.2
0 5 10 15 20
–0.2
(iii) 2 n J n ( x ) J n 1 ( x) J n 1 ( x) –0.4
x
d n Fig. 1.1 Bessel function
(iv) x J n ( x) x n J n 1 ( x)
dx
(v) d x n J n ( x ) x n
J n 1 ( x)
dx

1.5 ERROR FUNCTION AND COMPLEMENTARY

ERROR FUNCTION
[Winter 2012]
The error function (Fig. 1.2) is a special function that occurs in probability, statistics,
and partial differential equations.
1.4 Chapter 1 Introduction to Some Special Functions

The error function of x is defined by

( )
2 x t2 1
erf ( x ) e dt
0
0.75

where x may be a real or complex variable. 0.5

The complementary error function of x is 0.25

defined by –3 –2 –1 0 1 2 3
–0.25
2 2
erfc( x ) e t dt –0.5
x
–0.75
where x may be a real or complex variable. –1
Relation between error function and the com- Fig. 1.2 Error function
plementary error function is given by
2 2
erfc( x ) e t dt
x

2 t2 2 x t2
e dt e dt
0 0

2
erf ( x )
2
1 erf ( x )

Properties of the Error Function

(i) erf (0) = 0
(ii) erf ( ) = 1
(iii) erf (–x) = –erf (x)
(iv) erf ( z ) erf ( z ), where z is any complex number and z is the complex
conjugate of z.

1.6 HEAVISIDE’S UNIT STEP FUNCTION

[Winter 2014]
Heaviside’s unit step function u(t) (Fig. 1.3) is defined by
u(t ) 0 t 0
1 t 0
The displaced or delayed unit step function
Fig 1.3 Unit step function
u(t – a) (Fig. 1.4) represents the function u(t) which
is displaced by a distance a to the right. It is defined
by
u(t a ) 0 t a
1 t a Fig. 1.4 Delayed unit step
function
 1.9 Rectangle Function 1.5

Properties of the Unit Step Function

(i) f (t ) u(t ) 0 t 0
f (t ) t 0
(ii) f (t ) u(t a ) 0 t a
f (t ) t a
(iii) f (t a ) u(t b) 0 t b
f (t a ) t b
(iv) f (t ) [u(t a ) u(t b)] 0 t a
f (t ) a t b
0 t b

1.7 PULSE OF UNIT HEIGHT AND DURATION FUNCTION

The pulse of unit height and duration function
(Fig. 1.5) is defined by
f (t ) 1 0 t T
0 t T Fig. 1.5 Pulse of unit height
and duration function

1.8 SINUSOIDAL PULSE FUNCTION

[Summer 2014, Winter 2012]

The sinusoidal pulse function (Fig. 1.6) is defined by

f (t ) a sin at 0 t
a
0 t
a
Fig. 1.6 Sinusoidal pulse
function
1.9 RECTANGLE FUNCTION
[Summer 2013]
The rectangle function (Fig. 1.7) is defined by
f (t ) 1 a t b
0 otherwise
Fig. 1.7 Rectangle function
In terms of unit step function, the rectangle function
can be expressed as
f(t) = u(t – a) – u(t – b)
1.6 Chapter 1 Introduction to Some Special Functions

If a = 0, the rectangle function reduces to a pulse of unit height and duration b

function.

1.10 GATE FUNCTION

The gate function (Fig. 1.8) is defined by

f (t ) 1 |t | a
0 |t | a
Fig. 1.8 Gate function

1.11 DIRAC’S DELTA FUNCTION

[Winter 2014, Winter 2013]
Consider the function f(t) (Fig. 1.9) over a time interval 0 < t < , defined by
f (t ) 0 t 0
1
0 t

0 t
Fig. 1.9 Any function
The area enclosed by the function f(t) and the t-axis is f(t)
given by
0
f (t ) dt f (t ) dt f ( t ) dt f (t ) dt
0

1
0 dt 0
0

1
t 0

1
As 0, the height of the rectangle increases indefinitely in such a way that its area
is always equal to 1. This function is known as Dirac’s delta function or unit impulse
function and is denoted by (t).
(t ) lim f (t )
0
The displaced (delayed) delta or displaced impulse
function (t – a) (Fig. 1.10) represents the function
(t) displaced by a distance a to the right.
0 t a Fig. 1.10 Delayed function
1
(t a ) lim f (t ) lim a t a
0 0
0 a t
 1.15 1.7

Property of Dirac’s Delta Function

(i) (t) = 0 t 0
(ii) ( t ) dt 1

(iii) f (t ) (t ) t f (0)

(iv) f (t ) (t a ) dt f (a)

1.12 SIGNUM FUNCTION

The signum function (Fig. 1.11) is defined by ()

f (t ) 1 t 0 1
1 t 0 0
In terms of unit step function, the signum function can –1
be expressed as Fig. 1.11 Signum function
f(t) = u(t) – u(–t) = 2u(t) – 1

1.13 SAWTOOTH WAVE FUNCTION

The sawtooth wave function with period a (Fig. 1.12)

is defined by
f (t ) t 0 t a
0 t 0 Fig. 1.12 Sawtooth wave
function

1.14 TRIANGULAR WAVE FUNCTION

The triangular wave function with period 2a (Fig. 1.13)
is defined by
f (t ) t 0 t a
Fig. 1.13 Triangular
2a t a t 2a
wave function

1.15 HALF-WAVE RECTIFIED SINUSOIDAL FUNCTION

The half-wave rectified sinusoidal function with

period 2 (Fig. 1.14) is defined by
f (t ) a sin t 0 t
0 t 2 Fig. 1.14
sinusoidal function
1.8 Chapter 1 Introduction to Some Special Functions

1.16 FULL-WAVE RECTIFIED SINUSOIDAL FUNCTION

The full-wave rectified sinusoidal function with
period (Fig. 1.15) is defined by
f (t) = a sin t 0<t<
Fig. 1.15
sinusoidal function
1.17 SQUARE-WAVE FUNCTION

The square-wave function with period 2a (Fig. 1.16)

is defined by
f (t ) a 0 t a
a a t 2a
Fig. 1.16 Square-wave
function
CHAPTER
2
Fourier Series and
Fourier Integral

Chapter Outline
2.1 Introduction
2.2 Fourier Series
2.3 Trigonometric Fourier Series
2.4 Fourier Series of Functions of Any Period
2.5 Fourier Series of Even and Odd Functions
2.6 Half-Range Fourier Series
2.7 Fourier Integral

2.1 INTRODUCTION

Fourier series is used in the analysis of periodic functions. Many of the phenomena
studied in engineering and sciences are periodic in nature, e.g., current and voltage
in an ac circuit. These periodic functions can be analyzed into their constituent
components by a Fourier analysis. The Fourier series makes use of orthogonality
relationships of the sine and cosine functions. It decomposes a periodic function into a
sum of sine-cosine functions. The computation and study of Fourier series is known
as harmonic analysis. It has many applications in electrical engineering, vibration
analysis, acoustics, optics, signal processing, image processing, etc.

2.2 FOURIER SERIES

Representation of a function over a certain interval by a linear combination of mutually

orthogonal functions is called Fourier-series representation.
2.2 Chapter 2 Fourier Series and Fourier Integral

Convergence of the Fourier Series (Dirichlet’s Conditions)

A function f (x) can be represented by a complete set of orthogonal functions within the
interval (c, c + 2l). The Fourier series of the function f (x) exists only if the following
conditions are satisfied:
(i) f (x) is periodic, i.e., f (x) = f (x + 2l), where 2l is the period of the function
f (x).
(ii) f (x) and its integrals are finite and single-valued.
(iii) f (x) has a finite number of discontinuities, i.e., f (x) is piecewise continuous in
the interval (c, c + 2l).
(iv) f (x) has a finite number of maxima and minima.
These conditions are known as Dirichlet’s conditions.

