8 კლ მასწ წიგ ბექაური საგინაშვილი

zogadi ganaTlebis erovnuli miznebi
saqarTveloSi zogadi ganaTlebis sistema miznad isaxavs Seqmnas xelsayreli pirobebi

erovnuli da zogadsakacobrio Rirebulebebis matarebeli, Tavisufali pirovnebis
CamoyalibebisaTvis. amasTan erTad ganaTlebis sistema uviTarebs mozards gonebriv da
fizikur unar-Cvevebs, aZlevs saWiro codnas, amkvidrebs jansaRi cxovrebis wess,
moswavleebs uyalibebs liberalur da demokratiul Rirebulebebze damyarebul samoqalaqo
cnobierebas da exmareba maT ojaxis, sazogadoebisa da saxelmwifos winaSe sakuTari ufleba-
movaleobebis gacnobierebaSi. saqarTveloSi zogadi ganaTlebis sistemaSi miRebuli
gamocdilebis safuZvelze mozardma unda SeZlos:
a) qveynis interesebis, tradiciebisa da Rirebulebebis mimarT sakuTari pasuxismgeblobis

gaazreba;
b) bunebrivi garemo pirobebis SenarCuneba da dacva;
g) teqnologiuri da sxva inteleqtualuri miRwevebis efeqtianad gamoyeneba; informaciis
mopoveba, damuSaveba da analizi;
d) damoukideblad cxovreba, gadawyvetilebis miReba;
e) iyos Semoqmedi, Tavad Seqmnas Rirebulebebi da ar icxovros mxolod arsebulis xarjze;
v) sakuTari SesaZleblobebisa da interesebis uwyveti ganviTareba mTeli cxovrebis
ganmavlobaSi da maTi maqsimaluri realizeba rogorc qveynis SigniT, ise mis sazRvrebs
gareTac;
z) komunikacia individebTan da jgufebTan;
T) iyos kanonmorCili, toleranti moqalaqe.
Tina beqauri
avTandil saginaSvili
giorgi beqauri
maTematika 8
maswavleblis wigni
grifminiWebulia saqarTvelos ganaTlebis, mecnierebis,

kulturisa da sportis saministros mier 2020 wels
maTematika
VIII klasi
Tina beqauri
avTandil saginaSvili
giorgi beqauri
redaqtori: avTandil saginaSvili

garekanis dizaini: ivane saginaSvili
dizaini da dakabadoneba: Tina beqauri
maswavleblis wigni
sakontaqto informacia: telefoni 599680974,
elfosta avtandilsaginashvili@yahoo.com,
vebgverdi www.mat.ge
2020 weli
© yvela ufleba daculia
ISBN 978-9941-82355-8
sarCevi
1) Sesavali -------------------------------------------------------- 5
2) Sinaarsisa da miznebis ruka ---------------------------------- 9
3) Tematuri gegma ----------------------------------------------- 10
4) miznebi, meToduri rekomendaciebi, savarjiSoebis

amoxsnebi da pasuxebi ----------------------------------------------14
4
Sesavali
maswavleblis wigni moswavlis saxelmZRvaneloze muSaobis meToduri saSualebaa. masSi saxelmZRvanelos yoveli Tavis-
Tvis mocemulia mizani, amocanebi da mosalodneli Sedegebi. TiToeuli paragrafisTvis mokledaa aRwerili Sesabamisi
gakveTilis mizani, moyvanilia paragrafTan dakavSirebuli meToduri rekomendaciebi, Sinaarsobrivi da meToduri Tval-
sazrisiT garCeulia paragrafSi moyvanili savarjiSoebi. mocemulia kompleqsuri davalebebi da am davalebebis Sesasru-
leblad saWiro aqtivobebi. maswavleblis dasaxmareblad wignSi mocemulia saswavlo SinaarsTan dakavSirebuli zepiri
savarjiSoebi, nimuSebi karnaxisTvis, testebi da damatebiTi amocanebi. mocemulia agreTve, Semajamebeli weris nimuSebi da
ganmsazRvreli da ganmaviTarebeli Sefasebis rubrikebi.
maswavleblis wigni moicavs:
 saswavlo masalis Tematur ganawilebas;
 TiToeuli Tavis miznebis rukas;
 TiToeuli Tavisa da TiToeuli paragrafis ZiriTad miznebs;
 im codnisa da unarebis CamonaTvals, romelsac moswavle TiToeuli Temis Seswavlis Sedegad SeiZens;
 TiToeuli paragrafis Sinaarsis zogad daxasiaTebas;
 meTodur rekomendaciebs;
 meTodur komentarebs savarjiSoebis Sesaxeb da pasuxebs;
 Semajamebeli weris nimuSebsa da maTi Sefasebis sqemebs;
 gakveTilebis scenarebisa da aqtivobebis nimuSebs;
 ganmaviTarebeli da ganmsazRvreli Sefasebis rubrikebs.
moswavlis saxelmZRvanelos struqtura. saxelmZRvanelos sabazo erTeulia paragrafi, romelic erT an ramdenime gakve-
Tilzea gaTvlili. masSi, saxelmwifo standartebis moTxovnebidan gamomdinare, Camoyalibebulia miznebi, romelTa miRwe-
vasac emsaxureba mocemul paragrafSi moyvanili saswavlo Sinaarsi, savarjiSoebi da amocanebi.
paragrafis tipuri agebuleba aseTia:
 Camoyalibebulia paragrafis mizani. masSi aRwerilia, ra unda aiTvisos moswavlem am paragrafSi. miznebi, rogorc wesi,
emsaxureba sagnobrivi standartiT gansazRvruli saswavlo miznebis miRwevas.
 ganxiluli da amoxsnilia Sesaswavl masalasTan dakavSirebuli magaliTebi da amocanebi (ZiriTadad, praqtikuli
xasiaTis);
 ganxilul amocanebze dayrdnobiT axsnilia Teoriuli masala;
5
 moyvanilia axsnil masalasTan dakavSirebuli damatebiTi informacia (kavSiri codnis sxva sferoebTan, istoriuli
faqtebi da a.S.);
 amoxsnilia klasSi Sesasrulebeli tipuri savarjiSoebi da amocanebi.
paragrafis momdevno kiTxvebisa da savarjiSoebis nawili gaTvaliswinebulia saSinao davalebebisa da klasSi damatebiTi
muSaobisaTvis. masSi mocemulia:
 kiTxvebi, romlebic moswavles aZlevs TviTSemowmebis saSualebas;
 à~ jgufis savaldebulo savarjiSoebi;
 `b~ jgufis garTulebuli savarjiSoebi;
 `g~ jgufis gasameorebeli savarjiSoebi, romelTa daniSnuleba, rogorc ganvlili masalis gameoreba, aseve momavali
Temis Sesaswavlad moswavleTa momzadebaa.
imisaTvis, rom CamoTvlili sami saxis savarjiSo moswavlem advilad gaarCios, saxelmZRvaneloSi maTi numeracia
gansxvavebul figurebSia Casmuli:
à~ jgufi:
`b~ jgufi:
`g~ jgufi:
davalebaTa aseTi struqtura maswavlebels saSualebas aZlevs, xeli Seuwyos moswavleTa mier individualuri saWiroebe-
bisa da SesaZleblobebis danaxvasa da gamovlenili gamowvevebis daZlevas.
à~, `b~ da `g~ jgufis savarjiSoebis numeracia, advilad garCevis mizniT, gansxavvebul fonzea Sesrulebuli.
saxelmZRvaneloSi gvxvdeba niSnakiT gamoyofili davalebebi, romelTa Sesasruleblad informaciul-sakomunika-

cio teqnologiebis gamoyenebaa saaWiro. aseTi davalebebi sakmaod mravalferovania: gamoTvlebis, algebruli Canaweris,
cxrilis, diagramis an grafikis Sesadgenad kompiuteris Sesabamisi programis gamoyeneba, informaciis internetis saZiebo
sistemebis saSualebiT mopoveba, proeqtebze muSaoba, prezentacia da sxva.
paragrafebi Tematikis mixedviT gaerTianebulia Tavebad. saxelmZRvanelo Svidi Tavisagan Sedgeba. yovel Tavs aqvs Tav-
furceli, romelSic mocemulia am Tavis TemaTa CamonaTvali, Tavis miznebi da proeqti, romelic Tavis Tematikas ukavSir-
deba. yvela Tavs boloSi aqvs `Tavis mimoxilva~, romelic mokled mimoixilavs Seswavlil masalas, Seaxsenebs moswavles im
Sedegebs, romelTac man mocemul TavSi gadmocemuli masalis aTvisebiT miaRwia. aqve moyvanilia damatebiTi savarjiSoebi,
6
romelTa mizani mocemul TavSi Seswavlili masalis ganmtkicebaa.
Tavis bolo erTeulia testi. igi amosarCevi pasuxebis mqone 25 davalebas Seicavs. testSi moyvanili amocanebi exmareba
maswavlebelsa da moswavles, Tvalyuri adevnos mocemul TavSi gaTvaliswinebuli Sedegebis miRwevis dones.
davalebebs Soris mniSvnelovan rols TamaSobs sxvadasxva rubrika, rogoricaa: àba, scade!~, `SesaZlebelia Tu ara?~,
`wyvilebSi samuSao~, `jgufuri samuSao~, ès sainteresoa!~, mokle da grZelvadiani `proeqtebi~, romlebic saxelmZRvanelos
yovel TavSia mocemuli. maTematikuri codnis gaRrmavebasTan erTad maTi mizania, miaCvios moswavle samuSaos dagegmvas, sa-
Wiro informaciis damoukideblad mopovebasa da damuSavebas, naSromis prezentacias. moswavleTa jgufis mier Sesrulebu-
li proeqti ayalibebs jgufis wevrebSi Sromis organizaciis unars da xels uwyobs maTSi komunikaciis unaris ganviTarebas.
gansxvavebuli datvirTva aqvs Tavfurclebze mocemuli àba, scade!~-s davalebas. am davalebas, iseve, rogorc mTlianad
Tavfurcels, TavSi mocemuli masalis reklamis funqcia akisria. mis Sesasruleblad Sesabamisi Tavis masalis safuZvliani
codnaa saWiro.
mokled CamovayaliboT saxelmZRaneloSi gaTvaliswinebuli miznebi ZiriTadi mimarTilebebis mixedviT:
ricxvebi da moqmedebebi
moswavlem unda ganimtkicos miRebuli codna naturaluri ricxvebis, wiladebisa da aTwiladebis Sesaxeb, SeZlos rogorc
zepiri, ise weriTi zusti da miaxloebiTi gamoTvlebis warmoeba. iswavlos perioduli da araperioduli aTwiladi ricxvebi.
gaiazros namdvil ricxvTa simrvle, rogorc racionalur da iracionalur ricxvTa simravleebis gaerTianeba da rogorc
ricxviTi wrfis wertilTa erToblioba. gaiazros naturalur, mTel, racionalur da namdvil ricxvTa simravleebs Soris
arsebuli kerZo-zogadi mimarTeba. SeZlos kvadratuli da kuburi fesvis Semcveli gamosaxulebis zusti da miaxloebiTi
gamoTvla, miRebuli codnis praqtikuli amocanebis (rogorebicaa amocanebi naSTiT gayofaze, moZraobaze, xsnarebze,
xarjTaRricxvaze da sxv.) amosaxsnelad gamoyeneba.
algebra
am mimarTulebiT gansakuTrebuli adgili eTmoba algebrul gardaqmnebs: algeruli wiladebis gamartivebas, moqmedebebs
da mniSvnelobis gamoTvls. saxelmZRvaneloSi detalurad aris Seswavlili cvladebs Soris damokidebulebis iseTi saxeebi,
rogorebicaa pirdapirproporciulobis da wrfivi funqciebi. mocemulia wrfivi gantolebebis, utolobebisa da gantole-
baTa sistemis amoxsnis grafikuli da algebruli meTodebi. didi yuradReba eqceva amocanis gadaWrisas algebruli meTode-
bis gamoyenebis unaris ganviTarebas.
geometria
7
am mimarTulebis Temebi saxelmZRvanelos II, IV da V TavebSia mocemuli. maTi mizania brtyeli da sivrciTi geometriuli
figurebis klasifikaciis, gazomvebis, geometriuli gardaqmnebis (rogoricaa RerZuli da centruli simetriebi, mobruneba,
paraleluri gadatana) gamoyenebis unaris ganviTareba. moswavlem unda SeZlos gardaqmnebis koordinatebiT Cawera, mocemu-
li koordinatebiT or wertils Soris manZilis gamoTvla da monakveTis Sua wertilis koordinatebis povna. geometri-
isadmi miZRvnil TavebSi didi adgili eTmoba iseT mniSvnelovan Temebs, rogoricaa brtyeli da sivrciTi figurebis
metruli Tvisebebi (perimetri, farTobi, moculoba) da praqtikuli amocanebis amosaxsnelad maTi gamoyeneba, marTkuTxa
samkuTxedebis amosaxsnelad piTagoras Teoremisa da trigonometriuli Tanafardobebis gamoyeneba.
monacemTa analizi, albaToba da statistika

am mimarTulebis Temebi saxelmZRvanelos VII TavSia mocemuli. maTi mizania moswavleebma iswavlon monacemTa ricxviTi
maxasiaTeblebis (saSualo, gabnevis diapazoni, moda, mediana, sixSire, fardobiTi sixSire) gamoTvla, raTa maTi saSualebiT
SeZlon mocemul ricxviT monacemebze azris Camoyalibeba da varaudis gamoTqma. saxelmZRvaneloebSi mocemulia monacemTa
Segrovebis, mowesrigebisa da warmodgenis sxvadasxva saSualebebi (cxrili, piqtograma, histograma, svetovani, wriuli,
wertilovani da xazovani diagramebi). saxelmZRvaneloSi moswavleebi gaecnobian albaTobis Teoriis sawyisebs, rac maT
saSualebas miscems gaacnobieron kanonzomier da SemTxveviT movlenebs Soris arsebuli gansxvaveba, daukavSiron SemTxve-
viTi movlenis fardobiTi sixSire am movlenis moxdenis albaTobas, amoxsnan umartivesi amocanebi.
zogadi maTematikuri unarebi

am terminSi vgulisxmobT im unarebs, romlebic ar aris Semofargluli erTi romelime TematikiT an mimarTulebiT. esenia
msjelobis, komunikaciis, amocanebis amoxsnis, sakuTari naSromis warmoCenisa da dacvis unarebi. am unarebis gamomuSaveba
da ganviTareba maTematikis swavlebis erT-erTi umniSvnelovanesi mizania. saxelmZRvaneloebSi am unarebis ganviTareba
xdeba amocanebis amoxsnis konteqstSi. kerZod, gaTvaliswinebulia specialuri amocanebi, romlebic moicaven yvela am
aspeqts: realuri situaciis maTematikur modelirebas, amocanis gadasawyvetad saWiro informaciis moZiebas, amocanis
amoxsnis meTodis SemuSavebas, amoxsnis warmodgenas saWiro formiT, amoxsnis marTebulobis dasabuTebas. aseTi amocanebi
saSualebas aZlevs maswavlebels, gaakontrolos moswavleSi aRniSnuli unarebis progresi.
saxelmZRvaneloebSi gaTvaliswinebulia, agreTve, zogadi organizaciuli unar-Cvevebis ganviTarebisadmi miZRvnili
aqtivobebi sxvadasxva individualuri da jgufuri proeqtebisa da prezentaciebis saxiT.
8
Sinaarsisa da miznebis ruka
Tema Sefasebis indikatorebi

moswavlem unda SeZlos:
 poziciuri sistemis da ricxvis Caweris standartuli
ricxvebi da maTi gamoyeneba yoveldRiur cxovrebaSi formis gamoyeneba. (maT.sab.4,5)
da mecnierebis sxva dargebSi  racionalur ricxvebze moqmedebebis Sesruleba da maTi
Sedegis Sefaseba. (maT.sab.1, 2, 3, 4, 5)
 msjeloba-dasabuTebis zogierTi xerxis gamoyeneba
(maT.sab.1, 2, 3)
 gamoTvlebTan dakavSirebuli amocanebis amoxsna .
(maT.sab.1, 2, 3)
 verbalurad aRwerili situaciis algebruli gamosaxu-
lebis (formulis) saxiT Cawera. (maT.sab. 4,5,6, 7, 8, 9)
algebruli gmosaxulebebi (algebra da maTematikuri  algebruli gamosaxulebis gamartiveba da maTi mniSvne-
modelebi) lobebis gamoTvla cvladTa sxvadasxva mniSvnelobebisaTvis
(maT.sab. 4, 5)
 gantolebis amoxsna da amonaxsnis geometriuli inter-
pretacia (maT.sab. 2, 3, 4, 5)
 figuraTa Tvisebebis gamoyeneba figuraTa
klasificirebisaTvis da maTi saxeobebis Sesadareblad
gare samyaro da geometriuli obieqtebi (maT.sab. 3, 4, 7, 8, 9)
 figurisa da misi elementebis zomebis moZebna
(maT.sab.1, 2, 5, 6, 7)
 geometriuli debulebebis marTebulobis dasabuTeba
(maT.sab.1, 2, 3)
 dasmuli amocanis amosaxsnelad (problemis gadasaWrelad)
saWiro monacemebis mopoveba (maT.sab. 4, 7, 8, 9)
statistika da albaToba  monacemebis mowesrigeba da warmodgena dasmuli amocanis
amosaxsnelad xelsayreli formiT (maT.sab. 4, 5)
 aლბათური მოდელებისა და ალბათობის თვისებების აღწერა; მათი
გამოყენება შემთხვევითი მოვლენების აღწერისას (maT.sab. 1, 2, 6, 7)
9
Tematuri gegma
(kviraSi 5 saaTi, sul 165 saaTi)
Tavi 1. racionaluri ricxvebi (19 sT.)
gankuTvni-
paragrafis Temis dasaxeleba li saaTebis
# raodenoba
1.1 racionaluri ricxvebi 2
1.2 amocanebi naSTian gayofaze 2
1.3 perioduli aTwiladebi 2
1.4 mTelmaCvenebliani xarisxi 2
1.5 ricxvis Caweris standartuli forma 2
1.6 mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi 3
pirveli Tavis mimoxilva 2
testi #1 2
Semajamebeli samuSao # 1 1
saTadarigo dro 1
Tavi 2. geometriuli gardaqmnebi, oTxkuTxedebi (33 sT.)
2.1 simetria centris mimarT 2

2.2 mobruneba da misi Tvisebebi 2
2.3 paraleluri wrfeebi 3
2.4 paralelogramis Tvisebebi. 3
2.5 Talesis Teorema 3
2.6 paralelogramobis niSnebi 2
Semajamebeli samuSao #2 1
2.7 rombi. rombis Tvisebebi 3
2.8 marTkuTxedi da kvadrati 2
10
2.9 trapecia. trapeciis Tvisebebi 3
2.10 mravalkuTxedis kuTxeebis jami 2
meore Tavis mimoxilva 2
testi #2 2
saTadarigo dro 2
Tavi 3. algebruli wiladi (16 sT.)
3.1 algebruli wiladi 2

3.2 algebruli wiladis Sekveca 2
3.3 algebruli wiladebis gaerTmniSvnelianeba 2
3.4 moqmedebani algebrul wiladebze 4
mesame Tavis mimoxilva 2
testi #3 2
saTadarigo dro 1
Tavi 4. farTobi (18 sT.)
4.1 martivi figuris farTobi 2

4.2 samkuTxedis farTobi 3
4.3 paralelogramis farTobi 2
4.4 rombis farTobi 2
4.5 trapeciis farTobi 3
meoTxe Tavis mimoxilva 2
testi #4 2
saTadarigo dro 1
11
Tavi 5. piTagoras Teorema (24 sT.)
5.1 kvadratuli fesvi 2

5.2 ariTmetikuli kvadratuli fesvi 2
5.3 piTagoras Teorema 3
5.4 iracionaluri ricxvi 2
5.5 sivrciTi figurebi 4
5.6 moculoba 2
5.7 kuburi fesvi 1
5.8 maxvili kuTxis sinusi, kosinusi da tangensi 3
mexuTe Tavis mimoxilv 2
testi #5 1
saTadarigo dro 1
Tavi 6. wrfiv gantolebaTa sistema (25 sT.)
6.1 wrfivi damokidebuleba da misi grafiki 1

6.2 orucnobiani wrfivi gantoleba 1
6.3 wrfivi orucnobiani ori gantolebis sistema da misi grafikuli
meTodiT amoxsna 2
6.4 gantolebaTa sistemis amoxsna Casmis xerxiT 3
6.5 gantolebaTa sistemis amoxsna Sekrebis xerxiT 3
6.6 amocanebis amoxsna wrfiv gantolebaTa sistemis gamoyenebiT 4
6.7 wrfivi utoloba 3
6.8 ricxviTi Sualedebis gaerTianeba da TanakveTa 2
meeqvse Tavis mimoxilva 2
testi #6 1
12
saTadarigo dro 1
30avi 7. statistika da albaToba ( 30 sT.)
7.1 monacemTa Segrovebis saSualebebi 2

7.2 monacemTa statistikuri maxasiaTeblebi 2
7.3 monacemTa grafikuli warmodgena 3
7.4 SemTxveviTi movlenebi 2
7.5 xdomilobebi 2
7.6 sixSire 2
7.7 albaToba 3
mesSvide Tavis mimoxilva 2
testi #7 1
mTeli kursis gameoreba 7
saTadarigo dro 2
13
miznebi, meToduri rekomendaciebi,
savarjiSoebis amoxsnebi da pasuxebi
I Tavi
racionaluri ricxvebi
Tavis mizani:
 naturalur, mTel da racionalur ricxvTa simravleebis aRwera da maT Soris mimarTebis diagramebiT gamosaxva;
 racionaluri ricxvebis Sedareba;
 racionalur ricxvebze moqmedebebis Sesruleba;
 wiladis perioduli aTwiladis saxiT Cawera da perioduli aTwiladis Cawera wiladis saxiT;
 naSTTa ariTmetikis amocanis amosasnelad gamoyeneba;
 mTelmaCvenebliani xarisxisa da misi Tvisebebis gacnoba da gamoyeneba;
 ricxvis standartuli formiT Cawera da gamoyeneba;
 racionalur ricxvTa simravlis, rogorc wiladebis da rogorc usasrulo perioduli aTwiladebis gaazreba.
Tavis Seswavlis Semdeg moswavlem unda icodes:
 racionalur ricxvebze ariTmetikuli moqmedebis Tvisebebi;
 perioduli aTwiladis wiladis saxiT Caweris wesi;
 jamisa da namravlis naSTis gamoTvlis xerxi;
 mTelmaCvenebliani xarisxis ganmarteba da Tvisebebi;
 ricxvis standartuli formiT Caweris wesi.
unda SeeZlos:
 ariTmetikul moqmedebaTa Tvisebebis ricxviTi gamosaxulebis mniSvnelobis gamosaTvlelad gamoyeneba;
 perioduli aTwiladis wiladis saxiT Cawera da wiladis Cawera perioduli aTwiladis saxiT;
 naSTiani gayofis cvladebiT Cawera da gamoyeneba;
 naSTTa ariTmetikis gamoyeneba;
 mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebis gamoyeneba gamoTvlebSi;
 sasruli aTwiladis Tanrigobriv SesakrebTa jamad warmodgena 10-is mTeli xarisxebis gamoyenebiT;
 ricxvis standartuli formiT Cawera da gamoyeneba.
14
$1.1 racionaluri ricxvebi (2 sT)
mimarTuleba: ricxvebi
Tema: racionaluri ricxvebi
TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi:
 racionaluri ricxvi wiladis saxiT iwereba;
 yovel or racionalur ricxvs Soris uamravi racionaluri ricxvia moTavsebuli.
samizne cnebebi da maT- sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi: kompleqsuri davaleba

Tan dakavSirebuli  naturalur da mTel  rogor ricxvs ewodeba (Sesruldeba TemisTvis
mkvidri warmodgenebi: ricxvTa simravleebi; naturaluri? mTeli? gamoyofil meore saaTze)
 racionaluri ricxvi _  wiladi da Sereuli racionaluri? 1.1 paragrafis savarjiSo
ricxvi, romelic ricxvebi;  ra mimarTebaa naturalur, #12 i), k) da savarjiSo #13.
wiladis saxiT iwereba;  aTwiladebi; mTel da racionalur
 ariTmetikul  dadebiTi da uaryofiTi ricxvebs Soris?
moqmedebaTa Tvisebebi ricxvebi;  aris Tu ara racionaluri
gamoTvlebis gasamar- ricxvi ori racionaluri
 ori ricxvis saSualo
tiveblad SegviZlia ricxvis a)jami; b) sxvaoba;
ariTmetikuli;
gamoviyenoT. g) namravli; d) fardoba?
 ariTmetikul moqmedebaTa
rogor SevadaroT
Tvisebebi.
racionaluri ricxvebi?
pirveli gakveTili
mizani:
 naturaluri, mTeli, wiladi, Sereuli, aTwiladi, dadebiTi da uaryofiTi ricxvebis cnebaTa gaxseneba;
 racionaluri ricxvis cnebis SemoReba;
 ricxvTa simracvleebs Soris mimarTebebis dadgena da diagramiT gamosaxva.
resursebi: kompiuteri, mikrokalkulatori, proeqtori.
15
gakveTilis msvleloba
I. organizaciuli etapi
maswavlebeli ulocavs moswavleebs saswavlo wlis dawyebas; kiTxulobs, romeli moswavle aklia da arkvevs gacdenis
mizezs, acnobs saxelmZRvanelos struqturas da saWiro saswavlo nivTebis sias.
II. winare codnis gaaqtiureba
1) maswavlebeli svams kiTxvebs (Canaweri ekranze gamoaqvs):
_ rogor ricxvebs hqvia naturaluri? daasaxeleT naturalur ricxvTa simravlis elementebi.
_rogori ricxvia naturaluri ricxvebis jami? (naturaluri) namravli? (naturaluri)
_ aris Tu ara naturaluri ricxvebis sxvaoba yovelTvis naturaluri? (yovelTvis ara)
_ ra SemTxvevaSia naturaluri ricxvebis sxvaoba naturaluri? (rodesac saklebi metia maklebze.)
_ ra ewodeba arauaryofiTi mTeli ricxvebisa da uaryofiTi mTeli ricxvebis gaerTianebas?
_ ra SemTxvevaSi araa naturaluri ricxvebis fardoba naturaluri ricxvi?
_ rogor CawerT Sereul ricxvs wiladis saxiT?
_ dayaviT mocemuli ricxvebi jgufebad romelime niSnis mixedviT:
2 11 25
0; 2; -9; 0,7; _62,05; ; 3 ;  .
5 12 31
_ ra niSnebiT SeiZleba amis gakeTeba?
_ ras miaqcieT yuradReba mocemuli ricxvebis jgufebad ganawilebisas?
_ ra saxeli SegiZliaT uwodoT TiToeul jgufs? (naturaluri, mTeli, wiladi.)
III. problemuri situaciis Seqmna (maswavlebeli qmnis situacias, raTa moswavleebi mixvdnen gakveTilis mizansa da amocanebs.
exmareba moswavleebs logikurad Camoayalibon Sesaswavli sakiTxi, cneba).
_ SeiZleba am ricxvebis gaerTianeba romelime erT jgufSi?
_ moifiqreT iseTi ram, rac erT jgufSi gaaerTianebs mocemul ricxvebs.
_ maSin CamovayaliboT dRevandeli gakveTilis mizani. ra iqneba mizani?
_ ra unda viswavloT dRes?
_ ra gaaerTianebs am ricxvebs?
_gamovikvlioT am ricxvebis gamaerTianebeli niSnebi da viswavloT maTi saerTo saxelwodeba.
IV. axali masalis axsna
_ dRes unda SeviswavloT racionaluri ricxvebi. Tqveni azriT, rogor ricxvebs hqvia racionaluri?
16
TavianTi naazrevis Camoylibebis Semdeg moswavleebi gaaanalizeben daSvebul uzustobebs, Semdeg ki _ mswavlebeli
m
ganmartavs, rom racionaluri ewodeba ricxvs, romlis Cawera SesaZlebelia saxiT, sadac m mTeli ricxvia da n natura-
n
luri.
m 
_ racionalur ricxvTa simravles mokled ase CavwerT: Q   m  Z , n  N . .
n 
5
_ ricxvebi: 5; -2, 0 CavweroT wiladis saxiT, , ....
1
_ SegviZlia Tu ara mTeli ricxvis wiladis saxiT warmodgena? (moswavleebi gamoTqvamen azrs da warmoadgenen mTel ricxvebs
wiladebis saxiT.)
_ ra daskvna SegiZliaT CamoayaliboT? aris Tu ara nebismieri mTeli ricxvi racionaluri?
_ ra mimarTebas xedavT mTel ricxvTa simravlesa da racionalur ricxvTa simravles Soris? (Z  Q) .
analogiuri msjelobiT mivlen im daskvnamde, rom yvela im saxis ricxvi, rac aqamde uswavliaT, racionaluria.
V. ganmtkiceba
_ aris Tu ara aTwiladi racionaluri? daasabuTe.
_ aris Tu ara -6 racionaluri? daasabuTe.
_ aris Tu ara _1,5 racionaluri? daasabuTe.
1
_ aris Tu ara 3 racionaluri? daasabuTe.
5
sav. #2,#3,#4,#5 _ zepirad xsnian teqstSi mocemul 1-l magaliTs erTi moswavle dafaze wers axsna-ganmartebiT.
sav.#7, #10, #15. savarjiSoebis amoxsnisas TiToeuls TiTo moswavle asrulebs dafaze, danarCenebi rveulebSi muSaoben
damoukideblad. Sedegebs adareben, Secdomebs aanalizeben.
VI. damoukidebeli samuSao (TviTSemowmeba)
mizani: aTvisebis donis Semowmeba, daSvebuli Secdomebis gasworeba
 TviTregulacia. SesaZleblobebis mobilizeba.
 partnioris kontroli, koreqcia, misi moqmedebis Sefaseba komunikaciis pirobebis dacviT;
 kontroli moqmedebis xerxebis SejerebiTa da maTi SedegebiT;
 aRmoCenili Secdomebis gasworeba da xarvezebis aRmofxvra.
17
I varianti
105 18
1) Cawere ukveci wiladis saxiT wiladi: a) ; b) .
147 42
2) Seadare ricxvebi: a) 8743 da 870  878; b) 2300 da 3200 .
II varianti
135 24
1) Cawere ukveci wiladis saxiT wiladi: a) ; b) .
189 56
2) Seadare ricxvebi: a) 999 20 da 999910 ; b) 4 20 da 2 40 .
pasuxebi:
5 3
I varianti: 1) a) ; b)  . 2) a) 8743 > 870  878; b) 2300 < 3200 .
7 7
5 3
II varianti: 1) a) ; b)  . 2) a) 999 20 > 999910 ; b) 4 20 = 2 40 .
7 7
maswavlebels gamoaqvs pasuxebi. moswavleebi afiqsireben sakuTar naSromSi aRmoCenil Secdomebsa da xarvezebs.
maswavlebels ekranze gamoaqvs pasuxebi. Secdomebis gaanalizeba da gasworeba xdeba dafaze.
VII. refleqsia
mizani: miRebuli informaciis erTiani gaazreba da Sejameba, sakuTari damokidebuleba Seswavlil masalasTan da misi xelme-
ored problematizacia, masalis Seswavlis mTeli procesis analizi.
_ ra viswavleT dRes?
_ rogor ricxvebs hqvia racionaluri?
_ aris Tu ara racionaluri ricxvi: 0? 2,3? -8,4? 0,000025?
_ rogor SevadaroT uaryofiTi ricxvebi?
_ rogor SevadaroT sxvadasxvamniSvneliani wiladebi?
_ rogor vipovoT or ricxvs Soris moTavsebuli ricxvi?
_ wiladis ra TvisebiT vsargeblobT Sekvecis dros?
VIII. Sedegebis Sejameba
maswavlebeli svams kiTxvebs, moswavleebi pasuxoben zepirad.
- ra viswavleT dRes?
18
- ra mimarTebaa naturalur da mTel ricxvebs Soris?
- ra mimarTebaa mTel da racionalur ricxvebs Soris?
- r a saxis ricxvi iqneba ori racionaluri ricxvis jami?
- aris Tu ara ori naturaluri ricxvis fardoba yovelTvis a) naturaluri? b) mTeli? g) racionaluri ricxvi?
maswavlebeli iyenebs ganmaviTarebel da ganmsazRvrel Sefasebebs moswavleTa Sedegebisa da CarTulobis gaTvaliswinebiT.
IX. saSinao davaleba
informacia saSinao davalebis Sesaxeb: sav.#1, #6, #9. moiZion informacia ricxvebis warmoSobis Sesaxeb.
Sefasebis indikatorebi moswavles unda SeeZlos:
 racionaluri ricxvis ganmarteba;
 ricxvebis klasifikacia da da maT Soris mimarTebis diagramis saxiT warmodgena;
 faqtebis analizi da Sedareba, ZiriTadis gamoyofa, ganzogadeba.
meore gakveTili
mizani:
 racionaluri ricxvebis Sesaxeb miRebuli codnis ganmtkiceba;
 ariTmetikul moqmedebaTa Tvisebebis gamoyeneba gamoTvlebSi;
 or racionalur ricxvs Soris moTavsebuli ricxvis povna;
 ganvlili masalis gameoreba;
 kompleqsuri davalebis Sesruleba (wyvilebSi);
 SemecnebiTi interesis, logikuri azrovnebis, damoukideblad muSaobis unarebis ganviTareba;
 TanamSromlobis, miRebuli Sedegebis prezentaciis, sakuTari naSromis Sefasebis gamocdilebis SeZena.
resursebi: kompiuteri, proeqtori.
I. organizaciuli momenti
II. saSinao davalebis Semowmeba_ganxilva
maswavleblis TxovniT moswavleebi yvebian ricxvebis Seqmnis istorias, rasac gaecnen sxvadasxva wyaroebidan.
maswavlebeli avsebs moswavleTa monaTxrobs, CamovliT amowmebs davalebas. muSaoben davalebaSi aRmoCenili sirTulis
daZlevaze.
III. winare codnis gaaqtiureba
maswavlebeli dafeze wers sxvadasxva ricxvs da kiTxulobs:
19
m
_ rogori ricxvebi davwere? sTxovs, yvela es ricxvi Caweron fardobis saxiT, sadac m  Z , n  N .
n
_ gavixsenoT, rogori ricxvebis simravles gavecaniT wina gakveTilze.
_ rogor davamtkicoT, rom nebismieri mTeli ricxvi racionaluria?
IV. gakveTilis Temis gacnoba
maswavlebeli svams kiTxvebs:
_ rogor movZebnoT or racionalur ricxvs Soris moTavsebuli racionaluri ricxvi?
_ ramdeni aseTi ricxvi arsebobs?
_ ariTmetikul moqmedebaTa ra Tvisebebi iciT?(sityvieradac Camoayalibeben da formulirebasac moaxdenen dafaze).
_ rogor fiqrobT, ariTmetikuli moqmedebebis es Tvisebebi marTebulia racionaluri ricxvebisTvis?
_ vin mixvda, ra sakiTxebze unda vimuSaoT dRes?
V. gakveTilis Temaze muSaoba
1) muSaoben paragrafis Teoriuli masalis me-2 magaliTis gamosaxulebebis mniSvnelobebis gamoTvlaze. amoxsnisas ixseneben
moqmedebaTa Sesrulebis Tanmimdevrobis dacvis, saerTo mamravlis frCxilebs gareT gatanis, ariTmetikuli moqmedebebis Se-
srulebis, wiladis Sekvecis wesebs.
3 252 198 15
2) aTwiladis saxiT CawereT ricxvebi: , ,  , .
7 180 242 11
saxelmZRvanelodan xsanian #11, #12 a), b) , #14 savarjiSoebs da àba, scades~.
VI. wyvilebSi samuSao (kompleqsuri davalebis Sesruleba)
asruleben sav.#12-is i), k) da #13 savarjiSoebs.
wyvilebi warmoadgenen nawerebs. maswavlebels gamoaqvs pasuxebi. ganixilaven daSvebul Secdomebs da asworeben.
VII. refleqsia
miRebuli informaciis erTiani gaazreba da Sejameba, sakuTari damokidebuleba Seswavlil masalasTan da misi xelmeored
problematizacia, masalis Seswavlis mTeli procesis analizi.
VIII. saSinao davaleba
maswavlebeli informaciasa da instruqcias awvdis saSinao davalebisa da misi Sesrulebis Sesaxeb. sav.#8, #12 g), T), #16.
komentarebi savarjiSoebis Sesaxeb da pasuxebi:
sav.#6. cxadia, moswavleebi erTmaneTisagan damoukideblad, gansxvavebul mniSvnelebze imuSaveben. pasuxebsac sxvadasxva ri-
11 3 7
cxvis saxiT warmoadgenen. magaliTad, saerTo mniSvneliT _ 40, SeiZleba uamravi SesaZleblobidan SeirCes: , , da sxva.
40 10 20
20
sav.#7. moswavleebs SevaxsenoT, rom ricxviT wrfeze mocemuli A( a ) da B (b ) wertilebiT SemosazRvreuli monakveTis Sua
wertilis koordinatebi a da b ricxvebis saSualo ariTmetikulis tolia. (es faqti me-6 klasidan ician). _0,7-isa da 2,5-is
0, 7  2,5
saSualo ariTmetikulia  0,9.
2
sav.#8. pasuxi: a) C(3,3); b) C(0,9).
1 1
sav.#9. pasuxi: a) ; b) 1,3; g)  an -1.
2 2
13 14 15 1
sav.#11.   2 .
18 18 18 3
2 3
sav.#12. a) 1 ; b) 1 ; g) 5,91; d) 22,66; e)-5; v)1,6; z)-27; T) 84 ; i) 2,5; k) 5.
7 4
25 26 27 8
sav.#13.   2 .
35 35 35 35
2n  27 2n  6  21 21
sav.#14.   2 . miRebuli jami naturaluri iqneba, roca 21 iqneba  n  3 -is jeradi, anu, roca n miiRebs
n3 n3 n3
4-isa da 18-is tol mniSvnelobebs.
2,1
aba, scade! pasuxi: 2,9
0,8
0
3
2
21
$1.2 amocanebi naSTian gayofaze (2 sT.)
Tema: naSTiT gayofa

naSTis gamosaTvlelad, rogorc Sesakrebebis, ise Tanamamravlebis naSTebiT Canacvleba SeiZleba

Tan dakavSirebuli  gasayofi, gamyofi,  ra SemTxvevaSi ewodeba a (Sesruldeba TemisTvis
mkvidri warmodgenebi: ganayofi; ricxvs b ricxvis jeradi? gamoyofil meore saaTze)
 arasruli ganayofi _  gamyofebi da jeradebi;  ra naSTi miiReba 25-is 7-ze 1.2 paragrafis savarjiSo
ganayofis mTeli #37.
 gayofadobis niSnebi; gayofiT?
nawili;  romel wlebs ewodeba
 nakiani weli;
 naSTi _ ganayofis
 ricxvis Canaweris bolo nakiani?
wiladi nawilis  ra naSTi miiReba
cifri;
mricxveli.
 ricxvis naturaluri naturaluri ricxvis 10-ze
xarisxi. gayofiT?
 Seicvleba Tu ara jamis
(namravlis) naSTi, Tu
Sesakrebebs
(Tanamamravlebs) naSTebiT
CavanacvlebT?
SeniSvna: 1. naSTiani gayofis Temas moswavleebi VI _ VII klasebidan icnoben. aq siaxles naSTiani gayofis algebruli tolobis
saxiT Cawera da naSTTa ariTmetikis amocanebis amosaxsnelad gamoyeneba warmoadgens.
2. paragrafis bolo ori amocana (sav. #48-49) da praqtikuli samuSao, VII klasSi naswavli geometriuli sakiTxebis gasameo-
rebladaa mocemuli.
22
sav.#1. b) m iyofa 8-ze da 12-ze, amitom gaiyofa 8-ze da 3-ze. radgan 8 da 3 aris m-is urTierTmartivi gamyofebi, amitom 24-ic
gamyofia. sasurvelia mieTiTos, rom urTierTmartiv gamyofTa namravli, agreTve, gamyofia; g) ara.
sav.#2. pasuxi: a)1-iT; b) 4-iT an 6-iT; g)5-iT; d) 6-iT. sav.#3. pasuxi: a).
sav.#4. mcdaria. magaliTad, arc 7 iyofa unaSTod 4-ze da arc 9, magram 7+9=16 iyofa.
sav. #5. diax, gaiyofa.
sav.#6. pasuxi: a)5; b)4; g)6; d)4; e)3.
sav.#8. pasuxi: 96.
sav. #9. pasuxi: 1001.
sav.#11. pasuxi: 31.
sav.#14. pasuxi: skolebs 2-2, klubs _ 6.
sav.#16. Tu ricxvi 8-ze gayofisas naSTSi iZleva 5-s, maSin igi 8k+5 saxis ricxvia. aseT ricxvebs Soris umciresi samniSna
ricxvi miiReba maSin, roca k= 12-s. pasuxi: 101.
sav.#17. amocanis pirobiT gasayofia: 1112  8 . am jamis 10-ze gayofiT miRebuli naSTis saZieblad sakmarisia SesakrebTa naSTe-
bis jamis 10-ze gayofiT miRebuli naSTis moZebna. es iqneba: 1 2  8  10. es niSnavs, rom gayofa unaSToa, anu naSTi 0-is tolia.
sav.#18. wina amocanis analogiuri msjelobiT vaskvniT, rom gasayofia: 6 13  5 . SesakrebTa naSTebze gadsvliT miviRebT:
6  2  5  17. 17:11=1 (naSTi 6). pasuxi: 6.
sav.#25. a) 2 3  5  7_42=30 7_30 2+18= 30 5+18; b) 2 3  5  7_42=21 10_21 2= 21 8; g)2  3  5  7_42=19  8+16 pasuxi: a)18; b)0; g)16.
sav.#27. Tu a da b ricxvebs naSTebiT CavanacvlebT miviRebT 15-s. pasuxi: 0.
sav.#29. pasuxi: 100008.
sav.#34. a) vTqvaT, kenti Sesakrebebia: a  2 k  1, b  2 p  1. maSin: a  b  2 k  1  2 p  1  2k  2 p  2  2( k  p  1). naSTebze gada-
svliT dasabuTebisas aRvniSnavT, rom TiToeuli Sesakrebis 2-ze gayofis naSTi 1-is tolia, maTi jami ki luwia.
b) luwi ricxvebis SemTxvevaSi SesakrebTa naSTebi 0-is tolia, xolo 0+0=0. rogorc a), ise b) jami luwi ricxvia.
sav.#35. SeuZlebelia, vinaidan Tu 18k  12  15n  7, 5  15n  18k  5  3  5n  6k  am ukanaskneli tolobis marjvena nawili 3-is
jeradi gamosaxulebaa, xolo marcxena nawili (5) araa 3-is jeradi.
sav.#36. SeuZlebelia, vinaidan Tu 4k  3  16m  5  4k  16m  2  4  k  4m   2. am ukanaskneli tolobis marcxena nawili 4-is
jeradia, marjvena nawili ki - ara.
sav.#37. amoxsna: 1) 8  6  48 binaa TiToeul sadarbazoSi, 2) 178  48  3  34  #178 bina me-4 sadarbazoSia,
23
3) 34  6  5  4  #178 bina me-6 sarTulzea.
pasuxi: bina #178 me-4 sadarbazos me-6 sarTulzea.
sav. #38. davuSvaT, 7 furclidan k cali daWres 7 nawilad da miiRes 43 naWeri, maSin 7_k+ 7k=43, saidanac k=6. pasuxi: 6.
sav. #41. 2004 wlidan 2026wlamde 22 welia, maTgan 6 nakiani, amitom wanacvleba moxdeba 28 dRiT. e. i. 2026 wlis 1 Tebervali isev
kvira iqneba. am dRidan 1 maisamde 89 dRea. 89  12  7  5 , anu wanacvleba moxdeba 5 dRiT. e. i. 2026 wlis 1 maisi iqneba paraskevi.
  . bolo cifri  3334  -is mniSvnelobis, anu 10-ze gayofis naSTia 1, xolo 333—is 3, 3 1  3.
84 84
sav. #42. a) 333333  333  3334
pasuxi: 333333 -is aTobiTi Canaweri bolovdeba 3-iT.
   9 . naSTebze gadasvliT vwerT: 7+9=16. pasuxi: 7  9 -is Canaweri bolovdeba 6-iT.

3
b) 79  97  7 4  7 4  7  92 9 7
g) 7  4  7  7   4  . naSTebze gadasvliT vwerT: 3+6=9. pasuxi: 7  9 -is Canaweri bolovdeba 9-iT.

7 444 4 3 2 222 9 7
sav. #43. 2   2   2. naSTebze gadasvliT gveqneba: 1  2  2. pasuxi: 2 -is 7-ze ganayofi bolovdeba 2-iT.
3 33
100 33 100
sav. #44. 9  1   9   9  1. naSTebze gadasvliT gveqneba: 1  9  1  10. pasuxi: 9  1 -is Canaweri bolovdeba 0-iT.
2 499
999 499 999
sav.#45. namravlis martiv mamravlebad daSlaSi 22 cali 5-is toli mamravli monawileobs. TiToeulis 2-Tan namravlSi
mogvcems erT nuls. pasuxi: 22.
sav.#46. Tu wignebis raodenobaa x, maSin x-1 iyofa 4-ze, 5-ze da 6-ze, maSin 4, 5 da 3 aris x-1-is urTierTmartivi gamyofebi,
amitom 60 (4  5 3 =60), agreTve, x-1-is gamyofia, e.i. x-1 aris 60-is jeradi, anu x_1=60k, saidanac x=60k+1. Tu gaviTvaliswinebT,
rom x aris 7-is jeradi, 60k+1 saxis ricxvebSi unda veZeboT 7-is jeradi umciresi ricxvi. aseTi ricxvi miiReba maSin, roca k=5.
es ricxvia 301. pasuxi: 301.
sav.#47. nebismieri samniSna naturaluri abc ricxvi SegviZlia Semdegnairad warmovadginoT: 100a +10b+c = (99a+9b)+(a+b+c).
miRebuli jamis pirveli Sesakrebi 9-is jeradia, amitom abc ricxvis naSTi a+b+c jamis naSTis toli iqneba,
sav.#49. vTqvaT, kvadratis gverdia a . marTkuTxedebis perimetrebs Tu SevkrebT, miviRebT: 6a  120  a  20 (sm)  p  80 m.
24
$1.3 perioduli aTwiladebi (2 sT)
Tema: perioduli aTwiladebi
TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi: nebismieri perioduli aTwiladi SegviZlia CavweroT wiladis saxiT.
racionalur ricxvTa simravle perioduli aTwiladi ricxvebis simravlea.
samizne cnebebi da maTTan sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi: kompleqsuri davaleba

dakavSirebuli mkvidri  wminda perioduli  rogori wiladi Caiwereba (Sesruldeba TemisTvis
warmodgenebi: aTwiladi; a)sasruli, b) wminda gamoyofil meore saaTze)
 sasuli da usasrulo  Sereuli perioduli, g) Sereuli 1.3 paragrafis savarjiSo
aTwiladebi; perioduli perioduli aTwiladis saxiT? #10 a) da #11.
 perioduli aTwiladebi; aTwiladi;  rogor CavweroT a) wminda,
 perioduli aTwiladis wiladad  periodi, periodis b)Sereuli perioduli
gadaqcevis wesebi. sigrZe; aTwiladi wiladis saxiT?
 racionaluri ricxvi igive usa-  moqmedebebi perio-  rogor SevasruloT moqmede-
srulo perioduli aTwiladia. dul aTwiladebze. bebi periodul aTwiladebze?
pirveli gakveTili (axali masalis axsna)

mizani:
 perioduli aTwiladebis gacnoba;
 wiladis periodul aTwiladad Caweris pirobis dadgena;
 wminda perioduli da Sereuli perioduli SemTxvevebis ganxilva.
paragrafis Seswavlis Semdeg moswavlem unda icodes:
 rogor aTwilads hqvia sasruli, usasrulo, perioduli da usasrulo perioduli;
 perioduli aTwiladis wiais saxiT Caweris wesi;
 rogori wiladi Caiwereba sasruli da rogori _ usasrulo aTwiladis saxiT;
 periodul aTwiladebze moqmedebis wesebi.
25
moswavleTa gakveTilze daswreba-ardaswrebis, saswavlo nivTebis qona-arqonis garkveva; moswavleTa mier samuSao adgilebis
mowesrigebuloba, moswavleTa yuradRebis mobilizeba da a. S. moswavleTa sagakveTilo ganwyobis Seqmna.
maswavlebeli CamovliT amowmebs davalebas. muSaoben davalebaSi aRmoCenili sirTulis daZlevaze.
III. winare codnis gaaqtiureba, problemuri situaciis Seqmna
1) sami moswavle muSaobs dafaze individualuri baraTebiT micemul davalebaze.
1 1 
I. warmoadgine aTwiladis saxiT: ;   1: 3  0,333...  ;
3 3 
1 1 
II. warmoadgine aTwiladis saxiT: ;   1: 7  0,14288571428857... 
7 7 
37  37 
III. warmoadgine aTwiladis saxiT: .   37 : 300  0,1233333... 
300  300 
2) paralelurad klass eZleva davaleba rigebis mixedviT:
4 8
I rigi: warmoadgine aTwiladis saxiT: , . (0,44444. . . .; 0,32)
9 25
15 7
II rigi: warmoadgine aTwiladis saxiT: , . (0,405405405. . .; 0,875)
37 8
5 11
III rigi: warmoadgine aTwiladis saxiT: , . (0,277. . .; 0,34375)
18 32
Semowmebis mizniT, rigidan erTi moswavle kiTxulobs pasuxebs, sxvebi amowmeben sakuTar Sedegebs. moismenen im moswavleebis
pasuxsac, romlebic baraTebze muSaobdnen.
_ riT hgavs miRebuli pasuxebi erTmaneTs da riT gansxvavdeba? (yvela pasuxi aTwiladia, zogi usasrulod grZeldeba, zogi
sasrulia.)
_ mixvdiT, raze gveqneba saubari? (aTwiladebsa da wiladebis aTwiladad Caweraze)
IV. gakveTilis Temisa da miznis dasaxeleba
maswavlebeli qmnis situacias, raTa moswavleebi mixvdnen gakveTilis Temasa da mizans.
26
V. axali masalis axsna
maswavlebeli: _ kidev SevasruloT aseTive davaleba da davakvirdeT gansxvavebebs.
5 31 3
_ aTwiladad CawereT Cveulebrivi wiladebi: , , .
3 44 8
davalebis Sesasruleblad sami moswavle gamohyavs dafasTan.
_ vimuSaoT yvelam.
5 31 3
_ ra miviReT Sedegad?  1, 666...,  0, 70454545...,  0,375.
3 44 8
_ riT hgavs miRebuli pasuxebi erTmaneTs da riT gansxvavdeba?
msjeloben msgavseba-gansxvavebebze.
_ riT gansxvavdeba erTmaneTisagan usasrulo aTwiladebi: 1,666. . . da 0,70454545 . . .?
(1,666. . .-is CanawerSi meordeba erTi cifri, 6-iani da misi gameoreba pirdapir mZimis Semdeg iwyeba, xolo 0,70454545-Si
meordeba 45, romelic ar iwyeba pirdapir mZimis Semdeg. mZimesa da 45-s Soris weria -70.)
37
_ ra Sedegi miviReT -is aTwiladad Cawerisas? (0,12333. . .) aq mZimidan ramdeni cifris Semdeg iwyeba 3-ianis gameoreba?
300
1
_ ra Sedegi miviReT -is aTwiladad Cawerisas? (0,14288571428857. . .) ramdencifriani Canaweri meordeba? (7)
7
_ aTwiladebi, romlebzec dRes vmuSaobT, daajgufeT or jgufad romelime niSnis mixedviT. mivlen im daskvnamde, rom zogi
wiladi sasrulia, zogi _ usasrulo.
_ am jgufebis mixedviT ra saxelwodebas SeurCevdiT aTwiladebs? (`sasruli~ da ùsasrulo~)
_1,666… CanawerSi mZimis Semdeg cifrebis usasrulo raodenobaa, amitom mas usasrulo aTwilads uwodeben.
_ axla usasrulo aTwiladebi daajgufeT or jgufad (aTwiladebi, romlebSic erTi an ramdenime cifri ucvlelad meordeba
erTi da imave TanmimdevrobiT (asaxeleben Sesabamis aTwiladebs im aTwiladebidan, razec dRes imuSaves) da aTwiladebi,
romlebSic cifrebi ar meordeba romelime garkveuli TanmimdevrobiT).
_ aTwiladebs, romlebSic erTi an ramdenime cifri ucvlelad meordeba erTi da imave TanmimdevrobiT, perioduli
aTwiladebi ewodeba, xolo danarCens _ araperioduli. usasrulod ganmeorebad cifrs an cifrebis jgufs periodi ewodeba.
periodi frCxilebSi iwereba.
_ Cveni dRevandeli samuSao aTwiladebidan romelia perioduli da romeli araperioduli?
_ daasaxeleT 1,666… -is, 0,12333. . . -is da 0,14288571428857. . . -is periodebi. ( 1,666. . . -is periodia 6; 0,12333. . . -is 3; xolo
0,14288571428857. . . -is 1428857.)
_ rogor CawerT mokled am aTwiladebs? (weren dafazec da rveulebSic)
_ rogor wavikiTxavT? (exmareba sworad wakiTxvaSi.)
_ ramdeni cifria 0,12(3)-is periodSi? (1) e.i. periodis sigrZea 1.
27
_ ra sigrZisaa periodi 0,(1428857)? (7) rogor mixvdiT?
_ axla Tu SeZlebT perioduli aTwiladebis dajgufebas or jgufad? (aTwiladebi, romelTa periodi pirdapir mZimis Semdeg
iwyeba da aTwiladebi, romelTa periodi ar iwyeba pirdapir mZimis Semdeg.)
_ periodul aTwiladebs, romelTa periodi pirdapir mZimis Semdeg iwyeba, wminda perioduli aTwiladebi ewodeba. (asaxeleben
Sesabamis magaliTebs)
_ vin ganmartavs, rogor aTwiladebs ewodeba Sereuli perioduli aTwiladebi? (asaxeleben Sesabamis magaliTebs.)
_ rogor gadavaqcieT wiladebi periodul aTwiladebad? (qveSmiweriT vyofT mricxvels mniSvnelze da gayofis process
vwyvetT, rogorc ki erT-erTi naSTi daiwyebs ganmeorebas.)
_ Tu naSTSi miviReT 0, ras ityviT am SemTxvevaze? (ganayofi sasruli aTwiladia.)
_ SegviZlia Tu ara, nebismieri racionaluri ricxvis periodul aTwiladad warmodgena? (mohyavT magaliTebi: 56=56,000. .
=56,(0); 0,25=0,25000. . .=0,25(0); ...)
_ ra daskvnas CamoayalibebT? (nebismieri racionaluri ricxvis warmodgena SegviZlia periodul aTwiladad.) weren:
7 2 143
 0, 777...  0, (7) ;  0, 020202...  0, (02);  3,1777...  3,1(7); 15, 000...  15, (0);
9 99 45
0, 67  0, 67000  0, 67(0).
_ rogori ricxvebis warmodgena SeiZleba sasruli da rogoris usasrulo aTwiladis saxiT? amis gasarkvevad CavataroT
kvleva. gadavaqcioT aTwiladad wiladebi:
2 5 8 4 9 3 11 18
, , , , , 1 , 2 , 3 .
5 12 15 21 100 8 30 25
_ miRebuli Sedegebi cxrilis saxiT CavweroT.
sasruli usasrulo
2 5
 0, 4,  0, 41666...,
5 12
9 8
 0, 09,  0,5333...,
100 15
3 11 4
1   1,375,  0,190476190476...,
8 8 21
18 93 11 71
3   3, 72, 2   2,30666...,
25 25 30 30
_ davakvirdeT gamyofebs, anu wiladebis mniSvnelebs. davSaloT isini martiv mamravlebad: sasrulebis calke, usasruloe-
bis _ calke.
28
sasruli usasrulo
5  1 5 12  2  2  3
100  2  2  5  5 15  3  5
8  222 21  3  7
25  5  5 30  2  3  5
_ raime kanonzomierebas xedavT am daSlaSi?
msjeloben, gamoTqvamen TavianT mosazrebebs da Sejerdebian daskvnaze:
 Tu ukveci wiladis mniSvnelis martiv mamravlebad daSlaSi mxolod 2-ebi, mxolod 5-ebi an mxolod 2-ebi da 5-ebia, maSin
wiladi sasrul aTwiladad Caiwereba.
 Tu ukveci wiladis mniSvnelis martiv mamravlebad daSlaSi erTi maincaa 2-sa da 5-isagan gansxvavebuli martivi mamravli,
maSin wiladi usasrulo periodul aTwiladad Caiwereba.
 Tu ukveci wiladis mniSvnelis martiv mamravlebad daSlaSi erTi maincaa
2-isa da 5-isagan gansxvavebuli martivi mamravli da TviT 2-c an 5-c monawileobs, , maSin wiladi Sereul periodul aTwiladad
Caiwereba.
VI. ganmtkiceba
saxelmZRvanelodan xsnian sav.#1, #2, #3, #4, #13, #16.
maswavlebeli moswavleTa yuradRebas amaxvilebs davalebis Sesabamisi sakuTari azris sisruliTa da sizustiT gadmocemaze.
VII. damoukidebeli samuSao
11 23 5
I varianti: gadaaqcie aTwiladad wiladi: , 3
. , 4
40 90 99
rogori aTwiladi miiRe? gansazRvre periodis sigrZe.
17 2 5
II varianti: gadaaqcie aTwiladad wiladi: , 3 , 4 .
80 9 18
rogori aTwiladi miiRe? gansazRvre periodis sigrZe.
pasuxi: I varianti: 0,275; 3,2(5); 4,(05). I varianti: 0,2125; 3,(2); 4,2(7)
maswavlebels gamoaqvs pasuxebi. moswavleebi afiqsireben sakuTar naSromSi aRmoCenil Secdomebsa da xarvezebs. aRmoCe-
nil Secdomebs asworeben dafaze.
VII . saSinao davaleba
informacia saSinao davalebis Sesaxeb. instruqtaJi misi Sesrulebis Sesaxeb. sav.#5, #14, #17, #19.
29
Sefasebis kriteriumi/kriteriumebi:
 perioduli aTwiladis wakiTxva da Cawera;
 imis gansazRvra, wiladis aTwiladad Cawerisas sasruli aTwiladi miiReba Tu usasrulo;
 usasrulo perioduli aTwiladis wiladis saxiT Cawra;
 periodul aTwiladebze moqmedebebis Sesruleba.
meore gakveTili
mizani:
 wina gakveTilze naswavlis ganmtkiceba-gaRrmaveba;
 perioduli aTwiladis wiladis saxiT warmodgenis wesebis gacnoba da gamoTvlebis sawarmoeblad gamoyeneba;
 racionaluri ricxvTa simravlis, rogorc usasrulo perioduli aTwiladi ricxvebis simravlis gaazreba;
 VII klasSi SeZenili codnis gameoreba;
 kompleqsuri davalebis Sesruleba.
moswavleTa gakveTilze daswreba-ardaswrebis, saswavlo nivTebis qona-arqonis garkveva; moswavleTa mier samuSao adgilebis
mowesrigebuloba, moswavleTa yuradRebis mobilizeba da a. S. moswavleTa sagakveTilo ganwyobis Seqmna.
maswavlebeli CamovliT amowmebs davalebas. muSaoben davalebaSi aRmoCenili sirTulis daZlevaze.
_ ra saxis aTwiladebs vicnobT?
_ sasruli aTwiladi Caweres Cveulebrivi wiladis saxiT. SeiZleba, rom am wiladis mniSvnelis martiv mamravlebad daSlaSi
monawileobdnen 2-isa da 5-is garda sxva martivi mamravlebi?
_ rogori gamyofebi unda hqondes Cveulebrivi wiladis mniSvnels, raTa is Caiweros sasruli aTwiladis saxiT? daasaxeleT
magaliTebi.
_ ra moqmedebas vasrulebT Cveulebrivi wiladis aTwiladis saxiT Casawerad?
2 1 7 14 29
_ sasruli aTwiladi miiReba Tu usasrulo mocemuli wiladebis aTwiladebis saxiT Cawerisas? , , , , .
3 99 10 25 50
_ waikiTxeT ricxvebi: 0,(6); 3,(14); 2, 0(235).
30
143 143
_ warmoadgineT aTwiladis saxiT . pasuxi: =3,1(7).
45 45
_ waikiTxeT pasuxi. (`3 mTeli, erTi meaTedi da 7 periodSi~.)
_ ras udris am aTwiladis periodis sigrZe?
_ mTel ricxvs (mZimis Semdeg) an sasrul aTwilads rom mivuweroT marjvnidan usasrulo raodenobis 0-ebi, rogor aTwilads
miviRebT? (sawyisi ricxvis tol periodul aTwilads, periodiT 0.)
_ ra daskvna SegviZlia amis safuZvelze CamovayaliboT? (nebismieri mTeli ricxvi da sasruli aTwiladi SegviZlia CavTvaloT
periodul aTwiladad, periodiT 0.)
m
_ anu, nebismieri racionaluri ricxvi Caiwereba perioduli aTwiladis saxiT.
n
1 5 12 56
_ CawereT perioduli aTwiladis saxiT: 1 ,  , ,  .
9 9 99 99
weren:
1 5
1  1,111...  1, (1);   0,555...  0, (5);
9 9
12 4 56
  0,121212...  0, (12);  0,5656565...  0, (56).
99 33 99
_ viciT, rom nebismieri racionaluri ricxvi SegviZlia perioduli awiladis saxiT warmovadginoT. viciT Tu ara rogor
CavweroT Cveulebrivi wiladis saxiT perioduli aTwiladi?
_ maS ra iqneba Cveni dRevandeli gakveTilis mizani? (perioduli aTwiladi ricxvebis wiladad Caweris wesis gacnoba da gamo-
saxulebis mniSvnelobis gamosaTvlelad gamoyeneba).
maswavlebeli:
_ bolos amoxsnil magaliTebze dakvirvebiT gamovitanoT daskvna, Tu rogor unda CavweroT wminda perioduli aTwiladi
Cveulebriv wiladad. Cveni tolobebi CavweroT marjvnidan marcxniv. weren:
1 5 12 56
1, (1)  1 ;  0, (5)   ; 0, (12)  ;  0, (56)  .
9 9 99 99
gamoTqvamen mosazrebebs da maswavleblis daxmarebiT gamoaqvT swori daskvna.
_ daskvna CamovayalibeT iseT wminda periodul aTwiladebze, romelTa periodis sigrZea 1 an 2. marTebulia Tu ara es daskvna
5
meti sigrZis periodebze? SevamowmoT. (amowmeben: 0,(005)= .)
999
31
_ upasuxeT saxelmZRvanelos sav.#6-Si dasmul SekiTxvas.
_ CavweroT Cveulebrivi wiladis saxiT 0,(3) da 3,(67). ori moswavle gamohyavs dafasTan. dafasTan gamosuli moswavleebi
axsna-ganmartebiT weren pasuxebs.
_ waikiTxeT Sesabamisi wesi saxelmZRvanelos me-19 gverdze. (erT moswavles waakiTxebs).
_ gadavaqcioT Cveulebriv wiladad: 0,(15); -1,(6); -2,(13); 5,(5).
_ rogor unda gadavaqcioT Sereuli perioduli aTwiladi Cveulebriv wiladad, amis gasagebad saxelmZRvanelo dagvexmareba.
waikiTxeT wesi imave gverdze da Tqven TviTon gadaaqcieT Cveulebriv wiladad aTwiladebi: 4,2(6); 2,2(7); 2,12(15);0,26(18).
_ ganvixiloT perioduli aTwiladi 4,25(123).
 davTvaloT cifrebis raodenoba periodSi (3). aRvniSnoT maTi raodenoba k asoTi. ( k =3)
 davTvaloT cifrebis raodenoba mZimidan periodamde da aRvniSnoT igi m asoTi. ( m =2)
 amoviweroT mZimis Semdeg dawerili yvela cifri TanmimdevrobiT (25123) naturaluri ricxvis saxiT.
 am CanawerSi sawyisi cifrebi Tu 0-ebia an 0, gadavagdoT. darCenili ricxvi aRvniSnoT a -iT. ( a =25123)
 amoviweroT yvela cifri TanmimdrobiT mZimidan periodamde da aRvniSnoT b asoTi. (b=25)
 aRvniSnoT perioduli aTwiladis mTeli nawili Y asoTi.
a b
CavsvaT mniSvnelobebi formulaSi: X  Y  .
99...9
 00...0

k m
_ risi formulireba movaxdineT? (perioduli aTwiladis Cveulebriv wiladad Caweris.)
_ gamodis, rom nebismieri perioduli aTwiladi iwereba wiladis saxiT da piriqiT, nebismieri wiladi iwereba perioduli
aTwiladis saxiT. gavixsenoT, rom racionaluri ricxvi ganmartebulia, rogorc wiladi ricxvi. aqedan vaskvniT, rom
racionaluri ricxvi SegviZlia ganvmartoT, rogorc usasrulo perioduli aTwiladi. anu, racionalur ricxvTa simravle
perioduli aTwiladi ricxvebis simravlea.
_ axla daakvirdiT saxelmZRvaneloSi paragrafis bolos mocemul amoxsnil magaliTebs da gaaanalizeT, rogor SeiZleba
gamovTvaloT iseTi gamosaxulebis mniSvneloba, romelic periodul aTwilads Seicavs.
V. ganmtkiceba
ganmtkicebis mizniT xsnian saxelmZRvanelodan sav.#7, #8 (me-2 striqoni), damoukidebeli samuSao sav. #8 - I striqoni (2
variantad, TiToSi 2 ricxvi), #10 b). gasameorebel masalaze muSaoba: sav.#22.
VI. wyvilebSi samuSao (kompleqsuri davalebis Sesruleba)
asruleben #10-is a) da #11 savarjiSoebs.
wyvilebi warmoadgenen nawerebs. maswavlebels gamoaqvs pasuxebi. ganixilaven daSvebul Secdomebs da asworeben.
32
VII. refleqsia
_ rogor gadavaqcioT wminda perioduli aTwiladi Cveulebriv wiladad?
_ rogor gadavaqcioT Sereuli perioduli aTwiladi Cveulebriv wiladad?
_ rogor SevadaroT perioduli aTwiladebi?
_ rogor gamovTvaloT im ricxviTi gamosaxulebis mniSvneloba, romelic periodul aTwilads Seicavs?
maswavlebeli informaciasa da instruqtaJs aZlevs saSinao davalebisa da misi Sesrulebis Sesaxeb.
sav#9, #14, #15, #20.
1) perioduli aTwiladebis wiladad Cawera;
2) racionaluri ricxvebis Sedareba;
3) perioduli aTwiladebis Semcveli ricxviTi gamosaxulebis mniSvnelobis gamoTvla.
komentarebi $1.3 -is savarjiSoebis Sesaxeb da pasuxebi:
sav.#10. pasuxi: a) =0,4(8); b)1.

sav.#11.pasuxi: 2,7(8).
sav.12. pasuxi:5,7(4).
7
sav.#13.pasuxi: 4 .
60
a 8a
sav.#20. vTqvaT, meore metalis masaa a. maSin pirvelis masa iqneba , xolo mTeli Senadnobis masa . meore metali mTeli
7 7
8a 7
Senadnibis a : = nawili, anu 87,5% iqneba.
7 8
sav.#21. 1984 weli iyo nakiani, anu 366-dRiani. 366-is 7-ze gayofis naSTia 2, amitom kviris dRis dasaxeleba 2-iT gadanacvlda.
1985, 1986, 1987 wlebi araa nakiani, amitom kviris dRis saxelwodebebma Sesabamisad TiTo dRiT gadaiwia, radgan naSTia 1.
maSasadame, 1984 wlis 1 ianvridan 1988 wlis 1 ianvramde kviris dRis saxelwodeba 2+1+1+1=5-iT gadanacvlda da 1988 wlis 1
ianvari iyo paraskevi.
sav.#22. erTi wlis Semdeg meanabres angariSze eqneba sawyisi Tanxis 108%, anu 5000×1,08 lari, kidev erTi wlis Semdeg:
(5000×1,08) ×1,08 lari=5000×(1,08)2 lari, sami wlis Semdeg: 5000×(1,08)3 lari, xolo 5 wlis Semdeg: 5000×(1,08)5lari=7646,64 lari.
33
$1.4 mTelmaCvenebliani xarisxi (2 sT)
Tema: mTelmaCvenebliani xarisxi
TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi: aranulovani ricxvis -n xarisxi Sebrunebuli ricxvis n xarisxis
tolia.

Tan dakavSirebuli  aranulovani ricxvis  rogor ganimarteba ricxvis (Sesruldeba TemisTvis
mkvidri warmodgenebi: Sebrunebuli ricxvi; naturaluri xarisxi? gamoyofil meore
 aranulovani ricxvis  mopirdapire ricxvi;  rogor ganimarteba ricxvis saaTze)
uaryofiTi xarisxi 1.4 paragrafis
 ricxvis naturaluri xarisxi; uaryofiTi xarisxi?
Sebrunebuli ricxvis savarjiSo #11 b) da
 naturalurmaCvenebliani  ris tolia aranulovani
mopirdapire xarisxia; #19.
xarisxis Tvisebebi; ricxvis nuli xarisxi?
 aranulovani ricxvis  rogor warmoadgen sasrul
 aTwiladis Tanrigobrivi
nuli xarisxi 1-is aTwilads 10-is mTeli
Sesakrebebi;
tolia. xarisxebis jamad?
 aTwiladis daSla Tanrigobriv
SesakrebTa jamad.
paragrafis ZiriTadi mizani: mTelmaCvenebliani xarisxis cnebis Semotana

meToduri rekomendaciebi. paragrafSi mocemuli masala afarToebs moswavlis codnas xarisxis Sesaxeb, Semodis mTelmaCvene-
bliani xarisxis cneba. Temas eTmoba ori saaTi. pirvel gakveTils maswavlebeli dauTmobs mTelmaCvenebliani xarisxis axsnas,
meores ki _ naswavli masalis ganmtkiceba. sanam maswavlebeli axali masalis axsnas daiwyebs, moswavleebs unda Seaxsenos
naturaluri xarisxis Tvisebebi. axali masalis Seswavlisas moswavle iyenebs naturalurmaCvenebliani xarisxis Tvisebebs. man
icis, rom a ricxvis xarisxi naturaluri maCvenebliT ewodeba a n gamosaxulebas, romelic a -s toli n cali Tanamamravlis
namravlia. axla ki aiTvisebs uaryofiT mTelmaCvenebliani xarisxis cnebas. moswavlis yuradReba unda gamaxvildes im faqtze,
rom 0n gamosaxulebas, roca n  0 , azri ara aqvs.
34
pirveli gakveTili
mizani:
 mTelmaCvenebliani xarisxis gacnoba;
 Sesaswavl masalaSi arsebiTis gamoyofis unaris ganviTareba;
 Seswavlili faqtebis ganzogadebis unaris ganviTareba.
gakveTilis dasrulebis Semdeg moswavlem unda icodes: mTelmaCvenebliani xarisxis ganmarteba.
unda SeeZlos: ricxvis axarisxeba mTelmaCveneblian xarisxSi.
I. organizaciuli etapi, saSinao davalebis Semowmeba
maswavlebeli gakveTils iwyebs saWiro masalis gameorebiT.
 
_ gaixseneT ras warmoadgens xarisxi naturaluri maCvenebliT.  a  a  a  ...  a 
n
  
 n 
_ zepirad gamoTvaleT: 32 , 23 ,  2  ,  32 ,  3  . _gaixseneT naturalurmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi
3 2
_ gaixseneT naturalurmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi. weren formulebs da sityvierad ayalibeben Tvisebebs:

a m  a n  a mn ; ;
a m : a n  a m  n ; a  0;
a 
m n
 a mn ; ;
 ab   a nb n ;
n
a a
n
   , b  0.
b b
n
es Tvisebebi gavimeoroT magaliTebze:

23 · 24 = 23+4 = 27 = 128;
26 : 24 = 26-4 = 22 = 4;
(32) 3= 32*3 = 36 = 729;
(2 · 3)4 = 24 · 3 4 = 16 · 81= 1296.
35
III. gakveTilis Temis dasaxeleba
maswavlebeli: _ rogori ricxvebi ganvixileT xarisxis maCveneblebSi?
_ kidev rogori ricxvebi viciT?
_ dRes gavecnobiT ricxvis mTelmaCvveneblian xarisxs, viswavliT ricxvis nulovan da uaryofiT xarisxSi axarisxebas.
1) ricxvi nul xarisxSi
dafasTan gamohyavs moswavle, awerinebs formulas: a m : a n  a m  n .
_ igive formula dawere im SemTxvevisTvis, rodesac m  n .
moswavle wers:
a m : a n  a m : a m  a mm  a 0  a  0  . (1)
sxva mxriv:
am : an  am : am  1  a  0 . (2)
_ ra daskvnis gakeTeba SegviZlia (1) da (2) tolobebis safuZvelze? a 0  1, a  0.  

_ sityvierad CamoayalibeT miRebuli Sedegi. (nulis aratoli ricxvi nul xarisxSi 1-is tolia.)
2) ricxvis mTelmaCvenebliani xarisxi
_ dawere a m : a n  a m  n formula im SemTxvevisTvis, rodesac m  0
moswavle wers: a 0 : a n  a 0n  a  n  a  0  . (3)
1
sxva mxriv: a 0 : a n  1: a n   a  0. (4)
an
_ ra daskvna SegviZlia CamovayaliboT (3) da (4) tolobebis gaTvaliswinebiT?
1
an  , a  0.
an
_ rogori maCvenebliT miviReT xarisxi? ( uaryofiTi maCvenebliT.)
_ ra SegiZliaT TqvaT ricxvis uaryofiTmaCveneblian xarisxze? (Tu n naturaluri
1
ricxvia da a  0, maSin a  n  , a  0. )
an
_ ra tolobas miviRebT am tolobis marjvnidan marcxniv CaweriT?
36
1
weren: n
 a  n , a  0.
a
n n
a b
gakveTilis msvlelobisas moswavle unda miviyvanoT iqamde, rom daaskvnas:     .
b a
V. ganmtkiceba
saxelmZRvanelodan xsnian #1, #2, #3, #4, #5, #8 savarjiSoebs.
VI. damoukidebeli samuSao
saxelmZRvanelodan: I varianti: sav.#6 _ a); II varianti: sav.#6 _ b).
VII. refleqsia
maswavlebeli: _ ra viswavleT dRes axali?
_ ras udris ricxvi nul xarisxSi?
_ ras udris ricxvi uaryofiT xarisxSi?
_ yvelaferi kargad gaigeT?
_ ra SekiTxva gaqvT TemasTan dakavSirebiT?
sav.#7, #9, #10, #22. dainteresebulT #18.
2 2 2
3  4  16 7  10  100 1
 0, 3     
2
sav.#2. z)       1 ; m)  11 .
4 3 9 9  3 9 9
152 92  5 34  5 32 4
sav.#8 v) 2 1   2 2  1 .
9 5 15 2
3 5 5 5
sav.#12 mTelmaCvenebliani xarisxis ganmartebis gaazrebiT amoxsnian am davalebas.
a)  2   8,  3   9, 9  8. e.i.  3   2  ; b)  2   4,  2 2  4, 4  4. e.i.  2   2 2 ;
3 2 2 3 2 2
1 1 1
g)  2   4,  2    , 4  . e.i.  2    2  .
2 2 2 2
 2 
2
4 4
sav.#15 e) 3,1 103  4 10 4  3,1 103  4 103 10 1  (3,1  4 101 ) 103  (3,1  0, 4) 103  2, 7 10 3 .
37
x
1 1 1 1
sav.#18 b) 5  x
,  5 x  52 ,  x  2; g) 2 
x
 2 x  4  2 x  24  x  4; e)    1000  10 x  103   x  3  x  3.
25 16 2  10 
1 1 1 1 1 1 1 2 32 1 1
sav.#19. 34   0,  3 
2
       3  4  2  .
34  0,  3 2 34  1 2 34 1 34 3 3 9
  32
3
sav.#21. naxevari boTli limonaTis masa boTlis gareSe iqneba 250g, savsesi _ 500g. pasuxi: carieli boTlis masaa 150g.
sav.#22. SevadginoT gantoleba: x  0, 75  150  x  200. pasuxi: 200 lari.
#21, # 24 savarjiSoebi momdevno gakveTilisaTvis momzadebas emsaxureba.
SesaZlebelia, Tu ara? roca n 2  2  5k , maSin n 2  2 jamis Canaweris bolo cifri unda iyos 0 an 5. es ki maSinaa SesaZlebeli,
rodesac n 2 -is Canaweri bolovdeba 8-iT an 3-iT. arc erTi naturaluri ricxvis kvadratis Canaweri am cifrebiT ar bolovdeba.
pasuxi: SeuZlebelia, rom n 2  2 jami iyos 5-is jeradi n -is romelime naturaluri mniSvnelobisaTvis.
$1.5 ricxvis Caweris standartuli forma (2 sT.)

