1

Zadatak 101 (Ivana, gimnazija)

U Gaussovoj ravnini prikai skup svih toaka koje su zadane uvjetom:

( ) ( ) 1 1 , . i z i z z x y i = + = +
Rjeenje 101
Ponovimo!
. z x y i z x y i = + =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
,
1 1
1 1
z x y i z x y i
i x y i i x y i
i z i z

= + =

= + +
`
= +

)

2 2 2 2
x y i x y i x i y i x y i x i y i y i x i y i x i y x i + = + + + + + + + =

( ) / 0 2 : 2 2 0 0 y i x i y i x i y i x i y i x i x i y i = + = = =

( ) 0 0. x i y i x y i + = + =
Jednakost (x + y) i = 0 vrijedi samo ako je

0 . x y y x + = =
Skup svih toaka to je odreen danim uvjetom jest pravac, simetrala II. i IV. kvadranta.












Vjeba 101
U Gaussovoj ravnini prikai skup svih toaka koje su zadane uvjetom:

( ) ( ) 1 1 , . i z i z z x y i = + = +

Rezultat: y = x, simetrala I. i III. kvadranta.

Zadatak 102 (Ivana, gimnazija)
Prikai u Gaussovoj ravnini skup toaka odreenih jednadbom 1.
3
z i
z i
+
=


Rjeenje 102
Ponovimo!
( )
,
2
,
2
1 , .
2
z z a
z x y i z x y a b a a
w w b
= + = + = = = =
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 , . a b a a b b a b a a b b + = + + = +

1 , 3 1 3 .
3 3
z i z i
z i z i z i
z i z i
+ +
= = + =



Ako kompleksan broj z prikaemo u standardnom (algebarskom) obliku z = x + y i, tada je:

( ) ( )
3
3 1 3
z i z i
x y i i x y i i x y i x y i
z x y i
+ =

+ + = + + + = +
`
= +
)

( ) ( ) ( ) ( )
kvadriramo
2
/
jedn
2
adbu
2 2 2 2 2 2 2
1 3 1 3 x y x y x y x y
(
+ + = + + + = +
(

y = - x
y
x

2

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 3 1 3 x y x y x y x y
| | | |
+ + = + + + = +
| |
\ \

2 1 6 9 2 1 6 9 2 6 9 1
2 2 2 2
y y y y y y x y x y + + = + + = + + = + +

/: 8 8 8 1. y y = =
Vidi sliku!








Vjeba 102
Prikai u Gaussovoj ravnini skup toaka odreenih jednadbom
3
1.
z i
z i

=
+

Rezultat: y = 1.

Zadatak 103 (Tomislav, srednja kola)
Odredite , a b R tako da brojevi ( )
1
2 3 i 3
2
z a b i w a b i = + + = + budu konjugirano
kompleksni.
Rjeenje 103
Ponovimo!
Neka je z = x + y i bilo koji kompleksni broj. Sa z oznaavamo broj z x y i = koji nazivamo
kompleksno konjugiranim broju z. Par kompleksno konjugiranih brojeva razlikuju se samo u
predznaku imaginarnog dijela:
. z x y i z x y i = + =

Dva su kompleksna broja jednaka ako i samo ako su im meusobno jednaki realni dijelovi i
meusobno jednaki imaginarni dijelovi, tj.

. , a b i c d i a c b d + = + = =
( ) 2 3 1 1
2 4 2 2
2 2
1
4 3
3
3 3 3 3
/ 2
2
z a b i
a a a a a a
b
w a b i
b b b
w
b
z
= + +
= = =

=

=
= +
+ = + =


(
` ` ` `

)

) ) )


/
4
2 4
.
3
4 3 4
4
:
a
a a
b b
=
=

= =

` `
)

)

Vjeba 103
Odredite , a b R tako da brojevi ( )
1
2 3 i 2
3
z a b i w a b i = + + = + budu konjugirano
kompleksni.

Rezultat: a = 3 , b = 1.

Zadatak 104 (Mario, srednja kola)
Ako je
2
1
i
x
i
+
= jedno rjeenje kvadratne jednadbe
2
0, , , x p x q p q R + + = kako glasi
ta jednadba?

y = 1
y
x
0
1
y = 1
y
x
0
1

3

Rjeenje 104
Ponovimo!
( ) ( ) , , .
2 2 2
1
a b a b
i a b i a b i a b
n n n
+
= + = + = +
Neka je z = x + y i bilo koji kompleksni broj. Sa z oznaavamo broj z x y i = koji nazivamo
kompleksno konjugiranim broju z. Par kompleksno konjugiranih brojeva razlikuju se samo u
predznaku imaginarnog dijela:
. z x y i z x y i = + =

Ako kvadratna jednadba ima kompleksna rjeenja, tada su to konjugirano kompleksni brojevi:

,
1
.
2
x m n i x m n i = + =

Kvadratna jednadba sa rjeenjima x
1
i x
2
glasi

( ) ( )
2
, 0
1
a x x x x =
gdje je a 0 po volji odabran broj.