2.3 TRIGONOMETRIC FOURIER SERIES

n x n x
We know that the set of functions sin and cos are orthogonal in the interval
l l
(c, c + 2l) for any value of c, where n = 1, 2, 3, ….
c 2l m x n x
i.e., sin sin dx 0 m n
c l l
=l m=n
c 2l m x n x
cos cos dx 0 m n
c l l
=l m=n
c 2l m x n x
sin cos dx 0 for all m, n
c l l
Hence, any function f (x) can be represented in terms of these orthogonal functions in
the interval (c, c + 2l) for any value of c.

n x n x
f ( x) a0 an cos bn sin
n 1 l n 1 l

This series is known as a trigonometric Fourier series or simply, a Fourier series. For
example, a square function can be constructed by adding orthogonal sine components
(Fig. 2.1).
 2.4 Fourier Series of Functions of Any Period 2.3

f (x)

x One sine component

O

f (x)

x Addition of two sine

O components
f (x)

x Addition of three sine

O components
..
..
f (x) ..
.
Addition of many sine
x
O components
..
f (x)

x Square function
O

Fig. 2.1 Representation of a function in terms of sine components

2.4 FOURIER SERIES OF FUNCTIONS OF ANY PERIOD

Let f (x) be a periodic function with period 2l in the interval (c, c + 2l). Then the Fourier
series of f (x) is given by
n x n x
f ( x) a0 an cos bn sin …(2.1)
n 1 l n 1 l

Determination of a0
Integrating both the sides of Eq. (2.1) w.r.t. x in the interval (c, c + 2l),
c 2l c 2l c 2l n x c 2l n x
f ( x )dx a0 dx an cos dx bn sin dx
c c c
n 1 l c
n 1 l
= a0(c + 2l – c) + 0 + 0
= 2la0
1 c 2l
Hence, a0 f ( x )dx …(2.2)
2l c
2.4 Chapter 2 Fourier Series and Fourier Integral

Determination of an
n x
Multiplying both the sides of Eq. (2.1) by cos and integrating w.r.t. x in the
l
interval (c, c + 2l),
c 2l n x c 2l n x c 2l n x n x
f ( x ) cos dx a0 cos dx an cos cos dx
c l c l c
n 1 l l
c 2l n x n x
bn sin cos dx
c
n 1 l l
0 lan 0
= l an
1 c 2l n x
Hence, an f ( x ) cos dx …(2.3)
l c l

Determination of bn
n x
Multiplying both the sides of Eq. (2.1) by sin and integrating w.r.t. x in the
interval (c, c + 2l ), l

c 2l n x c 2l n x c 2l n x n x
f ( x )sin dx a0 sin dx an cos sin dx
c l c l c
n 1 l l
c 2l n x n x
bn sin sin dx
c
n 1 l l
0 0 lbn
= l bn
1 c 2l n x
Hence, bn f ( x )sin dx …(2.4)
l c l
The formulae (2.2), (2.3), and (2.4) are known as Euler’s formulae which give the values
of coefficients a0, an, and bn. These coefficients are known as Fourier coefficients.
Corollary 1 When c = 0 and 2l = 2

f ( x) a0 an cos nx bn sin nx
n 1 n 1

1 2
where a0 f ( x ) dx
2 0

1 2
an f ( x ) cos nx dx
0

1 2
bn f ( x )sin nx dx
0
 2.4 Fourier Series of Functions of Any Period 2.5

Corollary 2 When c = – and 2l = 2

f ( x) a0 an cos nx bn sin nx
n 1 n 1

1
where a0 f ( x ) dx
2
1
an f ( x ) cos nx dx

1
bn f ( x )sin nx dx

Corollary 3 When c = 0

n x n x
f ( x) a0 an cos bn sin
n 1 l n 1 l
1 2l
where a0 f ( x ) dx
2l 0
1 2l n x
an f ( x ) cos dx
l 0 l
1 2l n x
bn f ( x )sin dx
l 0 l

Corollary 4 When c = – l

n x n x
f ( x) a0 an cos bn sin
n 1 l n 1 l
1 l
where a0 f ( x )dx
2l l

1 l n x
an f ( x ) cos dx
l l l
1 l n x
bn f ( x )sin dx
l l l

Fourier Series Expansion with Period 2

Example 1
Find the Fourier series of f (x) = x in the interval (0, 2 ).
2.6 Chapter 2 Fourier Series and Fourier Integral

Solution
The Fourier series of f (x) with period 2 is given by

f ( x) a0 an cos nx bn sin nx
n 1 n 1

1 2
a0 f ( x )dx
2 0

1 2
x dx
2 0

2
1 x2
2 2
0
2
1 4
2 2

1 2
an f ( x ) cos nx dx
0

1 2
x cos nx dx
0
2
1 sin nx cos nx
x (1)
n n2 0
1 cos 2 n cos 0
sin 2 n sin 0 0
n2 n2
0 cos 2 n cos 0 1
1 2
bn f ( x )sin nx dx
0

1 2
x sin nx dx
0
2
1 cos nx sin nx
x (1)
n n2 0

1 cos 2 n
2 sin 2 n sin 0 0
n
2
cos 2 n 1
n
1
Hence, f ( x) 2 sin nx
n 1n
 2.4 Fourier Series of Functions of Any Period 2.7

1 1
x 2 sin x sin 2 x sin 3 x
2 3

Example 2
Find the Fourier series of f (x) = x2 in the interval 0, 2 and, hence,
2
1 1 1
deduce that
12 12 22 32
Solution
The Fourier series of f (x) with period 2 is given by

f ( x) a0 an cos nx bn sin nx
n 1 n 1

1 2
a0 f ( x )dx
2 0

1 2
x 2 dx
2 0
2
1 x3
2 3
0
3
1 8
2 3
2
4
3
1 2
an f ( x ) cos nx dx
0

1 2
x 2 cos nx dx
0
2
1 sin nx cos nx sin nx
x2 2x 2
n n2 n3 0

1 cos 2 n
4 sin 2 n sin 0 0
n2
1 4
cos 2 n 1
n2
4
n2
2.8 Chapter 2 Fourier Series and Fourier Integral

1 2
bn f ( x )sin nx dx
0

1 2
x 2 sin nx dx
0
2
1 cos nx sin nx cos nx
x2 2x 2
n n2 n3 0

1 2 cos 2 n cos 2n
n cos 0
4 2 3
2
n n n3
2
1 4
cos 2 n cos 0 1
n
4
n
2
4 1 1
Hence, f ( x) 4 2
cos nx 4 sin nx
3 n 1n n 1n
2
4 1 1 1
x2 4 2
cos x 2
cos 2 x cos3 x ... (1)
3 1 2 32
Putting x = in Eq. (1),
2
2 4 1 1 1
4 2
cos 2
cos 2 cos 3
3 1 2 32
2
4 1 1 1
4
3 12 22 32
2
1 1 1
12 12 22 32

Example 3
1
Find the Fourier series of f ( x ) ( x ) in the interval (0, 2 ).
2
1 1 1
Hence, deduce that 1 [Winter 2013]
4 3 5 7
Solution
The Fourier series of f (x) with period 2 is given by

f ( x) a0 an cos nx bn sin nx
n 1 n 1
 2.4 Fourier Series of Functions of Any Period 2.9

1 2
a0 f ( x )dx
2 0

1 2 1
( x )dx
2 0 2
2
1 x2
x
4 2
0
1 2 2
(2 2 )
4
0
1 2
an f ( x ) cos nx dx
0

1 2 1
( x ) cos nx dx
0 2
2
1 sin nx cos nx
( x) ( 1)
2 n n2 0
1 cos 2 n cos 0
2
2 n n2
0 cos 2 n cos 0 1

1 2 1
bn ( x )sin nx dx
0 2
2
1 cos nx sin nx
( x) ( 1)
2 n n2 0

1 cos 2 n cos 0
( ) sin 2 n sin 0 0
2 n n
1
cos 2 n cos 0 1
2 n n
1
n
1
Hence, f ( x) sin nx
n 1n
1 1 1 1 1
( x) sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x sin 5 x
2 2 3 4 5
1 1
sin 6 x sin 7 x ...(1)
6 7
2.10 Chapter 2 Fourier Series and Fourier Integral

Putting x in Eq. (1),

2
1 1 1 3 1 1 5
sin sin sin sin 2 sin
2 2 2 2 3 2 4 5 2
1 1 7
sin 3 sin
6 7 2
1 1 1
1
4 3 5 7

Example 4 2
x
Obtain the Fourier series of f ( x ) in the interval 0 x 2 .
2
Hence, deduce that
2
1 1 1
2 2 [Winter 2014]
12 1 2 32

Solution
The Fourier series of f(x) with period 2 is given by

f ( x) a0 an cos nx bn sin nx
n 1 n 1

1 2
a0 f ( x ) dx
2 0
2
1 2 x
dx
2 0 2
2
1 ( x )3
8 3 0
1
( 3 3
)
24
2

12
1 2
an f ( x ) cos nx dx
0
2
1 2 x
cos nx dx
0 2
 2.4 Fourier Series of Functions of Any Period 2.11

2
1 2 sin nx cos nx sin nx
( x) 2( x )( 1) 2( 1)( 1)
4 n n2 n3 0

1 cos 2 n cos 0
2 2 sin 2 n sin 0 0
4 n2 n2
1 2 2
2
cos 2 n cos 0 1
4 n n2
1
n2
1 2
bn f ( x ) sin nx dx
0
2
1 2 x
sin nx dx
0 2
2
1 2 cos nx sin nx cos nx
( x ) 2( x )( 1) 2( 1)( 1)
4 n n2 n3 0

1 2 cos 2n 2 cos 2n 2 cos 0 cos 0

3
2
4 n n n n3
[ sin 2 n sin 0 0]
2 2
1 2 2
[ cos 2 n cos 0 1]
4 n n3 n n3
0
2
1
Hence, f ( x ) cos nx
12 2
n 1n

2 2
x 1 1 1
2
cos x 2
cos 2 x cos 3 x ....(1)
2 12 1 2 32
Putting x = in Eq. (1),
2
1 1 1
0 2 2
12 1 2 32
2
1 1 1
2 2
12 1 2 32
2.12 Chapter 2 Fourier Series and Fourier Integral