Tema: ricxvis Caweris standartuli forma
TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi: Zalian didi da Zalian mcire ricxvebis Casawerad Caweris standartul
formas iyeneben
samizne cnebebi da maTTan daka- sakiTxi/qvecneba sakvanZo kompleqsuri davaleba

vSirebuli mkvidri warmodgenebi:  standartuli SekiTxva/SekiTxvebi: (Sesruldeba TemisTvis
 ricxvis Caweris standartuli formiT Cawerili  rogor CavweroT ricxvi gamoyofil meore saaTze)
forma_ ricxvis warmodgena 10- ricxvebis Sedareba; standartuli formiT? asruleben meore
is mTeli xarisxisa da 1-sa da 10-  ariTmetikuli  rogor SevadaroT gakveTilis scenarSi
s Soris moTavsebuli ricxvis moqmedebebi standartuli formiT mocemuli jgufur samuSaos
namravlad; standartuli Cawerili ricxvebi? masalis mixedviT.
 ricxvis rigi _ standartuli formiT Caweril  ris tolia standartuli
formis CanawerSi 10-is xarisxis ricxvebze. formiT Cawerili ricxvis
maCvenebeli. rigi?
38
pirveli gakveTili
mizani:
 terminebis: ,,ricxvis standartuli forma”, ,,ricxvis rigi” gacnoba da maTi maTematikuri Sinaarsis gaazreba;
 nebismieri dadebiTi ricxvis standartuli formiT Caweris wesis gacnoba;
 standartuli formiT Cawerili ricxvebis gamravlebisa da gayofis Sesruleba;
 ricxvis standartuli saxiT Caweris codnis gamoyeneba realur situaciaSi;
 algoriTmis calkeul safexurebze TviTkontroliT muSaobis unaris ganviTareba.
paragrafis Seswavlis Semdeg moswavles unda SeeZlos:
 aTobiT poziciur sistemaSi Cawerili ricxvis standartuli saxiT Cawera da, piriqiT, standartuli saxiT Cawerili
ricxvis aTobiT poziciur sistemaSi warmodgena;
 ricxvis standartuli saxiT Caweris gamoyeneba gamosaxulebis Sesadgenad.
komentari: warmodgenili gakveTili kombinirebulia, sadac moswavle Zalian mcire da Zalian didi ricxvebis standartuli
formiT Caweras ecnoba. moswavle iyenebs codnas da standartuli formiT warmoadgens, magaliTad, manZils mTvaridan
dedamiwamde, dedamiwidan mzemde da a. S.
I. organizaciuli moment
1) gamoTvale zepirad (pasuxebi muq fonzea):
12,78•10=127,8 9,745•100=974,5 14,52•100=1452
2,5:100=0,052 0,74:1000=0,00074 0,0021•1000=2,1
2) CawereT xarisxis saxiT 10-is fuZiT:

10•10•10; 10•10•10•10•10•10; 0,1•0,1; 100•100•100; 1000•1000•1000;
0,01•0,001; 0,001•0,1•0,01; 1000000• 1000; 0,1•0,1•0,1•0,1
   
5 2
3) CawereT xarisxis saxiT: a) x 15  x18  x 0 ; b) y 11 : y 5 ; g) z 5 ; d) m 2 n5 .
4) gamoTvaleT:
a) 2, 58 10; b) 0, 258 1000; g) 2, 58 :100; d) 0, 258 :10000.
5) waikiTxeT ricxvebi: 0,000125; 0,0001025; 10000000; 15935745688.
39
6) dedamiwidan mzemde manZili 150 000 000 km-ia, mzis sxivis gavrcelebis siCqare _ 300 000km/sT. ramden xanSi moaRwevs mzis
sxivi dedamiwaze? (8 wuTi 20 wm.)
maswavlebeli: _ mecnierebasa da teqnikaSi, astronomiaSi, fizikasa da biologiaSi mravali eqsperimenti tardeba, romelTa
Sedegebs ikvleven da kvlevis Sedegad Zalian did an Zalian mcire ricxvebs iReben. magaliTad, Cveni planetis diametri
daaxloebiT12 800 km-ia, mzis diametri ki _ masze 109-jer meti. warmovidginoT, rom mzis sistemis models vadgenT da
dedamiwis diametri aviReT 1 mm, maSin mzis diametri unda aviRoT, 11 sm. amasTan, mzesa da dedamiwas Soris manZili orbitaze
unda iyos 12 m.
dedamiwis masa daaxloebiT, 5 980 000 000 000 000 000 000 tonaa (5 seqstilion 980 kvintilioni t).
mcire ricxviT gamoisaxeba gripis virusis zoma, romelic 0, 000000103 m-ia. waikiTxeT es ricxvi.
III. gakveTilis Temis gacnoba
_ dameTanxmebiT, rom rTulia aseTi ricxvebis wakiTxva da maTze moqmedebebi.
_ icnobT am ricxvebis romelime mosaxerxebeli xerxiT Caweris wess?
_ vin mixvda, raze unda vimuSaoT dRes?
maswavlebeli moswavleebTan erTad ayalibebs gakveTilis mizans.
_ ris codna dagvWirdeba am miznis misaRwevad?
maswavlebeli: _ waikiTxeT gakveTilis teqsti saxelmZRvaneloSi da mipasuxeT kiTxvebze:
 ra saxis Canawers ewodeba standartuli saxis Canaweri?
 ras gviCvenebs ricxvis rigi mis standartul CanawerSi?
el. dafaze an plakatze aqvs gamotanili sqema:
რიგი
a 10n , სადაც 1  a  10.
 rogor Seadareb standartuli saxiT Caweril toli rigis mqone ricxvebs?

 ras gviCvenebs ricxvis standartuli saxiT CanawerSi dadebiTi didi rigi?
ras gviCvenebs ricxvis standartuli saxiT CanawerSi moduliT didi uaryofiTi rigi?
40
V. ganmtkiceba
1) (zepirad) warmoadgine standartuli saxiT ricxvebi (aCvenebs el.dafaze):
690; 800; 28000; 0, 015; 0, 00000607.
2) CawereT standartuli saxiT: sapnis buStis garsis sisqe 0,000 000 06 sm-ia.
3) aris Tu ara qvemoT mocemuli ricxvebi standartuli saxiT Cawerili?
56 103 ; 0,56 103 ; 5, 6 103 ; 0, 0056 103.

(pasuxoben komentarebiT.)
saxelmZRvanelodan xsnian sav.#1,#2,#3,#4, #5,#9, wyvilebSi samuSao. #10.
ricxvis standartuli saxiT Caweris algoriTmis Sedgena
maswavlebelTan erTad adgenen ricxvis standartuli saxiT Caweris algoriTms:
1) mocemul a ricxvSi mZime ise davsvaT, rom mTel nawilSi aRmoCndes nulisagan gansxvavebuli erTi cifri;
2) davTvaloT, ramden cifrze gadavitaneT mZime;
3) ganvsazRroT ricxvis n rigis niSani.
Semowmeba sakvanZo sityva `yoCaRis~ mixedviT I variantSi da sakvanZo sityva _ `bravos~ mixedviT me-2 variantSi.)
cxrilSi savaraudo pasuxebidan mocemuli ricxvisTvis SearCieT swori standartuli Canaweri. SerCeuli pasuxebis gaswvriv
dawerili asoebi amowereT rveulSi
41
I varianti II varianti
1) 560 5, 6 102 p 1) 120 1, 2 102 p
5, 6 102 y 12 101 y
#1
56 101 b #2 1, 2 102 b
2) 0,0072 7, 2 103 w 2) 0,0036 3, 6 103 w
0, 72 10 2 r
3, 6 103 r
7, 2 10 3 o
0,36 102 j
3) 0,000004 4 106 C 3) 0,000005 0,5 105 C
4 106 u
5 106 u
0, 4 105 t
5 10 6 a
4) 4 270 000 4, 27 105 e 4) 1 380 000 1,38 106 v
4, 27 106 a
1,38 105 e
0, 427 107 d
0,138 107 d
5) 25 000 000 2,5 107 R 5) 89 000 000 89 10 6 R
2,5 108 i 8,9 108 i
25 106 x 8,9 107 o
VII. refleqsia
_ ra iswavleT axali?
_ ras ewodeba ricxvis standartuli saxe?
42
_ raSi viyenebT ricxvis standartuli saxiT Caweras?
_ qvemoT warmodgenili ricxviTi monacemi Cawere aTobiT poziciur sistemaSi:
_ mecnierebma Seafases varskvlavebis raodenoba ìrmis naxtomSi~ da aRmoCnda, rom is 200 400 miliard mnaTobs Seicavs. Cawere
es ricxvi standartuli formiT.
_ sasargeblo iyo gakveTili? riT iyo sasargeblo?
_ yvela amocanis amoxsna SeZeli? romeli davaleba mogeCvena rTuli? advili? yvelaze saintereso?
VIII. saSinao davaleba. sav.#6, #7, #8, #12.
meore gakveTili
mizani:
 ricxvis standartuli formiT Caweris Sesaxeb miRebuli codnis ganmtkiceba/gaRrmaveba;
 standartuli formiT Caweril ricxvebze moqmedebebis Sesruleba;
 ricxvis standartuli formiT Caweris codnis gamoyeneba realur situaciaSi;
 standartuli formiT mocemuli ricxvebis Semcveli amocanebis amoxsna;
 kompleqsuri davalebis Sesruleba.
moswavlem unda icodes ricxvis Cawera standartuli formiT da masze moqmedebebi.
unda SeeZlos SeZenili codnis gamoyeneba amocanebis amosaxsnelad.
II. winare codnis gaaqtiureba, codnis gaRrmaveba
maswavlebeli: _ vagrZelebT standartuli ricxvis Sesaxeb codnis gaRrmavebas.
_ ra saxis Canawers ewodeba ricxvis standartuli formis Canaweri?
_ rogor CavweroT ricxvi standartuli formiT?
_ rogor SevadaroT toli rigis mqone ricxvebi?
_ rogor SevadaroT aratoli rigis mqone ricxvebi?
_ davfiqrdeT imaze, Tu rogor SevasruloT standartuli formiT Caweril ricxvebze gamravleba-gayofis moqmedebebi.
amovxsnaT magaliTebi:
a) (3,4 · 10-7) · (3 · 10-4)= (3,4 · 3) · (10-7· 10-4) = 10,2 · 10-11 = 1,02 · 10 · 10-11 =1,02 · 10-10.
b) (9, 9 10 3 ) : (1, 2 10 1 )  8, 25  (10 3 :10 1 )  8, 25 10 4.
amovxsnaT amocanebi.
1) sinaTlis sxivi 1wm-Si 300000km-s gairbens. weliwadSi 30000000 wm-ia. ra manZils gairbens sinaTlis sxivi 1 wlis
ganmavlobaSi? (am manZils sinaTlis wels uwodeben.) pasuxi warmoadgineT standartuli Canaweris saxiT.
    
amoxsna:(aCvenebs el. dafaze) 3 105  3 107   3  3  105 107  9 1012 (km). pasuxi: 9 1012 km.
43
2) andromedas nisleuli (andromedis galaqtika _ uaxloesi spiraluri galaqtika, igive `mesie 31~) Cvengan, daaxloebiT, 2,5
milioni sinaTlis wliTaa daSorebuli. ramdeni kilometria andromedas nisleulidan Cvenamde? pasuxi warmoadgineT
standartuli Canaweris saxiT.
amoxsna: wina amocanis amoxsnis Sedegis gaTvaliswinebiT (sinaTlis sxivi 1 w-Si 9 1012 km-s gadis) advilad gamoviTvliT, ra
    
manZilia andromedas nisleulidan Cvenamde. 2, 5 106  9 1012   2, 5  9   106 1012  22,5 1018  2, 25 1019 (km). pasuxi: 2, 25 1019 km.
3) mecnierebma daagines, rom andromedas galaqtika iwonis daaxloebiT 7,11011 mzis masas. warmodgenili ricxviTi monacemi
Cawere aTobiT poziciur sistemaSi. ( 1,989 1030 kg).
4) CawereT standartuli saxiT mocemuli ricxvebi: (ekranze aCvenebs Canawers. moswavleebi morigeobiT gamodian dafasTan da
asruleben davaleba.).
milioni _ 1 000 000
miliardi _ 1 000 000 000
trilioni _ 1 000 000 000 000
kvadrilioni _ 1 000 000 000 000 000
kvintilioni _ 1 000 000 000 000 000 000
seqstilioni _ 1 000 000 000 000 000 000 000
septilioni _ 1 000 000 000 000 000 000 000 000
oqtilioni _ 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000
nonilioni _ 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
decilioni _ 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
5) saxelmZRvanelodan xsnian #11, #13, #14 savarjiSoebs.
6) 1961 wlis 12 aprils pirvelad gafrinda adamiani kosmosSi. xomaldis bortze 108 wT-is ganmavlobaSi imyofeboda mfrinavi
_ iuri gagarini. xomaldi 28 000km/sT siCqariT moZraobda dedamiwis garSemo. a) ramdeni kilometri ifrina xomaldma? b) xo-
maldis siCqare gamosaxe standartuli saxiT.
7) venera dedamiwis uaxloesi mezobeli planetaa mzis sistemaSi. is mzisgan daSorebulia 108 mln kilometriT. gamosaxeT
veneradan mzemde manZili standartuli saxiT.
maswavlebeli: _ Cven amovxseniT ori amocana, romlebSic msoflio mecnierebis didi miRwevebia gamoxatuli. es miRwevebi ki
maTematikis gareSe ar iarsebebda. maTematika gvWirdeba yvelgan, yovel nabijze.
8) amovxsnaT amocanebi Cveni qveynis Sesaxeb mopovebuli ricxobrivi monacemebiT.
klass yofs 4-5-kacian jgufebad da aZlevs baraTebs davalebebiT):
III. jgufuri samuSao (muSaoben kompleqsur davalebaze. masala momzadebulia sami jgufisTvis)
I jgufi
1) saqarTvelos teritoria 69700kv.km-ia. sazRvris sigrZea 1771 km, saidanac 1461 km saxmeleTo sazRvaria, xolo 310km
sazRvao. CawereT es ricxobrivi monacemebi standartuli saxiT.
44
2) 2007 wlis monacemebiT qveynis SeiaraRebul ZalebSi 37 000 samxedro mosamsaxure iyo, xolo rezervSi _ 60000 adamiani. Cawe-
reT es ricxobrivi monacemebi standartuli saxiT.
3) qveynis sazRvris ramdeni procentia saxmeleTo sazRvari?
II jgufi
1) saqarTvelos mcenareTa samyaro 13300 saxeobas iTvlis. maTgan Teslovania 4225, mRierebi _ 650. CawereT es ricxobrivi
monacemebi standartuli formiT.
2) 2017 wlis monacemebiT saqarTvelos mosaxleobaa 3718200. maTgan TbilisSi 1108717. CawereT es ricxobrivi monacemebi
standartuli formiT.
3) saqarTvelos mosaxleobis ramdeni procenti cxovrobs TbilisSi?
III jgufi
1) Tbilisis Semdeg mosaxleoba yvelaze metia baTumSi _ 152839. qalaqebs Sori yvelaze mcire mosaxleobaa WiaTuraSi
-12803. CawereT es ricxobrivi monacemebi standartuli formiT.
2) 2017 wlis monacemebiT saqarTvelos mosaxleoba Seadgens 3718200 adamians. romlis 86%
qarTvelia. qarTveli erovnebis ramdeni adamiani cxovrobs saqrTveloSi?
3) meore msoflio omma 50000000 adamiani Seiwira. CawereT es ricxobrivi monacemi standartuli formiT.
IV. refleqsia
maswavlebeli: _ gakveTili dasasruls uaxlovdeba. gTxovT gaixsenoT:
 ris Sesaxeb visaubreT dRes?
 ra praqtikuli Cveva gamogimuSadaT?
 ricxvis rogor Canawers hqvia standartuli saxis?
 ras ewodeba ricxvis rigi?
 rogori SeiZleba iyos ricxvis rigi?
ra ganwyoba gaqvT gakveTilis Semdeg?
V. saSinao davaleba
sav. #15, #16, #17 an moiZieT sxvadasxva wyarodan praqtikuli amocanebi (daaxloebiT, 5 amocana) standartul ricxvebze
moqmedebebis gamoyenebaze. dawereT da amoxseniT.
sav.#11 a) 1t= 103 kg= 103 103 g= 106 g, amitom 5, 7 103 t = 5, 7 103 106 g= 5, 7 109 g;
b) 1km= 103 m= 103 10 2 sm= 105 sm, amitom 1, 6 104 km = 1, 6 104 105 sm = 1, 6 10 sm;
45
g) 1kg= 10 3 t, amitom 4,1 101 kg = 4,1 101 10 3 t = 4,1 104 t.
sav.#12. a) 5; b) n  1. sav.#19. 9842 -is 10-ze gayofis naSTi igivea, rac 842 -is naSTi. 9842  9840  2 . 82 bolovdeba 4-iT. 6  4  24.
pasuxi: 9842 -is aTobiTi Canaweri 4-iT bolovdeba.
sav.#20. a) 386  9 43 , amitom am ricxvis 8-ze gayofis naSTia1, e.i. 386  1 iyofa 8-ze;
b) 738  4919 , amitom am ricxvis 8-ze gayofis naSTia1, e. i. 7 38  1 ar iyofa 8-ze.
aba, scade!. 8+79+780+7781+77782+777783=(7+1)+(77+2)+(777+3)+(7777+4)+(77777+5)+
+(777777+6)= (7+77+777+7777+77777+777777)+(1+2+3+4+5+6).
rogorc vxedavT, es jami 7-is jeradia. pasuxi: naSTi 0-ia.
$1.6 mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi (3 sT)

Tema: mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi (3 sT)
TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi: mTelmaCveneblian xarisxis Tvisebebi naturalurmaCvenebliani
xarisxis Tvisebebidan gamomdinareobs.

dakavSirebuli mkvidri  tolfuZiani  rogor ganimarteba ricxvis (Sesruldeba TemisTvis
warmodgenebi: xarisxebis a) namravli; uaryofiTi xarisxi? gamoyofil mesame
 aranulovani ricxvis uaryo- b) fardoba;  ris tolia aranulovani saaTze)
fiTi xarisxi Sebrunebuli  a)namravlis; b) ricxvis nuli xarisxi? asruleben mesame
ricxvis mopirdapire xarisxia; gakveTilis scenarSi
fardobis g) xarisxis  ras udris tolfuZiani xari-
 aranulovani ricxvis nuli axarisxeba. mocemuli damou-
sxebis a) namravlis; b)fardo-
kidebeli samuSaos
xarisxi 1-is tolia.  xarisxis Semcveli ga- bis xarisxis maCvenebeli?
masalis mixedviT.
 mTelmaCveneblian xarisxs na- mosaxulebis a) gamo-  ras udris xarisxis
turalurmaCvenebliani xaris- Tvla; b)gamartiveba; maCvenebeli xarisxis axal
xis analogiuri Tvisebebi aqvs.  xarisxebis Sedareba. xarisxSi ayvanisas?
46
paragrafis mizani:
 mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebis gacnoba;
 mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebis gamoyeneba gamoTvlebsa da gamosaxulebis gamartivebaSi.
meToduri rekomendaciebi. mocemul paragrafSi moswavle iRebs met codnas ricxvis naturalurmaCvenebliani xarisxis
Sesaxeb, ecnoba mis Tvisebebs, swavlobs am Tvisebebis gamoyenebas gamoTvlebsa da igivur gardaqmnebSi.
moswavles ar gauWirdeba ricxvis mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebis damaxsovreba, radgan ician naturalurmaCve-
nebliani xarisxis Tvisebebi.
maswavlebeli gakveTils iwyebs ricxvis naturalurmaCvenebliani xarisxis Tvisebebis gaxsenebiT. dafaze weren Sesabamis
tolobebs. amis Semdeg moswavleebs damoukideblad SeuZliaT pasuxis gacema kiTxvaze: marTebulia Tu ara ricxvis natura-
lurmaCvenebliani xarisxis Tviseba nebismieri mTelmaCvenebliani xarisxisaTvis? (jer SeiZleba micemuli iqnas a m  a n  a m  n
Tviseba romelime konkretul magaliTze, risTvisac maswavlebeli moswavles miscems miTiTebas, rom gamoiyenos ricxvis mTe-
li uaryofiTmaCvenebliani xarisxis ganmarteba da ricxvis naturalurmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi. bolos maswavlebeli
dafaze mainc erTian saxes aZlevs masalis gadmocemas jer konkretul magaliTze, Semdeg zogadad.
pirveli gakveTili daeTmoba Tvisebebis Seswavlas, meore da mesame maTs gamoyenebas gamosaxulebaTa mniSvnelobis
gamoTvlasa da gamartivebaSi.
pirveli gakveTili
mizani:
 mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebis gacnoba;
 mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebis gamoyeneba gamosaxulebis gamartivebisas;
 mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebis gamoyeneba gamosaxulebis mniSvnelobis gamoTvlisas.
gakveTilis dasrulebis Semdeg moswavlem unda icodes: mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi. unda SeeZlos:
mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi gamoyeneba gamosaxulebis gamartivebisas da gamosaxulebis mniSvnelobis gamoTvlisas
 
_ gavixsenoT, ras warmoadgens xarisxi naturaluri maCvenebliT.  a  a  a  a  ...  a 
n

 n 
_ a -s ra mniSvnelobisTvisaa a (sadac a  0 da n mTeli ricxvia)gamosaxulebis mniSvneloba dadebiTi ricxvi? uaryofiTi
n
ricxvi?
47
pasuxoben:
 roca a  0 , maSin n -is nebismieri mniSvnelobisaTvis a n >0;
 roca a  0 , maSin n -is kenti mniSvnelobisaTvis a n <0;
 roca a  0 , maSin n -is luwi mniSvnelobisaTvis a n >0.
_ zepirad amovxsnaT ramdenime magaliTi: 23, 34, (-5)2, -52, (-3)3
_ gavixsenoT naturalurmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi.
ekranze gamoitans( an dafaze weren) formulebs da sityvieradac Camoayalibeben:
1. a m  a n  a m  n ;
2. ( );
3. ;
4. ;
a a
n
5.    n , ( b  0).
b b
_ amovxsnaT magaliTebi naturalurmaCvenebliani xarisxis Tvisebebis gamoyenebiT:
23 · 24 = 23+4 = 27 = 128;
26 : 24 = 26-4 = 22 = 4;
(32) 3= 32•3 = 36 = 729;
(2· 3)4 = 24 · 3 4 = 16 · 81= 1296.
III. gakveTilis Temisa da miznis gacnoba

maswavlebeli: _ vis SeuZlia 2-3· 2-4 namravlis gamoTvla? (msurveli, ra Tqma unda, iqneba. gamomsvlelma unda axsnas, rogor
gamoTvala.)
_ vin gvetyvis, ra aris Cveni gakveTilis Tema da mizani?
maswavlebeli Segnebulad awerinebs magaliTebs ganxiluli magaliTebis mixedviT da amoxsnas ki awerinebs msgavsi
naturalurmaCveneblianis qvemoT, raTa Sedareba-SepirapirebisTvis suraTi naTeli iyos.
mosalodnelia, mTelmaCvenebliani xarisxis ganmartebaze dayrdnobiT amoxsnan.
48
dafaze Canawerebs aseTi saxe eqneba:
23  24  23 4  27  128.
1 1 1 1 1
23  24  3  4  3 4  7   27.
2 2 2 2 128
_ SevZlebT Tu ara erTnairfuZiani mTelmaCvenebliani xarisxebis gamravlebis wesis Camoyalibebas?
moswavleebi gamoTqvamen azrs, xsnian magaliTebs da, Sesabamisad, ayalibeben erTnairfuZiani mTelmaCvenebliani xarisxebis
gayofisa da xarisxis axarisxebis wesebs.
_ rogorc vxedavT, xarisxis yvela Tviseba, rac Cven viswavleT, samarTliania uaryofiTmaCvenebliani xarisxi SemTxvevaSic.
V. ganmtkiceba
a) maswavlebeli sTavazobs, moswavleebma naxon saxelmZRvanelos 1-li, me-2 da me-3 magaliTebis amoxsna da ganixilon rogoraa
amoxsnili TiToeuli magaliTi..
b) saxelmZRvanelodan xsnian sav.#1, #2, #4.
I varianti:
1) daalage zrdis mixedviT ricxvebi: (0,3) ; (0,3) ; (0,3) ;(0,3)5.
0 -5 3
2) gamoTvale gamosaxulebis mniSvneloba: a) 24  26 ; b) 3-7:3-8;

II varianti:
1) daalage klebis mixedviT ricxvebi: (0,2)0; (0,2)-5; (0,2)3;(0,2)5.
2) gamoTvale gamosaxulebis mniSvneloba: a) 34  36 ; b) 23 : 2 2 ; g) 48  4 11 : 4 3 .

VII. refleqsia
_ ra viswavleT dRes? (gamoikiTxavs wesebs. paralelurad dafaze weren formulebs.)
_ rogori xarisxis Tvisebebi vicodiT aqamde?
formulebis saxiT aCvenebs ekranze mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebs.
afasebs moswavleebs aqtiurobisa da damoukideblad muSaobis Sedegebis mixedviT.
VIII. saSinao davaleba sav.#4, #5, #8, #24.
49
me-2 gakveTili
mizani:
1) mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebis Sesaxeb miRebuli codnis gamoyeneba gamoTvlebsa da gardaqmnebSi;
2) Sesaswavl masalaSi arsebiTis, mTavris gamoyofisa da amoxsnis racionaluri xerxis moZebnis, faqtebis Seswavlis unarebis
ganviTareba;
3) sagnisadmi interesis amaRleba;
4) sakuTari Tavisadmi kritikuli damokidebulebis, SemoqmedebiTi aqtivobis, yuradRebis mobilizebis unaris ganviTareba.
resursebi: ekrani, proeqtori, kompiuteri; baraTebi davalebiT.
maswavlebeli kiTxulobs romeli moswavle aklia da arkvevs gacdenis mizezs. amowmebs saSinao davalebas, muSaoben saSinao
davalebaSi arsebul problemebze.
maswavlebeli: _ gavimeoroT, rac wina gakveTilze viswavleT da gaviRrmaoT codna.
_ ra viswavleT wina gakveTilze?
_ ras udris ricxvi uaryofiT xarisxSi?
_ ras udris ricxvi nul xarisxSi?
_ ra Tvisebebi aqvs mTelmaCveneblian xarisxs?
_ me davasaxeleb xarisxs da visac vaniSneb, is zepirad mipasuxebs. Tu swori pasuxi miviRe, Tqven aswevT marjvena xels,
Tu araswori, marcxena xels. viwyebT (asaxelebs xarisxebs):
(-6)2, 23, 34, 2-3, -52, (-3)3.
III. gakveTilis Temisa da miznis dasaxeleba
maswavlebeli acnobs gakveTilis Temasa da mizans.
IV. ganmtkiceba
maswavlebeli: _ axla ki vnaxoT, rogor iyenebT Tqvens codnas gamosaxulebis mniSvnelobis gamoTvlasa da gamartivebaSi.
1) saxelmZRvanelodan xsnian sav. #5 (d-v), #6, #7,#9, #12, #13, #14.
2) muSaoben wyvilebSi (davalebis ori variantiT). Tu romelime wyvilma Secdoma dauSva, Secdomas asworeben dafaze.
50
wyvilebSi samuSao (baraTebiT)
daiyvaneT erT fuZeze da warmoadgineT xarisxis saxiT.
I varianti:
37  36 1 5
3
a) 3  81 ;  
b) 3 1 4
 81 ; 1
g) 8  4 ; 2
d)
96
; e) 4 2 16 3 ; v)
16
2 .
II varianti:
27  26
  1 4
4
a) 2 3  32 ; b) 51 125 ; g) 27 1  9 2 ; d) ; e) 32  813 ; v) 5
46 25
erTi magaliTi Sefasdeba 1 quliT. gamarjvebul wyvilSi orive moswavle Sefasdeba umaRlesi qulebiT.
V. gasameorebel sakiTxebze muSaoba
_ ra Tvisebebi aqvs wilads?
_ rogor wilads hqvia ukveci?
_ ra moqmedebas hqvia wiladis Sekveca?
_ wiladis ra Tvisebis safuZvelze ikveceba wiladi?
_ amoxseniT savarjiSoebi: #26, #28.
VI. saSinao davaleba sav#10, #11, #30, #31.
me-3 gakveTili
mizani: 1 ) mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebis Sesaxeb miRebuli codnis ganmtkiceba;
2 ) mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebis Sesaxeb miRebuli codnis Semowmeba.
1 1
1 4
1 m
1 n
,
,1
,
;
1
3
a) warmoadgineT uaryofiTi xarisxis saxiT:

b) wiladis saxiT warmoadgineT namravli: 5 ,  15 , a , 3b ,  3b  ,  b  .
3 1 6 5 5 5
  ,  b 
1 5 0
g) gaamartiveT gamosaxuleba: y 3 : y 5 , x 1  x 7 , 2 a 6 : 5a 3 , 3b 5  4b, 3b : 2b 2 .
III. ganmtkiceba
maswavlebeli dafaze an ekranze (SesaZleblobebis mixedviT) gamoitans magaliTebs :
51
1) gaamartiveT gamosaxuleba (moswavleebi muSaoben rveulebSi):
a) 6,5 x 0 y 5  4 x 2 y 6 ; b) 26 x 4 y 4  0,5 x 2 y 1.

2
 1 
   
3 2
2) warmoadgine namravlis saxiT: a) 0, 7m 4 n 3 ; b)  1 ef 3  ; g) 0, 5 x  2, 4 y 2 x 1 .
 5 
saxelmZRvanelodan xsnian #16, #17, #18, #29 savarjiSoebs.
IV. damoukidebeli samuSao (asruleben kompleqsur davalebas)
mizani:
 aTvisebis donis Semowmeba, daSvebuli Secdomebis gasworeba;
 TviTregulacia. SesaZleblobebis mobilizeba;.
I varianti:
5 2 2
a b :  25a 3b 4  .
1
1) gaamartive gamosaxuleba: a) 6a 2b 2  2,5a  3b 4 ; b)
6
2
 1 1 3 
 0, 3a b  2 2
 
2
2) Cawere namravlis saxiT: a) 2
; b)  m n  ; g) 2 x 2  3 x 3 y 1 .
4 
II varianti:
1
3 
b)  a 2b 3  :  5a 2b3  .
3 1 2 3 2
1) gaamartive gamosaxuleba: 1) a) 4a b  2,5a b ;
4 
3
1 
 0, 4a 2 3 3
  .
2
2) Cawere namravlis saxiT: a) b ; b)  m 2 n 2  ; g) 3 x 2  4 x 2 y 3
3 
moswavleebi wyvilebSi cvlian nawerebs. maswavlebels gamoaqvs pasuxebi. moswavleebi afiqsireben mewyviles naSromSi aR-
moCenil Secdomebsa da xarvezebs. Semowmebis Semdeg dafaze asworeben Secdomebs.
V. saSinao davaleba sav. #15,#19,#27.
52
2x 2x 2x 1
 42   163   46   2 
2 2
sav.#15. T)  3    2    2    44   48 x  216 x. i)   0, 75          22.
2x 3 2 1
 16  4  4   3   4 3 4

5a
sav.#21. a)  53 , 5a b  53 , a  b  3;
5 b
a 2b 1 2 81a 4b 2 81 22
sav.#22.     0,16.
c3 45 c6 452
sav.#30. a)15000; b)124.
sav.#31. 200.
Tavis mimoxilva

sav.#1. a) 20; b) 0.
1
sav.# 2a) 23 ; b) .
48 6
sav.# 5. a) 1; b) 13.
sav.# 6. a) 7; b) 2; g) 7.
sav.# 7. 24.
sav.# 8. 4 boTli zeTis SeZenis SemTxvevaSi, anu 14,4 larad myidveli or boTl zeTs damatebiT miiRebs, xolo darCenili 5.6
lariT kidev SeiZens erT boTl zeTs. maSasadame, myidvels 20 lariT 7 boTli zeTis SeZena SeuZlia da xurda darCeba 2 lari.
1
sav.# 9. 9 l marinadis mosamzadeblad 99 grami limonis mJavaa saWiro. 99 :15  6 . sul mcire, 7 paketi limonis mJavaa saWiro.
3
sav.# 11. d) 9 .
23
sav.# 13.1,4823•1020 .
sav.# 14. a) 9•105; b) 2•10-4; g)6,74•1023.
a 0,8a a
sav.# 16. vTqvaT, wiladi wiladi iyo . cvlilebebis Semdeg iqneboda  . e.i. wiladis sidide Semcirdeba 50%-iT.
b 1, 6b 2b
53
sav.# 17. vTqvaT, gias gasavleli aqvs S km, romelic daniSnulebis mixedviT t sT-Si unda gaiaros. amocanis pirobis mixedviT:
S S S
1   1  S  180. gias gasavleli aqvs 180 km, romelic  1  3 sT-Si unda gaiaros, raTa daTqmul droze, anu 10 sT +3sT-
45 90 90
ze mivides Sexvedraze. amisaTvis ki 60 km/sT siCqariT unda imoZraos. pasuxi: a)180 km; b)13 sT: g) 60 km/sT.
sav.# 18. 8 weli.
sav.# 19. 600, 500, 700.
sav.# 20. vTqvaT, normiT dReSi x m3 grunti unda amoeRo. amocanis pirobis mixedviT vwerT gantolebas: 26 x  19  x  70   x  190.
pasuxi: dRiuri normaa 190 m3.
sav.# 21. 48m, 16m.
sav.# 22. 21%- iT.
sav.# 23. 68%-iT.
sav.# 24. 111.
sav.# 25. 3.
sav.26. 10.
sav.27. 2,4 wuTSi.
sav.28. 15.
sav.29. 20.
sav.30. 9sT.
sav.31. 7kg-s.
SeniSvna: jgufuri samuSao. mocemulia samuSaos erTi varianti. maswavlebeli sxva variantebSi jgufebis raodenobis
mixedviT) ricxobriv monacemebs Secvlis.
testi #1
#1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8 #9 #10 #11 #12 #13

d g a g b g a b d a b d b
#14 #15 #16 #17 #18 #19 #20 #21 #22 #23 #24 #25
g d b g d g a d g g a a
54
Semajamebeli samuSao #1
I varianti
1) a ricxvis 15-ze gayofisas miiReba naSTi 13, xolo b ricxvis 15 gayofisas _ naSTi 11. ra naSTi miiReba a  b -s 15-ze
gayofisas?
4
2
2) gamoTvale: a)    25  32 ; b) 2  10 4  3  10 2  5  100  7  10 1  7  10 3 .
3
2
 3a  b3
3) gaamartive da gamoTvale:  2   , roca a  0, 25, b  4.
 b   9a 
1
4) Cawere ukveci wiladis saxiT: a) 0,(27); b) 0,12(3).
5) mocemuli sami dadebiTi ricxvidan pirveli ricxvi 6-iT metia meoreze, xolo mesame ricxvi 2-jer metia pirvelze. Cawere
am sami ricxvis jami, Tu maT Soris umciresi ricxvi a_3-is tolia.
II varianti
1) a ricxvis 17-ze gayofisas miiReba naSTi 15, xolo b ricxvis 17-z gayofisas _ naSTi 13. ra naSTi miiReba a  b -s 17-ze
gayofisas?
5
3
2) gamoTvale: a)    24  34 ; b) 3 10 4  2 103  5 101  8 10 1  4 10 3 .
2
2
 a 1  a 3
3) gaamartive da gamoTvale  2   , roca a  0, 25, b  0, 2.
 4b   2b 
5
4) Cawere ukveci wiladis saxiT: a) 0,(18); b) 0,9 (39).

5) mocemuli sami dadebiTi ricxvidan pirveli ricxvi 8-iT metia meoreze, xolo mesame ricxvi 3-jer metia pirvelze. Cawere am
sami ricxvis jami, Tu maT Soris umciresi ricxvi n  1 -is tolia.
55
ganmsazRvreli Sefasebis sqema
1) dawera swori pasuxi (8; 8) -1qula;

daasabuTa (Tanamamravlebi SegviZlia SevcvaloT naSTebiT. naSTebis namravlia 143, xolo 143-is 15-ze gayofiT miiReba naSTi 8)
---1 qula, sul --- 2qula.
2) sworad moZebnil TiToeul swor gamoTvlaze TiTo qula.
2
( pasuxebia: I-Si: a) 18; b)20305,707; me-2-Si: a) ; b) 32050,804 ) --- sul 2 qula.
3
1 1
3) sworad gaamartiva mocemuli gamosaxuleba (miiRo ; ) ---1qula, Casva da
ab 2ab
gamoTvala (miiRo 1; 10) ---1 qula. --- sul 2 qula.
4) TiToeul swor pasuxSi TiTo qula --- sul 2qula;
5) amoicno meore ricxvi --- 0,5 qula;
gamosaxa pirveli da mesame ricxvebi --- 1qula;
gamoTvala jami  4a  6; 5n  27  -0,5qula. --- sul 2 qula.
Sefasebis sqema qulebis mixedviT
qulebi 1-2-3-4 5-6 7-8 9-10
Sefaseba aradamakmayofilebeli damakmayofilebeli kargi sanimuSo
56
ganmaviTarebeli Sefasebis sqema
sakiTxebi aradamakmay. damakmayofilebeli kargi sanimuSo
naSTTa ar icis namravlis icis namravlis naSTis icis namravlis naSTis sworad da dasabuTebiT
ariTmetika. naSTis gamoTvlis wesi gamoTvlis wesi, magram gamoTvlis wesi, axerxebs iTvlis namravlis naSTs.
da ver axerxebs ver axerxebs am wesis am wesis gamoyenebas, zo-
davalebis Sesrulebas. gamoyenebas. gjer uSvebs Secdomas.
ricxvis mTelma- ver axerxebs uaryo- nawilobriv axerxebs axerxebs gamoTvlebis uSecdomod, Seuferxeb-
Cvenebliani xaris- fiTmaCvenebliani xa- gamoTvlebis Sesrule- Sesrulebas. sworad lad iTvlis gamosaxu-
xi da misi Tvi- risxis gamoTvlas, ar bas. zogjer sworad iT- iTvlis xarisxs, ar eSleba lebis mniSvnelobas.
sebebi. icis xarisxis Tvisebe- vlis xarisxs, zogjer xarisxis Tvisebebi.
bi. eSleba.
ar esmis cnebebis, de- SeuZlia martivi cnebe- esmis cnebebisa da termi- kargad esmis cnebebisa da
bulebebis arsi, ver bisa da terminebis nebis arsi. axerxebs maT terminebis arsi. axerxebs
ricxvis Cawera gansazRvravs maTi ga- interpretacia. ver intepretacias, arCevs maT sworad gamoyenebas .
10-is xarisxebiT. moyenebis areals, ver axerxebs maT sworad gamoyenebis strategias logikurad, Tanmimdev-
wers 10-is xarisxebiT gamoyenebas , uSvebs da sworad iyenebs codnas rulad wers.
Caweril ricxvs. Secdomebs. .
ar aqvs analizisa da icis wminda periodli adgens kavSirebs da sworad adgens kavSirebs
gamosaxulebis sinTezis unari. ar aTwiladis Cawera wila- mimarTebebs Semoklebul da mimarTebebs sxva
gamartiveba, icis Semoklebuli gam- dis saxiT, magram Se- gamravlebis struqturebTan, proble-
mniSvnelobis ravlebis formulebi, reulis SemTxvevaSi uS- formulebTan, problemis mis gadaWrisas iyenebs
gamoTvla. ar icis perioduli aT- vebs Secdomebs. ar aqvs gadaWrisas iyenebs analizisa da sinTezis
wiladis wiladis saxiT analizisa da sinTezis analizisa da sinTezis unars .
Cawera, ver kvecs. unari. unars.
davalebis gaazre- ver iazrebs davalebas, nawilobriv aRiqvams aRiqvams amocanis Sina- kargad aRiqvams amocanis
ba, maTematikuri ver axerxebs monaceme- amocanis Sinaarss. arss. gamijnavs monacemTa Sinaarss. gamijnavs mona-
obieqtebis warmo- bisa da saZiebeli sidi- nawilobriv axerxebs moda saZiebel sidideebs. cemebsa da saZiebel sidi-
dgena maTematiku- deebis organizebas da nacemTa da saZiebel axerxebs maT organizebas deebs. kargad axerxebs
ri modelis warmodgenas, ver sidideTa organizebasa da warmodgenas modelis maTematikuri modelis
Sedgena. adgens maTematikur da warmodgenas. saxiT. sworad warmodgenas.
models.
57
Tavi 2
mravalkuTxedebi
Tavis mizani vaswavloT moswavles:
 centruli simetria da mobruneba, maTi Tvisebebi;
 wrfeTa paralelobis niSnebi da paralelur wrfeTa Tvisebebi;
 Talesis Teorema;
 samkuTxedisa da trapeciis Sua xazis Tvisebebi;
 amozneqili mravalkuTxedis kuTxeebis sidideTa jamis gamoTvla;
 paralelogramis Tvisebebi da niSnebi;
 marTkuTxedis Tvisebebi;
 rombis Tvisebebi;
 trapecia, trapeciis saxeebi: tolferda trapecia, marTkuTxa trapecia da maTi Tvisebebi.
Tavis Seswavlis Semdeg moswavlem unda icodes:
 ra saxis gardaqmnaa mobruneba; centruli simetria;
 mobrunebisa da centruli simetriis Tvisebebi;
 mocemuli centris mimarT mocemuli figuris simetriuli figuris agebis algoriTmi;
 mocemuli centris mimarT mocemuli kuTxiT figuris mobrunebiT miRebuli figuris agebis algoriTmi;
 amozneqili mravalkuTxedis kuTxeebis sidideTa jamis gamosaTvleli formula;
 paralelogramis, marTkuTxedis, kvadratis, rombis gverdebis, diagonalebisa da kuTxeebis Tvisebebi;
 tolferda da marTkuTxa trapeciebis gansazRvreba da Tvisebebi;
 Talesis Teorema;
 samkuTxedisa da trapeciis Sua xazebis gansazRvreba da Tvisebebi.
Tavis Seswavlis Semdeg moswavles unda SeeZlos:
 centris mimarT simetriuli wertilebisa da figurebis amocnoba, ageba;
 mobrunebiT miRebuli figurebis amocnoba da ageba;
 wrfeTa paralelobis niSnebisa da paralelur wrfeTa Tvisebebis gamoyeneba;
 oTxkuTxedebis saerTo da ganmasxvavebeli Tvisebebis gamoyeneba Teoremebis damtkicebasa da amocanebis amoxsnisas;
 Talesis Teoremis damtkiceba, gamoyeneba;
58
 monakveTis tol nawilebad dayofa;
 samkuTxedisa da trapeciis Sua xazis Sesaxeb Teoremebis damtkiceba da gamoyeneba;
 oTxkuTxedebis klasifikacia;
 paralelogramis, marTkuTxedis, rombis, kvadratis, trapeciis Tvisebebis damtkiceba da gamoyeneba;
 amozneqili mravalkuTxedis kuTxeebis jamis daTvla;
 amocanis pirobis mixedviT naxazis Sedgena.
$2.1 simetria centris mimarT (2 sT.)
mimarTuleba: geometria
Tema: centruli simetria
TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi: centruli simetriiT figura tol figuraSi gadadis.
samizne cnebebi da maTTan sakiTxi/qvecneba sakvanZo kompleqsuri davaleba

dakavSirebuli mkvidri  wertilis simetriuli SekiTxva/SekiTxvebi: (Sesruldeba TemisTvis
warmodgenebi: wertilis ageba;  rogor avagoT mocemuli gamoyofil meore saaTze)
 simetriis centri _ wertili,  monakveTis simetriuli centris mimarT wertilis asruleben meore
romlis mimarT figura monakveTis ageba; simetriuli wertili? gakveTilis scenarSi
simetriulia; xarisxi? mocemuli jgufuri
 figuris simetriuli
 centruli  rogor avagoT mocemuli samuSaos masalis
figuris ageba;
simetria_sibrtyis centris mimarT mixedviT.
 centruladsimetriuli
TavisTavze asaxva romlis figurebis amocnoba. mravalkuTxedis
dros yoveli wertili simetriuli
centris mimarT simetriul mravalkuTxedi?
wertilSi gadadis;  arsebobs Tu ara
 centruladsimetriuli centruladsimetriuli
figura-figura, romelsac samkuTxedi? oTxkuTxedi?
aqvs simetriis centri.
59
pirveli gakveTili
mizani:
 centris mimarT simetriis cnebis gacnoba;
 simetriis, rogorc geometriuli figuris Tvisebis ganxilva;
 centris mimarT simetriuli wertilebisa da figurebis amocnoba da ageba;
 yuradRebisa da logikuri azrovnebis ganviTareba;
 maTematikisadmi interesis gaRviveba.
paragrafis Seswavlis semdeg moswavles unda SeeZlos:
 centruladsimetriuli figurebis amocnoba;
 mocemuli figuris mocemuli centris mimarT simetriuli figuris ageba.
saWiro masala: proeqtori, ekrani, arasruli winadadebebi, naxazebi.
II. winare codnis gaaqtiureba, gakveTilis Temis gacnoba
maswavlebeli: _ gavixsenoT, ra viciT im sakiTxebis Sesaxeb, rac Cven dRes dagvWirdeba axali masalis asaxsnelad. amisaTvis
1) mocemul arasrul winadadebebSi unda CasvaT gamotovebuli sityva an sityvebi.
maswavlebels ekranze gamoaqvs winadadebebi:
 Tu furcels, romelzec ori figuraa daxazuli, romelime wrfeze gadavkecavT da es ori figura erTmaneTs daemTxveva,
vityviT, rom es figurebi . . . wrfis mimarT.
 Tu figura romelime wrfiT or simetriul nawilad iyofa, maSin am figuras am . . . mimarT simetriuli ewodeba.
 wrfe, romlis mimarT figurebis nawilebi simetriulia, simetriis . . . ewodeba.
 sxivs, romelic kuTxis wverodan gamodis da mas Suaze yofs, kuTxis . . . ewodeba.
 kvadrats . . . simetriis RerZi aqvs.
 marTkuTxeds . . . simetriis RerZi aqvs.
 wrewirs . . . simetriis RerZi aqvs.
60
maswavlebeli: _ gavixsenoT, rogor unda avagoT mocemuli a
figuris simetriuli figura mocemuli RerZis mimarT da
SevasruloT agebebi. dafasTan gamosuli moswavle axsna-
ganmartebiT agebs mocemuli figuris simetriul figuras
a RerZis mimarT.
_ aageT samkuTxedi da misi simetriuli samkuTxedi romelime gverdis mimarT.

erTi moswavle muSaobs dafaze, danarCenebi damoukideblad asruleben naxazs rveulSi.
maswavlebeli: _ mixvdiT, albaT, ras Seexeba Cveni dRevandeli gakveTili. (pasuxoben.)
III. axali masalis axsna
masawvlebeli: _ dRes vagrZelebT codnis gaRrmavebas simetriis saxeebisa da Tvisebebis Sesaxeb.
rogorc iciT, simetria gvxvdeba yvelgan: bunebaSi, mecnierebaSi, teqnikaSi, xelovnebaSi da a. S. simetriis cnebas mravalsau-
kunovani istoria aqvs adamianis SemoqmedebaSi. ZvelTaganve iyenebda adamiani simetrias arqiteqturaSi. simetria harmoniu-
lobas aniWebs da dasrulebul saxes aZlevs Zvel cixe-simagreebs, Sua saukuneebis koSkebsa da Tanamedrove Senobebs. ra aris
simetria? germaneli mecnieris _ herman veilis sityvebiT getyviT: ` simetria is ideaa, romlis meSveobiTac adamiani saukune-
ebis manZilze cdilobs Seqmnas wesrigi, silamaze da srulyofileba~. (saubris paralelurad aCvenebs simetriis magaliTebs)
centris mimarT simetriaze warmodgena moswavlem imave sqemiT unda Seiqmnas, romliTac RerZuli simetriis. kerZod,
I. TvalsaCino warmodgenis Seqmna centris mimarT simetriaze sagnebis modelirebiT;
II. centris mimarT simetriuli wertilebis Tvisebis gacnoba da mocemuli wertilis simetriuli wertilis ageba mocemuli
centris mimarT (2-3 magaliTi);
III. wertilis mimarT simetriuli figurebis ageba.
ageben mocemuli figuris simetriul figuras mocemuli centris mimarT.
A
ganixilaven sxvadasxva SemTxvevas. magaliTad, simetriis centri oTxkuTxedis gareTaa
O
(nax.1),
A1
samkuTxedis wverozea (nax.2),
samkuTxedis SigniTaa (nax.3).
ageba unda Seasrulon rogorc badeebian, ise Tavisufal furclebze.
61
A1 B
B
C
B D1 A1 C1 A1
O
A
D B1
A O
C
nax.1 C1
nax.2
nax.3
A B1 B1
moswavleebs unda mieces figuris naxazis dasrulebis amocanebi agebaze:

a) misi nawilebiTa da simetriis centriT;
b) figuris simetriis centris povnaze.
IV. centrulad simetriuli figurebis gacnoba.
maswavlebeli aCvenebs figurebs, moswavleebi pouloben am figurebis simetriis centrebs. damoukideblad cdiloben
centrulad simetriuli figurebis cnebis Camoyalibebas.
IV. ganmtkiceba
1) maswavlebeli ekranze aCvenebs naxazebs da svams kiTxvebs:
 aris Tu ara mocemuli A da B wertilebi simetriuli O wertilis mimarT? (aCvenebs naxazebs.)
O
A O B
a) A O B b) A g)
B
62
 aqvs Tu ara simetriis centri monakveTs? wrfes? sxivs? Tu aqvs, ramdeni aqvs?
 TqvenTvis nacnobi romeli geometili figurebia centrulad simetriuli?
(pasuxis Semdeg aCvenebs naxazebs):
ganmtkicebis mizniT saxelmZRvanelodan xsnian sav.#,1, #3 ,#4, #7 _ zepirad; sav. #2-is Sesabamis naxazs dafaze asrulebs
sami gamoZaxebuli moswavle, danarCenebi muSaoben rveulebSi. maswavlebeli CamovliT amowmebs, rogor asruleben moswavle-
ebi naxazebs. saWiroebis mixedviT exmareba sirTulis daZlevasa da Secdomis gasworebaSi.
V. damoukidebeli samuSao
saxelmZRvanelodan sav. #8. (pasuxi: a)(5;4); b) (-5;4); g) (-5;-4).
VI. refleqsia
 figuraTa ra saxis gardaqmnebi ici?
 rogor gardaqmnas ewodeba simetria centris mimarT?
 rogor aageb mocemuli centris mimarT wer-tilis simetriul wertils?
 rogor aageb mocemuli centris mimarT monakveTis simetriul wertils? monakveTs?
 rogor aageb mocemuli centris mimarT mravalkuTxedis simetriul mravalkuTxeds?
 rogor figuras ewodeba centrulad simetriuli?
 ra wertilia monakveTis simetriis centri?
 ra wertilia kvadratis simetriis centri?
 ra wertilia marTkuTxedis simetriis centri?
VII. saSinao davaleba: sav.#5, #6, #16, #19.
me-2 gakveTili
miznebi:
 simetriis Sesaxeb miRebuli codnis ganmtkiceba, ganzogadeba;
 mocemuli centris mimarT mocemuli figuris simetriuli figuris ageba;
63
 centrul da RerZul simetriebs Soris kavSiris aRmoCena;
 yuradRebisa da logikuri azrovnebis ganviTareba;
 maTematikisadmi interesis gaRviveba.
meToduri komentarebi. figuris simetriasTan dakavSirebuli Tvisebebis Sesaxeb warmodgenis sistematizaciis mizniT,
sasargebloa, moswavles SevTavazoT iseTi savarjiSoebis Sesruleba, romlebSic erTdrouladaa ganxiluli RerZuli da
centruli simetriebi. magaliTad, vTxovoT, daasaxelos figurebi, romelTac gaaCniaT rogorc simetriis RerZi, ise _ sime-
triis centri. isini daasaxeleben wres, kvadrats, marTkuTxeds. maTi yuradReba unda gavamaxviloT imaze, rom am figurebs
simetriis mxolod erTi RerZi ki ara aqvT, aramed wres aqvs usasrulod bevri RerZi, marTkuTxeds _ 2, kvadrats _ 4.
kompleqsuri davaleba (jgufuri samuSao):
1) kvadrati gaWeriT erT-erT diagonalze da miRebuli samkuTxedebiT aageT figura, romelsac eqneba simetriis a) RerZi; b)
centri. daxazeT agebuli figurebi.
2) daxazeT figura, romelic xasiaTdeba Semdegi TvisebebiT:
a) figuras aqvs simetriis RerZic da centric;
b) figuras aqvs simetriis centri da ara aqvs simetriis RerZi;
g) figuras aqvs simetriis RerZi da ara aqvs simetriis centri.
d) daxazeT marTkuTxdi da Secvale simetriis RerZisa da simetriis centris mqone sxva
figuriT ise, rom miRebul figuras igive RerZebi da centri hqondes.
3) aage (eZleva furcelze Sesrulebuli nax.1):
A
a) B figura,romelic mocemuli A figuris simetriulia a RerZis mimarT;
b
b) C figura, romelic mocemuli A figuris simetriulia b RerZis mimarT.
samuSaos damTavrebis Semdeg Sedgeba namuSevrebis prezentacia.
mesame davalebasTan dakavsirebiT maswavlebeli svams kiTxvas:
a nax. 1
_kidev rogor SeiZleba A figurisgan C figuris miReba? (moismenen pasuxebs da Sesabamis
dasabuTebas.)
figurebis TanmimdevrobiT agebis Semdeg moswavleebi aRmoaCenen, rom C figura B figuris simetriulia a da b wrfeebis
gadakveTis wertilis mimarT.
sasurvelia, kvleva gaagrZelon. maswavlebels SeuZlia misces sxva figura da gaimeoron masze igive svlebi. amiT kidev
erTxel dainaxaven kavSirs centrul da RerZul simetriebs Soris, rac wina davalebebSi ukve naxes kvadratisa da
marTkuTxedis magaliTebze.
saSinao davaleba: sav. #10 , #15, #17, # 18.
64
sav.#8 a) abscisaTa RerZis mimarT A (5;4) wertilis simetriuli wertilis mosaZebnad A A2 A
wertilze unda gavavloT ordinatTa RerZis paraleluri wrfe da mis mier abscisaTa RerZTan 4
gadakveTis werilidan meore (qveda) mxares gadavzomoT 4 erTeuli. movniSnoT es wertili A1-
iT. es iqneba saZiebeli wertili koordinatebiT (5;-4). (ixileT me-2 naxazi)
b) ordinatTa RerZis mimarT A(5;4) wertilis simetriuli wertilis mosaZebnad A wertilze -2 -1 1 3 5
unda gavavloT abscisaTa RerZis paraleluri wrfe da mis mier ordinatTa RerZTan
gadakveTis werilidan meore mxares gadavzomoT 5 erTeuli. movniSnoT es wertili A2-iT. es
iqneba saZiebeli wertili koordinatebiT (-5;4). (ix.nax.2.)
-5
A1
g) aTvlis saTavis mimarT A(5;4) wertilis simetriuli wertilis mosaZebnad A wertilze da nax.2
aTvlis saTaveze, anu O wertilze gavavloT wrfe. saZiebeli wertili iqneba am wrfis wertili koordinatebiT (-5;-4).
sav. #9. muSaoben sakoordinato sibrtyeze mocemuli wertilis simetriuli wertilis agebaze.
sav.#10. (ix.nax.3) pasuxi: A1 (4;-5); B(1;-1); C1 (1;-3).
sav.#15. pasuxia   x  a;  y  b  . pasuxi ori gardaqmnis kompoziciis (Tanmimdevruli moqmedebis) 3
Sedegia. Tu moqmedebaTa rigs gadavanacvlebT (anu jer simetriiT, xolo Semdeg paraleluri
gadataniT), miviRebT  a  x; b  y  . es magaliTi gviCvenebs, rom centruli simetria da parale- 1 3 4
-2
-1
luri gadatana arakomutatiuri gardaqmnebia.
sav.#16. davalebis Sesrulebamde gaixseneben Semoklebuli gamravlebis formulebs. magali-
TebSi gamoviyenoT kvadratebis sxvaobis formula.
sav.#17_19 amocanebis amosaxsnelad moswavleebs davavaloT aagon venis diagramebi da -5
gaixsenon simravleTa gaerTianebaSi elementTa raodenobis gamosaTvleli formula:
nax.3
n  A  B   n  A  n  B   n  A  B .
sav.#20. vTqvaT, Tavdapirvelad wreSi gaerTianebuli iyo x moswavle. gogonebis raodenoba iqneboda 0,4 x , vaJebis _ 0,6 x .
ori gogonas damatebis Semdeg gogonebis raodenoba gaxdeboda 0,4 x +2. amocanis pirobiT: 0,4 x +2=0,5( x +2). saidanac x =10.
e.i. Tavdapirvelad wreSi gaerTianebuli iyo 10 moswavle, bolos _ 12.
65
$2.2 mobruneba da misi Tvisebebi (2 sT)
Tema: mobruneba
TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi: figuris mobrunebiT misi toli figura miiReba

dakavSirebuli mkvidri  wertilis mobrunebiT SekiTxva/SekiTxvebi: (Sesruldeba TemisTvis
warmodgenebi: miRebuli wertilis  rogor avagoT mocemuli gamoyofil meore saaTze)
 mobrunebis centri _ ageba; centris mimarT mocemuli asruleben meore
wertili, romlis mimarT  figuris mobrunebiT kuTxiT mobrunebiT gakveTilis scenarSi
sruldeba mobruneba; miRebuli figuris ageba; miRebuli wertilis a) mocemuli wyvilebSi
 mobruneba_sibrtyis wertili; b) figura. samuSaos masalis
 mobruneba koordinatTa
TavisTavze asaxva romlis  centruli simetria ra mixedviT.
saTavis mimarT;
dros yoveli wertili  saaTis isrebs Soris sididis kuTxiT
mobrunebis centris mimarT kuTxis dadgena. mobrunebaa?
mocemuli kuTxiT brundeba.  ra wertilSi gadava
mocemuli A wertili 360
gradusiT mobrunebiT?
pirveli gakveTili
mizani:
 mobrunebis cnebisa da Tvisebebis gacnoba;
 simetriis Sesaxeb miRebuli codnis gameoreba:
a)centris mimarT simetriuli wertilebis ageba;
b) RerZis mimarT simetriuli wertilebis ageba;
 maTematikisadmi interesis gaRviveba;
 xazvis unaris ganviTareba;
 analizisa da sinTezis, gonebrivi muSaobis unaris ganviTareba.
 moswavlem unda SeZlos:
66
 mobrunebiT miRebuli figuris amocnoba;
 mocemuli centris mimarT mocemuli kuTxiT figuris mobrunebiT miRebuli figuris ageba.
saWiro masala: testi, baraTebi gasameorebeli masaliT (damoukidebeli samuSao variantebad), gaferadebuli joxi an saxazavi.
komentari. moswavlem unda gaiazros, rom geometriuli kuTxisgan gansxvavebiT, mobrunebis kuTxe nebismieri (maT Soris
uaryofiTi) sidide SeiZleba iyos.(es garemoeba momavalSi maT gamoadgebaT trigonometriuli funqciebis gasaazreblad).
maswavlebels ekranze gamoaqvs davalebebi, razec moswavleebi damoukideblad muSaoben.
1) mocemulTgan romel figuras ara aqvs simetriis centri?
a) b) g) d)
2) mocemulTgan romel figuras ara aqvs simetriis RerZi?
3) simetriis ramdeni RerZi aqvs monakveTs?

a) erTi; b) ori; g) arc erTi; d) usasrulod bevri.
4) simetriis centri aqvs:
a) paralelograms; b) tolgverda samkuTxeds; g) trapecias; d) wesier xuTkuTxeds.
6) RerZuli simetriiT a wrfe, romelic simetriis RerZis marTobulia, aisaxeba
a) a wrfis paralelur wrfeze; b) a wrfis marTobul wrfeze;
g) Tavis Tavze; d) monakveTze.
moswavleebi wyvilebSi cvlian namuSevrebs. maswavlebels ekranze gamoaqvs pasuxebi. msjeloben aRmoCenil Secdomebze,
asworeben. TiToeuli davalebis sworad amoxsna Sefasdeba 1 quliT. (maqsimumi 6 qula)
simetriuli figurebis ageba
maswavlebeli moswavleebs urigebs baraTebs variantebad - rigebis mixedviT.
67
1) da 2) aage mocemuli figuris simetriuli figura a RerZis mimarT.
1) 2) a
II varianti
I varianti
IV varianti
III varianti
aage mocemuli samkuTxedis simetriuli
Seasrule paraleluri gadatana samkuTxedi O centris mimarT.
moswavleebi wyvilebSi cvlian namuSevrebs. maswavlebels ekranze gamoaqvs pasuxebi (davalebis mixedviT Sesrulebuli
naxazebi). msjeloben aRmoCenil Secdomebze, asworeben. TiToeuli naxazis sworad Sesruleba fasdeba 2 quliT.
III. Temisa da miznis gacnoba, axali masalis axsna
maswavlebeli: _ dRes kidev erT axal geometriul gardaqmnas, kerZod, mobrunebas viswavliT. aCvenebs ferebis mixeviT or
tol nawilad gayofil joxs. gamohyavs erTi moswavle da sTxovs joxi daikavos centriT jer horizontalurad, xolo Semdeg
ise, rom centri uZravad darCes, moatrialos 1800-iT.
sawyisi mdgomareoba mdgomareoba mobrunebis Semdeg

maswavlebeli sTxovs moswavleebs, aRweron ra cvlilebebi SeamCnies da ram gamoiwvia es cvlilebebi. pasuxis Semdeg
gamohyavs sxva moswavle da sTxovs igive joxi daikavos monakveTis romelime boloTi jer horizontalurad, xolo Semdeg
moatrialos 900-iT.
68
sawyisi mdgomareoba
an
mdgomareoba mobrunebis Semdeg
maswavlebeli sTxovs moswavleebs aRweron ra moZraoba Seasrula gamosulma moswavlem da ra Sedegi miiRo. sTxovs,
msjelobisas gamoiyenon sityvebi: mobruneba, uZravi wertili, centri, monakveTis Suawertili, monakveTis bolo, mimarT,
saaTis isris moZraobis mimarTuleba. maswavlebeli: _ axla dafaze SevasruloT naxazi. Tqvenc imuSaveT da SeasruleT aseTi-
ve ageba rveulebSi. movniSnoT sibrtyeze O da A wertilebi. movabrunoT A wertili O wertilis mimarT 900-iani kuTxiT. am
mobrunebiT A wertili gadava A1 wertilSi. uZravi O wertili warmoadgens mobrunebis centrs, xolo kuTxe AOA1 aris
mobrunebis kuTxe.
A1
mobrunebis kuTxe 900

O uZravi wertili, mobrunebis centri
maswavlebelma unda auxsnas da aCvenos kidec magaliTze, rom mobruneba SeiZleba rogorc saaTis isris mimarTulebiT, ise mis
sawinaaRmdegod.
aCvenebs mobrunebis mza magaliTs da svams SekiTxvebs: B A
 ra kuTxiTaa naxazze mobruneba Sesrulebuli?
 ra mimarTulebiTaa mobruneba Sesrulebuli? 120 0
 ra figuraSi gadaisaxa AB monakveTi? BC gverdi?

C
 romeli wertilia mobrunebis centri? A
 ra figuraSi gadaisaxa C wertili? B
maswavlebeli: _ davxazoT AB monakveTi. movniSnoT sibrtyeze O wertili. avagoT figura, romelic miiReba AB monakveTis O
wertilis garSemo  kuTxiT mobrunebiT. uxsnis, rom
69
A wertili gadava A1 wertilSi da OA monakveTis yoveli wertili, magaliTad, B, gadava iseT B1
wertilSi, rom OB=OB1,  BOB1=  da O wertili rCeba uZravi, xolo yvela danarCeni wertili
erTi da imave mimarTulebiT  kuTxiT Semobrundeba. O centris mimarT  kuTxiT mobruneba
A1 A
maTematikurad ase Caiwereba: Po .
gamohyavs dafasTan moswavle da monakveTis 900-iT mobrunebas sTxovs. danarCeni B1 B
moswavleebi rveulebSi asruleben Sesabamis naxazs.
amis Semdeg or moswavles amuSavebs dafaze. erTi Seasrulebs monakveTis 1800-iT mobrunebas, 
meore 600-iT. danarCenebi muSaoben rveulebSi.
O
momdevno gamomsvlels sTxovs, Seasrulos monakveTis mobruneba ise, rom monakveTis Sua
wertili iyos mobrunebis centri.
amis Semdeg muSaoben figuris mobrunebaze. maswavlebeli acnobs sxvadasxva SemTxvevas, rom mobrunebis ( O ) centri SeiZleba
iyos:

 O --
O  wveroze O
O
figuris SigniT gverdze
figuris gareT
maswavlebeli: _ gavecaniT mobrunebas, magram ar gangvimartavs, ra aris igi. vin SeZlebs mobrunebis ganmartebas? (ganmarteba
mocemulia saxelmZRvaneloSi.)
_ Seicvleba Tu ara figuris sidide mobrunebiT?(ara.)
zepirad xsnian sav. #1,#2 (maswavlebels naxazi gamzadebuli aqvs), muSaobas agrZeleben #5,#6, #7, #8, #9 savarjiSoebze.
IV. damoukidebeli samuSao
sTavazobs daxazon nebismieri saxis samkuTxedi da Seasrulon misi 900-iani kuTxiT mobruneba erT-erTi wveros mimarT.
maswavlebeli CamovliT akvirdeba moswavleebis muSaobas. saWiroebis SemTxvevaSi aZlevs miTiTebebs.
V. Sedegebis Sejameba
maswavlebeli svams kiTxvebs: _ ra aris mobruneba?
_ ra sididis kuTxiT mobrunebaa centruli simetria? daaxasiaTeT am mobrunebis SemTxvevaSi wertilis sawyisi da saboloo
mdebareoba centris mimarT.
_ sad SegxvedriaT mobrunebis magaliTi bunebaSi?
VI. saSinao davaleba sav.#3, #4, #15, #16.
70
me-2 gakveTili
mizani: mobrunebisa da simetriis Sesaxeb miRebuli codnis ganmtkiceba.
maswavlebeli: _upasuxeT SekiTxvebs:
 rogor figuras ewodeba centrulad simetriuli?(figuras ewodeba centrulad simetriuli, Tu centris mimarT simetriis
gardaqmnas figura Tavis TavSi gadahyavs.)
 rogor figuras ewodeba wrfis mimarT simetriuli? (figuras ewodeba a wrfis mimarT simetriuli, Tu a wrfis mimarT
simetriis gardaqmnas figura Tavis TavSi gadahyavs.)
 rogori mobrunebaa centruli simetria? ( 1800 -iT mobruneba.)
 rogori gardaqmnaa paraleluri gadatana? (gardaqmnas, romlis drosac sibrtyis yoveli wertili gadadis erTi da imave
mimarTulebiT erTsa da imave manZilze, paraleluri gadatana ewodeba.)
 ra SegiZliaT TqvaT centris mimarT simetriuli wertilebis mdebareobaze? (simetriis centri am wertilebis
SemaerTebeli monakveTis Sua wertilia.)
III. amis Semdeg muSaoben testze.
maswavlebeli: _ daakvirdiT naxatebs. erTsa da imave sagnebs sxvadasxva mdebareoba ukavia. gansazRvreT, ra saxis gradaqmnaa
TiToeuli maTganis SemTxveaSi: paraleluri gadatana, simetria Tu mobruneba. swori pasuxi SearCieT qvemoT mocemuli
savaraudo pasuxebidan:
a) mobruneba; b) centruli simetria; g) paraleluri gadatana; d) RerZuli simetria.
#1
#2 #3
71
#4 #5
IV. wyvilebSi samuSao (kompleqsuri davaleba)

 sakoordinato sibrtyeze aageT AB monakveTis simetriuli
 monakveTi C  2;0  -is mimarT. y
 sakoordinato sibrtyeze aageT AB monakveTis simetruli A2C2

monakveTi ordinatTa RerZis mimarT; B
 sakoordinato sibrtyeze aageT A3 B3 monakveTi, romelic miiReba
AB monakveTis 900 -iT mobrunebisas O centris mimarT.
_ SeiZleba, rom samkuTxeds hqondes simetriis centri? pasuxi A C
daasabuTeT. -2 -1 O x
_ simetriis ramdeni RerZi aqvs tolgverda samkuTxeds? pasuxi 1 2
daasabuTeT.
_ aris Tu ara centruli simetria mobrunebis kerZo SemTxveva? dadebiTi pasuxis SemTxvevaSi axseniT, romeli SemTxvevaa.
V. saxelmZRvaneloSi mocemul masalaze muSaoba. xsnian #10, #12, #14 savarjiSoebs.
VI. gasameorebel masalaze muSaoba.xsnian #25, #26 savarjiSoebs.
VII. refleqsia
_ rogoraa ganlagebuli simetriis centris mimarT simetriuli wertilebi?
_ ras warmoadgens mobruneba?
_ rogor avagoT centris mimarT simetriuli wertilebi?
_ aCveneT naxazze mobrunebis kuTxe da centri.
72
F1
F2
F2
O
F1
F1
#1 F2 #2 #3
saSinao davaleba: sav.#11,#13, #21,#27.

sav.#1. pasuxi: a).
sav.#2) pasuxi: a) 2700-iT anu -900-iT .
sav.#7. pasuxi: g)-s garda yvela.
b) miiReba -900-iT mobrunebiT, anu 2700-iani kuTxiT mobrunebiT, d) miiReba 1800-iani kuTxiT
12
mobrunebiT, anu centruli simetriiT, xolo e) 00-iT anu 3600 -iT mobrunebiT.
sav.#11. cxris oc wuTze rva saaTis Semdeg wuTebis maCvenebeli isari mobrunebulia1200 -iani
9
kuTxiT, saaTis isari 12-jer naklebi, anu 100-iani kuTxiT. pasuxi: 1300.
 8 4
10 6
sav.#12. 8  5  13 (sm). pasuxi: 13sm.
12
8sm 1200
3
sav.#13. 8  5  3 (sm). pasuxi: 3sm.
9
5sm
8 4
sav.14. a) 2-s; b) 24-s. 6
sav.#19. SevadginoT gantoleba: x wuTSi, wuTis isari mobrundeba 6x gradusiT, saaTis isari _ 0,5x gradusiT. vwerT
gantolebas: 6x -0,5x = 77. pasuxi: 14 wT.
sav.#21. WeSmaritia mxolod d).
sav.#23. moswavleebma unda gaixsenon samkuTxedis utoloba. SesaZlebelia mxolod b) SemTxveva.
sav.#24. M wertili AB monakveTis Siga wertilia.
SesaZlebelia Tu ara?
SeuZlebelia, radgan am SemTxvevaSi mesame gare kuTxe iqneba 1800-iani, Siga ki 00-iani.
73
$2.3 paraleluri wrfeebi (3 sT.)
Tema: wrfeTa paralelobis niSnebi
TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi: Tu or wrfes paralelur wrfeTa cnobili Tvisebebidan erTi mainc
gaaCnia, maSin es wrfeebi paraleluria.

dakavSirebuli mkvidri  ori wrfis mesameTi gadakveTiT SekiTxva/SekiTxvebi: (Sesruldeba
warmodgenebi: miRebuli kuTxeebi:  rogor wrfeebs TemisTvis gamoyofil
 paraleluri wrfeebi _ a) Siga jvaredini; ewodeba paraleluri? mesame saaTze)
erT sibrtyeSi mdebare b) gare jvaredini;  SeiZleba Tu ara wyvilebSi samuSao:
TanaukveTi wrfeebi; g) Sesabamisi; Sesabamisi kuTxeebi asruleben 22 da 28
 ori wrfis mesameTi d) Sida calmxrivi; iyos toli, xolo savarjiSoebs.
gadakveTiT miRebuli e) gare calmxrivi jvaredini kuTxeebi
kuTxeTa wyvilebi.  pirdapiri da Sebrunebuli debulebebi aratoli?
(kuTxeTa Tvisebebi da paralelobis
niSnebi).
pirveli gakveTili
mizani:
 wrfeTa paralelobis niSnebis gacnoba, paralelur wrfeTa Tvisebebis gameoreba;
 amocanis pirobis Sesabamisi naxazis sworad da sufTad Sesrulebis unar-Cvevebis ganviTareba..
 paralelur wrfeTa Tvisebebisa da niSnebis gamoyeneba amocanebis amosaxsnelad da debulebebis dasamtkiceblad;
saWiro masala: kompiuteri, proeqtori, ekrani, testi.
I . winare codnis gaaqtiureba
mosamzadebeli etapi (urigebs testebs baraTebiT)
74
testi
miuTiTe im naxazis nomeri, romlebzec paraleluri wrfeebia mocemuli.
a c n
m k
b
d t
#1 #3
#2 #4
a) #1; b) #2; g) #3; g) #4.
2) miuwere dasaxelebuli kuTxeebis nomrebi naxazis mixedviT:

a 7 8
5 6
 vertikaluri kuTxeebia: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 mosazRvre kuTxeebia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . b 3 4
 Siga jvaredinad mdebare kuTxeebia: . . . . . . . . . . . . . 1 2
III. samotivacio etapi c
klass yofs 3 jgufad. urigebs baraTebs, romlebze daxazulia a da b paraleluri wrfeebi da a 7 8
maTi mkveTi c wrfe. 5 6
_ transportiriT gazomeT kuTxeebi da gamoitaneT daskvna.
b 3 4
I jgufi gazomavs jvaredinad mdebare kuTxeebs; 1 2
II jgufi gazomavs Siga calmxriv mdebare kuTxeebs; c
III jgufi gazomavs Sesabamis kuTxeebs.
_ ra daskvna CamoayalibeT?
I jgufi: ori paraleli wrfis mesame wrfiT gadakveTisas miRebuli jvaredinad mdebare kuTxeebi tolia.
II jgufi: ori paraleluri wrfis mesame wrfiT gadakveTisas miRebuli Siga calmxriv mdebare kuTxeebisjami 1800-is tolia.
III jgufi: ori paraleluri wrfis mesame wrfiT gadakveTisas miRebuli Sesabamisi kuTxeebi tolia.
_ debulebebi, romlebic Tqven CamoayalibeT, paralelur wrfeTa Tvisebebia. es Tvisebebi gasul wels viswavleT.
75
_ davsvaT amocana piriqiT: rodesac ori wrfis mesame wrfiT gadakveTisas miRebuli jvaredinad mdebare kuTxeebi tolia, es
ori wrfe paraleluria? rogor gavceT am kiTxvas pasuxi?
_ vcadoT da davamtkicoT, rom asea.
damoukideblad cdiloben damtkicebis gzebis Ziebas. ganixilaven warmodgenil variantebs. analogiur muSaobas
gaagrZeleben sxva niSnebzec. uares SemTxvevaSi moswavleebi saxelmZRvaneloSi waikiTxaven damtkicebas da Semdeg dafaze
daamtkiceben.
V. ganmtkiceba
_ muSaoben saxelmZRvanelos #1,3,6 ,9,11 davalebebze.
I varianti: sav.#5; II varianti: sav.#7.
VIII. refleqsia
_ ra iyo Cveni dRevandeli gakveTilis mizani?
_ mivaRwieT mizans?
_ ra sirTule Segvxvda?
_ mogewonaT Teoremebis damoukideblad damtkiceba?
_ ra SeiZleboda ufro ukeTesad gagvekeTebina?
me-2 gakveTili
gakveTilis Tema: paraleluri wrfeebi
mizani: wrfeTa paralelurobis niSnebis Sesaxeb miRebuli codnis ganzogadeba, gaRrmaveba; wrfeTa paralelurobis niSnebis
geometriuli amocanebis amosaxsnelad gamoyenebis unarebis ganviTareba; maTematikuri enisa da azrovnebis unaris ganviTa-
reba; swrafad azrovnebisa da koncentraciis unaris ganviTareba; geometiuli amocanebis amosaxsnelad saTanado naxazebis
sworad agebisTvis Cvevebis gamomuSaveba.
mosalodneli Sedegebi: moswavles unda SeZlos: wrfeTa paralelurobis niSnebis gamoyeneba amocanebis amoxsnisas da
debulebebis damtkicebisas.
ZiriTadi cnebebi: paraleluri wrfeebi, Siga jvaredinad mdebare kuTxeebi, Siga calmxriv mdebare kuTxeebi, Sesabamisi
kuTxeebi.
I. saorganizacio etapi; I . gakveTilis miznisa da amocanebis Camoyalibeba; I I. saSinao davalebis Semowmeba;
IV. winare codnis gaaqtiureba
maswavlebeli: _ rogor wrfeebs ewodeba paraleluri?
76
_ ori paraleluri wrfis mesame wrfiT gadakveTisas iqmneba tol kuTxeTa oTxi wyvili. ra hqvia a 7 8
TiToeul am wyvils? 5 6
_ daasaxeleT naxazze mocemuli kuTxeebidan kuTxeTa es wyvilebi.
maswavlebeli: aRadgineT winadadebaSi gamotovebuli sityvebi (zepiri pasuxebiT.). b 3 4
1) Tu ori wrfis mesame wrfiT gadakveTisas miRebuli Siga jvaredinad mdebare kuTxe- 1 2
ebi . . . , maSin wrfeebi . . . . c
2) Tu ori wrfis mesame wrfiT gadakveTisas miRebuli . . . kuTxeebi jami . . . , maSin wrfeebi paraleluria.
3) Tu ori wrfis mesame wrfiT gadakveTisas miRebuli . . . kuTxeebi tolia , maSin wrfeebi paraleluria.
V. motivacia, SeZenili codnis ganmtkiceba
maswavlebeli: _ dRes ganvimtkicebT codnas wrfeTa paralelurobis niSnebis Sesaxeb.
wina gakveTilze davrwmundiT, rom naxazze yovelTvis ar Cans, wrfeebi paraleluria, Tu ara. wrfeTa paralelurobis niSnebi
dagvexmareba am problemebis gadaWrisas. vimuSavebT am sakiTxebze. amovxsnaT amocanebi .
VI. amocanebis amoxsna.
xsnian #12 savarjiSos. erTi moswavle axsna-ganmartebiT muSaobs dafaze, danarCenebi _ rveulebSi da
akontroleben, ramdenad sworad xsnis amocanas dafasTan gasuli
moswavle. amoxsna: AC da BD paraleluri wrfeebis AB da CD paraleluri wrfeebiT gadakveTisas
miRebuli Sesabamisi kuTxeebi tolia: TAC =ABD= 1= 55.
maSasadame, ATC-s kuTxeebia 550, 90 da 350. pasuxi: 35 , 55 .
klasSi muSaoben #16, #17, #23 savarjiSoebze.
gameoreba: #33, #34.
VII. refleqsia
_ ra viswavleT dRes? (amocanebis amoxsna wrfeTa paralelurobis niSnebis gamoyenebiT.)
_ CamoayalibeT wrfeTa paralelurobis niSnebi.
VII .informacia saSinao davalebis Sesaxeb
sav.#13, 14, 15. gameoreba: sav.#33, #34.
me-3 gakveTili
gakveTilis Tema: paraleluri wrfeebi
mizani: wrfeTa paralelurobis niSnebis geometriuli amocanebis amosaxsnelad gamoyenebis, maTematikuri enisa da swrafad
azrovnebis, koncentraciis unaris ganviTareba.
mosalodneli Sedegebi: moswavles unda SeZlos: wrfeTa paralelurobis niSnebis gamoyeneba amocanebis amoxsnisas da
debulebebis damtkicebisas.
77
ZiriTadi cnebebi: paraleluri wrfeebi, Siga jvaredinad mdebare kuTxeebi, Siga calmxriv mdebare kuTxeebi, Sesabamisi
kuTxeebi.
I. saorganizacio etapi; I . gakveTilis miznisa da amocanebis Camoyalibeba; I I. saSinao davalebis Semowmeba;
IV. winare codnis gaaqtiureba
naxazze AF da AM wrfeebi gadakveTilia DE wrfiT B da C wertilebSi. daasaxele kuTxe, romelic ABC kuTxesTan qmnis:
a) Sida calmxriv kuTxeTa wyvils;
A
b) jvaredinad mdebare kuTxeTa wyvils;
g) Sesabamis kuTxeTa wyvils. D
_ rogori wrfeebia AF da AM wrfeebi? (urTierTgadamkveTi.) B
_ rogori wrfeebs ewodeba urTierTgadamkveTi?
_ kidev rogori wrfeebi viciT? (paraleluri.) F C
E
_ rogor wrfeebs ewodeba paraleluri? M
_ SegviZlia Tu ara pirdapir davadginoT, wrfeebi paraleluria Tu ara?
_ rogor gavarkvevT wrfeebi paraleluria Tu ara? (wrfeTa paralelurobis niSnebiT.)
_ CamoayalibeT wrfeTa paralelurobis niSnebi.
_ kidev ra viciT paraleluri wrfeebis Sesaxeb? ( maTi Tvisebebi.)
_ CamoayalibeT wrfeTa paralelurobis Tvisebebi.
_ CamoayalibeT Cveni dRevandeli gakveTilis Tema da mizani.
V. motivacia, SeZenili codnis ganmtkiceba
#18, #20, #32
VI. wyvilebSi samuSao (kompleqsur davalebaze muSaoba)
#22, #28
VII. refleqsia, Sedegebis Sejameba
_ ra cnebebi da Teoremebi gavimeoreT dRes?
_ paralelogramis niSnebis garda, viciT paralelur wrfeTa Tvisebebi. vin gagvaxsenebs am Tvisebebs?
_ ras ityviT dRevandel gakveTilze?
_ raime winadadebas xom ar SemogvTavazebT Semdgomi muSaobisTvis?
_ ras daumatebdiT gakveTils gaumjobesebis mizniT?
VII . informacia saSinao davalebis Sesaxeb
sav. #19, #21, #30, #31.
78
sav.#10. ori a da b wrfis mesame c wrfiT gadakveTisas miRebuli Sesabamisi kuTxeebi tolia, amitom a da b wrfeebi
paraleluria.
sav.#13. vTqvaT, 1  x , maSin 2  4x . BAT da CDF kuTxeebis gverdebis gagrZelebebiT miRebuli
2 kuTxeebisaTvis gveqneba: 4  1  x , 3  2  4x . radgan 3  4  1800 , amitom 5 x  1800 , saidanac
3 4 1 x  360 . pasuxi:360, 1440. B