Ako vrijedi
1 2
, ,
1 2
x x b x x c + = =

onda su x
1
i x
2
rjeenja kvadratne jednadbe

2
0. x b x c + =

Najprije naemo drugo rjeenje x
2
kvadratne jednadbe:


2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 2
i i i
x x x x x x
i
i
i
i
i i i i i
+
= = + = + = + = +

=

( )
1 2
2 2
1
1 1 1 2 rjeenja s .
1 1
u konjugirano kompleks
1
1 2 1
2
na
1
x i
i i
x x x i
x i
=

= + = + =
= +

)
1.inaica
Kvadratna jednadba glasi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
1 2
1 2
1
1 2 1 2 0
1 2
2
x i
x i x x
x
x x
i
x i
=
+ =
=
=
+

(
`

)

( ) ( )
2 2
1 2 1 2 0 2 1 2 2 2 4 0 x i x i x x x i x i x i i i + = + + + =
( )
2
2 1 2 2 2 4 1 0 x x x i x i x i i + + + =
2 2
2 1 2 2 2 4 0 2 2 2 2 1 4 0 x x x i x i x i i x x i i x i i x x + + + + = + + + + =
2
2 5 0. x x + =
2.inaica
Kvadratna jednadba glasi:

( ) ( )
, 1 2 1 2 1 2
1 2 1
1 2
1 2 1
1 2 1 2
2
2
1
2
0
2
x x x x i i x i
x i x
b x x c
x b x
x
c
i i
+ = =

+ = + + =

= + =
=
+
+
(

(
` `
(

) )


1 1
2
1 2
2 1 2
2 5 0.
2 2
5
1 2
1 2
1
2 2
2
x x
x
i i
x
x x
x x
x x
+ = +
+ =
+ =

=
=

+
+


` `
)
)




4

Vjeba 104
Ako je
2
1
i
x
i

= jedno rjeenje kvadratne jednadbe

2
0, , , x p x q p q R + + = kako glasi
ta jednadba?

Rezultat: x
2
2 x + 5 = 0.

Zadatak 105 (Kiki, maturantica gimnazije)
Izraunaj , ako je 9 40 . z z i =
Rjeenje 105
Ponovimo!
Apsolutna vrijednost kompleksnog broja (modul kompleksnog broja)

2
.
2
z x y i z x y = + = +
( ) ,
2 2 2
2 , . x y x y z z x y i x x y i y = = = + = +
Dva su kompleksna broja jednaka ako i samo ako su im meusobno jednaki realni dijelovi i
meusobno jednaki imaginarni dijelovi, tj.

. , a b i c d i a c b d + = + = =
1.inaica
Pretpostavimo da je
. z u v i = +
Tada je
( )
( )
kvadriramo
2
/
jednakost
2
2
9 40 9 40 9 40 i u v i i u v i i u v i = + = + = +
(
(

2 2 2 2
9 40 2 9 40 2
jednakost kompleksnih
brojeva
i u u v i v i u v u v i = + = +
(
(


2 2 2 2
2
9 9 2 2
20 2 9
9
20
2 40 2 4
1
2
0 /
u v u v
u
u v
u
u
u v u v v
u

= =
=
=
= = =

| |
` ` `
|
\
)
) )


400 400 2 2 4 2 4 2
9 9 400 9 9 400 0
2 2
2
/ u u u u u u
u
u
u
= = = =

bikvadratna jednadba,
2
supstitucija:
2
2 9 400 0
9 400 0
1 , 9 , 400
t t
t t
a b t c u
=
=
= = = =
(

( `
(
)


( )
1 , 9 , 400
9 81 4 1 400
9 81 1600
2
4 1,2 1,2
2 1 2
1,2
2
a b c
t t
b b a c
t
a
= = =

+
= =

)

9 41 50
25
1 1
9 1681 9 41
2 2 1
.
nema smisl
1,2 1,2
9 41 32 16 2 2
2
2 2
2 2
a
t t
t
t t
t
t t
+
= =
=

= =
=
= =



` ` `
)

) )
Vraamo se supstituciji:

5

/
5 25
2 2 1
25 25 25 .
2 1,2
5
2
u t
u u u
u
t u
= =
= = =
=
=


` `

) )


Raunamo vrijednosti nepoznanice v:


5
1
5
20
1
4 9 40 5 4 . 20
1 1
4 5
1 1
1
u
u
v v i i
v v
u
=
=
= = =
= =

` `
)
)



5
2
5
20
2
4 9 40 5 4 . 20
2 2
4 5
2 2
2
u
u
v v i i
v v
u
=
=
= = = +
= =

` `
)
)


2.inaica
Ako je
, x y i u v i + = +
tada je
( ) ( )
1 1 2 2
,
2 2
, u z x v z x = + =
gdje je
2 2
. z x y = +