Example 5
3x2 6x 2 2
Find the Fourier series of f ( x ) in the interval (0, 2 )
12
2
1 1
Hence, deduce that 1 2
6 2 32
Solution
The Fourier series of f (x) with period 2 is given by

f ( x) a0 an cos nx bn sin nx
n 1 n 1

1 2
a0 f ( x )dx
2 0

1 2 3x2 6x 2 2
dx
2 0 12
2
1 x3 x2 2
3 6 2 x
24 3 2
0
3 2
1 8 4 3
3 6 4
24 3 2
0
1 2
an f ( x ) cos nx dx
0

1 2 3x2 6x 2 2
cos nx dx
0 12
2
1 sin nx cos nx sin nx
(3 x 2 6x 2 2
) (6 x 6 ) 6
12 n n2 n3 0

1 cos 2 n cos 0
(6 ) 2
( 6 ) sin 2 n sin 0 0
12 n n2
1 6 6
2
cos 2n cos 0 1
12 n n2
1
n2
1 2
bn f ( x )sin nx dx
0
 2.4 Fourier Series of Functions of Any Period 2.13

1 2 3x2 6x 2 2
sin nx dx
0 12
2
1 cos nx sin nx cos nx
(3 x 2 6x 2 2
) (6 x 6 ) 6
12 n n2 n3 0

1 2 2 2 cos 2 n cos 2 n cos 0

(12 12 2 ) 6 ( 2 )2
12 n n3 n
cos 0
6 sin 2 n sin 0 0
n3
0 cos 2 n cos 0 1

1
Hence, f ( x) 2
cos nx
n 1 n

2 2
3x 6x 2 1 1
cos x cos 2 x cos 3 x … (1)
12 22 32
Putting x = 0 in Eq. (1),
2
1 1
cos 0 2
cos 0 cos 0
6 2 32
1 1
1 2
2 32

Example 6
Find the Fourier series of f(x) = e–x in the interval (0, 2 ).
1 ( 1)n
Hence, deduce that . [Summer 2014]
2 sinh n 2 n2 1
Solution
The Fourier series of f (x) with period 2 is given by

f ( x) a0 an cos nx bn sin nx
n 1 n 1

1 2
a0 f ( x )dx
2 0

1 2
e x dx
2 0

1 x
2
e
2 0
2.14 Chapter 2 Fourier Series and Fourier Integral

2
e e0
2
2
1 e
2
1 2
an f ( x ) cos nx dx
0

1 2 x
e cos nx dx
0
2
x
1 e
( cos nx n sin nx )
n2 1 0
2
1 e 1
2
( cos 2 n ) 2
( cos 0) sin 2 n sin 0 0
n 1 n 1
1 2
(1 e ) cos 2 n cos 0 1
(n2 1)
1 2
bn f ( x )sin nx dx
0

1 2 x
e sin nx dx
0
2
x
1 e
( sin nx n cos nx )
n2 1 0
2
1 e 1
2
( n cos 2 n ) 2
( n cos 0) sin 2 n sin 0 0
n 1 n 1
n 2
2
(1 e ) cos 2 n cos 0 1
(n 1)
2 2 2
1 e 1 e 1 1 e n
Hence, f ( x ) 2
cos nx 2
sin nx … (1)
2 n 1n 1 n 1n 1
Putting x = in Eq. (1),
2 2
1 e 1 e ( 1)n
f( ) 2
cos n ( 1)n , sin n 0
2 n 1n 1
2 2
1 e 1 e 1 ( 1)n
e
2 2 n 2 n2 1
2
1 e ( 1)n
n 2 n2 1
 2.4 Fourier Series of Functions of Any Period 2.15

( 1)n
2
e (1 e ) n 2 n2 1
( 1)n
e e n 2 n2 1
1 ( 1)n
Hence,
2 sinh n 2 n2 1

Example 7
Find the Fourier series of f ( x ) 1 cos x in the interval (0, 2 ). Hence,
1 1
deduce that 2
.
2 n 1 4n 1
Solution
The Fourier series of f (x) with period 2 is given by

f ( x) a0 an cos nx bn sin nx
n 1 n 1

x
f ( x) 1 cos x 2 sin
2
1 2
a0 f ( x )dx
2 0

1 2 x
2 sin dx
2 0 2
2
2 x
2 cos
2 2 0

2
( 2 cos 2 cos 0)
2
2 2
[ cos 1, cos 0 1]

1 2
an f ( x ) cos nx dx
0

1 2 x
2 sin cos nx dx
0 2
2 2 2n 1 2n 1
sin x sin x dx
2 0 2 2
2.16 Chapter 2 Fourier Series and Fourier Integral

2
2 2 2n 1 2 2n 1
cos x cos x
2 2n 1 2 2n 1 2 0

2 2 2 cos 0 2 2 cos 0
cos(2 n ) cos(2 n )
2 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
2 4 4
cos(2 n 1) cos(2 n 1) 1,cos 0 1
2 2n 1 2n 1
4 2 1
2
4n 1
1 2
bn f ( x )sin nx dx
0

1 2 x
2 sin sin nx dx
0 2
2 2 2n 1 2n 1
cos x cos x dx
2 0 2 2
2
2 2 2n 1 2 2n 1
sin x sin x
2 2n 1 2 2n 1 2 0
0 sin(2 n 1) sin(2n 1) sin 0 0
2 2 4 2 1
Hence, f ( x) 2
cos nx … (1)
n 1 4n 1
Putting x = 0 in Eq. (1),
2 2 4 2 1
f (0 ) 0 2
n 1 4n 1
1 1
2 2
n 1 4n 1

Example 8
Find the Fourier series of f ( x ) 1 0 x
2 x 2
Solution
The Fourier series of f (x) with period 2 is given by

f ( x) a0 an cos nx bn sin nx
n 1 n 1
 2.4 Fourier Series of Functions of Any Period 2.17

1 2
a0 f ( x )dx
2 0
1 2
( 1)dx 2 dx
2 0

1 2
x 0 2x
2
1
( ) (4 2 )
2
1
2
1 2
an f ( x ) cos nx dx
0

1 2
( 1) cos nx dx 2 cos nx dx
0

2
1 sin nx sin nx
2
n 0 n
0 sin 2 n sin n sin 0 0
1 2
bn f ( x )sin nx dx
0

1 2
( 1)sin nx dx 2 sin nx dx
0

2
1 cos nx 2 cos nx
n 0 n
1 cos n cos 0 2 cos 2 n 2 cos n
n n n n
3
[( 1)n 1] cos 2 n cos 0 1, cos n ( 1)n
n

Hence, f ( x ) 1 3 ( 1)n 1
sin nx
2 n 1 n
1 3 2 2
2 sin x sin 3 x sin 5 x
2 3 5
1 6 1 1
sin x sin 3 x sin 5 x
2 3 5
2.18 Chapter 2 Fourier Series and Fourier Integral

Example 9
Find the Fourier series of f (x) = x + x2 in the interval (– , ), and
hence, deduce that
2
1 1 1
(i)
12 12 22 32
2
1 1 1
(ii) 2 2
[Winter 2012]
6 1 2 32
Solution
The Fourier series of f (x) with period 2 is given by

f ( x) a0 an cos nx bn sin nx
n 1 n 1

1
a0 f ( x )dx
2
1
( x x 2 )dx
2
1 x2 x3
2 2 3
2 3 2 3
1
2 2 3 2 3
3
1 2
2 3
2

3
1
an f ( x ) cos nx dx

1
( x x 2 ) cos nx dx

1 sin nx cos nx sin nx

( x x2 ) (1 2 x ) 2
2
n n n3
1 cos n cos( n )
(1 2 ) 2
(1 2 )
n n2
1 cos n
4 os( n )
co cos( n )
n2
 2.4 Fourier Series of Functions of Any Period 2.19

4( 1)n
2
cos n ( 1)n
n
1
bn f ( x )sin nx dx

1
( x x 2 )sin nx dx

1 cos nx sin nx cos nx

( x x2 ) (1 2 x ) 2
2
n n n3
1 2 cos n cos n
( ) 2
n n3
2 cos( n ) cos( n )
( ) 3
2
n n3
1 2
cos n cos( n ) cos n
n
2( 1)n
cos n ( 1)n
n

2
( 1)n ( 1)n
Hence, f ( x) 4 cos nx 2 sin nx
3 n 1 n2 n 1 n
2
1 1 1
x x2 4 2
cos x 2
cos 2 x cos3 x
3 1 2 32
1 1 1
2 sin x sin 2 x sin 3 x ...(1)
1 2 3
(i) Putting x = 0 in Eq. (1),
2
1 1 1
0 4 2
cos 0 2
cos 0 cos 0
3 1 2 32
2
1 1 1
2 2
12 1 2 32
(ii) Putting x = in Eq. (1),
2
2 1 1 1
4 2
cos 2
cos 2 cos 3
3 1 2 32
2
1 1 1
4 2 2 … (2)
3 1 2 32
2.20 Chapter 2 Fourier Series and Fourier Integral