D
sav.#16. C wveroze gavavloT AB -s paraleluri wrfe. ACE kuTxis sididea 6575 A F
pasuxi:1400.
C E
B
3 D sav.#17. gavagrZeloT DK monakveTi AB -s gadakveTmde. miviReT, rom 2  3  4 (gare kuTxis
2 1 TvisebiT), xolo  4  1 , rogorc Siga jvaredini kuTxeebi, ris damtkicebac gvindoda.
M 4 K
sav.#18. KBM  1800  1250  550 , C D
A 1150
EKM  1150  MKB  650 , A B
M  180  55  65  60 .
0 0 0 0 1250 K E
F
pasuxi: 600.
C M B
sav.#22. mocemuli tolobidan 3  60  1. E
sav.#24. vTqvaT,  ABC -s EBC gare kuTxis BE biseqtrisa
paraleluria AC gverdis, maSin EBC  ACB da EBC  EBF  BAC . miviReT, rom  ABC -Si
AC gverdTan mdebare kuTxeebi tolia, amitom samkuTxedi tolferdaa. C
A
sav.#26_27. marTebulia rogorc pirdapiri, ise Sebrunebuli Teoremebi.
sav.#28. gamoTvlebisas unda gaviTvaliswinoT, rom es wrefeebi araa paraleluri.
pasuxi: ara, naSTSi miiReba 2, radgan es jami 4n+6 saxisaa.
sav.#32. jamic (mopirdapire ricxvebia) da namravlic (erTi Tanamamravlia 0) nulis tolia.
aba, scade! Sebrunebuli Teoremaa: tolferda samkuTxedSi wverosTan mdebare gare kuTxis biseqtrisa fuZis paraleluria.
damtkiceba: wverosTan mdebare gare kuTxe fuZesTan mdebare kuTxeebis jamis tolia. amitom igi orjer aRemateba TiToeul
maTgans. e.i. biseqtrisiT warmoqmnili kuTxeebi fuZesTan mdebare kuTxeebis tolia. amitom wrefeTa paralelobis niSnis
Tanaxmad, biseqtrisa fuZis paraleluri iqneba.
79
$2.4 paraleogramis Tvisebebi (3 sT.)
Tema: paralelogramis Tvisebebi
TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi: paralelogrami centruladsimetriuli figuraa.

dakavSirebuli mkvidri  paralelogramis Tvisebebi: SekiTxva/SekiTxvebi: (Sesruldeba
warmodgenebi: a) mopirdapire gverdebi tolia;  ras udris oTxkuTxedis TemisTvis gamoyofil
 paralelogrami _ b) mopirdapire kuTxeebi tolia; kuTxeebis jami? mesame saaTze)
oTxkuTxedi, romlis g) diagonalebi gadakveTis  ras ewodeba wyvilebSi samuSao:
mopirdapire gverdebi wertiliT Suaze iyofa; paralelogrami? mesame gakveTilis
paraleluria. d) erT gverdTan mdebare scenarSi mocemul
 ra Tviseba aqvs
kuTxeebis jami 180 gradusia; davalebebs.
paralelogramis
 paralelogrami diagonaliT or gverdebs? diagonalebs?
tol samkuTxedad iyofa. kuTxeebs?
pirveli gakveTili
mizani:
 oTxkuTxedebis klasifikaciis gacnoba;
 paralelogramis diagonalebis, mopirdapire gverdebisa da kuTxeebis Tvisebebis gacnoba;
miRebuli codnis gamoyeneba amocanebis amosaxsnelad.
saWiro masala: kompiuteri, proeqtori, ekrani, testi.
zepirad pasuxoben kiTxvebs:
 samkuTxedis ra elementebs icnobT?
80
 ra Tviseba aqvs samkuTxedis gare kuTxes?
 ras ewodeba samkuTxedis mediana? biseqtrisa? simaRle?
 raSi mdgomareobs samkuTxedebis tolobis niSnebi?
 rogor vurCevT mravalkuTxedebs saxels?
 ra figuras hqvia samkuTxedi? oTxkuTxedi?
 ras ewodeba oTxkuTxedis diagonali? mezobeli wveroebi? mopirdapire wveroebi? mezobeli gverdebi? mopirdapire
gverdebi?
 ras udris samkuTxedis Siga kuTxeebis jami?
I I. gakveTilis Temisa da miznis gacnoba
maswavlebeli: _ dRes unda gavecnoT oTxkuTxedebs, maT klasifikacias, oTxkuTxedebis erT-erT saintereso saerTo
Tvisebas.
_ gavarkvioT, ras udris oTxkuTxedis Siga kuTxeebis jami.
maswavlebeli moswavleebs avalebs, damoukideblad gaarkvion, ras udris oTxkuTxedis Siga kuTxeebis jami. erTi moswavle
muSaobs dafasTan, danarCenebi rveulebSi _ damoukideblad eZeben amocanis amoxsnis gzas. rodesac dasmul kiTxvaze pasuxs
gascemen, maswavlebeli etyvis, rom maT daamtkices Teorema oTxkuTxedis Siga kuTxeebis jamis Sesaxeb da Camoayalibebinebs
Teoremas.
amis Semdeg acnobs parallelograms da mis ZiriTad Tvisebebs. maswavlebeli cdilobs, moswavleebma damoukideblad
daamtkicon aRniSnuli Tvisebebi.
V . ganmtkiceba
naxazis mixedviT zepirad pasuxoben sav. #1-s. xsnian sav. #3, #5, #6-is a) da d).
I varianti: sav. #6 (b), II varianti: sav. #6 (g).
VII. refleqsia
_ oTxkuTxedebis ra klasifikacias gavecaniT dRes?
_ ras udris oTxkuTxedis Siga kuTxeebis jami?
_ rogor figuras ewodeba paralelogrami?
_ ra viciT paralelogramis gverdebis Sesaxeb? kuTxeebis Sesaxeb?
_ ra viciT paralelogramis diagonalebis Sesaxeb?
81
_ ra mogeCvenaT gakveTilze problemuri? rogor davZlioT?
paralelogramebis Sesaxeb sruli Teoria SemuSavda Sua saukuneebis bolos da saxelmZRvaneloebSi XVII saukuneSi gamoCnda.
evklides fundamenturi naSromi `sawyisebi~ aris safuZveli, romelze dayrdnobiTac ganviTarda geometria.
 sav.#2, #4, #7, #20;
 evklides Sesaxeb mokle informaciis moZieba momdevno gakveTilisTvis;
 esaubreba proeqtis _ `paralelogramis Tvisebebi~ Sesaxeb.
Sefasebis kriteriumebi:
 mravalkuTxedis gverdebisa da kuTxeebis amocnoba, dasaxeleba;
 oTxkuTxedis kuTxeebis jamis daTvla;
 paralelogramis Tvisebebis damtkiceba;
 amocanis pirobis mixedviT naxazisa da mocemulobis Sedgena;
amocanebis amoxsna miRebuli codnis gamoyenebiT.
proeqti: `paralelogramis Tvisebebi~ (vada _ 5 dRe)
(kvleviTi xasiaTis)
mizani: codnis gaRrmaveba paralelogramis Sesaxeb.
moswavleebi paralelogramis ZiriTadi Tvisebebis Seswavlis Semdeg muSaoben paralelogramis sxva Tvisebebis aRmoCena-
Seswavla-damtkicebaze. lamazad gaformebul namuSevrebs (broSura, moxseneba da a. S.) waradgenen auditoriis winaSe.
mosalodnelia, moswavleebma warmoadginon paralelogramis Tvisebebi:
1) Tu oTxkuTxedi paralelogramia, maSin misi mopirdapire gverdebi tolia.
2) Tu oTxkuTxedi paralelogramia, maSin misi mopirdapire kuTxeebi tolia.
3) Tu oTxkuTxedi paralelogramia, maSin mis erT gverdTan mdebare kuTxeebis jami 1800 -is tolia.
4) Tu oTxkuTxedi paralelogramia, maSin TiToeuli diagonali mas or tol samkuTxedad yofs.
5) Tu oTxkuTxedi paralelogramia, maSin misi diagonalebi gadakveTis wertiliT Suaze iyofa.
6) Tu oTxkuTxedi paralelogramia, maSin mis erT gverdTan mdebare
(mezobeli) kuTxeebis biseqtrisebi marTi kuTxiT ikveTeba.
82
7) Tu oTxkuTxedi paralelogramia, maSin mopirdapire
kuTxeebis biseqtrisebi an paraleluria an erT wrfeze Zevs.
8) Tu oTxkuTxedi paralelogramia, maSin biseqtrisa misgan

tolferda samkuTxeds CamokveTs.
meore gakveTili
gakveTilis Tema: paralelogramis Tvisebebi
gakveTilis mizani: paralelogramis Tvisebebis Sesaxeb miRebuli codnis ganmtkiceba;
amocanebis amoxsna paralelogramis Tvisebebis gamoyenebiT
mosalodneli Sedegebi:
 mravalkuTxedis perimetris cneba,
 amozneqili oTxkuTxedis kuTxeebis jamis sidide,
 paralelogramis cneba,
 paralelogramis gverdebis, diagonalebis da kuTxeebis Tvisebebi.
unda SeZlos:
 axsna, Tu rogor figuras ewodeba mravalkuTxedi,
 mravalkuTxedis gverdebisa da kuTxeebis amocnoba, dasaxeleba,
 amozneqili oTxkuTxedis kuTxeebis jamis daTvla,
 paralelogramis Tvisebebi da maTi damtkiceba,
 paralelogramis Tvisebebis gamoyeneba amocanebis amoxsnisas,
 amocanis pirobis mixedviT naxazis Sedgena,
 amocanebis amoxsna miRebuli codnis gamoyenebiT.
ZiriTadi cnebebi: paralelogrami, diagonali, mopirdapire kuTxeebi, mopirdapire gverdebebi, erT gverdTan mdebare
kuTxeebi.
resursi: kompiuteri, ekrani, naxaziT mocemuli amocanebi, baraTebi damoukidebeli samuSaos masaliT.
83
I. saorganizacio etapi
I . gakveTilis miznisa da amocanebis Camoyalibeba
I I. winare codnis gaaqtiureba
1) parallogramis Tvisebebis gameoreba.
2) istoriuli cnobari, mokleinformacia evklides Sesaxeb (warmoadgens moswavle).
winare codnis gaaqtiurebis mizniT maswavlebels vTavazobT, gamoiyenos amocanebi naxazebiT.
amocanebs maswavlebeli ekranze (an dafaze, an plakatze) gamoitans da moswavleebi paralelogramis Tvisebebisa da
gansazRvrebis gamoyenebiT daamtkiceben, rom ABCD oTxkuTxedi paralelogramia.
daamtkice, rom ABCD oTxkuTxedi paralelogramia.
B C B C B C
A D A D A D
#1 #2 #3
B C A  D  180o , BC  AD.
B C
B C
115o 65o
A D A D A D
#4 #5 #6
84
IV. damoukidebeli samuSao
baraTebi damoukidebeli samuSaosTvis (3 varianti).
ipove ABCD paralelogramis ucnobi kuTxeebi.
B C B B E C
37 o C
73o
62o
A D A A D
#1 D #2 #3
baraTebze mocemul amocanebs amoxsnian rigebis mixedviT. maswavlebeli ekranze (dafaze) gamoitans pasuxebs. moswavleebi
daafiqsireben Secdomebs. sabolood, dafaze warmoadgenen swor gamoTvlebs, gaasworeben daSvebul Secdomebs.
saxelmZRvanelodan xsnian #18, #19 savarjiSoebs
V. informacia saSinao davalebis Sesaxeb
sav.#8, #10, #12.
me-3 gakveTili
mizani: paralelogramis Tvisebebis Sesaxeb miRebuli codnis ganmtkiceba;
amocanebis amoxsna paralelogramis Tvisebebis gamoyenebiT.
gakveTilis gegma
1) organizaciuli momenti
2) winare codnis gaaqtiureba
3) gakveTilis Temisa da miznis gacnoba
4) amocanebis amoxsna paralelogramis Tvisebebis gamoyenebiT
5) muSaoba debulebebis damtkicebaze paralelogramis Tvisebebis gamoyenebiT
6) Sedegebis Sejameba
7) saSinao davaleba
8) refleqsia
rekomendaciebi: sasurvelia:
 winare codnis gaaqtiurebis mizniT maswavlebelma Caataros karnaxi:
( debuleba sworia, dauwereT `+~, arasworia _ `_~.)
85
1) paralelogrami ewodeba oTxkuTxeds, romelsac mopirdapire gverdebi wyvil-wyvilad paraleluri aqvs. ( +)
2) paralelogramis diagonalebi gadakveTis wertiliT Suaze iyofa. ( +)
3) parallelograms ori mezobeli gverdi toli aqvs. (_)
4) paralelogramis mopirdapire kuTxeebis jami 1800-ia. (_)
5) parallelograms diagonali or tol samkuTxedad yofs. ( +)
6) paralelogramis diagonalebi marTi kuTxiT ikveTeba. (_)
7) paralelogramis erT gverdTan mdebare kuTxeebis jami 1800-ia. ( +)
 codnis ganmtkicebis mizniT amoxsnan saxelmZRvaneloSi mocemuli #14, #15, #18, #19 savarjiSoebi (erTma dafaze,
danarCenebma rveulebSi).
kompleqsuri davaleba (muSaoben wyvilebSi)
amocanebi:
ipove paralelogramis gverdebi, Tu
PABCD  36, BC  AB  2. PEFKT  24, FK  3EF . PLNMG  84, LN : NM  1: 2.
B C F K N M
A D E T L G
ipove paralelogramis kuTxeebi
A  C  144o F : K  3:1
B C F K A  C  204.
B C
A D E T A D
saSinao davaleba: sav.#9, #11, #13. gaimeoron samkuTxedebis tolobis niSnebi.
savarjiSoebis komentarebi da pasuxebi: B
T C
20 100
sav.#5. pasuxi: a) 30sm, 10sm; b) 30sm,10sm; g) sm, sm; d) 32 sm, 8 sm.
3 3
A nax.1 D
sav.#9. radgan AT  AB , amitom  ATB tolferdaa da BAD  68 . pasuxi: 680, 1120 . (nax.1)
86
sav. #10 TBA  BAD  C  600 (nax.1). e.i. ATB samkuTxedi tolgverdaa. amitom perimetri iqneba: 3 AB  3CD  30 (sm).
pasuxi: 30sm.
sav.#12
B C AB  BC  AC  30,  AB  BC  30  AC
 17,5  AC  30  AC  12,5
2( AB  BC )  35  AB  BC  17,5
A D pasuxi:12,5sm.
sav.#13. radgan mosazRvre ori gverdis sigrZis sxvaoba 12 sm-ia, mcire gverdis sigrZe 4 sm iqneba. did
a
gverds Tu a asoTi aRvniSnavT, amocanis pirobiT SegviZlia davweroT a  4  12 toloba, saidanac 4
a  16. paralelogramis perimetri iqneba: 16  4   2  40.
sav. #15. paralelogramis didi gverdis sigrZe 8 sm-is toli iqneba. ganvixiloT ori SemTxveva: a)
B
C
3 biseqtrisa paralelograms 3 sm-is tol monakveTs mcire gverdis mxridan CamokveTs. am SemTxve-
vaSi paralelogramis mcire gverdis zoma 3 sm iqneba, xolo perimetri _ 22 sm.
A D b) biseqtrisa paralelograms mcire gverdis mxridan 5 sm tol monakveTs CamokveTs. am SemTxvevaSi
3 K
paralelogramis mcire gverdis zoma 5 sm iqneba, xolo perimetri _ 26 sm.

sav.#16. OB  OD, NOD  MOB , OBM  ODN , e.i. OMB OND (nax.2.), amitom am samkuTxedebSi toli OBM da ODN
kuTxeebis mopirdapire OM da ON gverdebi tolia. B M C

sav.#17 OC aris MN monakveTis SuamarTobi(nax.2.), amitom masze mdebare C wertili
O
Tanabradaa daSorebuli am monakveTis boloebidan: CN  CM  5 sm. pasuxi: a) 5sm; b) 20sm.
A
sav.#19. WeSmaritia mxolod A  B, B  A -s kontrmagaliTia frani. nax.2 D
sav.#20. pasuxi: 6090 lari.
me-2 an me-3 gakveTilze unda Caataron `praqtikuli samuSao~ (gv.61), risTvisac unda gaiTvaliswinon dro _ 7-10 wT.
87
$ 2.5 Talesis Teorema (3 sT.)
Tema: Talesis Teorema
TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi: Talesis Teoremis gamoyenebiT SegviZlia monakveTi davyoT n
raodenobis tol monakveTad.

dakavSirebuli mkvidri  paraleluri wrfeebi; SekiTxva/SekiTxvebi: (Sesruldeba
warmodgenebi:  paralelogramis mopirdapire  rogor gavyoT monakveTi TemisTvis gamoyofil
 Talesis Teorema _ Tu gverdebis toloba; n tol nawilad? mesame saaTze)
kuTxis erT gverdze  ra Tvisebebi aqvs asruleben mesame
 samkuTxedebis tolobis meore
aRebuli toli samkuTxedis Sua xazs? gakveTilis scenarSi
niSani;
monakveTebis boloebze mocemul davalebebs.
 samkuTxedis Sua xazi;  iqneba Tu ara marTebuli
gavavlebT paralelur
 samkuTxedis Sua xazis Tviseba. Talesis Teorema Tu
wrfeebs, maSin am kuTxis gverdebis
wrfeebiT meore nacvlad paralelur
gverdze toli wrfeebs ganvixilavT?
monakveTebi moiWreba.
pirveli gakveTili
mizani:
 Talesis Teoremis gacnoba da damtkiceba;
 moswavleebSi sagnisadmi interesis gaRviveba;
 miRebuli codnis praqtikaSi gamoyenebis unaris gamomuSaveba;
 yuradRebianobis, mowesrigebulobis, logikuri azrovnebis ganviTareba.
 amocanebis amoxsna Talesis Teoremis gamoyenebiT.
integrirebuli gakveTili (maTematika+informatika)
saWiro masala: kompiuteri, ekrani, naxazebi: #1, #2, #3.
88
ixseneben Semdeg sakiTxebs:
 paraleluri wrfeebisa da toli monakveTebis ganmarteba;
 samkuTxedebis tolobis niSnebi;
 ori paraleluri wrfis mesamiT gadakveTisas miRebuli kuTxeebi da maTi Tvisebebi.
nax.3
nax.1 nax.2
frontaluri gamokiTxva
 rogor wrfeebs ewodeba paraleluri? aCvene 1-l naxazze paraleluri da gadamkveTi wrfeebis wyvilebi.
 rogor kuTxeebs ewodeba vertikaluri? mosazRvre? jvaredinad mdebare? calmxriv mdebare? aCvene me-2 naxazze.
 Camoayalibe samkuTxedebis tolobis I niSani; II niSani; III niSani.
 aCvene me-3 naxazze toli samkuTxedebi da naxazis mixedviT ganmarte, samkuTxedebis tolobis romeli niSniTaa es
samkuTxedebi toli.
 Camoayalibe paralelur wrfeTa Tvisebebi.
 Camoayalibe wrfeTa paralelurobis niSnebi.
 rogor oTxkuTxeds ewodeba paralelogrami?
 Camoayalibe paralelogramis Tvisebebi.
III . problemuri situaciis Seqmna, gakveTilis Temisa da miznis gacnoba
_ SesaZlebelia, Tu ara, saxazavis gamoyenebis gareSe monakveTis or tol nawilad gayofa? 4 nawilad? 8 nawilad? rogor?
_ rogor gavyoT monakveTi sam tol nawilad?
ucnobi situaciis ganxilvisas awydebian problemas. aRmoaCenen, rom maT ar ician, rogor gayon monakveTi sam tol nawilad
saxazavis gamoyenebis gareSe. ayalibeben gakveTilis mizans.
89
maswavlebeli masalas axsnis mis mier momzadebuli saproeqto masalis `Talesis Teorema~ gamoyenebiT. maswavlebeli acnobs
Teoremas. moswavleebi gamoyofen aucilebel informacias, adgenen samoqmedo gegmas da prognozireben Sedegs.
_ unda gagacnoT Teorema, romelic berZeni filosofosisa da maTematikosis _ Talesis saxels atarebs. Tales mileteli
cxovrobda da moRvaweobda Cvens welTaRricxvamde 624-547 wlebSi.
cnobilia, rom Tales mileteli iyo erT-erTi SvidTagan, visac saberZneTSi mikuTvnebuli hqonda brZenis tituli. marTlac,
is iyo pirveli filosofosi, maTematikosi, astronomi. igi iTvleba mecnierebis fuZemdeblad. Talesma gazoma piramidis
simaRle Crdilis mixedviT. Tqven amas me-7 klasSi gaecaniT. daadgina, rom tolferda samkuTxedis fuZesTan mdebare kuTxeebi
tolia, daamtkica Teorema `kuTxis gverdebis gadamkveTi paraleluri wrfeebis Sesaxeb~.
moswavleTa aqtiuri monawileobiT amtkiceben Talesis Teoremas, ekranze naxazis age-
bisa da Teoremis damtkicebis yoveli etapis TanmimdevrobiT CvenebiT.
_ Teoremis pirobidan gamomdinare, vrwmundebiT, rom kuTxis gverdebis nacvlad Segvi-
Zlia aviRoT nebismieri ori wrfe.
amis Semdeg moswavleebi rveulSi asruleben praqtikul samuSaos 9 sm sigrZis monakve-
Tis 6 tol nawilad dayofaze.
gakveTilis meore nawils agrZelebs informatikis maswavlebeli.
moswavleebi maswavlebelTan erTad kompiuterSi monakveTs yofen sam tol nawilad.
amocanis amoxsnis yvela etaps moswavleebi xedaven ekranze, rac xels uwyobs mocemuli amocanis amoxsnis algoriTmis
damaxsovrebas.
monakveTis tol nawilebad gayofis algoriTmi:
 davxazoT monakveTi;
 monakveTis romelime bolodan avagoT sxivi;
 farglis saSualebiT sxivze avagoT saWiro raodenobis toli monakveTebi;
 sxivze agebuli wertilebidan bolo wertilze da monakveTis meore boloze gavavloT B
wrfe;
9
 darCenil wertilebze gavavloT wina punqtSi agebuli wrfis paraleluri wrfeebi;
 kveTis wertilebi aRvniSnoT asoebiT. K
11
V . pirveladi ganmtkiceba (maTematikis maswavlebeli)
zepirad xsnian naxazebiT mocemul amocanebs. pasuxebs asabuTeben. 11 9
1250 1250
8 ?
A C
3 D ?
90
Teoremis gamoyeneba amocanis amosaxsnelad. praqtikuli samuSao (informatikis maswavlebeli)
_ imuSaveT kompiuterSi. dayaviT monakveTi xuT tol nawilad. (individualuri kompiuterebis arsebobis SemTxvevaSi
individualurad muSaoben, sxva SemTxvevaSi _ erTi muSaobs ekranze, danarCenebi Tvalyurs adevneben mas da komentarebs
ukeTeben mis svlebs. kompiuteris gareSe muSaobisas erTi imuSavebs dafaze, danarCenebi _ rveulebSi. paralelurad
Tvalyurs adevneben dafasTan momuSaves.
samuSao gegma:
 davxazoT monakveTi AB;
 A wertilze gavavloT a sxivi, romelic ar Zevs AB wrfeze;
 a sxivze A wertilidan gadavdoT 3 toli monakveTi. amisTvis gamoviyenoT agebis brZaneba ` wre centrisa da radiusis
mixedviT~. mivceT nebismieri CO radiusi da avagoT a sxivze 3 wre. es wreebi a naxevarwrfes CamokveTen tol monakveTebs:
AE  EP  PO;
 SevaerToT B da O wertilebi;
 E da P wertilebze gavavloT BO wrfis paraleluri wrfeebi;
es wrfeebi AB monakveTs gadakveTen H da I wertilebSi da, Talesis Teoremis Tanaxmad, dayofen mas 3 tol nawilad.
V. ganmtkiceba saxelmZvanelodan sav.#1, #2 (oTxive amocana)
VI. refleqsia
_ ra iyo Cveni gakveTilis Tema?
_ ra iyo Cveni amocana?
_ rogor vyofT monakveTs tol nawilebad?
VII. saSinao davaleba
1) sav.#6, #19,#21;
2) SeasruleT monakveTis 5 tol nawilad dayofa.
Sefasebis kriteriumi
moswavles unda SeeZlos:
 Talesis Teoremis damtkiceba;
 nebismieri monakveTis n tol nawilad dayofa;
 miznis damoukideblad Camoyalibeba da masTan dakavSirebiT samoqmedo gegmis Sedgena da moqmedeba.
meore gakveTili
mizani:
 samkuTxedis Sua xazis gacnoba;
 samkuTxedis Sua xazis Sesaxeb Teoremis damtkiceba;
91
 TemasTan dakavSirebuli Teoriuli da praqtikuli warmodgenebis Camoyalibeba;
 miRebuli codnis gamoyeneba praqtikuli amocanebis amoxsnisas.
I . organizaciuli momenti
maswavlebeli: _ daxazeT nebismieri saxis ABC samkuTxedi.
_ saxazavisa da farglis saSualebiT AB gverdi gayaviT or tol nawilad. AB gverdis Sua wertili moniSneT N -iT.
_ N wertilze gaavleT AC -s paraleluri wrfe. am wrfisa da BC gverdis kveTis wertili aRniSneT M -iT.
_ gazomeT BM da MC monakveTebis sigrZeebi. gamoitaneT daskvna.
_ NM aris samkuTxedis Sua xazi.
maswavlebeli acnobs samkuTxedis Sua xazis ganmartebas. moswavleebi asruleben Sesabamis Canawerebs.
maswavlebeli: _ daxazeT nebismieri saxis ABC samkuTxedi.
_ moniSneT AB da BC gverdebis Sua wertilebi da SeaerTeT isini NM monakveTiT.
_ ramdeni Sua xazis gavlebaa SesaZlebeli samkuTxedSi?
_ rogori mdebareoba eqneba samkuTxedis NM Sua xazs AC gverdis mimarT?
_ gazomeT Sua xazi da misi mopirdapire gverdi. ras amCnevT?
_ras fiqrobT, ra Tviseba aqvs samkuTxedis Sua xazs?
mosalodneli pasuxebi:
 samkuTxedis Sua xazi samkuTxeds yofs samkuTxedad da oTxkuTxedad.
 samkuTxedis Sua xazi samkuTxeds yofs or samkuTxedad, romelTac saerTo wvero da TiTo gverdi paraleluri aqvT.
 samkuTxedis Sua xazi mopirdapire gverdis paraleluria.
maswavlebeli: _ Tqveni azriT, ra kavSiria aqvs samkuTxedis Sua xazs mesame gverdTan?
SesaZlebelia, romelime moswavle xvdeba, rom samkuTxedis Sua xazi mopirdapire gverdis naxevaria. maswavlebeli miscems
Tavisi azris gamoTqmisa da dasabuTebis saSualebas.
sabolood maswavlebeli Camoayalibebs Teoremas samkuTxedis Sua xazis Sesaxeb.
moswavleebi pasuxoben kiTxvebze: ra aris TeoremaSi mocemuli? ra unda davamtkicoT? asruleben naxazs da Sesabamis
Canawers.
wyvilebSi amtkiceben, rom samkuTxedis Sua xazi mopirdapire gverdis naxevaria. maswavlebeli CamovliT amowmebs
moswavleebis muSaobas da saWiro SemTxvevaSi uwevs konsultaciebs.
IV . pirveladi ganmtkiceba zepirad xsnian àmocanebs naxaziT~.
92
1) B
3 E aris Tu ara DE monakveTi
D C ABC samkuTxedis Suaxazi?
3
A (pasuxi: diax, aris.)
BE  EC  4
2) B 5
3 E 4 aris Tu ara DE monakveTi
D C
3 ABC samkuTxedis Suaxazi? D
A (pasuxi: ar aris.)
F
DF  10, EF  12. KL Suaxazia.
3) L
ras udris DK ? KF ? FL ? LE ?
K E
D
F
4) K MK da PK
M Suaxazebia. aris Tu
E
P ara MP am
samkuTxedis
Suaxazi?
5)
B
3 E aris Tu ara AC-s paraleluri DE
D C monakveTi ABC samkuTxedis Sua xazi?
3
A DE  4 , ipove AC .
V . damoukidebeli samuSao

gamoTvale samkuTxedis Sua xazebis sigrZeebi, Tu samkuTxedis gverdebis sigrZeebia:
I varianti: 3 sm, 4sm da 5 sm. II varianti: 13sm, 14 sm da 15 sm
VI . meoradi ganmtkiceba saxelmZRvanelodan xsnias #3, #4, #7 savarjiSoebs
VII. saSinao davaleba: sav.#5, #8, #22.
93
mesame gakveTili
mizani:
 Talesis Teoremisa da samkuTxedis Sua xazis Sesaxeb SeZnili codnis ganmtkiceba;
 amocanebis amoxsna mocemul Temaze;
 logikuri azrovnebis ganviTareba;
 sistematizaciisa da ganzogadebis unaris gamomuSaveba.
 miRebuli codnis gamoyeneba praqtikuli amocanebis amoxsnisas.
resursebi: proeqtori, dafa, testi baraTebiT, baraTebi kompleqsuri davalebiT.
I . organizaciuli momenti
I . Temisa da miznis gacnoba (umjobesia, moswavleebma Camoayalibon)
maswavlebeli:
 raSi mdgomareobs Talesis Teorema?
 ras ewodeba samkuTxedis Sua xazi?
 ra Tvisebebi aqvs samkuTxedis Sua xazs?
IV etapi _ meoradi ganmtkiceba:
V. kompleqsur davalebaze muSaoba A2
A1
AA  A A , A C  A C . AC  A C
1 1 2 1 1 2 2 1 1 . A
1) naxazze
qvemoT mocemulTagan romeli tolobaa swori? B C C1 C2
a) AA1  CC1 ; b) CC1  C1C2 ; g) CC2  C1C2 ; d) BC  C1C2 .
2)  ABC -Si: CD  OB, AB  CD, OD  DB, OC  AC .
A
qvemoT mocemuli winadadebebidan romelia WeSmariti?

C
a) CD aris  ABO -s mediana; b) CD aris  ABO -s simaRle;
g) CD aris  ABO -s Suaxazi; d) yvela mcdaria. O
D B
94
3) naxazze x, y , z -iT aRniSnulia  ABC -s Sua xazebi. ipove samkuTxedis B
gverdebis sigrZeebi, Tu x  12 sm, y  11 sm da z  13 sm. x
Semowmebis Sedegad gamovlenil Secdomebs dafaze ganixilaven da gaasworeben. z
y
A C
VI etapi _ saSinao davaleba: sav.#9, #13, #20.
sav.#13. pasuxi: 12 sm.
sav.#15. miTiTeba: a) AM wrfe unda daiyos 4 tol nawilad. dayofis wertilebze da M wertilze gaivlos BK -s paraleluri
wrfeebi. AC daiyofa 5 tol nawilad. pasuxi: 3:2 ( A wveros mxridan);
b) amoxsna wina amocanis analogiuria. pasuxi: 3:2 ( A wveros mxridan).
sav.#16. vTqvaT, A1 , B1 da C1 wertilebi, Sesabamisad, BC , AC da AB -s Sua wertile B
bia. AC monakveTi davyoT oTx tol nawilad da dayofis wertilebze gavavloT BB1 -is A1
paraleluri wrfeebi. Talesis TeoremiT AA1 monakveTi am wrfeebiT sam tol nawilad
A
daiyofa. pasuxi: 2:1 SefardebiT. B1 C
sav.#17. pasuxi: 4:1 SefardebiT.
sav.#18. miTiTeba: #16 amocanidan gamomdinare, O wertilze gaivlis CC1 medianac. pasuxi: 1:1
sav.#19. miTiTeba: unda isargeblon imiT, rom qordis Sua wertilze gavlebuli diametri qordis marTobulia.
sav.#20. miTiTeba: isargebleben wina amocanis SedegiT.
sav.#21. pasuxi: 40 dR.
sav.#22. pasuxi: ors 96-96, xolo mesames _ 128 lari.
aba, scade! pasuxi: 1. 9; 2.18.
$ 2.6 paralelogramobis niSnebi (2 sT)
Tema: paralelogramobis niSnebi
TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi: sakmarisia oTxkuTxeds hqondes paralelogramis cnobili oTxi
Tvisebidan romelime erTi Tviseba, rom es oTxkuTxedi iqneba paralelogrami.
95
samizne cnebebi da maTTan sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi: kompleqsuri dava-
dakavSirebuli mkvidri  paralelogramobis  ra niSniT SeiZleba leba (Sesruldeba
warmodgenebi: niSnebi: paralelogramis amocnoba? TemisTvis
 paralelogrami _ a) mopirdapire gverdebis  SeiZleba Tu ara oTxkuTxeds gamoyofil meore
oTxkuTxedi, romlis mixedviT; mopirdapire gverdebi toli saaTze)
mopirdapire gverdebi b) mopirdapire kuTxeebis hqondes da mopirdapire kuTxeebi wyvilebSi samuSao:
paraleluria; mixedviT; aratoli? #16 da #18
 paralelogramobis g) diagonalebis mixedviT; savarjiSoebi.
 SeiZleba Tu ara centrulad-
niSnebi; d) ori mopirdapire gverdis simetriuli oTxkuTxedi ar iyos
 medianebis Tviseba. mixedviT; paralelogrami?
 samkuTxedis medianebis  iqneba Tu ara paralelogrami iseTi
Tviseba; oTxkuTxedi, romlis oTxive
 samkuTxedebis tolobis a) gverdi, b) kuTxe tolia?
niSnebi.
pirveli gakveTili
mizani:
 paralelogramobis niSnebis gacnoba;
 damtkicebis gzebis damoukideblad Ziebis unaris ganviTareba.
 miRebuli codnis gamoyeneba amocanebis amoxsnisa da debulebis damtkicebisas.
saWiro masala: kompiuteri, proeqtori, ekrani.
II. Temisa da miznis gacnoba (umjobesia, moswavleebma Camoayalibon)
Temis Seswavlamde maswavlebelma paraleluri wrfeebis magaliTze yuradReba unda gaamaxvilos paralelur wrfeTa
Tvisebebsa da paralelobis niSnebze, rogorc urTierTSebrunebul Teoremebze. moswavleebs unda SesTavazos mocemuli
Teoremis Sebrunebuli Teoremis Camoyalibeba da misi marTebuloba-mcdarobis dasabuTeba.
moswavleebma scadon paralelogramis niSnebis damoukideblad damtkiceba.
96
maswavlebeli: _ra aris Teorema?
_ ra nawilebisagan Sedgeba Teorema?
_ ra ewodeba Teoremas, romelSic pirobas da daskvnas adgili aqvs Secvlili?
_ SegiZliaT romelime Teoremisa da misi Sebrulebuli Teoremis magaliTad moyvana?
_ me Camovayalibeb Teoremas, Tqven CamoayalibeT misi Sebrunebuli Teorema:
`paralelogramis mopirdapire kuTxeebi tolia.~
_ marTalia (ambobs moswavleTa swori pasuxis Semdeg), am Teoremis Sebrunebuli Teorema ase JRers:
`Tu oTxkuTxedis mopirdapire kuTxeebi tolia, maSin es oTxkuTxedi paralelogramia~.
_ yovelTvis WeSmaritia Sebrunebuli Teorema? (ara) magaliTad?
_ SevamowmoT, WeSmaritia Tu mcdari Cven mier Camoyalibebuli Sebrunebuli Teorema. ra unda movimoqmedoT saamisod? ( unda
davamtkicoT.)
_ scadeT Teoremis damtkiceba. am Teoremas paralelogramobis niSani hqvia.
ayalibeben paralelogramobis sxva niSnebsac. dafasTan iZaxebs msurvelebs da amtkiceben paralelogramis niSnebs.
V. ganmtkiceba
saxelmZRvanelodan amoxsnian savarjiSoebs maswavleblis Sexedulebis mixedviT.
momdevno gakveTilze gaecnobian medianebis Tvisebas (me-5 Teoremas) da mis gamoyenebas. imuSaveben amocanebze da Seasruleben
kompleqsur davalebas (sav.#16, 18).
 paralelogramis niSnebis dasabuTeba;
 paralelogramis amocnoba niSnebis gamoyenebiT;
 samkuTxedis medianis Tvisebebis gamoyvana da gamoyeneba;
Teoremis damtkicebisas mizez-Sedegobrivi kavSirebis danaxva, logikuri msjeloba, dasabuTeba. B
A C
sav.#6. tolferda  ABE -Si erTi kuTxea 60 , amitom is tolgverdaa. aqedan EB=4,5sm.
E
EBCD oTxkuTxedi paralelogramia, radgan misi ori mopirdapire gverdi toli da pa- B D
raleluria. a
K
b
amitom CD=EB=4,5sm. pasuxi: 4,5sm.
sav.#11. naxazis gamoyenebiT moswavle advilad dainaxavs amoxsnis gzas. daadgens ra AKD M
b b
samkuTxedis ferdebis tolobas, miiRebs, rom PKBMD  2  a  b   14 dm. a
A D C
97
1800  1200 B
sav.#14. C   300 , amitom marTkuTxa BKC samkuTxedSi am kuTxis mopirdapire
2 D
O
BC
kaTeti BK   6 sm. O medianebis gadakveTis wertilia. medianis Tvisebis gamoyenebiT,
2 A C
K
1
OK  BK  2 sm. pasuxi: 2sm . B
3
1 1
sav.#16. KD  AD  30 sm, OD  AD  20 sm, KO  30  20  10 (sm). pasuxi: 10sm . D
2 3 O
K
B C #18. BK da AO monakveTebi  ABD -s medianebia. A C
O medianebis Tvisebis Tanaxmad davadgenT, rom TK  7
sm.
A K D
#22. aRvniSnoT AD diagonalis Sua wertili O asoTi. ACDN da ABDM C D
oTxkuTxedebi paralelogramebia, radgan TiToeuli maTganis ori mopirdapire gverdi tolia da
paraleluri. ACDN paralelogramSi CN diagonali AD diagonals gadakveTs O SuawertilSi. aseve,
ABDM paralelogramSi BM diagonali AD diagonals gadakveTs O Sua wertilSi. e.i. samive es diagona- B M
O
li erT wertilSi gadaikveTeba.
A N
proeqti `paralelogrami TargebSi~
proeqtis saxelwodeba: paralelogrami da Targis ageba.

proeqtis tipi: saganTaSorisi, jgufuri, xangrZlivi.
miznebi:
1) vaCvenoT maTematikuri modelis cxovrebaSi gamoyeneba;
2) gavuRrmaoT maTematikis swavlisadmi interesi.
amocanebi:
 gavacnoT paralelogramis saxeebi;
 vaCvenoT maTematikis gamoyenebis magaliTi gamoyenebiT xelovnebaSi;
 vaCvenoT paralelogramisa da misi Tvisebebis praqtikuli gamoyenebis magaliTi cxovrebaSi;
 vaCvenoT, Tu rogor amartivebs tansacmlis Targis agebas paralelogramisa da misi Tvisebebis codnis gamoyeneba.
98
proeqtis xelmZRvaneli: maTematikis maswavlebeli
mosalodneli Sedegebi: prezentacia, gamosvla moswavleTa da mSobelTa winaSe.
proeqtze muSaobis dro: 3 Tve.
muSaobis reJimi: arasagakveTilo dro.
proeqtze muSaobis etapebi:
1) mosamzadebeli
a) saWiro informaciisa da dizain-specifikis gacnoba;
b) proeqtis miznebisa da amocanebis gansazRvra.
2) muSaobis dagegmva
3) proeqtis realizeba
a) saproeqto TemasTan dakavSirebuli modelebis SerCeva;
b) leqsikonis Sedgena SerCeuli modelebis mixedviT;
g) saproeqto TemasTan dakavSirebuli modelebis fotoebis SerCeva;
d) saproeqto TemasTan dakavSirebuli modelebis Targebis moZieba;
e) geometriis gamoyenebis magaliTebis amokreba Targis naxazis mixedviT;
4) saproeqto muSaobis Sedegi
Sedegs ra formiT warmoadgenen _ es ukve im jgufis fantaziazea damokidebuli, romelic am proeqtze muSaobs. erTsa da
imave proeqtze SesaZloa sxvadasxva saxis produqtis momzadeba.
magaliTad,
 multimediuri, (diafilmi, videorgoli an vebsaiti);
 RonisZieba (eqskursia xelovnebis muzeumSi, erovnul muzeumSi, samkervalo dawesebulebaSi);
 albomi;
 amocanaTa krebuli;
 stendi da a.S.
5) prezentacia
Sedegebis demonstrireba, misi Sefaseba (maswavleblisagan, megobrebisgan, Jiurisgan (Tu aseTi iqneba), TviTSefaseba.
sarCevis saxiT magaliTad moviyvanT, ra unda aCvenon SedegSi.
99
sarCevi
1) kvlevis aqtualoba;
2) leqsikoni (ganmartebuli unda iyos gamoyenebuli terminebi. magaliTad, modelebis an maTi detalebis saxelwodeba, ra
aris paralelogrami, rombi, kvadrati, marTkuTxedi _ naxazebis TanxlebiT);
3) pareo (unda axldes Sesabamisi Targi, Sekervis wesi da foto);
4) qveda bolo (unda axldes Sesabamisi Targi, Sekervis wesi da foto);
5) winsafari (unda axldes Sesabamisi Sekervis wesi, Targi da foto);
6) Ramis perangi (unda axldes Sesabamisi Sekervis wesi, Targi da foto);
7) dakerebuli jibeebi (unda axldes Sesabamisi Targi, Sekervis wesi da foto);
8) sayelo (unda axldes Sesabamisi Targi, Sekervis wesi da foto);
9) Sarfi (unda axldes Sesabamisi Targi, Sekervis wesi da foto(naqsovis da Sekerilis));
10) ponCo (unda axldes Sesabamisi Sekervis wesi, Targi da foto);
11) nakuwebiT kerva (unda axldes Sesabamisi ramdenime foto);
12) ganzogadeba da daskvnebi;
13) gamoyenebuli literaturis sia.
100
prezentaciis Sefasebis nimuSi
fasdeba dabali saSualo maRali

aqtivobebi
Temis gasagebad ver warmoadgens Temas warmoadgens Temas gasagebad, warmoadgens Temas gasagebad,
warmodgena gasagebad. magram araargumentirebulad. amyarebs argumentebiT.
informaciis ver flobs saWiro informa- flobs saWiro informacias, flobs saWiro informacias,
flobis unari cias, ar SeuZlia dasabuTe- magram ar SeuZlia dasabuTe- amyarebs argumentebiT da
buli msjeloba. buli msjeloba. damajereblad asabuTebs.
TvalsaCinoebis ar iyenebs TvalsaCinoebაs. iyenebs TvalsaCinoebაs, Tumca iyenebs Tematikis Sesabamis
gamoyeneba Temas nawilobriv pasuxobs. TvalsaCinoebas.
drois limiti ver icavs drois limits. nawilobriv icavs drois zustad icavs drois limits.
limits.
101
I varianti
1) ori paraleluri wrfis mesame wrfiT gadakveTisas miRebuli erTi kuTxe 42 -iT metia meoreze. ipove es kuTxeebi.
2) paralelogramis perimetri 80 sm-is tolia. gaige, ra sigrZisaa paralelogramis gverdebi, Tu erTi maTganis sigrZe meoris
sigrZis 25%-ia.
3) sakoordinato sibrtyeze aage samkuTxedi A  4;  3 , B  5; 4  , C  1;1 wveroebiT. aage ABC samkuTxedis simetriuli
A1 B1C1 samkuTxedi koordinatTa saTavis mimarT. Cawere A1 B1C1 samkuTxediis wveroebis koordinatebi.
4) ra sididis kuTxes Seadgens saaTis isrebi 11 saaTsa da 10 wuTze?
II varianti
1) ori paraleluri wrfis mesame wrfiT gadakveTisas miRebuli erTi kuTxe 36 -iT naklebia meoreze. ipove es kuTxeebi.
2) paralelogramis perimetri 60 sm-is tolia. gaige, ra sigrZisaa paralelogramis gverdebi, Tu erTi maTganis sigrZe meoris
sigrZis 20% -ia.
3) sakoordinato sibrtyeze aage samkuTxedi A  2; 2  , B  4;5  , C  7;  1 wveroebiT. aage ABC samkuTxedis simetriuli A1 B1C1
samkuTxedi koordinatTa saTavis mimarT. Cawere A1 B1C1 samkuTxediis wveroebis koordinatebi.
4) ra sididis kuTxes Seadgenen saaTis isrebi 11 saaTsa da 20 wuTze?
102
I varianti
1) daxaza da SearCia kuTxeebi --------- 0,5 qula;
Semoitana aRniSvnebi ---------------- 0,5 qula;
amoxsna da dawera swori pasuxi ----- 1 qula.
sul 2 qula.
2) Semoitana aRniSvnebi da dawera gantoleba ----- 1 qula;

amoxsna gantoleba da dawera swori pasuxi ----- 1 qula.
sul 2 qula.
3) daxaza ABC samkuTxedi ----- 1 qula;

sworad aago A1 B1C1 samkuTxedi ------ 1 qula;
sworad Cawera A1 , B1 , C1 wertilebis koordinatebi ------ 1 qula.
sul 3 qula.
4) daadgina, 10 wT-Si ramdeni gradusiT Semobrundeba wuTebis maCvenebeli isari

 60  an ramdeni gradusia isrebs Soris11 sT-ze ----- 1 qula.
daadgina, 10 wT-Si ramdeni gradusiT Semobrundeba saaTebis maCvenebeli
isari  5  ----- 1 qula.
gamoTvala kuTxe isrebs Soris  30  60  5  85  ----- 1 qula.
sul 3 qula.
103
ganmaviTarebeli Sefaseba
aqtivobebi aradamakmayofile-beli damakmayofilebeli kargi sanimuSo
paraleluri ar icis paraleluri cnobs da asaxelebs cnobs da asaxelebs para- icis paraleluri
wrfeebi, ori wrfeebis mesame wrfiT paraleluri wrfeebis leluri wrfeebis mesame wrfeebis mesame wrfiT
paraleluri gadakveTiT miRebuli mesame wrfiT gadakve- wrfiT gadakveTiT miRe- gadakveTiT miRebuli
wrfisa da maTi kuTxeebis arc TiT miRebul kuTxe- bul kuTxeebs, icis maTi kuTxeebis Tvisebebi.
mesame wrfiT dasaxeleba, arc ebs, magram nawilo_ Tvisebebi, xarvezebiT uSecdomod axerxebs maT
gadakveTiT mi- Tvisebebi. ver axerxebs briv icis maTi Tvise- axerxebs maTs gamoyene- adekvatur gamoyenebas.
Rebuli kuTxe- davalebis Sesrulebas. bebi. ver axerxebs bas. axerxebs davalebis Seuferxeblad
ebis Tvisebebi. maTs gamoyenebas. Sesrulebas. asrulebs davalebebs.
paralelo- ver arCevs paralelo- nawilobriv, Se- icis paralelogramis ni- icis paralelogramis
grami, para- grams sxva oTx- ferxebiT axerxebs San-Tvisebebi. axerxebs niSan-Tvisebebi.
lelogramis kuTxedebisagan, ver paralelogramis maTi gamoyenebis swori uSecdomod,
niSan-Tvise- axerxebs paralelo- Temaze davalebis Se- strategiis SerCevas da Seuferxeblad
bebi. logramis Temaze amo- srulebas, eSleba davalebis Sesrulebas. asrulebs davalebas.
canis amoxsnas. ar icis paralelogramis sworad, magram uzusto-
paralelogramis niSan- Tvisebebi. bebiT xsnis amocanas.
Tvisebebi.
davalebis gaa- ver iazrebs davalebas, nawilobriv aRiqvams aRiqvams amocanis kargad aRiqvams
zreba, maTema- ver axerxebs mo- amocanis Sinaarss. Sinaarss. gamijnavs mona- amocanis Sinaarss. gami-
tikuri obieq- nacemebisa da saZiebeli nawilobriv axerxebs cemebsa da saZiebel jnavs monacemebsa da sa-
tebis warmo- sidideebis organize- monacemTa da saZie- sidideebs. axerxebs maT Ziebel sidideebs.
dgena maTema- basa da warmodgenas, ver bel sidideTa organizebas da warmo- kargad axerxebs maTema-
tikuri mode- adgens maTematikur organizebasa da dgenas modelis saxiT. tikuri modelis sworad
lis Sedgena. models. warmodgenas. warmodgenas.
104
$ 2.7 rombi. rombis Tvisebebi (3 sT.)
Tema: rombis Tvisebebi
TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi: rombis diagonalebi misi simetriis RerZebia.

dakavSirebuli mkvidri  rombi paralelogramis  ra niSniT SeiZleba rombis leba (Sesruldeba
warmodgenebi: kerZo SemTxvevaa; amocnoba? TemisTvis
 rombi _ oTxkuTxedi,  kvadrati rombis kerZo  SeiZleba Tu ara oTxkuTxeds gamoyofil mesame
romlis oTxive gverdi SemTxvevaa; diagonalebi urTierTmarTobuli saaTze)
tolia; wyvilebSi samuSao:
 diagonalebi rombs oTx hqondes da ar iyos rombi?
 diagonalebi #19 savarjiSo.
tol samkuTxedad yofs;  ratomaa rombi paralelogramis
urTierTmarTobulia;  rombi RerZulad da kerZo SemTxveva?
 diagonalebi kuTxeTa centrulad simetriuli  SeiZleba Tu ara paralelograms
biseqtrisebia. figuraa. diagonalebi urTierTmarTobuli
hqondes da ar iyos rombi?
pirveli gakveTili
mizani:
 rombis, rogorc paralelogramis kerZo SemTxvevis (qvecnebis) gacnoba da gaazreba;
 rombis diagonalebis Tvisebebis damtkiceba.
 miRebuli codnis gamoyeneba amocanebis amoxsnisa da debulebis damtkicebisas.
aqtivobebi:
karnaxi
maswavlebeli: _ me wavikiTxav gamonaTqvams. Tqven unda gaarkvioT, WeSmaritia Tu mcdari es gamonaTqvami. WeSmariti
gamonaTqvamis pasuxi CawereT pliusiT, mcdaris _ minusiT.
105
1) paralelograms diagonali or tol samkuTxedad yofs; (+)
2) diagonali paralelogramis simetriis RerZia; (-)
3) diagonalebiT paralelogrami oTx tol samkuTxedad iyofa;(-)
4) diagonalebis gadakveTis wertili paralelogramis simetriis centria; (+)
5) Tu oTxkuTxeds yvela gverdi toli aqvs, maSin es oTxkuTxedi paralelogramia; (+)
6) Tu oTxkuTxeds toli gverdebis ori wyvili aqvs, maSin es oTxkuTxedi paralelogramia. (-)
mosamzadebeli etapi
masawavlebeli: _amoxseniT naxazebiT mocemuli amocanebi. ipoveT paralelogramis ucnobi kuTxeebi.
600
680 350
450 25o
300
520
III. gakveTilis miznis gacnoba

maswavlebels ekranze gamoaqvs naxazebi. moswavleebi amocanebs xsnian zepirad.
_ rogori paralelogramebia mocemuli bolo or amocanaSi? (ukve amoxsnili aqvT da uSecdomod upasuxeben dasmul kiTxvas.
(tolgverda.)
_ tolgverda parallelograms rombi ewodeba. dRes rombs davuTmobT Cvens gakveTils. viswavliT da davamtkicebT mis
Tvisebebs.
maswavlebeli: _ rogorc aRvniSne, rombi paralelogramia. amis safuZvelze SegiZliaT misi romelime Tvisebis Camoyalibeba?
(pasuxoben)
_ rombs aqvs kidev erTi Tviseba, romelic sxva paralelogramebisagan gamoarCevs.
rombis diagonalebi urTierTmarTobulia da kuTxeebis biseqtrisebs warmoadgenen.
es Tvisebebi Teoremis saxiTaa saxelmZRvaneloSi mocemuli da damtkicebac axlavs.
106
_ TeoremaSi ori ram gvaqvs dasamtkicebeli. erTi damtkiceba saxelmZRvaneloSi gaarCios erTma jgufma (merxebis erTi rigi),
meore _ meore jgufma (merxebis meore rigi. Tu meti rigia, im rigsac imave wesiT miscems davalebas) geZlevaT 3 wT.
erTi jgufidan gamodis erTi bavSvi da amtkicebs, rom rombis diagonalebi urTierTmarTobulia (naxazs ar waSlis). meore
rigidan gamosuli amtkicebs, rom diagonalebi kuTxeebis biseqtrisebs warmoadgens. amasac eTmoba 2-3 wT.
V. ganmtkiceba
1) maswavlebeli svams kiTxvebs:
 rombis perimetri 1 m-is tolia. ra sigrZisaa rombis gverdi?
 rombis erTi kuTxe 600 -is tolia. ras udris rombis danarCeni kuTxeebis sidideebi?
2) muSaoben sav.#2, #3, #5, #7.
sav.#8 (rveulebSi upasuxeben davalebaSi dasmul kiTxvebs. pasuxebs sityvierad daasabuTeben.)
VII. refleqsia
_ rogor oTxkuTxeds ewodeba rombi?
_ ra Tviseba aqvs rombs iseTi, romelic aqamde Seswavlili paralelogramebis Tvisebebisagan gansxvavebulia?
_ yvelaferi kargad gaigeT?
_ ra iyo rTuli?
_ raSi viyenebT rombis Tvisebebs?
_ cxovrebaSi sad ginaxavT rombis gamoyeneba? (mozaikaSi, naqargebSi.)
_ romeli cnobili mxatvari iyenebda naxatebSi geometriul figurebs?
_ aageT rombis simetriis RerZebi. ramdeni simetriis RerZi aqvs rombs?
VIII. saSinao davaleba: sav.#1, #4, #6, #18.
Sefasebis kriteriumebi
moswavlem unda icodes:
 rombis gansazRvreba;
 rom rombs aqvs paralelogramis yvela Tviseba da unda icodes es Tvisebebi;
 rom rombs aqvs damatebiTi Tviseba da unda icodes es Tviseba.
unda SeeZlos:
 rombis diagonalebis Tvisebebis dasabuTeba da maTi gamoyeneba amocanebis amosaxsnelad;
rombisa da misi simetriis RerZebis ageba.
107
sav.#15. mocemul pirobebSi  ABD tolgverdaa, xolo ATBD oTxkuTxedi rombia. B C
T
amitom misi DT da AB diagonalebi urTierTmarTobulia. pasuxi: 900. C
sav.#16. radgan wrewiris centri diametris Sua wertilia, amitom ABDC oTxkuT-
xedis diagonalebi gadakveTis wertiliT Suaze iyofa, e.i. oTxkuTxedi paralelog- D A D
ramia. urTierTmarTobuli diametrebis SemTxvevaSi miiReba rombi. O
B
sav.#17. a) aRvniSnoT AB da OO1 monakveTebis gadakveTis wertili T -Ti, xolo
ATO sidide Ti maSin O1TB  . ATO da TO1 B tolferda samkuTxedebia, e.i A O1
O1 BT  O1TB   da OAT  OTA   . miviReT, rom ori O1 B da AO wrfis mesame AB
A  T B
O
wrfiT gadakveTisas miRebuli Siga jvaredini kuTxeebi tolia, amitom es ori wrfe
paraleluria;
b) Tu moviTxovT O1 B da AO radiusebis tolobas, y
maSin OAO1 B paralelogrami aRmoCndeba; 4 B
3
g)SeuZlebelia, radgan OB -s sigrZe metia OA -s A
2 C
sigrZeze.
sav.#18. ABCD rombSi AC diagonalia. BD 1
D
diagonali mis marTobul wrfeze Zevs. amocanis _3 _1 0 1 2 3 4 5
x
_1
pirobis mixedviT, misi sigrZe AC -s naxevaria, anu 3
erTeuli. rombis diagonalebi urTierTmarTobulia
da gadakveTis wertiliT orive Suaze iyofa.
maSasadame, B wveros koordinatebia (2; 3,5), xolo C
wveros koordinatebi _ (2; 0,5)
praqtikuli samuSao. 1. miviRebT marTkuTxa samkuTxeds; 2. gamodgeba marTkuTxa samkuTxedi.
108
$ 2.8 marTkuTxedi da kvadrati (2 sT.)
Tema: marTkuTxedis da kvadratis Tvisebebi
TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi: marTkuTxedis diagonalebi tolia.
dakavSirebuli mkvidri  marTkuTxedi  ra ewodeba figuras, romelic leba (Sesruldeba
warmodgenebi: paralelogramis kerZo marTkuTxedicaa da rombic? TemisTvis
 marTkuTxedi _ SemTxvevaa;  SeiZleba Tu ara oTxkuTxeds gamoyofil meore
oTxkuTxedi, romlis  kvadrati rombis kerZo diagonalebi urTierTmarTobuli saaTze)
oTxive kuTxe tolia; SemTxvevaa; da toli hqondes da ar iyos wyvilebSi samuSao:
 diagonalebi tolia; #20, 21
 kvadratis diagonalebi kvadrati?
savarjiSoebi.
 kvadrati- oTxkuTxedi toli da  ratomaa marTkuTxedi
romlis oTxive gverdi urTierTmarTobulia; paralelogramis kerZo SemTxveva?
da oTxive kuTxe tolia.  rombi RerZulad da  SeiZleba Tu ara marTkuTxeds
centrulad simetriuli diagonalebi urTierTmarTobuli
figuraa. hqondes da ar iyos kvadrati?
komentarebi savarjiSoebis Sesaxeb dada pasuxebi:
2.tolferda AOB samkuTxedSi erTi kuTxis sididea 600, amitom es samkuTxedi
B C
 tolgverdaa: AB  OB  OA  7 : 2  3,5 .  ABC -Si AB 30 gradusiani kuTxis A
600
O mopirdapire gverdia, BC ki 60 gradusianis, e.i. marTkuTxedis umciresi
A D gverdia AB . pasuxi: 3,5sm. F M
5.marTkuTxa ABC sakuTxedSi hipotenuzisadmi gavlebuli mediana_
CM  AB : 2  7 sm. miRebul oTxkuTxeds paraleluri gverdebis ori wyvili aqvs , e.i. paralelogramia, C B
E
misi erTi kuTxis sididea 90 , amitom marTkuTxedia, maSin misi diagonalebi tolia: EF  CM  7 sm.
0
pasuxi: 7sm;
4x
18. vTqvaT DK  x , maSin BK  3x , OK  OD  x   x  x . e.i. CK warmoadgens OD monakveTis B C
2
2x
SuamarTobs, masze mdebare C wertili Tanabradaa daSorebuli am monakveTis boloebidan:
CO  CD  5 sm, maSin AC  10 sm. pasuxi: 10sm. O x x
K
A D
109
19. SevavsoT ABC samkuTxedi ACBD marTkuTxedamde. CO=OB, rogorc diagonalebis
∠
B
=
9
0
°
-
∠
A
=
6
0
°
B D
naxevrebi, amasTan . amitom, samkuTxedi BOC tolgverdaa.
O aqedan, BC=BO=AO. r.d.g.
C A
20. M
B D
CAK  MCA  BKC  30 
pasuxi: 2sm.
2x  BK  x, AK  2 x  3 x  3  2 x  2.
C A
x K 2x
14 x 10 x x x x x x x
21. erT SemTxvevaSi es Sefardebaa  3, 5 , meore SemTxvevaSi ki  2, 5 . pasuxi: 3,5. 2,5.
2x 4x x
x x x
aba, scade!
naxazze mocemuli aRniSvnebiT miviRebT:
x + a/2=a-x+a. aqedan, x=3a/4.
x
a/2
a/2
pasuxi: 3:3: 2.
a-x
SesaZlebelia Tu ara?
SesaZlebelia. amisaTvis SevaerToT mopirdapire gverdebis Sua wertilebi da TiToeul wertilze gavataroT miRebuli
monakveTebis paraleluri wrfeebi.
110
$2.9 trapecia. trapeciis Tvisebebi (3 sT.)
Tema: trapeciis Tvisebebi
TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi: trapeciis ori gevrdi paraleluri, xolo ori _ araparaleluria.
samizne cnebebi da maT- sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi: kompleqsuri
Tan dakavSirebuli  toferda trapecia- arapara-  ra Tviseba aqvs trapeciis ferdTan davaleba
mkvidri warmodgenebi: leluri gverdebi aqvs toli; mdebare kuTxeebs? (Sesruldeba
 tarpecia _  marTkuTxa trapecia _ erTi  SeiZleba Tu ara trapeciis fuZeebi TemisTvis
oTxkuTxedi, romlis ferdi fuZis marTobulia; toli iyos? ferdebi? gamoyofil
mxolod ori gverdia  simaRle _ fuZeebis an maTi mesame saaTze)
 SeiZleba Tu ara, trapeciis diagonali
paraleluri; wyvilebSi
gagrZelebebis SemaerTebeli, misi simaRle iyos?
 fuZeebi _ samuSao: # 17
maTi perpendikularuli  ras warmoadgens trapeciis Sua xazi?
paraleluri da # 21
monakveTi;  ra Tviseba aqvs trapeciis Sua xazs?
gverdebi; savarjiSoebi.
 Sua xazi _ ferdebis Suawerti-  SeiZleba Tu ara trapeciis Sua xazi
 ferdebi _ arapara- lebis SemaerTebeli diagonalebis gadakveTis wertilze
leluri gverdebi. monakveTi. gadiodes?
pirveli gakveTili
mizani:
 trapeciisa da misi Tvisebebis gacnoba;
 trapeciis kerZo SemTxvevebis (tolferda trapecia, marTkuTxa trapecia) gacnoba;
 oTxkuTxedebis Sesaxeb miRebuli codnis gameoreba.
 miRebuli codnis gamoyeneba amocanebis amoxsnisa da debulebebis damtkicebisas.
1) mcdaria Tu WeSmariti gamonaTqvami? upasuxeT zepirad. mcdar gamonaTqvamebs SeafasebT minusiT,
WeSmarits _ plusiT.
 nebismieri rombi paralelogramia; (+)
111
 nebismieri rombi marTkuTxedia; (-)
 nebismieri marTkuTxedi paralelogramia; (+)
 Tu oTxkuTxedis diagonalebi tolia, maSin is marTkuTxedia; (-)
 Tu oTxkuTxedis diagonalebi perpendikularulebia, maSin is rombia; (-)
 Tu paralelogramis diagonalebi tolia, maSin is marTkuTxedia. (+)
2) zepirad amoxseniT naxazebiT warmodgenili amocanebi.
5 6
P?
45o P? 4
P? 6 30 0
P? 3
3
8
B
AC  24, PDEFK D E
E F K
C F
A
K C DF  30, CF  22. P KDE  ?
D
B C B C F B C
?
35o
42o ?
A D E A D
A D
ABCD EBFD ra figuraa ABCD ?
marTkuTxedia paralelogramia daasabuTe.
112
3) aRadgineT winadadebaSi gamotovebuli sityvebi (zepirad):
 marTkuTxedis diagonalebi . . . .
 marTkuTxedis yvela kuTxe . . . .
 marTkuTxedis diagonalebi erTmaneTs gadakveTs da gadakveTis wertiliT . . . .
 marTkuTxedis mopirdapire gverdebi . . . .
 kvadrati iseTi marTkuTxedia, romlis . . . tolia.
 marTkuTxedi iseTi paralelogramia, romlis. . . tolia.
 kvadaratis diagonali misi kuTxeebis . . . .
III. gakveTilis Temisa da miznebis gacnoba
gavixsenoT oTxkuTxedebis klasifikacia. ra saxis oTxkuTxedebi viciT?
_ mocemuli figurebidan romlebia paralelogrami? (1, 2, 4)
#1 #2 #3 #4 #5
_ am figurebidan romel figurebs ar vicnobT? (#3-sa da #5-s.)

_ ras ityviT am oTxkuTxedebis gverdebis Sesaxeb? (2 gverdi paraleluria)
_ dRes swored iseT oTxkuTxedebs SeviswavliT, romelTac ori paraleluri da ori araparaleluri gverdi aqvT.
_ iseve, rogorc samkuTxeds, trapeciasac aqvs Sua xazi. rogor warmogidgeniaT, ra aris trapeciis Sua xazi? (moswavleebi
ayalibeben TavianT hipoTezebs. bolos Sejerdebian: trapeciis ferdebis Sua wertilebis SemaerTebel monakveTs Sua xazi
ewodeba)
_ dRes unda gavecnoT trapecias, trapeciis Suaxazs da maTs Tvisebebs.
maswavlebeli sTxovs moswavleebs, daxazon amozneqili oTxkuTxedi, romelsac paraleluri gverdebis mxolod erTi wyvili
aqvs.
acnobs moswavleebs trapecias, mis ganmartebas, Semadgenel elementebs, saxeebs.
aCvenebs klass moswavleebis mier daxazul sxvadasxva saxis trapeciebs: (marTkuTxa, zogadi saxis). sTavazobs, TviTon
SearCion saxelwodeba TiToeuli am trapeciisTvis.
moswavleTa yuradReba aucileblad unda gaamaxvilos imaze, rom mocemuli ganmartebis safuZvelze trapecia ar SeiZleba
iyos paralelogrami.
113
yuradReba unda miaqcios imasac, rom moswavleebs ar CamouyalibdeT mcdari stereotipi, rom trapeciaSi maxvili kuTxe
mxolod did fuZesTan unda iyos da blagvi _ mxolod mciresTan. unda daaxazvinos moswavleebs sxvadasxvanairi trapeciebi,
maT Soris marTkuTxac.
#1 #2 #3 #4 #5
moswavles unda moeTxovos amocanis amoxsnisas an mokled Cawerisas fuZeebis paralelurobis pirobis Cawera.
_ daxazeT ABCD trapecia AD fuZiT da AB ferdis E Sua wertilidan gaavleT
fuZeebis paraleluri EF monakveTi CD ferdis gadakveTamde. ra SegiZliaT TqvaT F wertilze? (Talesis Teoremis
Tanaxmad, F wertili CD ferdis Sua wertilia)
_ ras daarqmevT EF monakveTs? (trapeciis Sua xazs)
_ marTalia. EF monakveTi trapeciis Sua xazia. kargad ganvmartoT, ras warmoadgns trapeciis Suaxazi.
_ Cven ukve ganvmarteT, Tu ras warmoadgens trapeciis Sua xazi. axla vimsjeloT mis Tvisebebze. Tqveni azriT, ra Tvisebebi
SeiZleba hqondes trapeciis Sua xazs? (moismenen erTmaneTis azrs. mosalodnelia, miagnon im Tvisebas, rom Sua xazi trapeciis
fuZeebis paraleluria.)
_ ramdenad sworia Tqveni naazrevi, amaSi rogor davrwmundeT? (unda davasabuToT.)
_ scadeT daamtkicoT Teorema: trapeciis Sua xazi fuZeebis paraleluria da maTi sigrZeTa jamis naxevris tolia. (erTi
moswavle muSaobs dafis ukana nawilze, danarCenebi damoukideblad muSaoben.)
V. ganmtkiceba
maswavlebels ekranze (dafaze) gamoaqvs amocanebi naxaziT da xsnian zepirad.
 ipove ABCD trapeciis kuTxeebis zomebi.
C B C B C
B
110 115
#1
72 45 #2 75 #3
D A D A D
114
B C C C
C #5 C C
C
#4 #6
48 C C
A D C C
gasameorebel masalaze muSaoba _sav.#24

