Министерство Образования, Культуры и Исследований

Технический Университет Молдовы

Факультет Вычислительной техники, Информатики и Микроэлектроники
Департамент Информатики и Системной Инженерии

Лабораторная работа №3
Тема: «INTERPOLAREA FUNCŢIILOR CU AJUTORUL POLINOMULUI
LAGRANGE. »
Предмет: Metode si modele de calcul

Выполнил: Гончарова Ольга

Группа: IA-192

КИШИНЕВ 2020
Цель работы:
Pentru funcţia f:[a, b]→R se cunosc valorile y0, y1, y2,…,yn în nodurile distincte x0, x1, x2,…, xn, adică
yi=f(xi), i=0,1,2,…,n.
1. Să se construiască polinomul de interpolare Lagrange Ln(x) ce aproximează funcţia dată.
2. Să se calculeze valoarea funcţiei f(x) într-un punct x=α utilizând polinomul de interpolare Lagrange
Ln(x).
3. Să se aproximeze valoarea funcţiei f(x) pentru x=α cu eroarea ε= 10-4 (sau cu cea mai bună exactitate
posibilă), calculînd polinomul de interpolare Lagrange Lm(x), unde m

Вариант №8:

Решение:

( x−x 1 ) ( x−x 2 ) ( x−x 3 )( x−x 4 )( x−x 5 ) ( x −x 6 )

L (x )= y 0 +¿
( x 0−x 1 ) ( x 0−x 2 ) ( x 0−x 3 )( x 0−x 4 )( x 0−x 5 ) ( x 0−x 6 )
( x−x 0 )( x−x 1 )( x−x 3 )( x−x 4 ) ( x −x 5 ) ( x−x 6 )
+y1 +¿
( x 1−x 0 ) ( x 1−x 2 ) ( x 1−x 3 ) ( x 1−x 4 )( x 1−x 5 ) ( x 1−x 6 )
( x−x 0 )( x−x 1 )( x−x 3 ) ( x−x 4 ) ( x−x 5 )( x−x 6 )
+y2 +¿
( x 2−x 0 )( x 2−x 1 ) ( x 2−x 3 ) ( x 2−x 4 )( x 2−x 5 )( x 2−x 6 )
( x−x 0 )( x−x 1 )( x−x 2 )( x−x 4 )( x−x 5 ) ( x −x 6 )
+y3 +¿
( x 3−x 0 ) ( x 3−x 1 )( x 3−x 2 )( x 3−x 4 )( x 3−x 5 )( x 3−x 6 )
( x−x 0 ) ( x −x 1 ) ( x −x 2 ) ( x −x 3 ) ( x−x 5 )( x−x 6 )
+y4 +¿
( x 4−x 0 )( x 4−x 1 ) ( x 4−x 2 ) ( x 4−x 3 ) ( x 4−x 5 )( x 4−x 6 )
( x−x 0 )( x−x 1 )( x−x 2 )( x−x 3 )( x−x 4 ) ( x− x 6 )
+y5 +¿
( x 5−x 0 ) ( x 5−x 1 )( x 5−x 2 )( x 5−x 3 )( x 5−x 4 )( x 5−x 6 )
( x−x 0 ) ( x−x 1 ) ( x−x 2 ) ( x−x 3 )( x−x 4 )( x−x 5 )
+y5 =¿
( x 6−x 0 ) ( x 6−x 1 ) ( x 6−x 2 ) ( x 6−x 3 )( x 6−x 4 )( x 6−x 5 )
3.45678∗( x−2.045 ) ( x−3.164 ) ( x−4.461 ) ( x−5.705 ) ( x−6.816 ) ( x−7.127 )
+¿
( 1.833−2.045 ) ( 1.833−3.164 )( 1.833−4.461 ) ( 1.833−5.705 ) ( 1.833−6.816 )( 1.833−7.127 )
+5.34671∗( x−1.833 ) ( x−3.164 ) ( x−4.461 )( x−5.705 ) ( x−6.816 ) ( x−7.127 )
+¿
( 2.045−1.833 ) ( 2.045−3.164 )( 2.045−4.461 ) ( 2.045−5.705 )( 2.045−6.816 ) (2.045−7.127 )
+ 8.01235∗( x−1.833 )( x−2.045 ) ( x−4.461 ) ( x−5.705 ) ( x−6.816 ) ( x−7.127 )
+¿
( 3.164−1.833 )( 3.164−2.045 ) ( 3.164−4.461 ) (3.164−5.705 )( 3.164−6.816 ) ( 3.164−7.127 )
+7.70981∗( x−1.833 ) ( x −2.045 )( x−3.164 ) ( x −5.705 )( x−6.816 )( x−7.127 )
+¿
( 4.461−1.833 )( 4.461−2.045 ) ( 4.461−3.164 )( 4.461−5.705 ) ( 4.461−6.816 )( 4.461−7.127 )
+ 4.32678∗( x−1.833 ) ( x−2.045 ) ( x−3.164 ) ( x−4.461 )( x−6.816 )( x−7.127 )
+¿
( 5.705−1.833 ) ( 5.705−2.045 ) ( 5.705−3.164 )( 5.705−4.461 ) ( 5.705−6.816 )( 5.705−7.127 )
 +2.45670∗( x−1.833 ) ( x −2.045 )( x−3.164 ) ( x −4.461 ) ( x −5.705 )( x−7.127 )
=¿
( 6.816−1.833 ) ( 6.816−2.045 )( 6.816−3.164 )( 6.816−4.461 ) ( 6.816−5.705 )( 6.816−7.127 )
2 2 2
(x −3.164 x−2.045 x+2.045∗3.164)(x −5.705 x−4.461 x+ 4.461∗5.705)( X −7.127 x+ 6.816 x +6.816∗7.127)
¿ 3.45678
( 1.833∗1.833−3.164∗1.833−2.045∗1.833+2.045∗3.164 )( 1.833∗1.833−5.705∗1.833−4.461∗1.833+ 4.461∗5.705 ) ( 1.833∗1.833−7.127∗1.833−6.816∗1.833