Dokaz
Neka je
. z u v i = +
Za apsolutnu vrijednost ili modul vrijedi:
2 2
/ z u v i z u v i z u v i z u v = + = + = + = +

2 2 2 2 2 2
2
. / z u v z u v u v z = + = + + =

Neka je
, x y i u v i + = +
tada se kvadriranjem dobije:

2
/
2 2
2 x y i u v i x y i u v i x y i u u v i v + = + + = + + = +
2 2
2 . x y i u v u v i + = +

Iz jednakosti kompleksnih brojeva slijedi jednadba:

2 2
. u v x =
Rijeimo sustav jednadbi po varijablama u
2
i v
2
:

( )
metoda suprotnih
/ : 2
koeficijenata
2 2
1
2 2
2
2 2
2
u v z
u z x u z x
u v x
+ =
= + = +
=

(
`
(

)



( ) ( )
( )
2 2 2 2
1 1 1 2 2
1 1
2 2
2 2 2
2 2
u v z v z u
v z z x v z z x
u z x u z x
+ = =
= + =
= + = +


` `

) )

6

( )
1 1 1 2 2
.
2 2 2
v z x v z x = =
Konano rjeenje je:
( )
( )
Dokaz got
1
2
2
. .
1
2
2
ov
u z x
v z x
= +
=

)

Raunamo , ako je 9 40 . z z i =
( )
2 2
9 40 9 40 81 1600 1681 41. z i z z z z = = + = + = =

9.
9 40
z x y i
x
z i
= +
=
=

`
)


( )
( )
1 2
1 1 2 2 2 2
41 9 50 25 25 / 2
2 2
41 , 9
u z x
u u u u
z x
= +
= + = = =
= =

)
5
1
25 .
1,2
5
2
u
u
u
=
=
=

)


( )
( )
1 2
1 1 2 2 2 2
41 9 32 16 16 / 2
2 2
41 , 9
v z x
v v v v
z x
=
= = = =
= =

)
4
1
16 .
1,2
4
2
v
v
v
=
=
=

)

Rjeenja su:
5 4
9 40 .
5 4
i
i
i

=
+

`
)

Vjeba 105
Izraunaj , ako je 5 12 . z z i =

Rezultat: 3 2 , 3 2 . i i +

Zadatak 106 (Marina, srednja kola)

2
Rijei jednadbu: 3 10 0. z i z + =
Rjeenje 106
Ponovimo!
.
2
1 i =
Za svaki pozitivni realni broj p definiramo

. p i p =

To je kvadratna jednadba po nepoznanici z pa vrijedi:
1 , 3 , 10
2
2 3 10 0
2
3 10 0
4
1 , 3 , 10
1,2
2
a b i c
z i z
z i z
b b a c
a b i c
z
a
= = =
+ =
+ =

= = =
=

` `
)
)


7

( )
2
2
3 3 4 1 10
3 9 40 3 9 40
1,2 1,2 1,2
2 1 2 2
i i
i i i
z z z


= = =

3 7 10
5
1 1
3 49 3 7
2 2 1
.
1,2 1,2
3 7 4 2 2 2
2
2 2
2 2
i i i
z z
z i
i i i
z z
i i i z i
z z
+
= =
=

= =
=
= =



` ` `
)

) )

Vjeba 106

2
Rijei jednadbu: 6 0. z i z + = +
Rezultat: 2 , 3 .
1 2
z i z i = =

Zadatak 107 (Ana, gimnazija)

( )
2
3
Izraunaj x ako je: , 2 2 , 0.
1
x i
z z x
i
+
= = >

Rjeenje 107
Ponovimo!
Apsolutna vrijednost (modul) kompleksnog broja

2 2 2 2
.
2
, z x y i z x y z x y i z x y = + = + = + = +
, .
z z n n
z z
w w
= =
( ) ( )
( )
2
2 2 2
3
3 3 3
1 1 1 1
x i
x i x i x i
z z z z
i i i i
+
+ + +
= = = =



( )
( )
2
2
2 2
3
3 3
2 2 2 2 2 2
2 2 1 1
2 2
2
1
2
1
/
x
x x
z
+
+ +
= = =
+
+
=
(



( )
2
2 2 2 2 2
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 4 3 x x x x x = + = + = + + = =
/
nije rje
1
2 1
1 1 1.
1,2
1
2
enje zbog 0
x
x x
x
x
x >
=
= = =
=

)

Vjeba 107

( )
2
3
Izraunaj x ako je: , 2 2 , 0.
1
x i
z z x
i
+
= = >
+

Rezultat: 1.

Zadatak 108 (Nikolina, gimnazija)
Koliko ima prirodnih brojeva n manjih od 2005 za koje je ispunjena jednakost
( ) ( ) 1 1
n n
i i + = (i je imaginarna jedinica)?
Rjeenje 108
Ponovimo!