VI . saSinao davaleba: sav.#2, #5, #11, #25.
Sefasebis kriteriumi
 trapeciis amocnoba, daxazva, misi dasaxelebis Cawera da wakiTxva;
 trapeciis Tvisebebis amocanebis amosaxsnelad gamoyeneba;
 trapeciis Sua xazisa da misi Tvisebis gacnoba, damtkiceba.
meore gakveTili
mizani:
 tolferda trapeciis Tvisebis gacnoba da damtkiceba;
 muSaobisas kvlevis elementebis gamoyenebis unaris ganviTareba;
 geometriuli amocanebis amoxsnisas logikuri azrovnebis ganviTareba;
 logikuri msjelobis, analizisa da daskvnis gakeTebis, maTematikuri eniT msjelobis unarebis ganviTareba.
II. winare codnis gaaqtiureba (Semowmeba, Tu ramdenad aiTvises saswavlo masala.)
1) frontaluri gamokiTxva
 ganmarteT kvadrati, rogorc: a) marTkuTxedis, b) rombis, g) paralelogramis kerZo SemTxveva;
(magaliTad, kvadrati iseTi marTkuTxedia, romlis . . . .);
115
 simetriis ramdeni RerZi aqvs kvadrats?
 ganmarteT, ras ewodeba: a) trapecia; b) rombi; g) paralelogrami.
 SesaZloa, rom paralelogrami iyos RerZulad simetriuli? ( imsjelos klasTan erTad.)
 ras ewodeba samkuTxedis Sua xazi?
 ra Tviseba aqvs samkuTxedis Sua xazs? B C B C
2) a) ipoveT ABCD (#1, #2) trapeciis kuTxeebis zomebi. upasuxeT #2
zepirad.b) ra saxis trapeciebia naxazze mocemuli? (tolferda.) #1 120
40
III. gakveTilis Temis gacnoba (maswavlebeli acnobs gakveTilis A D A D
Temasa da mizans)
IV. axali masalis axsna.
maswavlebeli acnobs tolferda trapecias da mis Tvisebebs
(Tvisebebis damtkicebisas inciativas maswavlebeli moswavleebs uTmobs).
V . ganmtkiceba, amocanebis amoxsna
miRebuli codnis ganmtkicebis mizniT xsnian amocanebs:
1) ABCD trapeciaSi, romlis fuZea AD , gaavleT AB -s paraleluri CF monakveTi. ra figuraa ABCF ?
2) ABCD trapeciaSi AD gverdis mimdebare kuTxeebi 750 -isa da 800 -is tolia. ipove danarCeni kuTxeebis zomebi. aris Tu
ara es trapecia tolferda? ratom?
3) tolferda trapeciis gansazRvrebis gamoyenebiT aZlevs amocanas:
daamtkiceT, rom ABCD tolferda trapeciis AD (did) fuZes BK da CL simaRleebi CamokveTen tol monakveTebs.
VI. gasameorebel masalaze muSaoba: sav.#26.
VII. refleqsia
_ Cveni gakveTili dasasruls uaxlovdeba. CamoayalibeT Tqveni azri dRevandeli gakveTilis Sesaxeb Semdegi sityvebis
gamoyenebiT:
me gavige . . .
me gaviazre . . .
me davinaxe . . .
me SevniSne, rom . . .
me sainteresod momeCvena . . .
saSinao davaleba: sav. #8, #9, #15.
116
mesame gakveTili
mizani:
 trapeciis Suaxazis gacnoba;
 trpeciis Suaxazis Tvisebebis dadgena;
 kompleqsuri davalebis Sesruleba (asruleben #17 da #21 savarjiSoebs);
 muSaobisas kvlevis elementebis gamoyenebis unaris ganviTareba;
 geometriuli amocanebis amoxsnisas logikuri azrovnebis ganviTareba;
 logikuri msjelobis, analizisa da daskvnis gakeTebis, maTematikuri eniT msjelobis unarebis ganviTareba.
sav.#3.mocemulobiT x  y  z  45 sm, trapeciis perimetria: 12
x y
x  12  y  12  z  x  y  z  24  69 (sm). pasuxi: 69sm; (nax.1) y
z 12 nax.1 15
14 17 17
sav.# 9.samkuTxedis perimetria : 14  17  6  37 (sm). pasuxi: 37sm; (nax.2) nax.2
6 15
7,5  9, 7
sav.#11. trapeciis Sua xazi x   8, 6 (sm ). pasuxi: 8,6sm.
2
7,5 x 9,7
A saxelmZRvanelodan sav.#15, #19.
5,3
x 8, 7  5,3 5,3 5,3 8, 7  5,3

sav.#12. 8,7 x     1, 7 (sm).
2 2 2 2
B pasuxi: 1,7sm.
B 2a C
sav.#14. SemovitanoT aRniSvnebi: BC  2a,
AD  2b. maSin MF  b  EN , naxazze b  a  x  x  b  a. maSasadame, dia- a b F
E
gonalebis Sua wertilebis SemaerTebeli monakveTi fuZeebis M x N
naxevarsxvaobas udris. A 2b D
117
sav.#15. Tu mcire fuZes a asoTi aRvniSnavT, maSin didi fuZe iqneba 2a. mcire fuZis a
a a
boloebidan daSvebuli marTobebi did fuZes sam nawilad dayofs. esenia: , a, (ix. a 300 a
2 2
naxazi). vinaidan marTkuTxa samkuTxedSi kaTeti hipotenuzis naxevaria, vadgenT, rom
0, 5a a 0, 5a
kaTetis mopirdapire kuTxis sidide 300 -is tolia. trapeciis kuTxeebis zomebi did
fuZesTan 600 , xolo mcire fuZesTan 1200 iqneba.
30  12
sav.#17. ABCD trapeciis fuZeebia: BC  2  6  12 (sm) da AD  2 15  30 (sm), AK 
 9 (sm). radgan
2 B 12 C
ABK samkuTxedSi kaTeti hipotenuzis naxevaria, vaskvniT, rom am kaTetis mopirdapire ABK  300 , 18
15
6 18
9
maSin A  600 . pasuxi: 600, 1200, 600, 1200. A K 30
D
sav.#21.ar SeiZleba, radgan orive fuZe toli aRmoCndeba, anu miviRebT rombs, rac ewinaaRmdegeba
trapeciis ganmartebas (trapeciaSi ori gverdi araparaleluria!).
sav.#23. es gardaqmnebia RerZuli da centruli simetriebi. sav.#26. 600 -iT.
 2 2
 AO  3 AD  3 BK  BO; B
sav.#28. AB  BC , BD  DC,  DAC  30, AD  2 DM  BK   
OD  1 AD  1 BK .
 3 3 D
O
 AOK BOD  AK  BD  AC  BC  A  B  C  60.
A C
K M
118
2.10 mravalkuTxedis kuTxeebis jami (2 sT)
Tema: amozneqili mravalkuTxedis kuTxeebi
TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi: amozneqili n-kuTxedis Siga kuTxeebis jami 180o(n-2)-is tolia.
samizne cnebebi da maTTan sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi: kompleqsuri

dakavSirebuli mkvidri  mravalkuTxedis Siga  rogor figuras ewodeba amozneqili? davaleba
warmodgenebi: da gare kuTxeebi;  SeiZleba Tu ara samkuTxedi iyos (Sesruldeba Te-
 amozneqili figura _ figura,  mravalkuTxedis araamozneqili? misTvis gamoyo-
romelic yovel or wertilTan fil meore saaT-
diagonalebi;  ras udris amozneqili n -kuTxedis
erTad maT SemaerTebel ze) damoukidebe-
 mravalkuTxedis Siga Siga (gare) kuTxeebis jami?
monakveTsac Seicavs; li samuSao moce-
kuTxeebis da gare  ras udris wesieri n-kuTxedis Siga
 wesieri mravalkuTxedi _ mulia meore
jami; kuTxe?
mravalkuTxedi, romlis yvela gakveTilis
 wesieri n-kuTxedis  ramdeni diagonali aqvs amozneqil n
kuTxe da yvela gverdi tolia. scenarSi.
kuTxis sidide. –kuTxeds?
pirveli gakveTili
mizani:
 amozneqili mravalkuTxedis Siga kuTxeebis jamis gamosaTvleli formulis gamoyvana;
 amozneqili mravalkuTxedis gare kuTxeebis jamis gamoTvla;
 wesieri mravalkuTxedis kuTxis sididis gamoTvla;
 logikuri azrovnebisa da yuradRebis ganviTareba.
119
karnaxi
mcdar gamonaTqvams SeafasebT minusiT, WeSmarits _ pliusiT.
1) Tu samkuTxedis ori kuTxis jami mesame kuTxis tolia, maSin es samkuTxedi marTkuTxaa; (+)
2) samkuTxedis udidesi kuTxe metia danarCeni ori kuTxis jamze; (_)
3) samkuTxedis kuTxeTa sidideebis saSualo 600 -is tolia; (+)
4) Tu or tolferda samkuTxeds toli kuTxe gaaCnia, maSin danarCeni kuTxeebic toli eqneba. (_)
5) oTxkuTxedis nebismieri gverdi naklebia danarCeni sami gverdis jamze; (+)
6) amozneqili mravalkuTxedi yovel or wertilTan erTad maT SemaerTebel monakveTs Seicavs; (+)
7) kvadratSi arsebobs wertili, romlidanac kvadratis nebismieri gverdi 900 -iT Cans; (+)
8) kvadratis gverdebze arsebobs oTxi wertili, romlebic sxva kvadratis wveroebia. (+)
( laboratoriuli muSaoba wyvilebSi)
samuSaos mizani: amozneqili mravalkuTxedis kuTxeebis jamis formulis gamoyvana.
miTiTeba:
1) aageT sami amozneqili mravalkuTxedi;
2) erTi wverodan gaavleT diagonalebi;
3) mravalkuTxedis gverdebis raodenoba SeadareT miRebuli samkuTxedebis raodenobas;
4) TiToeuli mravalkuTxedis kuTxeebis jami gamosaxeT samkuTxedebis kuTxeebis jamis gamoyenebiT. Sedegebi SeitaneT
cxrilSi. (ori moswavle, anu erTi wyvili, muSaobs dafaze.)
_ ras viTvliT? (mravalkuTxedis kuTxeebis jams.)
_ ra yofila Cveni dRevandeli gakveTilis Tema? (amozneqili mravalkuTxedis kuTxeebis jamis formulis gamoyvana.)
_ CamoayalibeT hipoTeza mravalkuTxedis kuTxeebis jamis Sesaxeb.
_ waikiTxeT saxelmZRvanelos 81-e gverdze dRevandeli gakveTilis teqsti da daamtkiceT Tqven mier praqtikuli muSaobiT
miRebuli hipoTeza mravalkuTxedis kuTxeebis jamis Sesaxeb.
erTi msurveli gamodis dafasTan da amtkicebs 1-l Teoremas, sxva ki me-2 Teoremas.
IV . ganmtkiceba
axalSeZenili codnis gamoyenebiT xsnian amocanebs saxelmZRvanelodan sav. #1, #2, #4, #6.
V . damoukidebeli samuSao
I v arianti: 1) gamoTvale amozneqili wesieri TerTmetkuTxedis kuTxeebis jami.
120
2) ramdeni gverdi aqvs mravalkuTxeds, romlis TiToeuli kuTxe 1200 -iania?
II varianti: 1) gamoTvale amozneqili wesieri TormetkuTxedis kuTxeebis jami.
2) ramdeni gverdi aqvs mravalkuTxeds, romlis TiToeuli kuTxe 1620 -iania?
pasuxi: I varianti: 1) 1620 ; 2) 6; II varianti: 1) 1800 ; 2) 20. TiTo sworad amoxsnil sakiTxSi 1 qula.
VI. gasameorebel masalaze muSaoba. saxelmZRvanelodan sav.#15, #19.
VII. refleqsia
_ rogor vipovoT amozneqili mravalkuTxedis Siga kuTxeebis jami?
_ ra codna gamoviyeneT mravalkuTxedis Siga kuTxeebis jamis formulis gamosayvanad?
_ rogor vipovoT wesieri mravalkuTxedis Siga kuTxis sidide?
niSnis gamoyvana moxdeba saSualo ariTmetikulis gamoTvliT: winare codnis gameoreba, karnaxi, laboratoriuli samuSao,
damoukidebeli samuSao.
IX etapi - saSinao davaleba sav.#3, #5, .#7, #16.
moswavlem unda SeZlos amozneqili mravalkuTxedis Sida kuTxeebis jamis gamoTvla da wesieri mravalkuTxedis kuTxis
sididis dadgena
me-2 gakveTili
mizani:
 amozneqili mravalkuTxedis Siga kuTxeebis jamis formulis gamoyenebiT amocanebis amoxsnis unar-Cvevebis
ganmtkiceba.
 kompleqsuri davalebis Sesruleba
gakveTilis struqtura
gakveTilis msvlelobis etapebi davalebebi moswavlisaTvis, romelic dagegmili Sedegis miRwevamde
miiyvans
1 organizaciuli etapi
2 saSinao davalebis Semowmeba
3 miznisa da Sedegis dagegmva
4 winare codnis gaaqtiureba karnaxi
aRadgineT winadadebaSi gamotovebuli sityva/sityvebi:
121
1) n wveros mqone mravalkuTxeds ewodeba . . . ;
2) monakveTs, romelic mravalkuTxedis or aramezobel wveros aerTebs,
ewodeba . . . ;
3) Tu mravalkuTxedi Zevs mis nebismier gverdze gavlebuli wrfis erT
mxares, maSin . . . . ;
4) amozneqili mravalkuTxedis TiToeuli Siga kuTxis sidide . . . . .
gradusze naklebia;
5) samkuTxedis Siga kuTxeebis sidideTa jami . . . . . –is tolia.
karnaxis dasrulebis Semdeg urTierTSemowmebiT an TviTkontroliT
amowmeben pasuxebs. maswavlebeli ki SerCeviT amowmebs 2-3 naSroms. yoveli
swori pasuxi fasdeba 1 quliT, araswori _ 0 quliT.
5 SeZenili codnis ganmtkiceba sav.#8, #9, #12, #14, #17,#20.
6 damokidebeli samuSao I varianti: gamoTvale wesieri rvakuTxedis Siga kuTxeebis jami da
(kompleqsuri davalebaze muSaoba) TiToeuli kuTxis sidide.
II varianti: gamoTvale wesieri cxrakuTxedis Siga kuTxeebis jami da
TiToeuli kuTxis sidide.
pasuxi: I varianti: 10800 , 1350. II varianti: 12600 , 1400.
7 refleqsia
8 saSinao davaleba sav.#10, #11, #13, #18.
sav.#3. 1800  n  2   1080  n  8. pasuxi: 8 gverdi.
sav.#6. xuTkuTxedis kuTxeebis jamia 1800  5  2   5400 .amocanis a) pirobiT 6k  5k  5k  8k  3k  27 k  5400  k  200. , pasuxi:
1200 , 1000 , 1000 , 1600 , 600.
sav.#12. 1800  n  2   1500 n  n  12. pasuxi: 12 gverdi.
sav.#13. miTiTeba: araamozneqili oTxkuTxedi or mopirdapire wveroze gavlebuli wrfiT gavyoT or samkuTxedad.
sav.#14. wesieri eqvskuTxedis kuTxe 1200 -iania. eqvskuTxedis simetriis centrisa da wveroebis
SemaerTebeli monakveTebi tolia da gverdebTan erTad qmnis tolgverda samkuTxedebs, amitom
diagonali orjer metia gverdze. a b
7
122 a b
1
sav.#15. CamoWrili oTxkuTxedis paraleluri gverdebis sigrZea 14 sm da 7 sm. vTqvaT, oTxkuTxe-
araparaleluri gverdebia a da b (ix. naxazi), maSin oTxkuTxedis perimetri iqneba: a  b  7  14  a  b  21 , rac amocanis
pirobis mixedviT 40-is tolia. e. i. a  b  21  40  a  b  19. samkuTxedis saZiebeli perimetria: 2( a  b)  14  2 19  14  52 (sm).
sav.#16. 3k  5k  6k  70  k  5. pasuxi: 30sm; 50sm; 60sm.
SesaZlebelia, Tu ara?
I xerxi: a) amozneqil xuTkuTxeds 5 diagonali aqvs, eqvskuTxeds _ 9. maSasadame,
7 diagonalis mqone mravalkuTxedi ar arsebobs.
II xerxi:
n  n  3
a)  7  n  n  3   14, anu n  n  3  1 14 an n  n  3  2  7. n -is arc erTi
2
naturaluri mniSvnelobisaTis es tolobebi araa WeSmariti. e. i. ar arsebobs amozneqili
n  n  3
mravalkuTxedi, romelsac 7 diagonali aqvs. b)  9  n  n  3   18. n  n  3   1 18  2  9  3  6. e.i.
2
eqvskuTxeds aqvs 9 diagonali.
aba, scade! n-kuTxedis yoveli wverodan n-3 diagonali gamodis. sul aris sami SemTxveva: a) Tu sami wvero erTmaneTis
momdevnoa, maSin diagonalebis raodenobaa 3(n-3) – 1; b)Tu mxolod ori wveroa erTmaneTis momdevno, maSin diagonalebis
raodenobaa 3(n-3) –2; g) Tu arc erTi wvero ara mezobeli, maSin diagonalebis raodenobaa 3(n-3) – 3.
cxadia gvaqvs b) SemTxveva. amitom 3  n  3   2  16  n  9. pasuxi: 12600.
testi #2
pasuxebi:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
g d g b b d a g b d d a d b
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
a b b a d a g g g a b
123
I varianti
1) marTkuTxedis diagonali did gverdTan 30 -ian kuTxes adgens. mcire gverdis sigrZea 5 sm. gamoTvale diagonalebis
sigrZeTa jami.
2) rombis diagonalsa da gverds Soris kuTxe 32 -is tolia. ipove rombis kuTxeTa sidide.
3) wesieri mravalkuTxedis kuTxeebis sidideTa jami 2880 -ia. gamoTvale mravalkuTxedis wveroTa raodenoba da Siga kuTxis
sidide.
4) ABCD trapeciaSi da BH da CK simaRleebia. AB  CD  6 sm, BC =5sm, KD =3sm. gamoTvale trapeciis perimetri.
II varianti
1) marTkuTxedis mcire gverdis sigrZea 12 sm, xolo diagonalebs Soris kuTxe _ 60 . gamoTvale marTkuTxedis
diagonalebis sigrZe.
2) rombis diagonalsa da gverds Soris kuTxe 25 -is tolia. ipove rombis kuTxeTa sidide.
3) wesieri mravalkuTxedis kuTxeebis jami 3240 -ia. gamoTvale mravalkuTxedis wveroTa raodenoba da Siga kuTxis sidide.
4) MNPD trapeciaSi NH da PK simaRleebia. MN  PD  8 sm, NP = 7sm, KD = 3sm. gamoTvale trapeciis perimetri.
124
I varianti
1) Seasrula naxazi da miuTiTa 30 -iani kuTxe------0,5 qula;
Cawera mocemuloba ------0,5 qula;
daadgina, rom mcire gverdi diagonalis naxevaria. ipova diagonalis sigrZe da
diagonalebis sigrZeTa jami, dawera pasuxi ------ 1 qula.
sul --- 2 qula.
2) Seasrula naxazi da miuTiTa 32 -iani kuTxe------0,5 qula;

Cawera mocemuloba ------0,5 qula;
gamoTvala rombis maxvili kuTxe ------0,5 qula;
gamoTvala rombis blagvi kuTxe da dawera pasuxi ------ 0,5 qula.
sul --- 2 qula.
3) dawera gantoleba an gamosaxuleba saidanac ipovis wveroTa raodenobas-- 0,5 qula;

gamoTvala mravalkuTxedis wveroebis raodenoba ------ 1 qula;
gamoTvala mravlkuTxedis kuTxis sidide------ 1 qula;
dawera pasuxi ---- 0,5 qula;
sul --- 3 qula.
4) Seasrula naxazi da Cawera mocemuloba --- 1 qula;

gamoTvala didi fuZe --- 1 qula;
gamoTvala perimetri -----1 qula;
sul --- 3 qula.
125
aqtivobebi aradamakmayofile damakmay. kargi sanimuSo

beli
paralelogra- erTmaneTisagan cnobs marTkuTxeds, cnobs marTkuTxeds, zedmiwevniT kargad
mi, paralelo- ver ganasxvavebs paralelogramsa da paralelograms, rombs, icis marTkuTxedis,
gramis Tvise- paralelogramis trapecias, magram ar icis trapecias. icis maTi paralelogramis,
bebi, marTkuT- saxeebs, ver xazavs maTi Tvisebebi. ver Tvisebebi. mcire rombis, trapeciis
xedi, marTkuT- paralelograms,r axerxebs rombis daxazvas. xarvezebiT axerxebs am Tvisebebi. uSecdomod
xedis Tvise- ombsa da trape- nawilobriv, gaWirvebiT Tvisebebis gamoyenebiT axerxebs maT adeqva-
bebi, rombi, cias. ar icis am axerxebs amocanebis (ara davalebis Sesrulebas. tur gamoyenebas.
rombis Tvise- oTxkuTxedebis yvelas) amoxsnas. Seuferxeblad
bebi, trapecia, Tvisebebi. ver asrulebs davalebebs.
trapeciis axerxebs amocane-
Tvisebebi. bis amoxsnas.
amozneqili ar SeuZlia amo- nawilobriv, gaWirvebiT icis amozneqili mraval- zedmiwevniT kagad
mravalkuTxe- zneqili mraval- axerxebs amozneqili kuTxedis kuTxeebis icis amozneqili mra-
dis kuTxeebis kuTxedis kuTxe- mravalkuTxedis kuTxe- jamisa da wesieri mraval- valkuTxedis kuTxe-
jami, wesieri ebis jamis gamo- ebis jamis gamoTvlas, kuTxedis kuTxis gamoTv- ebis jamisa da wesieri
mravalkuTxe- Tvla, wesieri wesieri mravalkuTxedis lis wesebi. axerxebs maTi mravalkuTxedis ku-
dis kuTxis si- mravalkuTxedis kuTxis sididis povnas. gamoyenebis swori stra- Txis gamoTvlis wese-
didis gamoTv- kuTxis sididis amocanebis amo xsnisas tegiis SerCevas da swo- bi. uSecdomod,
la. povna. ver xsnis uSvebs Secdomebs.. rad, magram mcire Sefer- Seuferxeblad
amocanebs. xebiT xsnis amocanas. asrulebs davalebas.
davalebis ver iazrebs dava- nawilobriv aRiqvams amo- aRiqvams amocanis Sina- Kargad aRiqvams
gaazreba,ma- lebas, ver axer- canis Sinaarss. nawilob- arss. gamijnavs monacemTa amocanis Sinaarss.
Tematikuri xebs monacemebisa riv axerxebs monacemTa da da saZiebel sidideebs. gamijnavs monacemebsa
obieqtebis da saZiebeli sidi- saZiebel sidideTa axerxebs maT organizebas da saZiebel sidide-
warmodgena, deebis organize- organizebasa da da warmodgenas modelis ebs. kargad axerxebs
maTematiku-ri bas da warmodge- warmodgenas. saxiT. maTematikuri
modelis nas, ver adgens ma- modelis sworad
Sedgena. Tematikur warmodgenas.
models.
126
Tavi 3
algebruli wiladi da misi Tvisebebi
Tavis mizani:
 algebruli wiladisa da misi Tvisebebis gacnoba;
 erTnairmniSvneliani da sxvadasxvamniSvneliani algebruli wiladebis Sekreba-gamokleba;
 algebruli wiladebis gamravleba-gayofa, axarisxeba;
 algebruli gamosaxulebis gamartiveba;
 pirveli warmodgenebis Seqmna racionaluri gantolebis Sesaxeb;
paragrafis Sewavlis Semdeg moswavlem unda icodes:
 algebruli wiladis cneba;
 wiladebis Sekvecisa da gaerTmniSvnelianebis algoriTmebi;
 erTnairmniSvneliani da sxvadasxvamniSvneliani algebruli wiladebis Sekreba- gamoklebis wesebi;
 algebruli wiladebis gamravleba-gayofis wesebi;
 algebruli wiladis axarisxebis wesi;
 racionaluri gamosaxulebis gardaqmnis wesebi;
 algebrul wiladSi monawile cvladis/cvladebis dasaSvebi mniSvnelobebis cneba;
 algebruli wiladis nulTan tolobis pirobebi.
unda SeeZlos:
 algebruli wiladis mniSvnelobisa da cvladebis dasaSveb mniSvnelobaTa povna;
 algebruli wiladis Sekveca;
 algebruli wiladebis gaerTmniSvnelianeba;
 algebruli wiladis axarisxeba;
 racionaluri gamosaxulebis gamartiveba;
 igiveobis damtkiceba;
 algebruli wiladis Semcveli gantolebis amoxsna;
 amocanisTvis maTematikuri modelis Sedgena.
127
$3.1 algebruli wiladi (2 sT)
meToduri rekomendaciebi:
algebruli wiladis Seswavlamde gameorebuli unda iqnes is ZiriTadi sakiTxebi, romlebic dasWirdeba maswavlebels mis
asaxsnelad (wiladis ZiriTadi Tviseba, wiladis nulTan tolobis piroba, wiladebis gaerTmniSvnelianeba, moqmedebebi
wiladebze, moqmedebebi erTwevrebsa da mravalwevrebze, mravalwevris mamravlebad daSla, Semoklebuli gamravlebis
formulebi). gameoreba unda xdebodes TandaTanobiT, yovel gakveTilze. maswavlebelma moswavleTa yuradReba unda miaqcios
imas, rom nebismier mravalwevrs azri aqvs cvladis an cvladebis yvela mniSvnelobisaTvis, radgan Sekreba-gamoklebisa da
gamravlebis moqmedebebi, agreTve, naturalur xarisxSi axarisxeba dasaSvebia cvladebis yvela ricxviTi mniSvnelobisaTvis.
mimarTuleba: algebra
Tema: algebruli wiladi
TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi: algebruli wiladi cvladebis Semcveli gamosaxu lebaa.
TemasTan dakavSirebuli sakvanZo sakiTxebi: algebruli wiladi, algebruli wiladis ricxviTi mniSvneloba,
algebrul gamosaxulebaSi Semavali cvladis dasaSvebi mniSvneloba, algebruli wiladis nulTan tolobis piroba.
Temis farglebSi dasamuSavebeli sakiTxebi:
 algebruli wiladisa da cvladis dasaSvebi mniSvnelobis cnebebis Semotana;
 gamosaxulebis ricxviTi mniSvnelobis gamoTvlis unaris ganviTareba;
 algebruli wiladis nulTan tolobis pirobebis dadgena;
 maTematikur teqstTan muSaobis unaris ganviTareba.
moswavles unda SeeZlos:
 algebruli wiladis amocnoba;
 algebrul gamosaxulebaSi Semavali cvladebis dasaSvebi mniSvnelobebis dadgena;
 algebruli wiladis nulTan tolobis SemTxvevaSi cvladis mniSvnelobis gamoTvla;
 algebruli wiladis ricxviTi mniSvnelobis gamoTvla.
128
I gakveTili
gakveTilis organizaciuli struqtura
mizani:
 algebruli wiladis gacnoba;
 wiladSi Semavali cvladis dasaSvebi mniSvnelobis gamoTvla;
 wiladis ricxviTi mniSvnelobis gamoTvla;
 wiladis nulTan tolobis pirobis dadgena.
gakveTilis msvlelobis etapebi davalebebi moswavlisaTvis, romelic miiyvans mas dagegmil Sedegamde
2 gakveTilis Temisa da
miznebis gacnoba , motivacia
13 14 15 16 17 72 19
1) Sekvece wiladi (zepirad): , , , , , , .
65 42 25 32 68 18 76
3 winare codnis gaaqtiureba romelia am wiladebs Soris arawesieri?
15 16 96 4 25 56
2) Cawere aTwiladis saxiT: , , , , , .
25 32 60 64 10 14
3) Cawere wiladis saxiT: 0,3; 0,24; 0,08; 1,75; 0,075; 2,15; 3,0; 4,002.
4 axali masalis axsna axali masalis asaxsnelad gamoiyeneba saxelmZRvaneloSi mocemul amocana.
5 axlad SeZenili codnis 1) saxelmZRvanelodan xsnian sav.#1,#3, #5, #6, #,7-a),b),g),d); #8.
pirveladi ganmtkiceba 2) wyvilebSi xsnian sav.#10.
6 Sedegebis Sejameba
7 informacia saSinao #2, #4, #7- e), v), z), T) da #9 savarj iSoebi.
davalebis Sesaxeb
129
me-2 gakveTili
mizani: algebruli wiladis Sesaxeb miRebuli codnis ganmtkiceba.
gakveTilis msvlelobis etapebi davalebebi moswavlisaTvis, romelic miiyvans mas dagegmil Sedegamde
2 gakveTilis Temisa da
miznebis gacnoba, motivacia
maswavlebeli: _ rogor gamosaxulebas ewodeba algebruli wiladi?
moiyvaneT magaliTebi.
3 winare codnis gaaqtiureba _ra aris cvladis dasaSvebi mniSvneloba?
_ ra mniSvnelobebis miReba SeuZlia cvlads mocemul gamosaxulebaSi:
x2  4 16 m2  9
a) x  x  4  ? b) ? g) ? d) ?
4 y 8 m3
_ qvemoT mocemulTagan romel gamosaxulebebs ara aqvs azri x  4 -vis?
x2  4 10 x x 2  16
a) x  x  4  ? b) 2 ? g) ? d) ?
x  16 x4 x4
5 ganmtkiceba muSaoben saxelmZRvanelos #11, #13, #15, #19, #20 davalebebze.

7 Sedegebis Sejameba
8 informacia saSinao #12, #14, #16, #17 savarj iSoebi.
davalebis Sesaxeb

sav.#3 a) x  0 ; b) x  2 ; g) wilads azri aqvs x -is nebismieri mniSvnelobisaTvis, radgan x 2  4  0 ; d) x  2; e) x  2.
sav.#4 a) x  4 ; b) a  0; g) x  0, x  3; d) x  5.
sav.#5 x  4.
x5 x
sav.#6  .
y5 y
sav.#8 a) x   1; b) ; g) x  8; d) x  0.
130
3 3
sav.#15. 1t1  s1 , 2t2  s2 . monacemebis SetaniT miviRebT: 60t1  45  t1  ; 50t 2  75  t2  . saSualo siCqare gamovTvaloT
4 2
1t1  2t2 45  75 1
formuliT:   53 (km/sT).
t1  t2 2 3 3

3 4
2
sav.#16. sul gavlilia 20 +30 = 50km, razec daixarja 40 wuTi. vsaS. =50km : sT= 75m/sT.
3
S S
sav.#17. mTeli gza aRvniSnoT 2S-iT. maSin am gzaze daxarjuli dro iqneba  saaTi, xolo saSualo siCqare _
70 80
S S 2
2S:(  )=74 km/sT.
70 80 3
sav.#18. pasuxi: 27,6km/sT.
sav.#19. rogorc 1-li, ise me-2 pirobidan gamomdinareobs, rom velosipedisti mgzavrze 2-jer swrafad moZraobs. pasuxi: d).
§3.2 algebruli wiladis Sekveca (2 sT)
Tema: algebruli wiladis Sekveca

TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi: algebruli wiladis Sekveca wiladis ZiriTad Tvisebas emyareba.
TemasTan dakavSirebuli sakvanZo SekiTxvebi:
gamomdinareobs Tu ara wiladis ZiriTadi Tvisebidan toloba:
kompleqsuri dava-
21a 2 3a a2  b2
a)  ? (pasuxi: diax.) b)  a  b ? (pasuxi: ara.) leba/davalebebi
35ab 5b ab
samizne cnebebi  algebruli wiladis Sekveca; imuSaveben damoukideblad
da maTTan dakavSirebuli paragrafisTvis gamoyofil
 algebruli wiladis dayvana mocemul mniSvnelamde; meore saaTze. davaleba
mkvidri warmodgenebi
 algebruli wiladis Semcveli gamosaxulebis mocemulia meore
Sekveca; gakveTilis scenarSi.
gamartiveba.
gamartiveba.
131
1-li etapi _ organizaciuli etapi misalmeba, aRricxva, samuSao garemosa da ganwyobis Seqmna.
me-2 etapi _ winare codnis gaaqtiureba

1) kiTxvebze pasuxi:
 rogor gamosaxulebas ewodeba algebruli wiladi?
 ra mniSvnelobebis miReba SeuZlia algebruli wiladis mricxvels? mniSvnels?
 ras ewodeba cvladis dasaSvebi mniSvneloba?
 rodisaa algebruli wiladis mniSvneloba 0-is toli?
 cvladis ra mniSvnelobisTvis aqvs azri gamosaxulebas:
45a a 1 45a a 1
 2  2
a) a  4 a  4 ? b) a  2 a  4 ?
2) weriTi samuSao (erTi dafaze xsnis, danarCenebi _ rveulebSi.)
3 x
a) gamoTvale 3 x  2 gamosaxulebis mniSvneloba, roca x  0, 2.
1 2x
b) gamoTvale gamosaxulebis mniSvneloba, roca x  1, 5.
2x 1
g) warmoadgine TiToeuli wiladi: mniSvneliT _ 24.
1 2 3 5 7 11
, , , , , .
2 3 4 6 8 12
2a 16 x 2 y 2 3m3
3) Sekvece wiladi: , , , .
4 8 y 6m 2
me-3 etapi _ gakveTilis Temis dasaxeleba
maswavlebeli moswavleebs daasaxelebinebs gakveTilis Temas. isini ukve mixvdnen, ra Temaze imuSaveben
gakveTilze da mizans erToblivad Camoayalibeben.
me-4 etapi _ axali masalis axsna
maswavlebeli: _ algebruli wiladis Tvisebebi Cveulebrivi wiladis Tvisebebis analogiuria.
_ gavixsenoT, raSi mdgomareobs wiladis ZiriTadi Tviseba:
a ac
 WeSmaritia nebismieri a , b  0 da c  0 ricxvebisaTvis
b bc
es toloba WeSmaritia cvladebis yvela im mniSvnelobisaTvis, romelTaTvisac azri aqvs tolobis rogorc marcxena,
132
ise marjvena nawils, anu cvladis yvela dasaSvebi mniSvnelobisaTvis.
wiladis ZiriTad Tvisebas iyeneben mis Sesakvecad (muSaoben saxelmZRvanelos teqstis 1-l magaliTze. kvecen oTxive
wilads).
algebruli wiladis ZiriTad Tvisebas iyeneben wiladis sasurvel mniSvnelamde miyvanisas. xsnian saxelmZRvanelodan
#2 savarjiSos.
me-5 etapi _ ganmtkiceba (axali codnis SeZena, aRqma, gaazreba, pirveladi ganmtkiceba)
aqtivobebi: muSaoben #1, # 4,#6, #8, #9 davalebebze.
me-6 etapi. damoukidebeli samuSao (Semowmeba wyvilebSi namuSevrebis gacvliT)
aTvisebis donis Semowmeba, daSvebuli Secdomebis gasworeba
saxelmZRvanelodan: I varianti: sav.#10 _ a, g. II varianti: sav.#10 _ b, d.
me-7 etapi _ refleqsia (masalis Seswavlis mTeli procesis analizi)
: _ ra iyo Cveni gakveTilis mizani?
_ mivaRwieT mizans?
_ raSi mdgomareobs wiladis ZiriTadi Tviseba?
_ raSi viyenebT wiladis ZiriTad Tvisebas?
_ ra gansxvavebas xedavT algebruli wiladis Sekvecasa da Cveulebrivi wiladis Sekvecas Soris?
_mricxvelisa da mniSvnelis rogori saxiT warmodgenaa saWiro algebruli wiladis Sesakvecad?
me-8 etapi _ saSinao davaleba
(informacia saSinao davalebis Sesaxeb. instruqtaJi misi Sesrulebis Sesaxeb) sav.#3, # 5,#7, #21.
Sefasebis kriteriumi/kriteriumebi: moswavles unda SeeZlos algebruli wiladis Sekveca.
meore gakveTili
mizani:
 algebruli wiladis Sekvecis Sesaxeb miRebuli codnis ganmtkiceba;
 algebruli wiladis dayvana mocemul mniSvnelamde;
 algebruli wiladis Semcveli gamosaxulebis gamartiveba;
 kompleqsur davalebaze muSaoba.
1-li etapi _ organizaciuli etapi
misalmeba, aRricxva, samuSao garemosa da ganwyobis Seqmna
133
1) _ ras warmoadgens algebruli wiladi? moiyvaneT magaliTi.
_ ras niSnavs wiladis Sekveca?
_ ras viyenebT wiladis Sesakvecad? (xarisxis Tvisebebs, mravalwevris mamravlebad daSlas, Semoklebuli gamravlebis
formulebs.)
2) zepirad gamoTvaleT gamosaxulebis mniSvneloba:
x x y a 2  b2
a) , x  2, y  0, 5; b) 2 , x  0, 3, y  0, 5; g) , a  5, b  3.
y x  y2 ab
3) cvladis ra mniSvnelobisTvisaa mocemuli gamosaxuleba 0-is toli?
x x y a2  b2
a) ; b) ; g) .
y x2  y 2 ab
_ vis SeuZlia daasaxelos dRevandeli gakveTilis Tema da mizani?
moswavleebi (maswavleblis xelSewyobiT) Camoayalibeben gakveTilis Temasa da mizans.
me-4 etapi _ ganmtkiceba
(axali codnis SeZena, aRqma, gaazreba, pirveladi ganmtkiceba)
aqtivobebi:
I. muSaoben saxelmZRvaneloSi mocemul: #13, #15 davalebebze.
II. wyvilebSi samuSao: sav.#11
samuSaos dasrulebis Semdeg maswavlebeli pasuxebs gamoitans ekranze.
6a x y x y 4y  x
pasuxi: a) x  0, 5 y; b) a 2  a; g) a  4b; d) ; e) a  2b; v) ; z) ; T) .
b3 a ax  ay 4y  x
134
me-5 etapi. damoukidebeli samuSao (kompleqsuri davaleba)
I varianti:
2 3
1) ipove gamosaxulebaSi Semavali cvladis dasaSvebi mniSvnelobebi:  .
m m4
x2
2) miiyvane wiladi mniSvnelamde: 21y 3 z 6 .
3 yz 2
36  12 x  x 2
3) Sekvece wiladi: .
x 2  36
II varianti:
1 3
1) ipove gamosaxulebaSi Semavali cvladis dasaSvebi mniSvnelobebi:  .
m7 m
x3
2) miiyvane 2
wiladi mniSvnelamde: 35 y 6 z 4 .
5y z
25  10 x  x 2
3) Sekvece wiladi: .
x 2  25
me-6 etapi _ refleqsia (masalis Seswavlis mTeli procesis analizi)
_ ra iyo Cveni dRevandeli gakveTilis Tema? mizani?
_rogor mivaRwieT mizans? (gavimeoreT algebruli wiladis cneba, wiladis Sekveca, wiladis 0-Tan tolobis piroba,
gamosaxulebis ricxviTi mniSvnelobis gamoTvla, gamosaxulebis gamartiveba.)
_ vinmesTvis darCa raime gaugebari?
_ vinmesTvis rame aris gaugebari? ra gainteresebT?
me-7 etapi _ saSinao davaleba informacia saSinao davalebis Sesaxeb. sav.#12, 14, 22, 23.
moswavles unda SeeZlos algebruli wiladis Sekveca.
135
1
8x  8 y 8 2 ( x  y ) 2
#16. a)   .
(2 x  2 y ) 2
4 1 ( x  y ) 2 x  y
1
ax  ay  x 2  xy a ( x  y )  x( x  y ) ( x  y ) ( a  x) x y
#17. g)    .
am  an  mx  nx a (m  n)  x(m  n) (m  n) (a  x) 1 m  n
6  z 2  5 z z 2  2 z  3z  6 z ( z  2)  3( z  2) ( z  2) ( z  3) z  3
1
v)     .
4z  z2  4 ( z  2) 2 ( z  2) 2 ( z  2) 2 z2
1 ( t 1)
t 4  2t 2  1 (t 2  1) 2 (t 2  1) 2 (t 2  1) (t 2  1)
#18. v) 3 2     t 1 .
t  t  t  1 t 2 (t  1)  (t  1) (t  1)(t 2  1) (t  1)1 (t 2  1)1
1
( x 2  1)( x 2  1)  2 x( x 2  1) ( x  1) ( x  2 x  1)
2 2
x 4  2 x3  2 x  1 x2 1
#20. g) 4    .
x  2 x3  2 x 2  2 x  1 ( x 2  1) 2  2 x( x 2  1) 
( x 2  1) x 2  1  2 x 
x2  1
1
#22. v) da T) _ Sedareba SeuZlebelia.
$3.3 algebruli wiladebis gaerTmniSvnelianeba (2 sT.)
mimarTuleba: algebra
Tema: algebruli wiladebis gaerTmniSvnelianeba
Temasan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi: algebruli wiladebis gaerTmniSnelianeba, iseve, rogorc
Cveulebrivi wiladebis gaerTniSvnelianeba, mniSvnelebis umciresi saerTo jeradis moZebnas saWiroebs.
 raSi mdgomareobs algebruli wiladebis gaerTmniSvnelianebis wesi?
 algebruli wiladebis gaerTmniSvnelianebis wesis gacnoba;
 wiladebis gaerTmniSvnelianebis wesis gamoyeneba algebruli wiladebis Semcveli gamosaxulebis gardaqmnisas.
136
samizne cnebebi da maT- sakiTxi/qvecneba sakvanZo kompleqsuri dava-
Tan dakavSirebuli SekiTxva/SekiTxvebi leba/davalebebi
mkvidri warmodgenebi algebruli wiladi, rogor xdeba algebruli sruldeba TemisTvis
gamartiveba algebruli wiladebis wiladebis gaerTmniSvneli- gamoyofili meore
kavSirebi. gaerTmniSvnelianeba aneba? paragrafis bolos
sav.#12 a), b), g) rigebis
mixedviT
pirveli gakveTili
me-2 etapi _ winare codnis gaaqtiureba, gakveTilis Temis dasaxeleba
maswavlebeli: _ sanam axali masalis Seswavlaze gadavidodeT, gavixsenoT, rogor unda gavaerTmniSvnelianoT wilade-
bi. (ayalibeben gaerTmniSvnelianebis wesebs)
_ dRes algebruli wiladebis gaerTmniSvnelianeba unda viswavloT, amisTvis ki mravalwevris mamravlebad daSlis
Sesaxeb SeZenili codnis gameoreba dagvWirdeba.
_ mravalwevris mamravlebad daSlis ra xerxebi viciT? (saerTo mamravlis frCxilebs gareT gatana, dajgufeba,
Semoklebuli gamravlebis formulebis gamoyeneba.)
_ warmoadgineT namravlis saxiT mravalwevri (zepirad):
a) 4x 2  x 3 ; b) ab  a  4b  4; g) 16m 2  25n 2 .
_ warmoadgineT namravlis saxiT mravalwevri (weren dafaze da rveulebSi): a) 2 x 6  8 x 2 ; b) c12  c 8 .
rogor unda gavaerTmniSvnelianoT sxvadasxvamniSvneliani wiladebi? (unda movZebnoT maTi umciresi saerTo jeradi)
_ras ewodeba ori ricxvis umcires saerTo jeradi?
5 7
_ gaaerTmniSvnelianeT da . (12-isa da 18-is umciresi saerTo jeradia 36. wiladebis saerTo mniSvneli iqneba 36.
12 18
gaerTmniSvnelianebiT miviRebT:
5 5  3 15 7 7  2 14
  .   .
12 12  3 36 18 18  2 36
_ ra iqneba veni gakveTilis Tema?
_ ra iqneba algebruli wiladebis saerTo mniSvneli? (umciresi saerTo mniSvneli)
137
2 am 2
_ daiyvaneT 2
wiladi mniSvnelamde: 21a 3 m 3 .
7a m
2 am 2 2 am 2  3am 2 6a 2 m 4
svlebs weren nabij-nabij (damatebiTi mamravliT):   .
7 a 2 m 7 a 2 m  3am 2 21a 3 m 3
_ vin SeZlebs algebruli wiladebis gaerTmniSvnelianebas?
msurvelebi rigrigobiT gamohyavs dafasTan da aZlevs magaliTebs:
1 1 2 3 1 n a b
a) da ; b) da 2 ; g) da 3 ; d) da .
a b xy y 2
2m n m a b ab
amis Semdeg xsnian saxelmZRvanelos teqstSi mocemul 1-l magaliTs.
_ vis SeuZlia Camoayalibos algebruli wiladebis gaerTmniSvnelianebis wesi?
1) vipovoT umciresi saerTo mniSvneli;
2) TiToeuli wiladisTvis vipovoT damatebiTi mamravli;
3) TiToeuli wiladis mricxveli gavamravloT damatebiT mamravlze;
CavweroT wiladebi napovni mricxveliTa da saerTo mniSvneliT.
aqtivobebi: xsnian saxelmZRvanelodan sav. #1, #3, #5, #7.
me-5 etapi. damoukidebeli samuSao sav.#9
me-6 etapi. gasameorebel masalaze muSaoba maswavlebeli irCevs savarjiSoebs saxelmZRvanelodan
me-7 etapi _ refleqsia
(analizi masalis Seswavlis mTeli procesis)
_ CamoayalibeT algebruli wiladebis gaerTmniSvnelianebis wesi.
_ aris vinme iseTi, visac cota mainc darCa raime gaugebari? (maswavlebeli saTanado yuradRebas aqcevs im
moswavleebs, romlebic daxmarebas saWiroeben).
me-8 etapi _ saSinao davaleba sav.# 2, #4, #6, #8.
moswavles unda SeeZlos algebruli wiladebis gaerTmniSvnelianeba.
138
meore gakveTili
mizani:
 algebruli wiladebis gaerTmniSvnelianebis wesis gameoreba-ganmtkiceba;
 wiladebis gaerTmniSvnelianebis wesis gamoyeneba algebruli wiladebis Semcveli gamosaxulebis gardaqmnisas.

maswavlebeli: _ dRes vagrZelebT algebruli wiladebis gaerTmniSvnelianebaze muSaobas.
me-3 etapi _ mocemul Temaze SeZenili codnis ganmtkiceba-gaRrmavebaze muSaoba.

 ras niSnavs algebruli wiladebis gaerTmniSvnelianeba?
 ras hqvia algebruli wiladebis saerTo mniSvneli?
 rogor gavaerTmniSvnelianoT algebruli wiladebi?
muSaoben wiladebis gaerTmniSvnelianebaze
1) ra iqneba mocemuli wiladebis saerTo mniSvneli. (zepirad):
1 1 2 3 2 3 2 5
a) da ? b) da ? g) da ? d) da ?
x y y a b ab 3a  b 2 a  b a b ab
2) individualuri samuSao
gaaerTmniSvnelianeT wiladebi. (gamoaqvs ekranze):
1 1 4 2a b 2a
a) da ; b) da ; g) da .
x y yx a b
2 2
ab 2 a  4b 3a  6b
pasuxebs erTmaneTSi cvlian, erTi xmamaRla kiTxulobs, danarCenebi amowmeben pasuxebis siswores.
aRmoCenil Secdomebs dafaze asworeben.
pasuxebis Semowmebisa da Secdomebis gasworebis Semdeg xsnian # 10-s da # 9 savarjiSoebs.
me-4 etapi. damoukidebeli samuSao (kompleqsuri davaleba)
I varianti: sav.#12 _ a); II varianti: sav.#12 _b) III variant sav.#12 g).
me-5 etapi. gasameorebel masalaze muSaoba
maswavlebeli irCevs savarjiSoebs saxelmZRvanelodan.
me-6 etapi _ refleqsia Sedegebis Sejameba, TviTSefaseba
139
moswavlem TviTon Seafasos Tavisi dRevandeli saqmianoba miRebuli Sedegebis mixedviT.
maswavlebels ekranze gamoaqvs Canaweri, moswavle Tavisi Sexedulebis dasadastureblad yoveli winadadebis pasuxad
rveulis mindorze wers `+~ -s an `_~-s.
 me vici, rom wiladebis gasaerTmniSvnelianebad unda movZebno maTi umciresi saerTo mniSvneli, anu usj.
 me vici, rom wiladebis gasaerTmniSvnelianebad umjobesia mniSvnelebi davSalo mamravlebad.
 me SemiZlia Cveulebrivi wiladebis gaeTmniSvnelianeba.
 me SemiZlia algebruli wiladebis gaeTmniSvnelianeba.
me-7 etapi _ saSinao davaleba sav.#12, #13 da ori nomeri SerCeviT gasameorebeli sakiTxebidan.
 moswavles unda SeeZlos:
 algebruli wiladebis gaerTmniSvnelianeba;
 miRebuli Sedegis sisworis Semowmeba;
 sakuTari saqmianobis organizeba;
 analizi da faqtebis ganzogadeba.
3
sav.#15 a) 7; b) 6; g) .
x2
sav.#16 a) 0,-5; b)0, -2; g) -0,5, 1; d)  ; e) 3 .
sav.#21 a) b  0; b) a  0 an b  0; g) c  0; d)  ; e) a  1, 5b ; v) x  2.
sav.#22 a) 5; b)11.
$ 3.4 moqmedebebi algebrul wiladebze (4 sT)

mizani:
 algebrul wiladebis Sekreba-gamoklebis, gamravleba-gayofisa da axarisebis moqmedebebis wesebis gacnoba.
 algebrul wiladis Semcveli gamosaxulebis gamartiveba
moswavlem unda icodes algebruli wiladebis gaerTmniSvnelianeba, Sekreba, gamokleba, gamravleba, gayofa, axarisxeba;
unda SeeZlos algebruli wiladebis jamis, sxvaobis, namravlis, ganayofis, xarisxis wiladad gardaqmna, gamosaxulebis
gamartiveba.
140
meToduri rekomendaciebi: mocemuli paragrafis ZiriTadi mizania moswavlem iswavlos gamosaxulebis gardaqmna,
gamartiveba, risTvisac araa aucilebeli garkveuli savarjiSoebis garda, imis Zieba, Tu ra iyo cvladis dasaSvebi mniSvneloba
sawyis gamosaxulebaSi da ra aris igi miRebul gamosaxulebaSi.
masalis asaTviseblad 4 saaTia gamoyofili. ori saaTi daeTmoba Sekreba-gamoklebas, ori _ gamravleba-gayofas.
savarjiSoebs maswavlebeli gadaanawilebs oTxive gakveTilze.
sav. #19 a) 1, 5  x  y  ; b)
mx
; g)
 a  5  a  3 ; d) m  n ; e)  x  5  x  4  .
7 x  y a2 2n 6
3 a  b
2
x2 2 y  x  3  2  2
sav. #20 a) ; b) ; g) ; d)   ; e) .
5 a  b  x  2  y  4
2
x 2
 x y mn
xx  2y a  a  3 b3 x y

sav. #21 a) ; b) ; g) 1; d) ; e) ; v) 1.
3  a  2  a  4  b3 x y
2x2  8 c2  c a y
sav. #22 a) ; b) a  2; g) ; d) .
x 1
2
c2 a y
 x  4 x  2 
sav. #23 a)1; b) .
 x  6 x  2 
x y ay  b 2 x4  1 u2 1
sav. #24 a) ; b) ; g) y ; z) 2 ; T) ; i) .
xy y x uv d
sav.#29. a) -11; b) 3,84; g) -5,4.
1 1 x 1 x
8  (1  x 2 )
8 1 1  x 2 2 1
sav.#30 a)  ; e)   .
 1 3 7 1  x  1  x 2 x x
8    (1  x )
2
 2 8 1  x 2
1 b2
sav. #31 a) 0; b)  ; g)  .
a2 2b
sav. #32 metia Saqris Warxlidan.
141
mesame Tavis mimoxilva
1 1 5
sav.#8 a) ; b) ; g) .
m  m  2 5a  15 x 5
2
sav.#14 a)0,4; b) 1 .
3
sav.#16 7,5 sT-Si, 15 sT-Si.
sav.#17 vTqvaT, eskalatori wamSi x safexuriT adis. eskalatoris safexurebis raodenoba erTi mxriv iqneba 20 + 20x, xolo
meore mxriv, 2×15 + 15x. miviReT gantoleba: 20 + 20x = 2×15 + 15x. aqedan, x =2 da 20 + 20x=60. pasuxi: 30 wm-Si.
aba, scade! 2n 3  2n 2  n 2  n  n  n  1 2n  1  n( n  1)( n  1)  n ( n  1)( n  2). miRebuli jamis TiToeuli Sesakrebi 6-is jeradia,
radgan sami momdevno naturaluri ricxvis namravls warmoadgens.
testi #3
pasuxebi:
#1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8 #9 #10 #11 #12 #13 #14
d d b d b a g a b a g b g d
#15 #16 #17 #18 #19 #20 #21 #22 #23 #24 #25
d b a b a g a b d g g
142
I varianti
1) Sekvece wiladi:
x  3x 2 a 2  b2
a) ; b) .
6 x2 5a  5b
2) warmoadgine gamosaxeleba wiladis saxiT:

5a  2 a  7 2 2 51x5 7 y 6
a)  ; b)  ; g)   .
a2 2a x y x y 3,5 y 5 85 x 6
a 2  2ab  b 2
3) gaamartive da gamoTvale: , roca a =0,3, b = 0,7.
a 2  b2
4) gaamartive gamosaxuleba:
cb ca ba x 2  3x  9 x 3  27
a)   ; b) : 3 .
bc ac ab x 1 x  x2  x  1
n2  9
5) n -is ra mniSvnelobisTvis iqneba gamosaxulebis mniSvneloba 0-is toli?
n3
143
II varianti
1) Sekvece wiladi:
4x2 2 a  2b
a) ; b) .
x3  2 x 2 a2  b2
2) warmoadgine gamosaxeleba wiladis saxiT:

4a  2 a  8 1 1 38m3 9n5
a)  ; b)  ; g)  . .
a2 2a x  2y x  2y 4,5n 4 95m5
a 2  2ab  b 2
3) gaamartive da gamoTvale: , roca a =0,7, b = 0,3.
a 2  b2
7 4 ba a 2  3a  9 a 3  27
4) gaamartive gamosaxuleba: a)   ; b) : 3 .
b 2a ab a 1 a  a2  a 1
n 2  25
5) n -is ra mniSvnelobisTvis iqneba gamosaxulebis mniSvneloba 0-is toli?
n5
ganmsazRvreli Sefaseba
1) TiToeuli wiladis Sekvecaze - - - -0,5 qula; sul 1 qula.
2) warmoadgina gamosaxuleba wiladis saxiT - - - - 1 qula. sul 3 qula.
3) gaamartiva gamosaxuleba - - - 1 qula;

gamoTvala gamosaxulebis mniSvneloba- - - 1qula; sul 2 qula.
4) TiToeul magaliTSi 1 qula; sul 2 qula;
5) dawera nulTan tolobis orive piroba - - - 1 qula;

dawera pasuxi - - - 1 qula; sul 2 qula.
144
ganmaviTarebeli Sefaseba
fasdeba aradamakmay. damakmay. kargi sanimuSo

Semdegi
aqtivobebi
davalebis ver iazrebs davale- nawilobriv aRiqvams aRiqvams amocanis Si- Kargad aRiqvams amocanis
gaazreba, bas, ver axerxebs dava- davalebis Sinaarss. naarss. axerxebs da- Sinaarss. uSecdomod
maTematikuri lebis Sesabamisi nawilobriv axerxebs valebis Sesrulebas. asrulebs davalebas.
obieqtebis svlebis mofiqrebas davalebis
warmodgena da Sesrulebas. Sesrulebas.
algebruli ar esmis algebruli SeuZlia martivi esmis cnebebisa da kargad esmis cnebebisa da
wiladi, wiladisa da cvladis cnebebisa da termi- terminebis arsi. terminebis arsi. icis
wiladebis dasaSveb mniSvnelo- nebis interpreta- axerxebs maTs inter- moqmedebaTa Sesrulebis
Sekveca, baTa ares cnebebis cia. nawilobriv pretacias, sworad wesebi da axerxebs maTs
gaerTmniSvne arsi, ar SeuZlia wi- axerxebs wiladebis eZebs saerTo mniS- interpretacias. sworad
lianeba, ladebis umciresi sa- umciresi saerTo vnels, saerTo gam- eZebs umcires saerTo
wiladebze erTo mniSvnelis mo- mniSvnelis moZebnas, yofs (zogjer ara mniSvnels, udides saerTo
moqmedebebi Zebna, wiladebis Se- wiladebis Sekvecas udidess). axerxebs gamyofs. axerxebs
kveca da maTze moqme- da maTze moqmede- wiladebze moqmede- wiladebze moqmedebebis
debebis Sesruleba. bebis Sesrulebas. bebis Sesrulebas. Sesrulebas.
kavSirebisa da ver adgens kavSirs nawilobriv adgens adgens kavSirebs da adgens kavSirebs da mimar-
mimarTebebis sxva struqturebTan, kavSirs sxva mimarTebebs sxva Tebebs sxva struqtureb-
dadgena, ana- obieqtebTan. ar aqvs struqturebTan, struqturebTan, Tan, obieqtebTan.
lizisa da sin- analizisa da sinTezis obieqtebTan. ar aqvs obieqtebTan, iyenebs uproblemod asrulebs
Tezis pro- unari. analizisa da analizisa da sinTe- wiladebis Sekvecas,
blemis sinTezis unari. zis unars problemis gaerTmniSvnelianebasa da
dadgenis gadaWrisas. maTze moqmedebebs.
unari
145
Tavi 4. farTobi
Tavis mizani:
 farTobis Tvisebebis gacnoba;
 farTobis gamoTvla kvadratuli badis gamoyenebiT;
 samkuTxedis, paralelogramis, rombis, trapeciis farTobebis gamosaTvleli formulebis gamoyvana;
 urTierTmarTobuli diagonalebis mqone oTxkuTxedis farTobis gamoTvla;
 farTobis sazom erTeulebs Soris kavSiris dadgena;
 farTobis gamosaTvleli formulebis gamoyeneba praqtikuli amocanebis amosaxsnelad.
$4.1 martivi figuris farTobi (2 sT)

mizani:
 farTobis Tvisebebis gacnoba da martivi figuris gamosaTvlelad gamoyeneba;
 martivi figurebis farTobis gamoTvla kvadratuli badis meSveobiT;
 logikuri azrovnebisa da analizis, daskvnebis gamotanis unarebis ganviTareba.
 rogor figuras ewodeba martivi;
 ras niSnavs `gamovTvaloT figuris farTobi~;
 rom farTobi, geometriuli sididea da aqvs Tavisi Tvisebebi;
 farTobis Tvisebebi;
 farTobis sazomi erTeulebi;
 kavSiri farTobis sazom erTeulebs Soris.
unda SeeZlos:
 figuris farTobis miaxloebiTi gamoTvla badis gamoyenebiT;
 martivi figuris farTobis gamoTvla kvadratuli badis gamoyenebiT;
 farTobis sazom erTeulebs Soris kavSiris gamoyeneba amocanebis amoxsnisas;
 farTobis Tvisebebis gamoyeneba amocanebis amoxsnisas.
146
Tema: farTobi
 gansxvavebuli figurebis farTobis gamosaTvlelad gansxvavebuli formulebia saWiro.
qveTema: martivi figuris farTobi
qveTemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi:
 farTobi erTeulovani kvadratebis is raodenobaa, romelsac figura daitevs;
 tol figurebs toli farTobebi aqvs;
 figuris farTobi misi TanaukveTi nawilebis farTobTa jamis tolia.
samizne cnebebi da maT- sakiTxi/qvecne sakvanZo kompleqsuri davaleba/davalebebi

Tan dakavSirebuli ba SekiTxva/SekiTxvebi:
mkvidri warmodgenebi:  marTkuTxe-  rogor gamoTvli  amoxsnan 4.1 paragrafis #15 savarjiSoSi
 martivi figura _ dis farTobi; marTkuTxedis farTobs? mocemuli amocana;
samkuTxedebis  toldidi  ra Tvisebebi aqvs  ganazogadon amoxsnili amocana da
gaerTianeba; figurebi; farTobs? daamtkicon zogadi debuleba: toli
 farTobi _ frtyeli  farTobis  rogor figurebs perimetris mqone marTkuTxedebs Soris
figuris sazomi erTeulebi. ewodeba toldidi? udidesi farTobi aqvs kvadrats;
geometriuli sidide.  yvela toldidi figura  moifiqron damtkicebuli debulebis
tolia? praqtikuli gamoyeneba.
 yvela toli figura SeniSvna: Tu gauWirdaT damtkkiceba,
toldidia? maswavlebeli daexmareba. am debulebis
damtkicebis sxvadasxva gza arsebobs. maT
Soris umartivesia: Tu marTkuTxedis
gevrdebia a+b da a-b, maSin farTobia _ a2-b2. es
gamosaxuleba udidesia, roca b=0.
147
pirveli gakveTili
maswavlebeli: _ furceli or marTkuTxedad gayaviT. erT maTganze daxazeT AB monakveTi.
_ rigor davadginoT monakveTis zoma? (Sejerdebian pasuxze: gavzomoT misi sigrZe.)
_ ra erTeulebSi izomeba monakveTis sigrZe?
_ ras niSnavs `gavzomoT monakveTi~?
_ gazomeT Tqven mier daxazuli AB monakveTi. ra erTeulebi gamoiyeneT?
_ CawereT AB monakveTis miRebuli zoma TanmimdevrobiT: mm-Si, sm-Si, dm-Si, km-Si.
_ AB monakveTze moniSneT C wertili.
_ ra SegiZliaT TqvaT AC da CB monakveTebis sigrZeTa jamze? ra Tvisebis safuZvelze? SeamowmeT Tqvens monakveTebze.
_ ra geometriuli figurebi viswavleT?
_ CaxazeT figurebi furclis meore nawilSi.
_ am figurebis ra monacemebi SeiZleba gavzomoT? (perimetri, farTobi.)
III. gakveTilis Temisa da miznebis gacnoba
_ Cveni dRevandeli gakveTili eTmoba farTobsa da misi Tvisebebis Seswavlas.
_ ra igulisxmeT sityva `farTobSi~? (moswavleebi gamoTqvamen mosazrebas. sabolood mivlen Semdegi gansazRvrebis
Camoyalibdebamde: farTobi aris sidide sibrtyis im nawilisa, romelsac figura ikavebs.)
_praqtikul saqmianobaSi adamians xSirad aqvs saqme farTobTan. magaliTad, miRebuli mosavlis raodenobis Sesafaseblad
arkveven, ra farTobidan iyo miRebuli mosavali, binis SeZenisas iTvaliswineben mis farTobs, geografiaSi swavlobT, romel
qveyanas ra farTobi ukavia da a. S.
_ ra figurebis farTobis gamoTvla iciT? (marTkuTxedisa da kvadratis.)
_ ra erTeulebSi izomeba farTobi? (mm2 , sm2 , dm2 , m2, km2)
_ CavweroT farTobis sazom erTeulebs Soris kavSiri. ras niSnavs 1 sm2? 1 dm2? 1 m2? 1 km2? (xazaven kvadrats da adgenen
kavSirebs.)
1 sm2 1 dm2 10 sm
10 mm
10 mm 10sm
1 sm =10 mm ×10mm=100mm2
2
1 dm2 =10 sm×10sm=100sm2= 1 0 4 mm2
148
analogiuri msjelobiT sabolood Caweren cxrils:
farTobis sazomi erTeulebi:
1 sm2=102mm2
1 dm2=102sm2= 10 4 mm2
1 m2=102dm2= 10 4 sm2= 106 mm2
1 km2= 106 m2= 108 dm2= 1010 sm2

1 a=102m2
1 ha=102a= 10 4 m2
maswavlebeli ganmartavs martiv figuras, aCvenebs martivi figuris naxazebs. cdilobs, moswavleebs Camoayalibebinos
farTobis Tvisebebi.
xsnian saxlemZRvaneloSi mocemul 1-l amocanas.
_ rogor iTvlidiT iseTi figuris farTobs, romelic araa marTkuTxedi? (moswavleebi ixseneben palets da misi gamoyenebiT
farTobis gamoTvlis wess). xsnian teqstis me-2 amocanas saxelmZRvaneloSi mocemuli naxazis mixedviT, me-4 naxazze mocemuli
ABC samkuTxedis farTobs (amas damoukideblad asruleben) da #1, #2, #3 figurebis farTobebs (muSaoben merxis mezoblebi
wyvilebSi). bolos maswavlebeli kiTxulobs, farTobis ra Tviseba gamoiyenes gamoTvlebSi.
toldidi figurebis gansazRvrebis Semosatanad iTvlian mocemuli ABC samkuTxedisa da MNKP marTkuTxedis farTobebs.
V. ganmtkiceba
axlad miRebuli codnis ganmtkicebis mizniT muSaoben saxelmZRvaneloSi mocemul savarjiSoebze: #1, #3, #6, #7, #9.
VI. d/s I varianti: sav. #4; I I varianti: sav. #5.
maswavlebels gamzadebuli aqvs naxazi (ekranze, dafaze an plakatze) da swor amoxsnas (erT variants xsnis erTi moswavle) am
naxazze aCveneben.
VII. refleqsia
_ ra erTeulebiT izomeba farTobi?
_ rogori kvdratis farTobia 1m2? 1ha?
_ ra Tvisebebi aqvs farTobs?
_ rogor figuras ewodeba martivi?
_ rogor viTvliT farTobs badis gamoyenebiT?
149
maswavlebeli: _ aRadgineT winadadebaSi gamotovebuli sityva/sityvebi:
1) tol figurebs toli . . . aqvs.
2) figuris farTobi misi . . .nawilebis . . . jamis tolia.
3) toli farTobebis mqone figurebs . . . figurebi ewodeba.
4) Tu figuris sasrul raodenobis samkuTxedebad dayofaa SesaZlebeli, maSin mas . . . figura ewodeba.
 CamoayalibeT farTobis 1-li Tviseba. (tol figurebs toli farTobebi aqvs.)
 CamoayalibeT farTobis me-2 Tviseba. (figuris farTobi misi TanaukveTi nawilebis farTobTa jamis tolia.)
 daxazeT aratoli farTobis mqone ori mravalkuTxedi.
 daxazeT ori toldidi figura.
SeniSvna: farTobis Tvisebebis kargad aRqmis mizniT, sasurvelia, farTobis TvisebebTan erTad, dafaze Canawerebis gakeTebiT,
gavameorebinoT monakveTis sigrZis Tvisebebi, raSic xels Segviwyobs sqematuri naxazi (SeiZleba plakatis saxiT, SeiZleba
ekranze gamotaniT da a.S.). TvalsaCino analogia daexmareba moswavles saswavlo masalis ufro Rrmad gaazrebaSi.
yovel mravalkuTxeds aqvs garkveuli

A B farTobi, romelic 0-ze metia.
yovel monakveTs aqvs garkveuli sigrZe, S 0
romelic 0-ze metia. AB  0 .
tol figurebs toli farTobi aqvs.

A
AB  CD
C D S2
S1
tol monakveTebs toli sigrZe aqvs.
figura Tu ramdenime TanaukveTi

A B C S1 figurisagan Sedgeba, maSin misi farTobi
am figurebis farTobTa jamis tolia.
monakveTi Tu TanaukveTi monakveTebisagan S2
S3 S  S1  S 2  S3
Sedgeba, maSin misi sigrZe am monakveTebis
sigrZeTa jamis tolia.
AC  AB  BC .
150
saSinao davaleba: sav.#2, #8, #13, #22.
C
#1. MNEFTK -s farTobi ( S MNK  S EFT ) naklebia MNK samkuTxedis farTobze, ABC da N
B
7 3 E
T
MNK samkuTxedebis farTobebi ki tolia (TiToeulis farTobia ). e.i. pasuxi: F
2 M K
S MNEFTK  S ABC .
A
sav.#2. SesaZlebelia, moswavleebma sxvadasxva gziT amoxsnan amocana .
I gza: daiTvalon figuris mier dafaruli badis mTeli ujrebi (36) da daumaton danarCeni ujrebis raodenobis naxevari (3).
Semdeg 39 gaamravlon badis erTi ujris farTobze (0,25 sm2 an Tavidanve daadginon ujris gverdis realuri zoma-5 m da
gamoTvalon farTobi: 39  45=975 (m2).
II gza: daiTvalon badis mTeli ujrebis raodenoba marTkuTxedidan amoWril figuraSi (3),
am figuris danarCeni (ara mTeli) ujrebis raodenobis naxevari (3) da marTkuTxedis
damfaravi ujrebis raodenobas (45-s) gamoaklon amoWrili nawilis damfaravi ujrebis
raodenoba (3+3), miiReben: 45-6=39. pasuxi: 975 m2.
sav.#3. SevavsoT marTkuTxedamde da mis farTobs gamovakloT zedmeti sami samkuTxedis
farTobi (samkuTxedis farTobs daiTvlian marTkuTxedad SevsebiT da ganaxevrebiT).
saZiebeli farTobia 16 1, 5 sm2=24 sm2.
sav.#5. qveda `dakbiluli” nawilis moxsnisa da zeda `dakbilul” nawilSi Cadgmis Semdeg
(nax.1)miiReba marTkuTxedi, romlis farTobia 3  7 pirobiTi erTeuli. pasuxi: 21 p.e.
B nax.1
M N
sav.#6.  ABC 4 toli samkuTxedisagan Sedgeba. maTgan gaferadebulia 50%. (nax.2)
sav.#9. vTqvaT, marTkuTxedis gverdebi Tavdapirvelad iyo a da b. farTobi iqneboda ab. D E
a a
cvlilebebis Semdeg gverdebi gaxdeboda da 2b , xolo farTobi:  2b  0, 4ab. A C
5 5 K
ab nax.2
0, 4ab  ab.  2,5 . pasuxi: farTobi Semcirda 2,5-jer.
0, 4ab
sav.#12. naxazze mocemuli figuris farTobi kvadratisa da tolferda samkuTxedis farTobTa jamis tolia. am samkuTxedis
farTobi kvadratis farTobis naxevaria, xolo mTliani figuris farTobia: 25m2+12,5m2=37,5m2.
151
sav.#13 SegviZlia vTqvaT, rom naxazze gaferadebulia 3 marTkuTxedi. naxazze mocemuli marTkuTxedi
24 aseTi marTkuTxedisgan Sedgeba. 3 marTkuTxedis farTobi Tu 2,25 sm2-ia, 24 marTkuTxedis farTobi
iqneba 2,25 sm2  8=18 sm2.
sav.#15. vinaidan figurebs toli perimetrebi aqvs da marTkuTxedis sigrZe kvadratis gverdis sigrZeze
10 m-iT metia, vaskvniT, rom misi sigane kvadratis gverdis sigrZeze 10 m-iT naklebia. Tu kvadratis
gverdis sigrZes a asoTi aRvniSnavT, maSin marTkuTxedis farTobi iqneba  a  10  a  10   a 2  100 . maSasadame, avTos 100 kv.m-
iT meti farTobis nakveTi aqvs.
S 33
sav.#16. Tu meoTxe oTaxis farTobia S, maSin  , saidanac S=18. pasuxi:18m2.
12 22
12m2 22m2
33m2
B C
sav. #17. BCE da FDE toli samkuTxedebia. amitom saZiebeli farTobi
kvadratis farTobis tolia. pasuxi: 36sm2. E
sav.#18. gamoviyenoT toloba: S F1  F2  S F 1  S F 2  S F1  F2 =49 sm2.

A D F
sav.#19. mxolod g).
sav.#21.rukaze 1 sm monakveTis sigrZe realur 5km-s Seesabameba.
2 2
motociklists gasavleli aqvs 64 km, romelsac 2 sT-Si 64: 2 km/sT=24km/sT siCqariT gaivlis.
3 3
aba, scade! miTiTeba: M wertilidan gavavloT AB gverdis paraleluri monakveTi. miiReba toli samkuTxedebis ori wyvili.
152
$4.2 samkuTxedis farTobi (3 sT.)
mizani:
 samkuTxedis farTobis formulis gamoyvana da misi gamoyeneba amocanebis amosaxsnelad;
 mizez-Sedegobrivi kavSirebis dadgenis, logikuri azrovnebis, daskvnis Camoyalibebis, SemecnebiTi unarebis
ganviTareba;
 maTematikuri metyvelebis kulturis ganviTareba.
Tema: farTobi
qveTema: samkuTxedis farTobi
 samkuTxedis farTobi gverdis sigrZisa da am gverdze an mis gagrZelebaze daSvebuli simaRlis namravlis
naxevris tolia.
samizne cnebebi da sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi: kompleqsuri dava-
maTTan dakavSire- leba/davalebebi
buli mkvidri  marTkuTxedis  rogor gamoTvli marTkuTxa  4.2 paragrafis #10 savarjiSo;
warmodgenebi: farTobi; samkuTxedis farTobs?  ganazogadon amoxsnili amocana
 samkuTxedi _sami  marTkuTxa  rogor gamoTvli samkuTxedis da daamtkicon zogadi
mdgenis mqone samkuTxedis farTobs? debuleba: samkuTxedis
Sekruli texiliT farTobi;  ra proporciiT yofs samkuTxedis farTobi wveroze gavlebuli
SemosazRvruli  Sua xaziT farTobs Sua xazi? wrfiT imave proporciiT iyofa,
sibrtyis nawili; ra proporciiTac es wrfe
CamoWrili  yvela toldidi figura tolia?
 simaRle _ wverodan nawilebis farTobi;  yvela toli figura toldidia? hyofs mopirdapire gverds;
mopirdapire  medianiT CamoWrili  ra damokidebulebaa samkuTxedis  Seasrulon paragrafis bolos
gverdze an mis samkuTxedis mocemuli àba, scades!~
gverdebis sigrZeebsa da simaRleebs
gagrZelebaze farTobi. davaleba; moifiqron
Soris?
daSvebuli marTobi damtkicebuli debulebis
monakveTi. praqtikuli gamoyeneba.
153
II. winare codnis gaaqtiureba, gakveTilis Temisa da miznebis gacnoba
maswavlebeli: _ rogor monakveTs ewodeba samkuTxedis simaRle?
_ ramdeni simaRlis gavlebaa SesaZlebeli samkuTxedSi?
_ romeli monakveTia marTkuTxa samkuTxedis simaRle? (imsjele samive simaRleze.)
_ rogor gamoiTvleba marTkuTxedis farTobi?
_ ra Tviseba aqvs marTkuTxedis diagonals?
_ raSi mdgomareobs farTobis ori ZiriTadi Tviseba?
_ dRes unda gamoviyvanoT samkuTxedis farTobis gamosaTvleli formula da viswavloT misi praqtikaSi gamoyeneba.
_ rogor samkuTxedebad yofs diagonali paralelograms?
samkuTxedis farTobis gamosaTvleli formulis gamoyvana araa Zneli, amitom maswavlebels SeuZlia misces damoukidebel
samuSaod.
saWiro masala: kompiuteri, proeqtori.
dRes unda gamoviyvanoT samkuTxedis farTobis gamosaTvleli formula.
_ amovxsnaT amocana _ marTkuTxedis gverdebis sigrZea 16 sm da 10 sm.
gamovTvaloT marTkuTxedis farTobi.
_ ra formuliT gamoTvaleT? vTqvaT, marTkuTxedis gverdebia a da b , xolo farTobi _ S . CawereT farTobis gamosaTvleli
formula am aRniSvnebis gamoyenebiT. (dafaze weren formulas da toveben, ar waSlian.)
praqtikuli samuSao
maswavlebeli: _ merxebze marTkuTxedis formis furclebi gilagiaT. gaavleT erTi diagonali da gaWeriT am diagonalze. ra
geometriuli figurebi miiReT? (samkuTxedebi.) rogori samkuTxedebi miiReT? (marTkuTxa.) daasabuTeT, rom miRebuli
samkuTxedebi marTkuTxaa. (samkuTxeds marTkuTxa ewodeba Tu misi erTi kuTxe marTia. orive samkuTxeds aqvs marTi kuTxe,
radgan igi marTkuTxedisagan erTi diagonalis gaswvriv gaWriT miviReT.)
_ daadeT samkuTxedebi erTmaneTs. ras amCnevT? (samkuTxedebi tolia)
_ gaixseneT farTobis Tviseba, toli figurebis farTobebis Tviseba. (tol figurebs toli farTobi aqvs.)
_ rogori farTobebi aqvs miRebul samkuTxedebs?
_ ras fiqrobT, ra iqneba Cveni dRevandeli gakveTilis Tema? (samkuTxedis farTobi.)
154
_ gaixseneT Cveni praqtikuli samuSao, sadac marTkuTxedi or tol samkuTxedad gavyaviT. aba, vis SeuZlia imsjelos
samkuTxedis farTobis gamoTvlis wesze, roca viciT marTkuTxedis farTobis gamoTvlis wesi? (marTkuTxedis farTobi
gamoiTvleba formuliT: S  ab. (miuTiTebs moswavles dafaze daweril formulaze.) marTkuTxedi or tol samkuTxedad
ab
gaiyo, e.i. TiToeuli samkuTxedis farTobi marTkuTxedis farTobis naxevaria, anu S  .)
2
_ ra ewodeba marTkuTxa samkuTxedis gverdebs? (kaTetebi da hipotenuza).
_ romeli gverdebis namravlis naxevaria marTkuTxa samkuTxedis farTobi?)
_ CamoayalibeT marTkuTxa samkuTxedis farTobis gamoTvlis wesi. (marTkuTxa samkuTxedis farTobi misi kaTetebis namravlis
naxevars udris.)
V. amocanebis (sazepiro) amoxsna marTkuTxa samkuTxedis farTobis gamoTvlaze
maswavlebeli: _ gamovTvaloT marTkuTxa samkuTxedis farTobi, romlis kaTetebia:
1) 4sm da 6 sm; b) 2dm da 8 dm; g) 1m da 5 dm; d) 10 dm da 5 dm.
_ marTkuTxa samkuTxedis farTobis gamoTvlis wesi da formula viswavleT. rogor gamovTvaloT nebismieri samkuTxedis
farTobi?
_ davubrundeT paraqtikul samuSaos. aiReT weRandeli gaWris Sedegad miRebuli samkuTxedebi da maTgan SeadgineT erTi
samkuTxedi. ras xedavT TqvenTvis nacnobs? (samkuTxedebis TiTo kaTeti SeTavsda) es saerTo kaTeti midgmiT miRebuli
samkuTxedis ra elementi iqneba? (simaRle.) ratom? (fuZis marTobia.)
B
_aRniSneT samkuTxedis fuZe a asoTi, simaRle h -iT. scadeT samkuTxedis farTobis gamosaTvleli
formulis gamoyvana.
moswavleebisagan mosalodnelia formulis sxvadasxva gziT gamoyvana. magaliTad, erTni ase
gamoiyvanen: ganixilaven or marTkuTxa samkuTxeds da maTs farTobebs Sekreben. h
CD  DB ah
S DBC   . A a
D a C
2 4 2 2
AD  DB ah
S ABD   .
2 4
1 ah 1 ah ah
S ABC  S ABD  S DBC      .
2 2 2 2 2
meoreni samkuTxeds marTkTxedamde Seavseben da msjelobas am mimarTulebiT gaagrZeleben. daasabuTeben, rom ABC sam-
kuTxedis farTobi marTkuTxedis farTobis naxevaria da ase gamoiyvanen formulas. Camoayalibeben samkuTxedis farTobis
155
gamosaTvlel wess.
maswavlebeli: _ naxeT ra gziTaa gamoyvanili samkuTxedis farTobi saxelmZRvaneloSi da vaCvenoT es gza, rogorc
maxvilkuTxa, ise blagvkuTxa samkuTxedisaTvis.
VI. ganmtkiceba.
maswavlebeli: _ amovxsnaT amocanebi zepirad: gamoTvaleT samkuTxedis farTobi, Tu misi erTi gverdi da masze daSvebuli
simaRlea: a)10sm da 7sm; b) 7dm da 8dm; g)13m da 20m.
saxelmZRvanelodan zepirad xsnian #1, #2, #3 savarjiSoebs. dafaze da rveulebSi muSaoben #4, #6, #8 savarjiSoebze.
maswavlebeli avalebs daasabuTon, rom Suaxazi samkuTxedis farTobs meoTxed nawils CamoWris (radgan SuaxazebiT
samkuTxedi oTx tol samkuTxedad iyofa).
VII. damoukidebeli samuSao:
I varianti: 1) gamoTvale marTkuTxa samkuTxedis farTobi, Tu misi kaTetebis sigrZeebia: 3 sm da 5 sm.
2) gamoTvale samkuTxedis farTobi, Tu misi erTi gverdis sigrZea 5 sm, xolo masze daSvebuli simaRlis – 6sm.
II varianti 1) gamoTvale marTkuTxa samkuTxedis farTobi, Tu misi kaTetebis sigrZeebia: 6 sm da 10 sm-is tolia.
2) gamoTvale samkuTxedis farTobi, Tu misi erTi gverdis sigrZea 7 sm, xolo masze daSvebuli simaRlis – 8sm.
_ ra iyo Cveni dRevandeli gakveTilis mizani?
_ rogori samkuTxedebis farTobebis gamosaTvleli formulebi gamoviyvaneT?
_ rogor gamoviTvliT marTkuTxa samkuTxedis farTobs?
_ rogor nawilebad gayofs samkuTxedis mediana samkuTxedis farTobs?daasabuTe. (msurveli gadis dafasTan an ekranze
muSaobs.)
_ rogor samkuTxedebad yofs diagonali parallelograms? daasabuTe.
_dRes SeZenili codna xSirad dagWirdebaT geometriis gakveTilebze da cxovrebaSi.
IX. saSinao davaleba sav.#5, #7, #9, #23.
X. refleqsia
_ ra iyo Cveni gakveTilis mizani? (samkuTxedis farTobis gamosaTvleli formulis gamoyvana.)
_ mivaRwieT mizans?
_ ra Sedegi miviReT, ra viswavleT axali?
_ ra formuliT gamoiTvleba samkuTxedis farTobi?
156
_ ris safuZvelze davaskveniT, rom marTkuTxa samkuTxedis farTobi kaTetebis namravlis naxevris tolia?
_ vis gauWirda axali masalis gaazreba?
_ ra aris saWiro masalis kargad asaTviseblad?
_ gisurvebT warmatebebs.
me-2 gakveTili
mizani:
 samkuTxedis farTobis gamoTvlis Sesaxeb miRebuli codnis sistemizacia;
 samkuTxedis farTobis gamosaTvleli formulebis gamoyeneba amocanebis amoxsnisas;
 amocanebis amoxsnis unaris ganviTareba da Cvevebis daxvewa;
 maTematikuri metyvelebis ganviTareba;
 sagnis swavlisadmi interesis gaRviveba.
saWiro resursi: kompiuteri, proeqtori.
I. organizaciuli momenti. moswavleTa sagakveTilod mzadyofnis Semowmeba.
frontaluri gamokiTxva, saSinao davalebis Semowmeba (Tu romelime davaleba ver Seasrules an arasworad Seasrules, misi
msgavsi unda amoxsnan dafaze.)
maswavlebeli: _ daasruleT winadadeba:
a) mravalkuTxedis farTobi aris sidide, romelsac gaaCnia Semdegi Tvisebebi...
b) gavzomoT mravalkuTxedis farTobi, niSnavs . . .
g) marTkuTxedis farTobi tolia . . .
d) samkuTxedis farTobi tolia . . .
e) marTkuTxa samkuTxedis farTobi tolia . . .
_ rogor fiqrobT, ra iqneba Cveni dRevandeli gakveTilis Tema? (samkuTxedis farTobi.) mizani? (farTobis Sesaxeb miRebuli
codnis ganmtkiceba.)
_ marTalia, Cven dRes samkuTxedis farTobis gamosaTvleli formulebis gamoyenebiT amovxsniT amocanebs.
IV. sagakveTilo Temaze muSaoba. amocanebis amoxsna
a) amocanebi amoxseniT zepirad.
1) marTkuTxa samkuTxedis kaTetebia 7sm da 8sm. gamoTvaleT samkuTxedis farTobi.
2) samkuTxedis gverdis sigrZea 5sm, am gverdze daSvebuli simaRle _ 6sm. gamoTvaleT samkuTxedis farTobi.
157
3) marTkuTxa samkuTxedis hipotenuzaa 8sm, masze daSvebuli simaRle 3sm. gamoTvaleT samkuTxedis farTobi.
b) saxelmZRvanelodan xsnian amocanebs: sav.#10, #17(am amocanebidan gamoaqvT daskvna, rom samkuTxedis farTobi imave
SefardebiT iyofa, ra SefardebiTac iyofa gverdi, romelsac es wrfe kveTs), #11.
V. saSinao davaleba: sav#12, #14 , #21, #24.
VI. refleqsia
_ ra gavakeTeT miznis misaRwevad?
_ ra formulebi gamoviyeneT samkuTxedis farTobis gamoTvlisas?
VII. refleqsia. Sedegebis Sejameba
afaseben dafasTan momuSave moswavleebs da im moswavleebs, romelnic adgilidan aqtiurobdnen (swori SeniSvnebi, zusti
komentarebi) da damoukidebeli samuSaoc sworad amoxsnes. danarCenebi Sefasdebian damoukidebeli samuSaos Sesrulebis
xarisxis mixedviT.
me-3 gakveTili
mizani:
 samkuTxedis farTobis gamoTvlis Sesaxeb miRebuli codnis sistemizacia;
 samkuTxedis farTobis gamoTvla sxvadasxva gziT;
 amocanebis amoxsnis unaris ganviTareba da Cvevebis daxvewa;
 maTematikuri eniT metyvelebis ganviTareba;
 damoukideblad muSaobis, logikuri azrovnebis ganviTareba;
 sagnis swavlisadmi interesis gaRviveba.
saWiro resursi: kompiuteri, ekrani, proeqtori, amocanebi naxazebiT.
maswavlebeli: _ gavimeoroT, ra viciT samkuTxedis farTobis Sesaxeb (ayalibeben farTobis gamosaTvlel wesebs, weren
formulebs).
_ amovxsnaT amocanebi naxazebis mixedviT (naxazebi rigrigobiT gamoaqvs ekranze an gamzadebuli aqvs formatze.) a) zepirad:
158
AB  18 . S  ?
S ?
b) amovxsnaT naxaziT mocemuli amocanebi. erTma dafaze imuSaos, danarCenebma damoukideblad _ rveulebSi.
B
S ABC  ? S ABD  18 sm2 C
D
15 A
135o
A C S ABC  ? sm2
5 D B
gasameorebel sakiTxebze muSaoba.
a) xsnian saxelmZRvanelodan #12,#20 savarjiSoebs.
b) maswavlebeli: _ formulebis gamoyenebis garda, kidev ra gziT SegviZlia samkuTxedis farTobis gamoTvla? (kvadratuli
badiT, paletiT.)
_ gamoTvaleT mocemuli samkuTxedebis farTobi rogorc badiT, ise formuliT da Sedegebi SeadareT. badis erTi ujris
gverdis sigrZe CaTvaleT 1 santimetrad.
159
refleqsia. Sedegebis Sejameba
maswavlebeli: _ ra Temaze vimuSaveT?
_ ra iyo yvelaze saintereso?
_ ra Tvisebebi aqvs farTobs?
saSinao davaleba sav.#13, #15, #18, #22. davalebasTan dakavSirebiT maswavlebeli iZleva miTiTebebs: #13 amocanis
amosaxsnelad dawereT farTobis gamosaTvleli formula kaTetebiT da hipotenuziT da masze daSvebuli simaRliT da
gautoleT. #14 amocanis amoxsnisas gaiTvaliswineT, rom samkuTxedis gverdebi maTze daSvebuli simaRlis
ukuproporciulia).
komentarebi savarjiSoebis Sesaxeb da pasuxebi.
ab ch
sav.#13. mocemuli aRniSvnebis gamoyenebiT samkuTxedis farTobis gamoTvla ornairad SegviZlia CavweroT: S  da S  .
2 2
ab ch ab
amitom vwerT:  , saidanac h  . B
2 2 c
4 M
4
12  4 8
sav.#14. ABM samkuTxedis farTobia , ABC samkuTxedis farTobi ki orjer meti, e.i. 48. pasuxi: 482 Osm2.
2 A
N
C
sav. 15. gverdebi simaRlis ukuproporciulia, radgan gverdisa da simaRlis namravli samive gverdis SemTxvevaSi erTi da imave
sididis, orjer farTobis tolia. aqedan gamomdinare, gverdebi SegviZlia aRvniSnoT 4x-iT, 5x-iT da 6x-iT. 15 x  45, x  3.
pasuxi: 18sm.
1 1 1 1 3 3
sav.#16. S NFC  S ABC , S KGC  S NFC  S NFGK  S ABC  S ABC  S ABC . pasuxi: .
4 4 4 16 16 16
S AKC 3 S 3 B
sav.#17.  , amitom DKC samkuTxedis farTobia 6 m2.  ADC  , maSin ABD D
S DKC 2 S ABD 1
K
samkuTxedis farTobia 5 m2, ABC samkuTxedis farTobi iqneba 20m2. pasuxi: 20sm2.
sav.#18. wina amocanis analogiuria, anu eyrdnoba samkuTxedis farTobis Tvisebas: A C
samkuTxedis farTobi romelime wveroze gavlebuli wrfiT imave SefardebiT iyofa, ra
SefardebiTac iyofa am wveros mopirdapire gverdi. pasuxi 40sm2 .
aba, scade! erTi mediana CamoWris farTobis naxevars, xolo meore mediana _ am naxevris mesameds.
160
$4.3 paralelogramis farTobi (2 sT.)
mizani:
 paralelogramis farTobis gamosaTvleli formulis gamoyvana;
 paralelogramis farTobis gamosaTvleli formulis gamoyeneba praqtikuli amocanebis amosaxsnelad;
 mizez-Sedegobrivi kavSiris dadgenis, logikuri msjelobisa da daskvnis gamotanis unarebis ganviTareba.
paragrafis Seswavlis Semdeg moswavlem unda icodes paralelogramis farTobis gamosaTvleli formula.
unda SeeZlos:
 paralelogramis farTobis gamosaTvleli formulis gamoyvana;
 paralelogramis farTobis gamoTvla farTobis formulisa da Tvisebebis gamoyenebiT.
resursebi: kompiuteri, proeqtori, paralelogramis maketebi, magnituri dafa.
Tema: farTobi
qveTema: paralelogramis farTobi
paralelogramis farTobi gverdis sigrZisa da am gverdze an mis gagrZelebaze daSvebuli simaRlis namravlis tolia;
samizne cnebebi da sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi: kompleqsuri davaleba/davalebebi
maTTan dakavSire-  paralelogramis  rogor gamoTvli  amoxseni amocana: mocemulia ABCD amo-
buli mkvidri diagonalis paralelogramis farTobs? zneqili oTxkuTxedi da misi gverdebis
warmodgenebi: Tvisebebi;  rogor samkuTxedebad gaiyo- Sua wertilebis SemaerTebeli MN da EF
 paralelogrami _  marTkuTxa fa paralelogrami diagonale- monakveTebi (isargebleT $ 4.3 -is #15
paraleluri gve- samkuTxedis biT? (toldid samkuTxedebad.) savarjiSos naxaziT). ABCD oTxkuTxe-
rdebis ori wyvilis farTobi;  ra damokidebulebaa dis farTobia 60sm2. gamoTvale MNFE
mqone oTxkuTxedi;  Sua xaziT paralelogramSi gverdebsa da oTxkuTxedis farTobi.
 simaRle (parale- CamoWrili simaRleebs Soris?  upasuxe kiTxvebs: 1)rogor CamoaWri
logramis) _ wvero- nawilebis (ukuproporciuli.) paralelogramis formis xaWapurs a)
dan mopirdapire farTobi.  SesaZlebelia Tu ara ori meoTxed naWers? b) merved naWers?
gverdze an mis paralelogramidan udidesi ganixile sxvadasxva varianti.
gagrZelebaze perimetris mqones umciresi 2) oTxma Zmam paralelogramis formis
daSvebuli marTobi, farTobi hqondes? miwis nkveTi unda gaiyos. ras urCev
monakveTi.
Zmebs? pasuxi daasabuTe.
161
maswavlebeli: _ ra viswavleT wina gakveTilze?
_ rogor gamovTvaloT samkuTxedis farTobi?
_ rogor gamovTvaloT marTkuTxedis farTobi?
_ rogor gamovTvaloT paralelogramis farTobi? (ar gviswavlia.) gainteresebT?
_ dRes viswavliT paralelogramis farTobis gamoTvlas. iqamde ki gavixsenoT, ra viciT paralelogramis Sesaxeb. amovxsnaT
ramdenime amocana.
1) paralelogramis perimetri 32 sm-ia, xolo erTi gverdis sigrZe _ 9sm. ipove paralelogramis meore gverdis sigrZe.
2) paralelogramis perimetri 40 dm-is tolia. ras udris paralelogramis ori mezobeli gverdis sigrZeTa jami?
3) mocemulia ABCD paralelogrami. AC  14 sm, BD  10 sm, AD  9 sm. O diagnalebis gadakveTis wertilia. gamoTvale
AOD samkuTxedis perimetri.
maswavlebeli: _ ekranze (an dafis ukana mxares uweria da gamoaCens) xedavT kiTxvebs, romlebsac pasuxi unda gasceT
sityvebiT: `mjera~ an àr mjera~. pasuxi unda daasabuToT.
gjeraT Tu ara , rom:
1) marTkuTxediTa da ori erTmaneTis toli marTkuTxa samkuTxediT SeiZleba SevadginoT paralelogrami? maswavlebeli: _
merxebze ori mwvane marTkuTxa samkuTxedi da mwvane marTkuTxedi gaqvT. visac sjera, man Seadginos am figurebiT parale-
logrami. danarCenebma ki naxeT, rogor Seadgenen, mere Tqvenc SeadgineT.
erTi moswavle gamohyavs magnitur dafasTan da pirobis Sesabamisad adgeninebs parallelograms.
2) paralelogramis gaWriT miRebuli nawilebiT SeiZleba marTkuTxedis Sedgena?
_ visac sjera, gaWras wiTeli paralelogrami, romelic merxze gaqvT da miRebuli nawilebisagan Seadginos marTkuTxedi.
erT moswavles magnitur dafaze amuSavebs.
iyo aris
3) SeiZleba paralelogramis farTobi sxva figurebis farTobebis gamoyenebiT gamoviTvaloT?