(x 2−5.209 x+ 6.47038)( x 2−10.151 x +25.450005)(x 2−0.311 x + 48.577632)

¿ 3.45678 =¿
(3.359889−5.799612−3.748485+ 6.47038)(3.359889−10.457265−8.177013+25.450005)(3.359889−13.063791−12.493728+48.577632)

( x 4−10.151 x 3+25.450005 x 2−5.209 x 3+52.876559 x 2−132.569076 x+ 6.47038 x 2−65.68082 x+164.67120)(x 2−0.311 x +48.577632)
¿ 3.45678 =¿
75,7442116981

( x 4−15.441 x 3+ 84.79694 x2 −128.24989 x +164.67120)(x2 −0.311 x+ 48.577632)

¿ 3.45678 =¿
75,7442116981

x 6−0.311 x 5 + 48.577632 x 4 −15.441 x 5+ 4.80215 x 4−750.08721+84.79694 x 4 −26.3708483 x3 + 4119.23455 x2 −128.24989 x 3 +39.88571 x 2−6230.07596 x +164.6
¿ 3.45678
75,7442116981

x 6−15.752 x 5+138.17672 x 4−154.620 x 3 +4272.57872 x2 −6230.0759 x +7249.24974 6 5 4 3 2

¿ 3.45678 =0.04563 x −0.00718 x +6.30604 x −7.05647 x +194.990013 x −284.322
75,7442116981

5.34671∗( x−1.833 ) ( x−3.164 ) ( x−4.461 )( x−5.705 ) ( x−6.816 ) ( x−7.127 )

=¿
( 2.045−1.833 ) ( 2.045−3.164 )( 2.045−4.461 ) ( 2.045−5.705 )( 2.045−6.816 ) (2.045−7.127 )

( x 2−3.164 x−1.833 x +1.833 x∗3.164 ) ( x 2−5.705 x−4.461+ 4.461∗5.705 ) ( x 2−7.127 x +6.816 x+ 6.816∗7.127 )
¿ 5.34671∗¿
( 2.045∗2.045−3.164∗2.045−1.833∗2.045+1.833∗3.164 ) ( 2.045∗2.045−5.705∗2.045−4.461∗2.045+ 4.461∗5.705 ) ( 2.045∗2.045−7.127∗2.045−6.816∗

5.34671∗( x 2−4.997 x+5.79961 ) ( x 2−10.166 x+ 25.450005 ) ( x2 −0.311+ 48.78211 )

¿ =¿
( 4.18232−20.47202−3.74848+ 5.79961 )( 4.18202−11.66672−9.12274+425.4500 )( 4.18202−14.57471−13.93872+48.57763 )