Putting x = – in Eq. (1),

2
2 1 1 1
4 cos( ) cos( 2 ) cos( 3 )
3 12 22 32
2
1 1 1
4 2 2 … (3)
3 1 2 32
Adding Eqs (2) and (3),
2
1 1 1
2 2
6 1 2 32

Example 10
Find the Fourier series of f (x) = x + |x| in the interval – < x < .
[Winter 2014]
Solution
The Fourier series of f (x) with period 2 is given by

f ( x) a0 an cos nx bn sin nx
n 1 n 1

1
a0 f ( x ) dx
2
1
(x | x |) dx
2
1
x dx | x | dx
2
a a
1 f ( x ) dx 2 f ( x ) dx, if f ( x ) is even function
0 2 | x | dx a 0
2 0
0, if f ( x ) is odd function
1
x dx
0

1 x2
2 0
2
1
2

2
 2.4 Fourier Series of Functions of Any Period 2.21

1
an f ( x ) cos nx dx

1
( x | x |) cos nx dx

1
x cos nx dx | x | cos nx dx

1 x cos nx is odd function

0 2 | x | cos nx dx
0 and | x | cos nx is even function
2
x cos nx dx
0

2 sin nx cos nx
x (1)
n n2 0
2 cos n cos 0
[ sin n sin 0 0]
n2 n2
2
( 1)n 1 cos n ( 1)n , cos 0 1
n2
1
bn f ( x ) sin nx dx

1
( x | x |)sin nx dx

1
x sin nx dx | x | sin nx dx

1 x sin nx is an even function

2 x sin nx dx 0
0 | x | sin x is an odd function

2 cos nx sin nx
x (1)
n n2 0
2 cos n
[ sin n sin 0 0]
n
2
( 1)n cos n ( 1)n
n
2 ( 1)n 1 ( 1)n
Hence, f ( x ) cos nx 2 sin nx
2 n 1 n2 n 1 n

2 2 2 2
x |x| 2
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2 1 3 52
1 1 1
2 sin x sin 2 x sin 3 x
1 2 3
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sein werden. Der erste Finder des Rechter Goldes, Bergverwalter
Jung aus Bliesenbach, hat dasselbe auch bei Montenau
nachgewiesen und hat in dem ganzen Gelände, in dem die
kleinen Hügel vorkommen, Mutungen auf Gold bei der
Bergbehörde eingelegt. In der Nähe der vielen Hügel in der
Umgebung der Rechter Mühle sah ich viele schachtförmige
Vertiefungen (alte Pingen) mit hohem Baumwuchs bestanden, die
sicherlich von früherm Bergbau herstammen. Herr Jung hat die
Gegend schon in den 70er Jahren durchsucht und vermutet, daß
die vielen Hügel Halden von Seifen seien. v. Dechen, mit dem
Jung damals in Briefwechsel trat, war anderer Ansicht, indem er
ihm unter dem 27. Januar 1876 schrieb: „Die kleinen Hügel von
Montenau habe ich hier und westlich von Recht an der belgischen
Grenze gesehen. Es sind wohl keine Halden. Mit Halden von
Goldwäschen, die ich bei Goldberg, Löwenberg, Bunzlau in
Schlesien gesehen, haben dieselben keine Aehnlichkeit.
Ebensowenig weist der Bestand derselben auf irgend ein sonst
bekanntes Goldvorkommen hin. Ich habe sie für alte Grabhügel
gehalten, obgleich bei einigen, die aufgeworfen worden sind,
nichts gefunden worden ist.“ Derselben Ansicht, daß sie alte
Grabhügel seien, war früher auch der Altertumsforscher Dr. Esser
in Malmedy, er hält sie aber jetzt für Halden von Erzseifen, wie er
mir unlängst mitteilte. Dafür spricht ihre geringe Ausdehnung —
sie sind kaum 1 m hoch — und namentlich der Umstand, daß sie
nur in Thalgründen unmittelbar an Bächen (Amelsbach,
Emmelsbach, Rechter Bach u. s. w.) vorkommen. Es mögen im
Altertum hier viele Arbeiter beschäftigt und eine größere
Gewinnung von Metall im Gange gewesen sein. Nun, die Römer
verfügten sicherlich über ganz billige Arbeitskräfte und es stand
damals das Gold in weit höherm Werte als heute. Ob gegenwärtig
noch eine Rentabilität zu erzielen ist, werden die weiteren
Versuchsarbeiten ergeben.“
[24] Die Ortschaft wird seit 888 in Urkunden genannt: Nova villa,
la neuve ville, auf wallonisch: li nouve veie, dann: Lignonville, im
11. Jahrhundert: Langeneuville.
 VI.
Die Bewohner von Malmedy und die
Sprachen-Verhältnisse in der
Wallonie.

Die N a m e n der Bewohner von Malmedy sind meistens

französisch, aber infolge des Zuzuges aus Altdeutschland nimmt die
Zahl der Deutschen fortwährend zu. Die M i s c h e h e n , d. h. die
Heiraten zwischen Einheimischen und Altdeutschen sind übrigens
gar nicht so selten, wie z. B. von französischer Seite behauptet wird.
Auguste Descamps, auf den ich noch zu sprechen komme,
behauptet, die Malmedyer heirateten nur Walloninnen aus Stavelot
u. s. w. Das ist natürlich übertrieben. Es mag ja Leute geben, die von
Altdeutschen nichts wissen wollen, aber Mischehen kommen sogar
in solchen Gegenden häufig vor, wo die nationalen Gegensätze viel
stärker sind, als hier. Auf dem Bürgermeisteramt von Malmedy habe
ich sogar erfahren, daß etwa ein Viertel der dortigen Heiraten
zwischen Einheimischen und Auswärtigen (Deutschen) geschlossen
werden.
Die S t r a ß e n tragen zum Teil nur französische, zum Teil deutsche
und französische Namen, die manchmal recht sonderbar sind, z. B.
Rue chemin-rue, Rue Derrière la Vaulx u. s. w. Neuerdings ist
angeordnet worden, daß die Straßen deutsche Namen erhalten
müssen, der Gemeinderat hat dieses jedoch nur insoweit genehmigt,
als die Namen leicht übersetzbar sind. Von den G e s c h ä f t s s c h i l d e r n
sind viele deutsch. In den meisten Läden werden beide Sprachen
gesprochen: die einheimischen Geschäftsleute müssen der Beamten
und anderen Eingewanderten wegen deutsch sprechen lernen, und
die altdeutschen Geschäftsleute lernen meistens so viel
Französisch, daß sie sich auch mit solchen Kunden behelfen
können, die das Deutsche nicht beherrschen. Es ist deshalb ganz
irrig, wenn Heinrich Freimuth schreibt: „Wer Brasserie und Poudre à
tirer nicht versteht, der geht dort kein Bier und hier kein Schießpulver
suchen.“ Sogar Aerzte, die aus Stavelot herüberkommen, bemerken
in ihren Anzeigen, daß sie auch deutsch sprechen.
Einen französischen „Führer“ durch Malmedy gibt es bis jetzt
nicht. Ein ziemlich gutes Büchlein ist „Malmedy und das Thal der
Warche“ von Hermann Rehm. Der landschaftliche Teil ist ausführlich
darin behandelt, aber der geschichtliche und ethnographische Teil
weist manche Lücke auf. Manche von den interessantesten Fragen
werden nicht einmal darin berührt. Übrigens wird Malmedy auch in
den Eifelführern behandelt, von denen der beste vom Eifelverein
herausgegeben ist. Den Bemühungen dieses Vereins ist es zu
danken, daß mit jedem Jahre mehr Touristen ihre Schritte nach
dieser Gegend lenken.
Das W a l l o n i s c h e , welches in Malmedy und Umgegend
gesprochen wird, unterscheidet sich von demjenigen in Belgien
einerseits durch eine etwas veränderte Betonung und andererseits
durch die Aufnahme germanischer Sprachelemente. Schön klingt es
keineswegs, und es ist für einen Kenner des Französischen zum
großen Teil unverständlich. In dem Gedichte „Die Wallonen“ spottet
Alexander Kaufmann über das Wallonische, indem er St. Jürgen vor
der Himmelsthüre sagen läßt:

„Als auf Erden ich einst Linddrachen erlegt und Gewürme,

Lernt’ ich auch Sprachen dabei — nur eine, Gewalt’ger,
verzeiht mir,
Wollte mir nicht in den Kopf, so verzweifelt konfus ist der
Mischmasch.
Drunten in Hainault redet man sie, auch schwätzt in Namur
man,
Wenn ich nicht irre, das Zeug und in Limburg, wo man den
Käse,
 Wißt Ihr, den trefflichen, macht, und die Leute benennen’s
Wallonisch.
Dreißig Jahr studirt’ ich daran, doch immer vergebens,
Ob ich das Englische gleich in vierzehn Tagen erlernt.“