yuradRebas amaxvilebinebs diagonaliT or samkuTxedad gayofaze da wina kiTxvebis (romlebic Seasrules) pasuxebze.
SemoaqvT aRniSvnebi: S , S1 , S 2 , S3 , . . . da weren Sesabamis jamebs.
4) figuris nawilebad daWriT misi farTobi icvleba? (msjeloben Sedgenili naxazebis gamoyenebiT.) sadac saWiroa,
asabuTeben figuraTa toldidobas.
swori pasuxi TiToeul SekiTxvaze Sefasdeba 1 quliT, naxazis Sedgena _ 2 quliT, dasabuTeba _ 3 quliT.
162
maswavlebels Semoaqvs paralelogramis simaRlis cneba. xazaven paralelogramis sxvadasxva
gverdze da maT gagrZelebebze, agreTve, erTsa da imave gverdze daSvebul simaRleebs.
_ ra SegiZliaT TqvaT A da B wveroebidan CD gverdze daSvebul simaRleebze? (tolia.) B C
ratomaa toli es ori simaRle, SegiZliaT daasabuToT? (savaraudo pasuxebi: erTni _
paralelur wrfeebs Soris daSvebuli marTobebia. meoreni _ paralelur wrfeebs Soris A D
manZilebia, mesameni _ toli samkuTxedebis Sesabamisi gverdebia . . .)
_ ra SegiZliaT TqvaT C da B wveroebidan AD gverdze daSvebul simaRleebze?
_ ramdeni aratoli simaRlis gavlebaa SesaZlebeli paralelogramSi?
praqtikuli samuSao
_ merxebze yvelas gaqvT qaRaldis ori paralelogrami _ wiTeli da lurji.
wiTel paralelogramSi erTi diagonalia gavlebuli. gaWeriT paralelogrami diagonalze. ra figurebi miiReT? (ori
samkuTxedi.) rogori samkuTxedebia? (toli.) rogor daasabuTebT rom samkuTxedebi tolia? (viciT, rom paralelograms
diagonali or tol samkuTxedad yofs; samkuTxedebis tolobis niSniT, erTmaneTze zeddebiT da sxv.)
_ ra damokidebulebaa paralelogramisa da samkuTxedebis farTobebs Soris? (samkuTxedebis farTobTa jami paralelogramis
farTobis tolia). rogor daasabuTebT amas? ( farTobis TvisebiT.)
_ ABCD paralelogramis ra elementia BK ? (simaRle.) B C
_ kidev romeli figuris simaRlea BK ? ( ABD da BDC samkuTxedebis.)
maswavlebeli moswavleebs jgufebad yofs. jgufebs erTnairi davalebebi eZleva.
1) _ daxazeT paralelogrami. romelime wverodan gaavleT diagonali, imave wverodan da- A D
K
uSviT simaRle da damoukideblad scadeT paralelogramis farTobis gamosaTvleli
formulis
mosafiqreblad aZlevs 3-4 wuTs, Semdeg ki msjeloben moswavleebis mier SemoTavazebul variantebze da maTgan ukeTesis
SerCevaze. jgufis warmomadgeneli gamodis dafasTan da dafaze gamoiyvans formulas. magnitur dafaze faqts TvalsaCino-
ebiT aCvenebs am jgufis sxva wevri.
klasi aqtiuradaa CarTuli am dasabuTebaSi (usmenen da arazusti svlis SemTxvevaSi xelis aweviT iTxoven msjelobaSi
CarTvas da azris gamoTqmas).
maswavlebeli: _ SevTanxmdeT, romel gverdzecaa simaRle daSvebuli, is gverdi aRvniSnoT a asoTi, masze daSvebuli simaRle
_ ha asoTi, farTobi S _ asoTi. CawereT farTobis gamosaTvleli formula am aRniSvnebis gamoyenebiT.
163
2) maswavlebeli: _ yvelas gaqvT lurji paralelogrami, romelSic erTi wverodan daSvebulia simaRle. gaWeriT
paralelogrami am simaRlis gaswvriv da scadeT paralelogramis farTobis gamosaTvleli formulis am gziT gamoyvana. (para-
lelogramSi simaRlis mier CamoWrili samkuTxedi lurji ferisagan gansxvavebuli feriTaa gaferadebuli.)
mosafiqreblad aZlevs 3-4 wuTs, Semdeg ki msjeloben moswavleebis mier SemoTavazebul variantebze da maTgan ukeTesis
SerCevaze. jgufis warmomadgeneli gamodis dafasTan da dafaze gamoiyvans formulas. magnitur dafaze faqts TvalsaCino-
ebiT aCvenebs am jgufis sxva wevri.
dafaze da
maketze rveulebSi
maswavlebeli: _ SevTanxmdeT, romel gverdzecaa simaRle daSvebuli, is gverdi aRvniSnoT b asoTi, masze daSvebuli simaRle
hb asoTi, farTobi S asoTi. CawereT farTobis gamosaTvleli formula am aRniSvnebis gamoyenebiT.
_ ris mixedviT davuwereT simaRleebs indeqsebi aRniSvnisas? (im gverdebis mixedviT, romlebzecaa daSvebuli.)
_ ramdeni simaRle SeiZleba davuSvaT erTi wverodan? aCveneT naxazze (ekranze, dafaze da rveulebSi.)
IV. ganmtkiceba
saxelmZRvanelodan xsnian #1, #2, #3 savarjiSoebs.
V. d/s I varianti: #5; II varianti: #6. (pasuxi: I varianti: 9; II varianti: 8)
moswavleebi erTmaneTSi cvlian nawerebs, maswavlebels ekranze gamoaqvs pasuxebi(an waakiTxebs). afiqsireben Secdomebs.
Secdomebs dafaze asworeben.
VI. refleqsia
_ mivaRwieT mizans? ratom TvliT ase?
_ rogor gamovTvaloT paralelogramis farTobi?
_ zepirad amovxsnaT amocanebi:
 paralelogramis gverdis sigrZea 4 sm, xolo masze daSvebuli simaRle _ 10 sm. ras udris paralelogramis farTobi?
 paralelogramis farTobi 45 sm2 , xolo simaRle _ 5 sm. ras udris paralelogramis im gverdis sigrZe, romelzec es
simaRlea daSvebuli?
VII. saSinao davaleba: sav. #4,#7, ,#14, #17.
`gjeraT Tu ara?~ _ maqsimum 24 qula, damoukidebeli samuSao _ maqsimum 2 qula, aqtiuroba _ maqsimum 4 qula, sul 30 qula.
164
Sefasebis cxrili
mopovebuli qulebi Sefaseba
15-17 5
18-20 6
21-22 7
24-26 8
27-28 9
29-30 10
me-2 gakveTili
mizani: paralelogramis farTobis gamoTvlis Sesaxeb miRebuli codnis ganmtkiceba;
amocanebis amoxsna paralelogramis farTobis gamoTvlaze.
organizaciuli momenti
misalmeba. im moswavleebis aRricxva, romlebic gakveTils ar eswrebian, moswavleTa yuradRebis mobilizeba.
saSinao davalebis Semowmeba
winare codnis gaaqtiureba

maswavlebeli: _ ras ewodeba paralelogramis simaRle? (marTobs, romelic paralelogramis romelime wverodan mopirdapire
gverdzea daSvebuli.)
_ SeasruleT naxazi:
_ ABCD paralelogramSi dauSviT BM da BN simaRleebi.
_ rogor gamoiTvleba paralelogramis farTobi? (sityvierad, formuliT.)
_ amovxsnaT àmocanebi naxaziT”. zepirad gamoTvaleT naxazze mocemuli paralelogramis farTobi
(amocanebi gamoaqvs ekranze. frontaluri pasuxebi).
165
10
1500
12 9
6
16
1500 300 5 1500
8
12 P=64
wyvilebSi samuSao (paragrafis boloSi)

mizani: farTobebis Sesaxeb miRebuli codnis Sejameba (farTobis gamoTvlis wesebis codna da gamoyeneba, farTobis
Tvisebebis codna da gamoyeneba)
pasuxebis warmodgenis Semdeg ganmartaven, ra gziT gamoTvales TiToeuli figuris farTobi.
pasuxi: toldidi figurebis wyvilebia: #1 da #2 (30 kvadratuli erTeuli), #7 da #8 (63 kvadratuli erTeuli).
1) erTi moswale dafaze xsnis, danarCenebi rveulebSi xsnian praqtikul amocanebs:
 informatikis kabinetis sigrZe 10m, sigane 8 m-ia. kabinetSi unda daagon parketi, romelsac kvadratis forma aqvs 20 sm sigr-
Zis gverdiT. ramdeni cali aseTi parketi unda SeiZinon?
 mkeravi, im mizniT, rom darwmundes, qsovilis oTxkuTxedis formis naWeri kvadratis formisaa, qsovilis naWers kecavs
jer erT, Semdeg meore diagonalze. Tu orive SemTxvevaSi qsovilis napirebi erTmaneTs daemTxveva, miaCnia, rom qsovili
kvadratis formisaa. swor daskvnas akeTebs mkeravi? (ara, radgan SeiZleba iyos rombi, Tu diagonalebi tolia, maSin ki).
2) saxelmZRvanelodan xsnian #11 savarjiSos.
3) gasameorebel masalaze muSaoba
maswavlebeli: _ merxze yvelas gaqvT wiTeli da lurji paralelogramebis nawilebi.
me davsvam kiTxvas ` WeSmaritia Tu mcdari?~ im winadadebaze, romelsac wagikiTxavT.
Tqven mwvane feriT maCvenebT pasuxs: `WeSmaritia~ da wiTeli feriT `mcdaria~.
166
WeSmaritia Tu mcdari qvemoT mocemuli winadadeba?
 Tu oTxkuTxedis diagonalebi urTierTmarTobulia, maSin es oTxkuTxedi rombia. (pasuxi daasabuTe.)
 Tu oTxkuTxedis ori mopirdapire kuTxe marTia, maSin es oTxkuTxedi marTkuTxedia. (pasuxi daasabuTe.)
 arsebobs oTxkuTxedi, romelsac 4 blagvi kuTxe aqvs. pasuxi daasabuTe.
 arsebobs paralelogrami, romelsac diagonali or tolgverda samkuTxedad yofs. daasabuTe.
 Tu oTxkuTxedi rombicaa da marTkuTxedic, maSin is kvadraticaa. (pasuxi daasabuTe.)
 oTxkuTxedis udidesi kuTxe SeiZleba maxvili iyos. (pasuxi daasabuTe.)
 oTxkuTxedis udidesi kuTxe SeiZleba gaSlil kuTxeze meti iyos. (pasuxi daasabuTe.)
 marTkuTxedi paralelogramia, romlesac erTi kuTxe marTi aqvs.
 arsebobs paralelogrami, romlis diagonalebi urTierTmarTobulia.
 trapeciaSi SeiZleba yvela gverdi toli iyos. (pasuxi daasabuTe.)
saSinao davaleba sav. #8, #9, #15, #16.
refleqsia
_ romeli oTxkuTxedebis farTobis gamosaTvleli formulebi viciT? ra formuliT gamoiTvleba samkTxedis farTobi?
kadratis farTobi? marTkuTxedis farTobi? paralelogramis farTobi?
_ paralelogramis erTi gverdis sigrZea 20 sm, xolo masze daSvebuli simaRlis _ 12 sm. ras udris paralelogramis farTobi?
_ formulebis gamoyenebis garda, kidev ra gziT SegviZlia figuris farTobis gamoTvla?
Sedegebs Seajameben im aqtiurobis mixedviT, romelic gamoamJRavnes muSaobisas Semdeg aqtivobebSi: àmocana naxazebiT~,
`WeSmaritia Tu mcdari~, `praqtikuli amocanebis amoxsna~, `refleqsia~.
sav.#9. vTqvaT, paralelogramis gverdebia: a da b , simaRleebi, Sesabamisad,
h1 da h2 . paralelogramis gverdebi simaRlis ukuproporciulia, amitom, h2 h1 a
Tu h1: h2=5:7, maSin, a:b=7:5. pasuxi: 14 sm da 10 sm. b
sav.#10. ABCD paralelogramis farTobia 30m2, maSin ABD samkuTxedis farTobi B C

S 2
iqneba 15m2, xolo ABK samkuTxedis _ 7,5m2. radgan  AMB  , AMB samkuTxedis
S MBK 1 K
S AMB 2 M
farTobi 5m2.  amitom AMN samkuTxedis farTobi 2,5m2, maSin NMCD
S AMN 1 A D
2 2 2
N
oTxkuTxedis farTobi iqneba 15-2,5=12,5(m ). pasuxi: a)5m , b) 12,5m .
167
sav#11. kvadratis farTobs daemateba diagonalebis gadakveTiT miRebuli
samkuTxedis farTobi, romelic kvadratis farTobis meoTxedia. pasuxi: 75 sm2.
sav#13. vTqvaT, paralelogramis gverdebia: a da b, simaRleebi, Sesabamisad, ha da hb.

paralelogramis gverdebi simaRlis ukuproporciulia, amitom vwerT:
a hb 9
   a  27, b  21. paralelogramis farTobi iqneba: 9sm×21sm=189(sm2).
b ha 7
sav#14. amocana amoixsneba paralelogramis gverdebisa da simaRlis ukuproporciuli damokidebulebis gamoyenebiT.
aRniSnuli damokidebuleba ukve ramdenjerme gamoiyenes da ar gauWirdebaT. pasuxi: 72 sm2.
sav#15. MN da EF monakveTebidan TiToeuli AC diagonalis naxevari iqneba.
$4.4 rombis farTobi (2 sT.)

mizani: rombis farTobis gamosaTvleli formulebis gamoyvana;
rombis farTobis gamosaTvleli formulebis gamoyeneba amocanebis amoxsnisas.
resursi: dafa, kompiuteri, proeqtori.
Tema: farTobi
qveTema: rombis farTobi
 rombis diagonalebi urTierTmarTobulia;
 rombis farTobi diagonalebis sigrZeTa namravlis naxevris tolia.
168
samizne cnebebi da maT- sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi: kompleqsuri davaleba/davalebebi
Tan dakavSirebuli  rombis simaRleebi  rogor gamoTvli rombis  amoxseni amocana: vTqvaT, A da B
mkvidri warmodgenebi: tolia; farTobs? brtyeli figurebia, romelTa
 rombi _ toli  rombis farTobi  rogor samkuTxedebad farTobebia S(A) da S(B). daamtkice
gverdebis mqone SegviZlia gaiyofa rombi diagonalebiT? toloba:
oTxkuTxedi; gverdiTa da (tol samkuTxedebad.) S ( A  B )  S ( A)  S ( B )  S ( A  B )
 rombis diagonalebi simaRliTac  SesaZlebelia Tu ara, ori  ra saxes miiRebs mocemuli
urTierTmarTobulia; gamovTvaloT. rombidan udidesi perimetris toloba, roca: a) A = B?
 rombi paralelo- mqones umciresi farTobi b) A  B   ?
gramia. hqondes?
 isargeble damtkicebuli
 SesaZlebelia Tu ara rombis tolobiT da amoxseni 132 gverdze
simaRleebi aratoli iyos? mocemuli àba, scade!~.
pirveli gakveTilis msvleloba
misalmeba, gakveTilisTvis moswavleTa mzadyofnis Semowmeba.
II. saSinao davalebis Semowmeba. saWiroebis SemTxvevaSi problemuri amocanis msgavsi amocanis amoxsna.
karnaxi
karnaxis mizani: farTobis Sesaxeb miRebuli codnis gameoreba, problemuri situaciis Seqmna.
maswavlebeli: _ Tu Cem mier naTqvami winadadeba swori iqneba, werT `1~-s, Tu araswori iqneba, werT `0~-s.
1. farTobis erTeulad miRebulia mxolod is kvadrati, romlis gverdis sigrZe 1 sm-ia. ----0
2. mravalkuTxedis farTobi dadebiTi sididea---------1
3. tol figurebs toli farTobi aqvs. ----------1
4. Tu mravalkuTxedi TanaukveT nawilebadaa dayofili, maSin mravalkuTxedis farTobi am nawilebis farTobTa jamis tolia. -
---1
5. kvadratis farTobi misi gverdebis jamis tolia. ---0
6. marTkuTxedis farTobi misi mopirdapire gverdebis namravlis naxevris tolia. -0
7. marTkuTxedis farTobi misi ori mezobeli gverdis namravlis tolia. ------1
8. paralelogramis kuTxeebi tolia.-0
169
9. rombis erTi wverodan sxvadasxva gverdze daSvebuli simaRleebi tolia.--1
10. paralelogramis farTobi misi fuZisa da simaRlis namravlis naxevris tolia.---0
11. rombis diagonalebi urTierTmarTobulia. ---1
12. rombis farTobi SegviZlia iseve gamovTvaloT, rogorc paralelogramis farTobi. ---1
13. tolferda trapeciaSi mopirdapire gverdebi tolia. ---0
14. rombis diagonalebi tolia ---0
maswavlebeli: _ gacvaleT naSromebi merxis mezoblebma da SevamowmoT pasuxebi. (pasuxebs ekranze aCvenebs.)
_ daafiqsireT Secdomebi da gavasworoT.
Sefaseba
qula 5-6 7-8 9-10 11-12 13 14
Sefaseba 5 6 7 8 9 10
IV. gakveTilis Temis dasaxeleba

maswavlebeli: _ daasruleT winadadeba:
a) rombi ewodeba . . .
b) paralelogrami warmoadgens rombs, Tu misi diagonalebi . . .
g) paralelogrami warmoadgens rombs, Tu misi diagonali . . .
_ vin mixvda dRevandeli gakveTilis mizans? vin daasaxelebs Temas?
_ marTalia. Cveni dRevandeli gakveTilis Tema rombis farTobis gamosaTvleli formulis gacnoba da gamoyvanaa.
V. axali masalis axsna
_ saxelmZRvaneloSi naxeT, rogor gamoiyvaneba rombis farTobis formula. waikiTxeT wesi. ra gansxvavebaa paralelogramis
farTobis gamoTvlis wessa da rombis farTobis gamoTvlis wess Soris? (paralelogramisTvis xazgasmulia, rom farTobi
gverdisa da am gverdze daSvebuli marTobis namravlis tolia, xolo rombisTvis aRaraa sityvebi: àm gverdze daSvebuli~)
axseniT am gansxvavebis mizezi. (rombis simaRleebi tolia, paralelogramisa ki _ ara.)
_ gamoviyvanoT zogadi formula iseTi oTxkuTxedebisaTvis, romelTa diagonalebi urTierTperpendikularulia. diago-
d1  d 2
nalebi aRniSneT d1 da d 2 asoebiT, xolo farTobi S -iT. es formulaa: S  , anu urTierTmarTobuli diagonalebis
2
mqone oTxkuTxedis farTobi diagonalebis sigrZeTa namravlis naxevris tolia. iqneba Tu ara es formula marTebuli rombis
SemTxvevaSi? ratom? kvadratis SemTxvevaSi? ratom?
amtkiceben Teoremas da iwyeben amocanebze muSaobas.
170
VI. ganmtkiceba
zepirad asruleben saxelmZRvanelos #2 savarjiSos.
xsnian dafaze da rveulebSi #4, 7, 12 savarjiSoebs.
VII. d/s _ I varianti: sav.#5; II varianti: sav.#6. pasuxi: I _48 sm ; II _ 5sm.
Sefaseba: sworad ipova gverdi _ 1 qula, sworad gamoTvala farTobi ( simaRle) 2 qula. sul _ 2 qula.
VIII. refleqsia
_ rogor gamovTvaloT rombis farTobi gverdiTa da simaRliT?
_ rogor gamovTvaloT rombis farTobi diagonalebiT?
_ rogori oTxkuTxedebis farTobia diagonalebis namavlis naxevris toli?
_ rogor gamoviTvliT kvadratis farTobs diagonaliT?
_ ramdenjer aRemateba rombis diagonalebis namravli rombis gverdis simaRleze namravls?
_ yvelam kargad gaigo, rogor viTvliT rombis farTobs? aris raime problema?
_ dRes Zalian momewona Tqveni aqtiuroba da goniereba.
IX. Sedegebis Sejameba
Sefaseba moxdeba karnaxis, damoukidebeli samuSaosa da moswavlis aqtiurobis (damtkicebisas da amoxsnisas) mixedviT.
X. saSinao davaleba: sav. #1, #3, #9, #16.
me-2 gakveTili
mizani: rombis farTobis Sesaxeb miRebuli codnis ganmtkiceba. farTobis Sesaxeb Seswavlili masalis gameoreba, amocanebis
amoxsna farTobis formulebis gamoyenebiT.
I. organizaciuli momenti, saorientacio-samotivacio etapi
klasis saqmiani ganwyobis, fsiqologiuri mzaobis Seqmna.
1) maswavlebeli:
 ra formuliT gamoiTvleba marTkuTxa samkuTxedis farTobi?
 ra Tvisebebi gaaCnia marTkuTxa samkuTxeds?
 rogor oTxkuTxeds ewodeba paralelogrami?
 ra formuliT gamoiTvleba paralelogramis farTobi?
 rogor paralelograms ewodeba rombi?
 ra Tvisebebi aqvs rombs?
171
2) zepirad xsnian amocanebs:
amocana #1. rombis gverdis sigrZea 8 sm, simaRle _ 5 sm. ras udris rombis farTobi?
amocana #2. rombis diagonalebis sigrZeebia 12 sm da 9 sm. ras udris rombis farTobi?
amocana #3. rombis farTobia 18 sm2, erTi diagonalis sigrZe 6 sm-ia. gamoTvaleT meore diagonalis sigrZe.
jgufuri muSaoba
TiToeul jgufs eZleva praqtikuli samuSao, sadac rombis farTobi diagonalebiT gamoiTvleba.
jgufi #1 – ramdeni saRebavia saWiro rombis formis panos SesaRebad, romlis diagonalebi 5 dm da 3,4 dm-ia, Tu 1 dm2-ze 2g
saRebavi ixarjeba?
jgufi #2 – ra raodenobis balaxis Teslia saWiro 10m da 4m diagonalebis mqone rombis formis gazonSi balaxis dasaTesad,
Tu 1 kv.m-ze 50g Tesli iTeseba?
moswavleebi ayalibeben gakveTilis mizans: rombis farTobis formulis gamoyeneba amocanebis amosaxsnelad, praqtikuli
amocanebis amoxsna da imis danaxva, Tu raSi gvadgeba maTematikuri codna yoveldRiur cxovrebaSi.
IV. amocanebis amoxsna. jgufebi agrZeleben muSaobas #5 da #6 amocanebze.
V. damoukidebeli samuSao. I varianti: #8, 18, II varianti: #10,19, III varianti: #11, 21.
VI. saSinao davaleba: sav.#13, 14, 15, 20 .
SemoqmedebiTi xasiaTis davaleba:
1) gamoWeri 30 toli tolferda marTkuTxa samkuTxedi (ferdebi 4 sm-is toli hqondeT);
2) Seadgine:
a) 16 kv.sm farTobis mqone kvadrati;
b) 32 kv.sm farTobis mqone marTkuTxedi;
g) 64 kv.sm farTobis mqone kvadrati;
d) 48 kv.sm farTobis mqone trapecia;
e) 48 kv.sm farTobis mqone paralelogrami.
sav.#11. pasuxi: 3-jer.
d2
sav.#12. tolferda tarapeciis diagonalebi tolia. maSasadame, trapeciis S  , sadac d diagonalia. amocanis pirobiT
2
d2
 72  d 2  144  d  12. pasuxi: 12sm.
2
172
sav.#13. tolferda marTkuTxa samkuTxedis hipotenuzis mediana simaRlecaa da hipotenuzis naxevars udris, amitom
16  8
samkuTxedis S   64 sm2.
2
sav.#14. wina amocanis Sebrunebuli amocanaa. pasuxi: 25 sm2.
sav.#15. vTqvaT, oTxkuTxedebis gverdia a . rombis farTobi iqneba ah , sadac h rombis simaRlea,
B C
ah 1 h 1
xolo kvadratis farTobi iqneba a . amocanis pirobiT: 2     a  2h. simaRlis mier
2
a 2 a 2 h
rombSi Seqmnili ABK samkuTxedi marTkuTxaa, romlis hipotenuza BK kaTetze 2-jer didia. e.i.
A
BK kaTetis mopirdapire A kuTxe 30 -ia, xolo rombis B  D  150. K D
pasuxi: rombis kuTxeebis zomebia: 30 , 30 , 150, 150.
sav.#17. pasuxi: gaizrdeba 20%-iT.
aba, scade! vsargeblobT formuliT: S A B  S A  S B  S A B . pasuxi: 15sm2.
$4.5 trapeciis farTobi (2 sT)

mizani: trapeciis farTobis gamosaTvleli formulebis gamoyvana da misi gamoyeneba amocanebis amoxsnisas;
farTobis Sesaxeb miRebuli codnis ganmtkiceba.
resursi: dafa, kompiuteri, proeqtori.
Tema: farTobi
qveTema: trapeciis farTobi
 trapeciis farTobi fuZeebis sigrZeTa naxevarjamis simaRlis sigrZesTan namravlis tolia.
173
samizne cnebebi da maT- sakiTxi/qvecneba sakvanZo kompleqsuri davaleba/davalebebi
Tan dakavSirebuli SekiTxva/SekiTxvebi:
mkvidri warmodgenebi:  toferda trapecia;  rogor gamoTvli  amoxseni saxelmZRvanelos 137-e
 trapecia _  marTkuTxa trapecia; trapeciis farTobs? gverdze mocemuli #27 amocana.
paraleluri  trapeciis  rogor samkuTxedebad  samive SekiTxvas gaeci
gverdebis erTi diagonalebi; gaiyofa rombi dasabuTebuli pasuxi.
wyvilis mqone diagonalebiT? (tol  or Zmas aqvs gasayofi trapeciis
 tolferda trapeci-
oTxkuTxedi; samkuTxedebad.) formis nakveTi, romlis mcire fuZe
aSi blagvikuTxis wve-
 trapeciis simaRle rodan daSvebuli  SesaZlebelia Tu ara didi fuZis mesamedia. daexmare
fuZeebis simaRle did fuZes trapeciis Suaxazma Zmebs nakveTis gayofaSi.
SemaerTebeli maTi yofs or nawilad, diagonalebis gadakveTis pasuxi daasabuTe.
perpendikularuli romelTagan udidesi wertilze gaiaros? (mcire fuZis boloze gaataron
monakveTia; Suaxazis, xolo  SesaZlebelia Tu ara, ferdis paraleluri wrfe.)
 trapeciis Sua xazi umciresi fuZeebis trapeciis fuZeebi toli
fuZeebis naxevarjamis naxevarsxvaobis iyos? diagonalebi?
tolia. tolia.
pirveli gakveTilis msvleloba
1) TamaSi: ìpove mewyvile~.
TamaSis mizani: farTobis gamosaTvleli formulebis Sesaxeb miRebuli codnis gameoreba.
iq, sadac kompiuteriT muSaobis saSualebaa _ ekranze erTmaneTSia areuli figurebi da maTi gamosaTvleli formulebi.
moswavlem unda SearCios erTi figura da misi Sesabamisi formula figuris qveS ganaTavsos.
iq, sadac kompiuteriT muSaobis saSualeba araa _ maswavlebels magidaze gaSlili aqvs calke geometriuli figurebi, calke
baraTebi farTobis formulebiT. Canaweri ar Cans. gamodis moswavle, iRebs baraTs, romeli formulac Sexvdeba, imis
mixedviT SearCevs Sesabamis figuras. amocnobil formulas Sesabamisi figuriT calke dadeben, xolo formulas, romelic ver
daawyviles figurasTan, ukan daabruneben, raTa sxva moswavleebma amoicnon.
2) daasruleT winadadeba:
a) trapecia ewodeba oTxkuTxeds, romelsac . . . .
b) trapeciis fuZe ewodeba . . . .
174
g) trapeciis ferdebi ewodeba . . . .
d) trapeciis simaRle ewodeba . . . .
e) tolferda ewodeba trapecias, romlis . . . .
v) marTkuTxa ewodeba trapecias, romlis . . . .
z) trapeciis Suaxazi ewodeba . . . .
T) trapeciis Suaxazi tolia . . . .
i) tolferda trapeciis fuZesTan mdebare kuTxeebi . . . .
k) tolferda trapeciis diagonalebi . . . .
_ farTobis gamosaTvleli formulebis gamoyvanisas ZiriTadad farTobis ra TvisebiT vsargeblobdiT? (nawilebad
dayofili figuris farTobi nawilebis farTobTa jamis tolia.) ufro xSirad ra figurebad yofdiT figurebs?
(samkuTxedebad.)
_ ra figurebs xedavT? CamoayalibeT TiToeuli maTganis ganmarteba.
#1 #2 #3 #4 #5
_ romeli maTganis farTobis gamoTvla viciT da romlis ar viciT?

_ dRes gavecnobiT trapeciis farTobis gamosaTvlel formulas. me imedi maqvs, rom amas damoukideblad SeZlebT.
maswavlebeli jer aravis gaiyvans dafasTan, moswavleebi damoukideblad cdiloben trapeciis farTobis formulis
gamoyvanas. umetesoba formulis gamoyvanas trapeciis nawilebis farTobTa jamis gamoTvliT gamoiyvans, zogi or
samkuTxedad dayofs trapecias, zogi paralelogramamde Seavsebs, zogi – marTkuTxedamde, zogi farTobTa sxvaobiTac
isargeblebs. yovel maTgans (erT variantze erTi momxsenebeli) mousmenen, saWiro SemTxvevaSi komentarebiT CaerTvebian
rogorc maswavlebeli, ise moswavleebi. moswavleebma aucileblad unda miiRon damsaxurebuli Seqeba.
_ rogor gamovTvaloT trapeciis farTobi? CawereT formula ABCD trapeciisTvis, romlisTvisac AD da BC fuZeebia.
AD  BC
_ ras warmoadgens ABCD trapeciisTvis ? rogor CamovayalibebT Teoremas trapeciis farTobis gamoTvlis Sesaxeb
2
Sua xazis gamoyenebiT? (trapeciis farTobi misi Sua xazisa da simaRlis namravlis tolia.)
175
_ rogor trapecias hqvia marTkuTxa?
_ rogor gamoviTvaloT marTkuTxa trapeciis farTobi? (marTkuTxa trapecias unda xedavdnen am dros. TvalsaCinoebis
gamoyenebiT advilad gamoitanen daskvnas)
V. ganmtkiceba
saxelmZRvanelodan #1, #2, #3 da #5 savarjiSoebs xsnian zepirad.
sav. #7, #9, #12, 14.
VI. damoukidebeli samuSao. (wyvilebSi _ 1 wyvils trapeciis 1 modeli)
maswavlebels gamzadebuli aqvs sxvadaxva zomis trapeciis gadanomrili modelebi. modelebs urigebs moswavleTa wyvilebs
da sTxovs gamoTvalon maTi farTobi. moswavleebi daiTvlian farTobebs, furcelze daweren modelis nomersa da Semsru-
lebelTa gvar-saxelebs da Caabareben maswavlebels. maswavlebeli amowmebs Sesrulebul davalebas. Sedegebs momdevno
gakveTilze gaacnobs.
VII. gasameorebel masalaze muSaoba. sav.#21.
VIII. refleqsia
_ rogor gamovTvaloT trapeciis farTobi gverdiTa da simaRliT?
_ rogori trapeciis farTobis gamoTvlaa SesaZlebeli diagonalebis namravlis naxevriT?
IX. saSinao davaleba sav. #4, #6, #8, #20.
me-2 gakveTili
trapeciis farTobis Sesaxeb miRebuli codnis ganmtkiceba. amocanebis amoxsna.
winare codnis gaaqtiurebis mizniT gamosayenebeli masala:
1) daasrule winadadeba:
trapeciis farTobi tolia . . . .
2) dawere a da b fuZeebisa da h simaRlis mqone trapeciis S farTobis gamosaTvleli formula.
3) gamoTvale 11 sm da 13 sm fuZeebisa da 8 sm simaRlis mqone trapeciis farTobi.
4) trapeciis farTobia 68 m2, xolo fuZeebi _ 6m da 9 m. gamoTvale trapeciis simaRle.
5) ipove trapeciis Sua xazi, Tu trapeciis farTobia 144 kv.m, xolo simaRle 18 m.
6) tolferda trapeciis blagvi kuTxidan gavlebuli 12sm sigrZis simaRle fuZes yofs or monakveTad, romelTagan udidesis
sigrZea 23 sm. ras udris trapeciis farTobi?
7) tolferda trapeciis diagonali 12sm-ia. trapeciis diagonalebi urTierTmarTobulia. gamoTvale trapeciis farTobi.
damoukidebeli samuSao sav.# 11, 17.
176
saSinao davaleba: sav. #10, 15, #16, #18.
sav.#9. kvadratis gverdi da samkuTxedis kaTetebi tolia. samkuTxedis farTobi kvadratis farTobis naxevaria, amitom
trapeciis farTobi iqneba 75 sm2. x B C
BC  AD 15  5
sav.#13. AD  15, x  5, BC  5, BK  5, AD  15. S  BK   5  50 (sm2).
2 2
A x K x M x D
sav. #16. vTqvaT, trapeciis fuZeebia a da b , xolo simaRle _ h . amocanis pirobiT
B a C
AB
ABC  150, AB  8 sm, h  a, h  b, amitom A  30 da h   4 sm. amocanis
2
pirobiT S ABCD  84 sm2, amitom Sua xazi iqneba 84:4=21sm, xolo fuZeebis jami _ 42sm. 8 h 8
pasuxi: 58sm.
sav. 17. am pirobebSi simaRle fuZeebis naxevarjamis tolia. pasuxi: 81sm2. 30 b
A D
E
sav. #18. marTkuTxa  ACD -Si:
D  A  45  AE  CE  ED  4 sm. AE  BC  4 sm. E C
AD  BC 8 4
S ABCD   CE   4  24 ( sm2).
2 2
sav. 19. vTqvaT, trapeciis simaRlea h. 45
h h A E
 AD  BC E
1  AD  BC  1
S AMD  S MBC 2 2    h   S ABCD .
2 2 2 2  2
me-4 Tavis mimoxilva

sav.#13. vTqvaT, rombis gverdia a , simaRle _ h . amocanis pirobiT 4a  48  a  12. ah  72, 12h  72  h  6. miviReT, rom
177
a
h . vaskvniT, rom rombis maxvili kuTxis zomaa 30 , xolo blagvis _ 150.
2
sav.#15. vTqvaT, xorbali asaRebi darCa x sigrZisa da y siganis mqone nakveTze. nakveTis am nawilis farTobia xy , xolo
5 xy 15
danarCenis _ 6 xy  xy  5 xy . 5xy farTobze aiRes 15 dRSi, xy -ze aiReben n dReSi. vwerT proporcias:   n  3.
xy n
pasuxi: 3 dReSi.
sav.#16. nakveTis perimetria 120m, TiToeuli gverdis sigrZea 30m, amitom nakveTis farTobia 900m2.
sav.# #17. gamuqebuli samkuTxedebis farTobebi tolia( radgan toli aqvT B
TiTo gverdi da maTze daSvebuli simaRleebi) da maTi jamia 30 sm2, amitom
TiToeuli samkuTxedis farTobia 10 sm2, e.i. ABC samkuTxedis farTobia
50sm2. pasuxi:50sm2.
A C
sav.#18. pasuxia `Tu A2, maSin B2~, radgan am SemTxvevaSi a<3, amitom S<9/2 <5. D1 D2 D3 D4
sav.#24. ixile 4.5 paragrafis sav.#19. C
sav. #25. advili sanaxavia, rom am pirobebSi simaRle fuZeebis naxevarjamis anu Sua xazis tolia.
sav. 27. a) cxadia, marTkuTxedis formisTvis;
b) trapeciis ferdebis saSualo yovelTvis aRemateba simaRles, amitom realur farTobze mets mogvcems; pasuxi: ara.
g) simaRle erT gverdze orjer mcire iqneba, amitom realuri farTobic orjer mcire gamova. pasuxi: 50%.
testi #4
pasuxi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
b a d a b g d b g g d g b d a
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
b d g d g g a a b a
178
I varianti
1. ABC samkuTxedis farTobia 10 sm2, xolo AB gverdis sigrZe_ 5sm. gamoTvale AB gverdze daSvebuli simaRlis sigrZe.
2. rombis perimetria 40sm, xolo diagonalebis sigrZeTa namravli _ 192sm2. gamoTvale rombis simaRle.
3. ABCD paralelogramis AD gverdis Suawertilia E. gamoTvale paralelogramis farTobi, Tu BCDE oTxkuTxedis
farTobia 12sm2 .
4. EFKT paralelogramis farTobi 72sm2-ia. M wertili ET wrfeze mdebareobs ise, rom KM  FT . gamoTvale EFKM
oTxkuTxedis farTobi.
5. 7sm da 13 sm sigrZis fuZeTa mqone tolferda trapeciis maxvili kuTxis sididea 450. gamoTvale trapeciis farTobi.
II varianti
1. ABC samkuTxedis farTobia 20 sm2, xolo AB gverdis sigrZe _ 10 sm. gamoTvale AB gverdze daSvebuli simaRlis sigrZe.
2. rombis perimetria 20sm, xolo diagonalebis sigrZeTa namravli _ 48 sm2. gamoTvale rombis simaRle.
3. ABCD paralelogramis AD gverdis Sua wertilia M . gamoTvale paralelogramis farTobi, Tu AMCB oTxkuTxedis
farTobia 18 sm2 .
4. ABCD paralelogramis farTobi 64 sm2-ia. K wertili AD wrfeze mdebareobs ise, rom CK  BD. gamoTvale ABCK
oTxkuTxedis farTobi.
5. 6sm da 14 sm sigrZis fuZeTa mqone tolferda trapeciis maxvili kuTxis sididea 450. gamoTvale trapeciis farTobi.
179
Sefasebis sqema
I varianti
1. dawera samkuTxedis farTobis gamosaTvleli formula ------ 1 qula;

gamoTvala simaRle ------- 1 qula; sul --- 2 qula.
2. gamoTvala rombis gverdi ------- 0,5 qula;

gamoTvala rombis farTobi------ 0,5 qula;
gamoTvala simaRle, dawera pasuxi -------- 1 qula; sul --- 2 qula.
3. Seasrula naxazi da Cawera mocemuloba -------- 0,5 qula;

daakavSira mocemuli da saZiebeli farTobebi —1 qula;
dawera pasuxi -------- 0,5 qula; sul --- 2 qula.
daadgina, FKMT paralelogramis an KMT samkuTxedis farTobi ----- 0,5;
gamoTvala saZiebeli farTobi da dawera pasuxi -------- 1 qula; sul --- 2 qula.
gamoTvala fuZeTa naxevarsxvaoba --------- 0,5qula;
ipova simaRle -----------0,5 qula;
dawera pasuxi -------- 0,5qula; sul ---- 2 qula.
180
aqtivo- aradamakmayo- damakmayofilebeli kargi sanimuSo

bebi filebeli
davalebis ver iazrebs dava- nawilobriv aRiqvams aRiqvams amocanis Si- Kargad aRiqvams amocanis Sina-
gaazreba, lebas, ver axerxebs amocanis Sinaarss. nawi- naarss. gamijnavs mona- arss. gamijnavs monacemebsa da
geometri- monacemebisa da lobriv axerxebs monacem- cemTa da saZiebel saZiebel sidideebs. kargad
uli figu- saZiebeli sidide- Ta da saZiebel sidideTa sidideebs. axerxebs maTs axerxebs maT organizebas da
rebis warmo- ebis organizebasa da organizebasa da organizebasa da warmodgenas.
dgena. warmodgenas. warmodgenas. warmodgenas.
maTematiku- ver axerxebs axerxebs naxazis Sesru- sworad wers sworad wers mocemulobas,
ri enis flo- amocanis mokled lebas da mocemulobis na- mocemulobas, sworad sworad asrulebs naxazs. wers
ba, damxmare Caweras, ver adgens wilobriv Caweras, wers asrulebs naxazs. wers maTematikuri terminebis
resursebis swor naxazs. maTematikuri terminebis maTematikuri gamoyenebiT.
gansazRvra. gareSe. zogjer gansaz- terminebis gamoyenebiT .
Rvravs saWiro resursebs.
maTematiku- ar esmis cnebebisa da SeuZlia martivi esmis cnebebisa da kargad esmis cnebebisa da
ri cnebebisa debulebebis arsi, cnebebisa da terminebis terminebis arsi. terminebis arsi. axerxebs maT
da debule- ver axerxebs inter- interpretacia. ver axerxebs maT intepreta- intepretacias, arCevs
bebis gamoye pretacias, ver axerxebs gansazRvris cias, arCevs gamoyenebis gamoyenebis strategias da swo-
neba, msje- gansazRvravs gamo- gamoyenebas, msjelobs da strategias da sworad rad iyenebs. msjelobs
loba, logi- yenebis areals, ver asabuTebs SecdomebiT. iyenebs msjelobs da asa- gamarTulad, logikurad,
kuroba, ar- msjelobs, ver buTebs nawilobriv. Tanmimdevrulad asabuTebs
gumentireba asabuTebs. svlebs.
da asabu-
Teba.
kavSirebisa ver axerxebs kav- nawilobriv axerxebs kav- adgens kavSirebs da adgens kavSirebsa da
da mimarTe- Sirebisa da mimar- Sirebisa da mimarTebebis mimarTebebs sxva mimarTebebs sxva struqtureb-
bebis dadge Tebebis dadgenas, ar dadgenas mocemul da struqtureb- Tan, obieqtebTan, iyenebs ana-
nis, anali- aqvs analizisa da saZiebel obieqtebs Soris Tan, obieqtebTan, lizsa da sinTezs problemis
zis, sinTe- sinTezis unari. , ar aqvs analizisa da iyenebs analizsa da sin- gadaWrisas.
zisa da pro- sinTezis unari. Tezs problemis gada-
blemis dad- Wrisas, aqvs analizisa
genis unary. da sinTezis unari.
181
Tavi 5
piTagoras Teorema
Tavis mizani:
 kvadratuli, kuburi da ariTmetikuli kvadratuli fesvis cnebebisa da Sesabamisi aRniSvnebis Semotana;
 kvadratuli da kuburi fesvis Tvisebebis Seswavla da gamoTvlebSi gamoyeneba;
 kvadratuli da kuburi fesvis miaxloebiTi gamoTvla (maT Soris kalkulatoris gamoyenebiT);
 x 2  a , x 3  a saxis gantolebebis amoxsna;
 iracionaluri da namdvil ricxvTa simravlis SemoReba;
 piTagoras Teoremisa da misi Sebrunebuli Teoremis Seswavla da amocanebis amosaxsnelad gamoyeneba;
 or wertils Soris manZilis gamoTvla maTi koordinatebis saSualebiT;
 sivrciTi figurebis zedapiris farTobisa da moculobis gamosaTvleli formulebis Seswavla da gamoyeneba;
 wrewiris sigrZisa da wris farTobis formulebis Seswavla da gamoyeneba;
 trigonometriul damokidebulebaTa Seswavla da marTkuTxa samkuTxedis amosaxsnelad gamoyeneba.
Tavis Seswavlis Semdeg moswavlem unda SeZlos:

 kvadratuli da kuburi fesvebis zusti da miaxloebiTi mniSvnelobis gamoTvla;
 fesvis Semcveli ricxviTi da cvladiani gamosaxulebebis gamartiveba da gamoTvla;
 marTkuTxa samkuTxedSi ori gverdis mixedviT mesame gverdis sigrZis gamoTvla;
 mocemuli koordinatebiT or wertils Soris manZilis gamoTvla;
 prizmis, cilindris, piramidis zedapiris farTobis gamoTvla;
 marTkuTxa paralelepipedis moculobis gamoTvla;
 radiusis mixedviT wrewiris sigrZisa da wris farTobis gamoTvla;
 TavSi gadmocemuli masalis sxvadasxva saxis praqtikuli amocanis amosaxsnelad gamoyeneba.
me-5 Tavis Tavfurcelis àba, scade!~. striqonis boloebi adgenen 5 wyvils, magram maT garda aris kidev 14 wyvili, romlebsac
adgenen 3m da 4m kaTetebis mqone marTkuTxa samkuTxedebis hipotenuzebis boloebi. pasuxi:19wyvili.
182
$5.1 kvadratuli fesvi ( 2 sT.)
mizani.
 kvadratis gverdis gamoTvla misi farTobis mixedviT;
 ricxvis povna misi kvadratis mixedviT;
 ariTmetikuli kvadratuli fesvis Sefaseba da miaxloebiTi gamoTvla;
 naazrevis gasagebad gadmocemis, TviTSefasebis unarebis ganviTareba.
saWiro masala: baraTebi da proeqtori.
yuradReba unda gaamaxvilon im faqtze, rom a gamosaxulebas aqvs ori Tviseba:
I. a  0 (gansazRvris are); II. a  0 (mniSvnelobaTa simravle); III. x 2  a gantolebas, roca a  0 , aqvs ori amonaxsni: a da _ a
pirveli gakveTili
gakveTilis struqtura
1-li etapi _ organizaciuli etapi, saSinao davalebis Semowmeba
misalmeba, moswavleTa daswrebis Semowmeba, moswavleTa gakveTilisTvis mzaobis
Semowmeba, motivacia.
saSinao davalebis frontaluri Semowmeba.
saSinao davalebaSi Tu romelime davaleba problemuri aRmoCnda, mis msgavs davalebas Seasruleben dafaze.
me-2 etapi _ winare codnis gaaqtiureba, problemuri situaciis Seqmna
sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/sakiTxebi, kompleqsuri davaleba/davalebebi
naturaluri ricxvi, frontaluri muSaoba klasTan. Teoriuli
mTeli ricxvi, sakiTxebis codnis Semowmeba Temis sruldeba TemisTvis gamoyofil
racionaluri ricxvi, farglebSi. SekiTxvebi: meore saaTze.
gantoleba,  rogor ricxvs ewodeba naturaluri? damoukideblad muSaoben. xsnian
 rogor ricxvs ewodeba mTeli? sav.#31-s. pasuxebs iweren
gantolebis amonaxsni, rveulebSi. saWiroebis SemTxvevaSi
farTobi,  rogor ricxvs ewodeba racionaluri?
kiTxvebs usvamen maswavlebels.
kvadratis farTobi.  ras ewodeba gantoleba? pasuxebis gamotanis Semdeg
 ras ewodeba gantolebis amonaxsni? amowmeben.
 rogori sididea farTobi?
 rogor gamovTvaloT kvadratis farTo-
bi?
183
me-3 etapi _ gakveTilis Temisa da miznis gacnoba
kvadratuli fesvi, maswavlebeli moswavleTa yu-
x 2  a gantolebis fesvi, radRebas amaxvilebs kvadratul
fesvebis Sedareba, Sefaseba, fesvebze, rogorc maTTvis ucxo
ariTmetikuli kvadratuli cnebaze da ucxadebs, rom dRes am
fesvi.
cnebas Seiswavlian.
kvadratuli fesvi, maswavlebeli axali masalis axsnas dafaze da rveulebSi xsnian
fesvis miaxloebiTi iwyebs saxelmZRvaneloSi mocemuli 1- teqstis 1-l da meore magaliTebs.
mniSvneloba, kvadratuli li amocanis amoxsniT. romlis mixedviT
aswavlis:
fesvebis Sedareba, Sefaseba, giorgis nakveTis sigrZis gamoTvla a) fesvis miaxloebiTi mniSvnelobis
ariTmetikuli 6400-dan fesvis amoRebiT gamoiTvleba.
gamoTvlas;
kvadratuli fesvi . xsnian x  6400 gantolebas da midian b) fesvis Sefasebas;
2
x  a gantolebis fesvi.
2
kvadratuli fesvisa da ariTmetikuli g) fesvis amoRebas kalkulatoris
kvadratuli fesvis ganmartebamde. gamoyenebiT.
tolobis sisworis Semowmeba, kvadra- zepirad xsnian saxelmZRvanelodan
tuli fesvis amoReba, gantolebis #1, #2, #3, #4,(a, b, g, d), #5(a, b, g),
amoxsna, mocemuli fesvebis mqone #6(a_z), #10 savarjiSoebs. erTi mo-
gantolebis Sedgena, kvadratuli swavle muSaobs dafaze (erT davale-
fesvis Semcveli gamosaxulebis mni- baze), danarCenebi rveulebSi. para-
Svnelobis gamoTvla. lelurad, dafaze amoxsnis siswores
adevneben Tvals, SeaqvT koreqtive-
bi, afiqsireben da aanalizeben Se-
cdomebs.
me-6 etapi _ damoukidebeli samuSao
(TviTkontroli, koreqtivebis Setana sakuTar naSromSi, pozitiuri TviTSefasebis unaris ganviTareba;)
184
I varianti: sav.#12 (a,b,e,v);
II varianti: sav#12 (g,d,z,T)
pasuxi:
I varianti:13;17; 60; 60.
II varianti: 37,149,300, 720.
kvadratuli fesvi, _ ra viswavleT dRes? 1) qvemoT warmodgenili frazebiT SeadgineT
fesvis miaxloebiTi _ ras ewodeba kvadratuli fesvisa da ariTmetikuli kvadratuli
mniSvneloba, kvadratuli kvaratuli fesvi? fesvis ganmartebebi.
fesvebis Sedareba, Sefaseba, _ ras ewodeba a) a ricxvidan ;
ariTmetikuli ariTmetikuli b) aris;
kvadratuli fesvi . kvadratuli fesvi? g) arauaryofiTi ricxvi;
x 2  a gantolebis fesvi. _ rogor gamovTvaloT d) ariTmetikuli kvadratuli fesvi;
kvadratis gverdi misi e) romlis kvadrati;
farTobiT? v) fesvi;
z) a -s tolia;
T) x 2  a gantolebis.
2) amoxseniT gantoleba:
a) x 2  100; b) x 2  100;
g) x 2  0; d)  x 2  100.
erTad ajameben TviTkontrolisa da urTierTSefasebis Sedegebs, maswavlebeli gamoTqvams Tavis azrs aqtiurad
da sworad momuSave moswavleebze, maTi saqmianobis xarisxsa da gamomJRavnebuli codnis doneze, gakveTilze
daSvebul Secdomebze, maT gamomwvev mizezebsa da gamosworebis gzebze.
sav.#6, #7, #8, #9, #11, #13, moiZion istoriuli masala kvadratuli fesvis SemoRebisa da am mimarTulebis
ganviTarebis Sesaxeb.
maswavlebeli aZlevs miTiTebebs saSinao davalebis Sesrulebis Sesaxeb, da dainteresebulT #27-28 savarjiSo-
ebis Sesaxeb.
185
me-2 gakveTili
mizani:
 kvadratuli fesvis Sesaxeb miRebuli codnis sistemaSi moyvana (kvadratuli fesvi, ariTmetikuli kvadratuli fesvi ,
kvadratuli fesvebis Sedareba, Sefaseba);
 gamovlenili xarvezebis gamosworeba;
 SemecnebiTi aqtiurobis ganviTareba;
 mocemul Temaze miRebuli codnis gamoyeneba standartuli da ufro maRali donis praqtikuli amocanebis amosaxsnelad;
 moswavlis motivaciis stimulireba;
 moswavlis gamoTvliTi Cvevebis, Sromismoyvareobis, gonivruli moqmedebisa da wyvilSi muSaobis unarebis ganviTareba.
amocanebi:
1) mocemul Temaze codnis gaRrmaveba;
2) codnisa da unarebis diagnostireba;
3) mexsierebis, azrovnebis, yuradRebianobis, dakvirvebulobis, sazrianobis unarebis ganviTareba;
4) TvTSefasebis kriteriumebis gamomuSaveba, sakuTari naSromis analizisa da adekvaturi Sefasebis unaris gamomuSaveba.
resursebi: kompiuteri, ekrani, proeqtori.
gakveTilis Catarebis Semdeg moswavlem unda icodes:
 rogor gamoTvalos kvadratis gverdi kvadratis farTobis mixedviT;
 ras ewodeba kvadratuli fesvi da ariTmetikuli kvadratuli fesvi;
 ra simboloTi aRiniSneba kvadratuli fesvi;
 x 2  a gantolebis amoxsna.
unda SeeZlos:
 ariTmetikuli kvadratuli fesvis simboloTi Cawera, wakiTxva da gamoTvla;
 metyevelebisas terminis ` ariTmetikuli kvadratuli fesvi~ sworad gamoyeneba;
 ariTmetikuli kulivadrat fesvis Sefaseba da miaxloebiTi gamoTvla;
 x 2  a gantolebis amonaxsnebis raodenobis dadgena da Cawera.
mosalodneli Sedegebi
 moswavles ganuviTardeba mosazrebulobis, jgufTan muSaobis, pasuxis kritikuli Sefasebis, TviTkontrolis unarebi;
 SeZlebs realuri cxovrebiseuli situaciebisa da maTematikis kavSiris danaxvas.
186
I. organizaciuli etapi, saSinao davalebis Semowmeba
misalmeba, moswavleTa daswrebis, gakveTilisTvis mzaobis Semowmeba, motivacia.
saSinao davalebis Semowmeba. davalebaSi arsebuli problemuri davalebis msgavs davalebas Seasruleben dafaze.
II. winare codnis gaaqtiureba, gakveTilis Temisa da miznis gacnoba
gakveTilis Temis formulireba, miznis Camoyalibeba.
terminis àriTmetikuli kvadratuli fesvi~ sworad gamoyeneba metyvelebisas.
codnis koreqcia.
frontaluri muSaoba klasTan. Teoriuli sakiTxebis codnis Semowmeba Temis farglebSi.
 kvadratuli fesvis, ariTmetikuli kvadratuli fesvis, ganmartebis Camoyalibeba;
 x 2  a gantolebis fesvis ganmarteba;
 x 2  a gantolebis amonaxsnTa raodenobis dadgena, fesvis amoReba.
maswavlebeli moswavleTa yuradRebas kidev erTxel amaxvilebs Teoriul sakiTxebze mocemuli Temis irgvliv.
III. ganmtkiceba
xsnian saxelmZRvanelodan#15, #17 #19, #21, #23, #32 (zepirad), #33(zepirad) savarjiSoebs.
erTi moswavle muSaobs dafaze (erT davalebaze), danarCenebi rveulebSi. paralelurad dafaze amoxsnis siswores adevneben
Tvals, SeaqvT koreqtivebi, afiqsireben da aanalizeben Secdomebs.
damoukidebeli samuSao #31 savarjiSo moswavleebi damoukideb-
kompleqsuri davaleba. TviTkontroli, koreqtivebis Setana sakuTar naSromSi. lad muSaoben
TviTSemowmeba (amJRav- pozitiuri TviTSefasebis unaris ganviTareba; damoukideblad moswavle aanalizebs
nebs codnis aTvisebis adekvaturad gaanalizos Sesrulebuli moqmedebebis siswore da sakuTar namuSevars.
xarisxsa da dones, adgens Seitanos aucilebeli koreqtivebi. daadginos gamovlenili acxadebs, ra gauWirda da
gamovlenili Secdomis Secdomis mizezebi. aanalizeben Secdomas.
mizezs.)
IV. Sedegebis Sejameba
maswavlebeli moiTxovs moswavleTa TviTSefasebas gakveTilze saqmianobis Sesaxeb. erTad ajameben Sedegebs, maswavlebeli
gamoTqvams Tavis azrs aqtiurad da sworad momuSave moswavleebze, maTi saqmianobis xarisxsa da gamomJRavnebuli codnis
doneze, gakveTilze daSvebul Secdomebze, maTs gamomwvev mizezebze da gamosworebis gzebze.
V. saSinao davaleba
sav.#16, #18, #20, #22, dainteresebulT #29-30. maswavlebeli aZlevs miTiTebebs saSinao davalebis Sesrulebis Sesaxeb.
187
TviTSefasebis furceli
gvari, TviTSefaseba saSinao TviTSefaseba TviTSefaseba individualuri Sefaseba

saxeli davalebaze zepir muSaobaze damoukidebel samuSaoze maswavleblis mier

x2
sav.#23. Tu am samkuTxeds kaTetis sigrZea x, maSin  50  x  10 .pasuxi: 20m.
2
sav.#27. g) –a; e) 11  3 .
sav.#28. Tu kvadratis gverds aRvniSnavT a-Ti, maSin dasWirdebaT 10a sigrZis Robe. a 2  900  a  30 m, p  10a  10  30  300.
pasuxi: 300m.
sav.#29. Tu simaRles diagonalebis gadakveTis wertilze gavavlebT, advilad davrwmundebiT, rom misi sigrZe fuZeebis
2
x
sigrZeTa naxevarjamis tolia. amitom, Tu fuZeebis sigrZeTa jams x-iT aRvniSnavT, miviRebT:    144 . pasuxi: 24sm.
2
sav.#31. a) Tu a 2  b2  41 da 2ab  40 tolobebs SevkrebT, miviRebT  a  b 2  81 . pasuxi: 9 ; d) Tu ( a  b) 2  5 da 4ab  4
tolobebs SevkrebT, miviRebT  a  b   9 . pasuxi: 3.
2
188
$5.2 ariTmetikuli kvadratuli fesvis Tvisebebi (3 sT.)
Tema: kvadratuli fesvi
 kvadratuli fesvi saWiroa imisaTvis, rom kvadratis farTobis mixedviT misi gverdis sigrZe vipovoT.
 kvadratul fesvs dadebiTi a ricxvidan aqvs ori mniSvneloba a da - a , sadac a ariTmetikuli kvdratuli fesvia.
I. qveTema: ariTmetikuli kvadratuli fesvis Tvisebebi saxelmZRvanelos $ 5.2 savaraudo saaTebis raodenoba (3 sT.)
 ariTmetikuli kvadratuli fesvi arauaryofiTi ricxvia;
 fesvian gamosaxulebebze moqmedebebis Sesasruleblad garkveuli wesebis dacvaa saWiro.
samizne cnebebi da sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi kompleqsuri davaleba/davalebebi
maTTan dakavSirebuli  fesvis amoReba a) namravlidan;  rogori ricxvebisTvis  5.2 paragrafis #18-19
mkvidri warmodgenebi b) wiladidan; ganimarteba kvadratuli savarjiSoebi
kvadratuli fesvi mo-  ricxvis Setana fesvis niSnis fesvi?
cemuli ricxvidan SigniT;  dadebiTi ricxvidan kva-
aris ricxvi, romlis
 ricxvis gatana fesvis niSnis dratuli fesvis ramdeni
kvadrati mocemuli mniSvneloba arsebobs??
gareT;
ricxvis tolia;
ariTmetikuli  fesvis Semcveli gamosaxulebis  ras niSnavs ariTmetikuli
gamartiveba; kvadratuli fesvi?
kvadratuli fesvi
arauaryofiTi  fesvis Semcveli gamosaxulebis  ra Tvisebebi aqvs ariTme-
ricxvia. gamoTvla. tikul kvadratul fesvs?
pirveli gakveTili
mizani:
1) ariTmetikuli kvadratuli fesvis Tvisebebis gacnoba;
2) kvadratuli fesvis Tvisebebis gamoyeneba kvadratuli fesvis Semcveli gamosaxulebis gardaqmnasa da mniSvnelobis
gamoTvlaSi;
3) a 2  a tolobis damtkiceba.
189
gakveTilis mosmenis Semdeg moswavlem unda icodes Teorema namravlidan da wiladidan fesvis Sesaxeb.
unda SeeZlos:
 kvadratuli fesvis Tvisebebis damtkiceba;
 ramdenime arauaryofiTi ricxvis namravlidan fesvis warmodgena am ricxvebidan fesvebis namravlis saxiT;
a
 saxis gamosaxulebis, sadac a  0 da b  0 , fesvebis ganayofis saxiT warmodgena;
b
 mamravlis Setana fesvis niSnis qveS;
 mamravlis gamotana fesvis niSnis gareT.
meToduri rekomendaciebi. Teoremis: àriTmetikuli kvadratuli fesvi arauaryofiTi ricxvebis namravlidan am ricxvebidan
 
2
ariTmetikuli fesvebis namravlis tolia~ damtkiceba eyrdnoba imas, rom a  b  0 da a b  ab.
a 2  a tolobis damtkiceba teqstSi magaliTis saxiTaa mocemuli. aqve SeuZlia maswavlebels gamoataninos daskvna
Sedegis saxiT: luwi xarisxidan fesvis amosaRebad sakmarisia, fesqveSa gamosaxuleba warmovadginoT raime gamosaxulebis
kvadratis saxiT da visargebloT a2  a igiveobiT. es daskvna gamoadgebaT saxelmZRvaneloSi mocemuli sxvadasxva
davalebis Sesasruleblad.
mamravlis Setanas fesvis niSnis qveS da mamravlis gamotanas fesvis niSnis gareT moswavles konkretul magaliTebze ( me-6
da me-7 magaliTebi) vacnobT.
I. organizaciuli momenti, saSinao davalebis Semowmeba
saSinao davalebis ganxilva.
1) upasuxeT kiTxvebs:
 ramdeni amonaxsni aqvs gantolebas: x 2  100 ?
 rogor ipoveT gantolebis fesvebi?
 ra ewodeba simbolos?
 rogor ikiTxeba Canaweri: 100
 rogor ricxvs ewodeba ariTmetikuli kvadratuli fesvi a ricxvidan?
190
 ra pirobebs unda akmayofilebdnen a da b ricxvebi imisaTvis, rom Sesruldes toloba: b  a ?
2) amoarCieT swori tolobebi. axseniT, ratomaa toloba swori an ratom araa swori.
16   4; 16  4; 16  4;  16  4; 16  4; 16  4; 16  4.
3) x -is ra mniSvnelobisTvis aqvs azri qvemoT mocemul gamosaxulebas? x?  2x ? 3x ? 4 x ?
4) gamoTvaleT:
 5
2
25 ; 5 ; 0; 2  5 ; 12  5 ; .
5) warmoadgine kvadratis saxiT namravli: a) 3  48; b) 6  54; g) 75  3; d) 32  8.

msjeloben aRmoCenil xarvezebze, zrunaven maT gamosworebaze.
6) gamoTvaleT zepirad (frontalurad):
1
 2 
2
0 ? 4 ? ? 16  ? ?  16  ? 8 2  ? 8 2  ?
9
maswavlebeli: _ romeli magaliTis pasuxis gacemaze dafiqrdiT? ratom ver mipasuxeT daufiqreblad?
_ dRes viswavliT kvadratuli fesvis Tvisebebs da amis Semdeg aseT magaliTebs advilad amoxsniT.
_ra ris Cveni gakveTilis Tema? mizani?
amtkiceben kvadratuli fesvis Tvisebebs, asruleben teqstSi mocemul magaliTebs.
IV. ganmtkiceba
kvadratuli fesvis Tvisebebis Sesaxeb miRebul codnas ganimtkiceben saxelmZRvaneloSi mocemuli magaliTebis amoxsniT.
amoxsnisas msjeloben, rogor da ris safuZvelze amoxsnes. sav.#1-7 (yvela nomris a-e)
V. d/s I varianti: sav.#11 _ a); II varianti: sav.#11 _ b).
VI. saSinao davaleba: sav.#3-7 (darCenili magaliTebi)
meore gakveTili
mizani:
1) ariTmetikuli kvadratuli fesvisa da misi Tvisebebis Sesaxeb miRebuli codnis ganmtkiceba;
2) ariTmetikuli kvadratuli fesvis Tvisebebis gamoyeneba kvadratuli fesvis Semcveli gamosaxulebis gasamartiveblad;
3) davalebis Sesrulebisas yuradRebianobisa da sizustis dacvis unaris gamomuSaveba;
4) sagnisadmi interesis gazrda gakveTilze TamaSis momentebis CarTviT, saxaliso amocanebis amoxsniT, maTematikis istoriis
mimoxilviT;
191
5) codnisa da misi gamoyenebis unarebis aTvisebis Semowmeba;
6) sakuTari codnis Sefasebis kriteriumebis gamomuSaveba;
7) Sesrulebuli samuSaos gaanalizebisa da misi adekvaturi Sefasebis unaris ganviTareba.
klasi iyofa or jgufad.
maswavlebeli _ warmovidginoT, rom Cveni klasi aris samecniero kvleviTi instituti, xolo Tqven xarT am institutis
TanamSromlebi. kerZod, maTematikuri problemebis laboratoriis TanamSromlebi. yvelas gTxoves monawileobis miReba
samecniero sabWos sxdomaze, raTa ganixiloT Tema: àriTmetikuli kvadratuli fesvi da misi Tvisebebi ~.
institutSi muSaobisas unda:
 ganimtkicoT codna Sesaswavl Temaze;
 aCvenoT Tqveni codnis done am sakiTxze;
 gaerkveT aqamde TqvenTvis ucnob sakiTxebSi;
 akontroloT da SeafasoT sakuTari codna.
yovel Tqvengans magidaze udevs Sefasebis furceli, romelzec, rogorc institutis TanamSromlebma, unda daafiqsiroT
Tqveni miRwevebi.
Sefasebis furceli
Teoretiko- kvlevis la- axlis aRmo- eruditebis aqtiuroba gakve- qulebi Sefaseba
sebis labora- boratoria Cenis labora- laboratoria Tilze (maqsimum sul
toria (maqsi- (maqsimum 6 toria (ma- (maqsimum 8 8 qula)
mum 4 qula) qula) qsimum 4 qula) qula)
Sefaseba: `friadi~ _ 23-25 qula, `kargi~ _15-22 qula, `damakmayofilebeli~ _ 15 qulaze naklebi.

`Teoretikosebis laboratoria~
es Cveni pirveli laboratoriaa. aq unda gavixsenoT TemasTan dakavSirebuli sakiTxebi, rac SemdgomSi dagexmarebaT sxva
laboratoriebSi muSaobisas.
gakveTilis msvlelobisas mogiwevT davalebebis Sesruleba, romlebsac SevamowmebT sami kriteriumiT: siswore, amoxsnis
xerxebis raodenoba, Sesrulebul davalebaTa raodenoba.
pasuxi unda iyos sruli. ar daiviwyoT gakveTilze aqtiuroba. gaixseneT Teoria da zepirad upasuxeT kiTxvebs.
 ras ewodeba ariTmetikuli kvadratuli fesvi a ricxvidan?
192
 rogor vipovoT ariTmetikuli kvadratuli fesvis miaxloebiTi mniSvneloba?
 rogor vipovoT kvadratuli fesvis mniSvneloba kalkulatoris gamoyenebiT?
 a -s ra mniSvnelobisTvis aqvs azri a gamosaxulebas?
 aqvs Tu ara amonaxsni x 2  a gantolebas, roca a >0? a =0? a <0?Tu aqvs, ramdeni?
 ras udris fesvi arauaryofiTi Tanamamravlebis namravlidan?
a a
 rogori a-sa da b -sTvis sruldeba toloba: a)  ? b) a2  a
b b
_ yoCaR! SeafaseT Tqveni`Teoretikosebis laboratoriaSi~ namuSevari.
_ `Teoretikosebis laboratoriaSi~ muSaoba iyo `kvleviTi laboratoriis~ saSvi.
airCieT furceli dasaxelebiT: `kvleviTi laboratoria~. Tqven xedavT 6 tolobas, romelTa Soris swori tolobebicaa da
arasworic. unda gamoikvlioT da aRmoaCinoT araswori tolobebi. toloba Tu sworia, mis gaswvriv dawereT sityva `sworia~,
Tu toloba arasworia, mis gaswvriv dawereT sityva àrasworia~ da gaasworeT
pasuxebi:
davaleba sworia? arasworia? sworia? arasworia?
sworia
1) 36 x 4 y 2  6 x 2 y
2) 3 2  20 arasworia
1 sworia
3) 27 x  3 x
3
pasuxebi:
davaleba sworia? arasworia? sworia? arasworia?
arasworia
1) ( 5) 2 ( 3) 2  15
arasworia
a 8b 2 a 4 b
2)  6
c12 c
32 sworia
3) (6) 2   10
2
193
_ swori pasuxebi gamovitanoT ekranze da vimsjeloT daSvebul Secdomebze. Sefasebis furcelze dawereT Tqveni swori
pasuxebis Sesabamisi qulebi (umaRlesi qulaa 6).
_ kvlevis dasrulebis Semdeg gadavinacvlebT àxlis aRmoCenis laboratoriaSi~.
_ warmoidgineT, rom mecnierebma gaTxrebis dros aRmoaCines saidumlo Canawerebi
da Tqven gTxoves daxmareba am saidumlo Canawerebis gaSifvraSi. es magaliTebi
ganTavsebulia saxelmZRvanelos me-8 nomerSi.
#1 jgufi xsnis sav.#8-is(a_e,n) magaliTebs, #2 jgufi sav.#8-is _ (z_m) magaliTebs. amoxseniT magaliTebi. pasuxebi
daalageT zrdis mixedviT, miiRebT or sityvas (TiTo jgufi TiTo sityvas). am sityvebSi raRaca sibrZne imaleba. is Cven unda
aRmovaCinoT. (muSaoben)
maswavlebeli (davalebis Sesrulebis Semdeg):_ SevamowmoT pasuxebis siswore (ekranze an wakiTxviT).
1 1 1 1 3
sav. #8 pasuxebi 1-l jgufs: a) -e; b) -T; g) -b; d) -j; e) 2-i; v) -i.
6 3 10 5 10
1 1 1 3 1
gaSifruli sityvaa: , , , , ,2 _ `bejiTi~.
10 6 5 10 3
1 1 2 1 3
pasuxebi me-2 jgufis: z) -a ; T) -w; i) -v; k) -s; l)5-a; m) -l.
4 19 3 30 2
1 1 1 2 3
gaSifruli sityvaa: , , , , , 5, _ `swavla~
30 19 4 3 2
_ xedavT, bavSvebo, ra yofila rogorc saukuneebis winandeli, aseve dRevandeli sibrZne? (bejiTi swavla).
_ Sefasebis furcelze dawereT Tqveni swori pasuxebis Sesabamisi qulebis raodenoba (umaRlesi qulaa 6).
axla Tqven winaSe yvelaze rTuli samuSaoebia `swavlulebis laboratoriaSi~. aqac, ara marto Tqveni codnis sworad
gamoyeneba mogeTxovebaT, aramed pasuxebis mixedviT unda SeadginoT sityva da unda gamoicnoT am sityvis azri. pasuxSi
miRebuli ricxvebi daalageT klebis mixedviT da naxeT, ra sityvas gaSifravT.
194
`swavlulebis laboratoriaSi~ muSaobisaTvis SegiZliaT umaRlesi 8 qulis miReba (swori pasuxebis raodenobis mixedviT).
Tqveni amocanaa sakuTari naSromis Sefaseba am laboratoriaSi.
`swavlulebis laboratoria~
gamoicani sityva
1) 32
2 0, 25  r
2
1
  1
 
2 2
2) 80  60 l
2 3
3) (1  5) 2  2 5 b
722
4) d
2
5) 15  75  5 a
6) 4 8 5 2 J
7) 3 45  2 20 a
8) ( 7  3)( 7  3) a
pasuxebi: 1) 5; 2) 60; 3) 6; 4)19; 5) 75; 6) 13 2 ; 7) 5 5 ; 8) 4. klebis mixedviT: 75, 60, 19, 13 2 , 5 5 , 6, 5, 4.