5.34671∗( x 4 −10.166 x 3 +25.450005 x2 −4.997 x 3 +50,79950 x 2−127,173674985 x+ 5.79961 x 2−58,95883 x+147,60010 ) ( x 2−0.311+48.78211 )
¿ =¿
−50,86136

5.34671∗( x 4 −15.163 x 3 +82.04911 x 2−68.21484 x +147.60010 ) (x 2−0.311+ 48.78211)

¿ =¿
−50,86136
 5.34671∗x 6−0.311 x 4 + 48.78211 x 4−15.163 x5 + 4.71569 x 3 −1285.55113 x3 +82.04911 x 4 −25.51727 x2 + 4002.52871−68.21484 x 4−21.21481 x−3327.66383 x+ 147.6
¿
−50,86136
6 5 4 3 2
5.34671∗x −15.163 x −62.30538 x −1280.83544 x −173.11737 x −3306.44902 x−4579160.23
¿ =¿
−50,86136

¿−0.10512 x 6−1.59398 x 5−6.54974 x 4 −134.64554 x 3−18.19865 x2 −347.58457 x −481376.074

8.01235∗( x−1.833 ) ( x−2.045 ) ( x−4.461 ) ( x−5.705 ) ( x−6.816 ) ( x−7.127 )

=¿
( 3.164−1.833 )( 3.164−2.045 ) ( 3.164−4.461 ) (3.164−5.705 )( 3.164−6.816 ) ( 3.164−7.127 )

(x 2−2.045 x−1.833 x−1.833 x∗2.045)( x2 −5.705 x−4.461 x + 4.461∗5.705)(x 2+7.127 x−6.816 x−6.816∗7.127)
8.01235∗¿
(3.164∗3.164−3.164∗2.045−1.833∗3.164+1.833∗2.045)(3.164∗3.164−5.705∗3.164−4.461∗3.164+ 4.461∗5.705)(3.164∗3.164−3.164∗7.127−6.816∗

8.01235∗( x 2−3.878 x−3.7484 x )(x2 −10.166 x +25.450005)(x 2−13.943 x−48.57763)

=¿
(10.01089−6.47038−5.79961+3.74848)(10.01089−18.05062−14.11460 +25.450005)(10.01089−22.54982−21.56582+ 48.57763)

8.01235∗( x 4−10.166 x 3 +25.450005 x2−3.878 x 3−39.423748 x 2−98.69511 x❑−3.7484 x 3 +38.10623 x 2−95.39679 x )(x 2−13.943 x −48.57763 x)
=¿
71.04031

8.01235∗( x 4−17.7924 x 3 +24.13254 x 2−194.0919 x ) ( x 2−13.943 x−48.57763 x )

=¿
71.04031

8.01235∗x 6−13.943 x 5−48.57763 x 5−17.7924 x 5−248.07943 x 4 −66.37003 x 4+ 24.13254 x 4−336.480005 x 3−1172.3016 x 3−194.0919 x 3−2706.22336 x 2−9428.5245 x
71.04031

8.01235∗x 6−40.31303 x5 −290.31692 x 4 −1029.9135 x 3−12134.7479 x 2 6 5 4 3 2

=0.11278 x −4.54674 x −32.74367 x −116.159789 x −1368.62927 x
71.04031

7.70981∗( x−1.833 ) ( x−2.045 )( x−3.164 ) ( x −5.705 )( x−6.816 )( x−7.127 )

=¿
( 4.461−1.833 )( 4.461−2.045 ) ( 4.461−3.164 )( 4.461−5.705 ) ( 4.461−6.816 )( 4.461−7.127 )

( x2 −2.045 x −1.833 x−1.833∗2.045)(x 2−5.705 x −3.164 x−3.164∗5.705)( x2 −7.127 x −6.816 x−36.816∗7.127)

¿ 7.70981∗¿
(4.461∗4.461−4.461∗2.045−1.833∗4.461+1.833∗2.045)(44.461∗4.461−4.461∗5.705−3.164∗4.461+3.164∗5.705)(4.461∗4.461−4.461∗7.127−6.81
 7.70981∗( x 2−3.878 x−3.74848 ) ( x 2−8.869 x−18.05062 ) ( x2 −0.311 x−262.387 )
¿ =¿
6,34924∗176,82653∗6,27843