So schwer dürfte das Wallonische wohl doch nicht zu erlernen

sein, aber wenn es auch für einen Philologen interessant sein mag,
so dürfte kaum jemand es aus litterarischem Interesse lernen wollen.
Es zählt zu den nordfranzösischen Patois und entstand im 5. und 6.
Jahrhundert. Die mittelalterlichen Schriftsteller nannten das
Wallonische (abgeleitet von wael, gallus, gaulois) romana lingua (la
langue romance oder le gaulois). Das älteste bekannte Schriftstück
in wallonischer Sprache ist aus dem Jahre 1450. Der Bischof Notker
von Lüttich dürfte wohl einer der Ersten gewesen sein, der neben
der deutschen auch die wallonische und französische Sprache
redete. Das Wallonische überhaupt ist mit den nordfranzösischen
Dialekten verwandt. Es zerfällt hier wie in den belgischen Ardennen
in mannichfache, mehr oder weniger abweichende Untermundarten.
Die sehr urwüchsigen ältesten wallonischen Sprachdenkmäler
enthalten noch einen Rest von dunkeln, anderweit unbekannten
Ausdrücken, wie auch das Neuwallonische noch manches
Altertümliche in der Flexion u. s. w. aufweist.[25] Die Malmedyer
Mundart insbesondere bearbeitete der bereits erwähnte
Rechtsgelehrte Villers in seinem „Dictionnaire wallon“, von dem bis
jetzt jedoch nur Auszüge veröffentlicht sind.
Die Sprache des Volkes ist also das Wallonische. Die Bewohner
lernen aber ebenso rasch das Französische, wie z. B. der Holländer
das Deutsche. In der wohlhabenderen Gesellschaft wird denn auch
noch vielfach französisch gesprochen, wenn auch nicht immer in
reiner Form. Die Einheimischen lernen auch deutsch, aber das
Französische geben sie deswegen nicht auf.
Auguste Descamps hat in Malmedy einige sonderbare
Redensarten der Wallonen aufgezeichnet. Diese nennen z. B. den
Schlaftrunk (das letzte Gläschen vor dem Schlafengehen) bonnet de
nuit, ein kleines Brötchen pistolet u. s. w. Sie fragen nicht Comment
allez-vous, sondern comment va-t-il?
 In Malmedy erscheinen zwei Z e i t u n g e n ausschließlich in
französischer Sprache. Die älteste ist die seit 50 Jahren bestehende
Wochenzeitung: „La Semaine. Journal de la Ville et du Cercle de
Malmédy“, die von dem Buchhändler H. Scius-Stouse redigirt,
gedruckt und verlegt wird. Neben ihr erscheint seit 16 Jahren das
„Organe de Malmédy. Feuille d’annonces et revue hebdomadaire du
Cercle de Malmédy“, im Verlage von F. J. Lemoine. Es ist nicht
immer ein klassisches Französisch, das in diesen Zeitungen
geschrieben wird, aber es genügt den Malmedyern zur
Verständigung.[26] Die „Semaine“ wurde von dem jetzigen
Herausgeber gegründet, der also in diesem Jahre sagen kann, er
habe ein halbes Jahrhundert hindurch seine Zeitung allein geleitet.
Das Blatt war zur Verteidigung der religiösen und monarchischen
Grundsätze in stürmischer Zeit gegründet worden, und es ist seiner
Devise „Nous maintiendrons“ treu geblieben. Beide Zeitungen
nehmen den größten Teil ihres Stoffes aus französischen und
belgischen Blättern, sowie aus der „Gazette de Lorraine“, dem
bekannten offiziösen Organ in Metz. Hier und da findet man eine
eigene Bemerkung des Redakteurs beigefügt, so unter Frankreich:
„Charmante et pudique république!“ Ein besonderes Interesse bieten
die lokalgeschichtlichen Artikel der „Semaine“, die von dem
Geschichtsforscher Arsène de Noüe herrühren. Die Anzeigen sind
teils französisch, teils deutsch. Eine eigenartige Bezeichnung hat
man in Malmedy für den Gemeinderat, den man nicht conseil
municipal, sondern conseil de ville (wörtliche Übersetzung von
Stadtrat) nennt. So wie jetzt die Verhältnisse in Malmedy liegen,
wäre es jedenfalls am empfehlenswertesten, eine Zeitung in
deutscher und französischer Sprache erscheinen zu lassen, wie es
deren noch jetzt im Elsaß giebt. Dadurch würde den Einheimischen
Gelegenheit geboten werden, deutsch zu lernen, und es würde
überhaupt eine Verständigung in Ortsangelegenheiten zwischen
ihnen und den Einheimischen leichter erzielt werden können, als
jetzt, wo nur französische Artikel erscheinen. Das amtliche Kreisblatt
für Malmedy wird übrigens in St. Vith ausschließlich in deutscher
Sprache ausgegeben. Aus der ehemaligen Schwesterstadt kommt
„L’Annonce“, ein für Stavelot und Vielsalm bestimmtes Blättchen.
Daneben werden noch andere belgische und westdeutsche
Zeitungen gehalten.
Litterarisch wird die wallonische Mundart in Malmedy wenig
verwertet. Die „Semaine“ bringt jede Woche einen „Armonac do
l’Saméne“ und hie und da auch ein Gedicht in derselben. Außerdem
giebt sie für die Abonnenten als Prämie jedes Jahr einen Kalender:
„Armonac wallon“ mit Gedichten, geschichtlichen Notizen u. s. w.
heraus.[27]
Die Ve r e i n e in Malmedy scheinen ziemlich rege Beziehungen
mit den Wallonen jenseits der Grenze zu unterhalten. Es giebt
mehrere Musikvereine: das „Echo de la Warche“ (seit 1846), die
„Union Wallonne“ (seit 1847), „La Malmédienne“, „La Fraternité“.
Ferner giebt es einen Kriegerverein, der die vaterländischen
Festtage feiert, wobei die einheimischen Vereine mitwirken. Es
besteht auch eine „Société Littéraire“, eine „Société de Tir“ u. s. w.
Schon die französischen Namen deuten an, daß in diesen Vereinen
meistens wallonisch oder französisch gesprochen wird.
Die A m t s s p r a c h e ist jetzt in der preußischen Wallonie durchweg
die deutsche. Bis in den siebziger Jahren herrschte allerdings das
Französische vor, sowohl in der Gemeindeverwaltung, als auf dem
Gerichte und im Progymnasium in Malmedy. In letzterem war sogar
ein bekannter französischer Schriftsteller, de Molinari, Mitarbeiter der
„Revue des Deux-Mondes“, zwei Jahre Lehrer bei Beginn seiner
Laufbahn.
Jetzt gilt das Deutsche überall als Amts- und Lehrsprache,
obschon es aus praktischen Zwecken noch oft dem Wallonischen
oder Französischen Platz machen muß. In den
G e m e i n d e r a t s s i t z u n g e n in Malmedy und den wallonischen
Gemeinden werden die zu verhandelnden Gegenstände in
deutscher Sprache vorgetragen. Wünscht dann ein Mitglied eine
Aufklärung in französischer Sprache, so wird ihm diese erteilt.
Besonders unter den älteren Herren giebt es solche, die das
Deutsche nicht zur Genüge verstehen und denen amtliche
Verfügungen in französischer Sprache erklärt werden müssen.
Andere Mitglieder aber sind der deutschen Sprache nicht so
mächtig, daß sie ihre Ansichten in ihr gut vortragen könnten, und um
dann Mißverständnisse zu vermeiden oder sich nicht lächerlich zu
machen — besonders da die Sitzungen öffentlich sind und die
Presse gern Kritik übt — sprechen sie wallonisch oder französisch.
Alle Protokolle werden aber in deutscher Sprache abgefaßt.
Noch bis in die sechziger Jahre hinein waren die Malmedyer
selten, welche einen halbwegs richtigen deutschen Brief schreiben
konnten. Jetzt ist das ganz anders. Übrigens hätte eine an sich so
wenig deutsche, hart an Belgien grenzende Stadt in bezug auf
Schulen mehr Aufmerksamkeit verdient, als sie Malmedy
thatsächlich zu teil geworden ist. Sie besitzt erst seit 1869 ein
Progymnasium. Angesehene Familien lassen ihre Töchter in
belgischen Klosterschulen erziehen.
Der Schulunterricht wird gegenwärtig in deutscher Sprache
erteilt, und das trägt neben dem Militärdienst viel zu ihrer Verbreitung
bei.[28] Den Volksschullehrern wie auch den Geistlichen erwächst
durch die Mehrsprachigkeit des Bezirks eine keineswegs leichte
Aufgabe. Die Lehrer und Lehrerinnen sind bis auf zwei oder drei
Ausnahmen Altdeutsche, beherrschen aber meistens das
Französische bezw. Wallonische. Die sämmtlichen Schulbücher sind
deutsch und werden nicht, wie Descamps behauptet, aus Belgien,
sondern aus dem Inlande bezogen. Der Religionsunterricht findet an
den Schulen in deutscher Sprache statt; nur von den beiden
jüngsten Jahrgängen erhalten die wallonischen Kinder den
Religionsunterricht in französischer Sprache, während die Kinder
deutscher Familien in deutscher Sprache unterrichtet werden. Der
teilweise außerhalb der Schulen erteilte Vorbereitungsunterricht zur
ersten hl. Kommunion findet ebenfalls in deutscher und in
französischer Sprache statt. Diese Einrichtungen sind einfach
deshalb getroffen, damit die Kinder auch verstehen, was sie lernen
sollen. In den Kirchen in Malmedy wird gewöhnlich jeden Sonntag
zweimal deutsch und zwei- bis dreimal französisch gepredigt.
Wir finden hier dieselbe Erscheinung wie in anderen Gegenden,
wo eine nationale Veränderung vor sich geht. Die Geistlichkeit läßt
sich, soweit ich in Erfahrung gebracht habe, keineswegs durch
deutschfeindliche Gesinnung leiten; sie sucht sich nur den
Pfarrkindern verständlich zu machen, mag dies in deutscher oder
französischer Sprache sein.
Ein aufmerksamer Beobachter wird zugeben müssen, daß bei
der niederen Bevölkerung das Französische sichtlich abgenommen
hat. Das Wallonische bleibt aber natürlich bestehen.