_ miviReT saidumloebiT moculi sityva` aldJabra~. ra sityvaa? Tu vinmem icis, agvixsnas mniSvneloba.
mousmens moswavleebs da Tu saWiro gaxda, TviTon isaubrebs:
_ iciT, rom maTematika ramdenime nawilisagan Sedgeba. Tqven iswavleT naturaluri da wiladi ricxvebi, iciT, agreTve, dade-
biTi da uaryofiTi ricxvebi. sityva `ricxvi~ _ berZnulad JRers: àriTmos~. amitom mecnierebas ricxvebis Sesaxeb ewoda
ariTmetika.
ra hqvia maTematikis im nawils, romelic figurebsa da maT nawilebs swavlobs? (`geometria~. `geo~ _ berZnulad niSnavs
`miwas~, xolo `metria~ _gazomvas.)
àlgebra~ _ maTematikis nawilia, romelic gantolebebis amoxsnas, ricxvebiTa da asoebiT Sedgenili gamosaxulebebis
gardaqmnebs Seemcneba.
sityva àlgebra~ warmoiqmna sityvisagan: àl-dJabra~, romelic aRebulia uzbeki maTematikosis, astronomisa da geografis
_ muhamed al-xorezmis wignis mixedviT, romlis mTargmnelma arabuli sityva àl-dJaberi~ laTinurad Cawera, rogorc
àlgebr~.
Cven ukve yvela laboratoriaSi vimuSaveT. axla cota SevisvenoT da ramdenime `maTematikuri fokusi~ vnaxoT.
195
es sainteresoa!
bevri maTematikuri fokusi arsebobs. aseTia magaliTad, 5-ianiT daboloebuli orniSna ricxvis kvadratSi axarisxeba.
magaliTad, 85-is kvadrati ase moiZebneba: 852 = 7225.
rogor SevZloT am moqmedebis swrafad Sesruleba? es Zalian advilia. sakmarisia, 8 gavamravloT mis momdevno naturalur
ricxvze, miviRebT 8  9  72 . e.i. namravlis Canawerispirveli ori cifria 72, romelsac marjvnidan unda mivuweroT 25,
miviRebT, 852 = 7225.
igive operacia CavataroT 45-ze: 452=2025. ( 4  5  20 ) axla damoukideblad SeamowmeT es wesi 75-sa da 25-ze.
saSinao davaleba: sav. #9, #10, #12, #13, kvadratuli fesvisa da misi Tvisebebis gameoreba.
refleqsia
amoirCie erT-erTi varianti:
 gakveTilze movedi kargi/cudi ganwyobiT.
 gakveTili CemTvis saintereso/uintereso iyo.
 vTvli, rom gakveTilze kargad vimuSave/ ver vimuSave.
 gakveTilis Tema gasagebi/gaugebari iyo.
 gakveTilidan karg/cud ganwyobaze gamovedi.
 gakveTilze Cemi muSaobiT kmayofili var/ar var.
Sedegebis Sejameba: Sedegebs ajameben Sefasebis furclebis mixedviT.
me-3 gakveTili
am gakveTilze asruleben jgufur samuSaos, romelic saxelmZRvaneloSi paragrafis bolosaa warmodgenili.
jgufuri samuSao gulisxmobs moswavleTa Semzadebas piTagoras Teoremis gasacnobad.
danarCen droSi imuSaveben dafaze da rveulebSi saxelmZRvaneloSi mocemul masalaze, maswavleblis mier SerCeul
savarjiSoebze.
sav.#20.d) 2,5 103  25 104  5 102  0, 05;
sav.#21. a) 15  132  220  3  5  3  4 11 11  4  5  3  4  5 11  660; d) 3 125  36  45  33  25  27  32  864 ;
sav. #22. b)  a b ; g) a ab .
196
$5.3 piTagoras Teorema (3 sT)
Tema: piTagoras Teorema
 marTkuTxa samkuTxedSi ori gverdis mixedviT mesame gverdis povnaa SesaZlebeli.
samizne cnebebi da sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi: kompleqsuri dava-

maTTan dakavSire- leba/davalebebi
buli mkvidri  marTi kuTxe;  rogor samkuTxeds ewodeba marTkuTxa?  5.3 paragrafis #24
warmodgenebi:  maxvili kuTxe;  romeli gverdia udidesi marTkuTxa savarjiSo.
 hipotenuza _  ricxvis samkuTxedSi?  paragrafis bolos
marTi kuTxis kvadrati;  ra damokidebulebaa marTkuTxa samkuTxedis mocemuli jgufuri
mopirdapire samuSao (gv. 25).
 piTagoras hipotenuzisa da kaTetebis sigrZeebs Soris?
gverdi; (Sesruldeba me-3
sameuli;  moqmedebaTa ra TanmimdevrobiT unda
 kaTeti _ maxvili gakveTilze.)
 manZili gamovTvaloT kvadratuli fesvi ori ricxvis
kuTxis kvadratebis jamidan?
sakoordinato
mopirdapire
sibrtyeze;  rogor gamoTvli mocemuli sigrZiTa da
gverdi.
 marTkuTxa siganiT marTkuTxedis diagonals?
paralelepipedis  rogor gamoTvli mocemuli ganzomilebebiT
diagonali. marTkuTxa paralelepipedis diagonals?
pirveli gakveTili
miznebi:
 piTagoras Teoremis gacnoba/damtkiceba;
 marTkuTxa samkuTxedis mocemuli ori gverdiT mesame gverdis sigrZis gamoTvla;
 marTi kuTxis ageba piTagoras sameulis gamoyenebiT;
 samkuTxedis saxis dadgena mocemuli sami gverdiT;
 piTagoras Teoremis gamoyeneba praqtikuli amocanebis amosaxsnelad.
197
II. winare codnis gaaqtiureba, mzadeba axali masalis asaxsnelad
maswavlebeli:
1) _ ras xedavT naxazze? A
_ ra ewodeba AC da BC gverdebs? AB gverds? b c
_ ras udris marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxeebis jami?
a C B
_ ras udris ABC samkuTxedis farTobi?
2) marTkuTxa samkuTxedis hipotenuza 20 sm-is sigrZisaa, xolo erTi kaTeti _ 10 sm-is. gamoTvaleT samkuTxedis maxvili
kuTxeebis zomebi.
amoxsna: radgan marTkuTxa samkuTxedSi BC kaTeti hipotenuzis naxevars udris, SegviZlia
B
davaskvnaT, rom am kaTetis mopirdapire kuTxe 30 -iania, xolo meore maxvili kuTxe _ 60 -
iani.
C A pasuxi: A  30, B  60.
3) _ daamtkiceT, rom samkuTxedebi tolia. (amocanas maswavlebeli aZlevs naxaziT, moswavleebi ixseneben marTkuTxa
B1
samkuTxedebis tolobis niSnebs da amtkiceben zepirad.)
A
A1
C B
C1
4)_ aris Tu ara mocemuli figuris farTobi ABC da
AMD figurebis farTobTa jami? gansazRvre naxazis B M B D
mixedviT.
A
A D
#1 C #2 M
C
198
5) ipove  kuTxe naxazis mixedviT.
amoxsna:   90 , amitom     90,   90   . pasuxi:   90   .
 
6) _ ras xedavT naxazze?
a M b C
B 2 3
_ ra figurebisagan Sedgeba ABCD kvadrati?
b
_ daamtkiceT, rom  KBM MCN . 1 c a
K c
moswavleebi ixseneben samkuTxedebis tolobis me-3 niSans da amtkiceben ara marto am ori
4
samkuTxedis, aramed oTxive samkuTxedis tolobas. c
a N
_ ras ityviT am samkuTxedebis farTobebze? c
b
_ daamtkiceT, rom KMNP oTxkuTxedi kvadratia. 2  3  90  M  90 . analogiurad
A b P a D
daamtkiceben, rom P  N  K  90.
Tu gaxsovT, wina gakveTilze, praqtikuli samuSaos Sesrulebis Semdeg (saubris parale-
lurad aCvenebs Sesabamis naxazs), ra daskvna gamoitaneT marTkuTxa samkuTxedis gverdebze
agebuli kvadratebis farTobebis Sesaxeb? (kaTetebze agebuli kvadratebis farTobebis
jami toli iyo hipotenuzaze agebuli kvadratis farTobis.) Tu kaTetebs a da b asoebiT
aRvniSnavT, xolo hipotenuzas _ c asoTi, rogor CawerT Tqven mier Camoyalibebul b
daskvnas? ( a 2  b 2  c 2 ) c .
_ Cven axla davwereT geometriis Zalian mniSvnelovani Teorema. es Teorema piTagoras sa-
a
xels atarebs. piTagora Cvens welTaRricxvamde daaxloebiT 580-500 wlebSi cxovrobda.
fiqroben, rom piTagoras Teorema mis sicocxleSi ase JRerda: kvadratis farTobi, romelic
marTkuTxa samkuTxedis hipotenuzazea agebuli, kaTetebze agebuli kvadratebis farTobTa jamis tolia. amaSi Tqven
damoukideblad darwmundiT wina gakveTilze.
199
_ vin mixvda, ra aris Cveni dRevandeli gakveTilis Tema?
_ marTalia. dRes Cveni gakveTilis Tema aris piTagoras Teorema. Cven unda davamtkicoT piTagoras Teorema, unda gavecnoT
piTagoras sameulebs, viswavloT marTkuTxa samkuTxedis ageba piTagoras ricxvebis gamoyenebiT da SevZloT amocanebis
amoxsna piTagoras Teoremis gamoyenebiT.
_ piTagoras Teoremis sityvieri formulireba aseTia:
c
marTkuTxa samkuTxedis hipotenuzis kvadrati kaTetebis kvadratebis jamis tolia. b
naxazze mocemuli aRniSvnebiT Teorema ase Caiwereba: c 2  a 2  b 2 , sadac c hipotenuzaa, xolo a
a da b _kaTetebi. davamtkicoT piTagoras Teorema. daakvirdiT naxazs (moswavleebs uTmobs iniciativas).
damtkiceba: ABCD kvadratia, misi gverdia a + b , farTobi  a  b  . ABCD kvadrati Sedgeba c
2
a M b C
gverdis mqone KPMN kvadratisa da oTxi toli samkuTxedisagan, rac ukve davamtkiceT. am 4 B
b
samkuTxedidan erT-erTia APK . c a
ab P c
S KPMN  c , S APK  ,
2
2
S ABCD  c , S MNKP  4 S APK ,
2
a c N
c
ab
a  b b
2
 c2  4 ,
2 a D
A b K
a 2  2ab  b 2  c 2  2ab,
a 2  b2  c 2 .
Teorema damtkicebulia.
V. ganmtkiceba, amocanebis amoxsna
N1. N2.
? ? 8
3
4 6
#3. Seavse cxrili, romelSic marTkuTxa samkuTxedis gverdebis zomebia mocemuli: a da b kaTetebia, xolo c hipotenuza.
(cxrilebs ekranze an dafaze gamoitans. moswavleebi rigrigobiT xsnian amocanebs marTkuTxa samkuTxedis gverdebis povnaze.)
200
cxrili #1 cxrili #2 cxrili #3
a b c a b c a b c
12 20
16 12 12 15 20 25
12 6 5 16 20 15 25
15 9 9 15 30 40
_ ra gamovTvaleT #1 cxriliT? ra saxe aqvs hipotenuzis gamosaTvlel formulas? ( c  a 2  b 2 )
_ ra gamovTvaleT #2 da #3 cxrilebiT? ra saxe aqvs kaTetis gamosaTvlel formulas? ( a  c 2  b 2 , b  c 2  a 2 . )

#4. tolferda samkuTxedis ferdi 17sm-ia, fuZe 16sm. gamoTvale samkuTxedis farTobi.
 saxelmZRvanelodan xsnian #1, #3, #5 savarjiSoebs.
 muSaoben #30, #32 (zepirad) da #33(zepirad) savarjiSoebze (gasameorebeli masala)
I varianti: marTkuTxedis siganea 5 sm, diagonalis sigrZe _ 13 sm. gamoTvale marTkuTxedis farTobi.
II varianti: marTkuTxedis siganea 8 sm, diagonalis sigrZe _ 17 sm. gamoTvale marTkuTxedis farTobi.
VII. gasameorebel masalaze muSaoba sav.#32 da #33 _ zepirad, #30.
VIII. Sedegebis Sejameba, refleqsia
_ ra gavigeT axali da saintereso?
_ raSi iyenebdnen Zveli egviptelebi piTagoras sameulebs?
_ ra faqts eyrdnobodnen Zvelad egviptelebi marTi kuTxis agebisas?
_ rogor aageb marTkuTxa samkuTxeds piTagoras sameulebis gamoyenebiT?
_ raSi mdgomareobs piTagoras Teorema?
_ SesaZlebelia, Tu ara blagvkuTxa samkuTxedSi udidesi gverdis kvadrati danarCeni gverdebis kvadratebis jamis toli
iyos?
moswavleebi Sefasdebian: gakveTilze zepirad amosaxsneli amocanebis amoxsnisas, Teoremis damtkicebisas aqtiurobis,
urTierTSefasebisa (damoukidebeli samuSao) da maswavleblis Sefasebis safuZvelze.
IX. saSinao davaleba: sav.#2, #4, #6, #7. moiZion informacia piTagoras Sesaxeb, moamzadon prezentacia, scadon piTa-
goras Teoremis damtkiceba sxva gziT.
201
meore gakveTili
mizani:
 or wertils Soris manZilis gamosaTvleli formulis gamoyvana sakoordinato sibrtyeze;
 amocanebis amoxsna piTagoras Teoremisa da misi Sebrunebuli Teoremis gamoyenebiT;
 logikuri azrovnebis ganviTareba.
I. organizaciuli momenti, saSinao davalebis Semowmeba.
1) maswavlebeli: _ ra viswavleT wina gakveTilze?
_ SegiZliaT CamoayaliboT piTagoras Teoremis Sebrunebuli Teorema?
_ rogor Camoyalibdeba piTagoras Teorema da misi Sebrunebuli erT Teoremad? (samkuTxedi maSin da mxolod maSinaa
marTkuTxa, roca misi romelime gverdis sigrZiskvadrati danarCeni gverdebis sigrZeTa kvadratebis jamis tolia.)
2) maswavlebeli: _ axla amovxsnaT naxaziT warmodgenili amocanebi.
B
 ABC wesieria
13 x
4 6
x 5
x A D
C
M
B
2 3  ABC wesieria 120
x x
30 8
x
D 36 N
A D C
202
3) maswavlebeli:
_ ras warmoadgens sakoordinato sibrtye?
_ ramden nawilad yofs sibrtyes sakoordinato RerZebi?
_ ras warmoadgens abscisa da ordinata?
_ ra niSnebi aqvs abscisas meoTxedebis mixedviT? ordinatas?
_ romel meoTxedSia wertili, romelsac aqvs:
a) orive koordinati uaryofiTi?
b)abscisa dadebiTi, ordinata uaryofiTi?
g) abscisa uaryofiTi, ordinata dadebiTi?
d) ramdeni wrfis gavleba SeiZleba erT wertilze? or wertilze?
e) ras udris manZili koordinatTa saTavidan wertilamde, romlis koordinatebia (5;0)?
4) _ davweroT sakoordinato wrfeze mdebare or wertils Soris manZilis gamosaTvleli formula zogadi saxiT.
vTqvaT, sakoordinato wrfeze gvaqvs ori wertili: A  x1  da B  x2  da aTvlis saTave O  0  .
A O B
x1 0 x2
rogor gamoiTvliT AO da BO manZilebs? ( AO  x1 , BO  x2 )
_ ra sudris OA, OB manZilebi? OA  AO  x1 , OB  BO  x2

axla gamovTvaloT AB manZili. ganvixiloT sxvadasxva SemTxveva. kerZod,
roca:
O A B
a) x1  0, x2  0, x2  x1 ; AB  OB  OA  x2  x1  x2  x1  x2  x1 ;
0 x1 x2
O B A
b) x1  0, x2  0, x1  x2 ; BA  OA  OB  x1  x2  x2  x1 ( AB  BA) ;
0 x2 x1
A B O
g) x1  0, x2  0, x2  x1 ; AB  AO  BO  x1  x2   x1    x2   x2  x1  x2  x1 ; x1 x2 0
A O B
d) x1  0, x2  0; AB  AO  BO  x1  x2   x1  x2  x2  x1  x2  x1 .
x1 0 x2
203
_ am SemTxvevebis ganxilvis Semdeg ra daskvnis gakeTeba SegviZlia _ rogor vipovoT manZili ricxviT wrfeze mdebare A  x1  da
B  x2  wertilebs Soris?  AB  x2  x1 
_ am formulis gamoyenebiT gaarkvieT:
 ra manZilia A  5  , B  3 wertilebs Soris?
 ra manZilia B  3 , C  7  wertilebs Soris?

III. Temis dasaxeleba
 ras udris manZili sakoordinato wrfeze 2-sa da 5-s Soris? 3-sa da _3-s Soris? 0-sa da _40-s Soris? (zepirad pasuxoben)
 ra manZilia A 1;3 da B  5; 2  wertilebs Soris?
_ ver mpasuxobT? ratom?
_ SegiZliaT daasaxeloT Cveni gakveTilis Tema?
_ marTalia. dRes unda viswavloT sakoordinato sibrtyeze mdebare or wertils Soris manZilis gamoTvla.
_ amovxsnaT amocana (xsnian saxelmZRvanelos teqstSi mocemul me-3 amocanas, romelSic AM da BM manZilebis
gamosaTvlelad iyeneben sakoordinato wrfeze mdebare or wertils Soris manZilis gamosaTvlel formulas).
IV. ganmtkiceba
saxelmZRvanelodan xsnian #20 (a,b), #21, #10, #11, #17 savarjiSoebs.
amocana. gamoTvaleT samkuTxedis perimetri, Tu misi wveroebis koordinatebia: (0;5),0;3) da (0;_4).
V. damoukidebeli samuSao
1) rogor samkuTxedSia marTebuli piTagoras Teoremas?
2) rogor Cawer maTematikurad piTagoras Teoremas?
3) SesaZlebelia Tu ara, rom marTkuTxa samkuTxedSi kuTxeebis sidide iyos (pasuxebs asabuTeben):
a) 900; 600; 900; b) 450; 900;450; g) 600; 300; 600.
4) ipove manZili A 1;3 da B  2; 3 wertilebs Soris.
VI. Sedegebis Sejameba
_ ra sakiTxebi gavimeoreT?
_ ra mogeCvenaT rTulad? sainteresod?
VII. saSinao davaleba: sav. 12, 13, #20(g,d) #21, #28.
204
mesame gakveTili
mizani:
 piTagoras Teoremis praqtikuli amocanebis amosaxsnelad gamoyeneba;
I. saSinao davalebis Semowmeba;
II. ganmtkiceba (muSaoben #8, #9, #14, #15,#16 savarjiSoebze);
III. kompleqsur davalebaze muSaoba (jgufuri samuSao, saxelmZRvanelo II nawili, gv.25);
IV. prezentacia;
V. saSinao davaleba: a)sav. #16, #22, #23; b)paragrafis #24 savarjiSo (esec kompleqsuri samuSaos nawilia);
g) ist-is daxmarebiT moiZion piTagoras Teoremis praqtikaSi gamoyenebis magaliTebi.
komentarebi savarjiSoebis Sesaxeb da pasuxebi
ab
sav.#7. hipotenuzaa 20sm. simaRles veZebT tolobiT: h  . pasuxi: 9,6 sm.
c
sav.#14. igulisxmeba , rom saaTi dgas diagonalebis gadakveTaze. skveris diagonalis sigrZea 10m. pasuxi: 5m.
sav.#16. tolferda samkuTxedSi fuZis mediana wverodan daSvebuli simaRlea. e. i. veZebT simaRles. aRvniSnoT ferdi a
asoTi, xolo simaRle _ h -iT. amocanis pirobiT 8  2a  18  a  5 (sm). piTagoras TeoremiT h  52  42  3 (sm). pasuxi: 3 sm.
sav.#18. piTagoras Teoremis jer ABC samkuTxedSi, xolo Semdeg ACD samkuTxedSi gamoyenebiT miviRebT, rom AD=25sm.
sav.#19. mocemuli utoloba gamomdinareobs samkuTxedis utolobidan. marTlac, ganvixiloT a da b kaTetebis mqone
marTkuTxa samkuTxedi. piTagoras TeoremiT c  a 2  b 2 iqneba hipotenuzis toli. xkm
samkuTxedis utolobiT: a  b  c . miviReT, rom a 2  b 2  a  b.

sav.#24. jgufis marSruti sqematurad mocemulia 1-l naxazze.
3,2km
sav.#25. simaRlis mier gayofili 14sm sigrZis gverdis monakveTebi aRvniSnoT x-iT 6,4km
da 14 - x-iT. piTagoras TeoremiT 132  x 2  152  (14  x) 2  x  5. h  169  25  12. nax.1
banaki
pasuxi: a)12sm; b)84sm2. 1,6km
sav.#26. WianWvelebs Soris manZili gamoiTvleba piTagoras TeoremiT. pasuxi: 5t m.
205
2 2 2
 x   10   8 
sav.#27. vTqvaT, fuZis gverdia x. medianis TvisebiTa da piTagoras TeoremiT:          4 . pasuxi: 16sm .
2
 2  3  3
sav.#28. ABC samkuTxedis BK mediana simaRlecaa, amitom AB  BD, 1  2  3 = 60 , B 4 C
D  120. S ABCD  AD  BK  24  BK . piTagoras Teoremis Tanaxmad, BKD samkuTxedidan
24
BK  BD 2  KD 2  242  122  12 3 . S ABCD  24  BK  24 12 3  288 3 (sm2).
sav.#29. 600 000 m2qsovils sWirdeba 60 000kg. qsovili, qsovils _ 78 000kg bamba, bambas 3
1 2
78:1,56×4 =200ha farTobi. pasuxi: 200 ha. A K D
sav.#30. vTqvaT, marTkuTxedis gverdebia a da b . maSin farTobi iqneba ab . Tu gverdebs
gavzrdiT 20-20%-iT, maSin farTobi iqneba 1, 2a 1, 2b  1, 44ab , xolo perimetri _ 2 1, 2a  1, 2b   1, 2  2   a  b  . e.i. perimetri


P
gaizarda 20%-iT, farTobi _ 44%-iT.
SesaZlebelia Tu ara? SesaZlebelia. aseTia, magaliTad, #18 savarjiSoSi mocemuli trapecia.
$5.4 iracionaluri ricxvebi (2 sT.)

mizani:
 naturaluri, mTeli da racionaluri ricxvebis cnebis gameoreba;
 iracionaluri ricxvis cnebisa da namdvil ricxvTa simravlis gacnoba;
 ricxvTa simravleze warmodgenis gafarToeba;
 cnebis gansazRvris, ganzogadebis, analogiis dadgenis, ricxviTi simravleebis klasificirebis unarebis ganviTareba;
  ricxvis gacnoba;
 wrewiris sigrZisa da wris farTobis gamoTvla;
 perioduli aTwiladis Cveulebriv wiladad gadaqcevisa da, piriqiT, Cveulebrivi wiladis periodul aTwiladad
Caweris wesebis gameoreba;
 fesvis mniSvnelobis gamoTvla kalkulatoris gamoyenebiT.
206
Tema: iracionaluri ricxvebi
 arsebobs ricxvebi, romelTa wiladis saxiT Cawera SeuZlebelia;
 wrewiris sigrZis diametris sigrZesTan Sefardeba iracionaluri ricxvia.
samizne cnebebi da maT- sakiTxi/qvecneba sakvanZo kompleqsuri davaleba (Sesruldeba TemisTvis

Tan dakavSirebuli SekiTxva/SekiTxvebi: gamoyofil meore saaTze)
mkvidri warmodgenebi:  naturaluri,  rogor ricxvs Tu winadadeba WeSmaritia, dauwere `+~, Tu
 racionaluri ricxvi _ mTeli, ewodeba racio- mcdaria, dauwere `_~.
ricxvi, romelic 1) nebismieri mTeli ricxvi naturaluria.
racionaluri da naluri?
2) yoveli naturaluri ricxvi
wiladis saxiT iwereba; namdvili iracionaluri? racionaluria.
 iracionaluri ricxvi ricxvebi;  ra mimarTebaa 3) ricxvi -20 racionaluria.
_ ricxvi, romelic  perioduli da naturalur, mTel, 4) ori naturaluri ricxvis jami
usasrulo araperioduli racionalur da naturaluri ricxvia.
araperioduli aTwiladebi; namdvil ricxvebs 5) ori naturaluri ricxvis sxvaoba
naturaluri ricxvia.
aTwiladis saxiT  wrewiris sigrZe Soris?
6) ori mTeli ricxvis namravli mTeli
iwereba; da wris  aris Tu ara ricxvia.
 namdvili ricxvi_raci- farTobi. erTeuli sigrZis 7) ori mTeli ricxvis ganayofi mTeli
onaluri da gverdis mqone ricxvia.
iracionaluri kvadratis 8) ori racionaluri ricxvis jami
ricxvebis gaerTianeba. diagonalis sigrZe racionaluri ricxvia.
9) ori racionaluri ricxvis namravli
racionaluri ricxvi? racionaluri ricxvia.
 aris erTeuli 10) yoveli iracionaluri ricxvi namdvili
sigrZis radiusis ricxvia.
mqone wrewiris sigrZe 11) namdvili ricxvi ver iqneba uaryofiTi.
racionaluri ricxvi? 12) ricxvi _ 5,2(7) iracionaluri ricxvia.
13)  ricxvi namdvili ricxvia.
wris farTobi?
14) 3,2 < π .
15) ricxvi 0 ekuTvnis racionaluri da
iracionaluri ricxvebis TanakveTas.
207
pirveli gakveTili
1) maswavlebeli svams kiTxvebs (Canaweri ekranze gamoaqvs):
 rogori ricxvebi viciT?
 rogor ricxvebs hqvia naturaluri? daasaxele magaliTebi.
 rogor ricxvebs hqvia mTeli? daasaxele magaliTebi.
 rogor ricxvebs hqvia racionaluri? daasaxele magaliTebi.
 rogor ricxvebs hqvia perioduli aTwiladi? daasaxele magaliTebi.
 rogor aTwilads hqvia wminda perioduli?
 rogor aTwilads hqvia Sereuli perioduli?
 rogor ricxvs hqvia araperioduli? daasaxele magaliTebi.
2) _ waikiTxeT ricxvebi (ekranze aCvenebs): 1,(6); 10,(10); 4,5(25); 32,14(07).
3) _ daamrgvaleT ricxvebi (ekranze aCvenebs):
a) erTeulis Tanrigamde (muSaoben dafaze da rveulebSi): 1,38; 2,77; 3,464; 0,994.
b) meTedis Tanrigamde (muSaoben dafaze da rveulebSi): 2,69; 4,85; 6,3843; 8,785.
4) _ daasaxeleT mocemul ricxvebs Soris moTavsebuli ramdenime ricxvi:
a) 0 da 1; b) 0,1 da 0,2; g) 0,3 da 0,(3); d) 0,45 da1,(45).
5) karnaxi
maswavlebeli kiTxulobs winadadebas. moswavleebi WeSmariti winadadebis wakiTxvisas weren `+~ niSans, mcdaris wakiTxvisas
`_~ niSans.
1. ricxvi 26 mTeli ricxvia;
2. ricxvi _6 racionaluri ricxvia;
3. ricxvi 12,6 racionaluri ricxvia;
4. ricxvi 25,5 mTeli ricxvia;
5. ricxvi 128 naturaluricaa da mTelic;
6. ricxvi _112,12 araa racionaluri ricxvi;
7. ricxvi 4,(25) racionaluri ricxvia;
8. ricxvi 4,2(25) racionaluri ricxvia;
9. ricxvi 0, 12345678 . . . racionaluri ricxvia;
10. ricxvi 2 racionaluri ricxvia.
208
III. Temis gacnoba
_ IX da X kiTxvebs ratom ver pasuxobT?
_ dRes swored aseTi ricxvebis simravles unda gavecnoT.
maswavlebels Semoaqvs iracionaluri ricxvis cneba, iracionalur ricxvTa
simravlis aRmniSvneli simbolo da asaxeleben ramdenime iracionalur ricxvs.
_ piTagoram da misma mowafeebma ar icodnen racionaluri ricxvebis garda sxvaricxvebi, magram SeamCnies, rom 1-is toli
gverdis mqone kvadratis diagonalis racionaluri ricxviT gamosaxva SeuZlebelia, sxva ricxvebs ki ar scnobdnen. am aRmo-
Cenam didi dartyma miayena piTagorelebs. isini didxans saidumlod inaxavdnen am aRmoCenas. piTagoras mowafe, romelmac es
saidumlo gasca, rogorc piTagorelebi ambobdnen _ `RmerTma dasaja~, daiRupa gemis CaZirvisas.
piTagorelebis axal aRmoCenil ricxvebs iracionaluri ricxvebi, anu ùgunuri ricxvebi~ uwodes. (laTinurad `ratio~ _
`goneba~).
amis Semdeg amtkiceben, rom 2 araa racionaluri ricxvi, ganmartaven, rogor ricxvebs hqvia iracionaluri, Seesabameba Tu
ara iracionalur ricxvebs wertilebi ricxvTa wrfeze. moniSnaven 2 -is Sesabamis wertils. swavloben iracionaluri ricx-
vis miaxloebiTi mniSvnelobis gamoTvlas. ecnobian namdvil ricxvTa simravlis cnebas, SemoaqvT  ricxvi, adgenen ricxvTa
simravleebs Soris mimarTebebs.
V. ganmtkiceba
saxelmZRvanelodan xsnian savarjiSoebs #1,2,3,5,7,8 savarjiSoebs.
VI. Sedegebis Sejameba, refleqsia
_ rogor ricxvs ewodeba iracionaluri? (usasrulo araperiodul aTwilads.)
_ daasaxeleT ramdenime iracionaluri ricxvi (0,10110111 . . .; 4, 0110010001. . .);
_ mocemulTagan romelia iracionaluri ricxvi?
2,175; _5,10101; 12, 20200200; _5,(7); 10,5(62); 40, 3353355. . . .
209
meore gakveTili
mizani:
 iracionaluri da namdvili ricxvebis Sesaxeb miRebuli codnis ganmtkiceba;
 ricxviTi simravleebis Sesaxeb miRebuli codnis gamdidreba;
 miRebuli codnis gamoyeneba amocanebis amoxsnisas;
 SemecnebiTi interesis, logikuri azrovnebis, damoukideblad muSaobis unarebis ganviTareba;
 TanamSromlobis, miRebuli Sedegebis prezentaciis, sakuTari naSromis Sefasebis gamocdilebis SeZena.
resursebi: kompiuteri, proeqtori.
IV. organizaciuli momenti
V. winare codnis gaaqtiureba, gaRrmaveba
 rogor ricxvebs gavecaniT wina gakveTilze?
 daasaxeleT ramdenime iracionaluri ricxvi.
 rogor ricxvebs ewodeba iracionaluri ricxvebi?
 rodis miiReba iracionaluri ricxvi? (kvadratuli fesvis amoRebisas, wrewiris sigrZis mis diametrTan Sefardebisas.)
daasaxeleT magaliTebi.
 kidev rogori ricxvebis miRebaa SesaZlebeli kvadratuli fesvis amoRebisas? (racionaluri) daasaxeleT magaliTebi.
 rogor miviRoT kvadratuli fesvis sasurveli sizustis miaxloebiTi mniSvneloba?( kalkulatoris gamoyenebiT.)
maswavlebeli: _ dRes fesvis miaxloebiTi mniSvnelobis gamosaTvlelad viyenebT kalkulators. kalkulatoris garda
SegviZlia gamoviyenoT kvadratuli fesvis mniSvnelobebis cxrili. cxrilSi miTiTebulia misi gamoyenebis wesebi. (aCvenebs
ekranze oTxniSna maTematikuri cxrilis fragments da aswavlis fesvis miaxloebiTi mniSvnelobis povnis wess.)
kalkulatoris gamoyenebiT iTvlian 4-5 ricxvidan kvadratuli fesvis miaxloebiT mniSvnelobas.
saxelmZRvanelodan xsnian #10 (iyeneben kalkulators), #12, #13, #15 savarjiSoebs. muSaoben dafaze da rveulebSi.
kompleqsuri davalebaze muSaoba (davalebas maswavlebeli gamoitans ekranze an baraTebze)
pasuxebi:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
_ + + + _ + _ + + + _ _ + _ -
210
Sefaseba:
qula 7-8 9-10 11-12 13-14 15
niSani 6 7 8 9 10
VI. refleqsia
_ rogor ricxvebs ewodeba racionaluri? iracionaluri?
_ rogori ricxvebisagan Sedgeba namdvil ricxvTa simravle?
_ gamoTvaleT kalkulatoriT: 26, 65,5, 14, 4, 0, 011.
   8, C 
sav.#13. pasuxi: A  12 , B 22 .
sav.# 14. pasuxi: A   10  , D  10  .
sav.# 15. 2sm. sav.# 16. 10m.
40 2 40
sav.#17. sasurvelia kalkulatoris gamoyeneba. a)  8,98; b)  6, 37.
2 2
2
L  L  L2
sav.#18. L  2 r  r  . S   r2      .
2  2  4
S
sav.#19. L  2 r  2   2  S.

sav.#20 da 21 dvalebebi sruldeba ise, rogorc paragrafSi mocemuli 2 -is SemTxvevaSi.
sav.#22. vTqvaT, proporciulobis koeficientia x. maSin kaTetebia _ 5x da 12x piTagoras Teoremis mixedviT vwerT
gantolebas:  5 x   12 x   262  x  2. 5 x  10, 12 x  24. samkuTxedis farTobis gamosaTvleli formulebis gamoyenebiT vwerT:
2 2
24 10 26  h 120
 h . (sm)
2 2 13
3a 2 3 2
sav.#23. a) 2a sm; b) a 3 sm; g) sm .
2
211
$5.5 sivrciTi figurebi (4 sT.)
mizani:
 sivrciTi figuris elementebs Soris Tanafardobebis dadgena;
 Slilis mixedviT sivrciTi figuris aRdgena;
 sivrciTi figuris zedapiris farTobis gamoTvla;
 piTagoras Teoremis gamoyeneba praqtikuli amocanebis amosaxsnelad.
komentari: gakveTilze gansaxilvel sivrciT figurebs moswavle garkveulwilad ukve icnobs. amjerad mizani am codnis
gaRmavebaa.
Tema: sivrciTi figurebi
 sivrciTi figurebis zedapiris farTobebis gamosaTvlelad Sesabamisi formulebi gamoiyeneba.
samizne cnebebi da maTTan sakiTxi/qvecneba sakvanZo kompleqsuri davaleba (Sesruldeba

dakavSirebuli mkvidri SekiTxva/SekiTxvebi: TemisaTvis gamoyofil meoTxe
warmodgenebi: gakveTilze)
 sivrciTi figura _  marTkuTxa  ra aris n-kuTxa prizma? davaleba mocemulia qvemoT,
meoTxe saaTisTvis dagegmil
arabrtyeli figura paralelepipedi;  ramdeni wibo aqvs n-
aqtivobebSi. iqvea ganmsazRvreli
(prizma, piramida,  prizma; kuTxa piramidas? da ganmaviTarebeli Sefasebis
cilindri);  piramida;  ra figuraa cilindris rubrikebi.
 zedapiris farTobi;  cilindri gverdiTi zedapiris
 figuris Slilis  fuZe, gvediTi Slili?
farTobi. zedapiri;  rogor gamoTvli
 paralelepipedis, piramidis srul
cilindris, Slili. zedapirs?
1-l gakveTilze:
 imeoreben winare codnas: wesieri samkuTxedisa da misi farTobis, wesieri eqvskuTxedisa da misi farTobis Sesaxeb;
212
 imeoreben winare codnas: prizmisa da misi kerZo saxis _ marTkuTxa paralelepipedisa da maTTan dakavSirebuli cnebebis
Sesaxeb;
 ecnobian cnebebs: zedapiris farTobi, gverdiTi zedapiris farTobi;
 ecnobian Teoremas marTkuTxa paralelepipedis diagonalis Sesaxeb;
 xsnian saxelmZRvaneloSi mocemul 1-l amocanas;
 ecnobian marTi prizmis gverdiTi da sruli zedapirebis farTobTa formulebs;
 xsnian saxelmZRvaneloSi mocemul me-2 amocanas;
 atareben praqtikul samuSaos mocemul Temaze;
wyvilebSi muSaoben prizmis modelebze. kerZod, samkuTxa da oTxkuTxa prizmebis modelebze. wyvils eZleva
gansxvavebuli figurebis erTi Slili, erTi modeli. erTze iTvlian sruli zedapiris farTobs, meoreze _ gverdiTi
zedapiris farTobs. gazomvebis Sedegebi SeaqvT cxrilSi.
 adgenen prizmis zedapiris farTobis gamosaTvlel algoriTms;
 xsnian saxelmZRvanelodan sav.#1 (a, b) da #2.
 saSinao davaleba: sav.#3, #4, #5.
me-2 gakveTilze:
 imeoreben winare codnas prizmis, misi sruli zedapirisa da gverdiTi zedapiris farTobebis Sesaxeb;
 xsnian saxelmZRvanelodan #7 savarjiSos;
 imeoreben winare codnas piramidis Sesaxeb;
 ecnobian cnebebs: apoTema, piramidis sruli zedapiris farTobi, gverdiTi zedapiris farTobi;
 atareben paqtikul samuSaos mocemul Temaze. gamohyavT wesieri piramidis gverdiTi da sruli zedapirebis farTobebis
formulebi;
wyvilebSi muSaoben piramidis modelsa da Slilze. kerZod, samkuTxa da oTxkuTxa piramidis modelebze. wyvils eZleva
gansxvavebuli figurebis erTi Slili, erTi modeli. erTze iTvlian sruli zedapiris farTobs, meoreze _ gverdiTi zeda-
piris farTobs. gazomvebis Sedegebi SeaqvT cxrilSi (ixilaven mxolod wesier piramidebs).
 adgenen prizmis zedapiris farTobis gamosaTvlel algoriTms;
xsnian saxelmZRvanelodan #13 savarjiSos(piveli piramida) da #18.
saSinao davaleba: sav.#1 - g), #6, #16.
me-3 gakveTilze:
 imeoreben winare codnas prizmisa da piramidis sruli zedapirisa da gverdiTi zedapiris farTobebis Sesaxeb;
213
 xsnian saxelmZRvanelodan # 13 savarjiSos darCenil SemTxvevebs ;
 imeoreben winare codnas cilindris Sesaxeb;
 ecnobian cnebebs: cilindris simaRle, cilindris fuZis farTobi, cilindris fuZis wrewiris radiusi, cilindris sruli
zedapiris farTobi, cilindris gverdiTi zedapiris farTobi;
 atareben praqtikul samuSaos mocemul Temaze;
 gamohyavT cilindris gverdiTi da sruli zedapirebis farTobebis formulebi;
 adgenen cilindris zedapiris farTobis gamosaTvlel algoriTms;
wyvilebSi muSaoben cilindris modelsa da Slilze. wyvils eZleva gansxvavebuli zomebis cilindrebis erTi Slili, erTi
modeli. erTze iTvlian sruli zedapiris farTobs, meoreze _ gverdiTi zedapiris farTobs.
gazomvebis Sedegebi SeaqvT cxrilSi.
xsnian saxelmZRvanelodan #8, #9, #17 savarjiSoebs.
saSinao davaleba: sav.#10, #11, #19, dainteresebuls sav.#15.
me-4 gakveTilze:
 saSinao davalebis Semowmeba-ganxilva;
 mocemul Temaze miRebuli codnis gameoreba;
kompleqsuri davaleba (or variantad)
I varianti
1) marTkuTxa paralelepipedis fuZis ganzomilebebia 5 sm da 6 sm, simaRlea 8 sm. gamoTvale paralelepipedis diagonalis
sigrZe da gverdiTi zedapiris farTobi.
2) cilindris fuZis radiusia 2m, cilindris simaRle _ 3m. gamoTvale cilindris sruli zedapiris farTobi.
3) oTxkuTxa piramidis yvela wibo 10sm-is tolia. gamoTvale piramidis sruli zedapiris farTobi.
4) kubis yovel wibos Tu 1 sm-iT gavzrdiT, misi zedapiris farTobi 54 sm2 -iT gaizrdeba. ipove kubis wibos sigrZe.
pasuxebi: 1) 5 5 sm, 176kv.sm; 2) 20 kv.m; 3) (100+ 100 3 )kv.sm; 4) 4 sm.
214
II varianti
1) marTkuTxa paralelepipedis ganzomilebebia 7 sm, 7 sm, 8 sm, fuZe kvadratia. gamoTvale paralelepipedis diagonalis
sigrZe da gverdiTi zedapiris farTobi.
2) cilindris fuZis radiusia 3m, simaRle _ 10m. gamoTvale cilindris sruli zedapiris farTobi.
3) oTxkuTxa piramidis yvela wibo 6sm-is tolia. gamoTvale piramidis sruli zedapiris farTobi.
4) kubis yovel wibos Tu 2 sm-iT gavzrdiT, misi sruli zedapiris farTobi 96 kv. sm-iT gaizrdeba. ipove kubis wibos
sigrZe.
pasuxebi: II varianti: 1) 9 2 sm, 224kv.sm; 2) 78 kv.m; 3) (36+ 36 3 )kv.sm; 4) 3 sm.
kompleqsuri davalebis ganmsazRvreli Sefasebis sqema
1) gamoTvala paralelepipedis diagonalis sigrZe ---1 qula;

gamoTvala gverdiTi zedapiris farTobi - - - 1 qula. sul --- 2 qula.
2) gamoTvala fuZis farTobi - - -1 qula;

gamoTvala cilindris sruli zedapiris farTobi - - - 1 qula. sul --- 2 qula.
3) gamoTvala gverdiTi zedapiris farTobi---1 qula;

gamoTvala fuZis farTobi - - - 1 qula;
gmoTvala sruli zedapiris farTobi - - -1 qula. sul --- 3 qula.
4) dawera zedapiris farTobis gamosaTvleli formulebi - - -1 qula;

dawera gantoleba---1 qula;
amoxsna gantoleba da dawera pasuxi ---1 qula. sul --- 3 qula.
215
kompleqsuri davalebis Sefasebis rubrika
1-2 3-4 5-6 7-8 9-10

1) ver asrulebs asrulebs da 1)damakma- 1)Tavisuflad akmayofilebs davalebis srulad
weriT/zepir davale- elementarul yofileb- iseT moTxovnebs, rogoricaa: Se- akmayofilebs
bebs; asrulebs, magram doneze akmayo- lad pasu- moqmedobiToba (saintereso Sinaarsi, davalebis yvela
elementarul doneze, filebs da- xobs dava- enobrivi gamarTuloba, originaluri moTxovnas.
2) ver akmayofilebs valebis lebis mo- gadawyveta), kritikuli azrovneba .
davalebis moTxovnaTa moTxovnaTa TxovnaTa 2) saSualoze maRal doneze akmayofi-
umetesobas. mcire nawils. did nawils. lebs davalebis moTxovnaTa umetesobas.
proeqti: `geometria saxlis dizainSi~
mizani: moswavles vaCvenoT maTematikis kavSiri cxovrebasTan. avumaRloT maTematikis swavlisadmi interesi.
maswavlebeli: _ ucxo Senobis aRqma pirdapiraa damokidebuli ara ferTa gamaze, an avejis dizainsa da Senobis stilze, aramed
am sivrcis geometriaze. swored geometria interierSi aris nebismieri Senobis Cvengan aRqmis `gasaRebi~. zog SenobaSi
yofnisas zogjer pirvelive wuTidan gaqceva gvinda, zogSi ki piriqiT _ didxans gvinda gavCerdeT. saqme interieris
geometriaSia.
geometriisa da ornamentebis daxmarebiT dizainerebi ara marto cvlian, aramed aumjobeseben kidec sivrcis vizualur
aRqmadobas. magaliTad, wre an ovali simSvidisa da srulyofilebis gancdas iwvevs, zolebis meSveobiT SesaZlebelia Senobis
proporciis vizualuri Secvla da a. S.
gTavazobT imuSaoT proeqtze : `geometria saxlis dizainSi~.
moiZieT saWiro masala da SeadgineT lamazad gaformebuli bukleti. Tan daurTeT Tqveni azri imis Sesaxeb, Tu ra
cvlilebebi gamoiwvia konkretuli geometriuli figuris dizainSi CarTvam rogorc virtualurad, ise emociurad. waikiTxeT
Sesabamisi literatura, daukavSirdiT am saqmeSi gamocdil specialistebs, dizainerebs, gamoiyeneT isti.
sakiTxebi, romlebzec yuradReba unda gaamaxviloT proeqtis momzadebisas, saxelmZRvaneloSi gaqvT aRniSnuli. Tqveni
survilis mixedviT SegiZliaT SeavsoT an SeamciroT CamonaTvali.
216
sav.# 5. paralelepipedis moculobaa 960sm3, xolo kubis moculoba 8sm3 . 960:8 =120. pasuxi: 120 kubi.
sav.#6. vTqvaT, kubis wibos sigrZea xsm. maSin 3 x  x 2  50(3  2 ) , x = 50 sm.
sav.# 7. CAB , radgan is umciresi gverdis mopirdapirea. AC  3 3 sm.
10 16
sav.#10. erTi milis ganivkveTis wrewiris sigrZea 10 sm, anu 10   D1 . saidanac D1  , xolo meore milis D2  .
 
16 10 6
D2  D1 . D2  D1     1, 91.
  
sav.#11 . amocanis pirobiT unda aigos kubi, romlis gverdis sigrZe iqneba 12 sm. amas dasWirdeba TiToeuli ganzomilebis
mixedviT 3 sm-is gverdis mqone 123 : 33  64 kubi. amaTgan 10 kubi ukve aris da kidev saWiroa 54 kubi.
sav.#12 . a) gverdiTi zedapiris farTobi 6 kvadratis farTobTa jamis tolia. e. i. aris 600 sm2. b) sruli zedapiris farTobi
6 100 3
gvediTi zedapiris farTobisa da ori eqvskuTxedis farTobTa jamis tolia: 600   600  300 3 sm2  1226,25 sm2.
2
10
sav.#15. cilindris gverdiTi zedapiris farTobia 400sm2. fuZis wrewiris sigrZe - 20 sm. 20  2 r  r  . fuZis farTobia:

2
 10  100 100 100 400  200
S   r2        2  . cilindris zedapiris farTobia: 400  2   kv.sm.
     
a2 3
sav.#16. piramidis TiToeuli waxnagis farTobia kv.sm, xolo oTxivesi: a 2 3 kv.sm.
4
aba scade!
1) a) SoTikom icoda, rom amoWriT zodis zedapiris farTobi ar Secvlila; b) paralelepipedis ganzomi-
lebebia 25sm, 25 sm da 45 sm, amitom farTobi iqneba: S  2  252  4  25  45  5750 sm2.
2) a) agebuli kubis erTi waxnagi naxazzea gamosaxuli: misi gverdis sigrZea 150sm. erTi aseTi fenis
asagebad 20 zodi dagvWirdeba. sul gveqneba erTmaneTze dalagebuli 10 aseTi fena. e.i. Tinikom 200 -
zodi gamoiyena; b) S  4  152  4  60  15  2  152  4950 sm2.
217
$5.6 moculoba (2sT.)
mizani:
 moculobis Tvisebebis gacnoba;
 marTkuTxa paralelepipedis, kubis da maTi kombinirebiT miRebuli figurebis moculobebis gamoTvla.
Tema: sivrciTi figurebi
qveTema: moculoba
 sivrciTi figurebis moculobis gamosaTvlelad Sesabamisi formulebi gamoiyeneba;
 marTkuTxa paralelepipedis moculoba misi sami ganzomilebis namravlis tolia.

dakavSirebuli mkvidri  moculobis Tvisebebi;  ra Tvisebebi aqvs 5.6 paragrafis #16-18
warmodgenebi: savarjiSoebi
 moculobis moculobas?
 moculoba (marTkuTxa erTeulebi;  moculobis sazomi ra (Sesruldeba TemisaTvis
paralelepipedis) _  marTkuTxa paralele- erTeulebi ici? gamoyofil meore gakveTilze)
erTeuli sigrZis wibos pipedis da kubis  1litri ramden sm3-s udris ?
mqone kubebis is moculobis  rogor gamoTvli Seni
raodenoba, romelsac gamosaTvleli saZinebeli oTaxis
paralelepipedi formulebi. moculobas?
daitevs.
meToduri komentari: moculobas moswavle ukve meeqvse klasidan icnobs. amjerad mizani codnis gaRmavebaa.
1-l gakveTilze:
 imeoreben winare codnas prizmisa da misi kerZo saxis _ marTkuTxa paralelepipedis Sesaxeb;
 paragrafis mixedviT asabuTeben marTkuTxa paralelepipedis moculobis formulas;
 akavSireben moculobis sxvadasxva erTeuls erTmaneTTan;
 ayalibeben moculobis Tvisebebs;
 ixilaven # 1, # 2, # 4, # 6 savarjiSoebs;
 saSinao davaleba: # 5, # 7, # 8.
218
me-2 gakveTilze:
 saSinao davalebis Semowmeba-ganxilva;
 mocemul Temaze miRebuli codnis gameoreba;
 kompleqsur davalebaze muSaoba (jgufuri);
 namuSevris prezentacia;
 saSinao davaleba # 9, # 13, # 19-21.
sav.#11. 16 m3. sav.#12. 50 12 h  1500  h  2, 5 m.
sav.#13. 80  50  0, 25  1000 sm3=1 dm3. av.#14. 20  2,8  56 m3.
sav.#15. 63,9 : 3  21, 3 m2. sav.#16. kubis wibos sigrZea 4 sm, kubis moculoba _ 64sm3. 5  64  320 sm3.
sav.#17. vTqvaT, erTi kubis wibos sigrZea a , xolo meoris _ b. a 2  4b 2  a  2b  a 3  8b 3 . pasuxi: 8-jer.
sav.#18. kedlis moculoba unda SevafardoT blokis moculobasTan an amovxsnaT msjelobiT: sigrZeSi Caeteva 100
bloki, siganeSi _ 2, xolo simaRleSi _ 11. sul saWiroa 100  2 11  2200.
sav.#21. x 1,12  2, 42  x  2. pasuxi: 2 lari.
$5.7 kuburi fesvi (1 sT.)
mizani:
 kuburi fesvis gacnoba;
 kubis wibos sigrZis gamoTvla misi moculobis mixedviT;
 kuburi fesvis zusti da miaxloebiTi gamoTvla;
 kuburi fesvebis Sedareba.
Tema: kuburi fesvi
 kuburi fesvi nebismieri ricxvidan SegviZlia amoviRoT;
 kuburi fesvi dadebiTi ricxvidan dadebiTia, uaryofiTi ricxvidan _ uaryofiTi.
219
samizne cnebebi da sakiTxi/qvecneba sakvanZo kompleqsuri davaleba
maTTan dakavSire- SekiTxva/SekiTxvebi:
buli mkvidri  kuburi fesvis Cawera  ra Tvisebebi aqvs kubur 5.7 paragrafis #9,#12 savarjiSoebi.
warmodgenebi: da gamoTvla (maT Soris fesvs?
 kuburi fesvi kalkulatoriT);  SeiZleba Tu ara kuburi
mocemuli  kuburi fesvis Tvisebe- fesvis amoReba
ricxvidan _ bi: fesvi namravlidan da uaryofiTi ricxvidan?
ricxvi, romlis wiladidan; Ta-  risi Sebrunebuli
kubi mocemuli namamravlis fesvSi Se- moqmedebaa kuburi fesvis
ricxvia. tana da fesvidan gatana. amoReba?
gakveTilis gegma
 organizaciuli momenti
 saSinao davalebis Semowmeba;
 winare codnis gaaqtiureba;
 kubis wibos sigrZis gamoTvla;
 kuburi fesvis cnebis Camoyalibeba;
 kuburi fesvis Cawera;
 savarjiSoebis Sesruleba saxelmZRvanelodan # 1, #7, #8;
 kompleqsuri davaleba #9, 12 (wyvilebSi samuSao);
 prezentacia;
 praqtikuli samuSao (wyvilebSi)
 refleqsia.
 saSinao davaleba # 2-6;
sav.#9. 2 a 3  54  a  3 m. pasuxi: 9m2.
sav.11. 83 : 23 = 64; dasWirdeba 64 aseTi kubi.
sav.12. a) 2  3 2 ; b) tolia.
sav.#14. a) da b) mcdaria, magaliTad, a = 1-Tvis; g) WeSmaritia; d) mcdaria, magaliTad, a = 64-Tvis.
220
$5.8 maxvili kuTxis sinusi, kosinusi da tangensi (3sT.)
paragrafis mizani: trigonometriuli damokidebulebebis marTkuTxa samkuTxedis amosaxsnelad gamoyeneba.
SeniSvna: mniSvnelovania, moswavleebma gaiazron, rom marTkuTxa samkuTxedSi gverdebs Soris proporcia mxolod maxvili ku-
Txis sididezea damokidebuli (am faqtis gasaazreblad wina paragrafis bolos mocemulia praqtikuli samuSao). sasurvelia,
moswavleebma daimaxsovron 30 -iani, 45 -iani da 60 -iani kuTxeebis trigonometriuli funqciebis mniSvnelobebi.
Tema: marTkuTxa samkuTxedebis amoxsna
 marTkuTxa samkuTxedSi gverdebs Soris proporcia mxolod maxvili kuTxis sididezea damokidebuli;
 marTkuTxa samkuTxedis amosaxsnelad sakmarisia misi ori elementi, romelTagan erTi maincaa gverdi.
samizne cnebebi da sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi: kompleqsuri davaleba
maTTan dakavSire-  maxvili kuTxe;  rogor ganimarteba marTkuTxa davaleba (damoukidebeli samuSao)
buli mkvidri mocemulia me-3 gakveTilis IV
 hipotenuza; samkuTxedSi maxvili kuTxis
warmodgenebi: aqtivobaSi (sam variantad)
 kuTxis mopirdapire sinusi? kosinusi? tangensi?
 marTkuTxa kaTeti;  ras niSnavs samkuTxedis davaleba ganTavsdeba ekranze an
samkuTxedis amoxsna? daurigdebaT furclebze, rigebis
 kuTxis mimdebare mixedviT.
amoxsna _  rogor ipovi kaTetebs maxvili
kaTeti;
mocemuli ori kuTxis tangensiTa da
elementiT  tigonometriuli
funqciebi; hipotenuziT?
danarCeni
 kuTxis sinusi,  SeiZleba Tu ara kuTxis sinusi
elementebis
kosinusi, tangensi. iyos 1-ze meti? tangensi?
povna.
221
pirveli gakveTili
miznebi:
 marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis sinusis, kosinusisa da tangensis gacnoba;
 30 -iani, 45 -iani da 60 -iani kuTxeebis trigonometriuli funqciebis mniSvnelobebis gamoTvla;
 mexsierebis, azrovnebis, dakvirvebulobis, yuradRebianobis, SemecnebiTi interesis ganviTareba;
 cnebis Camoyalibebis, ganzogadebis, klasifikaciis unarebis ganviTareba;
 martivi amocanebis amoxsna trigonometriuli funqciebis gamoyenebiT.
gakveTilis mosmenis Semdeg moswavlem unda SeZlos:
 marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis sinusis, kosinusisa da tangensis ganmarteba da Cawera;
 marTkuTxa samkuTxedis 30 -iani, 45 -iani da 60 -iani kuTxeebis trigonometriuli funqciebis mniSvnelobebis gamoTvla;
II. codnis gaaqtiureba
maswavlebeli: _ ra ewodeba samkuTxeds, romlis erTi kuTxe marTia?
_ ra ewodeba marTkuTxa samkuTxedis marTi kuTxis Semadgenel gverdebs?
_ ra ewodeba marTkuTxa samkuTxedis marTi kuTxis mopirdapire gverds?
B
_ ras udris marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxeebis jami?
_ daasaxeleT naxazze mocemuli samkuTxedis hipotenuza.
_ daasaxeleT naxazze mocemuli samkuTxedis kaTetebi.
_ daasaxeleT naxazze mocemuli samkuTxedis A kuTxis mimdebare kaTeti.
C A
_ daasaxeleT naxazze mocemuli samkuTxedis A kuTxis mopirdapire kaTeti.
_ ra iciT marTkuTxa samkuTxedis 30 -iani kuTxis mopirdapire kaTetis Sesaxeb?
_ ra sididis kuTxeebi aqvs tolferda marTkuTxa samkuTxeds?
_ arsebobs Tu ara tolgverda samkuTxedi?
_ romeli gverdia udidesi marTkuTxa samkuTxedSi?
III. Temis dasaxeleba
maswavlebeli: _ dRes Zalian mniSvnelovani Temis Seswavlas SevudgebiT. gavecnobiT trigonometriis sawyis cnebebs.
gamoviTvliT trigonometriuli funqciebis mniSvnelobas zogierTi maxvili kuTxis SemTxvevaSi.
222
maswavlebels Semoaqvs marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis sinusis, kosinusisa da tangensis ganmartebebi. xsnian
teqstis 1-l amocanas, romlis mixedviT adgenen marTkuTxa samkuTxedis 30 -iani, 45 -iani da 60 -iani kuTxeebis
trigonometriuli funqciebis mniSvnelobebis cxrils. iTvlian kalkulatoriT jer imave kuTxeebis trigonometriuli fun-
qciebis mniSvnelobebs, Semdeg ki sxva kuTxeebis SemTxvevaSic.
V. ganmtkiceba
saxelmZRvanelodan xsnian savarjiSoebs: #1(cxrilSi mocemul informacias ganmartaven. erT funqciaze imsjelebs erTi
moswavle), #2 (erTi muSaobs dafasTan, xsnis Sesabamisi msjelobiT, danarCenebi muSaoben rveulebSi da yuradRebas aqceven
dafasTan gasuli Tanaklaselis amoxsnasa da msjelobas. Secdomis an uzustobis aRmoCenis SemTxvevaSi xelis aweviT
afiqsireben, rom SeamCnies Secdoma an msjelobaSi uzustoba da usworeben). #5 da #6 amocanebi saSualebas aZlevs moswavles,
rom daadginos TiToeuli trigonometriuli funqciis mniSvnelobaTa are.
I varianti: sav.#7-a); II varianti: sav.#7-b).
VII. saSinao davaleba: sav.#3, #4, #8.
meore gakveTili
miznebi:
 marTkuTxa samkuTxedis gverdebsa da kuTxeebs Soris damokidebeulebebis amocanebis amosaxsenelad gamoyenebis unar-
Cvevebis Camoyalibeba;
 damoukideblobis, sxvisi mosmenis, sakuTari azris dacvis unarebis ganviTareba.
 moswavle iswavlis marTkuTxa samkuTxedSi trigonometriuli funqciebis, samkuTxedebis elementebs Soris
damokidebulebebis gamoyenebas amocanebis amoxsnisas;
 davalebis Sesabamisi moqmedebis winaswar dagegmvas.
1) maswavlebeli: _ daasruleT winadadeba:
1. marTkuTxa samkuTxedSi marTi kuTxis Semadgenel gverdebs ewodeba . . . .
2. marTkuTxa samkuTxedSi marTi kuTxis mopirdapire gverds ewodeba . . . .
3. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis sinusi ewodeba . . .. .
223
4. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis kosinusi ewodeba . . .. .
5. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis tangensi ewodeba . . .. .
2) upasuxeT kiTxvebs:
1. SeiZleba Tu ara 1-is toli iyos marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis sinusi?
2. SeiZleba Tu ara 1-is toli iyos marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis kosinusi?
3. SeiZleba Tu ara 1-ze meti iyos marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis kosinusi?
4. SeiZleba Tu ara 1-ze meti iyos marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis sinusi?
5. SeiZleba Tu ara 1-ze meti iyos marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis tangensi?
2) gamoTvaleT TiToeuli maxvili kuTxis trigonometriuli funqciebi
(erT amocanaze muSaobs dafasTan erTi moswavle, danarCenebi rveulebSi _ TviTSemowmebiT.)

E
O
K
5 13 8
4 6
3
A 12 L E 5
M F
T 10
III. codnis gaRrmaveba
1) muSaoben saxelmZRvanelos #10, #11, #13, #15 savarjiSoebze.
2) muSaoben kalkulatoriT. maswavlebeli asaxelebs samkuTxedis gverdebis sigrZeebis ramdenime sameuls da kuTxes, romlis
trigonometriul funqcias moswavleebi damoukideblad iTvlian.
IV. damoukidebeli samuSao (wyvilebSi) 
sadac SesaZeblobaa, kompiuteriT imuSaveben, sadac ara, maswavlebeli wyvilebs
baraTebs daurigebs, romlebzec cxrilebi iqneba ganTavsebuli. c
SeavseT cxrili naxazis mixedviT. gamoiTvale sxvadasxva xerxiT TiToeuli kaTeti
da hipotenuza.
b
moswavleebma unda Seavson cxrilis me-2 da me-3 svetebis ujrebi, romlebic
gamuqebulia da pasuxebi weria.( moswaveebs cxrilebi carieli aqvT, 1-li striqonisa 
da naxazis garda.). a
224
a kaTeti b kaTeti с hipotenuza
с с а
c sin  c cos 
c cos  c sin 
btg atg 
pasuxebs maswavlebeli ekranze gamoitans. wyvilebi TviTSefasebis reJimSi muSaoben.

saSinao davaleba sav.#9, #12, #14, #26.
rafleqsia, Sedegebis Sejameba
 dRes viswavle . . .
 saintereso iyo . . .
 rTuli iyo . . .
 davaleba Sevasrule . . .
 mivxvdi, rom . . .
 axla SemiZlia . . .
 me mivxvdi, rom . . .
mesame gakveTili
miznebi: marTkuTxa samkuTxedis amoxsnis Sesaxeb miRebuli codnis ganmtkiceba; amocanebis amoxsna Sesabamis Temaze.
II. winare codnis gaaqtiureba/ganmtkiceba
 daasruleT winadadeba (frontaluri gamokiTxva):
a) marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis sinusi ewodeba . . . .
b) marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis kosinusi ewodeba . . . .
g) marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis tangensi ewodeba . . . .
225
d) marTkuTxa samkuTxedis kaTeti tolia hipotenuzis namravlisa . . . .
e) marTkuTxa samkuTxedis kaTeti tolia hipotenuzis namravlisa . . . .
v) marTkuTxa samkuTxedis kaTeti tolia meore kaTetis namravlisa . . . .
z) marTkuTxa samkuTxedis hipotenuza tolia kaTetis ganayofisa …. . . .
 karnaxi:
1) ras udris: sin 300 ? cos 300 ? tg 300 ?
2) ras udris: sin 450 ? cos 450 ? tg 450 ?
3) ras udris: sin 60 0 ? cos 600 ? tg 600 ?
4) arsebobs Tu ara iseTi  kuTxe, rom sin   0, 6 ?
14
5) arsebobs Tu ara iseTi  kuTxe, rom cos   ?
13
III. amocanebis amoxsna sav.#16, #18, #22.
IV. kompleqsuri davaleba (damoukidebeli samuSao):
I varianti
1) SesaZlebelia Tu ara marTkuTxa samkuTxedis amoxsna:
a) ori gverdiT?
b) ori maxvili kuTxiT?
g) gverdiTa da maxvili kuTxiT?
2)  EFT -s E kuTxe marTia, sin T  0,3 , EF  6 sm. gamoTvale hipotenuzis sigrZe.
3) marTkuTxa samkuTxedis kaTetebis sigrZea 3 sm da 4 sm. gamoTvale umciresi maxvili kuTxis sinusi.
II varianti
1) SesaZlebelia Tu ara marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis sinusi toli iyos amave kuTxis tangensis?
2) ras udris marTkuTxa samkuTxedis hipotenuza, Tu kaTeti tolia 2 3 sm-is da am kaTetis mimdebare kuTxe 300 -is?
3) marTkuTxa samkuTxedis kaTetebis sigrZea 3 sm da 4 sm. gamoTvale samkuTxedis umciresi maxvili kuTxis kosinusi.
226
III varianti
1) SesaZlebelia Tu ara marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis sinusi toli iyos amave kuTxis kosinusis?
2) ras udris marTkuTxa samkuTxedis kaTeti, romlis meore kaTeti tolia 3 sm-is da saZiebeli kaTetis mopirdapire
0
kuTxe _ 60 -is?
3) marTkuTxa samkuTxedis gverdebis sigrZea 3 sm da 4 sm. gamoTvale samkuTxedis umciresi maxvili kuTxis tangensi.
moswavleebi wyvilebSi cvlian namuSevrebs. maswavlebeli pasuxebs gamoitans dafaze. pasuxebis Semowmebis Semdeg
aRmoCenil Secdomebs dafaze gaasworeben da gaaanalizeben.
V. refleqsia, Sedegebis Sejameba
moswavle Sefasdeba TviTSefasebis, urTierTSefasebisa da maswavleblis mier codnis gaaqtiurebis, karnaxis,
amocanebis amoxsnisa da kompleqsuri davalebis Sedegebis mixedviT.
VI. saSinao davaleba: sav.#19, #20, #21, #24.

sav.#10. Tu kaTetebs aRvniSnavT a da b asoebiT, xolo maT mopirdapire kuTxeebs , Sesabamisad,  da  asoebiT, maSin
a b a  b 31
samkuTxedis maxvili kuTxeebis sinusebis jami iqneba: sin   sin      .
c c c 25
17
sav.#11. amoixsneba sav.#10-is analogiurad. pasuxi: .
13
sav.#12. aRvniSnoT kaTetebi a da b asoebiT, xolo erT-erTi maxvili kuTxe _  asoTi. sin   0,8. aRniSvnebisa da amocanis
a
pirobis mixedviT vwerT:  sin   a  15  sin   15  0,8  12 (sm), piTagoras TeoremiT: 152  a 2  b 2 , anu
15
225  144  b  b  81  b  9 (sm). pasuxi: samkuTxedis kaTetebis sigrZea: 9sm, 12sm.
2 2
sav.#13. aRvniSnoT ucnobi kaTetis sigrZe x -iT. maSin hipotenuza iqneba 5x. piTagoras Teoremis Tanaxmad:
25 x 2  x 2  24  x  1. meore kaTetis sigrZea 1sm, xolo hipotenuzisa _ 5 sm.
sav.#16. rombis diagonalebi urTierTmarTobulia, amitom gverdiTa da diagonalebis naxevrebiT Sedgenili samkuTxedis
3 4 3
gverdebia 3, 4 da 5. pasuxi: , , .
5 5 4
   c cos    c 2 da vyofT c2-ze.
2 2
sav.#22 b)  maxvili kuTxis mqone marTkuTxa samkuTxedSi vwerT piTagoras tolobas: c 2 sin  2
227
sav.#25. S  a  h formulaSi b  sin  -iT SevcvaloT h.
sav.#26. a) n  3 unda iyos 15-is naturaluri gamyofi. am SemTxvevSi n  2 an n  12;
3n  4 4
b) n  2 an n  6; g)  3  . n unda iyos 4-is gamyofi. n  1, 2, 4;
n n
 2n  2   9 9
e) mocemuli wiladidan gamovyoT mTeli nawili:  2 . n+1 unda iyos 9 gamyofi. e.i. n+1=1,an n+1=3, an n+1=9.
n 1 n 1
pasuxi: n = 2, 8.
sav.#27. 6,8 da 10 piTagoras ricxvebia. e. i. AB  10 sm . SemovitanoT aRniSvna: BD  x , maSin AD  10  x . gamovsaxoT CD
simaRle rogorc CBD , ise ACD samkuTxedidan da gavutoloT gamosaxulebebi erTmaneTs. miviRebT:
62  x 2  82  10  x   x  3, 6 . BD  3, 6; AD  6, 4.
2
mexuTe Tavis mimoxilva

Tema: mexuTe Tavis mimoxilva
ra viswavleT am TavSi (CamonaTvali upasuxe kiTxvebs (moswavlis kompleqsuri davaleba
aris moswavlis wignis II nawilSi) saxelmZRvanelo, II nawili) testi #7
testSi ganmsazRvreli Sefaseba gamoiTvleba formuliT: 2n:5, sadac n swori pasuxebis raodenobaa.
sav.#7. Caxazuli samkuTxedi marTkuTxaa (piTagoras sameuli), marTkuTxedis meore gverdi am samkuTxedis simaRlis e.i. 2,4m-
is tolia, amitom marTkuTxedis didi gverdis nawilebi iqneba 1,8m da 3,2m. pasuxi: 12m2, 6m2, 2,16m2, 3,84m2.
x x 3 B
sav.#8. moc: BC = 12, A = 600, AD biseqtrisaa. aRvniSnoT AD = x , maSin  ACD-dan CD  , AC  , xolo
2 2
x 3
 ABC -dan AC  4 3 . miviReT:  4 3  x  8.
2
D
sav.#11. v) (8, 23  7,83 ) :16  3  8, 2  7,8  8, 2 2  2  8, 2  7,8  7,82  16 ;
C A
228
 2 2 
(3, 5  9 , 2 7  3, 5  6 , 7 3)  9, 27   6, 73   6, 732 
 7 7 
2
z)  3, 5  (9 , 2 7  6 , 7 3)  (9 , 2 7  6 , 7 3)  6 , 7 3 2 B
7
 9, 27 2
 6, 732  6, 732  9, 27 x
3 C (5;3)
sav.#12. gamovTvaloT mcire kaTetis  BC  sigrZis kvadrati ori marTkuTxa samkuTxedidan da
6, 25  3 4
erTmaneTs gavutoloT. miviRebT:  x  4   52  x 2  32  x  2, 25  S 
2
 9,375 . 5
2
sav.#13-14. es faqti gamomdinareobs piTagoras Teoremidan. marTkuTxa samkuTxedSi marTi kuTxis A(2; 1)
gazrda-Semcireba gamoiwvevs udidesi gverdis gazrda-Semcirebas.
sav.#15. vTqvaT, udidesi gverdis sigrZea x. me-12 amocanisa da samkuTxedis utolobis Tanaxmad 62  92  x  15 . amitom x-is
umciresi mTeli mniSvnelobaa 11.
sav.#16. vTqvaT udidesi gverdis sigrZea x. me-13 amocanisa da samkuTxedis utolobis Tanaxmad, 3  x  62  92 . amitom x-is
udidesi mTeli mniSvnelobaa 10.
sav.#17. Slilisgan miRebuli paralelepipedis ganzomilebebia: 3sm, 5sm da 6sm. pasuxi: V=90dm3, S = 126dm2.
sav.#18. n-kuTxa piramidas aqvs n + 1 wvero, n + 1 waxnagi da 2n wibo. pasuxi: 4n + 2, n = 5.
sav.#20. 10tg 40  8,39 m.
testis pasuxi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
g g d d g a d b a g b a a d b
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
g d g a a a a g b g
229
teqnologiuri ruka
maswavleblis ariTmetikuli kvadratuli fesvis, piTagoras Teoremis, iracionaluri ricxvebis, maxvili kuTxis trigo-
samuSao miznebi nometriuli funqciebisa da marTkuTxa samkuTxedis amoxsnis Sesaxeb miRebuli codnis Semowmeba.
gakveTilis codnis donis Semowmeba
tipi
moswavlem unda icodes ariTmetikuli kvadratuli fesvis Tvisebebi, piTagoras Teorema, sinusis, kosi-
nusisa da tangensis gansazRvreba, damokidebuleba marTkuTxa samkuTxedis gverdebsa da kuTxeebs Soris.
dagegmili unda SeeZlos amocanebis amoxsnisas:
ganmaviTarebel  ariTmetikuli kvadratuli fesvis Tvisebebis gamoyeneba;
i  piTagoras Teoremis gamoyeneba;
Sedegebi  marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis sinusis, kosinusia da tangensis cnebebis gamoyeneba;
 marTkuTxa samkuTxedis gverdebsa da kuTxeebs Soris damokidebulebebis gamoyeneba.
ZiriTadi kvadratuli fesvi, ariTmetikuli kvadratuli fesvi, marTkuTxa samkuTxedi, kaTeti, hipotenuza,
cnebebi samkuTxedis simaRle, trapeciis simaRle, samkuTxedis udidesi kuTxe, kaTetis mopirdapire kuTxe,
trapeciis farTobi, marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis: tangensi, sinusi, kosinusi.
resursebi Semajamebeli samuSaos sakiTxebi or variantad
sivrcis organizeba damoukidebeli

davalebebis micema
Catarebis maswavleb- moswavlis Tvis, ro- moswavlis dagegmili Sedegebi.
teqnologia. lis melic miiyvans da- saqmianoba.
saqmianoba. gegmil Sedegamde.
I. organizaciuli misalmeba, yuradRebis koncen usmens maswavle- sagnobrivi universaluri
momenti. aRricxva, tracia aucilebel bels, pasuxobs saswavlo moqmedebebi
230
2) miznebi: saqmi- gakve- saqmianobaze dasmul SekiTx- SeuZlia maTematikis SeuZlia maTematikuri
ani ganwyobis Se- TilisTvis vebs. garkveul sakiTxze davalebis moTxovnebis
qmna, gakveTilis mzadyofnis yuradRebis gamaxvi- Sesabamisad orientire-
mzadyofnisTvis Semowmeba. leba ba.
informireba
II. sakontrolo weriTi sakontrolo weris pasuxoben sargeblobs ra piTa- SeuZlia aucilebeli
weris Catareba sakon- masala ixileT rukis maswavleblis mier goras TeoremiT, formulebis gamoyene-
trolo danarTSi: dasmul samkuTxedebis gver- ba, algoriTmis mixed-
miznebi: samuSaos `Semajamebeli samu- SekiTxvebs da debisa da kuTxeebis viT muSaoba, maTema-
moswavlis sas- organizeba Sao #6~. xsnian davale- TanafardobiT, sinu- tikuri enis gamoyeneba
wavlo moqme- bebs sis, kosinusisa da weriTi samuSaoebis
debebis uzrun- tangensis ganmarte- Sesrulebisas.SeuZlia
velyofa. biT, xsnis mocemul samuSaos dagegmva.
amocanebs.
III.Sedegebis gakveTi-lis saSinao davaleba, usmens maswavleb- SeuZlia sagnobrivi SeuZlia situaciis
Sejameba, saSinao Sedegebis miTiTeba davalebis lis mier miwode- moqmedebebis prognozireba.
davalebis Sejameba, masalaze bul informaci- analogiebis SeuZlia Sefaseba,
gacnoba. saSinao dava- as, aucileblobis SemCneva. TviTSefaseba
miznebi: saqmiani lebis Sesa- SemTxvevaSi aZ-
ganwyobis Seqmna xeb saubari. levs SekiTxvebs.
231
I varianti
1) gamoTvale a) 5  20 ; b) 4  8  18 .
2) gamoTvale kubis zedapiris farTobi, Tu misi moculoba 27sm3-is tolia.
3) tolferda samkuTxedis fuZis sigrZe 12sm-is, ferdis sigrZe ki 10sm-is tolia. gamoTvale fuZesTan mdebare
kuTxis sinusi, kosinusi da tangensi.
3
4) marTkuTxa samkuTxedis hipotenuzis sigrZea 15 sm, xolo erT-erTi maxvili kuTxis tangensi -is tolia. gamoTvale
4
samkuTxedis farTobi?
5) tolferda trapeciis fuZeTa sigrZeebia 8 sm da 20 sm, xolo ferdis sigrZe _ 10sm. gamoTvale trapeciis farTobi.
II varianti
1) gamoTvale a) 3  27 ; b) 25  32  18 .
2) gamoTvale kubis zedapiris farTobi, Tu misi moculoba 125sm3-is tolia.
3) tolferda samkuTxedis fuZis sigrZe _ 16sm-s, ferdis sigrZe ki _ 10sm-s tolia. gamoTvale fuZesTan mdebare
kuTxis sinusi, kosinusi da tangensi.
4) marTkuTxa samkuTxedis hipotenuzis sigrZea 26sm, xolo erT-erTi maxvili kuTxis tangensi 5 -is tolia. gamoTvale
12
samkuTxedis farTobi?
5) tolferda trapeciis fuZeTa sigrZeebia 7 sm da 23 sm, ferdi – 10 sm. gamoTvale trapeciis farTobi.
232
1) gamoTvla a) gamosaxulebis mniSvneloba ____ 1 qula;
gamoTvla b) gamosaxulebis mniSvneloba ------ 1 qula;
sul - - - 2 qula.
2) gaigo kubis wibos sigrZe ---- 1 qula;

gamoTvala zedapiris farTobi ---- 1 qula;
sul - - - 2 qula.
3) naxazi da mocemuloba - - - -0,5 qula;

TiToeuli pasuxisaTvis - - - 0,5 qula;
sul - - - 2 qula.
4) naxazi da mocemuloba - - -0,5 qula;

kaTetebis erTi cvladiT gamosaxva ---0,5 qula;
kaTetebis sigrZeTa dadgena –0,5 qula.
pasuxi ----- 0,5 qula;
sul - - - -2 qula.
5) naxazi da mocemuloba - - -0,5 qula;

simaRlisagan CamokveTili didi fuZis monakveTis povna - - - 0,5 qula;
simaRlis povna - - -0,5 qula;
pasuxi - - -0,5 qula;
sul - - - -2 qula.
233
fasdeba Semdegi aradamakmay-li damakmay. kargi sanimuSo

aqtivobebi
davalebis gaazreba, ver iazrebs davale- nawilobriv aRi- aRiqvams amocanis kargad aRiqvams amoca-
monacemebisa da bas, ver axerxebs mona- qvams amocanis Sina- Sinaarss. gamij- nis Sinaarss. gamijnavs
saZiebeli cemebisa da saZiebeli arss. nawilobriv navs monacemebsa monacemebsa da saZiebel
sidideebis sidideebis organi- axerxebs monacemTa da saZiebel sidi- sidideebs. uproblemod
warmodgena (naxazi, zebas da warmodgenas, da saZiebel sidide- deebs. axerxebs axerxebs maT organi-
monacemebi da uWirs mocemulobis Ta organizebasa da maT organizebas zebas da warmodgenas.
saZiebeli Sesabamisi naxazis warmodgenas. da warmodgenas.
sidideebi). daxazva.
maTematikuri enis, ar icis piTagoras icis piTagoras ayalibebs mizans, adekvaturad ayalibebs
cnebebisa da Teore- Teorema, trigono- Teorema, trigono- wers maTematiku- mizans, gamarTulad wers
mebis floba (piTa- metriuli funqciebis metriuli funqci- ri terminebis maTematikuri
goras Teorema, ganmarteba, ver ebis ganmarteba, gamoyenebiT, terminebis gamoyenebiT,
marTkuTxa samkuT- axerxebs samkuT- nawilobriv axer- gansazRvravs da gansazRvravs da iyenebs
xedis maxvili kuT- xedebis elementebs xebs samkuTxedebis iyenebs saWiro re- saWiro resursebs. uSe-
xis trigonometri- Soris kavSirebis elementebs Soris sursebs, xsnis cdomod xsnis amocanebs.
uli funqciebi, danaxvas, ver xsnis kavSirebis danaxvas, amocanebs.
samkuTxedis amocanebs. xsnis amocanebs,
elementebs Soris Tumca uSvebs
damokidebuleba. Secdomebs.
kavSirebisa da ver adgens kavSirs nawilobriv adgens adgens kavSirebs adgens kavSirebs sam-
mimarTebebis samkuTxedis kavSirs da mimarTebebs kuTxedis elementebs
dadgena, analizis, elementebs Soris. ar samkuTxedis ele- samkuTxedis ele- Soris. aqvs analizisa da
sinTezisa da aqvs analizisa da mentebs Soris. nawi- mentebs Soris. sinTezis unari. SeuZlia
problemis sinTezis unari. lobriv aqvs iyenebs analizsa miRebuli Sedegis
gaazrebis unari. ganviTarebuli da sinTezs ganzogadeba, iyenebs
analizisa da problemis analizsa da sinTezs
sinTezis unari. gadaWrisas. problemis gadaWrisas.
234
Tavi 6
wrfiv gantolebaTa sistema
Tavis miznebi: me-6 TavSi mocemuli masalis Seswavlis Semdeg moswavlem unda SeZlos:
 orucnobiani wrfivi gantolebis magaliTebis moyvana;
 imis gansazRvra, aqvs Tu ara sistemas amonaxsni;
 orucnobiani wrfivi gantolebis grafikis ageba;
 mocemuli grafikiT wrfivi damokidebulebis amocnoba;
 orucnobiani ori gantolebis sistemis amoxsna sxvadasxva xerxiT;
 orucnobiani ori gantolebis sistemis gamoyeneba teqsturi amocanebis amoxsnisas;
 orucnobiani utolobis grafikuli da algebruli meTodebiT amoxsna;
 utolobis amonaxsnis Sualedis saxiT Cawera;
 Seswavlili masalis gamoyeneba sxvadasxva saxis amocanebis amosaxsnelad.
$6.1 wrfivi damokidebuleba da misi grafiki (2 sT.)