8

( )
2 2 2
.
2
2 1 , , , 1
n
n
x x
x y x x y y i i
n
y y
= + = + + = =
| |
|
\

( ) ( )
( ) ( ).
f x g x
a a f x g x = =
Potencije imaginarne jedinice i
Za vrijedi n N
4 4 1 4 2 4
, , , .
3
1 1
n n n n
i i i i i i
+ + +
= = = =

Za kompleksne brojeve oblika
, z a b i z a b i = + =

kaemo da su kompleksno konjugirani jedan drugom. Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja
koji se konjugira.
Umnoak kompleksnog broja i njemu konjugiranog broja uvijek je realan broj:

( ) ( )
2
.
2
z a b i
z z a b i a b i z z a b
z a b i
= +
= + = +
=

`
)


Dva kompleksna broja dijelimo tako da dijeljenje najprije zapiemo u obliku razlomka. Taj razlomak
zatim proirimo mnoei njegov brojnik i nazivnik konjugiranim nazivnikom:

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
.
2
a b i a b i c d i a b i
c d i c d i
c
c d i
c d i
d
+ + +
= =
+ +
+



Opi lan a
n
aritmetikog niza s prvim lanom a
1
i razlikom d ima oblik

( ) .
1
1 1
1
a a
n
a a n d n
n
d

= + = +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
/
1
n n
i i n n n n
i i
n n
i
i i
i
i
+ +
+ = + = = =

| |
|
\


( )
( ) ( )
2
2
1 1 1 2
1 1 1
dijeljenje
1
komp
2 2
1 1 1
leksnih
1
b
1
r ev
1
oj a
n
n
n
i i i i
i
i
i i i
+ + + +

+
+
= = =
+
+
(
| |
| |
| | (
|
|
|
(
|
|
\
\
\ (



1 2 1 2 2
1 1
1 1 2
1 1 1.
1 1 2 2 2
n n n n
i i i i n
i
+ +
= = = = =

+
| | | | | | | |
| | | |
\ \ \ \


1.inaica
Budui da je samo
4
1,
n
i

=

(a najvei prirodni broj koji je manji od 2005 i za koji to vrijedi je broj 2004), slijedi:

4
1
4 2004 501.
200
1
/ : 4
4
n
i
n n
i

=
= =
=

)

2.inaica
Prirodni brojevi manji od 2005 za koje vrijedi dobivena jednakost

1
n
i =

ine slijed (niz):
4 8 12 16 2004
1 , 1 , 1 , 1 , ... , 1. i i i i i = = = = =

9

Uoimo da eksponenti
4, 8, 12, 16, ..., 2004


tvore aritmetiki niz kojem je prvi lan a
1
= 4, zadnji lan a
n
= 2004 i razlika d = 4.
Broj prirodnih brojeva za koje je ispunjena zadana jednakost iznosi:

4 , 2004 , 4
1
2004 4 2000
1 1 500 1 501.
1
4 4
1
a a d
n
n n n n
a a
n
n
d
= = =

= + = + = + =

= +

)


Vjeba 108
Koliko ima prirodnih brojeva n manjih od 1005 za koje je ispunjena jednakost
( ) ( ) 1 1
n n
i i + = (i je imaginarna jedinica)?

Rezultat: 251.

Zadatak 109 (Mirjana, ekonomska kola)
Nai z C koji zadovoljava jednakost
2
2 . z z z z i =
Rjeenje 109
Ponovimo!

Za kompleksne brojeve oblika
, z a b i z a b i = + =

kaemo da su kompleksno konjugirani jedan drugom. Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja
koji se konjugira.
Umnoak kompleksnog broja i njemu konjugiranog broja uvijek je realan broj:

( ) ( )
2
.
2
z a b i
z z a b i a b i z z a b
z a b i
= +
= + = +
=

`
)

Modul kompleksnog broja z = a + b i definira se formulom

2 2 2
ili . z a b z z z = + =

2 2 2
2
2
2
2
2
2
z z z z i z z z i z i z z z z z = = = =
(
(



( ) 2 2 / 1 . z i z i = = +


Vjeba 109
Nai z C koji zadovoljava jednakost
2
2 . z z z z i =
Rezultat: 2 + i.

Zadatak 110 (Denis, ekonomska kola)
Nai udaljenost toaka koje predoavaju kompleksne brojeve z = 3 4 i i w = 5 + 2 i.

Rjeenje 110
Ponovimo!

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = a + b i definira se formulom

2 2
. z a b = +

Udaljenost toaka koje predoavaju kompleksne brojeve z i w je

. z w

10


Udaljenost toaka koje predoavaju kompleksne brojeve z = 3 4 i i w = 5 + 2 i iznosi:

( ) ( ) ( )
2 2
3 4 5 2 3 4 5 2 8 6 8 6 z w i i i i i = + = = = + =

64 36 100 10. = + = =
Vjeba 110
Nai udaljenost toaka koje predoavaju kompleksne brojeve z = 3 4 i i w = 5 + 2 i.

Rezultat: 10.