[25] Vgl. Grandgagnage-Scheler, Dictionnaire étymologique, und

W. Altenburgs Abhandlung über Lautgeschichtliches.
[26] Es geht den Bewohnern von Malmedy in der Hinsicht noch
schlimmer, als denjenigen des französischen Sprachgebiets im
Reichslande: die Sprache bleibt zwar französisch, aber sie
verarmt und verkümmert. Man ist gezwungen, viel aus dem
Deutschen zu übersetzen, und für manche Bezeichnungen muß
man erst französische Ausdrücke suchen. Diese sind dann
meistens für Franzosen unverständlich. So würde es keinem
Franzosen einfallen, hinter der „Régence“ die Regierung in
Aachen zu suchen. Landrat, Amtsgericht u. s. w. werden
überhaupt nicht übersetzt, obschon man schon einigermaßen
entsprechende Ausdrücke dafür finden könnte.
[27] Ein Malmedyer, der Lehrer des Französischen am
Gymnasium in Mülhausen i. E. wurde, hat eine Sammlung
französischer Gedichte veröffentlicht: Poésies lyriques par Joseph
Lebiere. Malmédy, F. J. Lemoine. 1882. Eine neue Auflage
erschien unter dem Titel: Poésies, par Joseph Lebierre. Nouvelle
édition. Strasbourg, Imprimerie alsacienne, ancᵗ. G. Fischbach.
1896. Diese Sammlung ist in französischen Zeitungen sehr
beifällig besprochen worden. Sein Bruder Florent Lebierre hat
einige wallonische Lokalgedichte geschrieben.
[28] Der Kreisschulinspektor Dr. Esser in Malmedy hat sich
besondere Verdienste um den Volksschulunterricht erworben. Die
in den Schulen der preußischen Wallonie befolgte Methode wird
sogar von dem Franzosen Henri Gaidoz sehr gelobt. Näheres
findet man in der Einleitung zu: „100 deutsche Anschauungs- und
Sprachübungen für die Unterstufe der preußischen Volksschule
mit Kindern nichtdeutscher Nationalität.“ Dortmund, Crüwell 1879.
 VII.
Die Sitten und Gebräuche.