7.70981∗( x 4 −8.869 x 3−18.05062 x 2−3.878 x3 +34.39398 x 2+ 70.00030 x−3.74848 x 3 +33.24526 x 2 +67.66238 ) ( x 2−0.311 x−262.387 )
¿ =¿
7048,88174

7.70981∗( x 4 −16.49548 x3 −49.58896 x 2+70.00030 x +67.66238) ( x 2−0.311 x−262.387 )

¿ =¿
7048,88174

7.70981∗x 6−0.311 x 5−262.387 x 4 −16.49548 x 5 +5.13009 x 4+ 4328.199951 x 3 −49.58896 x 4 +15.42216 x3 +13011.4984 x2 +70.00030 x 2−21.77009 x2 −18367.1687+67
¿
7048,88174

7.70981∗x 6−16.769 x5 −306.84587 x 4+ 4343.622 x3 +13127.391 x2 +21.04300 x−36120.8976 6 5 4 3 2

¿ =0.00109 x −0.01834 x +0.33561 x +4.75089 x + 14.35826 x +0.02301
7048,88174

4.32678∗( x−1.833 ) ( x−2.045 ) ( x−3.164 ) ( x−4.461 ) ( x−6.816 )( x−7.127 )

=¿
( 5.705−1.833 ) ( 5.705−2.045 ) ( 5.705−3.164 )( 5.705−4.461 ) ( 5.705−6.816 )( 5.705−7.127 )

( x2 −2.045 x−1.833 x−1.833∗2.045)( x 2−4.461 x−3.164 x−3.164∗4.461)(x 2−7.127 x−6.816 x−36.816∗7.127)

¿ 4.32678∗¿
(5.705∗5.705−5.705∗2.045−1.833∗5.705+1.833∗2.045)(5.705∗5.705−5.705∗4.461−3.164∗5.705+ 3.164∗4.461)(5.705∗5.705−5.705∗7.127−6.816

4.32678∗(x 2−3.878 x−3.74848)(x 2−7.625 x −14.11460)( x2 −13.943 x−262.38763)

¿ =¿
15033,69979

4.32678∗(x 4 −7.625 x 3−14.11460 x 2−3.878 x 3 +29.56975 x 2 +54.73641 x −3.74848 x 2 +28.58216 x+ 983.55478)(x 2−13.943 x−262.38763)
¿ =¿
15033,69979

4.32678∗(x 4 −11.503 x3 −11.70667 x 2−26.15425 x+ 983.55478)( x 2−13.943 x−262.38763)

¿ =¿
15033,69979

( x6 −13.943 x 5−262.38763 x 4 −11.503 x 5+160.38632 x 4 +3018.24491 x 3−11.7066 x 4 +163.2261 x 3 +3071.6854 x 2−26.15425 x3 +364.66810 x 2+ 6862.55167 x
¿ 4.32678∗¿
15033,69979

4.32678∗x6 −25.446 x5 −113.70791 x 4 + 3155.31676 x 3 + 4419.90828 x 2 +6851.15263 x−258072.608

¿ =¿
15033,69979
¿ 0.00028 x 6−0.00732 x5 −0.03272 x 3 +1.27207 x 2+1.97179 x−74.27469

2.45670∗( x−1.833 ) ( x−2.045 )( x−3.164 ) ( x −4.461 ) ( x −5.705 )( x−7.127 )

=¿
( 6.816−1.833 ) ( 6.816−2.045 )( 6.816−3.164 )( 6.816−4.461 ) ( 6.816−5.705 )( 6.816−7.127 )

2.45670∗(x 2−2.045 x−1.833 x−1.833∗2.045)( x2 −4.461 x−3.164 x−3.164∗4.461)( x 2−7.127 x−5.705 x−5.705∗7.127)
¿
(6.816∗6.816−6.816∗2.045−1.833∗6.816+1.833∗2.045)(6.816∗6.816−6.816∗4.461−3.164∗6.816+3.164∗4.461)(6.816∗6.816−6.816∗7.127−5.705∗6.816 +5

2.45670∗(x2 −3,878 x −3,74848)( x 2−7,625 x−14,11460)( x 2−12,832 x−40,65953)

¿ =¿
23,773893∗8,60046∗(−0,345521)

2.45670∗(x 4−7.625 x 3−14.11460 x 2−3.878 x3 +29,56975 x 2+ 54,73641 x−3.74848 x 2+52,90829)(x 2−12,832 x−40,65953)
¿ =¿
−70,64744