Zadatak 111 (Martina, srednja kola)
Odredi x tako da broj (x + i) (3 2 i) bude realan.

Rjeenje 111
Ponovimo!
( ) ( ) , ,
2
1 Re , Im je realan broj ako je 0. i z x y i x z y z z x y i y = = + = = = + =
( ) ( ) ( )
2
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 z x i i x x i i i x x i i = + = + = + =
( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 2 3 . x x i i x x i = + + = + + +
Da bi broj
( ) ( ) 3 2 2 3 z x x i = + + +

bio realan mora njegov imaginarni dio biti jednak nuli:
( )
3
2 3 0 2 / : 2 3 .
2
x x x + = = =
Vjeba 111
Odredi x tako da broj (x + i) (3 2 i) bude imaginaran.

Rezultat:
2
.
3
x =

Zadatak 112 (Ivica, gimnazija)
( ) ( )
4 6
Izraunaj: 1 1 . i i +
Rjeenje 112
Ponovimo!

( ) ( ) ( ) , , , .
2 2 2
1
n n m n m n n
a a a a b a b a b i a b i a b i
+
= = + = + =
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2 3
2 , 2 , , .
m
n n m
a b a a b b a a a b a a b b i i

+ = + + = = + =
( )
3 3 2 2 3
3 3 . a b a a b a b b + = + + +
1.inaica
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4
4 4 6 4 4 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 i i i i i i i i i i + = + + = + + = + + + =
( ) ( ) ( )
4 4 4 5
1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 3 . 1 2 i i i i i = + + = + = = =
2.inaica
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 3 2 3
4 6 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 1 2 i i i i i i i i + = + = + + + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 3 2 3 2 2 3 3
1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 i i i i i i i i = + = + = = =

( ) ( ) 4 1 8 32 . i i = =

11

3.inaica
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 6 2 3 2 3 2 2 3
1 1 1 1 1 2 1 3 1 3 1 i i i i i i i i i + = + = + + + + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 3 3 1 2 1 3 3 2 1 2 2 1 i i i i i i i i = + + = + = + =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 4 1 2 8 4 4 2 8 4 4 4 1 8 4 i i i i i i i = = + = + = + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 1 8 4 4 4 8 4 4 4 8 4 8 32 4 . i i i i i = + = + = = + =
Vjeba 112
( ) ( )
6 6
Izraunaj: 1 1 . i i +

Rezultat: 2
6
.

Zadatak 113 (Marija, gimnazija)
Neka su 2, 1 2, dva rjeenja jednadbe
1 2
x x i = = +
3 2
0, , , . x b x c x d b c d R + + + =
Nai . b c d + +

Rjeenje 113
Ponovimo!
( ) ( )
( )
2
2 2
, . x y i x y i x y x x + = + =
Ako je , , , 0 korijen (rjeenje) jednadbe
0
x i R = +
1 2 3 2 1
... 0
1 2 3 2 1 0
n n n n
a x a x a x a x a x a x a
n
n n n

+ + + + + + + =



sa realnim koeficijentima, onda je
0
x i =
takoer korijen (rjeenje) te jednadbe.
Jednadba treeg stupnja
3 2
0 a x b x c x d + + + =
ima tono tri korijena (rjeenja).
Neka su , , korijeni (rjeenja) jednadbe
1 2 3
x x x
3 2
0. a x b x c x d + + + =
Tada vrijede Viteove formule:
1 2 3 1 2 1 3
, ,
2
.
3 1 2 3
b c d
x x x x x x x x x x x x
a a a
+ + = + + = =
Neka su , , korijeni (rjeenja) jednadbe
1 2 3
x x x
3 2
0. x b x c x d + + + =
Tada vrijede Viteove formule:

1 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3
, , .
3
x x x b x x x x x x c x x x d + + = + + = =
Budui da je
1 2
2
x i = +
rjeenje jednadbe
3 2
0, x b x c x d + + + =
slijedi da je tree rjeenje x
3
oblika

12

1 2
3
. x i =

Pomou Viteovih formula dobije se zbroj b + c + d:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 1 2 1 2
1 2 3
2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 3 2 3
2 1 2 1 2 1 2 3
i i b
x x x b
x x x x x x c i i i i c
x x x d
i i d
+ + + =
+ + =
+ + = + + + =
=
+ =

` `


)
)

( )
( )
( )
2 1 1
2 1 1
2
2 2 1 2 2 2 1 2
2 1 2
2
2 2
2 2 2 2
2 1 2
i i
d
i c i
b
b
c
d
+ + =
+ + =
+ + = + +
+
+ =
+ =
+ =

` `

) | |

|

\ )


0 0
1 1 0 1 6 5.
6 6
b b
c c b c d b c d
d d
= =
= = + + = + + + =
= =


` `

) )

Vjeba 113
Neka su 2, 1 2, dva rjeenja jednadbe
1 2
x x i = =
3 2
0, , , . x b x c x d b c d R + + + =
Nai . b c d + +

Rezultat: 5.