Die Einwohner halten nicht bloß an ihrer Sprache, sondern auch

an ihren S i t t e n und G e b r ä u c h e n beharrlich fest. Man findet dort
auch einige hübsche S a g e n , besonders von Zwergen, die im
Wallonischen Sottais (von sous terre) genannt werden, weil sie sich
meistens unter der Erde aufhielten, oder Nuttons (von nuit), weil sie
nur während der Nacht zum Vorschein kamen. Die
bemerkenswertesten dieser Sagen findet man in der Zeitschrift
„Wallonia“[29] erzählt. Es würde mich zu weit führen, wenn ich hier
darauf eingehen wollte.
Die preußischen Wallonen lieben wie ihre belgischen
Stammesgenossen die F e s t e . Fastnacht wird mit vielem Lärm
gefeiert, und die „Semaine“ verfehlt nicht, eine Beschreibung von
zwei Folioseiten zu bringen. Allerdings ist die Polizei ziemlich
strenge, denn die Polizeistunde ist für die drei Fastnachtstage
„ausnahmsweise“ auf 1 Uhr Nachts festgesetzt. Früher scheint es
etwas ungezwungener hergegangen zu sein, denn jetzt wird noch
jedes Jahr daran erinnert, daß die unter der Bezeichnung
„Egyptiennes“ bekannten Masken verboten sind. Hermann Rehm
sagt:
„In Malmedy trägt man allem karnevalistischen Mummenschanze große
Sympathien entgegen, doch hat der Fasching, wie er in dieser Stadt gefeiert wird,
neben vielem Geräuschvollen manches Schöne und Originelle. Der Zug des
„trouvl’ai“ (Holzspaten), die sog. „Massitours“, die „Haguette“,[30] die
charakteristischen Pierrottänze, das sind Dinge, welche man in einer anderen
Stadt nicht zu sehen bekommt. Bei der Maskerade bleibt nichts der Willkür
überlassen, Kleidung, Bewegung, Rufe und Gesänge, alles wird durch die
herkömmlichen Formen geregelt. Die aus der altitalienischen Komödie
herübergenommenen Masken haben sich beim Karneval einer besonderen
Beliebtheit zu erfreuen. Zu Fastnacht werden ferner in den Gesellschaftszirkeln
häufig Gelegenheitspossen, von Einheimischen in französischer oder wallonischer
Sprache verfaßt, aufgeführt.“
In der Nacht vom 1. Mai pflanzen die jungen Leute Bäumchen
vor den Häusern ihrer Freundinnen auf, ebenso am Tage der
Verlobung. Dabei singen sie dann „lu Nutte du Maie“ (la Nuit de Mai),
ein in der Wallonie volkstümliches Lied, sozusagen die Lokalhymne
von Malmedy. Sie wurde von einem dortigen Dichter Florent Lebierre
verfaßt, dessen Bruder Olivier sie in Musik gesetzt hat.
Jedes Jahr wird der Martinstag mit seinen alten symbolischen
Bräuchen gefeiert. Schon einige Zeit vorher gehen die Knaben von
Haus zu Haus, um unter Absingung wallonischer Lieder Holz und
Stroh zu erbitten. Am Martinsabend wird auf einer Höhe ein großes
Feuer angezündet, um welches die Jugend tanzend und springend
sich bewegt. Hier gelangt auch das wallonische Volkslied, das ja
allmählich durch das deutsche Lied verdrängt wird, zu Ehren.
Singend kehrt man in die Stadt zurück, um den an jenem Abend
üblichen Reisbrei zu verzehren.
So recht ländlich ist auch ein anderes Vergnügen, „Cusnée“
genannt: man begiebt sich in Gesellschaft aufs Feld, um in einem
frei brennenden Feuer Kartoffeln zu braten, die mit Butter bestrichen
genossen werden. Häufig wird auch Bier dazu getrunken oder ein
Liebeslied gesungen. Oft versteigt man sich auch zu einem
ländlichen Tanz, einem „bal champêtre“. Die Bedeutung des Wortes
„Cusnée“ oder „Küssnee“ hat sich allmählich erweitert; man
bezeichnet darunter auch jede Landpartie, sowie gesellige
Zusammenkünfte in der Stadt selbst.
Eine wirkliche Unsitte sind die auf dem Lande vorkommenden
„Leichenschmäuse“, Gastereien bei der Totenwache, gegen welche
die Behörden und die Presse schon oft geeifert haben, ohne sie
jedoch verdrängen zu können.
Herr Gymnasiallehrer Zander aus Aachen, der mehrere Jahre in
Malmedy thätig war, beschreibt in einer Plauderei[31] einige andere
interessante Gebräuche. Ich gebe den mir vom Verfasser
freundlichst zur Verfügung gestellten Artikel, der auch eine
Beschreibung der „Cusnée“ enthält, hier vollständig wieder:
„Der Herbst ist die schönste Zeit für die Volksspiele im Freien. Wenn man jetzt
des Sonntags auf den Bergen herumklettert, sieht man überall auf den Dörfern
und Weilern der Wallonie die Landleute und auch manche Stadtbewohner damit
beschäftigt, K e g e l zu spielen oder S c h i n k e n z u w e r f e n . Die Kegelbahn ist viel
kürzer als in der Stadt, und die Kugeln sind, wie auch in Süddeutschland vielfach,
mit Löchern versehen. In manchen Orten soll der Einsatz recht hoch sein. Das
Schinkenwerfen ist nur ein Spiel für kräftige Leute. Zwei hölzerne Balken, 1½
Meter hoch, sind in den Erdboden hineingetrieben und bilden, durch einen Balken
von 3 Meter Breite miteinander verbunden, ein Gerüst. An dem wagerechten
Balken befinden sich mehrere Nägel, und an diesen werden zu Beginn jedes
Spiels hölzerne Schinken mit Kordeln befestigt. Die Spieler stellen sich in einiger
Entfernung von diesem Gerüst auf und werfen in einer durch das Loos bestimmten
Reihenfolge danach mit schweren eisernen Stäben. Es handelt sich darum, den
wagerechten Balken so zu treffen, daß die Kordel, womit ein Schinken befestigt
ist, zerreißt. Wem dies gelingt, der erhält den Schinken oder was man sonst
verabredet hat. Es kann dabei vorkommen, daß mehrere Schinken zusammen
herabfallen. Sicherlich gewinnt nicht immer der Stärkste, sondern wer am
geschicktesten den Balken zu treffen weiß, auch werden wohl, wie bei jedem
Spiel, Kniffe dabei sein, und wie beim Vogelschießen ist es auch Glückssache.
Eine interessante Abart des Schinkenwerfens ist das H a m m e l w e r f e n .
Allsonntäglich kann man jetzt in unsern Wochenblättern lesen: „Aujourd’hui,
dimanche, on jettera un mouton. Qui l’abat, l’a. N. N.“ (Heute, Sonntag, wird man
einen Hammel werfen. Wer ihn herunterschlägt, hat ihn). So lautet die Anzeige
eines Gastwirtes, der Gäste dadurch heranzuziehen hofft, daß er ihnen das
Vergnügen des Hammelwerfens bietet. Nachmittags gegen 5 Uhr, nachdem man
oft schon mehrere Stunden auf demselben Platze dem Schinkenwerfen obgelegen
hat, wird der Hammel vorgeführt. Das Tier ist natürlich selten von erster Güte und
hat nicht viel Geld gekostet. Es beginnt die Diskussion um die Höhe des
Einsatzes. Dabei geht alles in der anständigsten Weise zu; denn der Wallone geht
nicht leicht zu Streitigkeiten und Schlägereien über. Aber es wird mit unglaublicher
Beredtsamkeit und Lebhaftigkeit gefeilscht, unter vielem Lachen und auf die
Tische schlagen. Endlich ist man einig. Das Tier wird geschlachtet und mit einem
Hinterbeine an einem senkrecht in die Erde getriebenen Pfahl, 2 Meter über dem
Erdboden, festgenagelt, der nach hinten von mindestens zwei schrägen
Holzbalken gestützt wird. Die Sehnen der Hammelbeine sind bekanntlich sehr
stark, und das Bein ist noch mit einer Kordel an dem Nagel befestigt. Nun wird
gerade so wie beim Schinkenwerfen nach dem Pfahl gezielt, und jeder sucht den
hintern Teil des Hammels zu treffen. Hierbei benutzt man jedoch nicht die
Eisenstäbe, sondern gerade so große hölzerne Balken. Die Reihenfolge der
Spieler wird auch hier durch das Loos bestimmt. Der Hammel muß so
herunterfallen, daß ein Stück des Hinterbeins an dem Nagel bleibt. Es würde hier
nicht gelten, wenn etwa die Kordel entzwei ginge. Das Spiel dauert oft zwei
Stunden. Endlich gelingt es einem, das Bein zu zerbrechen, und der Hammel
gleitet auf die Erde. Der Sieger wird mit lautem Jubel begrüßt und zieht, mit
seinem Hammel beladen, zur Wirtschaft. Dort muß sich der Hammelkönig
revanchieren, und seinen Kameraden Tournées (Runden) werfen. Am Abend
bringt er stolz seine Beute heim, aber sein Geldbeutel ist leer. Auch der Hammel
macht nicht immer viel Freude, denn gerade die besten Stücke sind durch das
Werfen oft ungenießbar gemacht.
„Ein anderes eigenartiges Volksvergnügen, das man nur hier sehen kann, sind
die C u s n é e s . Sobald die Kartoffeln anfangen zu reifen, also von Mitte August ab,
werden diese Festlichkeiten abgehalten. Familien, Gesellschaften, junge Leute
versammeln sich, um zu schmausen, und die Kartoffeln, wie sie aus der Erde
herauskommen, in Asche gebraten, zu verzehren. Nach der Etymologie des
Volkes kommt das Wort von cuit und né, d. h. wie sie geboren werden, werden sie
gekocht. In Stavelot heißt das Wort wirklich: Cuitnée. Es heißt aber einfach: Das
Kochen, Braten, und ist abzuleiten von cuhner = cuisiner, faire la cuisine. Eine
rechte Cusnée muß im Freien stattfinden. Da zündet man ein großes Feuer von
trockenen Reisern an, und hierauf legt man glühende Kohlen. Auf diesen werden
die Kartoffeln in gewaschenem, aber ungeschältem Zustande gebacken, indem
man über dieser Schicht ein zweites Feuer anzündet. In weniger als einer
Viertelstunde sind sie genießbar. Sie sind von einer gerösteten Kruste umgeben,
und ihr Geschmack würde sogar dem wählerischsten Gourmand Ausrufe des
Entzückens entlocken. Man bricht sie (schneiden mit dem Messer würde ihnen ein
gut Teil ihres Wertes nehmen) und versieht sie tüchtig mit Pfeffer, Salz und Butter.
Da sie nicht gerade leicht verdaulich sind, trinkt man Schnaps dazu. Wer seinen
Magen daran gewöhnt hat, kann bis zwanzig Stück essen. Der Schmaus wird
durch Singen und Tanzen gewürzt. Wenn die Witterung kalt wird, werden die
Cusnées in verschlossenen Räumen abgehalten. Die Kartoffeln sind dann im
Backofen auf Asche gebacken. Besonders schön sind die von den hiesigen
Gesangvereinen veranstalteten Cusnées. Man hat dabei das seltene Vergnügen,
dieselben Leute fortwährend in drei Sprachen — wallonisch, französisch und
deutsch — sprechen und singen zu hören, und das letztere nicht in dem tötlich
langweiligen Unisono des deutschen Kneipengesangs, sondern von geschulten
Sängern, die schon bei manchem Wettsingen preisgekrönt worden sind.“
„Die Sitte des Hammelwerfens wird wohl in alte Zeiten zurückreichen. Man darf
wohl annehmen, daß früher der Hammel lebendig aufgehängt wurde, und daß
rohere Zeiten und Menschen sich an dem Blöken des gequälten Tieres erfreuten.
Vielleicht hat die Sitte einen mythologischen Hintergrund, der ja beim Kegelspiel
längst nachgewiesen ist. Die Kartoffelmahle können aber nicht älter sein als die
Kartoffel; ältere Leute müßten über die Einführung dieser Freudenfeste Bescheid
wissen. Sie legen Zeugnis ab von dem Jubel, mit dem die Kartoffel in den ärmeren
Gegenden begrüßt wurde.“
Das „Burgbrennen“, d. h. Abbrennen eines Feuers auf einer
Anhöhe am ersten Fastensonntag, ist im Kreise Malmedy, wie
überhaupt in der Eifel und den Ardennen üblich. Der Ursprung dieser
Feuer geht in das heidnisch-germanische Altertum zurück, denn am
Burg- oder Schoofsonntag[32] (französisch dimanche des brandons
und dimanche des bures) wird, wie Simrock im Schlußwort zu den
Sitten und Sagen des Eifler Volkes von Schmitz (Bd. II, S. 148)
ausführt, der Winter in Gestalt einer alten Frau oder Hexe auf dem
Scheiterhaufen verbrannt. Am Burgsonntag pflegt man in der Eifel
Buchweizenpfannkuchen („Pankech“) und Haferwaffeln zu essen.
Auch in der Stadt Malmedy, wo man das Burgbrennen jetzt nicht
mehr kennt, werden am ersten Fastensonntage Waffeln gebacken.
Dr. Quirin Esser, der die Sitten und Gebräuche der Wallonie
beschrieben hat,[33] sagt, die Bewohner des Dorfes betrachteten es
als eine Pflicht, solche Feuer abzubrennen. Sie seien der Meinung,
wenn sie es unterließen, würden sie im Laufe des Jahres von einem
Unglücke (Brand, Todesfall in der Familie, Verlust im Viehbestande
usw.) heimgesucht werden. Zu dem Feuer werden besonders
Wachholdersträuche benutzt, die beim Brennen laut knistern. Die
Sträucher werden auf einem Wagen auf die Anhöhe gebracht,
während die Kinder im Dorfe Stroh und Reisig zusammenbetteln. All
dieses Brennmaterial wird um eine hohe Stange oder eine
Strohpuppe (haguette) aufgehäuft und gegen Abend in Brand
gesteckt, während die Bewohner des Dorfes sich ringsum
versammeln. Unter Schreien und Jauchzen sieht man dem Feuer zu,
während die Jungen und Mädchen um die Feuerstätte tanzen.
Stehen an dem Abend viele Sterne am Himmel, so glaubt man, es
werde ein reiches Erntejahr werden. Manche behaupten auch, der
Wind behalte den größten Teil des Jahres über dieselbe Richtung,
wie an jenem Abend, während andere behaupten, die Richtung
werde eine entgegengesetzte sein.
Der Johannistag wurde früher in Malmedy von den Kindern
gefeiert. In einzelnen Familien wurden sie mit Milch und Kuchen
bewirtet; sie bekränzten sich mit Blumen und zogen dann, mit einer
Harmonika an der Spitze, durch die Straßen der Stadt und tanzten
auf den öffentlichen Plätzen.
Zum Schlusse sei noch ein anderer Gebrauch erwähnt, der
anderwärts wohl selten vorkommen dürfte. Schon Wibald erklärt in
einem seiner Briefe, niemand dürfte sich in einer auswärtigen
Familie verheiraten, ohne die Erlaubnis des major (mayeur), des
Verwalters und Vorsitzenden des Schöffengerichts. Dieser Gebrauch
ist auf dem Lande lange geblieben. Ein junger Mann, der ein
Mädchen aus einem anderen Dorfe heiratete, mußte der Jugend
seines Heimatdorfes ein „droit de sortie“ bezahlen. In der letzten Zeit
des Fürstentums wurde demselben außerdem ein Katzenständchen
gebracht. Dieser Gebrauch scheint übrigens in dem Lande ziemlich
alt gewesen zu sein, denn es giebt nicht weniger als 15
Verordnungen gegen die charivaris, die bei solchen Anlässen
verübten Spektakelscenen.