2.45670∗(x 4−11,503 x 3−11,70667 x2 +54,73641 x+52,90829)( x 2−12,832 x −40,65953)

¿ =¿
−70,64744

( x6 −12.832 x 5−40.65953 x 4 −11.503 x 5 +147,60649 x 4 + 467,70657 x2 +54.73641 x3 −702,37761 x 2−2225,55670 x 2+52.90829 x 2−678,91917 x−2151,22620
¿ 2.45670∗¿
−70,64744

2.45670∗x 6−24,335 x 5−106,94696 x 4 +54.73641 x 3 +2407,31945 x 2−678,91917 x−2151,22620

¿ =¿
−70,64744

¿ 0,03477 x 6−0,84622 x 5−3,71898 x 4+ 134,47093 x 3 +83,71232 x 2−23,60879 x−74,80692

Приведем подобные:
(−0.10512 x 6−1.59398 x 5−6.54974 x 4 −134.64554 x3 −18.19865 x 2−347.58457 x−481376.074 )∗¿
¿)*

¿)*

(0.11278 x 6−4.54674 x 5−32.74367 x 4−116.159789 x 3−1368.62927 x 2−7.05647 x−76.66598)*

(0.00028 x 6−0.00732 x 5−0.00302 x 4 −0.03272 x3 +1.27207 x 2+ 1.97179 x−74.27469)*

¿)=

= 0,08943x^6 - 7,01978x^5 - 36,37376x^4 - 118,67269x^3 - 1092,49525x^2 - 613,36016x-474392,32931

Исходный код программы:
#include<iostream>
#include<conio.h>
using namespace std;
int main()
{
setlocale(LC_CTYPE, "rus");

float x[100], y[100], xp, yp=0, p;

int i,j,n;

cout<<"Общее число значение: ";

cin>>n;
cout<<"Введите значения для: xi si yi:"<< endl;
for(i=1;i<=n;i++)
{
cout<<"x["<< i<<"] = ";
cin>>x[i];
cout<<"y["<< i<<"] = ";
cin>>y[i];
}
cout<<"Точка интерполяции: ";
cin>>xp;
for(i=1;i<=n;i++)
{
p=1;
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(i!=j)
{
p = p* (xp - x[j])/(x[i] - x[j]);
}
}
yp = yp + p * y[i];
}
cout<< endl<<"Значениями интерполяции являются: "<< xp<< " este "<< yp;
return 0;
}
Работа программы:
Вывод:
Метод множителей Лагранжа является классическим методом решения задач математического программирования (в частности выпуклого). К
сожалению, при практическом применении метода могут встретиться значительные вычислительные трудности, сужающие область его
использования. Мы рассматриваем здесь метод Лагранжа главным образом потому, что он является аппаратом, активно используемым для
обоснования различных современных численных методов, широко применяемых на практике. Что же касается функции Лагранжа и множителей
Лагранжа, то они играют самостоятельную и исключительно важную роль в теории и приложениях не только математического программирования.

Среди ограничений этой задачи нет неравенств, нет условий неотрицательности переменных, их дискретности,  и функции  и  непрерывны и
имеют частные производные по крайней мере второго порядка.

Классический подход к решению задачи дает систему уравнений (необходимые условия), которым должна удовлетворять точка , доставляющая
функции  локальный экстремум на множестве точек, удовлетворяющих ограничениям (для задачи выпуклого программирования найденная
точка  будет одновременно и точкой глобального экстремума).

Существуют также и достаточные условия, при выполнении которых решение системы уравнений (3) определяет точку экстремума функции .
Этот вопрос решается на основании исследования знака второго дифференциала функции Лагранжа. Однако достаточные условия представляют
главным образом теоретический интерес.

Можно указать следующий порядок решения задачи (1), (2) методом множителей Лагранжа:

1) составить функцию Лагранжа (4);

2) найти частные производные функции Лагранжа по всем переменным  и приравнять их

нулю. Тем самым будет получена система (3, состоящая из  уравнений. Решить полученную систему (если это окажется возможным!) и найти
таким образом все стационарные точки функции Лагранжа;

3) из стационарных точек, взятых без координат  выбрать точки, в которых функция  имеет условные локальные экстремумы при наличии
ограничений (2). Этот выбор осуществляется, например, с применением достаточных условий локального экстремума. Часто исследование
упрощается, если использовать конкретные условия задачи.