Zadatak 114 (Marija, gimnazija)

Koliki je imaginarni dio kompleksnog broja
, gdje su , , 0, 0?
a b i a b i
z a b R a b
a b i a b i
+
=
+

Rjeenje 114
Ponovimo!
( ) ( ) ( ) ( ) , e .
2 2
R , Im z x y i z x z y x y i x y i x y = + = = + = +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 , . x y x x y y x y x x y y + = + + = +

( ) ( )
( ) ( )
2 2
a b i a b i a b i a b i
z z
a b i a b i a b i a b i
+ +
= =
+ +


( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2
2 2
a a b i b i a a b i b i
z
a b
+ + +
=
+


( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
a a b i b i a a b i b i
z
a b
+
=
+


( ) ( ) 2 2 4 4
.
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
a b i a b i a b i a b i a b i a b
z z z i
a b a b a b

= = =
+ + +
+


13

Imaginarni dio zadanog kompleksnog broja iznosi:
( )
4
Im .
2 2
a b
z
a b

=
+

Vjeba 114
Koliki je realni dio kompleksnog broja

, gdje su , , 0, 0?
a b i a b i
z a b R a b
a b i a b i
+
=
+

Rezultat: 0.

Zadatak 115 (eljka, srednja kola)

Odredi skup toaka z kompleksne ravnine za koje vrijedi ( ) ( ) Re 1 Im . z z i + =

Rjeenje 115
Ponovimo!

Kompleksan broj je broj oblika
, z x y i = +

gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja, a broj
y imaginarni dio kompleksnog broja z. Piemo:

( ) ( ) Re Im , . z x z y = =

Zapis z x y i = + zovemo algebarski ili standardni prikaz kompleksnog broja.
Odredimo skup toaka z kompleksne ravnine za koje vrijedi

( ) ( ) Re 1 Im . z z i + =
Neka je
. z x y i = +
Tada je
( )
( )
1 1 1
.
1
z x y i x y i
z i x y i i x y i
+ = + + = + +
= + = +

)


Zadanu jednakost moemo zapisati u obliku

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Re 1 Im Re 1 Im 1 1 1 2. z z i x y i x y i x y y x + = + + = + + = = +

Odavde vidimo da koordinate x i y zadovoljavaju jednadbu pravca y = x + 2.










Vjeba 115
Odredi skup toaka z kompleksne ravnine za koje vrijedi ( ) ( ) Re 2 Im 2 . z z i + =
Rezultat: 4. y x = +

Zadatak 116 (Davor, gimnazija)
Koliko iznosi realni dio kompleksnog broja
2 2
?
2 2
i i
i i
+

+

- 2
2

14

Rjeenje 116
Ponovimo!

Kompleksan broj je broj oblika
, z x y i = +

gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja, a broj
y imaginarni dio kompleksnog broja z. Piemo:

( ) ( ) Re Im , . z x z y = =

Zapis z x y i = + zovemo algebarski ili standardni prikaz kompleksnog broja.
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 , , . 2
a c a d b c
a b a a b b a b a a b b
b d b d

= = + + = + +

( ) ( )
2 2 2 2 2
, .
2
1 i a b i a b i a b i a b = + = = +
1.inaica
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
i i i i i i
i i i i i
i i
i i i i i
+ + + +
+
= = =
+ + + +


( ) ( )
2 2
4 4 4 4 4 4 1 4 4 1 3 4 3 4 3 4 3 4
2 2 2 2
4 1 4 1 4 1 4 1 5 5
2 2
i i i i i i i i i i
i i
+ + + + + +
= = = = =
+ +



( ) 3 4 3 4 3 4 3 4 4 4 8 8
0
3
.
3
5 5 5 5 5
i i i i i i i
i
+
= = = = =

Realni dio kompleksnog broja iznosi:
Realni dio 0
2 2 8
0 .
8
2 2 5 Imaginarni dio
5
i i
i
i i
+
=
+ =
=

)

2.inaica
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 4 2 4
2 2 2 2 2 4 2 4
2 2
2 2 2 2 4 1
2
i i i i
i i i i i i i i
i i i i
i
+ + +
+ + +
= = = =
+ +

2 2 2 2
4 4 8 8
0 .
4 1 5
2 2
5
i i i i i
i

= = =
+

Realni dio kompleksnog broja iznosi:
Realni dio 0
2 2 8
0 .
8
2 2 5 Imaginarni dio
5
i i
i
i i
+
=
+ =
=

)

Vjeba 116
Koliko iznosi imaginarni dio kompleksnog broja
2 2
?
2 2
i i
i i
+

+

Rezultat:
8
.
5


Zadatak 117 (Davor, gimnazija)
( )
2 3
Ako je 1, , , kolika je vrijednost izraza 5 ?
3 2 3 2
x y
x y R x y
i i
+ +
=
+



15

Rjeenje 117
Ponovimo!