Tema: wrfivi funqcia da misi grafiki
mizani: 1) pirdapirproporciuli damokidebulebisa da misi grafikis gaxseneba;
2) wrfivi damokidebulebis gacnoba;
2) wrfivi damokidebulebis grafikis ageba;
3) logikuri azrovnebis, dakvirvebulobis, intuiciis, damoukideblad muSaobis unarebis ganviTareba.
TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi
 pirdapirproporciuli damokidebulebis dros cvladebis fardoba mudmivi sididea;
 pirdapirproporciulobis grafiki aris wrfe;
 y  kx pidapirproporciulobis grafikisagan y  kx  b wrfivi damokidebulebis grafiki (0;b) paraleluri
gadataniT miiReba;
 wrfivi damokidebulebis grafikis asagebad sakmarisia vipovoT ori wertili, romelis am grafiks ekuTvnis;
 rogori grafiki miiReba kerZo SemTxvevebSi ( k  0, b  0 , k  0, b  0 da k  0, b  0 );
 rogor aagon y  kx  b damokidebulebis grafiki martivad (moZebnon RerZebTan gadakveTis wertilebi).
235
yuradReba unda gamaxvildes sakvanZo sakiTxebze:
 ra aris pirdapirproporciuli damokidebuleba?
 ras warmoadgens wrfivi damokidebulebis grafiki?
 razea damokidebuli wrfivi damokidebulebis grafikisa da abscisaTa RerZis dadebiT mimarTulebasTan
Sedgenili kuTxis sidide?
 rogor miiReba y  kx  b damokidebulebis grafiki y  kx -is grafikisagan?
 y  k1 x  b1 damokidebulebisa da y  k2 x  b2 damokidebulebis grafikebi ra SemTxvevaSia paraleluri?
ra SemTxvevaSi emTxveva erTmaneTs? ra SemTxvevaSi kveTs erTmaneTs erT wertilSi?
 pirdapirproporciuli damokidebuleba;
 wrfivi damokidebulebis grafiki;
 y  kx damokidebulebis grafikisagan y  kx  b damokidebulebis grafikis miReba;
 y  k1 x  b1 damokidebulebisa da y  k2 x  b2 damokidebulebis grafikebis urTierTmdebareoba.
kompleqsuri davaleba 6.1 paragrafis #22 da 26 savarjiSoebi(Sesruldeba TemisaTvis gamoyofil meore gakveTilze)
1-li gakveTili
 rogor damokidebulebas hqvia sidideebs Soris pirdapirproporciuli damokidebuleba?
 ra saxiT SegviZlia warmovadginoT cvladebs Soris pirdapirproporciuli damokidebuleba? (cxriliT,
formuliT, grafikiT)
 ra formuliT Caiwereba sidideebs Soris pirdapirproporciuli damokidebuleba?
 ras warmoadgens y  kx damokidebulebaSi k ?
 ras warmoadgens pirdapirproporciuli damokidebulebis grafiki? (koordinatTa saTaveze gamaval wrfes an mis
236
nawils.)
 daasaxeleT pirdapirproporciulad damokidebuli sidideebis magaliTebi.
 ra aris sakmarisi pirdapirproporciuli damokidebulebis grafikis asagebad? (cvladebis Sesabamis mniSvne-
lobaTa ori wyvili.)
moswavleebi asaxeleben gakveTilis Temas, maswavlebelTan erTad ayalibeben mizansa da amocanebs.
aqtivobebi:
moswavles wrfiv damokidebulebaze abstraqtuli warmodgena rom ar Seeqmnas, amisaTvis misi Seswavla realuri
situaciis amsaxveli amocanis amoxsniT unda daiwyon.
axali masalis axsnas iwyeben saxelmZRvaneloSi mocemuli 1-li da me-2 magaliTebiT, vinaidan isini aRweren realur
situacias wrfivi damokidebulebis gamoyenebiT. maTi ganxilva gauadvilebs moswavles wrfivi damokidebulebis
cnebis aRqmas.
amis Semdeg xsnian me-3 magaliTs da adgenen y  kx  b damokidebulebis grafikis agebis algoriTms. akvirdebian
grafiksa da abscisaTa RerZs Soris kuTxis sididis k -ze damokidebulebas.
 ikvleven, rogor miiReba y  kx damokidebulebis grafikis gamoyenebiT y  kx  b damokidebulebis grafiki.
bolos ixilaven kerZo SemTxvevebs: 1) k  0, b  0; 2) k  0, b  0; 3) k  0, b  0.
muSaoben teqstis mixedviT.
wyvilebi damoukideblad asruleben #1 daalebas, romelSic mocemulia toli sakuTxo k da _k koeficientebis mqone,
rogorc y  kx saxis, ise y  kx  b saxis 4 damokidebuleba. davalebis Sesrulebis Semdeg pasuxoben kiTxvebs:
_ ra aqvT erTnairi y  3 x, y  3 x  2 damokidebulebis grafikebs?
_ ra eqnebaT erTnairi y  3 x  2, y  3 x  2 damokidebulebis grafikebs?
_ rogor miiReba y  3 x damokidebulebis grafikisagan y  3 x  2 funqciis grafiki?
_ ra SegiZliaT TqvaT y  3 x da y  3 x damokidebulebis grafikebis Sesaxeb?
_ sakoordinato RerZebs ra wertilebSi kveTs grafiki: a) y  3 x ; b) y  3 x  2 ; g) y  3 x ; d) y  3 x  2
_ gaakeTeT daskvna imis Sesaxeb, Tu ramdeni wertilia sakoordinato sibrtyeze sakmarisi imisaTvis, rom wrfivi
237
funqciis grafiki avagoT?
zepirad pasuxoben #3, #4 da #8 savarjiSoebis SekiTxvebs. xsnian #2, #5, sav.#11 savarjiSoebs.
me-6 etapi. damoukidebeli samuSao
damoukidebeli samuSao
I varianti: sav. #7; II varianti: savarjiSo #7-is SekiTxvebiT imuSaveben tolobebze:
a) y  0,8 x; b) y  0,8 x  2; g) y  0,8 x  2.

(miRebuli informaciis erTiani gaazreba da Sejameba, sakuTari damokidebulebis gamoxatva Seswavlili masalisadmi,
masalis Seswavlis mTeli procesis analizi)
_ ra iyo Cveni mizani?
_ morigeobiT dasviT kiTxvebi axlad Seswavlili Temis irgvliv da upasuxeT am kiTxvebs danarCenebma.
(informacia saSinao davalebis Sesaxeb. instruqtaJi misi Sesrulebis Sesaxeb) sav.#6, #9, #10, #27.
moswavles unda SeeZlos: wrfivi damokidebulebis magaliTebis moyvana, amocnoba;
 wrfivi damokidebulebis grafikis ageba;
 wrfivi damokidebulebis grafikis sakoordinato RerZebTan kveTis wertilebis koordinatebis dadgena;
 grafikebis augeblad daadginos wrfivi damokidebulebis grafikebis urTierTmdebareoba;
 y  kx damokidebulebis grafikisagan y  kx  b damokidebulebis grafikis miReba;
 miRebuli codnis amocanebis amosaxsnelad gamoyeneba.
me-2 gakveTili
gakveTilis Tema: wrfivi damokidebuleba da misi grafiki
gakveTilis tipi: SeZenili codnis ganmtkiceba
mizani: wrfivi damokidebulebisa da misi grafikis Sesaxeb SeZenili codnis ganmtkiceba. kompleqsuri davalebis Sesruleba.
 moswavles ecodineba, ra aris wrfivi damokidebulebis da SeZlebs misi magaliTebis moyvanas, amocnobas;
 moswavles ecodineba wrfivi damokidebulebis grafikis agebis algoriTmi da SeZlebs grafikis agebas;
238
 moswavle SeZlebs wrfivi damokidebulebis grafikis sakoordinato RerZebTan kveTis wertilebis koordinatebis
dadgenas;
 moswavle SeZlebs grafikebis augeblad daadginos wrfivi damokidebulebis grafikebis urTierTmdebareoba;
 moswavles ecodineba y  kx damokidebulebis grafikisagan y  kx  b damokidebulebis grafikis miRebis algoriTmi da
SeZlebs mis agebas;
 moswavles ecodineba, rogori grafiki miiReba kerZo SemTxvevebSi ( k  0, b  0 , k  0, b  0 da k  0, b  0 ) da SeZlebs am
codnis gamoyenebas agebuli grafikebis sizustis dasadgenad;
 moswavle SeZlebs wrfivi damokidebulebis grafikis gamoyenebas amocanebis amosaxsnlad.
ZiriTadi cnebebi: wrfivi damokidebulebis grafiki da misi ageba, wrfivi damokidebulebis garfikis saxe da Tvisebebi,
y  kx damokidebulebis grafikis paraleluri gadatana.

gakveTilis Catarebis etapebi davaleba moswavleebs, romelic miiyvans dagegmili Sedegebis
miRwevamde
1) organizaciuli etapi
2) gakveTilis Temisa da miznis gacnoba, motivacia
3) saSinao davalebis Semowmeba
4) winare codnis gaaqtiureba #16, #17.
5) SeZenili codnis ganmtkiceba #12, #14, #15, #23.
6) wyvilebSi samuSao (kompleqsuri davaleba) #22 da #26.
7) gameoreba #28
8) refleqsia upasuxe kiTxvebs:
1) romeli davalebis Sesrulebisas dauSvi Secdoma? ratom?
2) ra aris gakveTilze Seni muSaobis warmatebis
(warumateblobis) mizezi?
3) ra gzas xedav Sedegebis gasaumjobeseblad?
8) informacia saSinao davalebis Sesaxeb #13, #18, #19, #20, #21, #28.

sav.#21. miiReba 4 erTulis da 8 erTeulis sigrZis kaTetebis mqone marTkuTxa samkuTxedi, amitom misi farTobi iqneba 16.
sav.#22. S = 10 – 5t.
239
sav.#23. RerZebTan gadakveTis wertilebia (3;0) da (0;4). pasuxi: 5.
sav.#24. vTqvaT, saZiebeli wertilis abscisaa 5a, maSin ordinata iqneba 12a. amocanis pirobidan miviRebT:
25a 2  144a 2  169  a  1  x  5, y  12 , an x  5, y  12 . pasuxi: (5;12), (-5;-12).

sav.#25. mocemuli wertilebia (1;4) da (4;8), amitom maT Soris manZili iqneba 5 erTeuli, romelsac wertili 2,5 wm-Si gaivlis.
sav.#26. pasuxia g).
sav.# 27. pasuxi: 7 didi, 12 patara burTi.
sav.#28. pasuxi: 5dm  4dm  5dm.
$6.2 wrfivi orucnobiani gantoleba (2 sT.)

Tema: wrfivi orucnobiani gantoleba
mizani:
 wrfivi orucnobiani gantolebisa da misi amonaxsnis cnebebis gacnoba;
 wrfivi orucnobiani gantolebis grafikis gacnoba da misi ageba;
 miRebuli codnis praqtikaSi gamoyenebis unar-Cvevebis ganviTareba;
orucnobiani gantolebis amonaxsni aris ricxvTa wyvili.
orucnobiani gantolebis grafiki SeiZleba iyos sakoordinato sibrtyeze mdebare nebismieri wrfe.
 rogor gantolebas hqvia wrfivi orucnobiani?
 ra aris wrfivi orucnobiani gantolebis amonaxsni?
 ra Tvisebebi gaaCnia wrfiv o orucnobiani gantolebas?
masalis Seswavlis Semdeg unda SeeZlos:
 wrfivi orucnobiani gantolebis magaliTebis moyvana;
 imis gansazRvra _ aris Tu ara ricxvTa mocemuli wyvili mocemuli wrfivi orucnobiani gantolebis amonaxsni;
 wrfivi orucnobiani gantolebis grafikis ageba;
 wrfivi orucnobiani gantolebis Tvisebebis gamoyeneba amocanebis amosaxsnelad.
240
 wrfivi orucnobiani gantolebis cneba;
 wrfivi orucnobiani gantolebis amonaxsni;
 wrfivi orucnobiani gantolebis Tvisebebi;
 wrfivi orucnobiani gantolebis grafiki.
kompleqsuri davaleba 6.2 paragrafis #11 da 13 savarjiSoebi(Sesruldeba TemisaTvis gamoyofil meore gakveTilze)
pirveli gakveTili
 rogor gantolebas hqvia wrfivi?
 rogor avagoT wrfivi gantolebis grafiki?
 ras warmoadgens wrfivi gantolebis amonaxsni?
maswavlebeli urigebs samuSaos:

1) aageT y  x  2 damokidebulebis grafiki. grafikis mixedviT ipoveT:
a) cvladis is mniSvneloba, romlisTvisac x= -1;
b) -is is mniSvneloba, romlisTvisac y =-1;
g) CawereT grafikis sakoordinato RerZebTan kveTis wertilebis koordinatebi.
2) ras warmoadgens gantolebis fesvi?
3) ras niSnavs gantolebis amoxsna?
4) amoxseniT gantoleba:
a) 125 x  2500; b) 14 x  8  0;
g) 26 x  75  3; d) 2 x 2  50  0;
e) 3  2  x  5   2 x  6; v)
 a  5 a  5  a 2  25 .
241
maswavlebeli asaxelebs gakveTilis Temas, ayalibeben mizansa da amocanebs
aqtivobebi: axali masalis axsna sasurvelia saxelmZRvanelos teqstis mixedviT ganviTardes. moswavleebi iswavlian
orucnobiani gantolebis gansazRvrebas, Tvisebebs, magaliTebis dasaxelebas, SeZleben gansazRvron, aris Tu ara ricxvTa
mocemuli wyvili mocemuli gantolebis amonaxsni, iswavlian orucnobiani gantolebis grafikis agebis algoriTms da
SeZleben grafikis agebasa da orucnobiani gantolebis Tvisebebis gamoyenebas amocanis amosaxsnelad.
saxelmZRvanelodan xsnian #1 da #3 savarjiSoebs zepirad.
werilobiT xsnian (dafaze da rveulebSi) sav.#2, # 5, #7, #10, #11.
me-6etapi _ damoukidebeli samuSao
aTvisebis donis Semowmeba, daSvebuli Secdomebis gasworeba.
I varianti: sav. #9_ a), b); II varianti: sav.#9_g), d).
maswavlebels gamoaqvs pasuxebi. moswavleebi afiqsireben aRmoCenil Secdomebsa da xarvezebs, asworeben Secdomebs.
(miRebuli informaciis erTiani gaazreba da Sejameba, sakuTari damokidebulebis gamoxatva Seswavlili masalisadmi, masalis
Seswavlis mTeli procesis analizi)
_ morigeobiT dasviT kiTxvebi axlad Seswavlili Temis irgvliv da upasuxeT am kiTxvebs danarCenebma.
(informacia saSinao davalebis Sesaxeb. instruqtaJi misi Sesrulebis Sesaxeb) sav.#6, #8, #11, #15.
Sefaseba, Sefasebis kriteriumi/kriteriumebi: ( gaiTvaliswinon: TviTSefaseba, damoukidebeli samuSaos Sedegebi, gakveTilze
muSaobis Sefaseba.) maswavlebeli TviTSefasebis saSualebas aZlevs moswavleebs, Semdeg ki Seafaseben komentarebiT.
meToduri rekomendaciebi
sasurvelia, Temis Seswavla moxdes paragrafis teqstis Sesabamisad. wrfivi orcvladiani gantolebis cnebis Semotanisa da
Sesabamisi gantolebis amoxsnis Semdeg gaecnon wrfivi orucnobiani gantolebis grafiks da misi agebis wess. aagon 3 x  2 y  6
gantolebis grafiki. imsjelon wrfivi gantolebis grafikis RerZebTan gadakveTis wertilebis koordinatebze, grafikis
242
saxeze, wrfivi gantolebis kerZo SemTxvevebze (rodisaa grafiki sakoordinato meoTxedebis biseqtrisa, rogor Caiwereba
ordinatTa RerZis gantoleba da a. S.)
sav.#12. gamoiTvlis, rom a  7 da wers wrfis gantolebas: y  10  7 x, romlis grafiki sakoordinato RerZebs kveTs (0; 10) da
 10 
 ;0  wertilebSi.
 7 
sav.#13. gamosaTvlelia 1-li da me-2 meoTxedebis sakoordinato kuTxeebis biseqtrisebiTa da y  3 wrfis kveTiT miRebuli
tolferda marTkuTxa samkuTxedis farTobi. am farTobis gamoTvla sxvadasxva xerxiTaa SesaZlebeli:
3 6
1) ordinatTa RerZi hipotnuzis marTobia, amitom farTobi iqneba:  9;
2
3 2 
2
2) TiToeuli kaTetis sigrZea: 9  9  18  3 2. samkuTxedis farTobi tolia:  9. moswavleebi, ra Tqma unda, gansxvave-
2
buli gzebiT warmoadgenen amoxsnebs. klasTan erTad ganxiluli unda iqnes amoxsnis yvela SemoTavazebuli varianti.
sav.#14. wrfeebis agebis Semdeg (sizuste unda daicvan) moZebnian maTi kveTis wertilis koordinatebs. esaa ricxvTa wyvili:
(2;1). am wrfeebiTa da abscisaTa RerZiT Seqmnili samkuTxedis fuZis sigrZea 2,25_1,5=0,75, xolo masze daSvebuli simaRle _ 1,
0, 75 1
amitom samkuTxedis farTobi iqneba  0,375.
2
$6.3 wrfiv orucnobian gantolebaTa sistema da misi grafikuli amoxsna (2 sT)

meToduri komentarebi. orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemis cnebas moswavleebi pirvelad xvdebian, amitom parag-
rafis dasawyisSi jer ganvumartavT, rom sistemis amonaxsni ricxvTa is wyvilebia, romlebic erTdroulad am sistemaSi Semava-
li orive gantolebis amonaxsnebs warmoadgenen. ori gantolebis saerTo amonaxsnis cnebis Semotanis safuZvelze ukve
advilia gaiazros, ras niSnavs `gantolebaTa sistemis amoxsna”.
grafikuli meTodiT amoxsna saSualebas aZlevs moswavles, cxadad dainaxos sistemis amoxsnis SesaZlo SemTxvevaTa
geometriuli ilustracia da daadginos sistemis amonaxsnTa raodenoba. unda aRvniSnoT is faqti, rom grafikuli meTodiT
amoxsnisas yovelTvis ar miiReba zusti pasuxi. amis nimuSi moyvanilia saxelmZRvanelos 1-l magaliTSi.
axali masalis axsna gaTvaliswinebulia moswavleTa jgufebis mier kvleviTi xasiaTis samuSaos CatarebiT. muSaoba
saxelmZRvaneloSi mocemuli teqstis mixedviT mimdinareobs. axali masalis irgvliv saWiro masalis miwodebis Semdeg
243
maswavlebeli moswavleebs damoukidebeli kvleviTi xasiaTis samuSaos sTavazobs. muSaobis dros moswavleebs
saxelmZRvanelos gamoyenebac SeuZliaT. samuSaos Sesrulebis Semdeg moswavleebma unda Camoayalibon sistemis grafikuli
meTodiT amoxsnis algoriTmi (romelsac damoukideblad miagnes) da sistemis amonaxsnTa raodenobis dadgenis wesi
grafikebis urTierTmdebareobis mixedviT (formulirebiT ki maswavleblis daxmarebiT).
Tema: wrfiv orucnobian gantolebaTa sistema da misi grafikuli amoxsna ( 2 sT.)

mizani:
 orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemisa da misi amonaxsnis cnebebis Semotana;
 orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemis amonaxsnTa raodenobis dadgenis unar-Cvevebis Camoyalibeba (kvlevis
Catareba ori wrfivi gantolebis sistemis amonaxsnTa raodenobis dadgenaze);
 orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemis amoxsnis grafikuli meTodis gacnoba;
 maTematikis swavlisadmi moswavlis interesis gaRrmaveba;
 amocanis amoxsnisas moswavlis mier hipoTezis wamoyeneba, amocanis amoxsnis algoriTmis Sedgena-Camoyalibeba da mis
Sesrulebis kontroli;
 dialogSi monawileobis, saswavlo procesSi maswavlebelTan da TanajgufelebTan urTierToba-TanamSromlobis unar-
Cvevebis Camoy alibeba;
 swori maTematikuri metyvelebis, sakuTari azris gamarTulad da gasagebad Camoyalibebis, sxvisi azris mosmena-
gaziarebis unarebis ganviTareba.
 orucnobiani ori wrfivi gantolebis grafikis ageba;
 orucnobian wrfiv gantolebaTa grafikis analizi;
 orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemis amonaxsnebis raodenobis kvleva;
 orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemis amoxsnis grafikuli meTodis gamoyeneba;
244
 ras hqvia wrfivi orucnobiani ori gantolebis sistema?
 ras niSnavs àmovxsnaT orucnobiani ori gantolebis sistema~?
 ra aris wrfivi orcvladiani gantolebis sistemis amonaxsni?
 ramdeni amonaxsni SeiZleba hqondes wrfivi orucnobiani ori gantolebis sistemas?
masalis Seswavlis Semdeg unda SeeZlos:
 wrfivi orcvladiani gantolebis magaliTebis moyvana;
 imis gansazRvra _ aris Tu ara ricxvTa mocemuli wyvili mocemuli wrfivi orcvladiani gantolebis amonaxsni;
 wrfivi orcvladiani gantolebis grafikis ageba.
 ori wrfivi orucnobiani gantolebis sistemis cneba;
 ori wrfivi orucnobiani gantolebis sistemis amonaxsni;
 ori wrfivi orucnobiani gantolebis sistemis grafikuli amoxsna;
 ori wrfivi orucnobiani gantolebis sistemis amonaxsnTa raodenobis dadgena.
kompleqsuri davaleba 6.3 paragrafis #9 da #12 savarjiSoebi (Sesruldeba TemisaTvis gamoyofil meore gakveTilze)
pirveli gakveTili
 rogor gantolebas hqvia wrfivi?
 ras warmoadgens wrfivi gantolebis amonaxsni?
 rogor gamovsaxoT wrfiv orucnobian gantolebaSi monawile erTi cvladi meore cvladis saSualebiT?
raSi mdgomareobs wrfivi gantolebis amoxsnis algoriTmi?
zepiri angariSi, winare codnis gameoreba
1) mocemuli tolobidan gamosaxeT y cvladi x cvladis saSualebiT:
1 2
a) 5 x  y  4; b) 3 x  y  5; g) 0,1 y  x  17; pasuxebi: a) x  0,8  0, 2 y ; b) x  y  1 ; g) x  0,1 y  17; 2)
3 3
amoxseni gantoleba:
245
4 2
a) 5 x  2  4; b) 6 x  7  5; g) 0, 2  3 x  7; d) 21x  14  0. pasuxebi: a) 0,4; b)2; g) 2 ; d) .
15 3
 samuSaos yoveli fragmentis (#1, #2) dasrulebis Semdeg moswavleebi erTmaneTSi cvlian namuSevrebs. maswavlebels ek-
ranze gamoaqvs davalebebis pasuxebi. moswavleebi sworad amoxsnil davalebebs gverdze uweren `+” niSans, xolo arasworad
amoxsnils `_” niSans. yoveli swori pasuxi fasdeba 1 quliT (sul 8 qula).
 ramdeni amonaxsni SeiZleba hqondes wrfiv gantolebas?
saxelmZRvaneloSi mocemuli x  2 y  2, 2 x  y  1 gantolebebis grafikebis agebisa da maTi kveTis wertilis koordinatebis
Sesaxeb saubris Semdeg maswavlebeli acnobs orucnobiani ori gantolebis sistemas.
amis Semdeg daasaxeleben dRevandeli gakveTilis Temas, maswavlebelTan erTad Camoayalibeben samuSao gegmas:
1) moswavleTa danawileba samuSao jgufebad;
2) jgufebis xelmZRvanelebis arCeva;
3) davalebebis da funqciebis ganawileba (jgufis SigniT);
4) Sefasebis sqemis gacnoba;
5) samuSaos dawyeba;
6) momxseneblis gamosvla;
7) eqspertiza;
8) SemoqmedebiTi proeqti;
9) Sedegebis Sejameba;
10) saSinao davaleba.
maswavlebeli ganmartavs, Tu ras warmoadgens orucnobiani ori gantolebis sistemis amonaxsni, uxsnis, Tu ras aRniSnavs
figuruli frCxili sistemis CanawerSi. aswavlis Tu rogor Caiwereba sistemis amonaxsni.
imis Sesamowmeblad, Tu rogor gaiges moswavleebma axali masala, svams kiTxvebs:
4 x  3 y  7,
a) ricxvTa mocemuli wyvilebidan: (_1;1) da (1; _1), romelia  sistemis amonaxsni? (1; _1) romelia x cvladis
2 x  y  1.
mniSvneloba? y cvladis mniSvneloba?
 2 x  y  5  0,
b) ricxvTa mocemuli wyvilebidan: (_1; 3) da (3; _1), romelia  sistemis.
 x  y  2  0.
246
 y  2 x,
ekranze aCvenebs sistemas: 
 x  y  4.
_ ra weria? (ori gantoleba.)
_ rogori gantolebebi weria? (wrfivi orucnobiani.)
_ dRes unda SeviswavloT orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistema da misi grafikuli xerxiT amoxsna.
_ scadeT am sakiTxis Seswavla damoukideblad ise, rom miaRwioT umaRles Sedegs.
_ CaatareT kvleva da daadgineT, ras ewodeba orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistema, ra aris misi amonaxsni, rogor
amovxsnaT ori wrfivi gantolebis sistema grafikuli meTodiT. gamoikvlieT, ramdeni amonaxsni SeiZleba hqondes
orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemas.
jgufuri samuSao
I jgufi II jgufi
amoxseniT sistema: amoxseniT sistema: III jgufi
amoxseniT sistema:
 y  3  2x  y  4x  6
   y  2 x  3
 y 1  x 2 y  4  8 x 
3 y  6 x  9
TiToeul SemTxvevaSi akvirdebian grafikebis urTierTganlagebas.
sxvadasxva kvlevas jgufidan sxvadasxva momxsenebeli hyavs. romelsac gamoaqvs naxazi da masze moniSnuli sistemis amona-
xsni. ganmartavs, romeli grafiki sistemis romeli gantolebisaa da ra miiRes gantolebaTa sistemis amonaxsni. ra hqvia amox-
snis am xerxs. msjeloben amonaxsnTa raodenobaze.
I jgufis pasuxi: sistemas aqvs erTi amonaxsni. (4;5)
daskvna: Tu sistemaSi Semavali gantolebebis grafikebi ikveTebian, maSin gantolebaTa sistemas aqvs erTaderTi amonaxseni.
me-2 jgufis pasuxi: sistemas ara aqvs amonaxsni.
daskvna: Tu sistemaSi Semavali gantolebebis grafikebi paraleluria, maSin gantolebaTa sistemas ara aqvs amonaxsni.
me-3 jgufis pasuxi: sistemas aqvs uamravi amonaxsni.
daskvna: Tu sistemaSi Semavali gantolebebis grafikebi Tanxvdebian, maSin gantolebaTa sistemas aqvs uamravi amonaxsni.
247
ganmtkiceba (1)
1-li jgufi xsnis sav.#4-is b) sistemas. pasuxs amowmeben.
me-2 jgufi xsnis sav.#5-is b) sistemas. pasuxs amowmeben.
me-3 jgufi xsnis sav.#5-is g) sistemas. pasuxs amowmeben.
eqspertiza (ganmtkiceba (2))
_ gTavazobT gantolebaTa sistemis amoxsnebs, romlebSic daSvebulia Secdomebi.
Tqven unda gaukeToT èqspertiza~ (CaataroT kvleva) da aRmoaCinoT es Secdomebi.
TiToeul jgufs eZleva ùkve Sesrulebuli~ namuSevris qseroasli, romelsac èqspertiza~ unda Cautaron. unda ipovon
Secdoma, moniSnon wiTeli xaziT da gaasworon imave naxazze.
Secdoma #1 eqspertebis daskvna:
Secdomaa daSvebuli y   x  1
amoxseni gantolebaTa sistema:
gantolebis grafikis agebaSi.
y  x  3 y   x  1 gantolebis grafiki un-

amoxsna  y  x 1 da gagrZeldes y  x  3 gantole-
x y  x3 x y  x 1 bis grafikis gadakveTamde.
0 3 0 -1 gasworebuli naxazi unda iyos
-3 0 1 -2 aseTi:
y y
y  x3 y  x3
3 3
y  x 1
1 1
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 x
-1 -1
y  x 1
-2 -2
pasuxi: (-2; 1).

pasuxi: gantolebaTa sistemas amonaxsni ara aqvs.
248
y
gasworebul variantSi Cans grafikebis kveTis wertili, romlis koordinatebia (-2; 1).
moswavleebi jer amowmeben miRebul pasuxebs da Semdeg akeTeben daskvnebs.
4
Secdoma #2 amoxsna
 y  3x  1  0 x y  3x  1 x y  x3 y  x3
amoxseni gantolebaTa sistema:  2
y  x  3 0 1 0 3
1 4 1 4 1
pasuxi: (1;4). -3 -2 -1 0 1 2 x
eqspertebis daskvna: Secdoma daSvebulia
y  3 x  1 -2
y  3 x  1  0 gantolebis gardaqmnaSi.
y
aris: 5
x y  3x  1
0 1 4
2 2 y  x3
2
x y  3x  1 1
unda iyos:
0 -1 -3 -2 -1 0 1 2 x
2 5 -1
y  3x  1
agebulia y  3 x  1 -isgrafiki. unda iyos:

y  3 x  1  0 gantolebis grafiki
gadis ara (0;1) da (1; 4) wertilebze, aramed (0; -1) da (2;5) wertilebze. pasuxi: (2; 5).
gasworebul variantSi kveTis wertilis koordinatebia (2; 5).
249
Secdoma #3
eqspertebis daskvna: Secdomaa
amoxseni gantolebaTa sistema: daSvebuli cxrilSi - y cvladis
 y  3x  8 mniSvnelobis gamoTvlaSi. gamoTvlilia

1 3 1
 2 y  2 x  6 y -is da ara y -is
2 y
amoxsna mniSvnelobebi.
x y  8  3x 1 3 4
x 2 y  6 2 x 3
2 2
3 -1 4 0 2
2 3 y  12  3 x
1
y
0 1 2 4 x
-3 -2 -1
1 3 -1
3 y  6 x
2 2 -2
2
1 D
3 1
Sesabamisad, x  y  6 gantolebis
-3 -2 -1 0 1 2 3 2 2
-1
-2 grafiki gadis ara (4;0) da (2; 3) wertileb-
y  8  3x
ze, aramed (4; 0) da (3;3) wertilebze.
pasuxi: gantolebas amonaxsni ara aqvs.
pasuxi: (1,3;4)
gasworebul variantSi grafikebs kveTis wertili ar gaaCniaT.

maswavlebeli samive variantis swor pasuxebs aCvenebs ekranze. Sesabamisad, moswavleebi Seadareben pasuxebs da
Seafaseben (Secdomis aRmoCena _ 1 qula, Secdomis gasworeba _ 1 qula, sul 2 qula).
gakveTilis msvlelobis paralelurad maswavlebeli avsebs Sefasebis cxrils moswavleebTan erTad, gamWvirvaled.
250
me-6 Sedegebis Sejameba, refleqsia
_ ras hqvia orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistema?
_ ras niSnavs gantolebaTa sistemis amoxsna?
_ ras hqvia orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemis amonaxsni?
_ ramdeni amonaxsni SeiZleba hqondes orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemas?
_ orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemas amoxsnis romeli xerxi viswavleT?
_ CamoayalibeT orucnobiani wrfivi gantolebis sistemis grafikuli amoxsnis algoriTmi.
_ ra urTierTmdebareoba aqvs grafikebs maSin, rodesac sistemas aqvs: a)erTi; b) uamravi amonaxsni?
_ ra urTierTmdebareoba aqvs grafikebs maSin, rodesac sistemas ara aqvs amonaxsni? rogor gavarkvioT, aqvs Tu ara sistemas
amonaxsni?
_ axla Sefasebis droa. vnaxoT, vin ra Sefaseba daimsaxura.
_ yoCaR, bavSvebo! dRes Zalian kargad iSromeT.
(informacia saSinao davalebis Sesaxeb. instruqtaJi misi Sesrulebis Sesaxeb)
sav.#4 , #6, #7, #16. dainteresebulTaTvis #10 da #11.
Sefasebisas iTvaliswineben: TviTSefasebis, zepiri angariSis, kvleviTi xasiaTis samuSaos Sedegebs, jgufSi muSaobisa da
gakveTilze muSaobis Sedegebs.
maswavlebeli TviTSefasebis saSualebas aZlevs moswavleebs, Semdeg ki Seafaseben komentarebiT.
me-2 gakveTili
upasuxe kiTxvebs:
 ras niSnavs àmovxsnaT gantolebaTa sistema”?
 ras ewodeba` gantolebaTa sistemis amonaxsni”?
 gantolebaTa sistemis amoxsnis ra meTods icnobT?
 rogor xdeba gantolebaTa sistemis amoxsna grafikuli meTodiT?
 samarTliania Tu ara gamonaTqvami: `Tu sistemas erTaderTi amonaxsni aqvs, maSin mocemuli gantolebebis grafikebi erT
wertilSi ikveTeba”?
251
 ra urTierTmdebareoba aqvs gantolebaTa grafikebs, rodesac sistemas amonaxsni ara aqvs? CamoayalibeT Sebrunebuli de-
buleba.
 davuSvaT, sistemis gantolebebis erTsaxela cvladebis koefcientebi mopirdapire ricxvebia, riT daviwyoT wrfiv ganto-
lebaTa sistemis amoxsna?
1) daasaxele kuTxuri koeficienti:
x5
a) y  2,5 x  4; b) y  x  1, 4; g) y   x  5; d) y  .
3
2) daasaxele mocemuli gantolebebis grafikebis RerZebTan kveTis wertilebis kootdinatebi.
1 x5
a) y  3 x  4; b) y  x  6; g) y   x  5; d) y  .
2 3
3)qvemoT mocemuli gantolebebidan romeli ori gantolebiT SegviZlia sistemis Sedgena, romlis amonaxsnia (1;0) wyvili?
a) y  5 x  8; b) y  4 x  0; g) 2 x  3 y  2; d) 6x+5y=1.
me-3 etapi ganmtkiceba, codnis gaRrmaveba
 y  2x  3 2 x  y  9
aqtivobebi: xsnian sistemebs:  da 
 y  x 1 3 x  2 y  4
dafze erTi moswavle xsnis erT sistemas, meore _ meores.
amoxsnis Semdeg msjeloben, Tu rogor amoxsnes sistema. y
5
moswavle: _ sistemis TiToeuli gantolebis grafikia wrfe, romlis asagebad
sakmarisia misi ori wertilis koordinatebis codna. y cvladi gamovsaxe x 4
cvladis saSualebiT da Sevadgine cxrili. vipove TiToeuli wrfis ori wertili 3
da avage grafikebi. y  2 x  3 gantolebis grafiki gavavle mis kuTvnil (0; _3) da (2; 2
1) wertilebze, xolo y  x  1 gantolebis grafiki mis kuTvnil (0; 1) da (2; 3) 1
wertilebze. miviRe aseTi naxazi (uTiTebs dafaze Sesrulebul naxazze).
y  x 1
x
meore moswavlec analogiurad moqmedebs. -3 -2 -1 0 1 2 4
-1
x y  2x  3 x y  x 1 -2
y  2x  3
0 -3 0 1 -3
2 1 2 3
252
erTi sistemis amoxsna fasdeba 3 quliT (TiTo qula TiTo grafikze da erTic kveTis wertilis koordinatebis dadgenaze).
me-4 etapi wyvilebSi samuSao

wyvilebSi asruleben kompleqsur davalebas sav. #9, #12.
me-5 etapi saSinao davaleba
sav.#2, #9, #17. dainteresebulT #13.
sav.#7. pasuxi: a) aqvs erTi amonaxsni; d) ara aqvs amonaxsni.
sav.#9. pasuxi: a) ara aqvs amonaxsni; b) ara aqvs amonaxsni; g) aqvs uamravi amonaxsni; d) aqvs erTaderTi amonaxsni.
sav.#10. a) sistemis meore gantoleba pirvelisagan 2-ze gamravlebiT miiReba, amitom a) a = 2,5; b = 2; b) a = 2,5, b  2.
sav.#11. grafikebi ikveTeba (2;2) wertilSi. am koordinatebis mocemul funqciaSi CasmiT miviRebT, rom k = 1.
sav.#12.grafikebis kveTis wertilis koordinatebia: x  3, y  4, amitom am wertilidan: a)abscisaTa RerZamde manZi-
lia 4; b) ordinatTa RerZamde manZilia 3; g) piTagoras Teoremis gamoyenebiT vadgenT, rom saTavemde manZilia 5.
sav.#14. y  3 x  3; b) y   x  3 .
sav.#17. vTqvaT, sworad amoxsna x algebruli da y geometriuli sakiTxi. amocanis pirobiis mixedviT vwerT gantolebas:
4 x  5 y  80. pasuxi: (15;4),(10;8), (5;12).
$6.4 gantolebaTa sistemis amoxsna Casmis xerxiT (3 sT.)

meToduri komentarebi. moswavleebi iwyeben gantolebaTa sistemis algebruli meTodiT amoxsnis Seswavlas.
moswavleebs yuradReba unda gavumaxviloT imaze, rom erTi cvladis meoriT gamosaxvis dros ara aqvs arsebiTi mniSvneloba
imas, Tu romel cvlads gamovsaxavT meore cvladiT. mTavaria, moiZebnos amoxsnis advili xerxi.
unda SevniSnoT, rom gantolebaTa sistemis Casmis xerxiT amoxsna araa yovelTvis optimaluri, magram martivi algoriTmi
aqvs da ar moiTxovs moswavlisagan maTematikur intuiciasa da originalur midgomas. mTavaria, algoriTmi icodes kargad.
sistema amoxsnilad mas Semdeg CaiTvleba, roca misi amonaxsnebis gantolebebSi (oriveSi) Casmis Semdeg gantolebebi swor
tolobebad gadaiqceva.
253
Tema: gantolebaTa sistemis amoxsna Casmis xerxiT
miznebi:
1) wrfivi orucnobiani ori gantolebis sistemis Casmis xerxiT amoxsnis algoriTmis gacnoba da misi gamoyeneba
praqtikaSi;
2) algebruli gardaqmnebis Sesrulebis unaris Camoyalibeba;
3) algoriTmuli kulturis, Sedegis ganzogadebis unarebis ganviTareba;
4) sagnisadmi interesis gaRviveba.
TemasTan dakavSirebuli sakvanZo SekiTxvebi: .
 ras ewodeba orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistema?
 raSi mdgomareobs orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemis Casmis xerxiT amoxsnis algoriTmi?
kompleqsuri davaleba masala mocemulia TemisTvis gamoyofil mesame gakveTilis scenarSi (sruldeba jgufebSi)
pirveli gakveTili
sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi davalebebi
 ras ewodeba orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistema? 1) amoxseniT saxelmZRvanelodan #4-is b)savarjiSo.
 raSi mdgomareobs orucnobiani ori wrfivi gantolebis 2) TiToeul gantolebaSi y cvladi gamosaxe x cvladis
sistemis amoxsnis grafikuli meTodi? saSualebiT
 gantolebaTa grafikebis rogori ganlagebisas aqvs oruc-
nobiani ori wrfivi gantolebis sistemas erTi amonaxsni?
uamravi amonaxsni? rodis ara aqvs amonaxsni? 3) TiToeul gantolebaSi x cvladi gamosaxe y cvladis
 SeiZleba Tu ara, orucnobiani ori wrfivi gantolebis saSualebiT
sistemas hqondes mxolod ori amonaxsni?

maswavlebeli asaxelebs gakveTilis Temas, moswavleebi maswavlebelTan erTad ayalibeben mizansa da amocanebs.
aqtivoba. axal masalas maswavlebeli gadascems saxelmZRvanelos teqstis mixedviT. moswavleebs davalebad aZlevs 1-li
254
magaliTis wakiTxvas da gaanalizebas, Tu rogor unda amoixsnas sistema Casmis xerxiT. Semdeg nimuSad amoxsnian teqstSi
mocemul me-2 magaliTs da amis safuZvelze Camoayalibeben sistemis Casmis xerxiT amoxsnis algoriTms. sistemis amoxsnis
gaformebis nimuSad maswavlebelma gamoiyenos am magaliTebis amoxsnis gaformeba.
 saxelmZRvanelodan teqstis 1-li da me-2 magaliTebi;
 muSaoben teqstis mixedviT.
 adgenen orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemis Casmis xerxiT amoxsnis algoriTms.
moswavleebi muSaoben dafaze da rveulebSi. #1 savarjiSoSi erTi ucnobi gamosaxulia meore ucnobis saSualebiT da
gamzadebulia meore gantolebaSi Casasmelad, meore savarjiSoSi TviTon unda gamosaxon erTi ucnobi meore ucnobiT da
gaakeTon daskvna, rom umjobesia 1-is toli koeficientis mqone ucnobi gamoisaxos meore ucnobiT.
me-3 savarjiSoSi cota garTulebuli situaciaa, aq aRaraa 1-is toli koeficientis mqone ucnobi , amitom unda daakvir-
dnen da moxerxebulad SearCion erT-erTi ucnobis meore ucnobiT advilad gamosaxvis gza. me-5 savarjiSos amoxsnisas
iswavlian, rom jer unda gardaqmnan gantolebebi da ise amoxsnan sistema.
saxelmZRvanelodan xsnian sav.#1, #2 (a, b)#3, #5, #7.
me-6. damoukidebeli samuSao aTvisebis donis Semowmeba, daSvebuli Secdomebis gasworeba.
 TviTregulacia. SesaZleblobebis mobilizeba;
maswavlebels gamoaqvs pasuxebi. moswavleebi afiqsireben naSromSi aRmoCenil Secdomebsa da xarvezebs, asworeben
Secdomebs.
damoukidebeli samuSao
I varianti: II varianti
savarjiSo #2-g) savarjiSo #2-d)
me-7 etapi _ refleqsia, Sedegebis Sejameba
(miRebuli informaciis erTiani gaazreba da Sejameba, sakuTari damokidebuleba Seswavlil masalisadmi da misi xelaxali
problematizacia, masalis Seswavlis mTeli procesis analizi.)
_ morigeobiT dasviT kiTxvebi imaze, rac iciT orcvladiani ori gantolebis sistemis Sesaxeb. erTi dasvams SekiTxvas,
sxva pasuxobs. aseTi midgoma sainteresos xdis gakveTils, aiZulebs moswavles, gamoimuSaos TviTSefasebis unari,
255
uCndeba maTematikis swavlis survili.
(informacia saSinao davalebis Sesaxeb. instruqcia misi Sesrulebis Sesaxeb)
sav.#4, #6, #14.
Sefasebisas: ( gaiTvaliswinon: TviTSefaseba, damoukidebeli samuSaos Sedegebi , gakveTilze muSaobis Sefaseba)
maswavlebeli TviTSefasebis saSualebas aZlevs moswavleebs, Semdeg ki Seafaseben komentarebiT.
meore gakveTili
miznebi:
1) wrfivi orucnobiani ori gantolebis sistemis Casmis xerxiT amoxsnis algoriTmis gamoyeneba praqtikaSi;
2) algebruli gardaqmnebis Sesrulebis unaris Camoyalibeba;
3) komunikabelobis, maswavleblisa da Tanaklaselebis mosmenis, maTTan muSaobis unarebis ganviTareba;
4) algoriTmis mixedviT muSaobis, informaciis gadamuSavebis, Sedegebis Sefasebisa da kontrolis unaris ganviTareba.
saWiro masala: dafa, carci, furceli damoukidebeli samuSaosTvis, refleqsiis furceli.
 sav.#8(a,g) (iwyeben martivi sistemebiT)
 amoxseniT sistema: (maswavlebeli ekranze gamoitans sistemebs)
 x  y  15;  x  y  14; 2 x  y  2;
a)  b)  g)  . xsnian #8 savarjiSos danarCen magaliTebs da#9 savarjiSos.
 x  4 y  65. 6 x  4 y  6.  x  y  2.
me-3 etapi _damoukidebeli samuSao
 x  2 y  7,  x  y  10,  x  2 y  7,  x  y  10,
I. varianti: a)  b)  II varianti: a)  b) 
3 y  5 x  4. 2 x  3 y  5. 3 y  5 x  4. 2 x  3 y  5.
aTvisebis donis Semowmeba, daSvebuli Secdomebis gasworeba.
256
me-4 etapi _ refleqsia, Sedegebis Sejameba
(miRebuli informaciis erTiani gaazreba da Sejameba, sakuTari damokidebulebis gamoxatva Seswavlili masalisadmi da
misi xelaxali problematizacia, masalis Seswavlis mTeli procesis analizi)
dafaze damagrebul A4 furcelze moswavleebi gasvlisas xataven kvadrats _yvelafris kargad gagebis SemTxvevaSi, wres_
TiTqmis yvelafris gagebisas da samkuTxeds _ problemis arsebobis SemTxvevaSi. amiT maswavlbeli iRebs saTanado
informacias, Temis aTvisebis Sesaxeb.
monawileoben refleqsiaSi, zepirad afaseben gakveTilis msvlelobas, sakuTar saqmianobas.
(informacia saSinao davalebis Sesaxeb. instruqcia misi Sesrulebis Sesaxeb)
sav.#10, #11, #12.
Sefasebis kriteriumi/kriteriumebi: ( gaiTvaliswinon: TviTSefaseba, damoukidebeli samuSaos Sedegebi , gakveTilze
muSaobis Sefaseba). maswavlebeli TviTSefasebis saSualebas aZlevs moswavleebs, Semdeg ki Seafaseben komentarebiT.
me-3 gakveTili
gakveTilis struqturuli ruka
mizani:
 ori wrfivi orucnobiani gantolebis sistemis Casmis xerxiT amoxsnis unar-Cvevebis gaumjobeseba;
 ori wrfivi orucnobiani gantolebis sistemis amoxsnis xerxebis(grafikuli, Casmis) Sesaxeb miRebuli codnis
gaRrmaveba.
gakveTilis msvlelobis davalebebi, romelTa Sesrulebac moswavles dagegmil Sedegamde miiyvans
etapebi
I etapi _ organizaciuli etapi aRricxva, saswavlo samuSao atmosferos Seqmna.
I I etapi _ saSinao davalebis _ rogor gaarTviT Tavi saSinao davalebis Sesrulebas? _ gagiWirdaT rame?
Semowmeba amouxsneli davalebis SemTxvevaSi dafaze xsnian msgavs davalebas.
III etapi _ gakveTilis Temisa maswavlebeli da moswavleebi erTad isaxaven gakveTilis mizansa da amocanebs.
da miznis gacnoba
257
1)ramdeni amonaxsni hqonda sistemebs, romlebic saSinao davalebad gqondaT
mocemuli?
a1 x  b1 y  c1 ,
2) rodis aqvs sistemas: 
a2 x  b2 y  c2.
IV etapi _ winare codnis erTaderTi amonaxsni? b) uamravi amonaxsni? g) rodis ara aqvs amonaxsni??
gaaqtiureba
3) sistemis amoxsnis ramdeni xerxi viciT?
) 4) sistemis amoxsnis ra xerxebi viciT?
5) CamoayalibeT sistemis amoxsnis Casmis xerxis algoriTmi.
V etapi _ kompleqsur maswavlebeli: _dRes jgufur mecadineobas Semdegi gegmis mixedviT CavatarebT
davalebaze muSaoba (ekranze gamoaqvs gegma):
(jgufuri mecadineoba) 1) jgufi Casmis xerxiT xsnis im sistemas, romelic mas ergeba;
codnis kontroli da 2) jgufi grafikuli meTodiT xsnis imave sistemas;
koreqcia 3) iTvliT orive gantolebis x -is koeficientebis fardobas;
4) iTvliT orive gantolebis y -is Tavisufali wevrebis koeficientebis fardobas;
6) miRebul fardobebs adarebT erTmaneTs;
7) CamoayalibeT niSani, romlis mixedviTac SegiZliaT gansazRvroT, rom:
 sistemas ara aqvs amonaxsni;
 sistemas aqvs uamravi amonaxsni;
 sistemas aqvs mxolod erTi amonaxsni.
muSaoben jgufebi. asruleben kvleviT samuSaos. kidev erTxel daakvirdebian, ra-
zea damokidebuli sistemis amonaxsnTa raodenoba. warmoadgenen namuSevrebs, Camo-
ayalibeben daskvnebs, adareben analizurad miRebul pasuxs grafikul suraTs.
maswavlebeli: _ ramdeni amoxsna aqvs mocemul sistemas?
erTi sistemis amonaxsnTa raodenobaze pasuxs scems erTi jgufi.
3 x  3 y  2, 3 x  3 y  1, 3 x  y  5,
a)  b)  g) 
6 x  6 y  4. 6 x  6 y  3.  x  2 y  1.
 2 x  3 y  3,
_ aris Tu ara  sistemis amonaxsni ricxvTa wyvili:
 x  4 y  7.
a)(-1;3)? b)(1;-3)? g)(1;3)?
ricxvTa erT wyvilze pasuxobs erTi jgufi.
258
samuSaos masala:
3x  2 y  9, 2 x  4 y  4,
I jgufi: a)  b) 
3x  2 y  5. 3x  2 y  10.
4 x  2 y  8, 4 y  2 x  12,
II jgufi: a)  b) 
2 x  y  4. 7 x  5 y  14.
 x  3 y  10, 5x  2 y  16,
III jgufi: a)  b) 
2 x  y  4. 10 x  3 y  27.
saxelmZRvanelodan xsnian #13 savarjiSos.
VI etapi _ refleqsia afasebenklasisa da calkeuli moswavleebis muSaobas.
maswavlebeli sTavazobs cxrilSi (romelic winaswar aqvs gamzadebuli) TiToeulma
cxrilSi moniSnos gamonaTqvami, romelic metad eTanadeba miseul Sefasebas.
 yvelaferi gavige, SemiZlia sxvas davexmaro;
 yvelaferi gavige;
 SemiZlia, magram daxmareba mWirdeba;
 veraferi gavige.
refleqsia adekvatur suraTs iZleva miRwevisa Tu warumeteblobis Sesaxeb,
maswavlebels saSualebas aZlevs akontrolos situacia. moswavles aCvevs
komunikabelobasa da Tavisi azris gamoxatvas, argumentirebas.
VII etapi _ informacia saSinao sav.#9, #15.
davalebis Sesaxeb

sav.#1. a)(5; 3); b) (1; -1); g) (4; 3); d) (0,25; 1). sav.#6. a)(6; 4); b) (8; 6); g) (8; 9); d) (4; 4).
sav.#9. a)  ; b) (1; 3); g) (0; 2); d) (2; 1); e) (5;4); v)  ; z) (14; 2,5); T(15,2; 18,8).
 b b 
sav.#13. a)  a  b; b  ; b)  2a 
;  a  ; g) 1, 25a  0, 25b; 0, 25a  0, 25b  ; d) 1; 0  .
 3 3 
sav.#14. a) 120; b) 67 ; g) 60. 15 48
sav.#15. wiTeli feris simravle aRvniSnoT X-iT. naxazis mixedviT gvaqvs:
2
n( X )  n( A)  n( D )  n( A  B )  48  15  ( n( A)  n( B )  n( A  B ))  33  2  31. pasuxi: 31.
259
$6.5 gantolebaTa sistemis amoxsna Sekrebis xerxiT (3 sT.)
Tema: gantolebaTa sistemis amoxsna Sekrebis xerxiT ( 2sT.)
mizani: 1) wrfivi orucnobiani gantolebaTa sistemis Sekrebis xerxiT amoxsnis unar-Cvevebis gamomuSaveba da misi
gamoyeneba praqtikaSi;
2) amoxsnisas racionaluri gzis moZebnis unaris ganviTareba.
mosalodneli Sedegebi: moswavle SeZlebs ori wrfivi orcvladiani gantolebis sistemis amoxsnas Sekrebis xerxiT da mis
gamoyenebas.
 erTsaxela ucnobebis koeficientebis gatolebiT da gabaTilebiT sistema erTucnobian gantolebaze daiyvaneba.
 raSi mdgomareobs gantolebaTa sistemis Sekrebis xerxiT amoxsnis algoriTmi?
 rogor gavatoloT gantolebaTa erTsaxela ucnobebis koeficientebi?
kompleqsuri davaleba sruldeba TemisTvis gamoyofil mesame gakveTilze. samuSao mocemulia mesame gakveTilis scenarSi.
pirveli gakveTili
1-li etapi _ organizaciuli etapi, saSinao davalebis Semowmeba
misalmeba, aRricxva, samuSao garemosa da ganwyobis Seqmna, saSinao davalebis Semowmeba
maswavlebels vTavazobT, gakveTilis msvlelobisas winare codnis gaaqtiurebis mizniT gamoiyenos kiTxvebi:
_ ra viswavleT wina gakveTilze?
_ sad SegxvedriaT sityva `sistema”? (ganaTlebis sistema, sazom erTeulTa saerTaSoriso metruli sistema _ fizikaSi,
adamianis sisxlis mimoqcevis sistema _ biologiaSi, elementTa perioduli sistema _ qimiaSi da a. S. )
_ ras ewodeba ori wrfivi orucnobiani gantolebis sistema?
_ gantolebis ra Tvisebebs vicnobT?
_ ras ewodeba ori wrfivi orucnobiani gantolebis sistemis amonaxsni?
_ ori wrfivi orucnobiani gantolebis sistemis amoxsnis ra xerxebs icnobT?
_ CamoayalibeT ori wrfivi orucnobiani gantolebis sistemis Casmis xerxiT amoxsnis algoriTmi;
_ ramdeni amoxsna SeiZleba hqondes ori wrfivi orucnobiani gantolebis sistemas?
frontaluri (zepiri) gamokiTxva:
1) _ ras ewodeba ori wrfivi orcvladiani gantolebis sistemis amonaxsni?
2) _ ras niSnavs gantolebaTa sistemis amoxsna?
260
3) orcvladiani ori wrfivi gantolebis sistemis amoxsnis ra xerxebi viciT?
4) rogor amovxsnaT sistema grafikulad?
5) gavixsenoT sistemis Casmis xerxiT amoxsnis algoriTmi.
6) mocemuli tolobidan y cvladi gamosaxeT x cvladis saSualebiT: 3 x  y  8, 2 x  3 y  9, 9 y  19. 2 x  y  6
7) gantolebis amonaxsnebia ricxvTa wyvilebi: (...;0); (3;…); (4;…). ipove wyvilebSi gamotovebuli ricxvebi
(pasuxi: (3;0);(3;0);(4;2).
8) romel wertilSi gadaikveTeba wrfeebi: a) x  y  5 da y  2 ? b) 3 x  2 y  10 da y  x ?
pasuxi: a) (7; 2) b) (2; 2)
2 x  3 y  2,
9) aris Tu ara  sistemis amonaxsni ricxvTa wyvili (2; -2)? pasuxi: ara.
 x  y  0.
10) rogor amovxsnaT sistema Casmis xerxiT?
 x  y  10,
11) amoxseniT sistema (zepirad) Casmis xerxiT:  pasuxi: (7;3)
 x  y  4.
12) ipoveT: usj(12; 18); usj(24; 36); usj(25; 60).
CamoayalibeT ori ricxvis umciresi saerTo jeradis povnis wesi.
me-3 etapi _ gakveTilis Temis gacnoba
maswavlebeli amcnobs moswavleebs imis Sesaxeb, rom dRes unda Seiswavlon orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemis
amoxsnis k idev erTi xerxi _ Sekrebis xerxi.
samizne cnebebi da aqtivobebi: teqstis 1-li da me-2 magaliTebis ganxilvis
masTan dakavSirebuli axali masalis asaxsnelad saxelmZRvanelos Semdeg orucnobiani ori wrfivi gantolebis
mkvidri warmodgenebi teqstis 1-li da me-2 magaliTebi gamoiyeneba. sistemis Sekrebis xerxiT amoxsnis algoriTmis
Camoyalibeba.
ganmtkicebis mizniT gakveTilze imuSaveben saxelmZRvaneloSi mocemul davalebebze: #1 _ ( a, g); #2 _ ( a, g), #3 _ (a, g),
#4 _ (a, g); #5- (a, g).
(miRebuli informaciis erTiani gaazreba da Sejameba, sakuTari damokidebuleba Seswavlili masalisadmi da misi xelaxali
problematizacia, masalis Seswavlis mTeli procesis analizi)
261
(informacia saSinao davalebis Sesaxeb. instruqcia Sesrulebis Sesaxeb) sav.#1 _5 _ rac ar amouxsniaT.
maswavlebeli TviTSefasebis saSualebas aZlevs moswavleebs, afasebs TviTon, moswavleebTan erTad.
me-2 gakveTili
resursebi: baraTebi damoukidebeli samuSaosTvis, kompiuteri, ekrani, multimediuri proeqtori, internetze wvdoma.
Tema: gantolebaTa sistemis amoxsna Sekrebis xerxiT
mizani:
 orucnobian wrfiv gantolebaTa sistemis Sekrebis xerxiT amoxsnis Sesaxeb miRebuli codnis ganmtkiceba;
 sayrdeni codnis gaaqtiureba sistemis amoxsnisas da moqmedebaTa xerxebis gaazrebulad SerCevisas;
 orucnobian wrfiv gantolebaTa sistemis amoxsnis xerxebis Sesaxeb miRebuli codnis gameoreba;
 logikuri azrovnebis ganviTareba;
 sagnisadmi interesis gaRviveba;
 miRebuli codnis sistemaSi moyvanisa da gamoyenebis, amoxsnis optimaluri variantis SerCevis unaris
ganviTareba.
moswavlem unda icodes, rom gantolebis sistemis amoxsnis Casmisa da Sekrebis xerxebi, orive tolZalovania da
romliTac eadvileba amoxsna, is xerxi gamoiyenon.
maswavlebeli: _ ras niSnavs àmovxsnaT orucnobian gantolebaTa sistema~?
_ gantolebaTa sistemis amoxsnis ra xerxebs vicnobT?
_ rogor amovxsnaT sistema geometriulad?
_ rogor amovxsnaT sistema Casmis xerxiT?
_ ramdeni amonaxsni SeiZleba hqondes orucnobian ori gantolebis sistemas?
_ ra urTierTmdebareoba ukavia sistemis gantolebaTa grafikebs maSin, rodesac sistemas:
a) ara aqvs amonaxsni?
b) aqvs mxolod erTi amonaxsni?
g) aqvs uamravi amonaxsni?
262
3x  5 y  7,

10 x  5 y  20.
2) amoxseniT sistema (zepirad):

sistemis amoxsnis Semdeg maswavlebeli sTavazobs moswavleebs Camoayalibon sistemis Sekrebis xerxiT amoxsnis
algoriTmi
saxelmZRvanelodan xsnian sav#6(a, g), #7(a,g), #8(a,g,e), #13 (a)
muSaoben gasameorebel masalaze: saxelmZRvanelodan sav.#14.
damoukidebeli samuSao (wyvilebSi)
sistemis amoxsnamde daadgineT amonaxsnTa raodenoba da Semdeg Sekrebis xerxiT amoxseniT sistema:
I varianti:
3x  2 y  9, 4 x  2 y  6,  x  2 y  6,
a)  b)  g) 
3x  2 y  5. 2 x  y  3. 2 x  y  3.
II varianti:
5x  3 y  2, 6 x  4 y  6, 2 x  3 y  4,
a)  b)  g) 
5x  3 y  2. 3x  2 y  4. 5 x  6 y  7.
moswavleebi msjeloben amonaxsnTa raodenobaze, Sesabamisad, grafikebis urTierTmdebareobaze. winaswar daa-
fiqsireben TavianT varauds da Semdeg xsnian sistemebs. amis Semdeg maswavlebels ekranze gamoaqvs pasuxebi:
I varianti:
a) sistemas ara aqvs amonaxsni;
b) sistemas aqvs uamravi amonaxsni;
g) sistemas aqvs erTaderTi amonaxsni (0;-3).
II varianti:
a) sistemas aqvs uamravi amonaxsni;
b) sistemas ara aqvs amonaxsni;
g) sistemas aqvs erTaderTi amonaxsni (-1;7).
moswavleebi ekranze gamotanil pasuxebs adareben TavianT pasuxebs.
saSinao davaleba
sav.#6, #7, #8,#14; dainteresebulT: sav. #13.
263
me-3 gakveTili
1) orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemis amoxsnis xerxebis Sesaxeb miRebuli codnis gaRrmaveba;
2) orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemis amoxsnis xerxebis optimalurad SerCevisa da mizanmimarTulad gamoyenebis
miRweva;
3) logikuri azrovnebis, Sedarebis, daskvnis gamotanisa da logikurad Camoyalibebis unarebis ganviTareba;
TviTSemowmebis unaris ganviTareba.
I etapi. organizaciuli momenti, saSinao davalebis Semowmeba
II etapi. gakveTilis Temisa da miznis gacnoba
III etapi. winare codnis gaaqtiureba, SeZenili codnis ganmtkiceba.
maswavlebeli: _ wina or gakveTilze SeviswavleT gantolebaTa sistemis amoxsna Sekrebis xerxiT. dRes vagrZelebT muSaobas
orucnobian gantolebaTa sistemis Sesaxeb miRebuli codnis gaRrmavebaze da momavali gakveTilisTvis mosamzadebel
masalaze. amovxsniT SedarebiT ufro rTul sistemebs, vidre aqamde amogvixsnia.
upirvelesad gavixsenoT, rac viciT sistemisa da misi amoxsnis Sesaxeb.
_ ras ewodeba orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemis amonaxsni? (orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemis
amonaxsni ewodeba ucnobTa im mniSvnelobaTa wyvils, romelic sistemis TiToeul gantolebas swor tolobad gadaaqcevs.)
_ ras niSnavs sistemis amoxsna?( vipovoT misi yvela amonaxsni an vaCvenoT, rom sistemas amonaxsni ar gaaCnia.)
_ daasaxeleT gantolebis sami amonaxsni: a) ab  24 ; b) y  3 x  4 .
_ gadis Tu ara A(2; 3) wertilze qvemoT mocemuli funqciis grafiki?
a) y  2 x ; b) x  3 y  11 ; g) x  2 y  9 ; d) y  5 x  7
_zemoT mocemul gantolebaTa amonaxsnTa wyvilebSi TiTo ricxvi waSlilia.
aRadgineT es ricxvebi:
y
x  2y  8
(0; …); b) (10; …); g) (…; _4); d) (…; 4). 2x  y  1
_ sistemis amoxsnis ramdeni xerxi iciT?(3)
_ daasaxeleT es xerxebi.
 y  7 x  2, A
_ mocemuli gvaqvs sistema: 
 y  kx  m. B
k -s da m -is ra mniSvnelobisaTvis:
a) aqvs sistemas erTaderTi amonaxsni? x
b) ar aqvs sistemas amonaxsni? 0,5 x  0, 5 y  1
g) aqvs sistemas uamravi amonaxsni?
264
_ gamoTvale A da B wertilebis koordinatebi naxazis mixedviT.
_ rogor moviqceT, roca gantolebebSi romelime ucnobebis koeficientebi mopirdapire ricxvebia? (amoxsnas pirdapir gan-
tolebaTa wevr-wevrad SekrebiT viwyebT.)
_ rogor moviqceT, roca gantolebebSi romelime ucnobebis koeficientebi araa mopirdapire ricxvebi? (erT-erT gantolebas
wevr-wevrad gavamravlebT Cven mier SerCeul iseT mamravlze, rom gantolebebSi erT-erTi ucnobis koeficientebi
mopirdapire ricxvebi aRmoCndes. Semdeg gantolebaTa marcxena da marjvena nawilebs wevr-wevrad SevkrebT da vxsniT
miRebul erT ucnobian gantolebas. Sesabamisad, vipoviT meore ucnobis mniSvnelobasac.)
_ Sekrebis xerxi yovelTvis saukeTeso saSualebaa sistemis amosaxsnelad? (ara. Sekrebis xerxi yovelTvis saukeTeso araa. im
SemTxvevaSi, rodesac erTi gantolebidan romelime ucnobis meore ucnobiT gamosaxva martivia, gamoiyeneba Casmis xerxi)
saxelmZRvanelodan xsnian #9- a), g), e),z), i) da #10 a), d) savarjiSoebs. dafasTan SeiZleba erTdroulad imuSaos orma
moswavlem, danarCenebma _ rveulebSi. paraleluradyuradRebas aqceven dafasTan momuSaveebs. akontroleben rogorc dafaze
momuSaveebs, ise sakuTar Tavs (TviTkontroli).
_ axla damoukideblad amoxseniT sistemebi variantebad.
III. damoukidebeli samuSao (kompleqsur davalebaze muSaoba)
I varianti
20 x  3 y  3, 7 x  2 y  1,
amoxseni sistema: a)  b)  pasuxi: a) (0;_1); b) (3; _10).
5 x  2 y  2. 17 x  6 y  9.
II varianti:
2 x  5 y  25, 2 x  y  13,
amoxseni sistema: a)  b)  pasuxi: a) (0; 5); b) (-2; 9).
4 x  3 y  15. 5 x  3 y  37.
damoukidebeli samuSaos Sefasebis sqema:
miiRo swori pasuxi _ 2 qula.
1 qula _ ver miiRo swori pasuxi, magram:
 sworad daiyvana erTi cvladis koeficientebi mopirdapire ricxvebamde da Semdeg dauSva Secdoma;
sworad gamosaxa erTi cvladi meore cvladiT da Semdeg dauSva Secdoma.
gasameorebel masalaze moSaoba saxelmZRvanelodan xsnian #16 savarjiSos.
refleqsia. iyeneben ferad baraTebs Semdegi ganwyobisTvis:
mwvane baraTi
 CemTvis gakveTili saintereso da sasargeblo iyo;
 kargad vimuSave;
 yvelaferi gavige;
 Tavs sakmaod komfortulad vgrZnobdi.
265
yviTeli baraTi
 CemTvis gakveTili saintereso da garkveulwilad sasargeblo iyo;
 viRebdi monawileobas gakveTilze muSaobaSi, magram yvelaferi kargad ver gavige;
 vfiqrob, SevZleb saSinao davalebis Sesrulebas.
wiTeli baraTi
 gakveTilidan Zalian cota sargebeli miviRe;
 maincdamainc kargad ar mesmis, razea laparaki;
 veraferi gavige;
 albaT, davalebas ver Sevasruleb.
Sedegebis Sejameba Sesrulebuli muSaobis analizi, Sefaseba.
saSinao davaleba sav.#9-11 (rac ar amouxsniaT), #15.
sav.#2. a)(10; 5); b) (5;2); g) (3;-2); d) (20;10).

sav.#3. a)(-2; -3); b) (-5;1); g) (0,2;0,4); d) (1;-1).
sav.#9. a)(8; -6); b) (7;5); (-7;-5). (7;-5);(-7;5). g) (3;2); (-3;2); (-3;-2); (3;-2);
 a b 
sav.#10. a) ab  1,  0; 1 ; b) a  b,  b; a  b  ; g) a 2  b 2 , 1; 0  ; d) a 2  b 2 ,  ; .
 ab ab
266
Semajamebeli samuSao # 7
I varianti
1) mocemulia wrfivi damokidebulebebi: y  2 x, y  2 x  1, y  2 x  3.
a) rogoria am damokidebulebaTa grafikebis urTierTganlageba?
b) ipove TiToeuli grafikis ordinatTa RerZTan gadakveTis wertilis kooerdinatebi.
2) ipove k-s mniSvneloba, Tu cnobilia, rom wertli koordinatebiT (4; -13) ekuTvnis y=kx +7 damokidebulebis
grafiks.
3x  2 y  12,
3) amoxseni grafikuli xerxiT gantolebaTa sistema: 
4 x  3 y  1.
4) amoxseni gantolebaTa sistema:
 x  y  18,  2 x  y  17,
a) Casmis xerxiT:  b) Sekrebis xerxiT: 
2 x  3 y  21.  x  2 y  26.
1 5
 x  y  1,5,
5) amoxseni sistema: 