[29] 13. April 1893.

[30] Haguette war eine Strohpuppe, welche auf dem Marktplatz
zu Malmedy am Abend des Aschermittwochs zum Beschluß des
Carnevals feierlich und mit großem „Knalleffekt“ verbrannt wurde.
Haguette ist auch ein Maskierter oder eine besondere
Charaktermaske.
[31] Unterhaltungsblatt des Politischen Tageblatts (Aachen) 1893.
Nr. 84.
[32] Das niederdeutsche Schoof oder Schöf bedeutet Strohbund
oder Strohwisch. Die Jugend sammelt Stroh für das Feuer.
[33] Mélusine, Revue de mythologie, littérature populaire,
traditions et usages. Dirigée par Henri Gaidoz. Paris 1889 Nr. 14,
1890 Nr. 3, 1896 Nr. 4.
 VIII.
Die Verdeutschungs-Maßregeln und
die Zukunft der Wallonie.

In Malmedy erzählte man mir von einem französischen

Schriftsteller, der vor zwei Jahren dort anwesend war, um sich über
die Verhältnisse zu erkundigen. Er hat jedenfalls nur mit
Einheimischen verkehrt und ist in manchen Sachen schlecht
unterrichtet worden. Vorurteilsfrei vermag er die Lage nicht
aufzufassen, und ich entspreche nur den Wünschen vieler Bewohner
von Malmedy, wenn ich etwas näher auf den Bericht eingehe, den er
in dem Organ der geographischen Gesellschaft von Lille
veröffentlicht hat.[34] Auguste Descamps hat Wahres mit Falschem
vermischt. Er hat manche interessante Eigentümlichkeiten
verzeichnet, aber den Charakter der Bewohner hat er durchaus
falsch erfaßt, da er sie als unversöhnliche Protestler ansieht. Die
Witze, mit denen er seine Abhandlung beginnt, sind kaum der
Beachtung wert. „Wo sind“, fragt er, „die Pickelhauben, wo die
Notare, Lehrer und Richter mit narbendurchschnittenen Gesichtern,
wo die Soldaten mit Brillen, wo die Spießbürger, die im Schlafrock,
mit Pantoffeln und Nachtmütze ausgehen und unaufhörlich mit einer
langen bis zu den Knieen herabreichenden Pfeife bewaffnet sind,
ohne die sie wie Elefanten aussehen würden, welche ihren Rüssel
verloren haben?“ Wer diese Bemerkungen als geistreich ansehen
will, muß eben über jede nationale Eigentümlichkeit lachen. In
Malmedy herrscht allerdings die kurze belgische Pfeife vor, aber die
deutschen Spießbürger haben doch nicht die Gewohnheit, im
Schlafrock und in Pantoffeln auszugehen.
 Man könnte ja darüber streiten, ob Preußen Recht hatte, eine
wallonische Gegend zu annektieren, aber es ist doch lächerlich, zu
behaupten, es sei arm und habe sich nach dem reichen Malmedy
gesehnt; wer so was schreibt, ist jedenfalls nicht über die preußische
Wallonie hinausgekommen. Vom nationalen Standpunkt aus wäre es
wohl empfehlenswerter gewesen, auf diese Gegend zu verzichten
und an Stelle derselben Arlon und Umgebung mit den deutsch
sprechenden Gemeinden zu beanspruchen.
Descamps will an dem Aussehen der Häuser und der Gärten „la
positive Belgique“ erkennen. Nun sieht zwar Malmedy nicht wie eine
altdeutsche Stadt aus, aber es verliert doch allmählich sein
wallonisches Gepräge. Wenn der Franzose ferner bemerkt,
Samstags werde in der ganzen Stadt geputzt (das wird in Lille wohl
auch der Fall sein) und die Frauen schütteten den Fremden ganze
Eimer voll Wasser über die Beine, so erinnert das an den Engländer,
der irgendwo einen Mann mit roten Haaren sah und dann in sein
Notizbuch schrieb: „In dieser Gegend haben die Leute rote Haare.“
Es mag sein, daß die Einheimischen von Gestalt etwas kleiner
sind, als die Deutschen, aber es ist doch nicht richtig, daß deswegen
mehr junge Leute bei der Aushebung zurückgestellt werden, als in
anderer Gegend. Descamps läßt sich leicht eine Meinung
beibringen, sobald sie ihm in den Kram paßt. Es ist leicht begreiflich,
daß manchen jungen Leuten aus Malmedy die Kenntnis des
Französischen beim Fortkommen in der Welt von Nutzen ist, allein
ich habe nirgends davon gehört, daß ihnen in „königlichen und
kaiserlichen Bureaus“ besonders vorteilhafte Stellen („de grasses
sinécures“) zugewiesen worden seien. Descamps sagt, seit 1876
werde der untere und mittlere Unterricht ausschließlich in deutscher
Sprache erteilt, obwohl im übrigen Deutschland zahlreiche Stunden
dem Französischen gewidmet seien. Letzteres ist aber nur in den
mittleren und höheren Lehranstalten der Fall, denn in den deutschen
Volksschulen wird selbstverständlich kein Französisch gelehrt.
Ebenso ist es falsch, daß alle Kinder, sogar die altdeutscher
Familien, gezwungen werden, den Religionsunterricht in
französischer Sprache zu nehmen. Auch ist es nicht richtig, daß nur
französisch geredet wird. Kurz und gut, die Broschüre enthält eine
solche Menge Irrtümer, daß man allein zu deren Richtigstellung eine
ganze Abhandlung schreiben müßte. Ueberhaupt ist der
französische Schriftsteller durchaus im Irrtum befangen, wenn er die
Malmedyer als widerspenstige Köpfe betrachtet. Sie machen
vielmehr den Eindruck guter deutscher Unterthanen. Auch Hermann
Rehm hebt hervor, daß die Gesinnung der Bewohner von Malmedy
echt deutsch ist. Er fügt allerdings hinzu, daß sie Manches an sich
tragen, was an französisches Wesen gemahnt. „Namentlich
Höflichkeit und Gefälligkeit“, schreibt er, „zwei Tugenden, die wir bei
unsern westlichen Nachbarn in so hoher Ausbildung antreffen, findet
man auch in Malmedy in allen Gesellschaftsschichten vor, wodurch
der Verkehr mit den Bewohnern dieser Stadt sich zu einem
angenehmen und genußreichen gestaltet.“ Von anderer Seite
werden die Wallonen als ein reich begabter, lebhaft empfindender
Volksschlag geschildert, deren Regsamkeit ihnen allerwärts,
welchen Berufen sie sich auch zuwenden mögen, zu günstigem
Fortkommen verhilft.
An Opposition denkt niemand in der preußischen Wallonie. Die
Beziehungen zwischen den Einheimischen und den Vertretern der
Behörden sind durchaus gut. Als im Januar 1896 infolge des
kaiserlichen Gnadenerlasses die Gefangenen in Freiheit gesetzt
wurden, riefen sie „Vive l’Empereur!“ Man spricht dort seine
deutsche Gesinnung in französischer Sprache aus. Die Ortsblätter
bringen über vaterländische Feste Berichte, die sich manchmal bis
zur Begeisterung erheben. Man sieht, daß die Zeitungen keine
Rücksicht auf grollende Protestler zu nehmen brauchen, sondern nur
dem Gefühl der Bevölkerung Ausdruck verleihen. Bei einigen
Einheimischen fand ich allerdings eine gewisse Verstimmung, aber
das waren Geschäftsleute, denen der Wettbewerb der
Eingewanderten unerwünscht ist. Es ist ungefähr so, wie in einem
Orte, wo die alteingesessenen Geschäftsleute mißmutig auf die von
auswärts zuziehenden blicken.
Malmedy gehört zum Wahlkreise des wegen seines Eintretens für
die Militärvorlage bekannten, durch persönliche Beziehungen zu
Hofkreisen einflußreichen Zentrums-Abgeordneten Prinzen von