Kompleksan broj je broj oblika
, z x y i = +

gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja, a broj
y imaginarni dio kompleksnog broja z. Piemo:

( ) ( ) Re Im , . z x z y = =

Zapis z x y i = + zovemo algebarski ili standardni prikaz kompleksnog broja.
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 , , . 2
a c a d b c
a b a a b b a b a a b b
b d b d

= = + + = + +

( ) ( ) , , .
2 2 2 2 2 2
1
a b a b
i a b i a b i a b i a b
n n n
+
+ = = + = = +
Ponovimo definiciju jednakosti kompleksnih brojeva. Kada su dva kompleksna broja jednaka?

Dva su kompleksna broja jednaka ako i samo ako su im meusobno jednaki realni dijelovi i
meusobno jednaki imaginarni dijelovi, tj.

a + bi = c + di

a = c , b = d .
1.inaica
( ) ( )
2 3 2 3
1 1
3 2 3 2 3
/
2 3 2
3 2 3 2
x y x y
i i i
i i
i
+ + + +
= =
+ +
+



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 x i y i i i + + + = +

( ) ( )
2 2
3 2 6 4 3 2 9 6 3 2 x x i i y y i i i + + + + =

2 2 2
3 2 6 4 3 2 9 6 3 2 x x i i y y i i i + =

( ) 3 3 6 9 2 4 2 6 9 4 1 x y x i i y i i + =

( ) 3 3 3 2 2 10 9 4 3 3 3 2 2 10 13 x y x i y i i x y x y i = + + =

( )
jednakost
kompleksnih bro
3 3 3 2 2 1
a
0 1
j v
3 0
e
x y x y i i + = +
(
(



3 3 3 13 3 3 1 metoda suprotnih
koe
3 3 3 3 16
2 2 10 0 2 2 1 ficijenat 0 2 2 10 a
x y x y x y
x y x y x y
= = + =

= = =
(
` ` `
(
) ) )
( )
3 3 16 6 6 32
12 62 12 62
2 2 10 6
/ 2
/ :
/ 6
12
3 30
x y x y
y y
x y x y
= =
= =
= =

` `
) )


3 3 16
62 31 31
3 3 16
31
12 6 6
6
x y
y y x
y
=
= = =
=

| |
` |
\

)

31 31 32 31 1 1
3 16 3 16 3 3 .
2 2 2 2 6
1
/
3
x x x x x

+ = = = = =

Raunamo vrijednost zadanog izraza:
1 31 5 31 36
5 5 6.
6 6 6 6 6
x y = = + = =
| |
|
\


Kako izbjei rjeavanje sustava jednadbi?

16

( )
zbrojimo
/ 1 jednad
3 3
be
16 3 3 16 3 3 16
2 2 10 2 2 10 2 2 10
x y x y x y
x y x y x y
= = =

= = + =
(
` ` `
(
) ) )


3 3 2 2 16 10 5 6. x y x y x y + + = =
2.inaica
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 3 2 3 3 2 2 3
1 1
3 2 3 2 3 2 3 2
x i y i x y
i i i i
+ + + + +
= =
+ +


( )
( )
3 2 6 4 3 2 9 6
1
2 2
3 2
x x i i y y i i
i
+ + + +
=



3 2 6 4 3 2 9 6
1
2 2 2
3 2
x x i i y y i i
i
+
=



( )
3 3 6 9 2 2 4 6
1
9 4 1
x y x i y i i i +
=



( ) ( ) 3 3 3 2 2 10 3 3 3 2 2 10
1 1
9 4 13
x y x y i x y x i y i i
= =
+
+


3 3 3 2 2 10
1
jednakost
kompleksnih
0
13 13 brojeva
x y x y
i i

+ = +
(
(



3 3 3 3 3 3
1 1
13 13
2 2 10 2 2 10
0 0
13 1
/ 1
3
3
/ 13
x y x y
x y x y

= =


= =

` `


) )


3 3 3 13 3 3 1 metoda suprotnih
koe
3 3 3 3 16
2 2 10 0 2 2 1 ficijenat 0 2 2 10 a
x y x y x y
x y x y x y
= = + =

= = =
(
` ` `
(
) ) )


3 3 3 13 3 3 1 metoda suprotnih
koe
3 3 3 3 16
2 2 10 0 2 2 1 ficijenat 0 2 2 10 a
x y x y x y
x y x y x y
= = + =

= = =
(
` ` `
(
) ) )


( )
3 3 16 6 6 32
12 62 12 62
2 2 10 6
/ 2
/ :
/ 6
12
3 30
x y x y
y y
x y x y
= =
= =
= =

` `
) )


3 3 16
62 31 31
3 3 16
31
12 6 6
6
x y
y y x
y
=
= = =
=

| |
` |
\

)


31 31 32 31 1 1
3 16 3 16 3 3 .
2 2 2 2 6
1
/
3
x x x x x

+ = = = = =

Raunamo vrijednost zadanog izraza:
1 31 5 31 36
5 5 6.
6 6 6 6 6
x y = = + = =
| |
|
\


Kako izbjei rjeavanje sustava jednadbi?