 5  2  6.
 x y
267
II varianti
1. mocemulia wrfivi damokidebulebebi: y  3 x, y  3 x  11, y  3 x  3.
a) rogoria am damokidebulebaTa grafikebis urTierTganlageba?
b) ipove TiToeuli grafikis abscisaTa RerZTan gadakveTis wertilis kooerdinatebi.
2. ipove k-s mniSvneloba Tu cnobilia, rom wertli koordinatebiT (-3; 10) ekuTvnis y=kx +7 damokidebulebis
grafiks.
3x  2 y  1,
3. amoxseni grafikuli xerxiT gantolebaTa sistema: 
4 x  3 y  7.
 x  y  7, 2 x  y  7,
4. amoxseni gantolebaTa sistema: a) Casmis xerxiT:  b) Sekrebis xerxiT: 
2 x  3 y  1.  x  2 y  4.
1 5
   2,
5. amoxseni sistema:  x y
 5  2  4, 6.
 x y
268
I variantis Sefasebis sqema
1) a) pasuxi (paralelurebia) ---- 0,5 qula;
b) TiToeuli pasuxisTvis-----0,5 qula;
sul 2 qula.
2) Casva koordinatebi -------- 1 qula;

ipova k-s mniSvneloba (-5)----1 qula;
sul 2 qula.
3) aago orive gantolebis grafiki ------ 0,5+0,5=1 qula;

ipova gadakveTis wertilis koordinarebi (-2;3)----- 1 qula;
sul 2 qula.
4) amoxsna a) (x=15, y =3) ---1qula; amoxsna b) (x=12, y =7) ---1 qula;

sul 2 qula.
5) sistema daiyvana erT ucnobze --- 1 qula;

pasuxi (1; 2)------------- 1 qula;
sul 2 qula.
269
$6.6 amocanebis amoxsna gantolebaTa sistemis gamoyenebiT (4 sT.)
miznebi:
 sistemis gamoyenebiT amocanebis amoxsnis unaris ganviTareba;
 amocanis pirobis gaanalizebisa da amoxsnis gzis Ziebis unaris ganviTareba;
 amocanis pirobisa da saWiroebis mixedviT moqmedebis gansazRvris Cvevebis Camoyalibeba.
 teqsturi amocanebis amoxsnisas wrfiv orcvladian gantolebaTa sistemis, rogorc realuri situaciis maTematikuri
modelis gamoyeneba;
 SeZenili codnis praqtikul saqmianobaSi gamoyeneba.
meToduri komentari. moswavle, iswavlis ra mza sistemebis amoxsnas, unda daiwyos amocanebis amoxsna sistemebis SedgeniT.
rogorc praqtika aCvenebs, amocanis sistemis SedgeniT amoxsna ufro advilia, vidre erTi gantolebis SedgeniT. ori cvladis
Semotana, umravles SemTxvevaSi, amartivebs amocanis pirobis mixedviT sidideebs Soris damokidebulebis gamosaxvas.
amaSi dasarwmuneblad sakmarisia SevadaroT erTmaneTs qvemoT mocemuli amocanis amoxsnebi erTi ucnobisa da ori ucnobis
SemotaniT.
amocana: or qvevrSi erTad 150 l Rvinoa. Tu erTi qvevridan meoreSi 50 litr Rvinos gadavasxamT, qvevrebSi Rvinis
raodenoba gaTanabrdeba. ramdeni litri Rvinoa TiToeul qvevrSi?
sasurvelia, erTi amocanis sxvadasxva gziT amoxsna. moswavle damoukideblad irCevs amoxsnis misTvis sasurvel gzas.
teqsturi amocanebis amosaxsnelad ori wrfivi orucnobiani gantolebis sistemis gamoyenebiT xdeba im analogiuri sqemiT,
ra sqemiTac ixsneba amocanebi erTucnobiani gantolebebiT. gansakuTrebuli yuradReba unda mieqces miRebuli Sedegis
amocanis pirobasTan Sesabamisobis Semowmebas.
am paragrafis masala daanaxebs moswavles, rom arsebobs bevri realuri situacia, romelTa maTematikuri modelebia ori
wrfivi orcvladiani gantolebis sistemebi.
mosalodneli Sedegebi: moswavle iswavlis teqsturi amocanebis amoxsnisas ori wrfivi orucnobiani gantolebis sistemis,
rogorc realuri situaciis modelis, gamoyenebas.
kompleqsuri davaleba Sesruldeba TemisTvis gamoyofil bolo gakveTilze. unda amoxsnan me-6 Tavis Tavfurcelze mocemuli
1 1 1
 x  y  18 ,

aba, scade! amocana amoixseneba nawilebze msjelobiT. amocanis Sesabamis sistemas aqvs saxe:  . pasuxi: levani 9
1  1  1 .
 x y 6
wuTSi; magda 18 wuTSi.
270
 x  y  18,
#7. amocanis pirobis Sesabamisi gantolebTa sistemaa  , sadac x -iT 8 m-iani, xolo y -iT 12 m-iani milebis
8 x  12 y  160.
raodenobaa aRniSnuli. pasuxi: 14 da 4.
16 x  2 y  26
#12. vTqvaT, unda SeWamos x ulufa xorci da y ulufa puri. amocanis pirobis Sesabamisi sistemaa  , romlis
11x  y  17, 5
amonaxsnia x = 1,5, y =1. pasuxi: xorci 1,5 ulufa, puri 1 ulufa.
sav.#15. vTqvaT, kateris sakuTari siCqarea x km/sT, xolo dinebis _y km/sT. aRniSvnebis gamoyenebiTa da amocanis pirobis
 40 20 1
x y  x y
3 ,
4

mixedviT vwerT sistemas:  sistemis amoxsnis gasamartiveblad SemovitanoT aRniSvnebi: x  y  a, x  y  b.
 20  40 1
3 .
 x  y x y 2
 40 20 1
 a  b  3 4 , 160b  80a  13ab,  x  y  20,
aRniSvnebis gamoyenebiT sistema miiRebs saxes:   sadac a  20, b  16. e.i. 
 20  40  3 1 . 40b  80a  7 ab.  x  y  16.
 a b 2
saidanac viRebT, rom x  18, y  2. pasuxi: kateris sakuTari siCqarea 18 km/sT, xolo dinebis _2 km/sT.
( x  5)( y  10)  xy
#16. amocanis pirobis Sesabamisi sistemaa:  , sadac x muSebis, xolo y dReebis raodenobaa (xy saWiro samuSao
 ( x  4)( y  2)  xy
dReebis raodenobas udris). pasuxi: 8 muSa, 6dRe.
 x 2  y 2  169, ( x  y ) 2  289,
#17. vTqvaT, kaTetebis sigrZeebia xsm da ysm. maSin amocanis pirobis Sesabamisi sistemaa:   .
 xy  60. ( x  y )  49.
2
pasuxi: 5 sm da 12 sm.
271
$6.7 wrfivi utoloba (3 sT.)
mizani:
 wrfivi utolobis Tvisebebis gacnoba;
 ricxviTi Sualedebis, maTi wakiTxvisa da Caweris wesebis gacnoba;
 ricxviTi Sualedebis gamosaxva ricxviT wrfeze.
Tema: wrfivi utoloba
 wrfivi utolobis amoxsna;
 utolobis Tvisebebis gamoyeneba amocanebis amosaxsnelad;
 ricxviTi Sualedebis Cawera da wakiTxva;
 ricxviTi Sualedebis gamosaxva ricxviT wrfeze.
 algoriTmis mixedviT muSaoba, maTematikuri metyveleba Sesabamisi terminebis gamoyenebiT.
 ras warmoadgens wrfivi utoloba?
 ra aris wrfivi utolobis amonaxsni?
 rogor Caiwereba wrfivi utolobis amonaxsni?
 rogor gamoisaxeba ricxviT wrfeze wrfivi utolobis amonaxsni?
 raSi mdgomareobs wrfivi utolobis Tvisebebi?
 raSi viyenebT wrfiv utolobas?
 raSi mdgomareobs utolobis amonaxsnis simravluri Caweris wesi?
Temis farglebSi dasamuSavebeli sakiTxvebi:
 wrfivi utolobis amonaxsnis cnebis Semotana;
 kavSiri ricxviT utolobasa da mis geometriul interpretacias Soris;
 wrfivi utolobis amoxsnis algoriTmis gacnoba utolobis Tvisebebze daydnobiT;
 algoriTmis mixedviT muSaobis, maTematikuri metyvelebisa da logikuri azrovnebis ganviTareba;
 utolobis pasuxis simravluri Caweris wesi.
kompleqsuri davaleba mocemulia mesame gakveTilis scenarSi
272
pirveli gakveTili
 ra iciT utolobis Sesaxeb?
 rogor utolobas hqvia mkacri?
 rogor utolobas hqvia aramkacri?
 rogor waikiTxavT utolobas:
1)2 x  8  14; 2)25 m  6  17;
3)3a  a  10; 4)3 y  12 y  14.
III. gakveTilis Temis dasaxeleba
moswavleebi asaxeleben gakveTilis Temas, maswavlebelTan erTad ayalibeben mizansa da amocanebs.
maswavlebeli: _ dRevandeli Cveni gakveTilis Temaa wrfivi utoloba”. utolobebs aqamdec icnobdiT, xsnidiT kidec. araa es
Tema TqvenTvis ucxo. dRes ufro seriozulad mivudgebiT am sakiTxis Seswavlas. gaviRrmavebT mis Sesaxeb codnas, vnaxavT,
rogor gamoiyeneba utoloba praqtikaSi.
xsnian teqstSi mocemul amocanas, asruleben Sesabamis sqematur naxazs, romlis yoveli detali moswavlem Rrmad unda
gaiazros. amocanasTan dakavSirebuli utolobis amoxsnisas gamoiyeneben termins: ùtolobis amonaxsni~.
utolobis amoxsnas martivi magaliTebiT iwyeben. magaliTad, x  4  0, y  14  0, 6 x  12, 5 y  15.
yoveli utolobis amoxsnisas moswavleebi ganmartaven, ra svla gaakeTes, rogor amoxsnes utoloba.
imisaTvis, rom amoxsnaT utoloba unda vicodeT, unda vicodeT, ras warmoadgens misi amonaxsni da ra wesebi unda gamoviye-
noT misi amoxsnisas.
moswavlem, romelmac 1-li utoloba amoxsna, pasuxi miiRo x  4. maswavlebeli sTxovs sityvierad Camoayalibos utolobis
pasuxi da daasaxelos utolobis ramdenime amonaxsni. Semdeg usaxelebs 2 ricxvs, romelic am utolobis amonaxsni araa. moi-
smens moswavlis pasuxs da sTxovs ganmartos, ras ewodeba utolobis amonaxsni. Tu am moswavlem termini ver ganmarta, dasmul
SekiTxvas sxva gascems pasuxs. danarCeni sami utolobac unda amoxsnan. TiToeuli mopasuxe daasaxelebs ramdenime ricxvs,
romlebic ekuTvnis amonaxsnTa simravles da ramdenime iseTs, romlebic ar ekuTvnis amonaxsnTa simravles.
cnebis ùtolobis amonaxsni~ gaazrebis Semdeg, 40  5t  15 utolobis amoxsnis paralelurad, iwyeben msjelobas utolobis
Tvisebebis Sesaxeb. xsnian martiv magaliTebs (ekranze aqvs gamotanili):
cnobilia, rom x  y , CawereT `  ~-is nacvlad utolobis niSani ise, rom swori utoloba miiRoT:
a) 6 x  6 y ; b) 10 x  10 y ; g) x  8  y  8 ; d) x  14  14  y .
273
maswavlebeli: _ ras niSnavs ùtolobis amoxsna~? (utolobis amoxsna niSnavs _ vipovoT yvela misi amonaxsni an vaCvenoT, rom
amonaxsni ara aqvs.)
sawyis etapze utoloba unda amoixsnas detaluri sizustiT. magaliTad, teqstis magaliTis a) da b) utolobebis amoxsnisas
yoveli nabiji unda iqnes ganmartebuli.
7
a) 2 x  5 x 
utolobis amosaxsnelad, pirvel rigSi, wiladisagan `gavTavisufldeT~. amas utolobis orive nawilis 2-ze ga-
2
mravlebiT SevZlebT. gamravlebas vasrulebT dadebiT ricxvze, amitom utolobis niSani igive rCeba. 4 x  10 x  7.
miRebuli utolobaSi utolobis niSnis marcxniv davajgufoT ucnobis Semcveli wevrebi, marjvniv _ Tavisufali wevrebi:
4 x  10 x  7.
SevaerToT msgavsi wevrebi: 6 x  7.
utolobis orive nawili gavyoT ucnobis koeficientze:
6 x : (6)  7 : (6),
7
x .
6
utolobis orive nawili gavyaviT uaryofiT ricxvze, amitom utolobis niSani misi sapirispiro niSniT SevcvaleT.
nabij-nabij ganmartaven svlebs b) utolobis amoxsnis drosac. ayalibeben utolobis Tvisebebs.
saxelmZRvanelodan xsnian #1-s, #18-is a), b), g), d) savarjiSoebs.
moswavle xvdeba, rom erTcvladiani utolobis amoxsnis algoriTmi gantolebis amoxsnis algoriTmis msgavsia da amitom ar
uWirs am Temis aTviseba. aq sirTules maSin awydebian, rodesac tolfas utolobaze gadadian utolobis orive nawilis uar-
yofiT ricxvze gayofisas. amitom amaze unda gamaxvildes yuradReba.
mawavlebeli: _ CamoayalibeT utolobis amoxsnis algoriTmi.
erToblivi ZalebiT Camoayalibeben utolobis amoxsnis algoriTms (ar gauWirdebaT, radgan gantolebis amoxsnis algo-
riTmi ician da utolobas msgavsi algoriTmiT xsnian):
1) gavxsnaT frCxilebi da SevaerToT msgavsi wevrebi.
2) davajgufoT ucnobiani wevrebi utolobis marcxena nawilSi, Tavisufali wevrebi _ marjvena nawilSi(erTi nawilidan
meoreSi gadatanisas wevrebs niSans vucvliT).
3) SevaerToT msgavsi wevrebi.
4) utolobis orive nawili gavyoT ucnobis koeficientze, Tu is aranulovania.
5) amonaxsnTa simravle gamovsaxoT sakoordinato wrfeze.
_ vis SeuZlia ricxviT wrfeze daStrixviT gvaCvenos teqstis magaliTis
7 7
a) utolobis pasuxi? aCveneben: a) x   . 
6 6
274
7
_ ekuTvnis Tu ara ricxvi  amonaxsnTa simravles? (ara). rom ekuTvnodes, maSin am sqemas rogor daxazavdi, isev ase, Tu rai-
6
me gansxvavebiT?
_ xSirad utolobis pasuxs simravluri saxiT weren. SemoRebulia aRniSvnebi, romlebic utolobis pasuxis simravluri saxiT
7  7 7
Caweras gagviadvilebs. magaliTad, x   -s simravluri saxiT ase CavwerT:  ;   , rac  -ze naklebi ricxvebis
6  6 6
simravles aRniSnavs da ase ikiTxeba: `minus usasrulobidan minus Svid meeqvsedamde~.
aswavlis wertilebis moniSvnisas `mikuTvnebisa~ da àrmikuTvnebis~ wesebs. swavloben saxelmZRvanelos 78-e gverdze
warmodgenil cxrils da xsnian sav.#3-is utolobebs saxelmZRvanelodan da Sualedebis daStrixvis Semdeg intervalebis
saxiT weren pasuxebs.
V. ganmtkiceba
xsnian #14 da #17 savarjiSoebs.
VI. damoukidebeli samuSao sav. #15
VII. refleqsia
(miRebuli informaciis erTiani gaazreba da Sejameba, sakuTari damokidebuleba Seswavlili masalisadmi da misi xelaxali
problematizacia, masalis Seswavlis mTeli procesis analizi)
VIII. saSinao davaleba: sav. #2, #9, #13, #16.
me-2 gakveTilze ZiriTadad ricxviT utolobasa da mis geometriul interpretacias Soris kavSirze muSaoben. klasSi xsnian:
#4, #6, #8, #10 savarjiSoebs.
saSinao davaleba: sav.#5, #7, #26, #27.
me-3 gakveTilze muSaoben kompleqsur davalebaze: xsnian: sav.#11, #19 da tests.
275
testi
( testi momzadebulia kompeleqsuri davalebisTvis)
1) sakoordinato wrfeze gamosaxeT da Sualedis saxiT CawereT:

a) x  2,5 ; b) x  4, 7; g) x  2; d) x  3.
e) 0  x  2; v) 2  x  2; z) 4  x  2; T) 0  x  4.
2) warmodgenili sqemebidan romeli gamosaxavs sworad  3; 2 Sualeds? (ekranze aCvenebs)
-3
a)
2 -3
b)
2 -3 g) 2 -3 d) 2
3) sakoordinato wrfeze SearCie Sualedi, romelzec gamosaxulia:

a) x  5; b) x  5; g) x  5; d) x  5.
#1 5 5 #2 5 5
#3 #4
kompleqsuri davalebis Sefasebis sqema
sav.# 11_ swori pasuxis SerCevisaTvis _ 1 qula
sav. #19_ dawera Sesabamisi utoloba _ 1 qula
amoxsna utoloba da dawera pasuxi – 1 qula
sul 2 qula.
testis Sefasebis sqema
davaleba #1 _ sworad gamosaxa Sualedi sakoordinato wrfeze _ 1 qula;
sworad Cawera Sualedis saxiT _ 1 qula;
sul _ 2 qula.
davaleba #2 _ sworad SearCia sqema _ 1 qula.
sul 1 qula.
davaleba #3 _ TiToeul swor pasuxze _ 1 qula;
sul 4 qula.
276
maswavlebeli: _ ra saerTos da ganmasxvavebels xedavT utolobisa da gantolebis amoxsnebs Soris? (utoloba iseve,
rogorc gantoleba, gardaqmnebis saSualebiT martiv saxeze unda daviyvanoT. erT-erTi mTavari gansxvaveba imaSi
mdgomareobs, rom gantolebis yvela amonaxsnis Semowmeba SegviZlia, utolobisa _ ara.)
Sedegebis Sejamebisas moswavleebi Sefasdebian aqtiurobis, pasuxebis adekvaturobis, TviTorganizebis mixedviT.
saSinao davaleba: #12, #25, #28 savarjiSoebs.

sav.#8.a)  4;   ; b)  5; 0, 5 ; g)  x  2 y  4 .
sav.#11 _ d). sav.#12 _ g).
sav.#13.10. sav.#14.3.
sav.#18.a)  ; 10  . m)  3, 5;   .
sav.#19. 750  30n  60n  n  25.
sav.20. a  1 ;
sav.#21. SeiZleba,magaliTad 0 x  1.
sav.#22. SeiZleba, magaliTad 0 x  1.
sav.23. SeuZlebelia.
sav.#24. a) 1  2 uaryofiTia, amitom utolobis niSani Sebrundeba. pasuxi: x < -1. b) 24  5 uaryofiTia, amitom utolobis
niSani Sebrundeba. pasuxi: x  0 ;
sav.#26. MN monakveTis sigrZe diagonalze naklebia an toli, es ukanaskneli ki naklebia naxevarperimetrze.
sav. #27.    <900, radgan   450 ,   450 .
277
$6.8 ricxviTi Sualedebis gaerTianeba da TanakveTa (2 sT.)
Tema: wrfivi utoloba
ricxviTi Sualedebis gaerTianebisa da TanakveTis TvalsaCinod warmosadgenad ricxviT wrfes viyenebT.
 SeiZleba Tu ara ricxviTi Sualedebis gaerTianeba a) iyos mTeli ricxviTi wrfe? ar iyos Sualedi?
a)  ra SemTxvevaSia ori Sualedis TanakveTa carieli?
b)
1) ricxviTi Sualedebis gaerTianebisa da TenakveTis moZebna;
2) ricxviT Sualedebis Sesaxeb SeZenili codnis gaRrmaveba;
3) ricxviTi Sualedebis gaerTianebisa da TanakveTis ricxviT wrfeze warmodgena;
4) ricxviTi Sualedebis Sesaxeb SeZenili codnis gamoyeneba erTucnobiani wrfivi utolobis amosaxsnelad.
kompleqsuri davaleba sruldeba meore gakveTilze. sav. #9, #15.
pirveli gakveTili
 ras ewodeba ricxviTi simravle?
 ras ewodeba ricxviTi Sualedi?
 ra hqvia utolobas, romeli Cawerilia niSniT: `>” an `<~?
 ra hqvia utolobas, romeli Cawerilia niSniT: `  ” an `  ~?
 daasaxeleT mTeli ricxvebi, romlebic mocemul Sualeds ekuTvnis: a)  6;1 ; b)  2; 3 ; g)  0;7 ; d)  3;3 .
 sakoordinato wrfeze gamosaxeT ricxviTi simravle, romelic akmayofilebs pirobas:
a) x  4; b) x  30; g) x  11; d) x  7.
 amoxseniT saxelmZRvanelodan sav. #1.
 CawereT da sakoordinato wrfeze moniSneT:
a) monakveTi 2-dan 5-mde;
b) intervali 2-dan 5-mde;
g) naxevarintervali 2-dan 5-mde, 5-is CaTvliT;
278
d) naxevarintervali 2-dan 5-mde, 2-is CaTvliT;
 ekuTvnis Tu ara  9;  6 Sualeds ricxvi: a) _10? b) _9? g) -6? d)_7?
 2) CawereT ricxviTi Sualedebi da utolobebi sqematuri naxazis mixedviT:
a)
-3 5
b)
-4 2
pasuxi: a)  3;5 ; _3 ≤ x ≤ 5; b) (_4; 2) ; _4< x <2; g) [2;+ ∞); x2; d)  ;6 ; x6.
etapi warmoadgens axali masalis asaxsnelad mzadebas (masala ekranze gamoaqvs maswavlebels).
1) qvemoT mocemulTagan romelia x  3 da 4  x  2 simravleebis saerTo nawili?
a) (- 4 ; 2); b) (-4; 2,2); g) (-4; 2]; d) [3; 2,2).
2) SearCie simravle, romlis elementebi Semdegi simraleebidan erTs mainc ekuTvn:
x  2 da 7  x  7 .
a)  7;    ; b)  7;7  g)  2;7  ; d)  7;   
3) mcdaria Tu WeSmariti qvemoT mocemuli gamonaTqvami?
a) simravles, romelic Sedgeba A da B simravleTagan erT-erTis elementebisgan mainc, ewodeba am
simravleTa gaerTianeba;
b) simravles, romelic Sedgeba A da B simravleTagan erT-erTis elementebisgan mainc, ewodeba am
simravleTa TanakveTa;
g) simravleTa TanakveTas ase aRniSnaven: AB ;
d) utolobis niSnisagan damoukideblad Sualedis Casawerad gamoiyeneba mrgvali frCxilebi.
_ vin gaixsenebs, ras warmoadgens ori simravlis gaerTianeba? TanakveTa?
_ vin mixvda, ra iqneba Cveni dRevandeli gakveTilis Tema?
_ dRes unda viswavloT ricxviTi Sualedebis gaerTianeba da TanakveTa.
279
aqtivobebi: (masala ekranze gamoaqvs maswavlebels)
1) qvemoT mocemulTagan romelia x  3 da 4  x  2 simravleebis saerTo nawili?
a) (- 4 ; 2); b) (-4; 2,2); g) (-4; 2]; d) [3; 2,2).
2) SearCie simravle, romlis elementebic ekuTvnian erTs mainc Semdegi simravelebidan: x >-2 da -7< x <7.
a)  7;    ; b)  7;7  g)  2;7  ; d)  7;   
3) mcdaria Tu WeSmariti qvemoT mocemuli gamonaTqvami?
a) simravles, romelic Sedgeba A da B simravleebidan erT-erTis elementebisgan mainc, ewodeba am simravleTa
gaerTianeba;
b) simravles, romelic Sedgeba A da B simravleebidan erT-erTis elementebisgan mainc, ewodeba am simravleTa
TanakveTa;
g) simravleTa TanakveTas ase aRniSnaven: AB ;
d) utolobis niSnisagan damoukideblad Sualedis Casawerad gamoiyeneba mrgvali frCxilebi.
_ vin gaixsenebs, ras warmoadgens ori simravlis gaerTianeba? TanakveTa?
_ vin mixvda, ra iqneba Cveni dRevandeli gakveTilis Tema?
_ dRes unda viswavloT ricxviTi Sualedebis gaerTianeba da TanakveTa.
_orma ricxviTma Sualedma SeiZleba gadakveTos erTmaneTi, anu SeiZleba moxdes maTi gaerTianeba an TanakveTa.
ori simravlis TanakveTa SeiZleba iyos: carieli simravle, intervali, monakveTi, an naxevarintervali.
magaliTad: a) [ — 3; 3] ∩ [ 1; 5 ] = [ 1; 3].
1;3
   
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
amis Semdeg asruleben saxelmZRvanelos teqstSi ganxilul rogorc TanakveTis, ise gaerTianebis magaliTebs
(asruleben sqematur naxazebs).
_ ra iqneba ori ricxviTi Sualedis TanakveTa? (simravle, romlis elementebia am simravleTa saerTo
elementebi.)
_ ra iqneba ori ricxviTi Sualedis gaerTianeba? (simravle, romlis elementebi miekuTvneba am simravleebidan
erTs mainc)
280
me-5 etapi ganmtkiceba
muSaoben saxelmZRvanelos #2, #4, #6(a, b), #8 savarjiSoebze.
me-6 etapi gasameorebel masalaze muSaoba sav. #13.
me-7 etapi refleqsia
_ ra viswavleT?
_ mivaRwieT mizans?
_ aris vinmesTvis rame gaugebari? Tu aris aseTi sakiTxi, daasaxeleT.
me-8 etapi Sedegebis Sejameba
maswavlebeli acnobs TiToeul moswavles, ras miaRwia gakveTilze an uxsnis, ra nabijebi gadadgas samomavlod Temis
ukeTesad asaTviseblad.
me-9 etapi saSinao davaleba sav. #1, #3, #5, #14 .

sav.#4. a)  ;    ; b)  1;1 ; g)  3;    ; d)  0;1 .
sav.#7. a)   1; 5  ; b)  0; 2  ; g )  0; 7  ; d)  3;5  .
sav.#8 a  1 .
sav.#9. 5  a  7 ;
sav.#11. a) 4; b) 3; g) 5; d) 4.
sav.#11. a) x  2; b) a  0, 25; g) n  10.
sav.#13. a)  ;   ; b) x  6, 5; g)  ;    .
sav.#15. fermeris saxelfaso xarji n muSaze iyo 1000n lari. 0, 5n -Tvis iqneba 1500  0, 5n  750n lari. pasuxi: fermeris
saxelfaso xarji 25%-iT Semcirda.
Tavis mimoxilva
sav.#19. OM wrfe gadis (0;0) da (6;8) wertilebze, xolo MN wrfe _ (12;0) da (6;8) wertilebze. Sesabamisi sistemebis amoxsniT
281
miviRebT: OM wrfis gantolebaa 3 y  4 x  0 , xolo MN wrfis gantoleba _ 3 y  4 x  48 .
sav.#20. manZili aRvniSnoT S-iT , xolo dro t-Ti. a) S = t; b) S = 7t ; g) S = 5t.
sav.#21. a) 240km; b) 60km/sT; g) 1,5sT; d) 4sT.
sav.#25. mocemuli wrfeebiT SemosazRvruli figura 2 2 erTeuli sigrZis kaTetebis mqone tolferda marTkuTxa samkuTxeds
warmoadgens. pasuxi: 4.
 5  10  1
 x y 4 100
sav.#29. vTqvaT, I onkani avsebs x wuTSi, xolo II onkani y wuTSi. Sesabamis sistemas aqvs Semdegi saxe:  x , y  100.
10
  30 3 3
 x y 5
pasuxi: erTi onkani avsebs 33 wuTsa da 20 wamSi, xolomeore _ 1 sT-sa da 40 wuTSi.
17 x  25(1000  x)  21  1000
àba, scade~. Sedgeba utolobaTa sistema:  . pasuxi: 500<x<750.
17 x  25(1000  x)  19  1000.
testis #6
pasuxi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
g a g d a g b g d g d b b a d
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
g a d b d g g b d a
282
teqnologiuri ruka
maswavleblis wrfivi funqciis, wrfivi utolobis, ori wrfivi gantolebis sistemis Sesaxeb moswavlis mier
samuSao miznebi miRebuli codnis Semowmeba.
gakveTilis tipi codnis donis Semowmeba
moswavlem unda icodes:
 wrfivi utolobis amoxsnisa da amonaxsnTa simravlis ricxviT wrfeze gamosaxvis wesebi;
dagegmili  ricxviT Sualedebze moqmedebebi;
ganmaviTarebeli  orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemis amoxsnis meTodebi.
Sedegebi unda SeeZlos:
 wrfivi utolobis amoxsna da amonaxsnTa simravlis ricxviT wrfeze gamosaxva;
 orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistemis amoxsna xelsayreli meTodiT;
 amocanis amoxsna sistemis gamoyenebiT.
ZiriTadi cnebebi wrfivi utoloba, orucnobiani ori wrfivi gantolebis sistema da misi amoxsnis xerxebi.
resursebi Semajamebeli samuSaos sakiTxebi or variantad
sivrcis organizeba damoukidebeli

davalebe-
Catarebis maswav- bis micema moswavlis
teqnolo- leblis moswavlis saqmianoba
giebi. saqmiano- Tvis, ro-
ba melic mi- dagegmili Sedegebi
iyvans da-
gegmil Se-
degamde
I. organi- misalme- yuradRe- usmens sagnobrivi universaluri saswavlo moqmedebebi
zaciuli ba, aR- bis koncen maswavle-bels,
momenti. ricxva, tracia pasuxobs
gakve- aucile- dasmul SekiTx-
miznebi: Tilis- bel saqmi- vebs.
saqmiani Tvis anobaze
283
ganwyobis mzadyof- SeuZlia SeuZlia maTematikuri davalebis
Seqmna, ga- nis Semo- maTematikis garkve- moTxovnebis Sesabamisad orientireba.
kveTilis wmeba ul sakiTxze yura-
mzadyof- dRebis gamaxvileba.
nisTvis
informi-
reba
II. weriTi sakontro pasuxoben sargeblobs ra SeuZlia al-goriTmis mixedviT muSaoba,
sakontro sakon- lo weris maswavleb-lis utolobis Tvi- maTematikuri modelis Seqmna (sistemis
lo weris trolo masala mier dasmul sebebiT, oruc- Sedgena), SeuZlia samuSaos dagegmva da
Catareba samuSaos ixileT SekiTxvebs da nobiani ori wrfivi davalebis Sesruleba.
miznebi: organize rukis xsnian davale- gantolebis sxva-
moswavlis ba danarTSi bebs dasxva meTodiT
saswavlo `Semajame- amoxsnis
moqme- beli algoriTmebiT
debebis samuSao SeuZlia
uzrun- #8~ davalebebis
velyofa Sesruleba
III.Sedege- gakveTi- saSinao usmens mas- SeuZlia sagnobrivi SeuZlia situaciis prognozireba.
bis Seja- lis Se- davaleba, wavleblis mier moqmedebebis SeuZlia Sefaseba, TviTSefaseba
meba, saSi- degebis miTiTeba miwodebul in- analogiebis
nao dava- Sejameba, davalebis formaci-as, SemCneva
lebis saSinao masalaze aucileblobis
gacnoba. davale- SemTxvevaSi aZ-
miznebi: bis Sesa- levs
saqmiani xeb sau- SekiTxvebs
ganwyobis bari
Seqmna
284
Semajamebeli samuSao # 8
I varianti
1. mocemulia ori Sualedi: A=(-3;7) da B=(2;9). ris tolia a) A  B ? b) A  B ?
2. qeTino da zura erTad 100 kilograms iwonian. qeTinos wonis 20% zuras wonis 30%-is tolia. ramden kilograms
iwonis TiToeuli maTgani?
3. amoxseni utoloba: a) 4 x  8  2 . pasuxi daitane ricxviT wrfeze;

x  2 x 1
b)  . pasuxi daitane ricxviT wrfeze.
3 2
 2 x  ky  8,
4. k-s ra mniSvnelobisTvis aqvs uamravi amonaxsni gantolebaTa sistemas: 
 x  2 y  4.
5. ipove a-s yvela mniSvneloba, romlisTvisac (a; 15) da (-1; 8) Sualedebis TanakveTa carielia.
285
II varianti
1. mocemulia ori Sualedi: A=(-2;6) da B=(3;8). ris tolia a) A  B ? b) A  B ?
2. merabi da maSo erTad 80 kilograms iwonian. merabis wonis 30% maSos wonis 20%-is tolia. ramden kilograms iwonis
TiToeuli maTgani?
3. amoxseni utoloba: a) 5 x  8  12 . pasuxi daitane ricxviT wrfeze;

x  2 x 1
b)  . pasuxi daitane ricxviT wrfeze.
3 2
3 x  ky  9,
4. k-s ra mniSvnelobisTvis aqvs uamravi amonaxsni gantolebaTa sistemas: 
 x  y  3.
5. ipove a-s yvela mniSvneloba, romlisTvisac (a; 9) da (-2; 7) Sualedebis TanakveTa carielia.
286
I variantis Sefasebis sqema
1) a) miiRo pasuxi (-3;9) ---- 1 qula;
b) miiRo pasuxi (2;7) ----- 1 qula;
sul 2 qula.
2) Seadgina gantoleba an sistema------ 1 qula;

pasuxi (60kg, 40kg)----1 qula;
sul 2 qula.
3) TiToeulis amoxsna ----- 0,5 qula;

TiToeulis daitana ricxviT wrfeze ------ 0,5 qula;
sul ----- 2 qula.
4) daiyvana erT gantolebaze an dawera piroba ----1 qula;

miiRo pasuxi (-4) ------- 1 qula;
sul ----- 2 qula.
5) dawera saWiro utoloba an Sesabamisad ganalaga Sualedebi RerZze ---- 1qula;

miiRo pasuxi: a  8;   ---- 1 qula;
sul------ 2 qula.
287
fasdeba Semdegi aradamakmayofi- damakmayofilebeli kargi sanimuSo
aqtivobebi lebeli
davalebis ver iazrebs dava- nawilobriv aRiqvams dava- aRiqvams amocanis Sina- Kargad aRiqvams amocanis
gaazreba, lebas, ver axerxebs lebis Sinaarss. nawilo- arss. gamijnavs monace- Sinaarss. gamijnavs mona-
maTematikuri monacemebisa da sa- briv axerxebs monacemTa mebsa da saZiebel sidi- cemebsa da saZiebel sidi-
obieqtebis Ziebeli sidideebis da saZiebel sidideTa deebs. axerxebs maT or- deebs. kargad axerxebs maT
warmodgena. organizebasa da organizebasa da ganizebasa da warmo- organizebasa da warmo-
warmodgenas. warmodgenas. dgenas. dgenas.
wrfivi funqcia ver cnobs wrfiv cnobs wrfiv funqcias, cnobs wrfiv funqcias, cnobs wrfiv funqcias,
da misi grafiki, funqcias, ver agebs axerxebs misi grafikis agebs mis grafiks. uproblemod agebs mis gra-
ori wrfivi oruc- mis grafiks. ver agebas. nawilobriv flobs sistemis fiks. kargad flobs siste-
nobiani gantole- flobs sistemis flobs sistemis amoxsnis amoxsnis xerxebs da mis amoxsnis xerxebs da iye-
bis sistema da mi- amoxsnis xerxebs da xerxebs da xandaxan xsnis xsnis ori wrfivi nebs magaliTebisa Tu amo-
si amoxsnis xerxe- ver xsnis ori wrfi- ori wrfivi orucnobiani orucnobiani gantole- canebis amoxsnisas. icis
bi, wrfivi uto- vi orucnobiani gantolebis sistemas. na- bis sistemas. icis wrfivi utolobis amoxsnis
loba, ricxviTi gantolebis wilobriv icis wrfivi wrfivi utolobis algoriTmi, axerxebs uto-
Sualedebi, amoca- sistemas. ar icis utolobis amoxsnis algo- amoxsnis algoriTmi, lobis amonaxsnis ricxviT
nebis amoxsna gan- wrfivi uto- riTmi, ver axerxebs uto- axerxebs utolobis RerZze gamosaxvas.
tolebaTa siste- lobis amoxsnis lobis amonaxsnis rivxviT amonaxsnis ricxviT
mis gamoyenebiT. algoriTmi. RerZze gamosaxvas RerZze gamosaxvas
maTematikuri ar esmis cnebebisa SeuZlia martivi cnebebi- esmis cnebebisa da ter- kargad esmis cnebebisa da
cnebebisa da da debulebebis ar- sa da terminebis inter- minebis arsi. axerxebs terminebis arsi. axerxebs
debulebebis ga- si, ver gansazRv- pretacia. ver axerxebs maT interpretacias, maT interpretacias, ar-
moyeneba, msje- ravs gamoyenebis gansazRvris gamoyenebis arCevs gamoyenebis Cevs gamoyenebis strategi-
loba, logikuro- areals, ver msje- areali, msjelobs da strategias da sworad as da sworad sworad iye-
ba, argumentireba lobs, ver asabu- asabuTebs aramkacrad iyenebs msjelobs da nebs. msjelobs logiku-
da dasabuTeba Tebs asabuTebs nawilobriv. rad, asabuTebs myarad.
kavSirebisa da ver adgens kavSirs nawilobriv adgens adgens kavSirebs da mi- adgens kavSirebs da
mimarTebebis sxva struqtureb- kavSirs sxva struq- marTebebs sxva struq- mimarTebebs sxva struqtu-
dadgena, Tan, obieqtebTan. turebTan, obieqtebTan. turebTan, obieqteb- rebTan, obieqtebTan,
analizisa da ar aqvs analizisa ar aqvs analizisa da Tan, iyenebs analizsa SeuZlia miRebuli Sedegis
sinTezisa da da sinTezis unari sinTezis unari da sinTezs problemis ganzogadeba, iyenebs
problemis gadaWrisas analizisa analizsa da sinTezs prob-
dadgenis unari da sinTezis unari lemis gadaWrisas.
288
Tavi 7. statistika da albaToba
Tavis mizani:
 statistikuri kvlevis etapebis gacnoba;
 monacemTa Segrovebis saSualebebis mimoxilva;
 monacemTa ricxviTi maxasiaTeblebis (gabnevis diapazoni, saSualo, moda, mediana) Sexseneba da monacemTa fardobiTi
sixSiris gamoTvla;
 monacemTa grafikuli warmodgenis magaliTebis(maT Soris histogramis) ganxilva;
 kanonzomieri da SemTxveviTi movlenebis daxasiaTeba;
 xdomilobaTa jamisa da namravlis ganmarteba;
 sawinaaRmdego xdomilobis ganmarteba;
 xdomilobaTa fardobiTi sixSiris gamoTvla;
 aucilebel da SeuZlebel xdomilobaTa daxasiaTeba;
 elementarul xdomilebaTa sivrcis ganmarteba (konkretuli magaliTebis mixedviT);
 xdomilobis albaTobis gamoTvla.
Tavis Seswavlis Semdeg moswavlem unda SeZlos:
 monacemTa Sesagroveblad kiTxvaris Sedgena, gamokiTxvis sawarmoeblad Sesabamisi respodentebis SerCeva;
 monacemTa ricxviTi maxasiaTeblebis gamoTvla;
 monacemTa warmosadgenad Sesabamisi saSualebis (svetovani, wriuli, xazovani, wertilovani diagramis, histogramis)
SerCeva da gamoyeneba;
 kanonzomieri da SemTxveviTi movlenebis amocnoba;
 aucilebeli da SeuZlebeli xdomilobebis amocnoba;
 xdomilobis fardobiTi sixSiris gamoTvla;
 sawinaaRmdego xdomilobis, xdomilobaTa jamisa da namravlis cnebaTa gamoyeneba;
 elementarul xdomilobaTa raodenobis dadgena;
 xdomilobis albaTobis gamoTvla;
 Seswavlili masalis martivi praqtikuli amocanebis amosaxsnelad gamoyeneba.
289
$7.1 monacemTa Segrovebis saSualebebi (2 sT)
mimarTuleba: statistika da albaToba

Tema: monacemTa interpretacia da analizi
 arsebobs raodenobrivi da Tvisobrivi monacemebi (magaliTad: raodenobrivia _ saqarTvelos mosaxleoba 3,2
milion adamians Seadgens; Tvisobrivi _ saqarTveloSi zomieri havaa).
 statistikuri kvleva gulisxmobs monacemTa Segrovebas, warmodgenas da statistikuri maxasiaTeblebis dadgenas.
I. qveTema: monacemTa Segrovebis saSualebebi
 kvlevis miznis mixedviT unda SeirCes monacemTa Segrovebis Sesabamisi saSualeba;
 monacemTa gamokiTxviT SegrovebisTvis saWiroa kiTxvaris/anketis Sedgena;
 cxrilSi raodenobebs zogjer simboloebiT gamosaxaven (aseT cxrils piqtogramas uwodeben).
samizne sakiTxi/qvecneba sakvanZo kompleqsuri d avaleba/davalebebi
cnebebi da SekiTxva/SekiTxvebi
maTTan  monacemTa Segroveba  ratom tardeba  7.1 paragrafSi ganxiluli #2
dakavSire- gamokiTxviT; statistikuri kvlevebi? davalebis mixedviT CaatareT gamokiT-
buli mkvidri  cxrili, piqtograma,  ra etapebs moicavs xva, Tu sad gsurT gaataroT kvira dRe
warmodgenebi rogorc raodenobrivi statistikuri kvleva? TanaklaselebTan erTad;
raodenobriv monacemebis warmodgenis  monacemTa Segrovebis ra  gamokiTxvis Sedegebis mixedviT
i monacemebi; saSualeba. dagegmeT aqtivobebi (kulturul-
meTodebi arsebobs?
monacemebis SemecnebiTi, sportuli da sxva);
 raSi mdgomareobs
Segroveba SeadgineT xarjTaRricxva dagegmil
Segrovebis eqsperimentis
gamokiTxviT aqtivobebTan dakavSirebiT (mgzavroba,
meTodi?
(magaliTebi); kveba, sxvadasxva RonisZiebebi).
 ris mixedviT SearCev
gamosakiTxi adamianebis  moipoveT informacia fasebis Sesaxeb da
jgufs? airCieT xarjis optimaluri varianti.
290
kompleqsuri davalebis damuSavebis etapebi (aqtivobebi, resursebi)
etapi I. moswavleebisaTvis kompleqsuri davalebis gacnoba;
etapi II. moswavleTa winare codnis gaaqtiureba, kompleqsuri davalebis SesrulebisaTvis saWiro sakiTxebis
gaxseneba;
etapi III. paragrafSi mocemuli magaliTebis ganxilva;
etapi IV. damoukidebeli muSaoba paragrafSi mocemul #2 savarjiSoze;
etapi V. wyvilebSi muSaoba #4 savarjiSoze;
etapi VI. kompleqsur davalebasTan dakavSirebuli gamokiTxvis Catareba da miRebuli monacemebis damuSaveba;
etapi VII. gadawyvetilebis miReba;
etapi VIII. saWiro informaciis mopoveba, damuSaveba;
etapi IX. optimaluri xarjTaRricxvis Sedgena;
etapi X. namuSevris prezentacia.
resursebi: kompiuteri, interneti, flipCarti, formatebi saprezentaciod, flomasterebi, dafa, carci,
saxelmZRvanelo.
Sefasebis kriteriumi/kriteriumebi: iTvaliswineben: TviTSefasebas, urTierTSefasebas, damoukidebeli samuSaos
Sedegebs , wyvilebSi muSaobas, jgufur muSaobas (kompleqsur davalebaze muSaobas). Sefasebis rubrikebi (aqtivobebis
mixedviT) Sedgenilia moswavleTa monawileobiT.
Tavfurcelis àba, scade!~ 36 elementaruli xdomilobidan xelSemwyobia 20. pasuxi: 5/9.
1 1 71 71
sav.#4. piqtogramaze mocemulia 11    wre. amitom erTi wre Seesabameba 142 : =12t-s.
2 3 6 6
2
x
sav.#6. vTqvaT, gaZvirda x% -iT. 1   0, 91, x  30. pasuxi: 30%-iT.
1000
291
$7.2 monacemTa statistikuri maxasiaTeblebi (2 sT)
II. qveTema: monacemTa statistikuri maxasiaTeblebi

 monacemTa ricxviTi maxasiaTeblebi iZleva mniSvnelovan informacias momxdar, mimdinare Tu mosaxdeni
movlenis/movlenebis Sesaxeb;
 erTmaneTisagan gansxvavebuli ricxviTi maxasiaTeblebi gansxvavebuli meTodiT gamoiTvleba.
samizne cnebebi da maT- sakiTxi/qvecneba sakvanZo kompleqsuri davaleba/davalebebi
Tan dakavSirebuli SekiTxva/SekiTxvebi
mkvidri warmodgenebi  monacemTa  ra aris monace-  7.2 paragrafis sav.#8. monacemebis mixedviT unda
monacemis sixSire _ erTobliobis mis sixSire? fa- Sedges fardobiT sixSireTa cxrili da gamoTvalon
aris mTeli ricxvi, ricxviTi rdobiTi sixSire? monacemTa saSualo, diapazoni, moda da mediana;
romelic gviCveneb ama maxasiaTeblebi:  ras gviCvenebs  savarjiSo # 13. mocemuli cxrilis mixedviT unda
Tu im monacemis gameo- saSualo, monacemTa moda? daiTvalon:
rebaTa raodenobas; mediana, moda,  rogor daiTvli a)10 qulis fardobiTi sixSire (emyareba faqts, rom
monacemis fardobiTi gabnevis diapa- fardobiT sixSireTa jami 1-is tolia. pasuxi: 0,4);
monacemTa saSua-
sixSire-wiladi, ro- zoni. b) TiToeuli qulis sixSire (fardobiTi sixSire
los? gabnevis dia-
melic gviCvenebs ama gamravlebuli monacemTa raodenobaze, am
pazons?
Tu im monacemis wils SemTxvevaSi _ 10-ze);
 rogor daiTvli
monacemTa saerTo g) saSualo (qulaTa maTi sixSireebze namravlebis
luwi raodenobis
raodenobaSi; zogjer jamis meaTedi, anu qulaTa fardobiT sixSireebze
ricxviTi monace-
procentiTac weren. namravlebis jami. pasuxi: 8,9)
mebis medianas?
pirveli gakveTili
etapi II. moswavleTa winare codnis gaaqtiureba, kompleqsuri davalebis SesrulebisaTvis saWiro sakiTxebis
gaxseneba;
etapi III. paragrafSi mocemuli magaliTebis ganxilva;
292
etapi IV. damoukidebeli muSaoba paragrafSi mocemul #1, #9 savarjiSoebze;
etapi V. wyvilebSi muSaoba #5 savarjiSoze;
etapi VI. saSinao davalebad # 2, #4, #6 savarjiSoebis micema.
meore gakveTili
etapi VI. saSinao davalebis Semowmeba-ganxilva;
damoukidebeli muSaoba, savarjiSo #10;
etapi VIII. wyvilebSi muSaoba, savarjiSo #7;
etapi IX. jgufuri samuSao: kompleqsur davalebaze muSaoba.
diskusia Temaze: monacemebis mixedviT rogoria lanas Sedegebi (stabiluri, arastabiluri, maRali, saSualo da a.S.)
resursebi: flipCarti, formatebi saprezentaciod, flomasterebi, dafa, carci, saxelmZRvanelo.
Sefasebis kriteriumi/kriteriumebi: ( iTvaliswineben: TviTSefasebas, urTierTSefasebas, damoukidebeli samuSaos
Sedegebs , wyvilebSi muSaobas, jgufur muSaobas (kompleqsur davalebaze muSaobas). Sefasebis rubrikebi
(aqtivobebis mixedviT) Sedgenilia moswavleTa monawileobiT.

sav.#9. moda 1200, mediana 1200, saSualo 13500, diapazoni 18000.
sav.#11. Tu davalagebT zrdis mixedviT, miviRebT 2; 3; 4; x; 5;. 6; e.i. x =4.
sav.#12. safasurisa da gerbis sixSireTa jami 100-is tolia. safasuris sixSirea 0,53×100=53. e.i. gerbi movida 100-
53=47. am savarjiSos Sesruleba moswavleebs daexmareba momdevno paragarafebSi xdomilobaTa sixSirisa da
fardobiTi sixSiris Tvisebebis gaazrebaSi.
sav.#14. a)0 an 3; b) x  (0;3); g) x  ( ; 0)  (3;  ).
sav.#15. 10  40  10  2 10   10  3,1   3 . pasuxi: _3.
sav.#16. pasuxi: (_1;8).
293
$7.3 monacemTa grafikuli warmodgena (3 sT)
III. qveTema: monacemTa grafikuli warmodgena

 grafikuli warmodgena saSualebas gvaZlevs monacemebi TvalsaCino, advilad aRsaqmeli gavxadoT ;
 histograma monacemTa intervalebad dajgufebis SemTxvevasi gamoiyeneba.
samizne cnebebi da sakvanZo
maTTan dakavSirebuli sakiTxi/qvecneba SekiTxva/SekiTxvebi kompleqsuri davaleba/davalebebi
mkvidri warmodgenebi  digramis saxeobebi:  ra aris diagrama?  7.3 paragrafis savarjiSo #8;
diagrama _ monacemTa svetovani, wriuli,  ra SemTxvevaSi  Sesabamisi monacemebis moZieba
grafikuli wertilovani, gamoiyeneba histograma (msoflios qveynebis mosaxleobis
warmodgenis xazovani diagramebi. monacemTa warmosadgenad? raodenobebis moZieba).
saSualeba;
 ra gansxvavebaa  monacemTa didi raodenobis (200-ze
histograma _interva-
histogramasa da svetovan meti monacemi) gamo maTi interva-
lebad dayofili mo-
diagramas Soris? lebad dayofa (sasurvelia araumetes
nacemebis grafikuli
6-7 intervali).
warmodgenis
 TiToeuli intervalis sixSiris
saSualeba.
daTvla.
 histogramis ageba.
sav. #9. es amocana kompleqsuri xasiaTisaa. mis amosaxsnelad saWiroa wriuli diagramis saSualebiT
monacemTa dadgena, ucnobi sidideebis Semotana, wrfiv gantolebaTa sistemis Sedgena, am sistemis amoxsna da
amocanis SekiTxvaze pasuxis gacema. vTqvaT, I venaxidan sul x tona yurZeni moikrifa, xolo meore venaxidan
0, 4 x  0, 25 y  26,
_ y tona. amocanis pirobiT:   x  40, y  40. pirveli venaxidan mokrefilia 40×0,4 = 16t,
 0,6 x  0,75 y  54.
xolo meore venaxidan _ 40×0,25 =10t.
sav. #11. a) 120; b) 10; g) 25=32. sav. #15. 10  40  10  2 10   10  3,1  3 .
294
Tema: albaToba
 movlena SeiZleba iyos kanonzomieri anu prognozirebadi da SemTxveviTi, anu araprognozirebadi;
 albaTobis Teoria SemTxveviTi movlenebis mosalodnelobis gazomvis saSualebebs Seiswavlis.
$7.4 SemTveviTi movlenebi (2 sT)

I. qveTema: SemTxveviTi movlenebi.
 SemTxveviT movlenasac axasiaTebs kanonzomiereba, romelic movlenis mravajeradi gameorebisas vlindeba;
samizne cnebebi da sakiTxi/qvecneba sakvanZo kompleqsuri davaleba/davalebebi
maTTan dakavSirebuli SekiTxva/SekiTxvebi
mkvidri warmodgenebi  iSviaTi xdomiloba;  rogor movlenas ewodeba  7.4 paragrafSi mocemuli #11 a)
kanonzomieri movlena  xSiri xdomiloba; SemTxveviTi? savarjiSo.
(magaliTad, qvis  ra aris xdomiloba?  unda Seadaron ori kamaTlis gagore-
 SeuZlebeli
vardna);
xdomiloba;  rogor xdomilobas bisas romeli xdomilobaa metad mo-
SemTxveviTi movlena salodneli, jamSi luwi ricxvis mosvla
 aucilebeli ewodeba aucilebeli?
(magaliTad, CanTidan Tu jamSi kenti ricxvis mosvla;
xdomiloba; SeuZlebeli?
wignis amoReba);
 metad/naklebad  ras niSnavs, rom erTi  unda daiTvalon jamSi kenti ricxvis
xdomiloba
mosalodneli xdomiloba meoreze mosvlis SemTxvevaTa raodenoba (18),
(magaliTad, monetis
xdomiloba. metadaa mosalodneli? jamSi luwi ricxvis mosvlis SemTxve-
agdebisas safasuris
vaTa raodenoba (18) da Seadaron;
mosvla).
 gamoitanon daskvna (es xdomilobebi
Tanabrad mosalodnelia).
pirveli gakveTili
etapi II. paragrafSi mocemuli Teoriuli masalis ganxilva;
295
etapi III. saerTo saklaso samuSao #1, 2 , 5 savarjiSoebze;
etapi V. wyvilebSi muSaoba #10, #11 _ b) savarjiSoebze;
etapi VI. saSinao davalebad # 2, #6, #9 savarjiSoebis micema.
meore gakveTili
etapi VII. saerTo saklaso muSaoba #12,18, 19 savarjiSoebze.
etapi IX. jgufuri samuSao: kompleqsur davalebaze muSaoba (savarjiSo #11).
saSinao davalebad # 7, 13-17.
resursebi: monetebi, kamaTlebi, urna, flipCarti, formatebi saprezentaciod, flomasterebi, dafa, carci,
saxelmZRvanelo.
Sedegebs , wyvilebSi muSaobas, jgufur muSaobas (kompleqsur davalebaze muSaobas). Sefasebis rubrikebi (ativobebis
sav.#9. a) SemTxveviTi; b) aucilebeli; g) SeuZlebeli.
sav.#10. 2-is jeradia: 2, 4 da 6; samis jeradi: 3 da 6. pasuxi: 2-s jeradi.
sav.#12. sami wignis Tanmimdevrobis 6 SemTxvevidan 2 SemTxvevaSi inglisuri wigni iqneba qarTulebs Soris, danarCen 4
SemTxvevaSi qarTuli wignebi iqneba gverdigverd.
sav.#13. Tanabrad mosalodnelebia;
sav.#17. 30,87.
sav.#18. a) ar Seicvleba; b) gaizrdeba 2-iT. sav.#19. _5 an 9.
296
$ 7.5 xdomilobebi (2 sT)
II. qveTema: xdomilobebi.
 xdomilobebze SeiZleba garkveuli operaciebis Catareba.
sakiTxi/qvecneba sakvanZo kompleqsuri davaleba/davalebebi
samizne cnebebi da maTTan SekiTxva/SekiTxvebi
dakavSirebuli mkvidri  araTavsebadi  ras ewodeba mocemuli  7.5 paragrafSi mocemuli #8
warmodgenebi xdomilobebi; xdomilobis sawinaaR- savarjiSo.
 sawinaaRmdego xdomiloba;  xSiri xdomiloba; mdego?  unda gaiazron xdomilobaTa jamis,
 xdomilobaTa jami;  SeuZlebeli  ra xdomilobaa ori namravlis, sawinaaRmdegos
 xdomilobaTa namravli; xdomiloba; xdomilobis jami? operaciebi da xdomilobaTa
magaliTebi moyvanilia  aucilebeli namravli? tolobis Sinaarsi da imsjelon.
paragrafis Teoriul xdomiloba;  or xdomilobas ra magaliTad, a) tolobis SemTxvevaSi
nawilSi SemTxvevaSi ewodeba imsjeleben ase: Tu moxda A+A e.i.
 metad/naklebad
araTavsebadi? ganxorcielda ori Sesakrebidan erTi
mosalodneli
mainc, magram orive Sesakrebi aris A,
xdomiloba.
e.i. moxdeba A da maSin moxdeba AA-c.
piriqiT, Tu moxda AA, maSin moxdeba A
da cxadia moxdeba A+A.

pirveli gakveTili
etapi III. saerTo saklaso samuSao #1, 3, 5 savarjiSoebze;
etapi V. saSinao davalebad # 2, 6,11 savarjiSoebis micema.
297
meore gakveTili
etapi VII. jgufuri samuSao: kompleqsur davalebaze muSaoba (savarjiSo #11).
etapi VIII.) namuSevris prezentacia.
etapi IX. saSinao davalebad # 4, 9, 10.
resursebi: monetebi, kamaTlebi, urna, flipCarti, formatebi saprezentaciod, flomasterebi, dafa, carci,
saxelmZRvanelo.
Sedegebs, wyvilebSi muSaobas, jgufur muSaobas (kompleqsur davalebaze muSaobas). Sefasebis rubrikebi (ativobebis
sav.#4. 1) movida 1 an 2; 4) ar movida 1 an ar movida 2; 5) ar movida 2 da ar movida 1.
sav.#7. b) da d). sav. #9. g). sav. 10. a) A+B; b) A  B ; g) B .
$ 7.6 sixSire (2 sT)
III. qveTema: sixSire.
 sixSire cdaSi xdomilobis ganxorcielebis raodenobas gviCvenebs.
 mravaljeradi gameorebis SemTxvevaSi metad mosalodnel xdomilobas meti sixSire eqneba;
 fardobiTi sixSire xdomilobis mosalodnelobis ukeTesi (mdgardi) maxasiaTebelia, vidre sixSire;
samizne cnebebi da sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi
maTTan dakavSirebuli kompleqsuri davaleba/davalebebi
mkvidri warmodgenebi
 xdomilobis araTavsebadi  rogor gamovTvaloT  7.6 paragrafis #13 savarjiSo.
sixSire; xdomilobebis araTavsebad xdomilobaTa  unda gamoTvalon kamaTlis gagorebaTa
 xdomilobis fa- jamis jamis fardobiTi sixSire? raodenoba (48:0,12 =400).
rdobiTi sixSire, fardobiTi  ras udris a) auculebeli  gamoTvalon 3-ze meti qulis mosvlis
rogor xdomilobis sixSire. xdomilobis fardobiTi six- fardobiTi sixSire (1 - (0,12+0,18+0,21)) = 0,49).
mosalodnelobis Sire? b) SeuZlebeli xdomi-  gamoTvalon 3-ze meti qulis mosvlis
sazomi. lobis fardobiTi sixSire? sixSire (0,49×400=196).
298
pirveli gakveTili
etapi III. saerTo saklaso samuSao #3, 7, 10 savarjiSoebze;
etapi IV.wyvilebSi muSaoba paragrafSi mocemul #12 savarjiSoze;
etapi V. saSinao davaleba # 1, 2, 8, 11 savarjiSoebi.
meore gakveTili
etapi VII. jgufuri samuSao: kompleqsur davalebaze muSaoba (savarjiSo #11)
etapi VIII.) namuSevris prezentacia
etapi IX. saSinao davalebad # 4, 9, 14, 15.
resursebi: monetebi, kamaTlebi, urna, flipCarti, formatebi saprezentaciod, flomasterebi, dafa, carci, plakati ori
kamaTlis gagorebis elementarul xdomilobaTa cxriliT.
sav.#8. 20000  0,3=6000; 9. 1 – 0,44 =0,56;
sav.#10. gerbis 0,45, safasuris 0,55. #11. 9% anu 0,09.
sav.#12. gerbis mosvlis fardobiTi sixSire iqneba 1 – 0,52 = 0,48, amitom misi sixSirea 150  0,48 = 72;
sav.#13. gameorebaTa ricxvia 48 : 0,12 = 400. samze meti qulis mosvlis fardobiTi sixSirea 1 _ (0,12+0,18+0,21) =
0,49. amitom 3-ze metis mosvlis sixSirea 400  0,49 = =196.
sav.# 14. mwvane burTulis amoRebis fardobiTi sixSirea 0,3, amitom moqmedeba Sesrulda 45:0,3= 150-jer.
sav.#15. pasuxia 5!, radgan 5 sagnis gadanacvlebaTa raodenobaa 5!.
sav.#16. pasuxi: n! (n sagnis gadanaclebaTa raodenoba gamoiTvleba Semdegi msjelobiT: pirveli adgilis daka-
vebis n SesaZleblobaa, meoris n-1, da a.S. bolo adgilis 1 SesaZlebloba. SesaZleblobaTa raodenobebis namrav-
lia n ! moswavleebs es vaCvenoT 3 saganze an gamoviyvanoT sami moswavle da darwmundnen rom am SemTxvevaSi 6
sxvadasxva ganlageba arsebobs).
299
$ 7.7 albaToba (3 sT)
IV. qveTema: albaToba saxelmZRvanelos , savaraudo saaTebis raodenoba
 xdomilobis albaToba SemTxveviTi movlenis mravaljeradi gameorebisas gamoTvlili fardobiTi sixSiris
zRvruli mniSvnelobaa;
 xdomilobis albaToba xelSemwyob elementarul xdomilobaTa raodenobis elementarul xdomilobaTa mTlian
raodenobasTan fardobis tolia.
sakvanZo
samizne cnebebi da sakiTxi/qvecneba SekiTxva/SekiTxvebi kompleqsuri davaleba/davalebebi
maTTan dakavSirebuli  albaToba, rogorc  rogor gamovTvaloT  7.7 paragrafis #17 savarjiSo.
mkvidri warmodgenebi ori sididis araTavsebad xdomilobaTa  unda daTvalon 3-is jeradi ricxvebis
 elementaruli fardoba; jamis albaToba? raodenoba (8);
xdomiloba;  araTavsebad  ras udris a) auculebeli  a) pasuxi:0,32;
 elementarul xdomilobaTa jamis xdomilobis albaToba?  daTvalon 5-is jeradi ricxvebis
xdomilobaTa sivrce; albaTobis b) SeuZlebeli xdomilobis raodenoba (5)
 albaToba; gamoTvla; albaToba?
 b) pasuxi: 0,2;
 jamis albaTobis  rogor viTvliT albaTo-
 daTvalon xelSemwyobi wyvilebis
am cnebebaTa gasaazre- gamosaTvleli bas im SemTxvevaSi, roca vi-
raodenoba 48; elementarul
blad ganixileba formula (dasabu- ciT xelSemwyob elementa-
xdomilobaTa mTliani raodenoba
magaliTebi.. Teba konkretuli rul xdomilobaTa raode-
(24×25=600);
magaliTebiT) noba da elementarul xdo-
milobaTa saerTo  pasuxi: 0,08.
raodenoba?
pirveli gakveTili
etapi III. saerTo saklaso samuSao #1, 2, 3, 4 savarjiSoebze (pasuxoben adgilidan zepirad);
etapi IV.wyvilebSi muSaoba paragrafSi mocemul #9savarjiSoze;
etapi V. saSinao davaleba # 5, 6, 7 savarjiSoebi.
300
meore gakveTili
etapi VII. saerTo saklaso samuSao #14
etapi VIII.wyvilebSi muSaoba paragrafSi mocemul #10 savarjiSoze;
etapi IX. saSinao davaleba # 8, 16,18 savarjiSoebi.
mesame gakveTili
etapi X. saSinao davalebis Semowmeba-ganxilva;
etapi XI. jgufuri samuSao: kompleqsur davalebaze muSaoba (savarjiSo #17)
etapi XII. namuSevris prezentacia;
etapi XIII. saSinao davalebad # 9, 11, 15,19.
resursebi: monetebi, kamaTlebi, urna, flipCarti, formatebi saprezentaciod, flomasterebi, dafa, carci, plakati
ori kamaTlis gagorebis elementarul xdomilobaTa cxriliT.
1 1
sav. #3. a) orive monetaze safasuris mosvlis albaTobaa , amitom 300  =75; b) 150.
4 4
sav. #4. p ( A)  1  p ( A)  0,86 ;
sav. #5. p ( B )  1  p ( B )  0, 7  p ( A  B )  p ( A)   p ( B )  0, 9;
sav. # 6. klasSi 60% vaJia. pasuxi:0,6.
sav. # 7. 3 SesaZleblobidan gvawyobs 2. pasuxi: 2/3.
sav.# 8-9-10 savarjiSoebSi unda visargebloT 6.4 paragrafSi mocemuli pirveli cxriliT.
4
sav.#11. 9 xdomilobidan xelSemwyobia 4. pasuxi .
9
3
sav.#12. 8 xdomilobidan xelSemwyobia 3. pasuxi: .
8
301
1 125
sav.#13. erT agdebaze samive gerbis mosvlis albaTobaa . pasuxi: daaxloebiT 62-jer.
8 2
#14. saxelmZRvanelos 119 gverdze mocemuli cxrilidan vaskvniT, rom Sansebi Tanabaria.
1 1
sav.#16. erT gagorebaze 6-is mosvlis albaToba –ia. pasuxi: .
6 1296
8 1
sav.#17. a) 3-is jeradi ricxvebis raodenobaa 8. pasuxi: ; b) ; g) Tu ganvixilavT 1-dan 25-mde yvela (n;m)
25 5
wyvilebis raodenobas, 1  n  25, 1  m  25, gveqneba 24•25 wyvili. am wyvilebidan xelSemwyobi wyvilebia
48 2
(1;2), (2;3), . . . , (24;25) da (2;1), (3;2), . . . , (25;24) anu 48 wyvili.  . pasuxi: 0,08.
24  25 25
sav.#18. pasuxi: x=0;
sav. #19. a) erTis siCqarea 300:5=60(km/sT), meoris 300:4=75(km/sT); b) 30km; g) 75(km).
aba, scade! A  B xdomilobebi ganxorcieldeba maSin da mxolod maSin, rodesac ganxorcieldeba mxolod A
an ganxorcieldeba mxolod B an ganxorcieldeba A da B erTad. p ( A)  p ( B ) aris Semdeg xdomilobTa alba-
Tobebis jami: ganxorcielda mxolod A an ganxorcielda A da B , ganxorcielda mxolod B an ganxorcielda
A da B . rogorc xedavT, A da B -s erTi ganxorcieleba zedmetia. zemoTqmuli SegviZlia ase CavweroT:
 p ( A  B )  p ( A  B  B  A  AB )  p ( A  B )  p ( B  A)  p ( AB )

 p ( A)  p ( A  B  AB )  p ( A  B )  p ( AB )  p ( A  B )  p ( A)  p ( B )  p ( A  B ).

 p ( B )  p ( B  A  AB )  p ( B  A)  p ( AB )
SeniSvna: moswavleebs sasurvelia SevaxsenoT analogiuri Sinaarsis formulebi simravleTa gaerTianebis
elementTa raodenobaze: n ( A  B )  n( A)  n( B )  n( A  B ) da figuraTa gaerTianebis farTobze:
S ( A  B )  S ( A)  S ( B )  S ( A  B ) .
302
Tema: meSvide Tavis mimoxilva moswavlis saxelmZRvanelo me-2 nawili me-7 Tavi
ra viswavleT am TavSi (CamonaTvali upasuxe kiTxvebs (moswavlis kompleqsuri davaleba
aris moswavlis wignis I nawilSi) saxelmZRvanelo, I nawili) testi #7
testSi ganmsazRvreli Sefaseba gamoiTvleba formuliT: 2n:5, sadac n swori pasuxebis raodenobaa.
sav. #4. xdomilobebi dalagebulia klebis mixedviT, e.i. Tanmimdevroba unda SevabrunoT. pasuxi: d), g), b) a).
sav. 5. 0,6. sav. 6. 0,7.
1 1 1
sav. 7. a) ; b) ; g) ; d) 0.
6 6 3
1 13
sav. 8. . sav. 9. .
12 15
sav. 10. sul gvaqvs 30×29 elementaruli xdomileba, radgan pirevli kvercxis amoRebis 30 SesaZleblobaa, meorisa ki _ 29, ,
65
xolo xelSemwyobi elementaruli xdomilobebis raodenoba 26×25. pasuxi: .
87
SeniSvna: xdomilobaTa daTvlisas AB da BA Sedegebi gansxvavebulad CavTvaleT. Tu AB da BA Sedegebs gavaigivebT, maSin
xdomilobaTa raodenoba iqneba 2-jer naklebi, pasuxi ki igive darCeba.
sav. 11. pirobis Tanaxmad, yovel gzagasayarze bilikebis arCevani araTavsebadi da Tanabradmosalodneli xdomilobebia.
1 1 1 4 4
amitom,    . pasuxi: .
3 3 3 9 9
testi # 7. pasuxebi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
a b d b b g d g g b d a d g g
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
b b a g a d b g d a
303
I varianti
1. ipove x-is yvela mniSvneloba, romlisTvisac x, 3, -1, 7 monacemTa diapazoni 8-is toli iqneba.
2. kamaTliT Catarebul cdaSi fardobiTi sixSireebi ase ganawilda:
1 2 3 4 5 6
0,18 0,13 0,17 0,2 ? 0,22
ipove: a) 5-is mosvlis fardobiTi sixSire;

b) 1 -is mosvlis sixSire, Tu 3 movida 51-jer.
3. urnaSi erTnairi zomisa da sxvadasxva feris sami burTula devs: TeTri, wiTeli da mwvane. urnidan Sig Cauxedavad iReben
burTulas, aRniSnaven mis fers da abruneben ukan yuTSi. ramdenjer Seasrules es moqmedeba, Tu cnobilia, rom Sedegad
TeTri burTulis amoRebis sixSire iyo 0,3, wiTeli burTulis – 0,35, xolo mwvane burTi 70-jer amoiRes?
4. sami moneta 600-jer aagdes. daaxloebiT ramdenjer mova samive safasuri?
5. elenes CanTaSi udevs 4 saxelmZRvanelo: qarTulis, inglisuris, maTematikis da fizikis. elene CanTidan, masSi Cauxedavad,
iRebs or saxelmZRvanelos. ra aris imis albaToba, rom amoRebuli wignebi iqneba qarTulis da maTematikis saxelmZRva-
neloebi?
304
II varianti
1. ipove x-is yvela is mniSvneloba, romlisTvisac x, 1, -2, 8 monacemTa diapazoni 10-is toli iqneba.
2. kamaTliT Catarebul cdaSi fardobiTi sixSireebi ase ganawilda:
1 2 3 4 5 6
0,17 0,14 0,16 0,2 ? 0,23
ipove: a) 5-is mosvlis fardobiTi sixSire;

b)6 -is mosvlis sixSire, Tu 2 movida 42-jer.
3. urnaSi erTnairi zomisa da sxvadasxva feris sami burTula devs: TeTri, wiTeli da mwvane. urnidan Sig Cauxedavad iReben
burTulas, aRniSnaven mis fers da abruneben ukan yuTSi. ramdenjer Seasrules es moqmedeba, Tu cnobilia, rom Sedegad
TeTri burTulis amoRebis sixSire iyo 0,35, wiTeli burTulis – 0,25, xolo mwvane burTi 80-jer amoiRes?
4. sami moneta 800-jer aagdes. daaxloebiT ramdenjer mova samive safasuri?
5. TamTas CanTaSi udevs 4 saxelmZRvanelo: qarTulis, germanulis, maTematikis da istoriis. TamTa CanTidan masSi Cauxedavad
iRebs or saxelmZRvanelos. ra aris imis albaToba, rom amoRebuli wignebi iqneba maTematikis da istoriis saxelmZRvanelo-
ebi?
305
I variantis ganmsazRvreli Sefasebis sqema
1. dawera x  7 an x  1 ---- 1 qula;

dawera pasuxi x   1; 7  ---- 2 qula.
sul 2 qula.
2. gamoTvala a) (0,1) ---- 1 qula;

gamoTvala b) (54) -----1 qula.
sul 2 qula.
3. gamoTvala mwvanes fardobiTi sixSire (0,35)---1qula;

pasuxi (200)---- 1 qula.
sul 2 qula.
1
4. gamoTvala samive monetaze safasuris mosvlis albaToba   -----1 qula;
8
pasuxi (75) -----1 qula.
sul 2 qula.
5. gamoTvala xdomilobaTa mTliani raodenoba (6)----- 1 qula;

1
gamoTvala xelSemwyob xdomilobaTa raodenoba(1) da miRo pasuxi   ----1 qula.
6
sul 2 qula.
306
aqtivobebi aradamakmayofil damakmay. kargi sanimuSo

ebeli
SeuZlia monacemTa ar icis icis monacemTa icis monacemTa icis monacemTa
ricxviTi monacemTa ricxviTi ricxviTi ricxviTi
maxasiaTebebis ricxviTi maxasiaTeblebis maxasiaTeblebis maxasiaTeblebis
gamoTvla da maxasiaTeblebis gamoTvla, magram ver gamoTvla da gamoTvla da
amocanis pirobis gamoTvla. usadagebs konkretul TiTqmis yovelTvis yovelTvis
maTematikurad viTarebas. adeqvaturad iyenebs adeqvaturad iyenebs
Cawera. mas konkretul mas konkretul
viTarebaSi. viTarebaSi.
akavSirebs sixSires, ar icis cnebebi icis cnebebi, magram icis cnebebi, da icis cnebebi da
fardobiT sixSires an icis xSirad arasworad umetesad sworad yovelTvis sworad
da movlenis formalurad da akavSirebs akavSirebs akavSirebs maT
(monacemebis) ver akavSirebs erTmaneTTan. erTmaneTTan. erTmaneTTan.
saerTo raodenobas erTmaneTTan .
erTmaneTTan.
iTvlis rogorc ver iazrebs dava- nawilobriv aRiqvams aRiqvams amocanis kargad aRiqvams
saerTo, ise lebas, ver amocanis Sinaarss. Sinaarss. iTvlis amocanis Sinaarss.
xelSemwyob iTvlis cdilobs xdomilobebs magram iTvlis xdomilobebis
elementarul xdomilobebs. xdomilobaTa daTvlas zogjer uSvebs saWiro raodenobebs da
xdomilebaTa magram uSvebs Secdomas. albaTobas.
raodenobas da Secdomebs.
angariSobs
albaTobas.
307
I varianti
1. gaamartive gamosaxuleba da gamoTvale misi ricxviTi mniSvneloba:
x5  xy 4 x2 x2  y 2
  , roca x  2, 2; y  3 .
x 2  4 x  4 x3  xy 2 x2
2. vTqvaT, m naturaluri ricxvis n naturalur ricxvze gayofiT miiReba arasruli ganayofi k da naSTi q.
mocemulia winadadeba, romelSic gamotovebulia sami sityva:
` Tu k ---------- ricxvia da q --------- ricxvia, maSin m ------ ricxvia.~
qvemoT mocemuli sityvebis oTxi variantidan aarCie is sameuli, romlis CasmiT mocemuli winadadeba:
a)WeSmarit; b) mcdar winadadebad gadaiqceva.
I. kenti/ luwi/ luwi;
II. luwi/kenti/kenti;
III. kenti/ kenti/luwi;
IV. luwi/luwi/kenti.
3. tolferda ABCD trapeciaSi AB ferdis sigrZea 10 sm-ia, xolo mcire BC fuZis sigrZe _ 9 sm. gamoTvale trapeciis
farTobi, Tu sin A  3 .
5
4. A da B qalaqebidan, romelTa Soris manZili 480km-ia, erTmaneTis Semxvedri mimarTulebiT ori avtomobili gamovida.
avtomobilebi mudmivi siCqariT moZraobdnen da 3 saaTis Semdeg Sexvdnen erTmaneTs. gaige TiToeuli avtomobilis
siCqare, Tu A qalaqidan gamosuli avtomobili 4 saaTSi 10 km-iT met manZils gadis, vidre meore avtomobili 3 saaTSi.
5. urnaSi erTnairi zomis 2 TeTri da n Savi burTia. ipove n, Tu urnaSi Cauxedavad Savi burTulis amoRebis albaTobaa 0,8.
308
II varianti
1. gaamartive gamosaxuleba da gamoTvale misi ricxviTi mniSvneloba:

x5  xy 4 x2 x2  y 2
  , roca x  2, 2; y  3 .
x 2  4 x  4 x3  xy 2 x2
2. vTqvaT, m naturaluri ricxvis n naturalur ricxvze gayofiT miiReba arasruli ganayofi k da naSTi q.
mocemulia winadadeba, romelSic gamotovebulia sami sityva:
` Tu k ---------- ricxvia da q --------- ricxvia, maSin m ------ ricxvia.~
qvemoT mocemuli sityvebis oTxi variantidan aarCie is sameuli, romlis CasmiT mocemuli winadadeba ;
a)WeSmarit; b) mcdar winadadebad gadaiqceva. pasuxi daasabuTe.
I. luwi/luwi/kenti;
II. kenti/ luwi/ luwi;
III. kenti/ kenti/luwi;
IV. luwi/kenti/kenti.
3. tolferda ABCD trapeciaSi AB ferdis sigrZe 13 sm, xolo mcire BC fuZis sigrZe 8 sm-ia. gamoTvale trapeciis
12
farTobi, Tu sin A  .
13
4. A da B qalaqebidan, romelTa Soris manZili 440km-ia, erTmaneTis Semxvedri mimarTulebiT ori avtomobili gamovida.
avtomobilebi mudmivi siCqariT moZraobdnen da 4 saaTis Semdeg Sexvdnen erTmaneTs. gaige TiToeuli avtomobilis
siCqare, Tu 3 saaTSi A qalaqidan gamosuli avtomobili 30 km-iT met manZils gadis, vidre 2 saaTSi B qalaqidan
gamosuli avtomobili.
5. urnaSi erTnairi zomis 3 TeTri da n Savi burTia. ipove n, Tu urnaSi Cauxedavad Savi burTulis amoRebis albaTobaa 0,7.
309
I variantis ganmsazRvreli Sefasebis sqema
2 y2
1. gaamartiva ( ) --------------- 1,5 qula;
x2
gamoTvala (30) -------------------- 0,5 qula;
sul 2 qula.
2. TiToeuli swori pasuxisaTvis ( a)-s pasuxia II, b)-s pasuxi IV) TiTo qula.
sul 2 qula.
3. gamoTvala trapeciis simaRle (6sm) --- 0,5 qula;

gamoTvala ferdis gegmili (8sm) ------- 0,5 qula;
gamoTvala didi fuZe (25 sm) ------- 0,5 qula;
pasuxi (102sm2 ) ---------- 0,5 qula.
sul 2 qula.
4. Seadgina sistema ( ) ------1 qula;

amoxsna da dawera pasuxi (70km/ sT, 90km/sT)----- 1 qula;
sul 2 qula.
n
5. dawera gantoleba (  0,8 ) ------ 1 qula;
n2
amoxsna gantoleba da dawera pasuxi (n =8)----- 1 qula;
sul 2 qula.
310
aqtivobebi aradamakmayofi- damakmay. kargi sanimuSo

lebeli
amartivebs ar icis moqmede- icis calkeuli mo- icis moqmedebebi uSecdomod amartivebs
algebrul bebi algebrul qmedebebi (mamrav- algebrul wiladebze algebrul
gamosaxulebas da gamosaxulebebze lebad daSla, Sekve- (mamravlebad daSla, gamosaxulebas da
iTvlis mis ricxviT (mamravlebad ca, gaerTmniSvneli- Sekveca, gaerTmniSv- iTvlis mis ricxviT
mniSvnelobas. daSla, Sekveca, aneba), magram uSvebs nelianeba, Semokle- mniSvnelobas.
gaerTmniSvnelia- Secdomebs, ris gamoc buli gamravlebis
neba), ver iTvlis ver amartivebs gamo- formulebi), magram
ricxviT saxulebas da uWirs zogjer uSvebs
mniSvnelobebs. misi ricxviTi mni- meqanikur Secdomebs.
Svnelobis gamoTvla.
adgens winadadebis ar SeuZlia winada- ar SeuZlia SeuZlia winadadebis adgens winadadebis
(gamonaTqvamis)WeS- debis Wemariteba-- winadadebis Wemariteba _ (gamonaTqvamis)WeSmari-
mariteba-mcdaro- mcdarobis dadge- Wemariteba _ mcdarobis dadgena, teba-mcdarobas da
bas da asabuTebs. na, radgan ver mcdarobis dadgena, Tumca ver axerxebs srulyofilad
ansxvavebs pirobas Tumca ganasxvavebs srulyofil asabuTebs.
da daskvnas pirobas da daskvnas dasabuTebas.
erTmaneTisagan. erTmaneTisagan.
adgens amocanis ver iazrebs nawilobriv aRiqvams srulad aRiqvams srulyofilad aRiqvams
Sesabamis algebrul amocanas. amocanis Sinaarss. amocanis Sinaarss. amocanis Sinaarss,
(geometriul) cdilobs Sesabamisi adgens Sesabamis adgens adeqvatur
models da mis modelis Sedgenas models Tumca models, uSecdomod
safuZvelze xsnis magram uSvebs zogjer amoxsnaSi xsnis amocanas.
amocanas. Secdomebs. uSvebs Secdomas.
311
damatebiTi masala
moswavlis saxelmZRvanelos meore nawilis boloSi mocemulia damatebiTi masala, romlis mizania mTeli kursis
gameoreba. am masalisTvis Tematuri gegmiT gaTvaliswinebulia 5saaTi.
komentarebi da pasuxebi:
ab ab
1. a)-4; b) 1. 5. a) c  ; b) c  2 . 6. -05. 14. a) 11; b)15.
ba 2
b a
18. 3101 + 789 =950×3 + 4944×7, rogorc 9-is ise 49-is 8-ze gayofiT miiReba naSTi 1, xolo 3 + 7=10-is 8-ze gayofiT _ naSTi 2.
pasuxi: 2.
23. 45 . 26. 3sm. 27. 80sm. 28. 24sm. 31. 3sm.
33. 4k -1,2=6,8. pasuxi: k =2.
 79 10 
;   . 36. 40litri da 60 litri. 37. 11 aTlariani da 6 oclariani. 38. a) a = 4, b = -2; b) a = -12, b = 4.
34. a) (1;1); T) 
 21 7 
x x
39. Sedgeba utoloba:   5 . pasuxi: araumetes 36km-iT.
18 12
32 9 3
43. 16sm. 44. 20πsm, 100 πsm2. 45. 54sm2. 46. sm2. 47. sm2. 48. 30sm2. 49. 192sm2. 50. 114sm2. 51. 54sm2. 52. (1  3)a 2 sm2.
3 2
53. 0,4. 54. 0,06. 55. P  A  

1
2
; P B 
1
3
; P  A  B 
2
3
; P  A B 
1
6
 
; P A B 
2
3
 
; P A B 
1
6
.
312

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zogadi ganaTlebis erovnuli miznebi

saqarTveloSi zogadi ganaTlebis sistema miznad isaxavs Seqmnas xelsayreli pirobebi

a) qveynis interesebis, tradiciebisa da Rirebulebebis mimarT sakuTari pasuxismgeblobis

grifminiWebulia saqarTvelos ganaTlebis, mecnierebis,

redaqtori: avTandil saginaSvili

2) Sinaarsisa da miznebis ruka ---------------------------------- 9

3) Tematuri gegma ----------------------------------------------- 10

4) miznebi, meToduri rekomendaciebi, savarjiSoebis

saxelmZRvaneloSi gvxvdeba niSnakiT gamoyofili davalebebi, romelTa Sesasruleblad informaciul-sakomunika-

mokled CamovayaliboT saxelmZRaneloSi gaTvaliswinebuli miznebi ZiriTadi mimarTilebebis mixedviT:

monacemTa analizi, albaToba da statistika

zogadi maTematikuri unarebi

Tema Sefasebis indikatorebi

Tavi 1. racionaluri ricxvebi (19 sT.)

Tavi 2. geometriuli gardaqmnebi, oTxkuTxedebi (33 sT.)

2.1 simetria centris mimarT 2

Tavi 3. algebruli wiladi (16 sT.)

3.1 algebruli wiladi 2

Tavi 4. farTobi (18 sT.)

4.1 martivi figuris farTobi 2

5.1 kvadratuli fesvi 2

Tavi 6. wrfiv gantolebaTa sistema (25 sT.)

6.1 wrfivi damokidebuleba da misi grafiki 1

30avi 7. statistika da albaToba ( 30 sT.)

7.1 monacemTa Segrovebis saSualebebi 2

samizne cnebebi da maT- sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi: kompleqsuri davaleba

TemasTan dakavSirebuli mkvidri warmodgenebi:

samizne cnebebi da maT- sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi: kompleqsuri davaleba

pasuxi: 333333 -is aTobiTi Canaweri bolovdeba 3-iT.

   9 . naSTebze gadasvliT vwerT: 7+9=16. pasuxi: 7  9 -is Canaweri bolovdeba 6-iT.

g) 7  4  7  7   4  . naSTebze gadasvliT vwerT: 3+6=9. pasuxi: 7  9 -is Canaweri bolovdeba 9-iT.

samizne cnebebi da maTTan sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi: kompleqsuri davaleba

pirveli gakveTili (axali masalis axsna)

sav.#10. pasuxi: a) =0,4(8); b)1.

samizne cnebebi da maT- sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi: kompleqsuri davaleba

paragrafis ZiriTadi mizani: mTelmaCvenebliani xarisxis cnebis Semotana

_ gaixseneT naturalurmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi. weren formulebs da sityvierad ayalibeben Tvisebebs:

es Tvisebebi gavimeoroT magaliTebze:

_ ra daskvnis gakeTeba SegviZlia (1) da (2) tolobebis safuZvelze? a 0  1, a  0.  

$1.5 ricxvis Caweris standartuli forma (2 sT.)

samizne cnebebi da maTTan daka- sakiTxi/qvecneba sakvanZo kompleqsuri davaleba

2,5:100=0,052 0,74:1000=0,00074 0,0021•1000=2,1

2) CawereT xarisxis saxiT 10-is fuZiT:

a 10n , სადაც 1  a  10.

 rogor Seadareb standartuli saxiT Caweril toli rigis mqone ricxvebs?

56 103 ; 0,56 103 ; 5, 6 103 ; 0, 0056 103.

1) 560 5, 6 102 p 1) 120 1, 2 102 p

2) 0,0072 7, 2 103 w 2) 0,0036 3, 6 103 w

3) 0,000004 4 106 C 3) 0,000005 0,5 105 C

4) 4 270 000 4, 27 105 e 4) 1 380 000 1,38 106 v

5) 25 000 000 2,5 107 R 5) 89 000 000 89 10 6 R

2,5 108 i 8,9 108 i

25 106 x 8,9 107 o

$1.6 mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi (3 sT)

samizne cnebebi da maTTan sakiTxi/qvecneba sakvanZo SekiTxva/SekiTxvebi: kompleqsuri davaleba

III. gakveTilis Temisa da miznis gacnoba

2) gamoTvale gamosaxulebis mniSvneloba: a) 24  26 ; b) 3-7:3-8;

2) gamoTvale gamosaxulebis mniSvneloba: a) 34  36 ; b) 23 : 2 2 ; g) 48  4 11 : 4 3 .

a) warmoadgineT uaryofiTi xarisxis saxiT:

a) 6,5 x 0 y 5  4 x 2 y 6 ; b) 26 x 4 y 4  0,5 x 2 y 1.