( )
zbrojimo
/ 1 jednad
3 3
be
16 3 3 16 3 3 16
2 2 10 2 2 10 2 2 10
x y x y x y
x y x y x y
= = =

= = + =
(
` ` `
(
) ) )


3 3 2 2 16 10 5 6. x y x y x y + + = =

17

Vjeba 117
( )
2 3
Ako je 1, , , kolika je vrijednost izraza 10 2 ?
3 2 3 2
x y
x y R x y
i i
+ +
=
+


Rezultat: 12.

Zadatak 118 (Medicinarke, medicinska kola)

Uz koji e uvjet kub kompleksnog broja a + b i biti realan?

Rjeenje 118
Ponovimo!
( )
3 3 2 2 3
3 3 . x y x x y x y y + = + + +
( ) , .
2 3
1 ,
n n n
x y x y i i i = = =

Zakon distribucije mnoenja prema zbrajanju.

( ) ( ) , . x y z x y x z x y x z x y z + = + + = +
Kompleksan broj je broj oblika
, z x y i = +

gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja, a broj
y imaginarni dio kompleksnog broja z. Piemo:

( ) ( ) Re Im , . z x z y = =

Zapis z x y i = + zovemo algebarski ili standardni prikaz kompleksnog broja.
Raunamo kub kompleksnog broja a + b i.

( ) ( ) ( )
3 2 3 3 2 3 2 2 2 3 3
3 3 3 3 a b i a a b i a b i b i a a b i a b i b i + = + + + = + + + =

( ) ( )
3 2 2 3 3 2 2 3
3 3 1 3 3 a a b i a b b i a a b i a b b i = + + + = + =

( )
3 2 2 3 3 2 2 3
3 3 3 3 a a b a b i b i a a b a b b i = + = +

( )
( )
3 2 3
Im 3
3 3 2
Re 3
.
a b i a b b
a b i a a b + =
+ =

)


Budui da kub kompleksnog broja mora biti realan, njegov imaginarni dio jednak je nuli.

( )
0 0
2 3 2 2
3 0 3 0 .
2 2 2 2
3 0 3
b b
a b b b a b
a b a b
= =
= =
= =


` `

) )

Vjeba 118

Uz koji e uvjet kub kompleksnog broja a + b i biti imaginaran?
Rezultat:
2 2
0 ili 3 . a a b = =

Zadatak 119 (Matija, maturant)

Zadani su kompleksni brojevi ( ) ( ) 5 2 i 3 2 , za , .
1 2
z a i z b i a b R = + = Odredite b
tako da brojevi z
1
i z
2
budu jednaki.

Rjeenje 119
Ponovimo!
Ponovimo definiciju jednakosti kompleksnih brojeva. Kada su dva kompleksna broja jednaka?

Dva su kompleksna broja jednaka ako i samo ako su im meusobno jednaki realni dijelovi i

18

meusobno jednaki imaginarni dijelovi, tj.

a + b i = c + d i

a = c , b = d .

( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 2 5 5 .
1 1
z a i z a a i = + = + +

Budui da kompleksni brojevi z
1
i z
2
moraju biti jednaki, slijedi:

( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
3
2 5 5 2 5 3 2 5 3
5
1
2
3 2 5 2 5 2
2
5 2
/ : 2
/ 1
z a a i a a
a
z b i a b a b
a b
= + + + = + =
+ =

= + = + =
+

` ` ` `
) ) )
)
3 3 3
2 2 .
2 2 4
metoda
/ : 2
komparacije
b b b = = =
(
(


Vjeba 119

Zadani su kompleksni brojevi ( ) ( ) 5 2 i 3 2 , za , .
1 2
z a i z b i a b R = + = Odredite a
tako da brojevi z
1
i z
2
budu jednaki.

Rezultat:
7
.
2
a =

Zadatak 120 (Nina, gimnazija)

Odredite skup toaka u ravnini zadanih relacijom ( ) Re 1. z z = +
Rjeenje 120
Ponovimo!
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika

, z x y i = +
gdje su x i y realni brojevi.

U kompleksnom broju z = x + y i realni broj x jest njegov realni dio, x = Re (z).


2
.
2
z x y i z x y = + = +
( )
( )
2
2 2
, .
2
2 a a a b a a b b = + = + +

Neka je z = x + y i. Tada vrijedi:
( )
2 2 2 2
Re 1 1
2
1 1 / z z x y i x x y x x y x = + + = + + = + + = +

( )
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1
2
2 2 1
2
x y x x y x x y x x x + = + + = + + + = + +
| |
|
\

2
2 1. y x = +
Traeni skup toaka je parabola.

Vjeba 120
Odredite skup toaka u ravnini zadanih relacijom ( ) Re 1. z z =
Rezultat: Parabola:
2
2 1. y x = +